تابع خطی. تابع خطی و نمودار آن ویژگی های تابع خطی

تابع خطیتابع فرم نامیده می شود y = kx + bبر روی مجموعه تمام اعداد واقعی داده شده است. اینجا ک- شیب (عدد واقعی)، ب – مدت آزاد (عدد واقعی)، ایکسمتغیر مستقل است.

در یک مورد خاص، اگر k = 0، یک تابع ثابت می گیریم y = بکه نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات می گذرد. (0؛ ب).

اگر b = 0، سپس تابع را دریافت می کنیم y = kx، که است تناسب مستقیم

ب – طول قطعه، که توسط خط در امتداد محور Oy با شمارش از مبدا قطع می شود.

معنای هندسی ضریب ک – زاویه شیبیک خط مستقیم به جهت مثبت محور Ox، در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه یک تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0، سپس محدوده مقادیر تابع خطی کل محور واقعی است. اگر k = 0، سپس محدوده مقادیر تابع خطی از عدد تشکیل شده است ب;

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب.

آ) b ≠ 0، k = 0،از این رو، y = b - زوج;

ب) b = 0، k ≠ 0،از این رو y = kx - فرد.

ج) b ≠ 0، k ≠ 0،از این رو y = kx + b یک تابع کلی است.

د) b = 0، k = 0،از این رو y = 0 - هر دو تابع زوج و فرد.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

گاو: y = kx + b = 0، x = -b / k، از این رو (-b / k؛ 0)- نقطه تقاطع با محور آبسیسا.

اوه: y = 0k + b = b، از این رو (0؛ ب)- نقطه تقاطع با محور ارتین.

توجه: اگر b = 0و k = 0، سپس تابع y = 0برای هر مقدار از متغیر ناپدید می شود ایکس... اگر b ≠ 0و k = 0، سپس تابع y = ببرای هیچ مقداری از متغیر ناپدید نمی شود ایکس.

6) فواصل علامت ثابت به ضریب k بستگی دارد.

آ) k> 0; kx + b> 0، kx> -b، x> -b / k.

y = kx + b- مثبت است ایکساز جانب (-b / k؛ + ∞),

y = kx + b- منفی است ایکساز جانب (-∞؛ -b / k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- مثبت است ایکساز جانب (-∞؛ -b / k),

y = kx + b- منفی است ایکساز جانب (-b / k؛ + ∞).

ج) k = 0، b> 0; y = kx + bدر کل دامنه تعریف مثبت است،

k = 0، b< 0; y = kx + b در کل دامنه منفی است.

7) فواصل یکنواختی تابع خطی به ضریب بستگی دارد ک.

k> 0، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0 ، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

8) نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. برای ایجاد یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است. موقعیت خط مستقیم در صفحه مختصات به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب... در زیر جدولی وجود دارد که به وضوح این موضوع را نشان می دهد.

تعریف تابع خطی

اجازه دهید تعریف تابع خطی را معرفی کنیم

تعریف

تابعی به شکل $ y = kx + b $ که $ k $ غیر صفر است، تابع خطی نامیده می شود.

نمودار تابع خطی - خط مستقیم. عدد $ k $ را شیب خط می گویند.

برای $ b = 0 $، تابع خطی تابع تناسب مستقیم $ y = kx $ نامیده می شود.

شکل 1 را در نظر بگیرید.

برنج. 1. معنای هندسی شیب خط مستقیم

مثلث ABC را در نظر بگیرید. می بینیم که $ ВС = kx_0 + b $. نقطه تلاقی خط مستقیم $ y = kx + b $ را با محور $ Ox $ پیدا کنید:

\ \

از این رو $ AC = x_0 + \ فراک (b) (k) $. بیایید نسبت این احزاب را پیدا کنیم:

\ [\ فراک (BC) (AC) = \ فراک (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ فراک (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]

از سوی دیگر، $ \ frac (BC) (AC) = tg \ زاویه A $.

بنابراین می توان نتیجه زیر را گرفت:

نتیجه

معنای هندسی ضریب $ k $. شیب خط مستقیم $ k $ برابر است با مماس زاویه میل این خط مستقیم به محور $ Ox $.

بررسی تابع خطی $ f \ چپ (x \ راست) = kx + b $ و نمودار آن

ابتدا تابع $ f \ چپ (x \ راست) = kx + b $ را در نظر بگیرید که $ k> 0 $.

1. $ f "\ چپ (x \ راست) = (\ چپ (kx + b \ راست))" = k> 0 $. در نتیجه، این تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. هیچ نقطه افراطی وجود ندارد.
2. $ (\ mathop (lim) _ (x \ به - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ تا + \ infty) kx \) = + \ infty $
3. نمودار (شکل 2).

برنج. 2. نمودارهای تابع $ y = kx + b $، برای $ k> 0 $.

حالا تابع $ f \ چپ (x \ راست) = kx $ را در نظر بگیرید که $ k

1. دامنه همه اعداد است.
2. محدوده همه اعداد است.
3. $ f \ چپ (-x \ راست) = - kx + b $. تابع نه زوج است و نه فرد.
4. برای $ x = 0، f \ چپ (0 \ راست) = b $. برای $ y = 0,0 = kx + b، \ x = - \ فراک (b) (k) $.

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: $ \ چپ (- \ فراک (b) (k)، 0 \ راست) $ و $ \ چپ (0، \ b \ راست) $

1. $ f "\ چپ (x \ راست) = (\ چپ (kx \ راست))" = k
2. $ f ^ ("") \ چپ (x \ راست) = k "= 0 $. بنابراین، تابع نقطه عطف ندارد.
3. $ (\ mathop (lim) _ (x \ به - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ تا + \ infty) kx \) = - \ infty $
4. نمودار (شکل 3).

یک تابع خطی تابعی به شکل y = kx + b است که x یک متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. برای رسم نمودار تابع،به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها باید دو مقدار x بگیرید و آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و مقادیر مربوط به y را از آنها محاسبه کنید.

به عنوان مثال، برای رسم تابع y = x + 2، راحت است که x = 0 و x = 3 را بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y = 2 و y = 3 خواهد بود. امتیاز A (0؛ 2) و B (3؛ 3) را به دست می آوریم. آنها را به هم وصل می کنیم و نمودار تابع y = x + 2 را می گیریم:

2. در فرمول y = kx + b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k> 0 باشد، تابع y = kx + b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b تغییر نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b> 0 باشد، نمودار تابع y = kx + b از نمودار تابع y = kx با جابجایی b واحد به سمت بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودارهای توابع y = 2x + 3 را نشان می دهد. y = ½ x + 3; y = x + 3

توجه داشته باشید که در تمامی این توابع ضریب k بالای صفر،و توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b = 3 - و می بینیم که همه نمودارها محور OY را در نقطه (0; 3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y = -2x + 3 را در نظر بگیرید. y = - ½ x + 3; y = -x + 3

این بار در تمامی توابع ضریب k کمتر از صفر،و توابع نزول کردن.ضریب b = 3، و نمودارها، مانند مورد قبلی، محور OY را در نقطه (0؛ 3) قطع می کنند.

نمودارهای توابع y = 2x + 3 را در نظر بگیرید. y = 2x; y = 2x-3

اکنون در تمام معادلات توابع ضرایب k برابر با 2 است. و سه خط مستقیم موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y = 2x + 3 (b = 3) از محور OY در نقطه (0; 3) عبور می کند.
نمودار تابع y = 2x (b = 0) محور OY را در نقطه (0؛ 0) - مبدا قطع می کند.
نمودار تابع y = 2x-3 (b = -3) از محور OY در نقطه (0; -3) عبور می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y = kx + b چگونه به نظر می رسد.
اگر k 0

اگر k> 0 و b> 0، سپس نمودار تابع y = kx + b به شکل زیر است:

اگر k> 0 و b، سپس نمودار تابع y = kx + b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y = kx + b به شکل زیر است:

اگر k = 0، سپس تابع y = kx + b به تابع y = b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y = b برابر است با b اگر b = 0، سپس نمودار تابع y = kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. به طور جداگانه، نمودار معادله x = a را یادداشت می کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای ابسیسا x = a هستند.

به عنوان مثال، نمودار معادله x = 3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x = a یک تابع نیست، زیرا یک مقدار آرگومان مربوط به مقادیر مختلف تابع است که با تعریف تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y = k 1 x + b 1 موازی با نمودار تابع y = k 2 x + b 2 است، اگر k 1 = k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y = k 1 x + b 1 بر نمودار تابع y = k 2 x + b 2 عمود است اگر k 1 * k 2 = -1 یا k 1 = -1 / k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y = kx + b با محورهای مختصات.

با محور OY. آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. y = b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY دارای مختصات (0; b) است.

با محور OX: مختصات هر نقطه متعلق به محور OX صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. 0 = kx + b می گیریم. از این رو x = -b / k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصاتی است (-b / k؛ 0):