Osnovni pojmovi brojevnih sustava
Brojevni sustav je skup pravila i tehnika za pisanje brojeva korištenjem skupa digitalnih znakova. Broj znamenki potreban za zapisivanje broja u sustav naziva se baza brojevnog sustava. Osnova sustava ispisana je pravim brojevima u indeksu:; ; itd.
Postoje dvije vrste brojevnih sustava:
pozicijski, kada je vrijednost svake znamenke broja određena njezinim položajem u zapisu brojeva;
nepozicioni, kada vrijednost znamenke u broju ne ovisi o njezinom mjestu u zapisu brojeva.
Primjer nepozicionog brojevnog sustava je rimski: brojevi IX, IV, XV itd. Primjer pozicijskog brojevnog sustava je decimalni sustav koji se koristi na dnevnoj bazi.
Bilo koji cijeli broj u pozicijskom sustavu može se napisati u obliku polinoma:
gdje je S baza brojevnog sustava;
znamenke broja zabilježenog u danom brojevnom sustavu;
n - broj znamenki broja.
Primjer. Broj bit će zapisan u obliku polinoma kako slijedi:
Vrste brojevnih sustava
Rimski brojčani sustav je nepozicijski sustav. Za pisanje brojeva koristi slova latinske abecede. Štoviše, slovo I uvijek znači jedan, slovo V je pet, X je deset, L je pedeset, C je sto, D je petsto, M je tisuću, itd. Na primjer, broj 264 je napisan kao CCLXIV. Prilikom pisanja brojeva u rimskom brojevnom sustavu, vrijednost broja je algebarski zbroj znamenki uključenih u njega. U tom slučaju brojevi u zapisu brojeva slijede, u pravilu, silaznim redoslijedom svojih vrijednosti, te nije dopušteno upisivanje više od tri identična broja jedan do drugog. U slučaju kada iza znamenke velike vrijednosti slijedi znamenka s manjom, njen doprinos vrijednosti broja u cjelini je negativan. Tipični primjeri koji ilustriraju opća pravila za pisanje brojeva u rimskom brojevnom sustavu prikazani su u tablici.
Tablica 2. Pisanje brojeva u rimskom brojevnom sustavu
|
III |
||||
|
Vii |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Nedostatak rimskog sustava je nedostatak formalnih pravila za pisanje brojeva i, sukladno tome, aritmetičkih operacija s višeznamenkastim brojevima. Zbog neugodnosti i velike složenosti, sustav rimskih brojeva trenutno se koristi tamo gdje je to stvarno zgodno: u literaturi (numeracija poglavlja), u papirologiji (niz putovnica, vrijednosnih papira, itd.), u ukrasne svrhe na brojčaniku sat i u nizu drugih slučajeva.
Dekadski brojevni sustav trenutno je najpoznatiji i najkorišteniji. Izum decimalnog brojevnog sustava spada u glavna dostignuća ljudske misli. Bez nje moderna tehnologija teško bi mogla postojati, a kamoli se pojaviti. Razlog zašto je decimalni brojevni sustav postao općeprihvaćen nije nimalo matematički. Ljudi su navikli brojati u decimalnim zapisima jer imaju 10 prstiju na rukama.
Drevni prikaz decimalnih znamenki (slika 1) nije slučajan: svaka znamenka označava broj prema broju uglova u njoj. Na primjer, 0 - nema kutova, 1 - jedan kut, 2 - dva kuta, itd. Pisanje decimalnih znamenki doživjelo je značajne promjene. Obrazac koji koristimo uspostavljen je u 16. stoljeću.
Dekadski se sustav prvi put pojavio u Indiji oko 6. stoljeća nove ere. Indijsko numeriranje koristilo je devet numeričkih znakova i nulu za označavanje praznog mjesta. U ranim indijskim rukopisima koji su došli do nas brojevi su ispisivani obrnutim redoslijedom, s najznačajnijim brojem na desnoj strani. No ubrzo je postalo pravilo staviti takav broj na lijevu stranu. Posebna se važnost pridavala nultom karakteru, koji je uveden za sustav pozicijskih zapisa. Indijsko numeriranje, uključujući nulu, preživjelo je do našeg vremena. U Europi su se hinduističke metode decimalne aritmetike raširile početkom 13. stoljeća. zahvaljujući djelima talijanskog matematičara Leonarda iz Pize (Fibonacci). Europljani su indijski brojevni sustav posudili od Arapa, nazivajući ga arapskim. Ovaj povijesno netočan naziv zadržao se do danas.
Dekadski sustav koristi deset znamenki - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, kao i simbole "+" i "-" za označavanje predznaka broja i zareza ili točke odvajati cijele i razlomke.brojeve.
Računala koriste binarni brojevni sustav, njegova baza je broj 2. Za pisanje brojeva u ovom sustavu koriste se samo dvije znamenke - 0 i 1. Suprotno uobičajenoj zabludi, binarni brojevni sustav nisu izmislili inženjeri računalnog dizajna, već matematičari i filozofi davno prije pojave računala, još u sedamnaestom i devetnaestom stoljeću. Prva objavljena rasprava o binarnom brojevnom sustavu pripada španjolskom svećeniku Juanu Caramuelu Lobkowitzu (1670.). Opću pozornost na ovaj sustav privukao je članak njemačkog matematičara Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen 1703. godine. Objašnjavao je binarne operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Leibniz nije preporučio korištenje ovog sustava za praktične izračune, ali je naglasio njegovu važnost za teorijska istraživanja. S vremenom je binarni brojevni sustav postao poznat i razvijen.
Izbor binarnog sustava za korištenje u računalstvu objašnjava se činjenicom da elektronički elementi – okidači koji čine računalne mikrosklopove – mogu biti u samo dva radna stanja.
Svi podaci i znanje mogu se zabilježiti korištenjem binarnog kodnog sustava. To je lako razumjeti ako se sjećate principa kodiranja i prijenosa informacija pomoću Morseove azbuke. Telegrafista, koristeći samo dva simbola ove abecede - točke i crtice, može prenijeti gotovo svaki tekst.
Binarni sustav je prikladan za računalo, ali nezgodan za osobu: brojevi su dugi i teško ih je zapisati i zapamtiti. Naravno, možete pretvoriti broj u decimalni sustav i napisati ga u ovom obliku, a zatim, kada ga trebate prevesti natrag, ali svi ti prijevodi oduzimaju mnogo vremena. Stoga se koriste brojevni sustavi, srodni binarnom - oktalnom i heksadecimalnom. Za pisanje brojeva u ovim sustavima potrebno je 8 odnosno 16 znamenki. U heksadecimalnom, prvih 10 znamenki je uobičajeno, a zatim se koriste velika latinična slova. Heksadecimalna znamenka A odgovara decimalnom broju 10, heksadecimalna B - decimalna 11 itd. Korištenje ovih sustava objašnjava se činjenicom da je prijelaz na pisanje broja u bilo kojem od ovih sustava iz njegovog binarnog zapisa vrlo jednostavan. Ispod je tablica korespondencije između brojeva snimljenih u različitim sustavima.
Tablica 3. Podudarnost brojeva zapisanih u različitim brojevnim sustavima
|
Decimal |
Binarni |
Oktalni |
Heksadecimalni |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Pravila za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi važan je dio strojne aritmetike. Razmotrimo osnovna pravila prijevoda.
1. Za pretvorbu binarnog broja u decimalni broj potrebno ga je zapisati u obliku polinoma koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajućeg stepena broja 2 te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:
Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tablicu potencija dva:
Tablica 4. Potencije 2
|
n (stupanj) |
|||||||||||
|
1024 |
Primjer. Pretvorite broj u decimalni zapis.
2. Za pretvorbu oktalnog broja u decimalni broj potrebno ga je zapisati u obliku polinoma koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajućeg stepena broja 8 te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:
Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga osam:
Tablica 5. Potencije od 8
|
n (stupanj) |
Proučavajući kodiranja, shvatio sam da ne razumijem dovoljno dobro sustave brojeva. Unatoč tome, često je koristio 2-, 8-, 10-, 16. sustave, prevodio jedan u drugi, ali sve se radilo "automatski". Nakon što sam pročitao brojne publikacije, iznenadio sam se nedostatkom niti jednog, jednostavnim jezikom napisanog članka o tako osnovnom materijalu. Zato sam odlučio napisati svoju, u kojoj sam pokušao na pristupačan i uredan način objasniti osnove brojevnih sustava.
Uvod
Notacija je način pisanja (predstavljanja) brojeva.Što to znači? Na primjer, vidite nekoliko stabala ispred sebe. Vaš zadatak je da ih prebrojite. Da biste to učinili, možete - saviti prste, napraviti zareze na kamenu (jedno stablo - jedan prst / zarez) ili spojiti 10 stabala s predmetom, na primjer, kamenom, a za jednu kopiju - štapom i položiti ih na zemlji dok brojiš. U prvom slučaju, broj je predstavljen kao linija savijenih prstiju ili zareza, u drugom - sastav kamenja i štapića, gdje su kamenje s lijeve strane, a štapići s desne strane.
Brojevni sustavi se dijele na pozicione i nepozicione, a pozicione, pak, na homogene i mješovite.
Ne-pozicioni- najstariji, u njemu svaka znamenka broja ima vrijednost koja ne ovisi o njegovu položaju (rangu). Odnosno, ako imate 5 crtica, onda je broj također 5, jer svaka crtica, bez obzira na svoje mjesto u retku, odgovara samo 1 jednom objektu.
Pozicijski sustav- značenje svake znamenke ovisi o njenom položaju (znamenka) u broju. Na primjer, poznati nam deseti brojevni sustav je pozicijski. Razmotrimo broj 453. Broj 4 označava broj stotina i odgovara broju 400, 5 - broju desetica i sličan je vrijednosti 50, a 3 - jedinicama i vrijednosti 3. Kao što vidite, veća je znamenka, to je veća vrijednost. Konačni broj može se predstaviti kao zbroj 400 + 50 + 3 = 453.
Homogeni sustav- za sve znamenke (pozicije) broja, skup dopuštenih simbola (brojeva) je isti. Uzmimo za primjer prethodno spomenuti sustav 10. Prilikom pisanja broja u jedinstvenom 10. sustavu možete koristiti samo jednu znamenku od 0 do 9 u svakoj znamenki, tako da je broj 450 dopušten (1. znamenka - 0, 2. - 5, 3. - 4), a 4F5 nije, jer znak F nije dio skupa znamenki od 0 do 9.
Mješoviti sustav- u svakoj znamenki (poziciji) broja skup valjanih znakova (znamenaka) može se razlikovati od skupova ostalih znamenki. Upečatljiv primjer je sustav mjerenja vremena. U kategoriji sekundi i minuta moguće je 60 različitih znakova (od "00" do "59"), u kategoriji sati - 24 različita znaka (od "00" do "23"), u kategoriji dana - 365 itd.
Nepozicijski sustavi
Čim su ljudi naučili brojati, pojavila se potreba za pisanjem brojeva. U početku je sve bilo jednostavno - zarez ili crtica na nekoj površini odgovarala je jednom predmetu, na primjer, jednom voću. Tako se pojavio prvi brojevni sustav - jedinični.Jedinični brojevni sustav
Broj u ovom brojevnom sustavu je niz crtica (štapića), čiji je broj jednak vrijednosti zadanog broja. Dakle, žetva od 100 datulja bit će jednaka broju koji se sastoji od 100 crtica.Ali ovaj sustav ima očite nedostatke - što je veći broj, to je duži niz štapića. Osim toga, lako možete pogriješiti prilikom pisanja broja ako slučajno dodate dodatni štapić ili ga, obrnuto, ne dodate.
Radi praktičnosti, ljudi su počeli grupirati štapiće u 3, 5, 10 komada. Pritom je svakoj skupini odgovarao određeni znak ili predmet. U početku su se za brojanje koristili prsti, pa su se prvi znakovi pojavili za grupe od 5 i 10 komada (jedinica). Sve je to omogućilo stvaranje prikladnijih sustava za snimanje brojeva.
Drevni egipatski decimalni sustav
U starom Egiptu su se posebni simboli (brojevi) koristili za označavanje brojeva 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Ovo su neki od njih:Zašto se zove decimalni? Kao što je gore navedeno, ljudi su počeli grupirati likove. U Egiptu su odabrali grupiranje od 10, a broj "1" je ostao nepromijenjen. U ovom slučaju, broj 10 naziva se baza decimalnog brojevnog sustava, a svaki znak je u određenoj mjeri prikaz broja 10.
Brojevi u staroegipatskom brojevnom sustavu napisani su kao njihova kombinacija
znakova, od kojih se svaki ponavlja najviše devet puta. Ukupna vrijednost bila je jednaka zbroju elemenata broja. Vrijedi napomenuti da je ova metoda dobivanja vrijednosti svojstvena svakom nepozicionom brojevnom sustavu. Primjer je broj 345:
Babilonski seksagezimalni sustav
Za razliku od egipatskog, u babilonskom sustavu korištena su samo 2 simbola: "ravni" klin - za označavanje jedinica i "ležeći" - za desetke. Za određivanje vrijednosti broja potrebno je sliku broja podijeliti na znamenke s desna na lijevo. Novi iscjedak počinje pojavom ravnog klina nakon ležeg. Uzmimo broj 32 kao primjer:
Broj 60 i svi njegovi stupnjevi također su označeni ravnim klinom kao "1". Stoga je babilonski brojevni sustav nazvan šesteroznimalnim.
Sve brojeve od 1 do 59 Babilonci su zabilježili u decimalnom nepozicionom sustavu, a velike vrijednosti - u pozicijskom sustavu s bazom 60. Broj 92:
Zapis broja bio je dvosmislen, jer nije bilo znamenke koja označava nulu. Prikaz broja 92 mogao bi značiti ne samo 92 = 60 + 32, već i, na primjer, 3632 = 3600 + 32. Za određivanje apsolutne vrijednosti broja uveden je poseban znak za označavanje šestesimalne znamenke koja nedostaje, što odgovara izgledu znamenke 0 u decimalnom zapisu:
Sada broj 3632 treba napisati kao:
Babilonski seksagezimalni sustav bio je prvi brojevni sustav koji se dijelom temeljio na pozicijskom principu. Taj se brojevni sustav danas koristi npr. kod određivanja vremena – sat se sastoji od 60 minuta, a minuta od 60 sekundi.
rimski sustav
Rimski se sustav ne razlikuje mnogo od egipatskog. Koristi velika slova I, V, X, L, C, D i M za predstavljanje brojeva 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Broj u rimskom brojevnom sustavu je skup uzastopnih brojeva.Metode za određivanje vrijednosti broja:
- Vrijednost broja jednaka je zbroju vrijednosti njegovih znamenki. Na primjer, broj 32 u rimskom brojevnom sustavu je XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32
- Ako je lijevo od veće znamenke manji, tada je vrijednost jednaka razlici između veće i manje znamenke. U ovom slučaju, lijeva znamenka može biti manja od desne za najviše jedan red veličine: dakle, ispred L (50) i C (100) od "nižih" može stajati samo X (10), prije D (500) i M (1000) - samo C (100), prije V (5) - samo I (1); broj 444 u razmatranom brojevnom sustavu bit će zapisan kao CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444.
- Vrijednost je jednaka zbroju vrijednosti grupa i brojeva koji se ne uklapaju pod 1 i 2 boda.
1) slavenski
2) grčki (jonski)
Pozicijski brojevni sustavi
Kao što je već spomenuto, prvi preduvjeti za nastanak pozicijskog sustava pojavili su se u starom Babilonu. U Indiji je sustav imao oblik pozicijskog decimalnog numeriranja pomoću nule, a od Indijaca su ovaj sustav brojeva posudili Arapi, od kojih su ga preuzeli Europljani. Iz nekog razloga, u Europi se naziv "Arap" zalijepio za ovaj sustav.Decimalni brojevni sustav
Ovo je jedan od najčešćih brojevnih sustava. To je ono što koristimo kada imenujemo cijenu proizvoda i izgovaramo broj autobusa. U svakoj znamenki (poziciji) može se koristiti samo jedna znamenka u rasponu od 0 do 9. Osnova sustava je broj 10.Na primjer, uzmimo broj 503. Ako je ovaj broj napisan u nepozicionom sustavu, tada bi njegova vrijednost bila 5 + 0 + 3 = 8. Ali imamo pozicijski sustav i stoga se svaka znamenka broja mora pomnožiti bazom sustava, u ovom slučaju broj “10” podignut na stepen jednak broju bita. Ispada da je vrijednost 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503. Kako bi se izbjegla zabuna pri radu s više brojevnih sustava u isto vrijeme, baza je navedena kao subscript. Dakle 503 = 503 10.
Osim decimalnog sustava, posebnu pozornost zaslužuju 2., 8., 16. sustavi.
Binarni brojevni sustav
Ovaj se sustav uglavnom koristi u računalstvu. Zašto nisu iskoristili 10. na koji smo navikli? Prvi računalni stroj stvorio je Blaise Pascal, koji je u njemu koristio decimalni sustav, što se pokazalo nezgodnim u modernim elektroničkim strojevima, budući da je bilo potrebno proizvoditi uređaje sposobne za rad u 10 država, što je povećalo njihovu cijenu i konačnu veličina stroja. Elementi koji djeluju u 2. sustavu su lišeni ovih nedostataka. Ipak, dotični sustav nastao je mnogo prije izuma računala i "ukorijenjen" je u civilizaciji Inka, gdje su se koristili kipu - složenim tkanjem užadi i čvorovima.Binarni pozicijski brojevni sustav ima bazu 2 i koristi 2 znaka (znamenke) za pisanje broja: 0 i 1. U svakoj znamenki dopuštena je samo jedna znamenka - 0 ili 1.
Primjer je broj 101. Analogan je broju 5 u decimalnom zapisu. Za pretvorbu iz 2. u 10. potrebno je svaku znamenku binarnog broja pomnožiti s osnovom “2” podignutom na stepen jednak znamenki. Dakle, broj 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.
Pa, za strojeve je 2. brojevni sustav prikladniji, ali često vidimo da se na računalu koriste brojevi u 10. sustavu. Kako onda stroj određuje koji broj korisnik upisuje? Kako prevodi broj iz jednog sustava u drugi, jer ima na raspolaganju samo 2 znaka - 0 i 1?
Da bi računalo radilo s binarnim brojevima (kodovima), oni moraju biti negdje pohranjeni. Za pohranu svake pojedinačne znamenke koristi se okidač, koji je elektronički sklop. Može biti u 2 stanja, od kojih jedno odgovara nuli, a drugo jedan. Za pamćenje zasebnog broja koristi se registar - skupina okidača, čiji broj odgovara broju znamenki u binarnom broju. A skup registara je memorija slučajnog pristupa. Broj sadržan u registru je strojna riječ. Aritmetičke i logičke operacije s riječima izvodi aritmetičko-logička jedinica (ALU). Kako bi se pojednostavio pristup registrima, oni su numerirani. Broj se zove adresa registra. Na primjer, ako trebate dodati 2 broja, dovoljno je navesti brojeve ćelija (registra) u kojima se nalaze, a ne same brojeve. Adrese se pišu u oktalnom i heksadecimalnom sustavu (o njima će biti riječi u nastavku), budući da je prijelaz s njih na binarni sustav i obrnuto prilično jednostavan. Za prijenos s 2. na 8. broj, potrebno ga je podijeliti u skupine od 3 znamenke s desna na lijevo, te prijeći na 16. - na 4. Ako nema dovoljno znamenki u krajnjoj lijevoj skupini znamenki, tada ispunjeni su nulama s lijeve strane, koje se nazivaju vodećim. Uzmimo za primjer broj 101100 2. U oktalnom je to 101 100 = 54 8, a u heksadecimalnom je 0010 1100 = 2C 16. Super, ali zašto na ekranu vidimo decimalne brojeve i slova? Kada pritisnete tipku, određeni slijed električnih impulsa se prenosi na računalo, pri čemu svaki simbol odgovara vlastitom nizu električnih impulsa (nula i jedinica). Program upravljačkog programa tipkovnice i zaslona gleda tablicu kodova znakova (na primjer, Unicode, koji može kodirati 65536 znakova), određuje kojem znaku odgovara dobiveni kod i prikazuje ga na zaslonu. Tako se tekstovi i brojevi pohranjuju u memoriju računala u binarnom kodu, te se programski pretvaraju u slike na ekranu.
Oktalni brojevni sustav
Osmi brojevni sustav, kao i binarni, često se koristi u digitalnoj tehnologiji. To je baza 8 i koristi znamenke od 0 do 7 za predstavljanje broja.Primjer oktalnog broja: 254. Za pretvaranje u 10. sustav, svaka znamenka izvornog broja mora se pomnožiti s 8 n, gdje je n znamenkast broj. Ispada da je 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.
Heksadecimalni brojevni sustav
Heksadecimalni sustav se široko koristi u modernim računalima, na primjer, označava boju: #FFFFFF - bijela. Sustav koji se razmatra ima bazu 16 i koristi brojeve za pisanje: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, gdje su slova 10, 11, 12, 13, 14, 15.Uzmimo za primjer broj 4F5 16. Za pretvaranje u oktalni sustav - prvo heksadecimalni broj pretvaramo u binarni, a zatim, dijeleći ga na grupe od 3 znamenke, u oktalni. Za pretvaranje broja u 2, svaka znamenka mora biti predstavljena kao 4-bitni binarni broj. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ali u skupinama 1 i 3 nema mjesta, pa svaku popunjavamo vodećim nulama: 0100 1111 0101. Sada morate podijeliti rezultirajući broj u grupe od 3 znamenke s desna na lijevo: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Prevedemo svaku binarnu grupu u oktalni sustav, množimo svaki bit s 2 n, gdje je n broj bita: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.
Osim razmatranih pozicijskih brojevnih sustava, postoje i drugi, na primjer:
1) Trojstvo
2) Kvartar
3) Duodecimalni
Pozicijski sustavi se dijele na homogene i mješovite.
Homogeni pozicijski brojevni sustavi
Definicija dana na početku članka prilično u potpunosti opisuje homogene sustave, tako da pojašnjenje nije potrebno.Mješoviti brojevni sustavi
Već datoj definiciji možemo dodati sljedeći teorem: „ako je P = Q n (P, Q, n su pozitivni cijeli brojevi, a P i Q baze), tada je reprezentacija bilo kojeg broja u mješovitom (PQ) - brojni sustav identično se poklapa s pisanjem istog broja u bazu Q."Na temelju teorema možemo formulirati pravila za prijelaz s P-tog na Q-ti sustav i obrnuto:
- Za prijenos iz Q-tog u P-ti, potrebno je broj u Q-tom sustavu podijeliti na grupe od n znamenki, počevši od desne znamenke, i svaku grupu zamijeniti jednom znamenkom u P-tom sustavu.
- Za prijenos iz P-tog u Q-ti potrebno je svaku znamenku broja u P-tom sustavu prevesti u Q-tu i znamenke koje nedostaju popuniti vodećim nulama, osim lijeve, tako da svaka broj u sustavu s osnovom Q sastoji se od n znamenki...
Mješoviti brojevni sustavi su također, na primjer:
1) Faktorski
2) Fibonaccijeve
Prijevod iz jednog brojevnog sustava u drugi
Ponekad je potrebno pretvoriti broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, pa ćemo razmotriti načine prevođenja između različitih sustava.Pretvaranje u decimalni
U osnovi b nalazi se broj a 1 a 2 a 3. Za prijelaz u 10. sustav potrebno je svaku znamenku broja pomnožiti s b n, gdje je n broj znamenke. Dakle (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Primjer: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10
Pretvaranje iz decimala u druge
cijeli dio:- Cijeli dio decimalnog broja sukcesivno dijelimo s bazom sustava u koji prevodimo sve dok decimalni broj ne postane nula.
- Ostaci dobiveni dijeljenjem su znamenke željenog broja. Broj u novom sustavu bilježi se počevši od posljednjeg ostatka.
- Frakcijski dio decimalnog broja množi se s bazom sustava u koji želite prevesti. Odvajamo cijeli dio. Nastavljamo množiti razlomak s bazom novog sustava sve dok ne bude jednak 0.
- Brojevi u novom sustavu čine cijele dijelove rezultata množenja redoslijedom koji odgovara njihovom primitku.
15 \ 8 = 1, ostatak 7
1 \ 8 = 0, ostatak 1
Zapisujući sve ostatke odozdo prema gore, dobivamo konačni broj 17. Dakle, 15 10 = 17 8.
Pretvaranje iz binarnog u oktalno i heksadecimalno
Za pretvaranje u oktalni, podijelimo binarni broj u skupine od 3 znamenke s desna na lijevo, a krajnje znamenke koje nedostaju popunjavamo vodećim nulama. Zatim transformiramo svaku grupu uzastopnim množenjem znamenki s 2 n, gdje je n broj bita.Kao primjer, uzmite broj 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0+ 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8
Za pretvorbu u heksadecimalni, podijelimo binarni broj u skupine od 4 znamenke s desna na lijevo, a zatim - slično pretvorbi iz 2. u 8.
Pretvori iz oktalnog i heksadecimalnog sustava u binarni
Pretvorba iz oktalnog u binarni - svaku znamenku oktalnog broja pretvaramo u binarni 3-bitni broj dijeljenjem s 2 (za više detalja o dijeljenju pogledajte gornji odlomak "Pretvorba iz decimalnog u druge"), popunite kraj koji nedostaje znamenke s vodećim nulama.Na primjer, razmotrite broj 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Pretvorba iz 16. u 2. - pretvaramo svaki bit heksadecimalnog broja u binarni 4-bitni broj dijeljenjem s 2, popunjavamo krajnje znamenke koje nedostaju vodećim nulama.
Pretvorite razlomački dio bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni
Pretvorba se provodi na isti način kao i za cijele dijelove, osim što se znamenke broja množe s bazom na stepen “-n”, gdje n počinje s 1.
Primjer: 101 011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0 , 25 + 0,125) = 5,375 10
Pretvorite frakcijski dio binarnog sustava u 8. i 16
Prijevod razlomka izvodi se na isti način kao i za cijele dijelove broja, s jedinom iznimkom da podjela na skupine od 3 i 4 znamenke ide desno od decimalne točke, znamenke koje nedostaju se dopunjuju sa nulama na desnoj strani.Primjer: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11,2 8
Pretvorite razlomački dio decimalnog sustava u bilo koji drugi
Da biste preveli razlomak broja u druge brojevne sustave, trebate cijeli broj okrenuti na nulu i početi množiti rezultirajući broj s bazom sustava u koji želite prevesti. Ako se kao rezultat množenja ponovno pojave cjelobrojni dijelovi, moraju se vratiti na nulu, nakon što su prethodno zapamtili (zapisali) vrijednost rezultirajućeg cjelobrojnog dijela. Operacija završava kada frakcijski dio potpuno nestane.Na primjer, pretvorimo 10,625 10 u binarni:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapisujući sve ostatke od vrha prema dolje, dobivamo 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
1. Redni račun u raznim brojevnim sustavima.
U suvremenom životu koristimo se pozicionim brojevnim sustavima, odnosno sustavima u kojima broj označen brojem ovisi o položaju broja u brojevnom zapisu. Stoga ćemo u nastavku govoriti samo o njima, izostavljajući pojam "pozicioni".
Kako bismo naučili kako prevesti brojeve iz jednog sustava u drugi, shvatimo kako se događa sekvencijalno bilježenje brojeva koristeći decimalni sustav kao primjer.
Budući da imamo decimalni brojevni sustav, imamo 10 znakova (znamenaka) za konstruiranje brojeva. Počinjemo s rednim brojanjem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo brojnost broja i nulimo najmanji bitni bit: 10. Zatim opet povećavamo najmanji bitni bit dok ne ponestane svih znamenki: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećajte najznačajniji bit za 1, a nula najmanji: 20. Kada upotrijebimo sve znamenke za obje znamenke (dobijemo broj 99), ponovno povećavamo znamenkastost broja i resetujemo postojeće znamenke: 100. I tako dalje.
Pokušajmo učiniti isto u 2., 3. i 5. sustavu (upisat ćemo oznaku za 2. sustav, za 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ako brojevni sustav ima bazu veću od 10, tada ćemo morati unijeti dodatne znakove, uobičajeno je unositi slova latinične abecede. Na primjer, za 12-arni sustav, osim deset znamenki, potrebna su nam dva slova (s):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Pretvorba iz decimalnog brojevnog sustava u bilo koji drugi.
Za pretvaranje cjelobrojnog pozitivnog decimalnog broja u brojevni sustav s drugom bazom, trebate ovaj broj podijeliti s bazom. Dobiveni kvocijent ponovno podijelite s osnovom i dalje dok kvocijent ne bude manji od baze. Kao rezultat, napišite zadnji kvocijent i sve ostatke počevši od posljednjeg u jednom retku.
Primjer 1. Pretvaranje decimalnog broja 46 u binarni brojevni sustav.
Primjer 2. Pretvaranje decimalnog 672 u oktalni brojevni sustav.
Primjer 3. Pretvorite decimalni broj 934 u heksadecimalni zapis.
3. Pretvorba iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni.
Kako bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz bilo kojeg drugog sustava u decimalni, analizirajmo uobičajeni zapis decimalnog broja.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, t.j.
Potpuno ista situacija je i u drugim brojevnim sustavima, samo što ćemo množiti ne s 10, 100 itd., već sa stupnjem baze brojevnog sustava. Na primjer, uzmimo ternarni broj 1201. Numerimo znamenke s desna na lijevo počevši od nule i predstavimo naš broj kao zbroj umnožaka znamenke s tri u stupnju znamenke broja:
Ovo je decimalni prikaz našeg broja, tj.
Primjer 4. Pretvaranje oktalnog broja 511 u decimalni zapis.
Primjer 5. Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sustav.
4. Pretvorba iz binarnog sustava u sustav s bazom "potencijal dvojke" (4, 8, 16 itd.).
Za pretvaranje binarnog broja u broj s osnovom "potencijal dva", potrebno je binarni niz podijeliti u grupe prema broju znamenki jednakom stupnju s desna na lijevo i svaku grupu zamijeniti odgovarajućom znamenkom novi brojevni sustav.
Na primjer, Pretvorite binarni 1100001111010110 u oktalni. Da bismo to učinili, podijelimo ga u grupe od 3 znaka, počevši s desne strane (od), a zatim koristimo tablicu korespondencije i zamijenimo svaku grupu novom znamenkom:
Naučili smo kako napraviti tablicu korespondencije u klauzuli 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Oni.
Primjer 6. Pretvori binarni 1100001111010110 u heksadecimalni broj.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Prijenos iz sustava s bazom "potencijal dvojke" (4, 8, 16 itd.) u binarni.
Ovaj prijevod je sličan prethodnom, izveden u suprotnom smjeru: svaku znamenku zamjenjujemo grupom znamenki u binarnom sustavu iz pregledne tablice.
Primjer 7. Prevedimo heksadecimalni broj S3A6 u binarni brojevni sustav.
Da biste to učinili, zamijenite svaku znamenku broja grupom od 4 znamenke (od) iz tablice korespondencije, dodajući, ako je potrebno, skupinu s nulama na početku:
Metodički komentar lekcije
Ciljevi nastavnika: Ukazati učenicima na metode integriranja znanja iz različitih izvora, stvoriti uvjete za produktivan rad u skupinama.
Ciljevi učenika: Upoznati povijest nastanka brojevnih sustava, naučiti principe izgradnje različitih brojevnih sustava i područja njihove uporabe, steći potrebne vještine timskog rada s različitim izvorima informacija.
Na satu matematike u 5. razredu, prilikom rješavanja zadatka vezanog uz rastavljanje višeznamenkastih brojeva, učenici su imali pitanja: „Zašto brojimo u deseticama? Zašto to ne možete računati drugačije? Postoje li drugi načini brojanja?" Učiteljica je zamoljena da odgovore na ova pitanja pronađe tražeći, analizirajući i sažimajući informacije o ovoj temi tijekom tjedna, radeći u malim grupama formiranim od učenika razreda po želji. Rezultate ovog rada treba formalizirati i prezentirati na satu matematike za tjedan dana. Na kraju sata, razred je podijeljen u sljedeće kreativne grupe:
- Brojevni sustavi (opći koncepti) - 5 osoba
- Binarni sustav - 7 ljudi (ovo je pitanje izazvalo najviše interesa)
- Heksagesimalni sustav - 5 osoba
- Decimalni sustav - 5 osoba
- Ostali brojčani sustavi - 3 osobe
- Prebacivanje iz jednog sustava u drugi - 5 ljudi.
Kao rezultat aktivnosti pretraživanja učenika dobivena je sljedeća lekcija:
“Brojevi ne vladaju svijetom, već pokazuju kako se svijetom upravlja”
(I-In Goethe)
Grupe učenika prezentirale su rezultate tragačkog i analitičkog rada.
I - Opći pojmovi
Brojčani sustav je skup tehnika za označavanje brojeva – jezik čija su abeceda simboli (brojevi), a sintaksa je pravilo koje vam omogućuje da nedvosmisleno formulirate broj.
Broj je neki apstraktni entitet za opisivanje količine
Znamenka je znak koji se koristi za pisanje brojeva. Brojevi su različiti, najčešći su arapski brojevi; manje uobičajeni rimski brojevi (mogu se vidjeti na brojčaniku sata ili u oznaci stoljeća)
Baza je broj znamenki korištenih u brojevnom sustavu.
Primjeri brojeva u različitim brojevnim sustavima:
11001 2 - broj u binarnom zapisu
221 3 - broj u ternarnom brojevnom sustavu
31 8 - broj u oktalnom zapisu
25 10 - broj u decimalnom zapisu
U starim knjigama iz aritmetike, osim 4 računske operacije, spominje se i peta – numeriranje. Brojanje (mrtvo računanje) bilo je jedan od prvih problema s kojima se susreće u konstrukciji aritmetike.
Postoji mnogo načina za pisanje brojeva pomoću brojeva. Ove metode se mogu podijeliti u tri skupine:
- pozicioni brojevni sustavi
- mješoviti brojevni sustavi
- nepozicijski brojevni sustavi
Novčanice su primjer mješovitog brojevnog sustava. Sada se u Rusiji koriste kovanice i novčanice sljedećih apoena: 1kop., 5kop., 10kop., 50kop., 1RUB., 2RUB., 5RUB., 10RUB., 50RUB., 100RUB., 500RUB., 1000RUB. 5000 RUB. Da biste dobili određeni iznos u rubljama, trebate upotrijebiti određenu količinu novčanica različitih apoena. Pretpostavimo da kupujemo usisivač koji košta 6379 rubalja. Za plaćanje kupnje trebat će vam 6 novčanica od 1000 rubalja, 3 novčanice od 100 rubalja, 1 novčanica od pedeset rubalja, dvije desetke, jedna od pet rubalja i dva novčića od 2 rublja. Ako zapišemo broj novčanica i kovanica, počevši od 100 rubalja i završavajući s jednom kopejkom, zamjenjujući nedostajuće apoene s nulama, tada ćemo dobiti broj predstavljen u mješovitom brojevnom sustavu: u našem slučaju - 603121200000.
U nepozicionim brojevnim sustavima vrijednost broja ne ovisi o položaju znamenki u brojevnom zapisu. Kad bismo pomiješali brojeve u broju 603121200000, onda ne bismo mogli shvatiti koliko košta usisavač; u nepozicijskom sustavu, brojevi se mogu preurediti bez promjene iznosa. Primjer nepozicioniranog sustava je rimski sustav. Takvi su sustavi izgrađeni na principu aditivnosti (engleski add. - zbroj). Kvantitativni ekvivalent broja definiran je kao zbroj znamenki. Na primjer:
U pozicionim brojevnim sustavima redoslijed znamenki u zapisu brojeva uvijek je važan. (25 i 52 su različiti brojevi)
Svaki brojevni sustav namijenjen za praktičnu upotrebu mora osigurati:
- sposobnost predstavljanja broja u zadanom rasponu brojeva
- nedvosmisleno izlaganje
- kratkoća i jednostavnost snimanja
- jednostavnost svladavanja sustava, kao i jednostavnost i praktičnost upravljanja njime
II - Binarni brojevni sustav
Binarni brojevni sustav je pozicijski brojevni sustav s bazom 2. U ovom brojevnom sustavu prirodni brojevi se pišu pomoću dva znaka: 1 i 0. Broj u binarnom sustavu je bit. Osam znamenki je bajt.
Binarni brojevni sustav izumili su matematičari i filozofi još u 17.-19. stoljeću. Ugledni matematičar Leibniz je rekao: "Računanje uz pomoć dvojki... je osnovno za znanost i dovodi do novih otkrića... Kada se brojevi svedu na najjednostavnije principe, a to su 0 i 1, posvuda se pojavljuje divan poredak" . Kasnije je binarni sustav zaboravljen, a tek je 1936.-1938. američki inženjer i matematičar Claude Shannon pronašao prekrasnu primjenu binarnog sustava u dizajnu elektroničkih sklopova.
Binarni sustav se koristi u digitalnim uređajima jer je najjednostavniji.
Prednosti binarnog sustava:
- Što manje vrijednosti postoji u sustavu, lakše je proizvesti pojedinačne elemente koji rade s tim vrijednostima. Dva se broja lako predstavljaju fizičkim pojavama: postoji struja - nema struje; je indukcija magnetskog polja veća od granične vrijednosti ili ne, itd.
- Što je element manji broj stanja, to je veća otpornost na buku i brže može raditi.
- Binarna aritmetika je prilično jednostavna.
- Moguće je koristiti logički aparat za izvođenje bitskih operacija
Za pretvorbu iz binarnog u decimalni, upotrijebite tablicu snaga od 2.
III - Heksagesimalni brojevni sustav
U moderno doba seksagezimalni brojevni sustav koristi se za mjerenje vremena, kutova.
U prikazu vremena koriste se tri pozicije: sati, minute, sekunde, budući da za svaku poziciju morate koristiti 60 znamenki, a imamo samo 10, tada se za svaki seksagezimalni položaj koriste dvije decimalne znamenke (00, 01, . ..), pozicije su odvojene dvotočkom. h: m: s.
Razmotrimo radnje u seksagezimskom brojevnom sustavu na dva problema:
- Pitu je potrebno peći u pećnici 45 minuta. Koliko će to sekundi trajati?
- Potrebno je ispeći 10 pita. Koliko će to trajati?
Za izračune u seksagezimskom brojevnom sustavu morate poznavati tablice zbrajanja i množenja seksagezimalnih brojeva. Svaka tablica je jako velika, veličine je 60 * 60, jedva smo se sjetili uobičajene tablice množenja, a bit će nam još teže naučiti tablicu šezdesetih. Kako biti? Ove probleme možete riješiti u decimalnom zapisu, a zatim rezultat prevesti u šestagezimalni.
45 minuta = 0 * 3600 + 45 * 60 + 0 = 2700 sekundi
2700 * 10 = 27 000 sekundi potrebno je da se ispeče 10 pita.
27000/60 = 450 (ostatak 0)
450/60 = 7 (ostatak 30)
7/60 = 0 (ostatak 7) Ispalo je 07:30:00
IV - Decimalni brojevni sustav
Predstavljanje brojeva arapskim brojevima najčešći je pozicijski brojevni sustav, naziva se "dekadski brojevni sustav". Naziva se decimalnim jer koristi deset znamenki: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Dekadski brojevni sustav najpoznatije je postignuće indijske matematike (595). Sustav baze 10 prodro je karavanskim putevima od Indije do mnogih područja Bliskog istoka. Postupno se ovaj sustav sve više koristio u arapskom svijetu, iako su drugi sustavi ostali u uporabi u isto vrijeme. “Knjiga o abakusu” Leonarda iz Pize (1202.) bila je jedan od izvora za prodor indoarapskoga brojevnog sustava u zapadnu Europu. Ova je knjiga bila kolosalno djelo u to vrijeme, u tiskanom obliku imala je 460 stranica. Njegov je autor poznat i pod imenom Fibonacci. Njegova knjiga predstavljala je matematičku enciklopediju svog vremena. Decimalni sustav postao je raširen i priznat u Europi tek tijekom renesanse.
V - Ostali brojevni sustavi
Heksadecimalni brojevni sustav - za pisanje brojeva koriste se sljedeći znakovi: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binarno-decimalni brojevni sustav. U takvom sustavu svaka decimalna znamenka je kodirana specifičnom kombinacijom znamenki u binarnom sustavu. Oznaka svake decimalne znamenke naziva se bilježnica. Primjer:
125 10 = 000100100101 2-10 (3 tetrade)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Peterostruki brojevni sustav - Prvi matematičari mogli su brojati samo na prste jedne ruke, a ako je bilo više objekata, rekli su: "pet + jedan" itd. Ponekad se kao osnova uzimao broj 20 - broj prstiju na rukama i nogama. Od 307 brojevnih sustava primitivnih američkih naroda, 146 je bilo decimalno, 106 je bilo peterostruko i decimalno. U karakterističnijem obliku, sustav baza 20 postojao je među Majama u Meksiku i Keltima u Europi.
VI - Prijenos iz jednog sustava u drugi
Jesu li sustavi brojeva povezani? Je li moguće prenijeti broj iz jednog sustava u drugi? Postoje dva osnovna pravila za prijenos iz jednog sustava u drugi:
Pretvorba iz bilo kojeg drugog u decimalni sustav provodi se prema formulama:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Pretvaranje broja iz decimalnog sustava u sustav s bilo kojom bazom provodi se prema algoritmu:
Pretvori 25 10 u binarno
25/2 = 12 (ostatak 1)
12/2 = 6 (ostatak 0)
6/2 = 3 (ostatak 0)
3/2 = 1 (ostatak 1)
1/2 = 0 (ostatak 1) Primio broj 11001 2
25 10 pretvoriti u ternarni broj
25/3 = 8 (ostatak 1)
8/3 = 2 (ostatak 2)
2/3 = 0 (ostatak 2) Primljeno 221 3
Pretvorite 25 10 u oktalni broj
25/8 = 3 (ostatak 1)
3/8 = 0 (ostatak 3) Primljeno 31 8
Nakon predstavljanja rezultata rada kreativnih skupina, svi brojevni sustavi ocijenjeni su prema kriterijima navedenim na početku, te su svi došli do zaključka da je kao rezultat povijesnog razvoja matematike najpogodniji sustav (decimalni) postala je najrasprostranjenija. U isto vrijeme, bilo je gorljivih pristaša binarnog sustava, koji su vjerovali da je on vrlo važan za elektroniku.
Sat je bio gotov sinkvin.
Brojčani sustav - zgodan, brz, pomaže, broji, zapisuje
"Računanje i računanje je osnova reda u glavi" (I. Pestalozzi)
Izvori informacija
- D.Ya. Stroyk "Kratka skica povijesti matematike" ("Znanost", Moskva, 1990.).
- N. Ya. Vilenkin, L.P. Šibasov, Z.F. Shibasov „Iza stranica udžbenika matematike“ („Prosvjeta“, Moskva, 2008).
- A.V. Dorofejeva „Stranice povijesti u nastavi matematike“ („Prosvjeta“, Moskva, 2007.).
- Internetski resursi "Wikipedia".
Kalkulator vam omogućuje pretvaranje cijelih i razlomaka iz jednog brojevnog sustava u drugi. Osnova brojevnog sustava ne može biti manja od 2 i veća od 36 (ipak 10 znamenki i 26 latiničnih slova). Brojevi mogu imati do 30 znakova. Koristite simbol za unos razlomaka. ili, . Da biste broj pretvorili iz jednog sustava u drugi, unesite izvorni broj u prvo polje, bazu izvornog brojevnog sustava u drugo i bazu brojevnog sustava u koji želite prevesti broj u treće polje, i zatim kliknite gumb "Nabavi zapis".
Originalni broj zabilježeno u 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -ti brojevni sustav.
Želim dobiti zapis o broju 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti brojevni sustav.
Nabavite zapis
Dovršeni prijevodi: 1419274
Brojevni sustavi
Brojevni sustavi podijeljeni su u dvije vrste: pozicijski i ne pozicijski... Koristimo se arapskim sustavom, on je pozicijski, a postoji i rimski - samo nije pozicijski. U pozicionim sustavima, pozicija znamenke u broju jednoznačno određuje vrijednost tog broja. To je lako razumjeti razmatranjem primjera broja.
Primjer 1... Uzmimo broj 5921 u decimalnom zapisu. Numerimo broj s desna na lijevo počevši od nule:
Broj 5921 može se zapisati u sljedećem obliku: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Broj 10 je karakteristika koja određuje brojevni sustav. Vrijednosti položaja zadanog broja uzimaju se kao stupnjevi.
Primjer 2... Razmotrimo pravi decimalni broj 1234.567. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalne točke lijevo i desno:
Broj 1234,567 može se napisati u sljedećem obliku: 1234,567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 + 1 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi
Najjednostavniji način prijenosa broja iz jednog brojevnog sustava u drugi je prevođenje broja prvo u decimalni brojevni sustav, a zatim dobiveni rezultat u traženi brojevni sustav.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav
Za pretvaranje broja iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni, dovoljno je numerirati njegove znamenke, počevši od nule (mjesta lijevo od decimalne točke) slično primjerima 1 ili 2. Nađimo zbroj proizvoda znamenki broja po osnovici brojevnog sustava na stepenu položaja ove znamenke:
1.
Pretvorite broj 1001101.1101 2 u decimalni zapis.
Riješenje: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Pretvorite E8F.2D 16 u decimalni zapis.
Riješenje: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3721,2510
Odgovor: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav
Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav, cijeli broj i razlomak broja moraju se prevesti zasebno.
Pretvaranje cjelobrojnog dijela broja iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav
Cijeli dio se pretvara iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav redoslijedom dijeljenja cijelog dijela broja s bazom brojevnog sustava dok se ne dobije cijeli ostatak, koji je manji od baze brojevnog sustava. Rezultat prijenosa bit će unos sa stanja, počevši od posljednjeg.
3.
Pretvorite broj 273 10 u oktalni brojevni sustav.
Riješenje: 273/8 = 34 i ostatak 1, 34/8 = 4 i ostatak 2, 4 manji je od 8, pa su izračuni gotovi. Zapis iz ostataka izgledat će ovako: 421
Ispitivanje: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, rezultat je isti. To znači da je prijevod urađen ispravno.
Odgovor: 273 10 = 421 8
Razmotrimo prijevod točnih decimalnih razlomaka u različitim brojevnim sustavima.
Pretvaranje razlomka broja iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav
Podsjetimo da se zove točan decimalni razlomak realni broj s nultim cijelim dijelom... Da biste takav broj pretvorili u osnovni N brojevni sustav, trebate uzastopno množiti broj s N sve dok razlomak ne bude nula ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Ako se tijekom množenja dobije broj s cijelim dijelom koji je različit od nule, tada se cijeli broj dalje ne uzima u obzir, jer se sekvencijalno unosi u rezultat.
4.
Pretvori binarni broj 0,125 10.
Riješenje: 0,125 2 = 0,25 (0 je cijeli broj, koji će postati prva znamenka rezultata), 0,25 2 = 0,5 (0 je druga znamenka rezultata), 0,5 2 = 1,0 (1 je treća znamenka rezultata , a budući da je razlomak jednak nuli , onda je prijevod potpun).
Odgovor: 0.125 10 = 0.001 2
