استفاده از سری فوریه برای تجزیه و تحلیل طیف سیگنال های غیر هارمونیک تناوبی بر روی مثالی از یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی. سری فوریه

فیلترهای دیجیتال (سخنرانی)

با توجه به نوع پاسخ ضربه ای، فیلترهای دیجیتال به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند:

· فیلترهایی با پاسخ تکانه محدود (FIR - فیلترها، فیلترهای عرضی، فیلترهای غیر بازگشتی). مخرج تابع انتقال چنین فیلترهایی یک ثابت معین است.

فیلترهای FIR با عبارت زیر مشخص می شوند:

· فیلترهای با پاسخ بی نهایت ضربه (IIR - فیلترها، فیلترهای بازگشتی) از یک یا چند خروجی خود به عنوان ورودی استفاده می کنند، یعنی یک بازخورد را تشکیل می دهند. ویژگی اصلی چنین فیلترهایی این است که پاسخ ضربه ای آنها دارای طول بی نهایت در حوزه زمان است و تابع انتقال یک شکل منطقی کسری دارد.

فیلترهای IIR با عبارت زیر مشخص می شوند:

تفاوت فیلترهای FIR و فیلترهای IIR در این است که برای فیلترهای FIR پاسخ خروجی به سیگنال های ورودی بستگی دارد، در حالی که برای فیلترهای IIR پاسخ خروجی به مقدار جریان بستگی دارد.

پاسخ ضربهپاسخ مدار به یک سیگنال واحد است.

Eسیگنال تک

بنابراین، یک سیگنال تنها در یک نقطه برابر است با یک - در نقطه مبدا.

بازداشت شده هسیگنال تکبه صورت زیر تعریف می شود:

بنابراین، سیگنال تک تاخیری با k دوره نمونه به تاخیر می افتد.

سیگنال ها و طیف ها

دوگانگی (دوگانگی) نمایش سیگنال ها.

همه سیگنال ها را می توان در صفحه زمان یا فرکانس نشان داد.

علاوه بر این، چندین صفحه فرکانس وجود دارد.

هواپیمای زمانی

تحولات.

صفحه فرکانس

برای مشاهده سیگنال در صفحه زمانی، دستگاهی وجود دارد:

تصور کنید که یک سیگنال سینوسی به اندازه کافی طولانی در اینجا وجود دارد (در 1 ثانیه، یک سینوسی 1000 بار تکرار می شود):

بیایید سیگنالی با فرکانس دو برابر بزرگتر در نظر بگیریم:

بیایید این سیگنال ها را اضافه کنیم. ما نه یک سینوسی، بلکه یک سیگنال تحریف شده دریافت می کنیم:

تبدیل از صفحه زمانی به صفحه فرکانس با استفاده از تبدیل فوریه انجام می شود.

برای مشاهده سیگنال در صفحه فرکانس، دستگاهی وجود دارد:

فرکانس چرخه ای یا دایره ای است ( f).

صفحه فرکانس بریدگی را نشان می دهد:

مقدار بریدگی متناسب با دامنه سینوسی و فرکانس است:

برای سیگنال دوم، دامنه فرکانس یک بریدگی متفاوت نشان می دهد:

در دامنه زمانی سیگنال جمع، 2 بریدگی ظاهر می شود:

هر دو نمایش سیگنال معادل هستند و از اولین یا نمایش دیگر استفاده می کنند، هر کدام راحت تر است.

تبدیل از صفحه زمانی به صفحه فرکانس می تواند به روش های مختلفی انجام شود. به عنوان مثال: استفاده از تبدیل های لاپلاس یا استفاده از تبدیل های فوریه.

سه شکل از نوشتن سری فوریه.

سه راه برای نوشتن سری فوریه وجود دارد:

· شکل سینوس - کسینوس.

· فرم واقعی.

فرم پیچیده

1.) به شکل سینوس - کسینوس سری فوریه به شکل زیر است:

فرکانس های متعدد در فرمول گنجانده شده است kω 1 نامیده می شوند هارمونیک ها; هارمونیک ها بر اساس شاخص شماره گذاری می شوند ک; فرکانس ωk =kω 1 تماس گرفت کهارمونیک ام سیگنال

این عبارت می گوید: هر تابع تناوبی را می توان به عنوان مجموع هارمونیک ها نشان داد، که در آن:

تیدوره تکرار این تابع است.

ω - فرکانس دایره ای

، جایی که

تی- زمان فعلی؛

تی- دوره زمانی.

در بسط فوریه مهمترین چیز تناوب است. با توجه به آن، نمونه برداری فرکانس رخ می دهد، تعداد معینی هارمونیک شروع می شود.

به منظور ایجاد امکان بسط مثلثاتی برای یک تابع تناوبی معین، باید از مجموعه خاصی از ضرایب استفاده کرد. تکنیکی برای تعیین آنها توسط اویلر در نیمه دوم قرن 18 و مستقل از او در آغاز قرن 19 توسط فوریه ابداع شد.

سه فرمول اویلر برای تعیین ضرایب:

; ;

فرمول های اویلر نیازی به اثبات ندارند. این فرمول ها برای تعداد بی نهایت هارمونیک دقیق هستند. سری فوریه یک سری کوتاه است، زیرا تعداد بی نهایت هارمونیک وجود ندارد. ضریب سری کوتاه شده با استفاده از فرمول های مشابه برای سری کامل محاسبه می شود. در این حالت، ریشه میانگین مربعات خطا حداقل است.

قدرت هارمونیک ها با افزایش تعداد آنها کاهش می یابد. اگر برخی از مؤلفه های هارمونیک را اضافه یا دور بیندازید، محاسبه مجدد شرایط باقی مانده (سایر هارمونیک ها) مورد نیاز نیست.

تقریباً همه توابع زوج یا فرد هستند:

عملکرد حتی

تابع عجیب و غریب

با معادله مشخص می شود:

به عنوان مثال، تابع Cos:

جایی که: t = -t

یک تابع زوج با توجه به متقارن است

محور y

اگر تابع زوج باشد، تمام ضرایب سینوسی bk کسینوسمقررات.

با معادله مشخص می شود:

به عنوان مثال، تابع گناه:

یک تابع فرد نسبت به مرکز متقارن است.

اگر تابع فرد باشد، تمام ضرایب کسینوس akبرابر صفر خواهد بود و در فرمول سری فوریه فقط وجود خواهد داشت سینوسیمقررات.

2.) فرم واقعی رکوردهای سری فوریه

برخی از مشکلات شکل سینوس کسینوس سری فوریه این است که برای هر مقدار از شاخص جمع ک(یعنی برای هر هارمونیک با فرکانس kω 1) فرمول شامل دو عبارت است - سینوس و کسینوس. با استفاده از فرمول های تبدیل های مثلثاتی، مجموع این دو عبارت را می توان به کسینوس با فرکانس یکسان با دامنه متفاوت و مقداری فاز اولیه تبدیل کرد:

، جایی که

;

اگر اس(تی) یک تابع زوج است، فازها φ فقط می تواند مقادیر 0 و را بگیرد π ، و اگر اس(تی) یک تابع فرد است، سپس مقادیر ممکن برای فاز φ برابر + π /2.

اگر bk= 0، سپس tg φ = 0 و زاویه φ = 0

اگر ak= 0، سپس tg φ - بی نهایت و زاویه φ =

ممکن است در این فرمول یک منفی وجود داشته باشد (بسته به جهتی که گرفته شده است).

3.) فرم پیچیده رکوردهای سری فوریه

این شکل از نمایش سری فوریه شاید بیشترین استفاده را در مهندسی رادیو داشته باشد. از شکل واقعی با نشان دادن کسینوس به صورت نصف مجموع توان های مختلط به دست می آید (چنین نمایشی از فرمول اویلر حاصل می شود. ejθ = Cosθ + jSinθ):

با اعمال این تبدیل به شکل واقعی سری فوریه، مجموع نماهای مختلط با توان مثبت و منفی را به دست می آوریم:

و اکنون نماهای با علامت منفی در اندیکاتور را به عنوان اعضای یک سری با اعداد منفی تفسیر می کنیم. در چارچوب همان رویکرد کلی، اصطلاح ثابت آ 0/2 عضو سری شماره صفر می شود. نتیجه یک شکل پیچیده از سری فوریه است:

فرمول محاسبه ضرایب ckسری فوریه:

اگر اس(تی) هست یک زوجتابع، ضرایب سری ckپاک خواهد شد واقعی، و اگر اس(تی) - عملکرد فرد، ضرایب سری کاملاً مشخص می شود خیالی.

مجموعه دامنه های هارمونیک سری فوریه اغلب نامیده می شود طیف دامنه، و مجموع فازهای آنها می باشد طیف فاز.

طیف دامنه قسمت واقعی ضرایب است ckسری فوریه:

دوباره( ck) طیف دامنه ها است.

طیف سیگنال های مستطیلی

سیگنالی را به شکل دنباله ای از پالس های مستطیلی با دامنه در نظر بگیرید آ، مدت زمان τ و دوره تکرار تی. شروع شمارش معکوس در وسط نبض گرفته می شود.

این سیگنال یک تابع زوج است، بنابراین برای نمایش آن استفاده از شکل سینوس کسینوس سری فوریه راحت تر است - فقط شامل عبارات کسینوس خواهد بود. ak، مساوی با:

از فرمول می توان دریافت که مدت زمان پالس ها و دوره تکرار آنها به طور جداگانه در آن گنجانده نشده است، بلکه منحصراً به صورت نسبت درج شده است. این پارامتر - نسبت دوره به مدت پالس ها - نامیده می شود چرخه کاردنباله های پالس و با حرف نشان داده می شوند: g: g = تی/τ. این پارامتر را وارد فرمول بدست آمده برای ضرایب سری فوریه می کنیم و سپس فرمول را به شکل Sin(x)/x کاهش می دهیم:

توجه داشته باشید: در ادبیات خارجی به جای چرخه وظیفه از مقدار متقابل استفاده می شود که به نام چرخه وظیفه و برابر با τ / است. تی.

با این شکل از نوشتن، به وضوح قابل مشاهده است که مقدار جمله ثابت سری برابر است: از آنجایی که در ایکس→ 0 گناه( ایکس)/ایکس→ 1، سپس

اکنون می‌توانیم نمایش دنباله‌ای از پالس‌های مستطیلی را در قالب یک سری فوریه بنویسیم:

دامنه ترم های هارمونیک سری به عدد هارمونیک طبق قانون Sin ( ایکس)/ایکس.

گناه ( ایکس)/ایکسشخصیت گلبرگ دارد در مورد عرض این گلبرگ ها، باید تأکید کرد که برای نمودارهای طیف های گسسته سیگنال های تناوبی، دو گزینه برای درجه بندی محور افقی امکان پذیر است - در تعداد هارمونیک ها و در فرکانس ها.

در شکل، درجه بندی محور منطبق بر تعداد هارمونیک ها است و پارامترهای فرکانس طیف با استفاده از خطوط بعد بر روی نمودار رسم شده است.

بنابراین، عرض گلبرگ ها، با تعداد هارمونیک ها، برابر است با چرخه کاری دنباله (با ک = ngما داریم گناه (π k/g) = 0 اگر n≠ 0). این حاکی از ویژگی مهم طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی است - هیچ هارمونیک (دارای دامنه صفر) با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند وجود ندارد.

فاصله فرکانس بین هارمونیک های مجاور برابر است با نرخ تکرار پالس - 2 π /تی. عرض لوب های طیف که بر حسب واحد فرکانس اندازه گیری می شود 2 است π /τ ، یعنی با مدت زمان پالس نسبت معکوس دارد. این جلوه ای از قانون کلی است - هر چه سیگنال کوتاهتر باشد، طیف آن گسترده تر است.

نتیجه : برای هر سیگنال، بسط آن در یک سری فوریه مشخص است. دانستن τ و تیما می توانیم محاسبه کنیم که برای انتقال نیرو به چند هارمونیک نیاز است.

روش های تحلیل سیستم های خطی با ضرایب ثابت.

وظیفه در فرمولاسیون:

یک سیستم خطی وجود دارد (به دامنه سیگنال بستگی ندارد):

ضرایب: DS b0، b1، b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; پورت های ورودی را تعریف کنید

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; تعریف پورت های خروجی

ORG P: 0 ; سازماندهی حافظه P

RESET: JMP START ; پرش بدون قید و شرط به برچسب START.

P:100 ; برنامه از سلول صدم شروع خواهد شد.

START: MOVE BUF_X، R0؛ آدرس شروع X در R0 وارد می شود.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ; به اصلاح آریت

MOVE# COEFFS, R4 ; سازمان چرخه بافر برای ضرایب در حافظه Y

MOVE# M0, M4 ; از آنجایی که طول باید مطابقت داشته باشد، پس پرز. از M0 تا M4.

CLRA; باتری را ریست کنید

REP# ORDFIL ; عملیات زنجیره ای را تکرار کنید.

MOVE A, X: (R4) + ; مجری افزایش خودکار و تمام سلول ها بافر می شوند. تنظیم مجدد

حلقه: MOVEP Y: PORT_VVOD، X─ (R0)؛ بایت. ارسال قرائت ها (تکثیر دنباله به b0).

REP# ORDFIL─1 ; هرزه. عملکرد زنجیره ای (39 برابر هوشمند بدون گرد کردن)

MAC X0،Y0،A X:(R0)+، X0 Y:(R4)+، Y0؛ X0 به Y0، پاسخ. در ak; آماده سازی sl. اپرا

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; انتقال بایت به بایت محتوا باتری

JMP LOOP ; پرش بدون قید و شرط به برچسب LOOP.

سفارش طراحی فیلترهای دیجیتال.

ترتیب طراحی فیلترهای دیجیتال در درجه اول به نوع فیلتر در امتداد خط پاسخ فرکانسی مربوط می شود. یکی از مشکلاتی که اغلب در عمل به وجود می آید ایجاد فیلترهایی است که سیگنال ها را در یک باند فرکانسی مشخص عبور داده و بقیه فرکانس ها را به تاخیر می اندازد. چهار نوع وجود دارد:

1.) فیلترهای کم گذر (LPF؛ اصطلاح انگلیسی - فیلتر پایین گذر)، فرکانس های عبوری که کمتر از فرکانس قطع مشخصی هستند. ω 0.

2.) فیلترهای بالاگذر (HPF؛ اصطلاح انگلیسی - فیلتر بالا گذر)، فرکانس های عبوری بیشتر از فرکانس قطع معین ω 0.

3.) فیلترهای باند گذر (PF؛ اصطلاح انگلیسی - فیلتر باند گذر)، فرکانس های عبور در یک محدوده خاص ω 1…. ω 2 (همچنین می توان آنها را با فرکانس متوسط ​​مشخص کرد ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) فیلترهای ناچ (اسامی احتمالی دیگر عبارتند از یک فیلتر شکاف، یک فیلتر استاپ، یک فیلتر باند استاپ؛ اصطلاح انگلیسی band-stop filter است)، به خروجی منتقل می شود. همهفرکانس، بعلاوهدر محدوده خاصی قرار گرفته است ω 1…. ω 2 (همچنین می توان آنها را با فرکانس متوسط ​​مشخص کرد ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 و پهنای باند Δ ω = ω 2 – ω 1).

شکل ایده آل پاسخ فرکانسی این چهار نوع فیلتر:

با این حال، چنین شکل پاسخ فرکانسی ایده آل (مستطیل شکل) را نمی توان به صورت فیزیکی درک کرد. از این رو در تئوری فیلترهای آنالوگ روش های مختلفی ابداع شده است تقریب هاپاسخ فرکانسی مستطیلی

علاوه بر این، با محاسبه فیلتر پایین گذر، می توانید فرکانس قطع آن را با تبدیل های ساده تغییر دهید، آن را به فیلتر بالا گذر، باند گذر یا فیلتر ناچ با پارامترهای مشخص تبدیل کنید. بنابراین، محاسبه فیلتر آنالوگ با محاسبه به اصطلاح شروع می شود فیلتر نمونه اولیهکه یک فیلتر پایین گذر با فرکانس قطع 1 راد بر ثانیه است.

1.) فیلتر باترورث:

عملکرد انتقال نمونه اولیه فیلتر Butterworth هیچ صفری ندارد و قطب های آن به طور مساوی از یکدیگر فاصله دارند س- صفحه در نیمه چپ دایره ای با شعاع واحد.

برای فیلتر Butterworth، فرکانس قطع با سطح 1/ تعیین می شود. فیلتر Butterworth فراهم می کند تا حد امکان صافاوج در باند عبور

2.) فیلتر Chebyshev از نوع اول:

تابع انتقال فیلتر چبیشف نوع I نیز صفر ندارد و قطب های آن در نیمه سمت چپ بیضی قرار دارند. س-سطح. برای فیلتر Chebyshev از نوع اول، فرکانس قطع با سطح موج در باند عبور تعیین می شود.

فیلتر Chebyshev در مقایسه با فیلتر Butterworth با همان ترتیب، بازتاب پاسخ فرکانسی تندتری را در ناحیه انتقال از باند عبور به باند توقف ارائه می دهد.

3.) فیلتر چبیشف از نوع دوم:

عملکرد انتقال فیلتر Chebyshev نوع II، برخلاف موارد قبلی، هم صفر و هم قطب دارد. فیلترهای چبیشف نوع دوم، فیلترهای چبیشف معکوس نیز نامیده می شوند. فرکانس قطع فیلتر چبیشف نوع دوم انتهای باند عبور نیست، بلکه شروع باند توقف. بهره فیلتر در فرکانس صفر برابر با 1 است، در فرکانس قطع - به سطح داده شده از امواج در باند توقف. در ω ∞ اگر ترتیب فیلتر فرد و سطح ریپل برابر با زوج باشد، بهره برابر با صفر است. در ω = 0 پاسخ فرکانسی فیلتر Chebyshev نوع دوم حداکثر صاف است.

4.) فیلترهای بیضوی:

فیلترهای بیضوی (فیلترهای Cauer؛ اصطلاحات انگلیسی - فیلتر بیضوی، فیلتر Cauer) به یک معنا خصوصیات فیلترهای Chebyshev نوع اول و دوم را با هم ترکیب می کنند، زیرا پاسخ فرکانسی یک فیلتر بیضوی دارای موج هایی با مقدار معین است، هر دو در باند عبور. و در باند توقف به همین دلیل، می توان حداکثر شیب ممکن (با نظم فیلتر ثابت) شیب پاسخ فرکانسی، یعنی منطقه انتقال بین باندهای عبور و توقف را فراهم کرد.

تابع انتقال یک فیلتر بیضوی دارای دو قطب و صفر است. صفرها، مانند فیلتر چبیشف نوع دوم، کاملاً خیالی هستند و جفت های مزدوج پیچیده را تشکیل می دهند. تعداد صفرهای تابع انتقال برابر است با حداکثر عدد زوج که از ترتیب فیلتر تجاوز نمی کند.

توابع متلب برای محاسبه Butterworth، فیلترهای Chebyshev نوع اول و دوم و همچنین فیلترهای بیضوی به شما امکان می دهد هم فیلترهای آنالوگ و هم فیلترهای گسسته را محاسبه کنید. توابع محاسبه فیلتر نیاز به تعیین ترتیب فیلتر و فرکانس قطع آن به عنوان پارامترهای ورودی دارد.

ترتیب فیلتر بستگی به موارد زیر دارد:

از ناهمواری های مجاز در باند عبور از اندازه ناحیه عدم قطعیت. (هرچه منطقه عدم قطعیت کوچکتر باشد، افت پاسخ فرکانسی تندتر است).

برای فیلترهای FIR ترتیب چند ده یا صد است و برای فیلترهای IIR ترتیب از چند واحد تجاوز نمی کند.

پیکتوگرام ها امکان دیدن همه ضرایب را فراهم می کنند. طراحی فیلتر روی یک پنجره ساخته شده است.

اغلب توصیف ریاضی سیگنال های قطعی حتی ساده در ساختار و شکل، کار دشواری است. بنابراین، یک تکنیک اصلی استفاده می‌شود، که در آن سیگنال‌های پیچیده واقعی با مجموعه‌ای (مجموع وزنی، یعنی کنار هم) از مدل‌های ریاضی توصیف‌شده توسط توابع ابتدایی جایگزین می‌شوند (نمایش، تقریب). این یک ابزار مهم برای تجزیه و تحلیل عبور سیگنال های الکتریکی از مدارهای الکترونیکی است. علاوه بر این، نمایش سیگنال می تواند به عنوان منبعی برای توصیف و تحلیل آن استفاده شود. در این مورد، می توان به طور قابل توجهی مشکل معکوس را ساده کرد - سنتزسیگنال های پیچیده از مجموعه ای از توابع ابتدایی.

نمایش طیفی سیگنال های تناوبی توسط سری فوریه

سری فوریه تعمیم یافته

ایده اساسی نمایش طیفی سیگنال ها (توابع) به بیش از 200 سال پیش برمی گردد و متعلق به فیزیکدان و ریاضیدان J. B. Fourier است.

اجازه دهید سیستم هایی از توابع متعامد ابتدایی را در نظر بگیریم، که هر کدام از یک نمونه اولیه تابع اولیه به دست می آیند. این تابع نمونه اولیه نقش یک "بلوک ساختمان" را بازی می کند و تقریب مورد نظر با ترکیب مناسب بلوک های یکسان پیدا می شود. فوریه نشان داد که هر تابع پیچیده را می توان به صورت مجموع متناهی یا نامتناهی از یک سری نوسانات هارمونیک چندگانه با دامنه ها، فرکانس ها و فازهای اولیه معین نشان داد (تقریبی). این تابع می تواند، به ویژه، جریان یا ولتاژ در مدار باشد. یک پرتو خورشید، که توسط یک منشور به طیفی از رنگ ها تجزیه می شود، یک آنالوگ فیزیکی از تبدیل فوریه ریاضی است (شکل 2.7).

نوری که از یک منشور خارج می شود در فضا به رنگ های خالص یا فرکانس ها جدا می شود. این طیف در هر فرکانس دامنه متوسطی دارد. بنابراین، تابع شدت در برابر زمان به تابعی از دامنه در برابر فرکانس تبدیل شد. یک تصویر ساده از استدلال فوریه در شکل 1 نشان داده شده است. 2.8. یک منحنی تناوبی و نسبتاً پیچیده در شکل (شکل 2.8، آ) -این مجموع دو هارمونیک فرکانس های مختلف اما چندگانه است: تک (شکل 2.8، ب)و دو برابر شد (شکل 2.8، v).

برنج. 2.7.

برنج. 2.8.

آ- نوسان پیچیده؛ قبل از میلاد مسیح-سیگنال های تقریبی 1 و 2

با کمک تحلیل طیفی فوریه، یک تابع پیچیده با مجموع هارمونیک ها نشان داده می شود که هر کدام فرکانس، دامنه و فاز اولیه خود را دارند. تبدیل فوریه توابعی را تعریف می کند که دامنه و فاز اجزای هارمونیک مربوط به یک فرکانس خاص را نشان می دهد و فاز نقطه شروع سینوسی است.

تبدیل را می توان با دو روش ریاضی مختلف به دست آورد، یکی از آنها زمانی که تابع اصلی پیوسته است و دیگری زمانی که توسط بسیاری از مقادیر مجزا داده می شود استفاده می شود.

اگر تابع مورد مطالعه از مقادیر با فواصل گسسته مشخص به دست آید، می توان آن را به یک سری توابع سینوسی متوالی با فرکانس های گسسته - از پایین ترین، فرکانس اصلی یا اصلی، و سپس با فرکانس های دو بار، سه بار تقسیم کرد. و غیره. بالای اصلی این مجموع اجزا نامیده می شود نزدیک فوریه

سیگنال های متعامد یک راه مناسب برای توصیف سیگنال طیفی طبق فوریه، نمایش تحلیلی آن با استفاده از سیستمی از توابع زمانی ابتدایی متعامد است. اجازه دهید یک فضای هیلبرت از سیگنال ها وجود داشته باشد u 0 (t) y G/،(؟)، ...، u n (t)با انرژی محدود، تعریف شده در یک بازه زمانی محدود یا نامحدود (t v 1 2). در این بخش، ما یک سیستم بی نهایت (زیر مجموعه) از توابع ابتدایی زمانی مرتبط با هم تعریف می کنیم و آن را می نامیم. پایه ای".

جایی که r = 1, 2, 3,....

کارکرد u(t)و v(t)اگر حاصل ضرب اسکالر آنها در بازه (?، ? 2) متعامد باشد، مشروط بر اینکه هیچ یک از این توابع برابر با صفر نباشد.

در ریاضیات، این در فضای سیگنال های هیلبرت داده می شود مبنای مختصات متعامد، یعنی سیستم توابع پایه متعامد

خاصیت متعامد بودن توابع (سیگنال ها) با بازه تعریف آنها مرتبط است (شکل 2.9). به عنوان مثال، دو سیگنال هارمونیک m، (?) \u003d \u003d sin (2nr / 7' 0) و u., (t)= گناه (4 nt/T Q)(به عنوان مثال با فرکانس ها/ 0 = 1/7' 0 و 2/0، به ترتیب) در هر بازه زمانی متعامد هستند، مدت زمان آن برابر با تعداد صحیح نیم چرخه است. T 0(شکل 2.9، آ).بنابراین در دوره اول سیگنال ها و (1)و u 2 (t)در بازه (0.7 اینچ 0/2) متعامد هستند؛ اما در بازه (O، ZG 0/4) غیر متعامد هستند. در شکل 2.9، بسیگنال ها به دلیل تفاوت در زمان ظاهرشان متعامد هستند.

برنج. 2.9.

آ- در فاصله ب -به دلیل زمان های مختلف وقوع نمایش سیگنال u(t)اگر سیستمی از توابع پایه انتخاب شود، مدل های ابتدایی بسیار ساده می شوند vff)،داشتن ملک متعارف بودناز ریاضیات مشخص می شود که آیا برای هر جفت توابع از سیستم متعامد (2.7) شرط وجود دارد.

سپس سیستم توابع (2.7) متعارف.

در ریاضیات، چنین سیستمی از توابع پایه به شکل (2.7) نامیده می شود مبنای متعارف

اجازه دهید در یک بازه زمانی معین |r، t2| سیگنال دلخواه فعال است u(t)و سیستم متعارف توابع (2.7) برای نمایش آن استفاده می شود. طراحی سیگنال دلخواه u(t)بر محور مبنا مختصات نامیده می شود بسط به یک سری فوریه تعمیم یافته.این تجزیه شکل دارد

که در آن c، برخی از ضرایب ثابت هستند.

برای تعیین ضرایب از بهسری فوریه تعمیم یافته، یکی از توابع پایه را انتخاب می کنیم (2.7) v k (t) sشماره دلخواه به.هر دو بخش بسط (2.9) را در این تابع ضرب می کنیم و نتیجه را در طول زمان ادغام می کنیم:

با توجه به متعارف بودن مبنای توابع انتخابی، در سمت راست این برابری، تمام عبارت های حاصل از مجموع برای من ^ بهبه صفر تبدیل خواهد شد تنها جمله جمع با عدد غیر صفر باقی می ماند من = به،از همین رو

محصول فرم c k v k (t)،شامل سری فوریه تعمیم یافته (2.9) می باشد جزء طیفیعلامت u(t)و مجموعه ضرایب (پیش بینی بردارهای سیگنال روی محورهای مختصات) (с 0 , с,..., با k...، с„) به طور کامل سیگنال تجزیه و تحلیل شده را تعیین می کند ii (t)و او را صدا زد طیف(از لات طیف- تصویر).

ذات نمایش طیفی (تحلیل و بررسی) سیگنال شامل تعیین ضرایب با i مطابق با فرمول (2.19) است.

انتخاب یک سیستم متعامد منطقی از اساس مختصات توابع بستگی به هدف تحقیق دارد و با تمایل به ساده‌سازی حداکثری دستگاه ریاضی تجزیه و تحلیل، تبدیل‌ها و پردازش داده تعیین می‌شود. در حال حاضر از چند جمله ای های Chebyshev، Hermite، Laguerre، Legendre و غیره به عنوان توابع پایه استفاده می شود. exp (J 2ft)و توابع سینوس کسینوس مثلثاتی واقعی مرتبط با فرمول اویلر e > x\u003d cosx + y "sinx. این با این واقعیت توضیح داده می شود که نوسان هارمونیک از نظر تئوری کاملاً شکل خود را هنگام عبور از مدارهای خطی با پارامترهای ثابت حفظ می کند و فقط دامنه و فاز اولیه آن تغییر می کند. روش نمادین که در تئوری به خوبی توسعه یافته است. از مدارها نیز به طور گسترده استفاده می شود. عملکرد نمایش سیگنال های قطعی به عنوان مجموعه ای از اجزای ثابت ( جزء ثابت)و مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های متعدد نامیده می شود تجزیه طیفیاستفاده نسبتاً گسترده از سری فوریه تعمیم یافته در تئوری سیگنال نیز با ویژگی بسیار مهم آن مرتبط است: برای یک سیستم متعارف منتخب از توابع. v k (t)و تعداد ثابتی از اصطلاحات در سری (2.9)، بهترین نمایش یک سیگنال داده شده را ارائه می دهد u(t).این خاصیت سری فوریه به طور گسترده ای شناخته شده است.

در نمایش طیفی سیگنال ها، پایه های متعامد توابع مثلثاتی بیشترین استفاده را دارند. این به دلیل موارد زیر است: ایجاد نوسانات هارمونیک ساده ترین است. سیگنال های هارمونیک با توجه به تبدیل های انجام شده توسط مدارهای الکتریکی خطی ثابت ثابت هستند.

بیایید نمایش زمانی و طیفی سیگنال آنالوگ را ارزیابی کنیم (شکل 2.10). روی انجیر 2.10، آنمودار زمان‌بندی یک سیگنال پیوسته را نشان می‌دهد که شکل پیچیده‌ای دارد و در شکل. 2.10، ب -تجزیه طیفی آن

نمایش طیفی سیگنال های تناوبی را به عنوان مجموع توابع هارمونیک یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند در نظر بگیرید.

تناوبیسیگنال را صدا بزنید و "(؟) را صدا کنید. تکرار در فواصل منظم (شکل 2.11):

که در آن G دوره تکرار یا تکرار پالس ها است. n = 0,1, 2,....

برنج. 2.11. سیگنال دوره ای

اگر تیدوره سیگنال است u(t)سپس دوره ها نیز مضربی از آن خواهند بود: 2r، 3 تیو غیره. یک قطار دوره ای از پالس ها (به آنها می گویند پالس های ویدئویی) با عبارت توصیف می شود

برنج. 2.10.

آ- نمودار زمان بندی؛ ب- طیف دامنه

اینجا uQ(t)- شکل یک پالس منفرد که با دامنه (ارتفاع) مشخص می شود. h = E،مدت زمان t، دوره تکرار T= 1/F (F - فرکانس)، به عنوان مثال، موقعیت پالس ها در زمان نسبت به نقاط ساعت t = 0.

در تجزیه و تحلیل طیفی سیگنال های تناوبی، سیستم متعامد (2.7) در قالب توابع هارمونیک با فرکانس های متعدد مناسب است:

جایی که co، = 2p / T-نرخ تکرار نبض

با محاسبه انتگرال ها، با استفاده از فرمول (2.8)، به راحتی می توان تأیید کرد که این توابع در بازه [-Г/2، Г/2| متعامد هستند. هر تابعی شرط تناوب (2.11) را برآورده می کند، زیرا فرکانس آنها چند برابر است. اگر سیستم (2.12) به صورت نوشته شود

سپس یک مبنای متعارف از توابع هارمونیک به دست می آوریم.

اجازه دهید یک سیگنال دوره ای از رایج ترین سیگنال در تئوری سیگنال را تصور کنیم مثلثاتی(سینوس کسینوس) فرمسری فوریه:

از درس ریاضیات معلوم است که بسط (2.11) وجود دارد، یعنی. اگر تابع (در این مورد سیگنال) سری همگرا شود u(t)در بازه [-7/2، 7/2] راضی می کند شرایط دیریکله(برخلاف قضیه دیریکله، آنها اغلب به روشی ساده تفسیر می شوند):

• نباید شکستی از نوع دوم وجود داشته باشد (با شاخه هایی که تا بی نهایت می روند).
• تابع محدود است و دارای تعداد محدودی ناپیوستگی از نوع اول (پرش) است.
• این تابع دارای تعداد محدودی از افراط است (یعنی ماکزیمم و حداقل).

فرمول (2.13) شامل اجزای زیر از سیگنال تجزیه و تحلیل شده است:

دی سی

دامنه اجزای کسینوس

دامنه اجزای سینوسی

مولفه طیفی با co فرکانس، در تئوری ارتباطات نامیده می شود اولین (پایه ای) سازدهنیو قطعات با فرکانس iso، (n > 1) - هارمونیک های بالاترسیگنال دوره ای مرحله فرکانس Aco بین دو سینوسی مجاور از انبساط فوریه نامیده می شود وضوح فرکانسطیف

اگر سیگنال تابعی زوج از زمان باشد u(t) = u(-t، سپس در نمایش مثلثاتی سری فوریه (2.13) هیچ ضرایب سینوسی وجود ندارد. ب n، زیرا مطابق با فرمول (2.16) ناپدید می شوند. برای سیگنال u(t)با یک تابع فرد از زمان توصیف می شود، برعکس، طبق فرمول (2.15)، ضرایب کسینوس برابر با صفر است. یک صفحه(جزء ثابت یک 0نیز وجود ندارد)، و مجموعه شامل اجزاء است ب ص.

محدودیت های ادغام (از -7/2 تا 7/2) لازم نیست مانند فرمول های (2.14)-(2.16) باشد. ادغام را می توان در هر بازه زمانی عرض 7 انجام داد - نتیجه تغییر نخواهد کرد. محدودیت های خاص به دلایل راحتی در محاسبات انتخاب می شوند. برای مثال، ممکن است ادغام از 0 تا 7، یا از 7- به 0 و غیره آسان تر باشد.

شاخه ای از ریاضیات که رابطه بین تابع زمان را برقرار می کند u(t) و ضرایب طیفی a p, b p,تماس گرفت تجزیه و تحلیل هارمونیکبه دلیل اتصال عملکرد u(t)با ترم های سینوسی و کسینوس این مجموع. علاوه بر این، تجزیه و تحلیل طیفی عمدتاً به تجزیه و تحلیل هارمونیک محدود می شود که استفاده انحصاری می یابد.

اغلب استفاده از شکل سینوس کسینوس سری فوریه خیلی راحت نیست، زیرا برای هر مقدار از شاخص جمع پ(یعنی برای هر هارمونیک با فرکانس mOj) در فرمول (2.13) دو عبارت وجود دارد - کسینوس و سینوس. از دیدگاه ریاضی، نمایش این فرمول با یک سری فوریه معادل راحت تر است. شکل واقعی/.

جایی که A 0 = یک 0 / 2; A n \u003d yja 2 n + ب -دامنه؛ هارمونیک n ام سیگنال گاهی اوقات در رابطه (2.17)، علامت مثبت قبل از cp L قرار می گیرد، سپس فاز اولیه هارمونیک ها به صورت cp و = -arctg نوشته می شود. bnfa n).

در تئوری سیگنال، شکل پیچیده سری فوریه به طور گسترده ای استفاده می شود. از شکل واقعی سری با نشان دادن کسینوس به صورت نصف مجموع نماهای مختلط طبق فرمول اویلر به دست می آید:

با اعمال این تبدیل به شکل واقعی سری فوریه (2.17)، مجموع نماهای مختلط با توان مثبت و منفی را بدست می آوریم:

و اکنون در فرمول (2.19) نماهای فرکانس ω را با علامت منفی در توان به عنوان اعضای یک سری با اعداد منفی تفسیر می کنیم. در چارچوب همین رویکرد، ضریب A 0با عدد صفر به عضویت سریال در می آید. پس از دگرگونی های ساده به آن می رسیم فرم پیچیدهسری فوریه

دامنه پیچیده پهارمونیک

ارزش های ج صبا اعداد مثبت و منفی پمزدوج پیچیده هستند.

توجه داشته باشید که سری فوریه (2.20) مجموعه ای از نمایی های پیچیده است exp(jn(o (t) با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند.

اجازه دهید رابطه بین ضرایب اشکال مثلثاتی و مختلط سری فوریه را تعیین کنیم. بدیهی است که

همچنین می توان نشان داد که ضرایب یک صفحه= 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f .

اگر u(t)یک تابع زوج است، ضرایب سری C خواهد بود واقعی،و اگر u(t) -تابع فرد است، ضرایب سری تبدیل می شوند خیالی

نمایش طیفی یک سیگنال تناوبی توسط شکل پیچیده سری فوریه (2.20) شامل فرکانس های مثبت و منفی است. اما فرکانس‌های منفی در طبیعت وجود ندارند و این یک انتزاع ریاضی است (معنای فیزیکی فرکانس منفی چرخش در جهت مخالف آن چیزی است که مثبت تلقی می‌شود). آنها به عنوان یک نتیجه از نمایش رسمی نوسانات هارمونیک توسط یک فرم پیچیده ظاهر می شوند. هنگام عبور از شکل مختلط (2.20) به شکل واقعی (2.17)، فرکانس منفی ناپدید می شود.

از نظر بصری، طیف سیگنال با نمایش گرافیکی آن - نمودار طیفی (شکل 2.12) قضاوت می شود. تمیز دادن دامنه فرکانسو طیف فرکانس فازمجموعه دامنه هارمونیک ها یک صفحه(شکل 2.12، آ)تماس گرفت طیف دامنه، مراحل آنها (شکل 2.12، ب)ازدواج من - طیف فازتجمیع ج ص = |ج صهست یک طیف دامنه پیچیده(شکل 2.12، v).در نمودارهای طیفی، محورهای آبسیسا فرکانس جریان را ترسیم می کنند، و محورهای ارتینی دامنه یا فاز واقعی یا پیچیده مولفه های هارمونیک متناظر سیگنال تحلیل شده را ترسیم می کنند.

برنج. 2.12.

آ -دامنه؛ ب -فاز؛ v -طیف دامنه سری فوریه پیچیده

طیف سیگنال تناوبی نامیده می شود حکومت کردیا گسسته، از آنجایی که از خطوط جداگانه با ارتفاع برابر با دامنه تشکیل شده است یک صفحههارمونیک ها از بین انواع طیف ها، طیف دامنه آموزنده ترین است، زیرا به فرد اجازه می دهد تا محتوای کمی هارمونیک های خاص را در ترکیب فرکانسی سیگنال تخمین بزند. در تئوری سیگنال، ثابت شده است که طیف دامنه است تابع فرکانس یکنواختو فاز - فرد.

توجه داشته باشید مسافت مساوی(فاصله مساوی از مبدأ) طیف پیچیده سیگنال های تناوبی: فرکانس های متقارن (مثبت و منفی) که ضرایب طیفی سری فوریه مثلثاتی در آنها قرار دارد، یک دنباله مساوی را تشکیل می دهند (... -zho v...، -2co p -co p 0، v 2co، ...، ncov...) حاوی فرکانس co = 0 و دارای گام cot = 2n/7'. ضرایب می توانند هر مقداری را داشته باشند.

مثال 2.1

اجازه دهید دامنه و طیف فاز یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی را با دامنه؟، مدت زمان t و دوره تکرار محاسبه کنیم. تی.سیگنال یک تابع زوج است (شکل 2.13).

برنج. 2.13.

راه حل

مشخص است که یک پالس ویدئویی مستطیلی ایده آل با معادله زیر توصیف می شود:

آن ها به عنوان تفاوت دو تابع واحد a(?) (توابع گنجاندن) که در زمان توسط t جابجا شده اند تشکیل می شود.

دنباله پالس های مستطیلی مجموع مشخصی از پالس های منفرد است:

از آنجایی که سیگنال داده شده یک تابع زوج از زمان است و در طول یک دوره فقط بر روی بازه [t و /2، t و /2] عمل می کند، پس طبق فرمول (2.14)

جایی که q = T/تی".

با تجزیه و تحلیل فرمول به دست آمده، می بینید که دوره تکرار و مدت زمان پالس ها به عنوان یک نسبت در آن گنجانده شده است. این تنظیم q-نسبت دوره به مدت پالس ها نامیده می شود چرخه کارتوالی دوره ای پالس ها (در ادبیات خارجی به جای چرخه وظیفه از مقدار معکوس استفاده می شود - فاکتور پر کردن، از انگلیسی، چرخه کاربرابر m و /7)؛ در q = 2 دنباله ای از پالس های مستطیل شکل، زمانی که طول پالس ها و فواصل بین آنها برابر شود، نامیده می شود. پیچ و خم(از یونانی paiav5poq - نقش، زینت هندسی).

با توجه به برابری تابعی که سیگنال تحلیل شده را توصیف می کند، در سری فوریه، همراه با مولفه ثابت، تنها مولفه های کسینوس (2.15) وجود خواهد داشت:

در سمت راست فرمول (2.22)، عامل دوم به شکل تابع ابتدایی (sinx)/x است. در ریاضیات، این تابع به عنوان sinc (x) و فقط برای مقدار مشخص می شود ایکس= 0 برابر است با یک (lim (sinx/x) =1)، عبور می کند

از طریق صفر در نقاط x = ±l، ±2l،... و با افزایش آرگومان x کاهش می یابد (شکل 2.14). سری فوریه مثلثاتی نهایی (2.13) که سیگنال داده شده را تقریبی می کند، به شکل نوشته شده است.

برنج. 2.14.نمودار تابع sinx/x

تابع سینوس دارای ویژگی گلبرگ است. در مورد عرض لوب ها، باید تأکید کرد که برای نمودارهای طیف های گسسته سیگنال های تناوبی، دو گزینه برای درجه بندی محور افقی امکان پذیر است - در اعداد هارمونیک و فرکانس ها. به عنوان مثال، در شکل. 2.14 درجه بندی محور y با فرکانس ها مطابقت دارد. پهنای گلبرگ ها که بر حسب تعداد هارمونیک ها اندازه گیری می شود، برابر با چرخه وظیفه دنباله است. این حاکی از ویژگی مهم طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی است - هیچ هارمونیک (دارای دامنه صفر) با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند وجود ندارد. با چرخه کاری برابر با سه، هر سوم هارمونیک ناپدید می شود. اگر چرخه وظیفه برابر با دو بود، آنگاه فقط هارمونیک های فرد فرکانس اصلی در طیف باقی می ماند.

از فرمول (2.22) و شکل. 2.14 نتیجه می شود که ضرایب تعدادی از هارمونیک های بالاتر سیگنال دارای علامت منفی هستند. این به دلیل این واقعیت است که فاز اولیه این هارمونیک ها است پ.بنابراین، فرمول (2.22) معمولاً به شکل اصلاح شده ارائه می شود:

با چنین ضبط سری فوریه، مقادیر دامنه همه اجزای هارمونیک بالاتر در نمودار نمودار طیفی مثبت است (شکل 2.15، آ).

طیف دامنه سیگنال تا حد زیادی به نسبت دوره تکرار بستگی دارد تیو مدت زمان نبض t و، i.e. از چرخه وظیفه qفاصله فرکانس بین هارمونیک های همسایه برابر است با نرخ تکرار پالس ω 1 = 2n/T. عرض لوب های طیف، اندازه گیری شده در واحد فرکانس، برابر است با 2p/tn، یعنی. با طول نبض نسبت معکوس دارد. توجه داشته باشید که برای مدت زمان پالس یکسان t و با افزایش مقداری

برنج. 2.15.

آ- دامنه؛ب- فاز

دوره تکرار آنها تیفرکانس اصلی w کاهش می یابد و طیف متراکم تر می شود.

اگر طول پالس t کوتاه شده و با یک دوره ثابت باشد، همین تصویر مشاهده می شود تی.دامنه همه هارمونیک ها در این حالت کاهش می یابد. این تجلی یک قانون کلی است (اصل عدم قطعیت W. هایزنبرگ - اصل عدم قطعیت)'،هر چه مدت سیگنال کوتاهتر باشد، طیف آن گسترده تر است.

مراحل اجزاء از فرمول cp p \u003d arctg تعیین می شود (bn/an).از آنجایی که در اینجا ضرایب bn= 0، سپس

جایی که m = 0, 1, 2,....

رابطه (2.24) نشان می دهد که هنگام محاسبه فازهای مولفه های طیفی، با عدم قطعیت ریاضی سروکار داریم. برای آشکار کردن آن، اجازه دهید به فرمول (2.22) مراجعه کنیم، که طبق آن دامنه هارمونیک ها به طور متناوب مطابق با تغییر علامت تابع sin تغییر علامت می دهند (nco 1 x 1I /2). تغییر علامت در فرمول (2.22) معادل تغییر فاز این تابع توسط پ.بنابراین، وقتی این تابع مثبت است، فاز هارمونیک (p u = 2 tp،و زمانی که منفی است (2 تن + 1 )به(شکل 2.15، ب). توجه داشته باشید که اگرچه دامنه اجزا در طیف پالس های مستطیلی و با افزایش فرکانس کاهش می یابد (شکل 2.15 را ببینید، آ)،این فروپاشی نسبتاً آهسته است (دامنه ها با فرکانس معکوس کاهش می یابد). برای انتقال چنین پالس هایی بدون اعوجاج، پهنای باند نامحدودی از کانال ارتباطی مورد نیاز است. برای اعوجاج نسبتاً ظریف، مقدار برش پهنای باند باید چندین برابر بیشتر از متقابل عرض پالس باشد. با این حال، تمام کانال های واقعی دارای پهنای باند محدودی هستند که منجر به اعوجاج در شکل پالس های ارسالی می شود.

سری فوریه سیگنال‌های تناوبی دلخواه می‌تواند شامل بی‌نهایت عبارت باشد. هنگام محاسبه طیف چنین سیگنال‌هایی، محاسبه مجموع نامتناهی سری فوریه مشکلات خاصی را ایجاد می‌کند و همیشه مورد نیاز نیست، بنابراین، آنها محدود به جمع کردن تعداد محدودی از عبارت‌ها هستند (سری "مقاطع" است).

دقت تقریب سیگنال به تعداد اجزای جمع شده بستگی دارد. بیایید این را با استفاده از مثال تقریب با مجموع هشت هارمونیک اول دنباله ای از پالس های مستطیلی در نظر بگیریم (شکل 2.16). سیگنال به شکل یک پیچ و خم تک قطبی با دوره تکرار است کهدامنه E= 1 و مدت زمان پالس t و = تی/2 (سیگنال داده شده - تابع زوج - شکل 2.16، آ; چرخه کار q= 2). تقریب در شکل نشان داده شده است. 2.16، b و نمودارها تعداد هارمونیک های جمع شده را نشان می دهند. در تقریب مداوم یک سیگنال تناوبی معین (شکل 2.13 را ببینید) توسط یک سری مثلثاتی (2.13)، جمع هارمونیک های اول و بالاتر فقط بر روی ضرایب فرد انجام می شود. Puزیرا برای مقادیر زوج و مدت زمان پالس آنها t u = تی/2 = = tt/co، مقدار sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) ناپدید می شود.

شکل مثلثاتی سری فوریه (2.23) برای یک سیگنال داده شده دارای شکل است

برنج. 2.16.

آ -سیگنال داده شده؛ 6 - مراحل میانی جمع بندی

برای سهولت نمایش، سری فوریه (2.25) را می توان به شکل ساده شده نوشت:

از فرمول (2.26) واضح است که هارمونیک های تقریبی پیچ و خم فرد هستند، دارای علائم متناوب هستند و دامنه آنها با اعداد نسبت معکوس دارد. توجه داشته باشید که دنباله ای از پالس های مستطیلی برای نمایش سری فوریه مناسب نیستند - تقریب شامل امواج و جهش ها است و مجموع هر تعداد مؤلفه هارمونیک با هر دامنه ای همیشه یک تابع پیوسته خواهد بود. بنابراین، رفتار سری فوریه در مجاورت ناپیوستگی ها مورد توجه ویژه است. از نمودارهای شکل. 2.16، b، به راحتی می توان دید که چگونه با افزایش تعداد هارمونیک های جمع شده، تابع حاصل با دقت بیشتری به شکل سیگنال اصلی نزدیک می شود. u(t)در همه جا به جز نقاط گسست آن. در مجاورت نقاط ناپیوستگی، جمع سری فوریه یک شیب به دست می دهد و شیب تابع حاصل با تعداد هارمونیک های جمع شده افزایش می یابد. در خود نقطه ناپیوستگی (ما آن را به صورت تی = t0)سری فوریه u(t0)به نصف مجموع حد راست و چپ همگرا می شود:

در بخش‌هایی از منحنی که در مجاورت ناپیوستگی تقریب می‌شوند، مجموع سری نوسانات قابل‌توجهی را نشان می‌دهد و در شکل. 2.16 می توان دید که دامنه موج اصلی این ضربان ها با افزایش تعداد هارمونیک های جمع شده کاهش نمی یابد - فقط به صورت افقی کوچک می شود و به نقطه ناپیوستگی نزدیک می شود.

در پ-؟ در نقاط ناپیوستگی، دامنه موج ثابت می ماند،

و عرض آن بی نهایت باریک خواهد بود. هم دامنه نسبی ضربان ها (با توجه به دامنه پرش) و هم تضعیف نسبی تغییر نمی کنند. فقط فرکانس ریپل تغییر می کند که با فرکانس آخرین هارمونیک های جمع شده تعیین می شود. این به دلیل همگرایی سری فوریه است. برای مثال کلاسیک: آیا اگر با هر قدم نیمی از مسافت را طی کنید، هرگز به دیواری خواهید رسید؟ مرحله اول به علامت نیمی از مسیر، مرحله دوم - به علامت سه چهارم آن منتهی می شود و پس از مرحله پنجم تقریباً 97٪ از مسیر را طی کرده اید. شما تقریباً به هدف رسیده اید، اما هر چقدر هم که به جلو بروید، هرگز به معنای دقیق ریاضی به آن نخواهید رسید. شما فقط می‌توانید از نظر ریاضی ثابت کنید که در نهایت می‌توانید به هر فاصله کوچک دلخواه نزدیک‌تر شوید. این اثبات معادل نشان دادن این خواهد بود که مجموع اعداد 1/2.1/4.1/8.1/16 و غیره. به وحدت گرایش دارد این پدیده که در تمام سری های فوریه برای سیگنال هایی با ناپیوستگی های نوع اول وجود دارد (به عنوان مثال، پرش، مانند جلوی پالس های مستطیلی)، نامیده می شود. اثر گیبس*. در این مورد، مقدار اولین (بزرگترین) سنبله دامنه در منحنی تقریبی حدود 9٪ از سطح پرش است (شکل 2.16 را ببینید، پ = 4).

اثر گیبس منجر به یک خطای اجتناب ناپذیر در تقریب سیگنال های ضربه ای دوره ای با ناپیوستگی های نوع اول می شود. این اثر زمانی رخ می دهد که نقض شدید یکنواختی عملکردها وجود داشته باشد. در پرش ها، تأثیر حداکثر است؛ در همه موارد دیگر، دامنه ضربان به ماهیت نقض یکنواختی بستگی دارد. برای تعدادی از کاربردهای عملی، اثر گیبس مشکلات خاصی را ایجاد می کند. به عنوان مثال، در سیستم های بازتولید صدا به این پدیده "زنگ" یا "جهش" می گویند. علاوه بر این، هر صامت تند یا صدای ناگهانی دیگر ممکن است با صدای کوتاه و ناخوشایندی همراه باشد.

سری فوریه را می توان نه تنها برای سیگنال های دوره ای، بلکه برای سیگنال های با مدت زمان محدود نیز اعمال کرد. در عین حال زمان مشخص شده است

فاصله ای که سری فوریه برای آن ساخته می شود و در زمان های دیگر سیگنال برابر با صفر در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ضرایب سری، این رویکرد به معنای ادامه دوره ایسیگنال خارج از بازه در نظر گرفته شده

توجه داشته باشید که طبیعت (مثلاً شنوایی انسان) از اصل تحلیل هارمونیک سیگنال ها نیز استفاده می کند. یک فرد با شنیدن صدایی تبدیل فوریه مجازی را انجام می دهد: گوش به طور خودکار این کار را با نمایش صدا به عنوان طیفی از مقادیر بلندی پی در پی برای تن هایی با زیر و بم های مختلف انجام می دهد. مغز انسان این اطلاعات را به صدای درک شده تبدیل می کند.

سنتز هارمونیک در تئوری سیگنال، همراه با تجزیه و تحلیل هارمونیک سیگنال ها، به طور گسترده ای استفاده می شود سنتز هارمونیک- به دست آوردن ارتعاشات یک شکل پیچیده با جمع تعدادی از اجزای هارمونیک طیف آنها. اساساً، سنتز یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی با مجموع یک سری هارمونیک در بالا انجام شد. در عمل، این عملیات بر روی کامپیوتر انجام می شود، همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است. 2.16 ب

• ژان باپتیست ژوزف فوریه (1768-1830) ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی بود.
• جوزیا گیبز (J. Gibbs، 1839-1903) - فیزیکدان و ریاضیدان آمریکایی، یکی از بنیانگذاران ترمودینامیک شیمیایی و فیزیک آماری.

یک سیگنال تناوبی از هر شکلی با نقطه T را می توان به صورت مجموع نشان داد

نوسانات هارمونیک با دامنه ها و فازهای اولیه متفاوت که فرکانس آنها مضربی از فرکانس اصلی است. هارمونیک این فرکانس بنیادی یا اول نامیده می شود، بقیه - هارمونیک های بالاتر.

شکل مثلثاتی سری فوریه:

,

جایی که
- جزء ثابت؛

- دامنه اجزای کسینوس؛

- دامنه اجزای سینوسی.

سیگنال یکنواخت (
) فقط کسینوس دارد و فرد (
- فقط اصطلاحات سینوسی.

راحت تر، شکل مثلثاتی معادل سری فوریه است:

,

جایی که
- جزء ثابت؛

- دامنه هارمونیک n ام سیگنال. مجموعه دامنه های اجزای هارمونیک را طیف دامنه ها می گویند.

- فاز اولیه هارمونیک n ام سیگنال. مجموعه فازهای اجزای هارمونیک را طیف فاز می گویند.

1. طیف یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی. وابستگی طیف به دوره تکرار پالس و مدت زمان آنها. عرض طیف pppi گسترش سری فوریه

اجازه دهید دامنه و طیف فاز PPTR را با دامنه محاسبه کنیم
، مدت زمان ، دوره زمانی و به طور متقارن در مورد مبدا قرار دارد (سیگنال یک تابع زوج است).

شکل 5.1 - نمودار زمان بندی FPFI.

سیگنال در بازه یک دوره را می توان نوشت:

محاسبات:

,

سری فوریه برای PPPI به شکل زیر است.

شکل 5.2 - نمودار طیفی دامنه APPI.

شکل 5.3 - نمودار طیفی فاز APP.

طیف PPPR خط است (گسسته) (نمایش داده شده توسط مجموعه ای از خطوط طیفی منفرد)، هارمونیک (خطوط طیفی در فاصله یکسان از یکدیگر ω 1)، کاهشی (دامنه های هارمونیک با افزایش تعداد کاهش می یابد)، دارای گلبرگ است. ساختار (عرض هر گلبرگ 2π / τ) نامحدود (فاصله فرکانسی که خطوط طیفی در آن قرار دارند بی نهایت است).

برای چرخه های وظیفه اعداد صحیح، هیچ مؤلفه فرکانسی با فرکانس هایی که مضربی از چرخه وظیفه در طیف هستند وجود ندارد (فرکانس های آنها با صفرهای پوشش طیف دامنه منطبق است).

با افزایش چرخه وظیفه، دامنه همه اجزای هارمونیک کاهش می یابد. علاوه بر این، اگر با افزایش دوره تکرار T همراه باشد، طیف متراکم تر می شود (ω 1 کاهش می یابد)، با کاهش مدت زمان پالس τ، عرض هر گلبرگ بزرگتر می شود.

بازه فرکانس حاوی 95٪ انرژی سیگنال به عنوان عرض طیف FPTR (برابر با عرض دو لوب اول پوشش) در نظر گرفته می شود.

یا
;

تمام هارمونیک هایی که در یک لوب پوششی قرار دارند، فازهای یکسانی دارند که برابر با 0 یا π است.

1. استفاده از تبدیل فوریه برای تجزیه و تحلیل طیف سیگنال های غیر تناوبی. طیف یک پالس مستطیلی منفرد. تبدیل فوریه انتگرال

سیگنال های ارتباطی همیشه از نظر زمانی محدود هستند و بنابراین دوره ای نیستند. در میان سیگنال‌های غیر تناوبی، پالس‌های تک (SPs) بیشترین علاقه را دارند. RP را می توان به عنوان یک مورد محدود کننده یک قطار پالس دوره ای (PPS) با مدت زمان در نظر گرفت با یک دوره بی نهایت طولانی از تکرار آنها
.

شکل 6.1 - PPI و OI.

یک سیگنال غیر تناوبی را می توان به عنوان مجموع تعداد بی نهایت زیادی از نوسانات فرکانس بی نهایت نزدیک با دامنه های ناپدید کننده کوچک نشان داد. طیف RI پیوسته است و توسط انتگرال های فوریه معرفی می شود:

-
(1) - تبدیل فوریه مستقیم. به شما امکان می دهد تابع طیفی را برای یک شکل سیگنال مشخص به صورت تحلیلی پیدا کنید.

-
(2) - تبدیل فوریه معکوس. به شما امکان می دهد شکل یک تابع طیفی مشخص از سیگنال را به صورت تحلیلی پیدا کنید.

شکل پیچیده تبدیل فوریه انتگرال(2) یک نمایش طیفی دو طرفه (دارای فرکانس های منفی) از یک سیگنال غیر تناوبی می دهد.
به عنوان مجموع ارتعاشات هارمونیک
با دامنه های پیچیده بی نهایت کوچک
، که فرکانس های آن به طور مداوم کل محور فرکانس را پر می کند.

چگالی پیچیده طیفی یک سیگنال تابع پیچیده فرکانس است که به طور همزمان اطلاعاتی را در مورد دامنه و فاز هارمونیک های ابتدایی حمل می کند.

مدول چگالی طیفی را چگالی طیفی دامنه ها می گویند. می توان آن را به عنوان پاسخ فرکانسی طیف پیوسته یک سیگنال غیر تناوبی در نظر گرفت.

برهان چگالی طیفی
چگالی طیفی فازها نامیده می شود. می توان آن را به عنوان PFC طیف پیوسته یک سیگنال غیر تناوبی در نظر گرفت.

بیایید فرمول (2) را تبدیل کنیم:

شکل مثلثاتی تبدیل فوریه انتگرالیک نمایش طیفی یک طرفه (بدون فرکانس منفی) از یک سیگنال غیر تناوبی می دهد:

.

در قرن گذشته، ایوان برنولی، لئونارد اویلر و سپس ژان باپتیست فوریه اولین کسانی بودند که از نمایش توابع تناوبی با سری مثلثاتی استفاده کردند. این نمایش در دروس دیگر با جزئیات کافی مورد مطالعه قرار گرفته است، بنابراین ما فقط روابط و تعاریف اصلی را یادآوری می کنیم.

همانطور که در بالا ذکر شد، هر تابع تناوبی u(t) ، که برای آن برابری u(t)=u(t+T) ، جایی که T=1/F=2p/W را می توان با سری فوریه نشان داد:

هر جمله از این سری را می توان با استفاده از فرمول کسینوس برای اختلاف دو زاویه گسترش داد و به صورت دو جمله نشان داد:

,

جایی که: A n \u003d C n cosφ n، B n \u003d C n sinφ n ، بنابراین ، آ

شانس A n و در n با فرمول های اویلر تعیین می شوند:

;
.

در n=0 :

آ B0=0.

شانس A n و در n ، مقادیر میانگین حاصلضرب تابع هستند u(t) و نوسان هارمونیک با فرکانس nw در یک بازه زمانی تی . ما قبلاً می دانیم (بخش 2.5) که اینها توابع همبستگی متقابل هستند که اندازه گیری رابطه آنها را تعیین می کنند. بنابراین، ضرایب A n و B n به ما نشان دهید "چند" سینوسی یا موج کسینوس با یک فرکانس nW موجود در این تابع u(t) ، در یک سری فوریه گسترش یافته است.

بنابراین، ما می توانیم یک تابع تناوبی را نشان دهیم u(t) به عنوان مجموع ارتعاشات هارمونیک، جایی که اعداد C n دامنه ها و اعداد هستند φ n - فاز. معمولا در ادبیات طیف دامنه نامیده می شود و - طیف فاز اغلب، فقط طیف دامنه ها در نظر گرفته می شود که به صورت خطوط واقع در نقاط نشان داده می شود nW روی محور فرکانس و داشتن ارتفاعی متناسب با عدد C n . با این حال، باید به خاطر داشت که برای به دست آوردن یک مطابقت یک به یک بین تابع زمان u(t) و طیف آن، هم از طیف دامنه ها و هم از طیف فازها استفاده می شود. این را می توان از یک مثال ساده فهمید. سیگنال‌ها و دامنه‌های یکسانی دارند، اما عملکردهای زمانی کاملاً متفاوتی دارند.

طیف گسسته نه تنها می تواند یک تابع تناوبی داشته باشد. به عنوان مثال، سیگنال: دوره ای نیست، اما دارای یک طیف گسسته متشکل از دو خط طیفی است. همچنین، یک سیگنال کاملاً دوره‌ای متشکل از دنباله‌ای از پالس‌های رادیویی (پالس‌های با پر کردن فرکانس بالا) وجود نخواهد داشت، که در آن دوره تکرار ثابت است، اما فاز اولیه پر کردن فرکانس بالا از یک پالس به پالس دیگر متفاوت است. به یک قانون چنین سیگنال هایی تقریبا دوره ای نامیده می شوند. همانطور که بعدا خواهیم دید، آنها همچنین دارای یک طیف گسسته هستند. ما ماهیت فیزیکی طیف چنین سیگنال هایی را مانند سیگنال های دوره ای مطالعه خواهیم کرد.

سیگنال نامیده می شود دوره ای، اگر شکل آن به صورت دوره ای در زمان تکرار شود. یک سیگنال دوره ای به طور کلی به صورت زیر نوشته می شود:

در اینجا دوره سیگنال است. سیگنال های دوره ای می توانند ساده و پیچیده باشند.

برای نمایش ریاضی سیگنال های تناوبی با نقطه، اغلب از این سری استفاده می شود که در آن نوسانات هارمونیک (سینوسی و کسینوسی) فرکانس های متعدد به عنوان توابع پایه انتخاب می شوند:

جایی که . - فرکانس زاویه ای اساسی توالی توابع. با توابع پایه هارمونیک، از این سری یک سری فوریه بدست می آوریم که در ساده ترین حالت می توان آن را به شکل زیر نوشت:

که در آن ضرایب

از سری فوریه می توان دریافت که در حالت کلی، یک سیگنال تناوبی شامل یک جزء ثابت و مجموعه ای از نوسانات هارمونیک فرکانس اصلی و هارمونیک های آن با فرکانس ها است. هر نوسان هارمونیک سری فوریه با دامنه و فاز اولیه مشخص می شود.

نمودار طیفی و طیف سیگنال تناوبی.

اگر هر سیگنالی به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف ارائه شود، به این معنی است که تجزیه طیفی علامت.

نمودار طیفیسیگنال را نمایش گرافیکی ضرایب سری فوریه این سیگنال می نامند. نمودارهای دامنه و فاز وجود دارد. برای ساخت این نمودارها، در یک مقیاس معین، فرکانس های هارمونیک در امتداد محور افقی و دامنه ها و فازهای آنها در امتداد محور عمودی رسم می شود. علاوه بر این، دامنه هارمونیک ها می توانند فقط مقادیر مثبت، فازها - مقادیر مثبت و منفی در بازه را بگیرند.

نمودارهای طیفی سیگنال تناوبی:

الف) - دامنه؛ ب) - فاز.

طیف سیگنال- این مجموعه ای از اجزای هارمونیک با مقادیر خاص فرکانس ها، دامنه ها و فازهای اولیه است که در مجموع یک سیگنال را تشکیل می دهد. در عمل، نمودارهای طیفی به طور خلاصه نامیده می شوند - طیف دامنه, طیف فاز. بیشترین علاقه به نمودار طیفی دامنه نشان داده شده است. می توان از آن برای تخمین درصد هارمونیک ها در طیف استفاده کرد.

ویژگی های طیفی در فناوری مخابرات نقش مهمی ایفا می کند. با دانستن طیف سیگنال، می توانید به درستی پهنای باند تقویت کننده ها، فیلترها، کابل ها و سایر گره های کانال های ارتباطی را محاسبه و تنظیم کنید. دانش طیف سیگنال برای ساخت سیستم های چند کاناله با تقسیم فرکانس کانال ها ضروری است. بدون شناخت طیف تداخل، اتخاذ تدابیری برای سرکوب آن دشوار است.

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که طیف باید برای اجرای انتقال سیگنال بدون تحریف در یک کانال ارتباطی شناخته شود تا از جداسازی سیگنال و کاهش تداخل اطمینان حاصل شود.

برای مشاهده طیف سیگنال ها، دستگاه هایی وجود دارد که به آنها گفته می شود آنالایزرهای طیف. آنها به شما امکان می دهند پارامترهای اجزای جداگانه طیف یک سیگنال دوره ای را مشاهده و اندازه گیری کنید و همچنین چگالی طیفی سیگنال پیوسته را اندازه گیری کنید.