Može li rang matrice biti jednak nuli. Koncept matričnog ranga

“Ako želiš naučiti plivati, slobodno uđi u vodu, a ako želiš učiti rješavati probleme, onda riješiti ih.»
D. Poya (1887.-1985.)

(Matematičar. Dao je veliki doprinos popularizaciji matematike. Napisao je nekoliko knjiga o rješavanju problema i učenju rješavanja problema.)

Razmotrimo matricu

Odaberimo u njemu k-linije i k-stupci (k≤ (min (m, n))). Od elemenata na sjecištu odabranih redaka i stupaca sastavljamo determinantu k-ti narudžba. Sve takve odrednice nazivaju se minori ove matrice.

Razmotrimo sve moguće minore matrice A različit od nule.

Po rangu matrice A naziva se najvećim redom minora ove matrice, osim nule.

Ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tada se uzima da je rang ove matrice jednak nuli.

Poziva se minor, čiji redoslijed određuje rang matrice Osnovni, temeljni.

Matrica može imati nekoliko osnovnih minora.

Matrični rang A označeno r (A)... Ako r (A) = r (B), zatim matrice A i V se zovu ekvivalent. Pisati A̴∼V.

Svojstva rangiranja matrice:

1. Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja.
2. Ako izbrišete nulti red (stupac) iz matrice, tada se rang matrice neće promijeniti.
3. Rang matrice se ne mijenja pod elementarnim transformacijama matrice.

Elementarne transformacije podrazumijevaju se na sljedeći način:

• Permutacija redaka matrice;
• Množenje niza brojem koji nije nula;
• Dodavanje elementima jednog retka odgovarajućih elemenata drugog reda, pomnoženih proizvoljnim brojem.

Prilikom izračunavanja ranga matrice mogu se koristiti elementarne transformacije, metoda svođenja matrice na stepenasti oblik i metoda obrubljivanja minora.

Metoda svođenja matrice na stepenastu oblik je da se uz pomoć elementarnih transformacija ova matrica svodi na matricu koraka.

Matrica se zove stupio ako je u svakom njegovom retku prvi element različit od nule udesno nego u prethodnom (tj. dobiju se koraci, visina svakog koraka mora biti jednaka jedan).

Primjeri stepenastih matrica:

Primjeri matrica bez koraka:

PRIMJER: Pronađite rang matrice:

RIJEŠENJE:

Svedujmo ovu matricu na stepenastu pomoću elementarnih transformacija.

1. Promijenimo mjesta prvog i trećeg retka.

2. Dobivamo u prvom stupcu nule ispod jedan.

Ako drugom redu dodamo prvo pomnoženo s (-3), trećem - prvo pomnoženo s (-5), četvrtom - prvo pomnoženo s (-3), dobivamo

Kako bi vam bilo jasnije gdje još trebate dobiti nule, nacrtajmo korake u matrici. (Matrica će biti stepenasta ako se posvuda ispod stepenica nalaze nule)

3. Dodajući trećem redu drugu, pomnoženu s (-1), četvrtu - drugu, pomnoženu s (-1), dobivamo nule ispod koraka u drugom stupcu.

Ako ponovno nacrtamo korake, vidjet ćemo da je matrica stepenasta.

Njegov rang je r = 3(broj redaka stepenaste matrice, u svakoj od kojih je barem jedan element različit od nule). Stoga je rang ove matrice r = 3.

Rješenje se može napisati ovako:

(Rimski brojevi označavaju brojeve redaka)

Odgovor: r = 3.

Manja narudžba k + 1 koji sadrži maloljetnik reda k pozvao graniči minor.

Metoda graničnih maloljetnika temelji se na činjenici da je rang zadane matrice jednak redu takvog minora ove matrice, koji je različit od nule, a svi minori koji graniče s njom jednaki su nuli.

Definicija. Po rangu matrice je maksimalni broj linearno neovisnih linija koje se smatraju vektorima.

Teorem 1 o rangu matrice. Po rangu matrice je maksimalni poredak različitog od nule minor matrice.

Već smo na satu analizirali pojam minora pomoću odrednica, a sada ćemo ga generalizirati. Uzmimo u matricu neke retke i neke stupce, a taj "neki" bi trebao biti manji od broja redaka i stupaca matrice, a za retke i stupce ovaj "neki" bi trebao biti isti broj. Zatim će na sjecištu nekih redaka i koliko stupaca biti matrica nižeg reda od naše izvorne matrice. Determinanta ove matrice bit će minor k-tog reda ako se spomenuti "neki" (broj redaka i stupaca) označi s k.

Definicija. manji ( r+1) ti red, unutar kojeg se nalazi odabrani maloljetnik r--ti red naziva se graniči za dati minor.

Dvije najčešće korištene su pronalaženje ranga matrice... Ovaj granični maloljetnički način i metoda elementarnih transformacija(po Gaussovoj metodi).

Sljedeći teorem koristi se za metodu graničnih minora.

Teorem 2 o rangu matrice. Ako je od elemenata matrice moguće sastaviti mol r reda, nije jednak nuli, tada je rang matrice r.

U metodi elementarnih transformacija koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se elementarnim transformacijama dobije trapezoidna matrica koja je ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj redaka u njemu, osim redaka koji se u potpunosti sastoje od nula.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora

Granični minor je minor višeg reda u odnosu na dati, ako ovaj minor višeg reda sadrži dati minor.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

graničit će se sa sljedećim maloljetnicima:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice Sljedeći.

1. Pronađite minore koji nisu nula drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, onda sastavite granične minore trećeg reda. Ako su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od graničnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore. Ako su svi granični minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je rang matrice tri ( r =2 ).

4. Nastavite sve dok veličina matrice dopušta.

Primjer 1. Pronađite rang matrice

.

Riješenje. Minor drugog reda .

Uokvirujemo ga. Bit će četiri granična maloljetnika:

,

,

Dakle, svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice jednak dva ( r =2 ).

Primjer 2. Pronađite rang matrice

Riješenje. Rang ove matrice je 1, budući da su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovome, kao iu slučaju graničnih minora u sljedeća dva primjera, dragi studenti su pozvani da sami provjere, moguće korištenjem pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, nema jednakih nuli.

Primjer 3. Pronađite rang matrice

Riješenje. Minor drugog reda ove matrice, u svim minorima trećeg reda ove matrice jednaki su nuli. Stoga je rang ove matrice dva.

Primjer 4. Pronađite rang matrice

Riješenje. Rang ove matrice je 3, budući da je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussova metoda)

Već u primjeru 1 može se vidjeti da problem određivanja ranga matrice metodom obrubljivanja minora zahtijeva izračunavanje velikog broja determinanti. Međutim, postoji način da se količina računanja svede na minimum. Ova metoda temelji se na korištenju elementarnih matričnih transformacija, a naziva se i Gaussova metoda.

Elementarne matrične transformacije shvaćaju se kao sljedeće operacije:

1) množenje bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice s brojem koji nije nula;

2) dodavanje elementima bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice odgovarajućih elemenata drugog retka ili stupca, pomnoženih s istim brojem;

3) izmjena dva reda ili stupca matrice;

4) uklanjanje "nula" linija, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija, osim jedne.

Teorema. Elementarna transformacija ne mijenja rang matrice. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A otišao u matricu B, zatim .

Određivanje ranga matrice

Razmotrimo matricu \ (A \) tipa \ ((m, n) \). Neka je, radi određenosti, \ (m \ leq n \). Uzmite \ (m \) redaka i odaberite \ (m \) stupaca matrice \ (A \), na sjecištu ovih redaka i stupaca dobivamo kvadratnu matricu reda \ (m \), čija je determinanta pozvao manja narudžba \ (m \) matrice \ (A \). Ako je ovaj minor različit od 0, poziva se bazni mol i kažu da je rang matrice \ (A \) \ (m \). Ako je ova determinanta jednaka 0, tada se biraju drugi \ (m \) stupci, na njihovom sjecištu nalaze se elementi koji tvore drugi minor reda \ (m \). Ako je minor 0, nastavljamo postupak. Ako među svim mogućim minorima reda \ (m \) nema nenultih, biramo \ (m-1 \) retke i stupce iz matrice \ (A \), na njihovom presjeku nastaje kvadratna matrica reda \ (m-1 \), njegova se determinanta naziva minor reda \ (m-1 \) izvorne matrice. Nastavljajući postupak, tražimo minor različit od nule, ponavljajući sve moguće minore, snižavajući njihov redoslijed.

Definicija.

Nenulti minor zadane matrice najvišeg reda naziva se bazni mol izvorna matrica, naziva se njezin red rang matrice \ (A \), redovi i stupci, na čijem se presjeku nalazi osnovni minor, nazivaju se osnovnim redovima i stupcima. Rang matrice se označava sa \ (rang (A) \).

Ova definicija implicira jednostavna svojstva ranga matrice: ona je cijeli broj, a rang matrice različite od nule zadovoljava nejednakosti: \ (1 \ leq rang (A) \ leq \ min (m, n) \).

Kako će se promijeniti rang matrice ako se red izbriše? Dodati neki redak?

Provjerite odgovor

1) Rang se može smanjiti za 1.

2) Rang se može povećati za 1.

Linearna ovisnost i linearna neovisnost matričnih stupaca

Neka je \ (A \) matrica tipa \ ((m, n) \). Razmotrimo stupce matrice \ (A \) - to su stupci od \ (m \) brojeva svaki. Označimo ih \ (A_1, A_2, ..., A_n \). Neka su \ (c_1, c_2, ..., c_n \) neki brojevi.

Definicija.

Stupac \ [D = c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_nA_n = \ zbroj _ (m = 1) ^ nc_mA_m \] naziva se linearna kombinacija stupaca \ (A_1, A_2, ..., A_n \), brojeva \ (c_1, c_2 , ..., c_n \) nazivaju se koeficijenti ove linearne kombinacije.

Definicija.

Neka su dati \ (p \) stupci \ (A_1, A_2, ..., A_p \). Ako postoje brojevi \ (c_1, c_2, ..., c_p \) takvi da

1. nisu svi ovi brojevi nula,

2.linearna kombinacija \ (c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_pA_p = \ zbroj _ (m = 1) ^ pc_mA_m \) jednaka je nultom stupcu (tj. stupcu čiji su svi elementi nuli), tada su recimo da su stupci \ ( A_1, A_2, ..., A_p \) linearno ovisni. Ako za dati skup stupaca takvi brojevi \ (c_1, c_2, ..., c_n \) ne postoje, za stupce se kaže da su linearno neovisni.

Primjer. Razmotrite 2 stupca

\ [A_1 = \ lijevo (\ početak (niz) (c) 1 \\ 0 \ kraj (niz) \ desno), A_2 = \ lijevo (\ početak (niz) (c) 0 \\ 1 \ kraj (niz) \ desno), \] tada za bilo koje brojeve \ (c_1, c_2 \) imamo: \ [c_1A_1 + c_2A_2 = c_1 \ lijevo (\ početak (niz) (c) 1 \\ 0 \ kraj (niz) \ desno) + c_2 \ lijevo (\ početak (niz) (c) 0 \\ 1 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (c) c_1 \\ c_2 \ kraj (niz) \ desno). \]

Ova linearna kombinacija jednaka je nultom stupcu ako i samo ako su oba broja \ (c_1, c_2 \) jednaka nuli. Dakle, ovi stupci su linearno neovisni.

Izjava. Da bi stupci bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

Neka su stupci \ (A_1, A_2, ..., A_m \) linearno ovisni, t.j. za neke konstante \ (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _m \), od kojih nisu sve jednake 0, izvršava se sljedeće: \ [\ sum _ (k = 1) ^ m \ lambda _kA_k = 0 \ ] (desno - nulti stupac). Na primjer, neka \ (\ lambda _1 \ neq 0 \). Tada \ [A_1 = \ zbroj _ (k = 2) ^ mc_kA_k, \ quad c_k = - \ lambda _k / \ lambda _1, \ quad \ quad (15) \] tj. prvi stupac je linearna kombinacija ostalih.

Osnovni manji teorem

Teorema.

Za bilo koju matricu različitu od nule \ (A \) vrijedi sljedeće:

1. Osnovni stupovi su linearno neovisni.

2. Bilo koji stupac matrice je linearna kombinacija njegovih osnovnih stupaca.

(Isto vrijedi i za žice.)

Neka je, radi određenosti, \ ((m, n) \) tip matrice \ (A \), \ (rang (A) = r \ leq n \) i bazni minor se nalazi u prvom \ ( r \) matrice redaka i stupaca \ (A \). Neka je \ (s \) bilo koji broj između 1 i \ (m \), \ (k \) bilo koji broj između 1 i \ (n \). Razmotrimo molitelj sljedećeg oblika: \ [D = \ lijevo | \ begin (niz) (ccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & a_ (1s) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & a_ (2s) \\ \ točke & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (r1) & a_ (r2) & \ ldots & a_ (rr) & a_ (rs) \\ a_ (k1) & a_ (k2) & \ ldots & a_ (kr) & a_ (ks) \\ \ kraj (niz) \ desno | , \] tj dodijelili smo \ (s - \)-ti stupac i \ (k - \)-ti red osnovnom molu. Prema definiciji ranga matrice, ova determinanta je jednaka nuli (ako smo odabrali \ (s \ leq r \) ili \ (k \ leq r \), tada ovaj minor ima 2 identična stupca ili 2 identična reda, ako \ (s> r \) i \ (k> r \) - prema definiciji ranga, minor veličine veće od \ (r \) nestaje). Ovu determinantu proširimo zadnjim redom, dobivamo: \ [a_ (k1) A_ (k1) + a_ (k2) A_ (k2) + .... + a_ (kr) A_ (kr) + a_ (ks) A_ (ks ) = 0. \ quad \ quad (16) \]

Ovdje su brojevi \ (A_ (kp) \) algebarski komplementi elemenata iz donjeg reda \ (D \). Njihove vrijednosti ne ovise o \ (k \), budući da formiraju se pomoću elemenata iz prvih \ (r \) redaka. U ovom slučaju, količina \ (A_ (ks) \) je bazni minor različit od 0. Označite \ (A_ (k1) = c_1, A_ (k2) = c_2, ..., A_ (ks) = c_s \ neq 0 \). Zapišimo novim zapisom (16): \ [c_1a_ (k1) + c_2a_ (k2) + ... + c_ra_ (kr) + c_sa_ (ks) = 0, \] ili, dijeleći s \ (c_s \), \ [ a_ (ks) = \ lambda_1a_ ​​(k1) + \ lambda_2a_ (k2) + ... + \ lambda_ra_ (kr), \ quad \ lambda _p = -c_p / c_s. \] Ova jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost \ (k \), pa \ [a_ (1s) = \ lambda_1a_ ​​(11) + \ lambda_2a_ (12) + ... + \ lambda_ra_ (1r), \] \ [a_ (2s) = \ lambda_1a_ ​​(21) + \ lambda_2a_ (22) + ... + \ lambda_ra_ (2r), \] \ [................ .... .................................... \] \ [a_ (ms) = \ lambda_1a_ ​​(m1) + \ lambda_2a_ (m2) + ... + \ lambda_ra_ (mr). \] Dakle, \ (s - \) ti stupac je linearna kombinacija prvih \ (r \) stupaca. Teorem je dokazan.

Komentar.

Iz osnovnog manjeg teorema proizlazi da je rang matrice jednak broju njezinih linearno neovisnih stupaca (koji je jednak broju linearno neovisnih redaka).

Posljedica 1.

Ako je determinanta nula, tada ima stupac koji je linearna kombinacija preostalih stupaca.

Posljedica 2.

Ako je rang matrice manji od broja stupaca, tada su stupci matrice linearno ovisni.

Izračunavanje ranga matrice i pronalaženje osnovnog minora

Neke transformacije matrice ne mijenjaju njezin rang. Takve se transformacije mogu nazvati elementarnim. Odgovarajuće činjenice lako je provjeriti korištenjem svojstava determinanti i definicije ranga matrice.

1. Preuređenje stupaca.

2. Množenje elemenata stupca s faktorom koji nije nula.

3. Dodavanje stupcu bilo kojeg drugog stupca pomnoženog proizvoljnim brojem.

4. Precrtavanje nulte kolone.

Isto vrijedi i za žice.

Pomoću ovih transformacija matrica se može transformirati u takozvani "trapezoidni" oblik - matricu, ispod čije se glavne dijagonale nalaze samo nule. Za "trapezoidnu" matricu, rang je broj nenultih unosa na glavnoj dijagonali, a bazni minor je minor čija se dijagonala poklapa sa skupom nenultih unosa na glavnoj dijagonali transformirane matrice.

Primjer. Razmotrimo matricu

\ [A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ kraj (niz) \ desno). \] Preobrazit ćemo ga pomoću gornjih transformacija. \ [A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \ \ 2 & -1 & 5 & -6 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \] \ [\ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ kraj (niz) \ desno) \ mapsto \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \ kraj (niz) \ desno). \]

Ovdje poduzimamo sljedeće korake uzastopno: 1) preurediti drugi red prema gore, 2) oduzeti prvi red od ostatka s odgovarajućim faktorom, 3) oduzeti drugi red od trećeg 4 puta, dodati drugi red u četvrti, 4) izbrišite nulte linije - treći i četvrti ... Naša konačna matrica dobila je željeni oblik: na glavnoj dijagonali nalaze se brojevi različiti od nule, a ispod glavne dijagonale nule. Nakon toga, postupak se zaustavlja i broj nenultih elemenata na glavnoj dijagonali jednak je rangu matrice. Osnovni mol su prva dva retka i prva dva stupca. Na njihovu presjeku nalazi se matrica reda 2 s determinantom različitom od nule. U ovom slučaju, vraćajući se duž lanca transformacija u suprotnom smjeru, može se pratiti gdje je nastao ovaj ili onaj red (ovaj ili onaj stupac) u konačnoj matrici, t.j. odrediti osnovne retke i stupce u izvornoj matrici. U ovom slučaju, prva dva retka i prva dva stupca čine osnovni mol.

Za rad s konceptom ranga matrice potrebni su nam podaci iz teme "Algebarski komplementi i minori. Vrste minora i algebarski komplementi". Prije svega, to se odnosi na pojam "matrix minor", budući da će se rang matrice odrediti upravo kroz minore.

Po rangu matrice naziva se maksimalni red njegovih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.

Ekvivalentne matrice- matrice čiji su rangovi međusobno jednaki.

Objasnimo detaljnije. Pretpostavimo da među minorima drugog reda postoji barem jedan minor različit od nule. I svi maloljetnici, čiji je red veći od dva, jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 2. Ili, na primjer, među minorima desetog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli. A svi maloljetnici čiji je red veći od 10 jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 10.

Rang matrice $ A $ označava se kao $ \ rang A $ ili $ r (A) $. Pretpostavlja se da je rang nulte matrice $ O $ nula, $ \ rang O = 0 $. Podsjetim da je za formiranje minora matrice potrebno prekrižiti retke i stupce, ali je nemoguće prekrižiti više redaka i stupaca nego što sama matrica sadrži. Na primjer, ako je matrica $F$ $5 \ puta 4 $ (tj. sadrži 5 redaka i 4 stupca), tada je maksimalni redoslijed njezinih minora četiri. Više neće biti moguće formirati minore petog reda, jer će za njih biti potrebno 5 stupaca (a mi imamo samo 4). To znači da rang matrice $ F $ ne može biti veći od četiri, tj. $ \ rang F≤4 $.

U općenitijem obliku, gore navedeno znači da ako matrica sadrži $ m $ redaka i $ n $ stupaca, tada njezin rang ne može premašiti najmanji od brojeva $ m $ i $ n $, tj. $ \ rang A≤ \ min (m, n) $.

U principu, iz same definicije ranga slijedi način njegovog pronalaženja. Proces pronalaženja ranga matrice po definiciji može se shematski prikazati na sljedeći način:

Detaljnije ću objasniti ovaj dijagram. Počnimo razmišljati od samog početka, t.j. s minorima prvog reda neke matrice $ A $.

1. Ako su svi minori prvog reda (tj. elementi matrice $ A $) jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 0 $. Ako među minorima prvog reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 1 $. Prijeđimo na provjeru maloljetnika drugog reda.
2. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 1 $. Ako među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 2 $. Prijeđimo na provjeru maloljetnika trećeg reda.
3. Ako su svi minori trećeg reda jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 2 $. Ako među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 3 $. Prijeđimo na provjeru minora četvrtog reda.
4. Ako su svi minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je $ \ rang A = 3 $. Ako među minorima četvrtog reda postoji barem jedan različit od nule, tada je $ \ rang A≥ 4 $. Prijeđimo na provjeru minora 5. reda i tako dalje.

Što nas čeka na kraju ovog postupka? Moguće je da među minorima k-tog reda postoji barem jedan nenula, a svi minori (k + 1)-tog reda bit će jednaki nuli. To znači da je k maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tj. rang će biti k. Situacija može biti drugačija: među minorima k-tog reda naći će se barem jedan koji nije jednak nuli i više neće biti moguće formirati minore (k + 1)-og reda. U ovom slučaju, rang matrice je također k. Ukratko govoreći, red posljednjeg sastavljenog minora različitog od nule i bit će jednak rangu matrice.

Prijeđimo na primjere u kojima će proces pronalaženja ranga matrice po definiciji biti vizualno ilustriran. Još jednom naglašavam da ćemo u primjerima ove teme početi pronalaziti rang matrica koristeći samo definiciju ranga. Ostale metode (izračunavanje ranga matrice metodom graničnih minora, izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija) razmatraju se u sljedećim temama.

Usput, uopće nije potrebno započeti postupak pronalaženja ranga s maloljetnicima najmanjeg reda, kao što je to učinjeno u primjerima # 1 i # 2. Možete ići izravno na više maloljetnike (vidi primjer #3).

Primjer #1

Pronađite rang matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ kraj (niz) \ desno) $.

Ova matrica ima veličinu $ 3 \ puta 5 $, tj. sadrži tri retka i pet stupaca. Od brojeva 3 i 5, minimum je 3; dakle, rang matrice $ A $ je najviše 3, tj. $ \ rang A≤ 3 $. I ta je nejednakost očita, budući da više nećemo moći formirati minore četvrtog reda - njima su potrebna 4 reda, a mi imamo samo 3. Prijeđimo izravno na proces pronalaženja ranga zadane matrice.

Među minorima prvog reda (odnosno među elementima matrice $ A $) postoje oni različiti od nule. Na primjer, 5, -3, 2, 7. Općenito, ne zanima nas ukupan broj elemenata koji nisu nula. Postoji barem jedan element koji nije nula – i to je dovoljno. Budući da među minorima prvog reda postoji barem jedan manji od nule, zaključujemo da je $ \ rang A≥ 1 $ i nastavljamo s provjerom minora drugog reda.

Počnimo istraživati ​​maloljetnike drugog reda. Na primjer, na sjecištu redaka # 1, # 2 i stupaca # 1, # 4 nalaze se elementi takvog minora: $ \ lijevo | \ begin (niz) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (niz) \ desno | $. Za ovu determinantu svi elementi drugog stupca jednaki su nuli, pa je i sama determinanta jednaka nuli, t.j. $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 0 $ (vidi svojstvo br. 3 u temi svojstava determinanti). Ili možete jednostavno izračunati ovu determinantu koristeći formulu #1 iz odjeljka o izračunavanju determinanti drugog i trećeg reda:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Pokazalo se da je prvi minor drugog reda koji smo provjerili jednak nuli. Što to znači? O tome da je potrebno dodatno provjeriti maloljetnike drugog reda. Ili se ispostavi da su svi jednaki nuli (i tada će rang biti jednak 1), ili među njima postoji barem jedna manja nula. Pokušajmo napraviti bolji izbor tako što ćemo zapisati minor drugog reda čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka #1, #2 i stupaca #1 i #5: $ \ left | \ begin (niz) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ kraj (niz) \ desno | $. Nađimo vrijednost ovog minora drugog reda:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ kraj (niz) \ desno | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Ovaj minor nije nula. Zaključak: među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule. Stoga je $ \ rang A≥ 2 $. Potrebno je prijeći na proučavanje maloljetnika trećeg reda.

Ako odaberemo stupac #2 ili stupac #4 za formiranje minora trećeg reda, tada će takvi minori biti jednaki nuli (jer će sadržavati nulti stupac). Ostaje provjeriti samo jedan minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na sjecištu stupaca br. 1, br. 3, br. 5 i redaka br. 1, br. 2, br. Zapišimo ovaj minor i pronađimo njegovo značenje:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ kraj (niz) \ desno | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Dakle, svi maloljetnici trećeg reda su nula. Posljednji minor različit od nule koji smo sastavili bio je drugog reda. Zaključak: maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan osim nule, je 2. Prema tome, $ \ rang A = 2 $.

Odgovor: $ \ rang A = 2 $.

Primjer br. 2

Pronađite rang matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ kraj (niz) \ desno) $.

Imamo kvadratnu matricu četvrtog reda. Odmah imajte na umu da rang ove matrice ne prelazi 4, tj. $ \ rang A≤ 4 $. Počnimo s pronalaženjem ranga matrice.

Među minorima prvog reda (odnosno među elementima matrice $ A $) postoji barem jedan različit od nule, dakle $ \ rang A≥ 1 $. Prijeđimo na provjeru maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redaka # 2, # 3 i stupaca # 1 i # 2, dobivamo sljedeći minor drugog reda: $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ kraj (niz) \ desno | $. Izračunajmo:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 0-10 = -10. $$

Među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule, dakle $ \ rang A≥ 2 $.

Prijeđimo na minore trećeg reda. Nađimo, na primjer, maloljetnicu, čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 1, br. 3, br. 4 i stupaca br. 1, br. 2, br.

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ kraj (niz) \ desno | = 105-105 = 0. $$

Kako se pokazalo da je ovaj minor trećeg reda jednak nuli, potrebno je istražiti još jedan minor trećeg reda. Ili će se pokazati da su svi jednaki nuli (tada će rang biti jednak 2), ili među njima postoji barem jedan koji nije jednak nuli (tada ćemo istražiti minore četvrtog reda). Razmotrimo minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 2, br. 3, br. 4 i stupaca br. 2, br. 3, br. 4:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ kraj (niz) \ desno | = -28. $$

Među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, dakle $ \ rang A≥ 3 $. Prijeđimo na provjeru minora četvrtog reda.

Svaki minor četvrtog reda nalazi se na sjecištu četiri reda i četiri stupca matrice $ A $. Drugim riječima, minor četvrtog reda je determinanta matrice $ A $, budući da ova matrica sadrži točno 4 reda i 4 stupca. Determinanta ove matrice izračunata je u primjeru 2 teme "Smanjenje redoslijeda determinante. Dekompozicija determinante u red (stupac)", pa samo uzmite gotov rezultat:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (niz) \ desno | = 86. $$

Dakle, mol četvrtog reda nije nula. Ne možemo više formirati maloljetnike petog reda. Zaključak: najviši red maloljetnika, među kojima postoji barem jedan osim nule, je 4. Ukupno: $ \ rang A = 4 $.

Odgovor: $ \ rang A = 4 $.

Primjer br. 3

Pronađite rang matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ end ( niz) \ desno) $.

Odmah imajte na umu da ova matrica sadrži 3 retka i 4 stupca, dakle $ \ rang A≤ 3 $. U prethodnim primjerima smo započeli proces rangiranja gledajući minore najmanje (prvog) reda. Ovdje ćemo pokušati odmah provjeriti maloljetnike najvišeg mogućeg reda. Za matricu $ A $ takvi minori su trećeg reda. Razmotrimo mol trećeg reda čiji elementi leže na sjecištu redaka br. 1, br. 2, br. 3 i stupaca br. 2, br. 3, br. 4:

$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ kraj (niz) \ desno | = -8-60-20 = -88. $$

Dakle, najviši red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, je 3. Dakle, rang matrice je 3, tj. $ \ rang A = 3 $.

Odgovor: $ \ rang A = 3 $.

Općenito, pronalaženje ranga matrice po definiciji je, u općem slučaju, prilično naporan zadatak. Na primjer, matrica relativno male veličine $ 5 \ puta 4 $ ima 60 minora drugog reda. Čak i ako je njih 59 jednako nuli, tada se 60. minor može pokazati da nije nula. Zatim morate istražiti minore trećeg reda, kojih zadana matrica ima 40 komada. Obično pokušavaju koristiti manje glomazne metode, kao što je metoda obrubljivanja minora ili metoda ekvivalentnih transformacija.

Rang matrice je važna numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera konzistentnosti sustava linearnih algebarskih jednadžbi. U ovom članku dat ćemo pojam ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Radi bolje asimilacije gradiva, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.

Prije objave definicije ranga matrice treba dobro razumjeti pojam minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga preporučamo, ako je potrebno, prisjetiti se teorije članka, metoda pronalaženja determinante matrice, svojstava determinante.

Uzmite matricu A reda. Neka je k neki prirodni broj koji ne prelazi najmanji od brojeva m i n, tj. .

Definicija.

Minor k-tog reda matrice A naziva se determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u unaprijed odabranih k redaka i k stupaca, a raspored elemenata matrice A je očuvan .

Drugim riječima, ako izbrišemo (p – k) retke i (n – k) stupce u matrici A, te sastavimo matricu od preostalih elemenata, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada će determinanta rezultirajuće matrice je minor reda k matrice A.

Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.

Razmotrimo matricu .

Napišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, tada naš izbor odgovara molu prvog reda ... Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, prekrižili smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa sastavili determinantu. Odaberemo li prvi red i treći stupac matrice A, dobivamo minor .

Ilustrirajmo postupak dobivanja razmatranih maloljetnika prvog reda
i .

Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.

Prikazujemo nekoliko maloljetnika drugog reda. Odaberite dva retka i dva stupca. Na primjer, uzmimo prvi i drugi red te treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo maloljetnicu drugog reda ... Ovaj minor se također može formirati brisanjem trećeg retka, prvog i drugog stupca iz matrice A.

Drugi minor drugog reda matrice A je.

Ilustrirajmo konstrukciju ovih minora drugog reda
i .

Slično se mogu pronaći i minori trećeg reda matrice A. Budući da u matrici A postoje samo tri reda, odabiremo ih sve. Ako za ove retke odaberemo prva tri stupca, onda ćemo dobiti minor trećeg reda

Također se može konstruirati brisanjem zadnjeg stupca matrice A.

Još jedan maloljetnik trećeg reda je

dobiveno brisanjem trećeg stupca matrice A.

Ovdje je crtež koji prikazuje konstrukciju ovih maloljetnika trećeg reda.
i .

Za danu matricu A, minori reda višeg od trećeg ne postoje, budući da.

Koliko minora k-tog reda matrice A reda postoji?

Broj minora reda k može se izračunati kao, gdje i - broj kombinacija od p do k, odnosno od n do k.

Kako konstruirati sve minore reda k matrice A reda p po n?

Trebamo mnogo brojeva redaka matrice i mnogo brojeva stupaca. Zapisujemo sve kombinacije p elemenata po k(odgovarat će odabranim redovima matrice A prilikom konstruiranja minora reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redaka sukcesivno dodajemo sve kombinacije od n elemenata s k brojeva stupaca. Ovi skupovi kombinacija brojeva redaka i stupaca matrice A pomoći će da se sastave svi minori reda k.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Pronađite sve minore drugog reda matrice.

Riješenje.

Budući da je redoslijed izvorne matrice 3 puta 3, tada će ukupni minori drugog reda biti .

Zapišimo sve kombinacije 3 po 2 broja redaka matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva stupaca 3 po 2 su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.

Uzmite prvi i drugi red matrice A. Odabirom u ove retke prvi i drugi stupac, prvi i treći stupac, drugi i treći stupac, dobivamo minore, redom

Za prvi i treći red, sa sličnim izborom stupaca, imamo

Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red:

Dakle, pronađeno je svih devet minora drugog reda matrice A.

Sada možete prijeći na određivanje ranga matrice.

Definicija.

Matrični rang Najviši je red nenulte minora u matrici.

Rang matrice A naziva se rang (A). Također možete pronaći oznake Rg (A) ili Rang (A).

Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice najmanje jedan.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji.

Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda grube sile... Ova metoda se temelji na određivanju ranga matrice.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rang matrice A reda.

Opišimo ukratko algoritam rješavanje ovog problema nabrajanjem maloljetnika.

Ako postoji barem jedan element matrice koji je različit od nule, tada je rang matrice barem jednak jedan (budući da postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).

Zatim iteriramo preko minora drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje dva.

Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda osim nule, tada je rang matrice najmanje tri, i prelazimo preko minora četvrtog reda.

Imajte na umu da rang matrice ne može prijeći najmanji od brojeva p i n.

Primjer.

Pronađite rang matrice .

Riješenje.

Budući da je matrica različita od nule, njen rang je najmanje jedan.

Minor drugog reda je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na popisivanje maloljetnika trećeg reda. Svi oni stvari.

Svi maloljetnici trećeg reda su nula. Dakle, rang matrice je dva.

Odgovor:

Rang (A) = 2.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora.

Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućuju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Jedna takva metoda je granična manja metoda.

pozabavimo se graniči minor.

Kaže se da manji M ok (k + 1)-tog reda matrice A graniči s manjim M reda k matrice A, ako matrica koja odgovara manjem M ok "sadrži" matricu koja odgovara maloljetni M.

Drugim riječima, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobiva se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog retka i jednog stupca.

Na primjer, razmotrite matricu a uzmi maloljetnicu drugog reda. Zapišimo sve granične maloljetnike:

Metoda obrubljivanja minora potkrijepljena je sljedećim teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).

Teorema.

Ako su svi minori koji graniče s minorom k-tog reda matrice A reda p po n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Dakle, da bi se pronašao rang matrice, nije potrebno ponavljati sve sporedne vrijednosti koje su dovoljno granične. Broj minora koji graniči s minorom k-tog reda matrice reda A nalazi se po formuli ... Imajte na umu da minori koji graniče s minorom k-tog reda matrice A nisu veći od minora (k + 1)-tog reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva korištenje metode graničnih maloljetnika isplativije od jednostavnog nabrajanja svih maloljetnika.

Prijeđimo na pronalaženje ranga matrice metodom graničnih minora. Opišimo ukratko algoritam ovu metodu.

Ako je matrica A različita od nule, tada kao minor prvog reda uzimamo bilo koji element matrice A osim nule. Uzmite u obzir njegove granične maloljetnike. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je dva), tada nastavljamo s razmatranjem njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, tada je rang (A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (redoslijed mu je tri), tada smatramo njegove granične minore. itd. Kao rezultat, rang (A) = k, ako su svi granični minori (k + 1)-tog reda matrice A jednaki nuli, ili rang (A) = min (p, n), ako postoji nenula mol koji graniči s molom reda (min (p, n) - 1).

Analizirajmo graničnu minor metodu za pronalaženje ranga matrice na primjeru.

Primjer.

Pronađite rang matrice metodom graničenja maloljetnika.

Riješenje.

Budući da je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula:

Pronađen granični minor drugog reda, osim nule. Razredimo njegove granične maloljetnike (njihove stvari):

Svi minori koji graniče s molom drugog reda jednaki su nuli, pa je rang matrice A jednak dva.

Odgovor:

Rang (A) = 2.

Primjer.

Pronađite rang matrice koristeći granične maloljetnike.

Riješenje.

Kao minor koji nije nula prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Bočni minor drugog reda nije nula. Ovaj minor omeđen je maloljetnikom trećeg reda.
... Budući da nije jednaka nuli i da za nju ne postoji niti jedan granični minor, rang matrice A je jednak tri.

Odgovor:

Rang (A) = 3.

Pronalaženje ranga pomoću elementarnih matričnih transformacija (Gaussova metoda).

Razmotrimo još jedan način pronalaženja ranga matrice.

Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:

• permutacija redaka (ili stupaca) matrice;
• množenje svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice s proizvoljnim brojem k koji nije nula;
• dodajući elementima bilo kojeg retka (stupca) odgovarajuće elemente drugog retka (stupca) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k.

Matrica B naziva se ekvivalentnom matrici A ako se B dobije iz A pomoću konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalentnost matrica označava se simbolom "~", odnosno napisanom A ~ B.

Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih transformacija matrice temelji se na tvrdnji: ako je matrica B dobivena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je rang (A) = rang (B).

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:

• Kada se redovi (ili stupci) matrice preurede, njezina determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, tada nakon permutacije redaka (stupaca) ostaje jednak nuli.
• Kada se svi elementi bilo kojeg retka (stupca) matrice pomnože s proizvoljnim brojem k koji nije nula, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti izvorne matrice pomnoženoj s k. Ako je determinanta izvorne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
• Dodavanje elementima nekog retka (stupca) matrice odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca) matrice, pomnoženih nekim brojem k, ne mijenja njegovu determinantu.

Bit metode elementarnih transformacija sastoji se u reduciranju matrice, čiji rang trebamo pronaći, na trapezoidnu (u konkretnom slučaju, na gornji trokut) pomoću elementarnih transformacija.

Zašto se to radi? Rang matrica ove vrste je vrlo lako pronaći. Jednako je broju redaka koji sadrže barem jedan element različit od nule. A budući da se rang matrice ne mijenja tijekom elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost bit će rang izvorne matrice.

Evo nekoliko ilustracija matrica, od kojih jednu treba dobiti nakon transformacija. Njihov oblik ovisi o redoslijedu matrice.

Ove ilustracije su predlošci u koje ćemo transformirati matricu A.

Hajdemo opisati algoritam metode.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).

Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog retka matrice A sa. U ovom slučaju dobivamo ekvivalentnu matricu, označavamo je s A (1):

Elementima drugog retka rezultirajuće matrice A (1) dodajte odgovarajuće elemente prvog retka, pomnožene s. Elementima trećeg retka dodajte odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene s. I tako dalje do p-tog retka. Dobivamo ekvivalentnu matricu, označimo je s A (2):

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice, koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog, jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, a prema tome, rang izvorne matrice je jednako jednom.

Ako postoji barem jedan element različit od nule u recima od drugog do ptha, onda nastavljamo provoditi transformacije. Štoviše, djelujemo na apsolutno isti način, ali samo s dijelom matrice A označenim na slici (2)

Ako, tada preuređujemo retke i (ili) stupce matrice A (2) tako da "novi" element postane različit od nule.