5. مدارهای الکتریکی خطی در حالت تأثیرات ناهارمونیک دوره ای. نظریه مدارهای الکتریکی

5. مدارهای الکتریکی خطی در حالت تأثیرات ناهارمونیک دوره ای

5.1. سیگنال های دوره ای غیر هارمونیک

هنگام انتقال اطلاعات از طریق کانال های ارتباطی در فرآیند تبدیل سیگنال ها به دستگاه های مختلفبه عنوان یک قاعده، از ارتعاشات غیر هارمونیک استفاده می شود، زیرا ارتعاشات هارمونیک صرفا نمی توانند حامل اطلاعات باشند. برای انتقال پیام، نوسانات هارمونیک در دامنه مدوله می شوند - مدولاسیون دامنه(AM)، فرکانس - مدولاسیون فرکانس(FM) یا فاز - مدولاسیون فاز(FM)، یا استفاده کنید سیگنال های ضربه ایمدوله شده در دامنه - مدولاسیون پالس دامنه (AIM)، عرض - مدولاسیون عرض پالس(PWM)، موقعیت زمانی - مدولاسیون زمان پالس (PWM). دیگران هستند، بیشتر سیگنال های پیچیدهبر اساس قوانین خاص تشکیل شده است. ویژگی متمایزسیگنال های نشان داده شده ماهیت پیچیده غیر هارمونیک دارند. جریان ها و ولتاژهای تشکیل شده در دستگاه های مختلف پالسی و دیجیتال (19. سیگنال ها و مدارهای گسسته) شکل غیر سینوسی دارند، سیگنال های هارمونیکی که از دستگاه های غیر خطی مختلف عبور می کنند (11. مدارهای الکتریکی غیرخطی تحت تأثیر هارمونیک) یک حالت غیر سینوسی به دست می آورند. - شخصیت سینوسی و غیره. همه اینها منجر به نیاز به توسعه روشهای ویژه برای تجزیه و تحلیل و سنتز مدارهای الکتریکی تحت تأثیر جریانها و ولتاژهای غیر سینوسی و غیر تناوبی می شود. این روش ها بر اساس نمایش طیفی اعمال غیر سینوسی مبتنی بر بسط سری یا انتگرال فوریه است.

از جانب تجزیه و تحلیل ریاضیمشخص شده است که تابع ناهارمونیک دوره ای f (t)ارضای شرایط دیریکله را می توان در سری فوریه گسترش داد:
(5.1)
جایی که یک ک,b k -ضرایب انبساط تعیین شده توسط معادلات
(5.2)

بزرگی نشان دهنده میانگین در طول دوره مقدار تابع است f (t)و جزء ثابت نامیده می شود.

در مطالعات نظری معمولاً به جای فرمول (5.1) از دیگری بر اساس جایگزینی متغیر مستقل استفاده می شود:
(5.3)
جایی که
(5.4)

معادله (5.3) شکل مثلثاتی سری فوریه است. هنگام تجزیه و تحلیل زنجیره‌ها، اغلب استفاده از شکل پیچیده سری فوریه راحت‌تر است که می‌توان آن را از (5.3) با استفاده از فرمول‌های اویلر به‌دست آورد:
(5.5)

با جایگزینی (5.5) به معادله (5.3)، پس از تبدیل های ساده، شکل مختلط سری فوریه را به دست می آوریم:
(5.6)
جایی که آ k -دامنه پیچیده کهارمونیک ام:
(5.7)
جایی که - دامنه؛ - فاز اولیه کهارمونیک

جایگزینی مقادیر یک کو b kاز (5.4) تا (5.7)، به دست می آوریم:
(5.8)

مجموعه دامنه 0.5 A k = 0,5آ –کدر بسط (5.6)، در برابر فرکانس های مثبت و منفی متناظر، یک متقارن در مورد محور مختصات (به دلیل یکنواختی ضرایب) تشکیل می دهد. یک ک) طیف دامنه خط.

مجموعه دستورات ک = – –کاز (5.7) موجود در بسط (5.6) و به تعویق افتادن در برابر فرکانس های مثبت و منفی مربوطه، یک متقارن در مورد مبدا محور مختصات (به دلیل عجیب بودن ضرایب) تشکیل می دهد. b k)طیف فاز خطی.

بسط (5.3) را می توان به شکل دیگری نشان داد. با توجه به اینکه یک ک = A k cos کو b k= A kگناه ک، سپس پس از تعویض در (5.3) به دست می آوریم:
(5.9)

اگر مولفه ثابت a 0/2 را به عنوان هارمونیک صفر در نظر بگیریم فاز اولیه 0 = 0، سپس بسط (5.9) شکل می گیرد
(5.10)

در حالت خاصی که تابع f(الف) حول محور ارتین متقارن است (شکل 5.1، آ، فقط هارمونیک های زوج (کسینوس) در بسط (5.3) ظاهر می شوند:

(5.11)

و با تقارن f(الف) نسبت به مبدا (شکل 5.1، ب) هارمونیک های فرد
(5.12)

هنگام جابجایی مبدا تابع f(الف) طیف دامنه آن تغییر نمی کند، اما فقط طیف فاز تغییر می کند. در واقع، ما تابع را تغییر می دهیم f(الف) در امتداد محور زمان به سمت چپ توسط تی 0 و نشان می دهد.

سپس بسط (5.9) شکل می گیرد
(5.13)

مثال.نوسانات مستطیلی را در یک سری فوریه بسط دهید (شکل 5.1، ب). با توجه به اینکه f(الف) با توجه به مبدا متقارن است، فقط هارمونیک های سینوسی (5.12) در بسط (5.3) باقی می مانند، که در آن b kمطابق (5.4) تعیین می شود:

جایگزین کردن b kدر (5.12)، یک بسط در یک سری فوریه بدست می آوریم:
(5.14)

بعد، بیایید حرکت کنیم f(a) p / 2 به سمت چپ (شکل 5.1 را ببینید، آ). سپس مطابق (5.13) بدست می آوریم

(5.15)

به این معنا که ما یک انبساط در اجزای کسینوس به دست آورده‌ایم، همانطور که برای یک سیگنال متقارن حول محور ارتین باید باشد.

در برخی موارد، زمانی که تابع تناوبی f(الف) به صورت گرافیکی داده شده است و دارد شکل پیچیده، گسترش آن به یک سری فوریه را می توان به صورت تحلیلی گرافیکی انجام داد. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که دوره سیگنال تی(شکل 5.2) به تقسیم می شود مترفواصل مساوی و نقاط شکست f(الف) نباید در وسط بخش های تقسیم شده بیفتد. مقدار سیگنال را تعیین کنید f(آ n) در وسط هر بخش از شکاف.

ضرایب انبساط را پیدا کنید یک کو b kبا جایگزین کردن انتگرال در (5.2) با مجموع محدود
(5.16)

معادله (5.16) به راحتی و هنگام محاسبه برنامه ریزی می شود یک کو b k، می توان از کامپیوتر استفاده کرد.

5.2. RMS، مقدار متوسط ​​و توان یک سیگنال ناهارمونیک دوره ای

برای قطعیت، این را فرض می کنیم f(تی) به معنای جاری است من(تی). سپس مقدار مؤثر جریان ناهارمونیک دوره ای مطابق با (3.5) تعیین می شود که در آن من(تی) با معادله (5.10) تعیین می شود:
(5.17)

با جایگزینی این مقدار فعلی در (3.5)، پس از ادغام به دست می آوریم
(5.18)

یعنی مقدار مؤثر جریان ناهارمونیک دوره ای منبه طور کامل توسط مقادیر مؤثر هارمونیک های آن تعیین می شود من کو به مراحل اولیه آنها بستگی ندارد ک.

به همان شیوهمقدار مؤثر ولتاژ غیر سینوسی تناوبی را پیدا می کنیم:
(5.19)

مقدار متوسط ​​جریان با توجه به عبارت کلی (3.9) تعیین می شود. علاوه بر این، آنها معمولاً مقدار متوسط ​​را می گیرند من(تی) بر قدر مطلق
(5.20)

به همین ترتیب مشخص می شود Uچهارشنبه (2).

از نظر تئوری مدار، علاقه بزرگمیانگین را نشان می دهد قدرت فعالیک سیگنال ناهارمونیک و توزیع آن بین هارمونیک های فردی

میانگین توان فعال یک سیگنال دوره ای غیر سینوسی
(5.21)
جایی که
(5.22)

ک- تغییر فاز بین جریان و ولتاژ کهارمونیک

جایگزینی مقادیر من(تی) و تو(تی) از (5.22) به معادله (5.21)، پس از ادغام به دست می آوریم:
(5.23)
یعنی میانگین توان فعال یک سیگنال ناهارمونیک دوره ای در یک دوره برابر با مجموع توان هارمونیک های منفرد است. فرمول (5.23) یکی از اشکال معروف است برابری های پارسوال.

به همین ترتیب، ما پیدا می کنیم توان راکتیو
(5.24)
و قدرت کامل
(5.25)

باید تاکید کرد که برخلاف سیگنال های هارمونیک برای سیگنال های غیر هارمونیک
(5.26)

بزرگی پ isc = نام را یدک می کشد قدرت اعوجاجو درجه تفاوت در اشکال جریان را مشخص می کند من(تی) و ولتاژ تو(تی).

علاوه بر قدرت اعوجاج، سیگنال های ناهارمونیک دوره ای نیز با تعدادی از مشخص می شوند ضرایب:توان، k m = P / S. K f = U / U cf (2) را تشکیل می دهد. دامنه K a = U m / U. اعوجاج k و = U 1 / U. هارمونیک k r = و غیره.

برای سیگنال سینوسی ک f = / 21.11; ک a = 1.41; ک u = 1; ک r = 0.

5.3. طیف سیگنال های ناهارمونیک دوره ای

دنباله ای از پالس های مستطیلی را که در شکل نشان داده شده است در نظر بگیرید. 5.3، آ... سیگنال های این شکل به طور گسترده ای در مهندسی رادیو و مخابرات استفاده می شود: تلگراف، سیستم های دیجیتالسیستم های انتقال ارتباط چند کانالهبا تقسیم زمانی کانال ها، پالس های مختلف و دستگاه های دیجیتالو دیگران (به فصل 19 مراجعه کنید). توالی پالس با پارامترهای اساسی زیر مشخص می شود: دامنه پالس آو و می تواند هم ولتاژ و هم جریان را معنا کند. ">، مدت آن تیو و دوره بعد تی... نسبت دوره تیبه مدت تیو تماس گرفت چرخه کارو با نشان داده می شود q = T / t و... به طور معمول، مقادیر چرخه وظیفه ایمپالس ها در محدوده چندین واحد (در تجهیزات اندازه گیری، دستگاه ها) قرار دارند. انتقال گسستهو پردازش اطلاعات)، تا چند صد یا هزاران (در رادار).

برای یافتن طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی، از سری فوریه به صورت مختلط (5.6) استفاده می کنیم. دامنه پیچیده کهارمونیک -ام طبق (5.8) پس از بازگشت به متغیر اصلی برابر است تی.

(5.27)

جایگزینی مقدار آکدر معادله (5.6)، یک بسط در یک سری فوریه به دست می آوریم:
(5.28)

در شکل 5.4 طیف دامنه های پیچیده را نشان می دهد q= 2 و q= 4. همانطور که از شکل مشاهده می شود، طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی است. طیف گسستهبا یک پاکت (خط چین در شکل 5.4)، که توسط تابع توضیح داده شده است
(5.29)
تابع شمارش نامیده می شود (به فصل 19 مراجعه کنید). تعداد خطوط طیفی بین مبدا در امتداد محور فرکانس و صفر اول پوشش برابر است. q- 1. جزء ثابت سیگنال (مقدار متوسط) و ارزش موثر آ=، یعنی هرچه چرخه کار بیشتر باشد، سطح جزء ثابت و مقدار مؤثر سیگنال کمتر می شود. با افزایش چرخه وظیفه qتعداد اجزای گسسته افزایش می یابد - طیف متراکم تر می شود (شکل 5.4 را ببینید، ب، و دامنه هارمونیک ها کندتر کاهش می یابد. لازم به تاکید است که مطابق با (5.27)، طیف دنباله در نظر گرفته شده پالس های مستطیلی واقعی است.

از طیف دامنه های پیچیده (5.27)، می توان دامنه را تشخیص داد A k = |آک| و طیف فاز ک= ارگ آکنشان داده شده در شکل 5.5 برای مورد q= 4. از شکل ها می توان دریافت که طیف دامنه زوج است و طیف فاز تابعی از فرکانس است. علاوه بر این، فازهای هارمونیک های فردی هر دو را انجام می دهند مقدار صفربین گره ها، جایی که سینوس مثبت است، یا ±، جایی که سینوس منفی است (شکل 5.5، ب)

بر اساس فرمول (5.28)، شکل مثلثاتی انبساط در سری فوریه را در هارمونیک های زوج به دست می آوریم (مقایسه با (5.15)):
(5.30)

هنگامی که توالی پالس در امتداد محور زمان جابجا می شود (شکل 5.2، ب) مطابق با (5.13)، طیف دامنه آن ثابت می ماند و طیف فاز تغییر می کند:
(5.31)

در موردی که دنباله تناوبی شکل دوقطبی دارد (شکل 5.1 را ببینید)، هیچ جزء ثابتی در طیف وجود نخواهد داشت (مقایسه کنید (5.30) و (5.31) با (5.14) و (5.15)).

به طور مشابه، می‌توان ترکیب طیفی سیگنال‌های ناهارمونیک دوره‌ای با شکل متفاوت را مطالعه کرد. جدول 5.1 گسترش فوریه برخی از رایج ترین سیگنال ها را نشان می دهد.

جدول 5.1

	انواع سیگنال	بسط سری فوریه
1
2
3
4
5
6

5.4. محاسبه مدارهای با تأثیرات غیر هارمونیک دوره ای

اصل برهم نهی در قلب محاسبه مدارهای الکتریکی خطی تحت تأثیر سیگنال های ناهارمونیک دوره ای نهفته است. ماهیت آن در رابطه با تأثیرات ناهارمونیک تجزیه سیگنال تناوبی ناهارمونیک به یکی از اشکال سری فوریه (نگاه کنید به 5.1. سیگنال های تناوبی ناهارمونیک. گسترش در یک سری فوریه) و تعیین پاسخ زنجیره از هر هارمونیک به طور جداگانه است. واکنش به دست آمده با برهم نهی (برهم نهی) واکنش های جزئی حاصل می شود. بنابراین، محاسبه مدارها تحت تأثیرات ناهارمونیک دوره ای شامل تجزیه و تحلیل ترکیب طیفی سیگنال (بسط آن به یک سری فوریه)، محاسبه مدار از هر جزء هارمونیک و وظیفه سنتز است که در نتیجه آن سیگنال خروجی به عنوان تابعی از زمان (فرکانس) یا موثر آن (مقدار اوج) تعیین می شود.

هنگام حل مسئله تحلیل، معمولاً از شکل مثلثاتی (5.3) یا مختلط (5.6) سری فوریه استفاده می شود. تعداد محدودیشرایط گسترش، که منجر به برخی از خطاها در تقریب سیگنال واقعی می شود. ضرایب انبساط یک کو b kدر (5.3) یا A kو کدر (5.6) با استفاده از معادلات (5.4)، (5.7)، و (5.8) تعیین می شوند. در این مورد، سیگنال ورودی f(الف) باید به صورت تحلیلی مشخص شود. اگر سیگنال به صورت گرافیکی مشخص شده باشد، به عنوان مثال، به شکل یک اسیلوگرام، سپس برای پیدا کردن ضرایب انبساط یک کو b kمی توان از روش گرافیکی-تحلیلی استفاده کرد (نگاه کنید به (5.16)).

محاسبه مدار از هارمونیک های فردی معمولاً با استفاده از روش نمادین انجام می شود. باید در نظر داشت که در کهارمونیک -ام راکتانس القایی X L(ک) = kL، آ ظرفیت X C(ک) = 1/(kС) یعنی در کراکتانس القایی هارمونیک در کبار بیشتر، و خازنی در کبرابر کمتر از هارمونیک اول این به ویژه این واقعیت را توضیح می دهد که هارمونیک های بالا در ظرفیت خازن بارزتر هستند و در اندوکتانس ضعیف تر از ولتاژ اعمال شده به آنها هستند. مقاومت فعال آردر فرکانس های پایین و متوسط ​​را می توان مستقل از فرکانس در نظر گرفت.

پس از تعیین جریان ها و ولتاژهای مورد نظر از هارمونیک های مجزا با روش برهم نهی، پاسخ مدار حاصل به یک اثر تناوبی ناهارمونیک پیدا می شود. در این مورد، یا تعیین کنید ارزش لحظه ایسیگنال حاصل بر اساس محاسبه دامنه ها و فازهای هارمونیک های مجزا، یا دامنه یا مقادیر rms آن طبق معادلات (5.18)، (5.19). هنگام تعیین واکنش حاصل، باید به خاطر داشت که مطابق با مفهوم دوره ای ارتعاشات هارمونیکدر صفحه مختلط، بردارهای هارمونیک های مختلف با فرکانس های زاویه ای متفاوت می چرخند.

مثال.به مدار نشان داده شده در شکل. 5.6، ولتاژ اعمال شده تو(تی) به صورت پالس های مستطیلی با دوره تکرار تی= 2تیو و دامنه آ u = 1B (شکل 5.3 را ببینید، ب). فوری و را تعریف کنید ارزش موثرولتاژ ظرفیت خازنی

انبساط این ولتاژ در سری فوریه با فرمول (5.31) تعیین می شود. ما خودمان را به سه عبارت اول انبساط محدود می کنیم (5.31): هارمونیک k-امین حالتی از مدار الکتریکی است که از عناصر راکتیو انواع مختلف تشکیل شده است که در آن تغییر فاز بین جریان ورودیو ولتاژ اعمال شده ک-x هارمونیک صفر است... پدیده تشدید را می توان برای جداسازی هارمونیک های فردی از یک سیگنال غیر سینوسی تناوبی استفاده کرد. باید تاکید کرد که یک رزونانس جریان در یک فرکانس و یک تشدید ولتاژ در فرکانس دیگر می‌تواند به طور همزمان در یک مدار به دست آید.

مثال.برای مدار نشان داده شده در شکل. 5.7، برای 1 معین، L 1 ارزش را پیدا کنید سی 1 و سی 2، که در آن رزونانس ولتاژ در هارمونیک 1 و رزونانس جریان در هارمونیک 5 به طور همزمان رخ می دهد.

از شرایط رزونانس ولتاژ، متوجه می شویم که ورودی راکتانسمدار در اولین هارمونیک باید صفر باشد:
(5.32)

و در پنجم - بی نهایت (رسانایی راکتیو ورودی در هارمونیک پنجم باید برابر با صفر باشد):
(5.33)

از شرایط (5.32) و (5.33) مقدار مورد نظر ظرفیت ها را می یابیم:

در میان سیستم های مختلف توابع متعامد که می توان از آنها به عنوان پایه برای نمایش استفاده کرد سیگنال های رادیویی، یک مکان انحصاری توسط توابع هارمونیک (سینوسی و کسینوس) اشغال شده است. اهمیت سیگنال‌های هارمونیک برای مهندسی رادیو به دلایلی است.

به خصوص:

1. سیگنال های هارمونیک تحت تبدیل های انجام شده توسط خطی ثابت ثابت هستند مدارهای الکتریکی... اگر چنین مداری توسط منبع نوسانات هارمونیک برانگیخته شود، سیگنال در خروجی مدار با همان فرکانس هارمونیک باقی می ماند و تنها در دامنه و فاز اولیه با سیگنال ورودی متفاوت است.

2. تکنیک برای تولید سیگنال های هارمونیک نسبتا ساده است.

اگر هر سیگنالی به صورت مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف، سپس آنها می گویند - که تجزیه طیفی این سیگنال انجام شده است. اجزای هارمونیک منفرد سیگنال طیف آن را تشکیل می دهند.

2.1. سیگنال های دوره ای و سری فوریه

مدل ریاضی یک فرآیند تکرار شده در زمان یک سیگنال تناوبی با ویژگی زیر است:

در اینجا T دوره سیگنال است.

وظیفه یافتن تجزیه طیفی چنین سیگنالی است.

سری فوریه.

اجازه دهید بازه زمانی در نظر گرفته شده در فصل را تنظیم کنیم. پایه متعارف من که توسط توابع هارمونیک با فرکانس های متعدد تشکیل شده است.

هر تابع از این مبنا شرط تناوب (2.1) را برآورده می کند. بنابراین، - با انجام تجزیه متعامد سیگنال بر این اساس، یعنی محاسبه ضرایب

تجزیه طیفی را بدست می آوریم

که در تمام بی نهایت محور زمان معتبر است.

یک سری از شکل (2.4) سری فوریه سیگنال داده شده نامیده می شود. اجازه دهید فرکانس اصلی دنباله ای را که سیگنال تناوبی را تشکیل می دهد، معرفی کنیم. با محاسبه ضرایب انبساط با فرمول (2.3)، سری فوریه را برای سیگنال تناوبی می نویسیم.

با ضرایب

(2.6)

بنابراین در مورد کلیسیگنال تناوبی شامل یک مؤلفه ثابت مستقل از زمان و مجموعه ای بی نهایت از نوسانات هارمونیک است، به اصطلاح هارمونیک هایی با فرکانس هایی که مضرب فرکانس اصلی دنباله هستند.

هر هارمونیک را می توان با دامنه و فاز اولیه آن توصیف کرد برای این منظور ضرایب سری فوریه باید به شکل نوشته شود.

با جایگزینی این عبارات در (2.5)، شکلی معادل از سری فوریه را بدست می آوریم:

که گاهی راحت تر است.

نمودار طیفی سیگنال تناوبی.

بنابراین مرسوم است که تماس بگیرید تصویر گرافیکیضرایب سری فوریه برای یک سیگنال خاص. بین نمودارهای طیفی دامنه و فاز تمایز قائل شوید (شکل 2.1).

در اینجا، در محور افقی، در یک مقیاس معین، فرکانس هارمونیک ها و در محور عمودی، دامنه ها و فازهای اولیه آنها ترسیم می شود.

برنج. 2.1. نمودارهای طیفیبرخی از سیگنال های دوره ای: a - دامنه. ب - فاز

آنها به خصوص به نمودار دامنه علاقه مند هستند، که به شخص اجازه می دهد تا در مورد درصد هارمونیک های خاص در طیف یک سیگنال تناوبی قضاوت کند.

بیایید به چند مثال خاص نگاه کنیم.

مثال 2.1. سری فوریه توالی دوره ایپالس های ویدئویی مستطیلی با پارامترهای شناخته شده، حتی نسبت به نقطه t = 0.

در مهندسی رادیو، نسبت را چرخه وظیفه توالی می نامند. با استفاده از فرمول های (2.6)، پیدا می کنیم

نوشتن فرمول نهایی سری فوریه در فرم راحت است

در شکل 2.2 نمودارهای دامنه دنباله در نظر گرفته شده را در دو حالت شدید نشان می دهد.

توجه به این نکته مهم است که دنباله ای از پالس های کوتاه که به ندرت دنبال یکدیگر می آیند، ترکیب طیفی غنی دارند.

برنج. 2.2. طیف دامنه یک دنباله تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی: a - در چرخه کاری بالا. ب - در چرخه کاری کم

مثال 2.2. سری فوریه یک قطار پالس دوره ای تشکیل شد سیگنال هارمونیکگونه های محدود در سطح (فرض می شود که).

ما یک پارامتر خاص را معرفی می کنیم - زاویه برش، که از رابطه از آنجا تعیین می شود

مطابق با این، مقدار برابر است با مدت زمان یک پالس، که به صورت زاویه ای بیان می شود:

یک رکورد تحلیلی از پالس تولید کننده دنباله مورد بررسی شکل دارد

جزء ثابت دنباله

ضریب دامنه هارمونیک اول

به طور مشابه، دامنه ها محاسبه می شوند - اجزای هارمونیک در

نتایج به دست آمده معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که به اصطلاح توابع برگ عمل می کند:

نمودار برخی از توابع برگ در شکل نشان داده شده است. 2.3.

برنج. 2.3. نمودارهای چند توابع اول برگ

فرم پیچیده سری فوریه.

تجزیه طیفی یک سیگنال تناوبی نیز می تواند تا حدودی یونی با استفاده از سیستم انجام شود توابع اساسیمتشکل از نماهای با توان های خیالی:

به راحتی می توان دید که عملکردهای این سیستم تناوبی هستند با دوره ای که در یک بازه زمانی متعارف از

سری فوریه یک سیگنال تناوبی دلخواه در در این موردشکل می گیرد

با ضرایب

شکل زیر معمولا استفاده می شود:

عبارت (2.11) یک سری فوریه به شکل مختلط است.

طیف سیگنال مطابق با فرمول (2.11) شامل اجزایی در نیم محور فرکانس منفی و. در سری (2.11)، اصطلاحات با فرکانس های مثبت و منفی به صورت جفت ترکیب می شوند، به عنوان مثال: و مجموع بردارها ساخته می شوند - در جهت افزایش زاویه فاز، در حالی که بردارها در چرخش هستند. جهت مخالف... پایان بردار حاصل در هر لحظه از زمان، مقدار فعلی سیگنال را تعیین می کند.

چنین تفسیر بصری از تجزیه طیفی سیگنال تناوبی در بخش بعدی استفاده خواهد شد.

سیگنال های دوره ای را می توان در معرض گسترش سری فوریه قرار داد. علاوه بر این، آنها به عنوان مجموع توابع هارمونیک، یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، نشان داده می شوند. برای اینکه چنین تجزیه ای وجود داشته باشد، یک قطعه سیگنال با مدت زمان یک دوره باید شرایط دیریکله را برآورده کند:

1. نباید ناپیوستگی های نوع دوم وجود داشته باشد (با شاخه های تابع تا بی نهایت).

2. تعداد ناپیوستگی های نوع اول (پرش) باید متناهی باشد.

تعداد افراط باید محدود باشد.

سری فوریه را می توان نه تنها برای نشان دادن سیگنال های دوره ای، بلکه سیگنال های با مدت زمان محدود نیز استفاده کرد. در این حالت بازه زمانی که سری فوریه ترسیم می شود مشخص می شود و در سایر مواقع سیگنال برابر با صفر در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ضرایب یک سری، این رویکرد در واقع به معنای ادامه دوره ای سیگنال فراتر از مرزهای بازه در نظر گرفته شده است.

روش های فوریه برای تجزیه و تحلیل مدارها یا سیستم های خطی استفاده می شود: برای پیش بینی پاسخ (پاسخ) سیستم. برای تعیین تابع انتقال؛ برای ارزیابی نتایج آزمون

یک سیگنال تناوبی دلخواه از طریق تعداد بی نهایت هارمونیک با افزایش فرکانس بیان می شود:

			اعضای اصلی؛
			شرایط هارمونیک (برای n> 1، n یک عدد صحیح است).
			ضرایب هارمونیک؛
			مدت ثابت یا جزء DC.

دوره عملکرد
باید برابر باشد 2πیا چندگانه؛ علاوه بر عملکرد
سری فوریه را می توان به عنوان یک "دستور العمل" برای هر سیگنال تناوبی از اجزای سینوسی در نظر گرفت. به ردیف داده شدهاهمیت عملی داشت، باید همگرا شود، یعنی. مبالغ جزئی سری باید دارای محدودیت باشد.

فرآیند ایجاد یک سیگنال تناوبی دلخواه از ضرایب توصیف کننده اختلاط هارمونیک ها سنتز نامیده می شود. فرآیند معکوس محاسبه ضرایب را آنالیز می گویند. محاسبه ضرایب با این واقعیت تسهیل می شود که میانگین محصولات متقاطع یک سینوسی و کسینوس (و بالعکس) برابر با 0 است.

اجازه دهید اساس را در فضای هیلبرت معرفی کنیم:
برای سادگی، متعارف بودن آن را فرض می کنیم.

سپس هر تابع
از فضای هیلبرت می توان از طریق پیش بینی ها نشان داد بردار ایکسبر اساس محور مبنا توسط سری فوریه تعمیم یافته:

سری های فوریه مخصوصاً هنگام توصیف سیگنال های تناوبی دلخواه با انرژی محدود هر دوره مفید هستند. علاوه بر این، می توان از آنها برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی با انرژی محدود در یک بازه محدود استفاده کرد. در عمل، انتگرال فوریه برای توصیف چنین سیگنال هایی استفاده می شود.

نتیجه گیری

1. سری فوریه به طور گسترده برای توصیف سیگنال های دوره ای استفاده می شود. انتگرال فوریه برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی استفاده می شود.

نتیجه

1. پیام ها، سیگنال ها و نویز به عنوان بردار (نقاط) در فضای خطیرا می توان در قالب مجموعه ای از مختصات در یک مبنای معین توصیف کرد.

2. برای نیروگاه های حرارتی، جالب ترین هنگام نمایش سیگنال ها فضای اقلیدسی n بعدی است.
، فضای بی نهایت هیلبرت
و فضای همینگ گسسته 2 n... در این فضاها مفهوم حاصلضرب اسکالر دو بردار معرفی می شود (ایکس, y) .

3. هر عملکرد پیوستهزمان به عنوان یک عنصر را می توان با یک سری فوریه تعمیم یافته در یک مبنای متعارف معین نشان داد.

ادبیات

اصلی:

تئوری ارتباط الکتریکی: کتاب درسی. برای دانشگاه ها / A.G. زیوکو، دی. دی. کلوفسکی، وی. کورژیک، M. V. Nazarov؛ اد. D. D. Klovsky. - م .: رادیو و ارتباطات، 1377 .-- 433 ص.

اضافی:

پروکیس جی. ارتباطات دیجیتال: پر. از انگلیسی / اد. DD. کلوفسکی. - م .: رادیو و ارتباطات، 2000. - 800 ص.

برنارد اسکلار. ارتباطات دیجیتال. مبانی نظری و کاربرد عملی: پر. از انگلیسی - م.: انتشارات"ویلیامز"، 2003. - 1104 ص.

A.S. سوخوروکوف تئوری ارتباطات الکتریکی: یادداشت های سخنرانی. قسمت 1. - M.: MTUCI، مرکز به, 2002 .-- 65 ص.

A.S. سوخوروکوف تئوری ارتباطات دیجیتال: آموزش. Part 2. - M.: MTUSI, 2008 .-- 53 p.

سخنان مقدماتی

V این بخشنمایش سیگنال های دوره ای با استفاده از سری فوریه در نظر گرفته خواهد شد. سری های فوریه اساس نظریه هستند تحلیل طیفی، زیرا همانطور که بعدا خواهیم دید، تبدیل فوریه یک سیگنال غیر تناوبی را می توان به عنوان گذر به مرز سری فوریه با دوره تکرار بی نهایت بدست آورد. در نتیجه، ویژگی های سری فوریه برای تبدیل فوریه سیگنال های غیر تناوبی نیز معتبر است.

ما عبارات سری فوریه را به صورت مثلثاتی و مختلط در نظر خواهیم گرفت و همچنین به شرایط دیریکله برای همگرایی سری فوریه توجه خواهیم کرد. علاوه بر این، در توضیح مفهومی مانند فرکانس منفی طیف سیگنال که اغلب در آشنایی با نظریه تحلیل طیفی مشکل ایجاد می کند، به تفصیل صحبت خواهیم کرد.

سیگنال دوره ای سری فوریه مثلثاتی

بگذارید یک سیگنال تناوبی از زمان پیوسته وجود داشته باشد، که با یک دوره s تکرار می شود، یعنی. ، جایی که یک عدد صحیح دلخواه است.

به عنوان مثال، شکل 1 دنباله ای از پالس های مستطیلی با مدت زمان c را نشان می دهد که با دوره s تکرار می شوند.

شکل 1. توالی دوره ای

پالس های مستطیلی

از درس تحلیل ریاضی مشخص است که سیستم توابع مثلثاتی

با فرکانس های متعدد، جایی که راد / s یک عدد صحیح است، تشکیل می شود مبنای متعارفبرای گسترش سیگنال های دوره ای با دوره ای که شرایط دیریکله را برآورده می کند.

شرایط دیریکله برای همگرایی سری فوریه مستلزم آن است که یک سیگنال تناوبی روی یک قطعه مشخص شود، در حالی که شرایط زیر را برآورده می کند:

برای مثال تابع تناوبی شرایط دیریکله را برآورده نمی کند، زیرا تابع دارای ناپیوستگی هایی از نوع دوم است و مقادیر نامتناهی در آن به خود می گیرد، جایی که یک عدد صحیح دلخواه است. بنابراین تابع نمی توان با یک سری فوریه نمایش داد. شما همچنین می توانید یک مثال از تابع ارائه دهید ، که محدود است، اما شرایط دیریکله را نیز برآورده نمی کند، زیرا در هنگام نزدیک شدن به صفر، تعداد بی نهایت نقطه افراطی دارد. نمودار تابع در شکل 2 نشان داده شده است.

شکل 2. نمودار تابع :

الف - دو دوره تکرار؛ ب - در مجاورت

شکل 2a دو دوره تکرار تابع را نشان می دهد ، و در شکل 2b - منطقه در مجاورت. مشاهده می شود که با نزدیک شدن به صفر، فرکانس نوسان بی نهایت افزایش می یابد و چنین تابعی را نمی توان با سری فوریه نشان داد، زیرا به صورت تکه ای یکنواخت نیست.

لازم به ذکر است که در عمل هیچ سیگنالی با معانی بی پایانجریان یا ولتاژ عملکرد با عدد بی پایانافراطی مانند همچنین در وظایف کاربردیملاقات نمی کنند. همه سیگنال های تناوبی واقعی شرایط دیریکله را برآورده می کنند و می توانند با یک سری فوریه مثلثاتی بی نهایت به شکل زیر نمایش داده شوند:

در عبارت (2)، ضریب جزء ثابت سیگنال تناوبی را تنظیم می کند.

در تمام نقاطی که سیگنال پیوسته است، سری فوریه (2) به مقادیر این سیگنال همگرا می شود و در نقاط شکست نوع اول - به مقدار میانگین، جایی که و محدودیت های سمت چپ و راست آن هستند. نقطه شکست، به ترتیب.

همچنین از دوره تجزیه و تحلیل ریاضی مشخص شده است که استفاده از یک سری فوریه کوتاه که فقط شامل اولین عبارت ها به جای مجموع بی نهایت است منجر به نمایش تقریبی سیگنال می شود:

که در آن حداقل میانگین مربعات خطا تضمین می شود. شکل 3 تقریب یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی و یک سیگنال دندانه اره دوره ای را با استفاده از تعداد متفاوتی از عبارت های سری فوریه نشان می دهد.

شکل 3. تقریب سیگنال ها توسط سری فوریه کوتاه شده:

الف - تکانه های مستطیلی؛ ب - سیگنال دندان اره

سری فوریه به شکل پیچیده

در بخش قبل، سری فوریه مثلثاتی را برای بسط سیگنال تناوبی دلخواه با شرایط دیریکله در نظر گرفتیم. با استفاده از فرمول اویلر، می توان نشان داد:
سپس سری فوریه مثلثاتی (2) با در نظر گرفتن (4):

بنابراین، یک سیگنال تناوبی را می توان با مجموع یک جزء ثابت و شارهای مختلط که در فرکانس هایی با ضرایب چرخش برای فرکانس های مثبت و برای شارهای مختلط که در فرکانس های منفی می چرخند، نشان داد.

ضرایب نمایی مختلط را که در فرکانس های مثبت می چرخند در نظر بگیرید:

عبارات (6) و (7) منطبق هستند، علاوه بر این، جزء ثابت را می توان از طریق یک نمایی مختلط در فرکانس صفر نیز نوشت:

بنابراین، (5)، با در نظر گرفتن (6) - (8)، می تواند به عنوان یک مجموع واحد نمایش داده شود، زمانی که از منهای بی نهایت تا بی نهایت نمایه شود:

عبارت (9) یک سری فوریه به شکل مختلط است. ضرایب سری فوریه به صورت مختلط مربوط به ضرایب و سری به صورت مثلثاتی است و برای فرکانس های مثبت و منفی تعیین می شود. زیرنویس در تعیین فرکانس، عدد هارمونیک گسسته را نشان می‌دهد و زیرنویس‌های منفی مربوط به فرکانس‌های منفی است.

از عبارت (2) نتیجه می شود که برای یک سیگنال واقعی ضرایب و سری (2) نیز واقعی هستند. با این حال، (9) یک سیگنال واقعی را با مجموعه ای از ضرایب مزدوج پیچیده مرتبط با فرکانس های مثبت و منفی مرتبط می کند.

چند توضیح برای سری فوریه به صورت پیچیده

در قسمت قبل، انتقال از سری فوریه مثلثاتی (2) به سری فوریه را به صورت مختلط (9) انجام دادیم. در نتیجه، به جای گسترش سیگنال های تناوبی بر اساس توابع مثلثاتی واقعی، به یک بسط بر اساس نمایی های مختلط، با ضرایب مختلط رسیدیم و حتی فرکانس های منفی در بسط ظاهر شد! تا جایی که این سوالاغلب سوء تفاهم می شود، لازم است توضیحاتی ارائه شود.

اولاً، کارکردن با شارهای مختلط عموماً آسان‌تر از توابع مثلثاتی است. به عنوان مثال، هنگام ضرب و تقسیم نمایی های مختلط، کافی است نماها را جمع (تفریق) کنیم، در حالی که فرمول های ضرب و تقسیم برای توابع مثلثاتی دست و پا گیرتر هستند.

تمایز و ادغام شارها، حتی پیچیده، نیز آسان تر از توابع مثلثاتی است که به طور مداوم در حین تمایز و ادغام تغییر می کنند (سینوس به کسینوس تبدیل می شود و بالعکس).

اگر سیگنال تناوبی و واقعی باشد، سری فوریه مثلثاتی (2) بصری تر به نظر می رسد، زیرا تمام ضرایب انبساط واقعی باقی می مانند. با این حال، اغلب باید با سیگنال‌های دوره‌ای پیچیده سر و کار داشت (به عنوان مثال، در مدولاسیون و دمدولاسیون، نمایش مربعی پوشش پیچیده استفاده می‌شود). در این حالت، هنگام استفاده از سری فوریه مثلثاتی، تمام ضرایب و بسط های (2) پیچیده می شوند، در حالی که هنگام استفاده از سری فوریه به صورت مختلط (9)، ضرایب بسط یکسان برای ورودی واقعی و مختلط استفاده می شود. سیگنال ها

و در نهایت، لازم است در توضیح فرکانس های منفی که در (9) ظاهر شد، بمانیم. این سوال اغلب اشتباه درک می شود. V زندگی روزمرهما با فرکانس های منفی مواجه نمی شویم. به عنوان مثال، ما هرگز رادیو خود را روی فرکانس منفی تنظیم نمی کنیم. بیایید به قیاس زیر از مکانیک نگاه کنیم. بگذارید یک آونگ فنری مکانیکی وجود داشته باشد که عمل کند ارتعاشات رایگانبا مقداری فرکانس آیا آونگ می تواند با فرکانس منفی نوسان کند؟ البته که نه. همانطور که هیچ ایستگاه رادیویی با فرکانس منفی پخش نمی شود، بنابراین فرکانس نوسانات آونگ نمی تواند منفی باشد. اما آونگ فنری یک جسم یک بعدی است (آونگ در امتداد یک خط مستقیم در نوسان است).

همچنین می‌توانیم قیاس دیگری از مکانیک ارائه دهیم: چرخی که در یک فرکانس می‌چرخد. چرخ، بر خلاف آونگ، می چرخد، یعنی. یک نقطه از سطح چرخ در یک صفحه حرکت می کند، نه اینکه فقط در امتداد یک خط مستقیم ارتعاش کند. بنابراین، برای تنظیم بدون ابهام چرخش، تنظیم سرعت کافی نیست، زیرا جهت چرخش نیز باید تنظیم شود. دقیقاً به همین دلیل است که می توانیم از علامت فرکانس استفاده کنیم.

بنابراین، اگر چرخ با فرکانس راد / ثانیه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، فرض می‌کنیم که چرخ با فرکانس مثبت می‌چرخد و اگر در جهت عقربه‌های ساعت باشد، فرکانس چرخش منفی خواهد بود. بنابراین، برای تنظیم چرخش، فرکانس منفی دیگر بی معنی است و جهت چرخش را نشان می دهد.

و اکنون مهمترین چیزی که باید درک کنیم. نوسان یک جسم یک بعدی (مثلاً آونگ فنری) را می توان به صورت مجموع چرخش دو بردار نشان داده شده در شکل 4 نشان داد.

شکل 4. نوسان آونگ فنری

به عنوان مجموع چرخش دو بردار

در هواپیمای پیچیده

آونگ در امتداد محور واقعی صفحه مختلط با فرکانس در امتداد نوسان می کند قانون هارمونیک... حرکت آونگ به صورت یک بردار افقی نشان داده شده است. بردار بالایی روی صفحه مختلط با فرکانس مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) و بردار پایینی با فرکانس منفی (در جهت عقربه های ساعت) می چرخد. شکل 4 به وضوح رابطه ای را که از درس مثلثات به خوبی شناخته شده است نشان می دهد:

بنابراین، سری فوریه به شکل مختلط (9) سیگنال‌های تناوبی یک بعدی را به صورت مجموع بردارها در صفحه مختلط که با فرکانس‌های مثبت و منفی می‌چرخند، نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که در مورد سیگنال واقعی، طبق (9)، ضرایب انبساط برای فرکانس های منفی مزدوج مختلط با ضرایب متناظر برای فرکانس های مثبت هستند. در مورد سیگنال مختلط، این خاصیت ضرایب به دلیل پیچیده بودن و همچنین پیچیده بودن برآورده نمی شود.

طیف سیگنال های دوره ای

سری فوریه به شکل مختلط، تجزیه یک سیگنال تناوبی به مجموع نمایی های پیچیده است که در فرکانس های مثبت و منفی در مضرب راد / ثانیه با ضرایب مختلط مربوطه می چرخند که طیف سیگنال را تعیین می کند. ضرایب مختلط را می توان با فرمول اویلر نشان داد، جایی که طیف دامنه است، a طیف فاز است.

از آنجایی که سیگنال‌های تناوبی در یک ردیف فقط در یک شبکه فرکانس ثابت تجزیه می‌شوند، طیف سیگنال‌های تناوبی خطی (گسسته) است.

شکل 5. طیف یک دنباله تناوبی

پالس های مستطیلی:

الف - طیف دامنه؛ ب - طیف فاز

شکل 5 نمونه ای از دامنه و طیف فاز یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی را نشان می دهد (شکل 1 را ببینید) در c، مدت زمان پالس c و دامنه پالس B.

طیف دامنه سیگنال واقعی اصلی با توجه به فرکانس صفر متقارن است و طیف فاز ضد متقارن است. توجه داشته باشید که مقادیر طیف فاز و مربوط به همان نقطه در صفحه مختلط است.

می توان نتیجه گرفت که تمام ضرایب انبساط سیگنال کاهش یافته کاملا واقعی هستند و طیف فاز مربوط به ضرایب منفی است.

توجه داشته باشید که بعد طیف دامنه با بعد سیگنال منطبق است. اگر تغییر ولتاژ در طول زمان را که بر حسب ولت اندازه گیری می شود، توصیف کند، دامنه هارمونیک های طیف نیز ابعاد ولت خواهد داشت.

نتیجه گیری

این بخش در مورد نمایش سیگنال های دوره ای با استفاده از سری فوریه بحث می کند. عبارات سری فوریه به صورت مثلثاتی و مختلط داده شده است. داده ایم توجه ویژهشرایط دیریکله برای همگرایی سری فوریه، و نمونه هایی از توابع که برای آنها سری فوریه واگرایی داده شد.

ما روی بیان سری فوریه به شکل مختلط تمرکز کردیم و نشان دادیم که سیگنال‌های تناوبی، هم واقعی و هم پیچیده، با یک سری نمایی پیچیده با فرکانس‌های مثبت و منفی نشان داده می‌شوند. در این مورد، ضرایب انبساط نیز پیچیده هستند و دامنه و طیف فاز سیگنال تناوبی را مشخص می کنند.

در بخش بعدی نگاهی دقیق تر به ویژگی های طیف سیگنال های تناوبی خواهیم داشت.

پیاده سازی نرم افزار در کتابخانه DSPL

دوتش، جی. راهنما کاربرد عملیتبدیل لاپلاس. مسکو، ناوکا، 1965، 288 ص.

آ) دنباله ای از پالس های مستطیلی .

شکل 2. توالی پالس های مستطیلی.

این سیگنال یک تابع یکنواخت است و برای نمایش آن استفاده از آن راحت است کسینوس سینوسی سری فوریه:

. (17)

مدت زمان پالس ها و دوره تکرار آنها در فرمول به دست آمده به صورت یک نسبت گنجانده شده است که به آن می گویند. چرخه وظیفه قطار پالس :.

. (18)

مقدار مدت ثابت سری با در نظر گرفتن مربوط به:

.

نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی به شکل سری فوریه به صورت زیر است:

. (19)

نمودار تابع لوب شکل است. محور افقی در اعداد هارمونیک و فرکانس ها درجه بندی می شود.

شکل 3. نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی

در قالب یک سری فوریه.

عرض گلبرگ، که در تعداد هارمونیک ها اندازه گیری می شود، برابر است با چرخه وظیفه (برای، داریم، اگر). این به یک خاصیت مهم از طیف یک دنباله از پالس های مستطیلی دلالت دارد - در آن هیچ هارمونیکی با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند وجود ندارد ... فاصله فرکانس بین هارمونیک های مجاور برابر با نرخ تکرار پالس است. عرض لوب ها که بر حسب واحد فرکانس اندازه گیری می شود برابر است با، یعنی. با طول مدت سیگنال نسبت معکوس دارد. می توانیم نتیجه بگیریم: هرچه نبض کوتاهتر باشد، طیف گسترده تر است .

ب) سیگنال دندان اره ای .

شکل 4. سیگنال دندان اره ای.

شکل موج دندان اره ای در یک دوره توصیف شده است تابع خطی

, . (20)

این سیگنال یک تابع فرد است، بنابراین سری فوریه آن به شکل سینوسی- کسینوس فقط شامل اجزای سینوسی است:

سری فوریه سیگنال دندان اره عبارت است از:

برای طیف سیگنال های مستطیلی و دندانه ای، مشخص است که دامنه هارمونیک ها با افزایش تعداد آنها به نسبت کاهش یابد .

v) قطار پالس های مثلثی .

سری فوریه عبارتند از:

شکل 5. توالی تکانه های مثلثی.

همانطور که می بینید، بر خلاف دنباله ای از پالس های مستطیلی و دندانه ای، برای سیگنال تناوبی مثلثی، دامنه هارمونیک ها متناسب با توان دوم اعداد هارمونیک کاهش می یابد. این به دلیل این واقعیت است که میزان فروپاشی طیف بستگی دارد درجه صاف بودن سیگنال

سخنرانی شماره 3. تبدیل فوریه.

خواص تبدیل فوریه