Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim razmotrimo slučajeve kako njihova složenost raste. Na kraju dajemo izraz koji sadrži slovne oznake, zagrade, korijene, posebne matematički znakovi, stupanj, funkcija itd. Cijela teorija, prema tradiciji, bit će opskrbljena obiljem i detaljnim primjerima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kako mogu pronaći vrijednost numeričkog izraza?
Numerički izrazi, između ostalog, pomažu opisati stanje problema matematičkim jezikom. Općenito, matematički izrazi mogu biti ili vrlo jednostavni, sastojeći se od para brojeva i aritmetičkih znakova, ili vrlo složeni, sadržavati funkcije, potencije, korijene, zagrade itd. U okviru zadatka često je potrebno pronaći značenje izraza. Kako to učiniti, i bit će govor ispod.
Najjednostavniji slučajevi
To su slučajevi kada izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetičkih operacija. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam znanje o redoslijedu izvođenja aritmetičkih operacija bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.
Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove "+", "·", "-", "÷", tada se radnje izvode s lijeva na desno sljedećim redoslijedom: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. Evo nekoliko primjera.
Primjer 1. Vrijednost numerički izraz
Neka je potrebno pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Prvo napravimo množenje i dijeljenje. dobivamo:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Sada oduzimamo i dobivamo konačni rezultat:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Primjer 2. Vrijednost brojčanog izraza
Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Prvo provodimo pretvorbu razlomaka, dijeljenje i množenje:
0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Sada napravimo zbrajanje i oduzimanje. Grupirajmo razlomke i dovedimo ih do zajedničkog nazivnika:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Vrijednost koju ste tražili je pronađena.
Izrazi sa zagradama
Ako izraz sadrži zagrade, oni određuju redoslijed radnji u ovom izrazu. Najprije se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to na primjeru.
Primjer 3. Vrijednost brojčanog izraza
Pronađite vrijednost izraza 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).
Izraz sadrži zagrade, pa prvo izvršimo operaciju oduzimanja u zagradi, a tek onda množenje.
0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.
Značenje izraza koji sadrže zagrade u zagradama slijedi isti princip.
Primjer 4. Vrijednost brojčanog izraza
Izračunajmo vrijednost 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Provest ćemo radnje počevši od najnutarnjijih zagrada, prelazeći na vanjske.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
U pronalaženju vrijednosti izraza sa zagradama, glavna stvar je slijediti slijed radnji.
Ukorijenjeni izrazi
Matematički izrazičije vrijednosti trebamo pronaći mogu sadržavati korijenske znakove. Štoviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Što treba učiniti u ovom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izdvojiti korijen iz rezultirajućeg broja. Ako je moguće, bolje je riješiti se korijena u brojčanim izrazima, zamijenivši iz sa brojčane vrijednosti.
Primjer 5. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Prvo izračunamo radikalne izraze.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Sada možete procijeniti vrijednost cijelog izraza.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6,5
Često pronalaženje značenja ukorijenjenog izraza često zahtijeva prvo pretvaranje izvornog izraza. Objasnimo to još jednim primjerom.
Primjer 6. Vrijednost brojčanog izraza
Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1
Kao što vidite, ne postoji način da korijen zamijenimo točnom vrijednošću, što komplicira proces izračuna. Međutim, u u ovom slučaju možete primijeniti skraćenu formulu množenja.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Tako:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Izrazi moći
Ako izraz sadrži stupnjeve, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nego što se nastavi sa svim ostalim radnjama. Događa se da su eksponent sam po sebi ili baza stupnja izrazi. U tom slučaju se prvo izračunava vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stupnja.
Primjer 7. Vrijednost brojčanog izraza
Pronađite vrijednost izraza 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Počinjemo računati po redu.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Ostaje samo izvršiti operaciju zbrajanja i saznati vrijednost izraza:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Također je često preporučljivo pojednostaviti izraz korištenjem svojstava stupnjeva.
Primjer 8. Vrijednost brojčanog izraza
Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.
Eksponenti su opet takvi da se ne mogu dobiti njihove točne numeričke vrijednosti. Pojednostavimo izvorni izraz kako bismo pronašli njegovo značenje.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Izrazi razlomaka
Ako izraz sadrži razlomke, tada prilikom izračunavanja takvog izraza svi razlomci u njemu moraju biti predstavljeni kao obični razlomci i izračunati njihove vrijednosti.
Ako u brojniku i nazivniku razlomka postoje izrazi, tada se najprije izračunavaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka se upisuje. Aritmetičke operacije se izvode na standardni način. Razmotrimo rješenje primjera.
Primjer 9. Vrijednost brojčanog izraza
Pronađite vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Kao što vidite, u izvornom izrazu postoje tri razlomka. Izračunajmo prvo njihove vrijednosti.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1
Često je pri pronalaženju vrijednosti izraza prikladno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije nego što se pronađe njegova vrijednost, najbolje je pojednostaviti bilo koji izraz do maksimuma, svodeći sve izračune na najjednostavnije slučajeve.
Primjer 10. Vrijednost brojčanog izraza
Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne možemo u potpunosti izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostavniti izvorni izraz transformirajući ga.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Izvorni izraz ima oblik:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Izračunajmo vrijednost ovog izraza:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Izrazi s logaritmima
Kada su u izrazu prisutni logaritmi, njihova se vrijednost, ako je moguće, izračunava od samog početka. Na primjer, u izraz log 2 4 + 2 · 4, možete odmah upisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobivamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi mogu se naći i brojčani izrazi. U ovom slučaju, prvi je korak pronaći njihove vrijednosti. Uzmite izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Ako nije moguće izračunati točnu vrijednost logaritma, pojednostavljivanje izraza pomaže vam pronaći njegovu vrijednost.
Primjer 11. Vrijednost brojčanog izraza
Pronađite vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.
Po svojstvu logaritma:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.
Ponovo primjenjujući svojstva logaritama, za zadnji razlomak u izrazu dobivamo:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Sada možete nastaviti s izračunom vrijednosti izvornog izraza.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Izrazi s trigonometrijskim funkcijama
Događa se da izraz sadrži trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, kao i funkcije koje su im inverzne. Vrijednosti se izračunavaju prije izvođenja svih ostalih aritmetičkih operacija. Inače, izraz je pojednostavljen.
Primjer 12. Vrijednost brojčanog izraza
Pronađite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija uključenih u izraz.
sin - 5 π 2 = - 1
Zamjenjujemo vrijednosti u izraz i izračunavamo njegovu vrijednost:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Pronađena je vrijednost izraza.
Često se, da bi se pronašla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, najprije mora transformirati. Objasnimo na primjeru.
Primjer 13. Vrijednost brojčanog izraza
Trebate pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Za transformaciju ćemo koristiti trigonometrijske formule za kosinus dvostrukog kuta i kosinus zbroja.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.
Opći slučaj numeričkog izraza
V opći slučaj trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore navedene elemente: zagrade, stupnjeve, korijene, logaritme, funkcije. Formulirajmo opće pravilo pronalaženje vrijednosti takvih izraza.
Kako pronaći značenje izraza
- Korijeni, stupnjevi, logaritmi itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima.
- Izvode se radnje u zagradama.
- Preostale radnje izvode se redom s lijeva na desno. Prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje.
Pogledajmo primjer.
Primjer 14. Vrijednost brojčanog izraza
Izračunajmo vrijednost izraza - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Izraz je prilično složen i glomazan. Nismo slučajno odabrali baš takav primjer, pokušavajući u njega uklopiti sve gore opisane slučajeve. Kako pronalazite značenje takvog izraza?
Poznato je da se prilikom izračunavanja vrijednosti složenog frakcijskog oblika, prvo, vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka nalaze odvojeno, respektivno. Dosljedno ćemo transformirati i pojednostavljivati ovaj izraz.
Prije svega izračunamo vrijednost radikalnog izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Sada možete saznati vrijednost sinusa:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
S nazivnikom razlomka sve je jednostavnije:
Sada možemo zapisati vrijednost cijelog razlomka:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Imajući to na umu, napišimo cijeli izraz:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Konačni rezultat:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
U ovom slučaju uspjeli smo izračunati točne vrijednosti korijena, logaritma, sinusa itd. Ako to nije moguće, možete ih se pokušati riješiti matematičkim transformacijama.
Izračunavanje vrijednosti izraza na racionalne načine
Izračunajte numeričke vrijednosti dosljedno i točno. Ovaj proces može se racionalizirati i ubrzati korištenjem razna svojstva radnje s brojevima. Na primjer, poznato je da je umnožak jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Uzimajući ovo svojstvo u obzir, odmah možemo reći da je izraz 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 jednak nuli. U ovom slučaju uopće nije potrebno izvršiti radnje redoslijedom opisanim u gornjem članku.
Također je prikladno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva. Bez izvođenja bilo kakve radnje, možete odrediti da je vrijednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 također jednaka nuli.
Druga tehnika koja vam omogućuje da ubrzate proces je korištenje identičnih transformacija kao što su grupiranje pojmova i faktora i zajednički faktor izvan zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza s razlomcima je smanjenje istih izraza u brojniku i nazivniku.
Na primjer, uzmimo izraz 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Bez izvođenja radnji u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3.
Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama
Značenje doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za specific postavljene vrijednosti slova i varijable.
Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama
Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate zamijeniti navedene vrijednosti slova i varijabli u izvorni izraz, a zatim izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza.
Primjer 15. Vrijednost izraza s varijablama
Procijenite vrijednost izraza 0,5 x - y s obzirom na x = 2, 4 i y = 5.
Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:
0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.
Ponekad možete transformirati izraz na takav način da dobijete njegovu vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, morate se riješiti slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći identične transformacije, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.
Na primjer, izraz x + 3 - x očito ima vrijednost 3 i ne morate znati vrijednost x da biste izračunali ovu vrijednost. Značenje ovog izraza jednaka je tri za sve vrijednosti varijable x iz njenog raspona važećih vrijednosti.
Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedinici za sve pozitivne x.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
Dakle, ako je brojčani izraz sastavljen od brojeva i znakova +, -, · i:, tada redom slijeva nadesno prvo morate izvršiti množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željeni vrijednost izraza.
Navedimo rješenje primjera za pojašnjenje.
Primjer.
Procijeni vrijednost izraza 14−2 · 15: 6−3.
Riješenje.
Da biste pronašli vrijednost izraza, morate izvesti sve radnje naznačene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja tih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobivamo 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Sada, također, redom s lijeva na desno, izvodimo preostale radnje: 14−5−3 = 9−3 = 6. Tako smo pronašli vrijednost izvornog izraza, ona je 6.
Odgovor:
14-215: 6-3 = 6.
Primjer.
Pronađite značenje izraza.
Riješenje.
V ovaj primjer prvo trebamo napraviti množenje 2 · (−7) te dijeljenje i množenje u izrazu. Sjećajući se kako se to radi, nalazimo 2 (−7) = - 14. I prvo izvršiti radnje u izrazu 
, onda 
, i izvrši: 
.
Zamijenite dobivene vrijednosti u izvorni izraz:.
Ali što ako se ispod predznaka korijena nalazi numerički izraz? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost radikalnog izraza, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda izvođenja radnji. Na primjer, .
U brojčanim izrazima korijene treba shvatiti kao neke brojeve, a preporučljivo je odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s korijenima.
Riješenje.
Prvo, nalazimo vrijednost korijena 
... Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost radikalnog izraza, koju imamo −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... I drugo, nalazimo vrijednost korijena.
Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz izvornog izraza:.
Konačno, možemo pronaći vrijednost izvornog izraza zamjenom korijena njihovim vrijednostima:.
Odgovor:
Vrlo često, da biste mogli pronaći vrijednost izraza s korijenima, prvo ga morate transformirati. Pokažimo rješenje na primjeru.
Primjer.
Koje je značenje izraza 
.
Riješenje.
Ne možemo zamijeniti korijen od tri njegovom točnom vrijednošću, što nam ne dopušta da izračunamo vrijednost ovog izraza na gore opisani način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formula razlike kvadrata:. Uzimajući u obzir, dobivamo 
... Dakle, vrijednost izvornog izraza je 1.
Odgovor:
.
Sa diplomama
Ako su baza i eksponent brojevi, tada se njihova vrijednost izračunava prema definiciji eksponenta, na primjer, 3 2 = 3 · 3 = 9 ili 8 −1 = 1/8. Postoje i zapisi kada su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima trebate pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stupnja.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza s potencijama oblika 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4.
Riješenje.
U izvornom izrazu, dva stupnja su 2 3 4-10 i (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja bilo kojih drugih koraka.
Počnimo sa potencijom 2 3 4−10. U njegovom indikatoru nalazi se numerički izraz, izračunavamo njegovu vrijednost: 3 4-10 = 12-10 = 2. Sada možete pronaći vrijednost samog stupnja: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.
Na bazi i eksponentu (1-1 / 2) 3,5-2 Imamo (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.
Sada se vraćamo na izvorni izraz, zamjenjujemo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koja nam je potrebna: 2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.
Odgovor:
2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 6.
Vrijedi napomenuti da postoje češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminarni pregled pojednostavljenje izraza s ovlastima na bazi .
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Riješenje.
Sudeći prema eksponentima u ovom izrazu, ne mogu se dobiti točne vrijednosti eksponenata. Pokušajmo pojednostavniti izvorni izraz, možda će to pomoći pronaći njegovo značenje. Imamo 
Odgovor:
.
Stupnjevi u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali ćemo govoriti o pronalaženju vrijednosti izraza s logaritmima u jednom od.
Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima
Numerički izrazi u svojim zapisima mogu sadržavati razlomke. Kada trebate pronaći značenje takvog izraza, razlomke osim običnih razlomaka treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije izvođenja ostalih koraka.
Brojnik i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, trebate izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj redoslijed se objašnjava činjenicom da je razlomak a / b, gdje su a i b neki izrazi, u biti kvocijent oblika (a) :(b), budući da.
Razmotrimo rješenje primjera.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s razlomcima 
.
Riješenje.
U izvornom numeričkom izrazu, tri razlomka 
i . Da bismo pronašli vrijednost izvornog izraza, prvo nam trebaju ti razlomci, zamijeniti ih vrijednostima. Učinimo to.
Brojnik i nazivnik razlomka sadrže brojeve. Da biste pronašli vrijednost takvog razlomka, zamijenite razlomak znakom dijeljenja i izvršite ovu radnju: 
.
Brojnik razlomka sadrži izraz 7−2 · 3, njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. Na ovaj način, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.
Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, stoga prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo 
.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u izvorni izraz i izvršiti preostale radnje:.
Odgovor:
.
Često, kada pronađete vrijednosti izraza s razlomcima, morate učiniti pojednostavljenje frakcijskih izraza na temelju izvođenja radnji s razlomcima i reduciranja razlomaka.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Riješenje.
Korijen od pet nije u potpunosti izvučen, pa da bismo pronašli vrijednost izvornog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo osloboditi se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: 
... Nakon toga će izvorni izraz poprimiti oblik 
... Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost početno navedenog izraza:.
Odgovor:
.
Sa logaritmima
Ako numerički izraz sadrži i ako ih se može riješiti, to se radi prije izvođenja ostalih radnji. Na primjer, kada se pronađe vrijednost izraza log 2 4 + 2 + 6 = 8.
Kada postoje brojčani izrazi pod znakom logaritma i/ili u njegovoj bazi, prvo se pronađu njihove vrijednosti, nakon čega se izračuna vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika 
... U osnovi logaritma i pod njegovim znakom nalaze se brojčani izrazi, nalazimo njihove vrijednosti:. Sada nalazimo logaritam, nakon čega završavamo izračune:.
Ako logaritmi nisu točno izračunati, onda pojednostavljivanje početnog izraza pomoću njega može pomoći u pronalaženju vrijednosti izvornog izraza. Istodobno, morate dobro vladati materijalom članka. pretvaranje logaritamskih izraza.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza s logaritmima 
.
Riješenje.
Počnimo s izračunom log 2 (log 2 256). Kako je 256 = 2 8, onda je log 2 256 = 8, dakle log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.
Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupirati. Zbroj logaritama log 6 2 + log 6 3 jednak je logaritmu umnoška log 6 (2 3), pa log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Sada se pozabavimo razlomkom. Za početak ćemo prepisati bazu logaritma u nazivniku kao običan razlomak kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritma, što će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka: 
.
Ostaje samo zamijeniti dobivene rezultate u izvorni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti: 
Odgovor:
Kako mogu pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?
Kada numerički izraz sadrži ili itd., njihove se vrijednosti izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunavaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronalaze vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Riješenje.
Pozivajući se na članak, dobivamo 
i cosπ = −1. Te vrijednosti zamjenjujemo u izvorni izraz, on poprima oblik 
... Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti eksponencijalnu vrijednost, a zatim završiti izračune:.
Odgovor:
.
Treba napomenuti da se izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahtijeva prethodno pretvaranje trigonometrijskog izraza.
Primjer.
Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza 
.
Riješenje.
Transformiramo izvorni izraz koristeći, u ovom slučaju, trebamo formulu za kosinus dvostrukog kuta i formulu za kosinus zbroja: 
Provedene transformacije pomogle su nam da pronađemo značenje izraza.
Odgovor:
.
Opći slučaj
Općenito, numerički izraz može sadržavati korijene, potencije, razlomke, funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza je sljedeće:
- prvi korijeni, potenci, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
- daljnje radnje u zagradama,
- a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.
Navedene radnje izvode se dok se ne dobije konačni rezultat.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Riješenje.
Oblik ovog izraza je prilično kompliciran. U ovom izrazu vidimo razlomak, korijene, stupnjeve, sinus i logaritam. Kako pronalazite njegovo značenje?
Krećući se po zapisu s lijeva na desno, nailazimo na djelić forme 
... Znamo da kada radimo sa složenim razlomcima, moramo zasebno izračunati vrijednost brojnika, odvojeno - nazivnik, i, konačno, pronaći vrijednost razlomka.
U brojniku imamo korijen oblika 
... Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza 
... Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon što izračunamo vrijednost izraza 
... Mi to možemo:. Zatim, odakle i 
.
Nazivnik je jednostavan:.
Na ovaj način, 
.
Nakon zamjene ovog rezultata u izvorni izraz, on će poprimiti oblik. Rezultirajući izraz sadrži stupanj. Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate pronaći vrijednost indikatora, imamo 
.
Dakle, .
Odgovor:
.
Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, stupnjeva itd., Tada ih se možete pokušati riješiti pomoću nekih transformacija, a zatim se vratiti na izračunavanje vrijednosti prema navedenoj shemi.
Racionalni načini izračunavanja vrijednosti izraza
Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i pažnju. Da, morate se pridržavati slijeda radnji zabilježenih u prethodni paragrafi, ali ne trebate to raditi naslijepo i mehanički. Pod time podrazumijevamo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja značenja izraza. Na primjer, neka svojstva radnji s brojevima mogu značajno ubrzati i pojednostaviti pronalaženje vrijednosti izraza.
Na primjer, poznajemo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od čimbenika u umnošku je nula, tada je vrijednost proizvoda jednaka nuli. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) jednako je nuli. Ako bismo se pridržavali standardnog redoslijeda izvođenja radnji, tada bismo prvo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, a to bi oduzelo puno vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.
Također je prikladno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako od broja oduzmete jednak broj, rezultat će biti nula. Ovo svojstvo se može promatrati šire: razlika između dva identična brojčana izraza je nula. Na primjer, bez procjene vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), jednak je nuli, budući da je izvorni izraz razlika istih izraza.
Identične transformacije mogu doprinijeti racionalnom izračunavanju vrijednosti izraza. Na primjer, grupiranje pojmova i čimbenika može biti korisno, a često se koriste i zagrade. Dakle, vrijednost izraza 53 5 + 53 7−53 11 + 5 vrlo je lako pronaći nakon što se faktor 53 stavi izvan zagrada: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Izravno izračunavanje trajalo bi puno dulje.
U zaključku ovog odlomka, obratimo pažnju na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - isti čimbenici u brojniku i nazivniku razlomka se poništavaju. Na primjer, poništavanje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka 
omogućuje vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je 1/2.
Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama
Značenje abecednog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene specificirane vrijednosti slova i varijabli. To je, dolazi o pronalaženju vrijednosti doslovnog izraza za zadane vrijednosti slova ili o pronalaženju vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli.
Pravilo Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza s varijablama za zadane vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: trebate zamijeniti ove vrijednosti slova ili varijabli u izvorni izraz i izračunati vrijednost rezultirajućeg brojčanog izraza, to je željena vrijednost.
Primjer.
Procijenite izraz 0,5 x − y pri x = 2,4 i y = 5.
Riješenje.
Da biste pronašli traženu vrijednost izraza, prvo trebate zamijeniti ove vrijednosti varijabli u izvorni izraz, a zatim izvršiti sljedeće korake: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = −3,8.
Odgovor:
−3,8 .
Zaključno, napominjemo da ponekad izvođenje transformacija literalnih izraza i izraza s varijablama omogućuje dobivanje njihovih vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x + 3 − x može se pojednostaviti, nakon čega postaje 3. Dakle, možemo zaključiti da je vrijednost izraza x + 3 − x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog raspona dopuštenih vrijednosti (ODV). Drugi primjer: vrijednost izraza jednaka je 1 za sve pozitivne vrijednosti x, tako da je raspon valjanih vrijednosti varijable x u izvornom izrazu skup pozitivni brojevi, a jednakost se događa u ovoj regiji.
Bibliografija.
- Matematika: udžbenik. za 5 cl. opće obrazovanje. institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., Izbrisano. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: udžbenik. za opće obrazovanje. institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., vlč. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 str.: Il. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: studija. za 7 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008 .-- 240 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: studija. za 8 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008 .-- 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. razred: udžbenik. za opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2009 .-- 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra i početak analize: Udžbenik. za 10-11 cl. opće obrazovanje. institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Djeca u pravilu algebru počinju učiti već u osnovnim razredima. Nakon savladavanja osnovnih principa rada s brojevima rješavaju primjere s jednom ili više nepoznatih varijabli. Pronaći značenje izraza ove vrste može biti prilično teško, ali ako ga pojednostavite znanjem iz osnovne škole, sve će se riješiti brzo i lako.
Koje je značenje izraza
Brojčani izraz je algebarski zapis koji se sastoji od brojeva, zagrada i znakova, ako ima smisla.
Drugim riječima, ako je moguće pronaći značenje izraza, onda zapis nije lišen značenja, i obrnuto.
Primjeri sljedećih unosa su valjane numeričke konstrukcije:
- 3*8-2;
- 15/3+6;
- 0,3*8-4/2;
- 3/1+15/5;
Jedan broj bi također bio numerički izraz poput 18 iz gornjeg primjera.
Primjeri nevažećih brojčanih konstrukcija koje nemaju smisla:
- *7-25);
- 16/0-;
- (*-5;
Netočni numerički primjeri samo su skup matematičkih simbola i nemaju nikakvog smisla. 
Kako pronaći značenje izraza
Budući da u takvim primjerima postoje aritmetički znakovi, možemo zaključiti da vam omogućuju izradu aritmetički proračuni... Za izračunavanje znakova ili, drugim riječima, za pronalaženje vrijednosti izraza, potrebno je izvršiti odgovarajuće aritmetičke manipulacije.
Kao primjer, razmotrite sljedeću konstrukciju: (120-30) / 3 = 30. Broj 30 bit će vrijednost brojčanog izraza (120-30) / 3.
Upute:
Koncept numeričke jednakosti
Brojčana jednakost je situacija kada su dva dijela primjera odvojena znakom "=". Odnosno, jedan dio je potpuno jednak (identičan) drugom, čak i ako je prikazan u obliku drugih kombinacija simbola i brojeva.
Na primjer, bilo koja konstrukcija poput 2 + 2 = 4 može se nazvati numeričkom jednakošću, jer čak i ako su dijelovi obrnuti, značenje se neće promijeniti: 4 = 2 + 2. Isto vrijedi i za složenije konstrukcije kao što su zagrade, dijeljenje, množenje, razlomci i tako dalje.
Kako ispravno pronaći značenje izraza
Da biste ispravno pronašli vrijednost izraza, potrebno je izvršiti izračune prema određenom redoslijedu radnji. Ovaj red se uči čak i na satovima matematike, a kasnije i na satovima algebre u osnovna škola... Također je poznat kao prečke aritmetičkih operacija.
Aritmetički koraci:
- Prvi korak je zbrajanje i oduzimanje brojeva.
- Druga faza je dijeljenje i množenje.
- Treći korak - brojevi su na kvadrat ili kocka.
Promatrajući slijedeći pravila, uvijek možete točno odrediti značenje izraza:
- Nastavite od koraka 3 do koraka 1 ako u primjeru nema zagrada. Odnosno, prvo kvadrat ili kocku, zatim podijelite ili množite, a tek onda zbrojite i oduzmite.
- U konstrukcijama sa zagradama prvo izvršite radnje u zagradama, a zatim slijedite gore opisani redoslijed. Ako postoji više od jedne zagrade, također koristite postupak iz prvog stavka.
- U primjerima u obliku razlomka najprije saznajte rezultat u brojniku, zatim u nazivniku, a zatim prvi podijelite s drugim.
Pronalaženje značenja izraza neće biti teško ako svladate osnovno znanje. početni tečajevi algebra i matematika. Vodeći se gore opisanim informacijama, možete riješiti bilo koji problem, čak i veće složenosti.
Saznajte lozinku iz VK-a, znajući prijavu
Kao roditelji, u procesu podučavanja vašeg djeteta, više puta ćete se suočiti s potrebom pomoći u rješavanju kućnih zadataka iz matematike, algebre i geometrije. A jedna od osnovnih vještina za učenje je kako pronaći značenje izraza. Mnogi dolaze u slijepu ulicu, jer koliko je godina prošlo otkako smo učili u 3-5 razredima? Mnogo toga je već zaboravljeno, ali nešto nije naučeno. Sama pravila matematičkih operacija su jednostavna i lako ćete ih zapamtiti. Počnimo sa samim osnovama što je matematički izraz.
Definicija izraza
Matematički izraz je skup brojeva, znakova radnji (=, +, -, *, /), zagrada, varijabli. Ukratko - ovo je formula, čiju će vrijednost trebati pronaći. Takve formule tek se nalaze u matematičkom kolegiju još od škole, a onda idu za studentima koji su za sebe odabrali specijalnosti vezane uz točne znanosti. Matematički izrazi se dijele na trigonometrijske, algebarske i tako dalje, nećemo trčati u samu "džunglu".
- Izračunajte najprije na nacrtu, a zatim ga prepišite radna bilježnica... Tako ćete izbjeći nepotrebne križeve i prljavštinu;
- Ponovno izračunajte ukupan broj matematičkih zadataka koje treba izvesti u izrazu. Napominjemo da se prema pravilima prvo izvode radnje u zagradama, zatim dijeljenje i množenje, a na samom kraju oduzimanje i zbrajanje. Preporučujemo da sve radnje označite olovkom i stavite brojeve iznad radnji po redoslijedu prioriteta. U tom slučaju, vama i djetetu bit će lakše snaći se;
- Počnite s izračunima strogo se pridržavajući redoslijeda izvođenja radnji. Neka dijete, ako je izračun jednostavan, pokuša to napraviti u svojoj glavi, ali ako je teško, onda stavite u olovku broj koji odgovara rednom broju izraza i izvrši izračun u pisanom obliku prema formuli;
- Obično pronađite vrijednost jednostavan izraz nije teško ako se svi izračuni izvode u skladu s pravilima i ispravnim redoslijedom. Većina se susreće s problemom u ovoj fazi pronalaženja vrijednosti izraza, stoga budite oprezni i nemojte griješiti;
- Zabrani kalkulator. Sami matematičke formule i zadaci u životu vašeg djeteta možda neće biti korisni, ali to nije svrha proučavanja predmeta. Glavna stvar je razvoj logičkog mišljenja. Ako koristite kalkulatore, onda će smisao svega biti izgubljen;
- Vaš zadatak kao roditelja nije rješavati probleme djetetu, već mu u tome pomoći, usmjeravati ga. Neka on sam napravi sve izračune, a vi pazite da ne pogriješi, objasnite zašto to trebate, a ne drugačije.
- Nakon što pronađete odgovor na izraz, zapišite ga iza znaka "=";
- Otvoriti zadnja stranica udžbenik iz matematike. Obično postoje odgovori za svaku vježbu u knjizi. Ne škodi provjeriti je li sve točno izračunato.
Pronađite vrijednost izraza - s jedne strane, jednostavan postupak, glavna stvar je zapamtiti osnovna pravila kroz koja smo prošli školski tečaj matematika. Međutim, s druge strane, kada trebate pomoći svojoj bebi da se nosi s adaptiranim mlijekom i rješavanju problema, problem postaje još kompliciraniji. Uostalom, sada niste učenik, već učitelj, a odgoj budućeg Einsteina leži na vašim plećima.
Nadamo se da vam je naš članak pomogao pronaći odgovor na pitanje kako pronaći značenje izraza i lako možete shvatiti bilo koju formulu!
U okruženju Lazarus također možete procijeniti vrijednosti složenih matematičkih izraza. Na primjer, kao što je sljedeći izraz:
Sve što trebamo učiniti je ispravno napisati formulu kako bi je Lazar mogao kompilirati i zatim riješiti.
Riža. 4 - Program "izračunavanje vrijednosti izraza" prije pokretanja
Za početak, kada pišete program između "procedure" i "begin", unesite naredbu var alfa ……… y: real; potrebno je za izračunavanje decimalnih brojeva. Također morate unijeti naredbu "math" u "uses", inače neke funkcije u programu neće raditi.
Ovako izgleda kod programa "procjena vrijednosti izraza" u Lazarusu:
procedura TForm1.SpeedButton1Click (Pošiljatelj: TObject);
var x, y: Single;
x: = StrToFloat (Edit1.Text);
y: = ((sin (x)) / 2) +3;
Oznaka3.Naslov: = FloatToStr (y);
Riža. 5 - Program "Evaluacija izraza" nakon pokretanja.
Program je ispravno sastavljen, interpretacija je bila uspješna. Sada, da biste izračunali funkciju "y", morate postaviti svoje vrijednosti u formulu.
Izračunavanje zbroja niza brojeva.
Koristeći zbroj nizova brojeva, možete: - proširiti funkciju u niz stepena; - izvršiti približne izračune vrijednosti funkcije; - izvršiti izračune granica; - izvršiti proračun određenih integrala; - izvršiti računanje logaritama; - provesti integraciju diferencijalnih jednadžbi; - riješiti jednadžbu prvog reda iterativnom metodom.
Iteracija je ponovljeno izvođenje neke radnje sve dok neki uvjet nije zadovoljen. Niz se smatra zadanim ako je zadan zakon po kojem se može izračunati bilo koji član niza, i serijski broj ovaj broj. Među redovima postoje konvergirajući i divergentni redovi. Ako vrijednost parcijalnih zbroja Sn teži nekom broju A s neograničenim povećanjem n, niz se naziva konvergentnim, a broj A zbrojem. Dakle, uz neograničeno povećanje n, vrijednost Sn se proizvoljno malo razlikuje od A, t.j. broj A je granica niza Sn.
Riža. 6 - Program "Izračunavanje zbroja niza brojeva" prije početka
Kod programa "Izračunavanje zbroja niza brojeva" izgledat će ovako:
Classes, SysUtils, FileUtil, LResources, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Math;
TForm1 = klasa (TForm)
Button1: TButton;
procedura Button1Click (Pošiljatelj: TObject);
(privatne izjave)
(javne izjave)
procedura TForm1.Button1Click (Pošiljatelj: TObject);
var n, faktorijel: cijeli broj; x, y, s: realno;
x: = StrToFloat (Edit1.Text);
za n: = 1 do 25 do
s: = s + snaga (x, (n-1)) / faktorijel;
faktorijal: = faktorijal * (n + 1);
Label4.Caption: = FloatToStr (s);
y: = (snaga (2,76, x) -1) / x;
Oznaka5.Naslov: = FloatToStr (y);
Riža. 7 - Program "Izračun zbroja niza brojeva" nakon pokretanja
Program je ispravno sastavljen, objekt je uspješno preveden. Sada, da biste izračunali zbroj niza brojeva, trebate unijeti svoje vrijednosti u formulu, a kreirani program, sličan kalkulatoru, izračunat će odgovor.
