در میان سیستم های مختلف توابع متعامد که می توان از آنها به عنوان پایه برای نمایش استفاده کرد سیگنال های رادیویی، یک مکان انحصاری توسط توابع هارمونیک (سینوسی و کسینوس) اشغال شده است. اهمیت سیگنال‌های هارمونیک برای مهندسی رادیو به دلایلی است.
به خصوص:
1. سیگنال های هارمونیک تحت تبدیل های انجام شده توسط خطی ثابت ثابت هستند مدارهای الکتریکی... اگر چنین مداری توسط منبعی برانگیخته شود ارتعاشات هارمونیک، سپس سیگنال در خروجی مدار با همان فرکانس هارمونیک باقی می ماند و تنها در دامنه و با سیگنال ورودی متفاوت است. فاز اولیه.
2. تکنیک برای تولید سیگنال های هارمونیک نسبتا ساده است.
اگر هر سیگنالی به صورت مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف، سپس آنها می گویند - که تجزیه طیفی این سیگنال انجام شده است. اجزای هارمونیک منفرد سیگنال طیف آن را تشکیل می دهند.
2.1. سیگنال های دوره ای و سری فوریه
مدل ریاضی یک فرآیند تکرار شده در زمان یک سیگنال تناوبی با ویژگی زیر است:
در اینجا T دوره سیگنال است.
وظیفه یافتن تجزیه طیفی چنین سیگنالی است.
سری فوریه.
اجازه دهید بازه زمانی در نظر گرفته شده در فصل را تنظیم کنیم. پایه متعارف من که توسط توابع هارمونیک با فرکانس های متعدد تشکیل شده است.
هر تابع از این مبنا شرط تناوب (2.1) را برآورده می کند. بنابراین، - با انجام تجزیه متعامد سیگنال بر این اساس، یعنی محاسبه ضرایب
تجزیه طیفی را بدست می آوریم
که در تمام بی نهایت محور زمان معتبر است.
یک سری از شکل (2.4) سری فوریه سیگنال داده شده نامیده می شود. اجازه دهید فرکانس اصلی دنباله ای را که سیگنال تناوبی را تشکیل می دهد، معرفی کنیم. با محاسبه ضرایب انبساط با فرمول (2.3)، سری فوریه را برای سیگنال تناوبی می نویسیم.
با ضرایب
(2.6)
بنابراین در مورد کلیسیگنال تناوبی شامل یک مؤلفه ثابت مستقل از زمان و مجموعه ای بی نهایت از نوسانات هارمونیک است، به اصطلاح هارمونیک هایی با فرکانس هایی که مضربی از فرکانس اصلی دنباله هستند.
هر هارمونیک را می توان با دامنه و فاز اولیه آن توصیف کرد برای این منظور ضرایب سری فوریه باید به شکل نوشته شود.
با جایگزینی این عبارات در (2.5)، شکلی معادل از سری فوریه را بدست می آوریم:
که گاهی راحت تر است.
نمودار طیفی سیگنال تناوبی.
بنابراین مرسوم است که تماس بگیرید تصویر گرافیکیضرایب سری فوریه برای یک سیگنال خاص. بین نمودارهای طیفی دامنه و فاز تمایز قائل شوید (شکل 2.1).
در اینجا، در محور افقی، در یک مقیاس معین، فرکانس هارمونیک ها و در محور عمودی، دامنه ها و فازهای اولیه آنها ترسیم می شود.
برنج. 2.1. نمودارهای طیفیبرخی از سیگنال های دوره ای: a - دامنه. ب - فاز
آنها به خصوص به نمودار دامنه علاقه مند هستند، که به شخص اجازه می دهد تا در مورد درصد هارمونیک های خاص در طیف یک سیگنال تناوبی قضاوت کند.
بیایید به چند مثال خاص نگاه کنیم.
مثال 2.1. سری فوریه یک دنباله تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی با پارامترهای شناخته شده، حتی نسبت به نقطه t = 0.
در مهندسی رادیو، نسبت را چرخه وظیفه توالی می نامند. با استفاده از فرمول های (2.6)، پیدا می کنیم
نوشتن فرمول نهایی سری فوریه در فرم راحت است
در شکل 2.2 نمودارهای دامنه دنباله در نظر گرفته شده را در دو حالت شدید نشان می دهد.
توجه به این نکته مهم است که دنباله ای از پالس های کوتاه که به ندرت دنبال یکدیگر می آیند، ترکیب طیفی غنی دارند.
برنج. 2.2. طیف دامنه یک دنباله تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی: a - در چرخه کاری بالا. ب - در چرخه کاری کم
مثال 2.2. سری فوریه یک قطار پالس دوره ای تشکیل شد سیگنال هارمونیکگونه های محدود در سطح (فرض می شود که).
ما یک پارامتر خاص را معرفی می کنیم - زاویه برش، که از رابطه از آنجا تعیین می شود
مطابق با این، مقدار برابر است با مدت زمان یک پالس، که به صورت زاویه ای بیان می شود:
یک رکورد تحلیلی از پالس تولید کننده دنباله مورد بررسی شکل دارد
جزء ثابت دنباله
ضریب دامنه هارمونیک اول
به طور مشابه، دامنه ها محاسبه می شوند - اجزای هارمونیک در
نتایج به دست آمده معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:
جایی که به اصطلاح توابع برگ:
نمودار برخی از توابع برگ در شکل نشان داده شده است. 2.3.
برنج. 2.3. نمودارهای چند توابع اول برگ
فرم پیچیده سری فوریه.
تجزیه طیفی یک سیگنال تناوبی نیز می تواند تا حدودی یونی با استفاده از سیستمی از توابع پایه متشکل از نمایی با توان های خیالی انجام شود:
به راحتی می توان دید که عملکردهای این سیستم تناوبی با دوره ای متعارف در یک بازه زمانی از
سری فوریه یک سیگنال تناوبی دلخواه در در این موردشکل می گیرد
با ضرایب
شکل زیر معمولا استفاده می شود:
Expression (2.11) یک سری فوریه در است فرم یکپارچه.
طیف سیگنال مطابق با فرمول (2.11) شامل اجزایی در نیم محور فرکانس منفی و. در سری (2.11)، اصطلاحات با فرکانس های مثبت و منفی به صورت جفت ترکیب می شوند، به عنوان مثال: و مجموع بردارها ساخته می شوند - در جهت افزایش زاویه فاز، در حالی که بردارها در چرخش هستند. جهت مخالف... پایان بردار حاصل در هر لحظه از زمان، مقدار فعلی سیگنال را تعیین می کند.
چنین تفسیر بصری از تجزیه طیفی سیگنال تناوبی در بخش بعدی استفاده خواهد شد.
بسط سری فوریه انجام می شود سیگنال های دوره ای... همانطور که در بالا ذکر شد، یک تابع تناوبی از هر شکلی که در بازه یک دوره T = ba داده می شود و شرایط دیریکله را در این بازه برآورده می کند (محدود، تکه ای پیوسته، با تعداد محدودی از ناپیوستگی های نوع اول) را می توان نشان داد. به عنوان یک سری فوریه:
s (t) = S n exp (jnDwt)، S n = S (nDw)، Dw = 2p / T، (1)
که در آن ضرایب وزنی S n سری با فرمول تعیین می شود:
S n = (1 / T) s (t) exp (-jnDwt) dt. (2)
سری فوریه مجموعه ای از نماهای پیچیده است exp (jnDwt)با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند. عملکرد وزنه ها S (nDw) معمولاً طیف مختلط یک سیگنال تناوبی یا تبدیل فوریه تابع s (t) نامیده می شود. طیف سیگنال تناوبی یک تابع گسسته است، زیرا فقط برای مقادیر صحیح n با گام فرکانس معکوس به دوره تعریف شده است: Dw = 2p / T(یا Df = 1 / T). اولین جزء فرکانس طیف در n = 1، برابر است w 1 = 1 × Dw = 2p / T(یا f 1 = 1 / T) نامیده می شوند پایه ایفرکانس سیگنال (اول هارمونیک)، فرکانس های دیگر طیف گسسته nw 1برای n> 1، آنها هارمونیک سیگنال نامیده می شوند. ارزش ها S (nDw)روی مثبت و مقادیر منفی n مزدوج پیچیده هستند.
از نقطه نظر ریاضی محض، توابع زیادی وجود دارد exp (jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти توابع اساسی... بر این اساس، سیگنال s (t) به شکل سری فوریه (1) یک بردار بی‌بعدی در فضای L2 است، نقطه‌ای با مختصات S n در امتداد محورهای پایه فضای exp (jnDwt). انتگرال توان در بیان (2) با استفاده از هویت اویلر
exp (± jwt) = cos (wt) ± j × sin (wt)
را می توان به اجزای کسینوس و سینوسی تجزیه کرد و طیف پیچیده را به صورت قطعات واقعی و خیالی بیان کرد:
S n = (1 / T) s (t) dt = А n - jB n. (3)
A n ≡ A (nDw) = (1 / T) s (t) cos (nDwt) dt، (4)
B n ≡ B (nDw) = (1 / T) s (t) sin (nDwt) dt. (5)
در شکل 4 نمونه ای از یک سیگنال تناوبی (پالس مستطیلی در بازه (1-3.3)، تکرار با دوره T = 40) و شکل بخش های واقعی و خیالی طیف آن را نشان می دهد. توجه داشته باشید که بخش واقعی طیف یک تابع زوج با توجه به صفر A (nDw) = A (-nDw) است، زیرا هنگام محاسبه مقادیر A (nDw) با فرمول (4)، یک تابع کسینوس زوج cos (nDwt) = cos (-nDwt ). بخش خیالی طیف یک تابع فرد B (nDw) = -B (-nDw) است، زیرا تابع سینوس فرد sin (nDwt) = - sin (-nDwt) برای محاسبه آن با استفاده از (5) استفاده می شود.
برنج. 4. سیگنال و طیف پیچیده آن.
اعداد مختلطتابع گسسته (3) را می توان در قالب ماژول ها و آرگومان های پیچیده نشان داد. نمایی، که شکل زیر را برای ضبط طیف پیچیده به دست می دهد:
S n = R n exp (jj n)، (3 اینچ)
R n 2 ≡ R 2 (nDw) = A 2 (nDw) + B 2 (nDw)، j n ≡ j (nDw) = آرکتان (-B (nDw) / A (nDw)).
برنج. 5. ماژول و آرگومان طیف.
مدول طیف R (nDw) را طیف دو طرفه دامنه یا پاسخ فرکانسی سیگنال و آرگومان طیف (توالی زوایای فاز j (nDw)) را طیف دو طرفه می نامند. فازها یا پاسخ فاز طیف دامنه همیشه یک تابع زوج است: R (nDw) = R (-nDw)، و طیف فاز یک فرد است: j (nDw) = -j (-nDw). نمونه ای از طیف در نمایش دامنه و فاز برای سیگنال نشان داده شده در شکل. 4 در شکل نشان داده شده است. 5. هنگام در نظر گرفتن طیف فازها، باید تناوب 2p فرکانس زاویه ای را در نظر گرفت (زمانی که مقدار فاز به کمتر از -p کاهش یابد، مقدار -2p تنظیم مجدد می شود).
اگر تابع s (t) زوج باشد، تمام مقادیر B (nDw) در (5) برابر با صفر هستند، زیرا حتی توابع ارتودنسیهارمونیک های سینوسی و انتگرال s (t) sin (nDwt) انتگرال صفر را می دهد. در نتیجه، طیف تابع تنها با ضرایب واقعی نمایش داده می شود. برعکس، اگر تابع s (t) فرد باشد، تمام مقادیر ضرایب A (nDw) (توابع فرد نسبت به هارمونیک های کسینوس متعامد) روی صفر تنظیم می شوند و طیف کاملاً خیالی است. این عامل به انتخاب مرزها برای تعیین دوره تابع در محور عددی بستگی ندارد. در شکل در شکل 6 (الف)، به وضوح می توانید متعامد بودن هارمونیک اول سینوس و تابع زوج را ببینید و در شکل. 6 (B)، به ترتیب، از یک کسینوس و یک تابع فرد در یک دوره. با در نظر گرفتن تعدد فرکانس هارمونیک های بعدی اولین هارمونیک طیف، متعامد بودن برای همه هارمونیک های سری فوریه حفظ می شود.
برنج. 6. متعامد بودن توابع.
برای n = 0، B o = 0 داریم و جزء ثابت سیگنال را بدست می آوریم:
S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1 / T) s (t) dt.
2.5. شکل مثلثاتی سری فوریه .
با ترکیب اجزای مزدوج پیچیده (شرایط سری متقارن نسبت به جمله مرکزی سری S 0)، می توان به سری فوریه به صورت مثلثاتی رفت:
s (t) = A +2 (A n cos (nDwt) + B n sin (nDwt))، (6)
s (t) = A о +2 R n cos (nDwt + j n). (6")
مقادیر An، Bn با فرمول های (4-5)، مقادیر Rn و jn - با فرمول های (3 ") محاسبه می شود.
سری (6) تجزیه سیگنال تناوبی s (t) را به مجموع توابع هارمونیک ابتدایی واقعی (کسینوس و سینوس) با ضرایب وزنی نشان می دهد که مقادیر دو برابر شده آن (یعنی مقادیر 2 × A n) ، 2 × B n) هیچ چیز دیگری نیست، به عنوان دامنه نوسانات هارمونیک مربوطه با فرکانس های nDw. کل مقادیر دامنهاز این هارمونیک ها یک طیف سیگنال فیزیکی واقعی یک طرفه (فقط برای فرکانس های مثبت nDw) تشکیل می دهد. برای سیگنال در شکل. 4، برای مثال، نیمه سمت راست طیف نشان داده شده در شکل را با مقادیر دو برابر شده دامنه ها (به جز مقدار А о در فرکانس صفر، که، همانطور که از (6) نشان داده شده است، کاملاً تکرار می کند. دو برابر نیست). اما این نمایشگر گرافیکیطیف ها به ندرت مورد استفاده قرار می گیرند (به استثنای موارد صرفاً کاربردهای فنی). فرمول (6 اینچ) بیشتر برای نمایش طیف های واقعی فیزیکی استفاده می شود. طیف دامنه هارمونیک های کسینوس در این نمایشگر ترکیب دامنه فرکانس سیگنال نامیده می شود و طیف زوایای فاز هارمونیک ها برابر است با مشخصه فاز سیگنال شکل طیف نیمه سمت راست طیف دو طرفه مربوطه را تکرار می کند (نگاه کنید به شکل 5) همچنین با مقادیر دو برابری دامنه ها برای سیگنال های زوج، نمونه های طیف فاز فقط می توانند مقادیر 0 یا p برای افراد فرد به ترتیب ± p / 2 است.
سری فوریه سیگنال‌های دوره‌ای آنالوگ دلخواه می‌تواند بی‌نهایت شامل باشد تعداد زیادی ازاعضا. با این حال، یکی از مزایای مهم تبدیل فوریه این است که هنگام محدود کردن (قطع کردن) سری فوریه به تعداد محدودی از عبارت های آن، بهترین تقریب به تابع اصلی (برای مقدار داده شدهاعضا).
نمودار بالایی شکل 7 سیگنال بازسازی شده را در N = 8 نشان می دهد (هارمونیک های اولین پیک طیف، که مرکز آن مربوط به هارمونیک اصلی سیگنال و عبارت سری n = ws / Dw است). N = 16 (هارمونیک دو قله اول) و N = 40 (پنج قله طیف اول). طبیعتاً هر چه تعداد اعضای سری بیشتر در بازسازی گنجانده شود، سیگنال بازسازی شده به شکل سیگنال اصلی نزدیکتر است. اصل تقریب متوالی به شکل اصلی در نمودار پایینی شکل به وضوح قابل مشاهده است. همچنین دلایل ظهور ضربان در بازسازی پرش توابع را نشان می دهد که به آنها می گویند. اثر گیبس... وقتی تعداد عبارت های جمع شده سری تغییر می کند، اثر گیبس ناپدید نمی شود. دامنه نسبی ضربان ها (نسبت به دامنه پرش) و تضعیف نسبی (با توجه به ضریب کاهش متوالی دامنه پالس ها نسبت به ماکزیمم مازاد) نیز تغییر نمی کند، فقط فرکانس تغییرات تپش ها، که با بسامد آخرین هارمونیک های جمع شده تعیین می شود.
اثر گیبس همیشه زمانی اتفاق می افتد که یکنواختی توابع به طور ناگهانی نقض شود. در پرش ها، تأثیر حداکثر است؛ در همه موارد دیگر، دامنه ضربان ها به ماهیت نقض یکنواختی تابع بستگی دارد.
یک تابع غیر تناوبی دلخواه مشخص شده (محدود، قطع شده از سیگنال دیگری، و غیره) در بازه (a, b) نیز می تواند به یک سری فوریه بسط داده شود، اگر ما به رفتار آن در خارج از این بازه علاقه مند نباشیم. با این حال، باید به خاطر داشت که استفاده از فرمول های (1-6) به طور خودکار به معنای ادامه دوره ای این تابع در خارج از تنظیم فاصله(در دو طرف آن) با نقطه T = b-a. با این حال، در این مورد، پدیده گیبس می تواند در لبه های بازه رخ دهد اگر سطح سیگنال در لبه ها منطبق نباشد و جهش های سیگنال در طول تکرار دوره ای آن شکل بگیرد، همانطور که در شکل 1 مشاهده می شود. 8. هنگام گسترش تابع اصلی در سری فوریه محدود و پردازش آن در دامنه فرکانسدر واقع پردازش نمی کند عملکرد اصلی، اما از یک سری محدود فوریه بازسازی شده است. وقتی سری فوریه کوتاه می شود، اعوجاج خاصی از توابع همیشه وجود دارد. اما با کسری کوچک از انرژی بخش قطع سیگنال (با کاهش سریع طیف توابع)، این اثر به سختی قابل توجه است. در پرش ها و ناپیوستگی توابع، به وضوح خود را نشان می دهد.
برنج. 7. بازسازی (بازیابی) سیگنال
برنج. 8. تجلی اثر گیبس
اطلاعات مشابه
سیگنال های دوره ای را می توان در معرض گسترش سری فوریه قرار داد. علاوه بر این، آنها به عنوان مجموع توابع هارمونیک، یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، نشان داده می شوند. برای اینکه چنین تجزیه ای وجود داشته باشد، یک قطعه سیگنال با مدت زمان یک دوره باید شرایط دیریکله را برآورده کند:
1. نباید ناپیوستگی های نوع دوم وجود داشته باشد (با شاخه های تابع تا بی نهایت).
2. تعداد ناپیوستگی های نوع اول (پرش) باید متناهی باشد.
تعداد افراط باید محدود باشد.
سری فوریه را می توان نه تنها برای نشان دادن سیگنال های دوره ای، بلکه سیگنال های با مدت زمان محدود نیز استفاده کرد. در این حالت، فاصله زمانی که سری فوریه برای آن ساخته می شود، تعیین می شود و در زمان های دیگر سیگنال در نظر گرفته می شود. برابر با صفر... برای محاسبه ضرایب یک سری، این رویکرد در واقع به معنای ادامه دوره ای سیگنال فراتر از مرزهای بازه در نظر گرفته شده است.
روش های فوریه برای تجزیه و تحلیل مدارها یا سیستم های خطی استفاده می شود: برای پیش بینی پاسخ (پاسخ) سیستم. برای تعیین تابع انتقال؛ برای ارزیابی نتایج آزمون
یک سیگنال تناوبی دلخواه از طریق تعداد بی نهایت هارمونیک با افزایش فرکانس بیان می شود:
|
|
اعضای اصلی؛ |
|||
|
|
شرایط هارمونیک (برای n> 1، n یک عدد صحیح است). |
|||
|
|
ضرایب هارمونیک؛ |
|||
|
|
مدت ثابت یا جزء DC. |
|||
دوره عملکرد 
باید برابر باشد 2πیا چندگانه؛ علاوه بر عملکرد 
سری فوریه را می توان به عنوان یک "دستور العمل" برای هر سیگنال تناوبی از اجزای سینوسی در نظر گرفت. به ردیف داده شدهاهمیت عملی داشت، باید همگرا شود، یعنی. مبالغ جزئی سری باید دارای محدودیت باشد.
فرآیند ایجاد یک سیگنال تناوبی دلخواه از ضرایب توصیف کننده اختلاط هارمونیک ها سنتز نامیده می شود. فرآیند معکوس محاسبه ضرایب را آنالیز می گویند. محاسبه ضرایب با این واقعیت تسهیل می شود که میانگین محصولات متقاطع یک سینوسی و کسینوس (و بالعکس) برابر با 0 است.
اجازه دهید اساس را در فضای هیلبرت معرفی کنیم: 
برای سادگی، متعارف بودن آن را فرض می کنیم.
سپس هر تابع 
از فضای هیلبرت می توان از طریق پیش بینی ها نشان داد 
بردار ایکسبر اساس محور مبنا توسط سری فوریه تعمیم یافته:
سری های فوریه مخصوصاً هنگام توصیف سیگنال های تناوبی دلخواه با انرژی محدود هر دوره مفید هستند. علاوه بر این، می توان از آنها برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی با انرژی محدود در یک بازه محدود استفاده کرد. در عمل، انتگرال فوریه برای توصیف چنین سیگنال هایی استفاده می شود.
نتیجه گیری
1. سری فوریه به طور گسترده برای توصیف سیگنال های دوره ای استفاده می شود. انتگرال فوریه برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی استفاده می شود.
نتیجه
1. پیام ها، سیگنال ها و نویز به عنوان بردار (نقاط) در فضای خطیرا می توان در قالب مجموعه ای از مختصات در یک مبنای معین توصیف کرد.
2. برای TPP بیشترین علاقههنگام نمایش سیگنال ها فضای اقلیدسی n بعدی را نشان می دهد 
، فضای بی نهایت هیلبرت 
و فضای همینگ گسسته 2
n... در این فضاها مفهوم حاصلضرب اسکالر دو بردار معرفی می شود (ایکس,
y)
.
3. هر عملکرد پیوستهزمان به عنوان یک عنصر 
را می توان با یک سری فوریه تعمیم یافته در یک مبنای متعارف معین نشان داد.
ادبیات
اصلی:
تئوری ارتباط الکتریکی: کتاب درسی. برای دانشگاه ها / A.G. زیوکو، دی. دی. کلوفسکی، وی. کورژیک، M. V. Nazarov؛ اد. D. D. Klovsky. - م .: رادیو و ارتباطات، 1377 .-- 433 ص.
اضافی:
پروکیس جی. ارتباطات دیجیتال: پر. از انگلیسی / اد. DD. کلوفسکی. - م .: رادیو و ارتباطات، 2000. - 800 ص.
برنارد اسکلار. ارتباطات دیجیتال. مبانی نظری و کاربرد عملی: پر. از انگلیسی - م.: انتشارات"ویلیامز"، 2003. - 1104 ص.
A.S. سوخوروکوف تئوری ارتباطات الکتریکی: یادداشت های سخنرانی. قسمت 1. - M.: MTUCI، مرکز به, 2002 .-- 65 ص.
A.S. سوخوروکوف تئوری ارتباطات دیجیتال: آموزش. Part 2. - M.: MTUSI, 2008 .-- 53 p.
کار آزمایشگاهی شماره 1
گسترش سیگنال ها در سری فوریه
هدف از تکلیف
با نمونه هایی از تجزیه سیگنال در سری فوریه آشنا شوید و تجزیه را به صورت عملی اجرا کنید. از انواع مختلفسیگنال ها در سیستم MatLab
فرمول بندی مسئله
تجزیه سیگنال های انواع مختلف را در سری فوریه انجام دهید. سیگنال‌های زیر در معرض تجزیه هستند: دنباله‌ای از پالس‌های مستطیلی، موج مربعی، سیگنال دندان‌اره‌ای، و دنباله‌ای از پالس‌های مثلثی.
برای هر گزینه و هر نوع سیگنال، پارامترها تنظیم می شوند:
برای دنباله ای از پالس های مستطیلی - دامنه، دوره تکرار و مدت زمان پالس.
برای یک موج مربعی، یک سیگنال دندان اره و دنباله ای از پالس های مثلثی، دامنه و دوره تکرار پالس ها.
برای همه انواع سیگنال ها، تعداد هارمونیک های غیر صفر مشخص می شود.
ایجاد برنامه در سیستم MatLab و ساخت نمودار.
فرمول بندی مسئله.
کد برنامه برای تجزیه دنباله ای از پالس های مستطیلی، امواج مربعی، شکل موج های دندانه اره، و قطارهای پالس های مثلثی.
نتایج اجرای برنامه نمودارهایی از مراحل میانی جمع است.
دستورالعمل های روشی
سری فوریه
سیگنال های دوره ای را می توان در معرض گسترش سری فوریه قرار داد. علاوه بر این، آنها به عنوان مجموع توابع هارمونیک یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند نشان داده می شوند.
سری فوریه را می توان نه تنها برای نشان دادن سیگنال های دوره ای، بلکه سیگنال هایی با مدت زمان محدود نیز اعمال کرد. در این حالت بازه زمانی که سری فوریه ترسیم می شود مشخص می شود و در سایر مواقع سیگنال برابر با صفر در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ضرایب یک سری، این رویکرد در واقع به معنای ادامه دوره ای سیگنال فراتر از مرزهای بازه در نظر گرفته شده است.
شکل سینوس کسینوس
در این نسخه، سری فوریه به شکل زیر است:
اینجا 
آیا فرکانس دایره ای مربوط به دوره تکرار سیگنال برابر است با 
... فرکانس های موجود در فرمول 
هارمونیک نامیده می شوند، هارمونیک ها بر اساس شاخص شماره گذاری می شوند 
; فرکانس 
تماس گرفت 
هارمونیک دهم سیگنال ضرایب سری 
و 
با فرمول های زیر محاسبه می شود:
,
.
مقدار ثابت 
محاسبه شده توسط فرمول کلیبرای 
... این عبارت خود مقدار متوسط سیگنال در طول دوره است:
.
اگر 
یک تابع زوج است، سپس همه 
برابر صفر خواهد بود و در فرمول سری فوریه فقط عبارات کسینوس وجود خواهد داشت. اگر 
یک تابع فرد است، برعکس، ضرایب کسینوس 
و فقط عبارات سینوس در فرمول باقی می مانند.
دنباله ای از پالس های مستطیل شکل
، مدت زمان 
و دوره تکرار 
.برنج. 1 دنباله تناوبی پالس های مستطیلی
این سیگنال یک تابع زوج است، بنابراین، برای نشان دادن آن، استفاده از شکل سینوس کسینوس سری فوریه راحت تر است - فقط شامل عبارات کسینوس خواهد بود. 
مساوی با
.
نسبت دوره به مدت پالس ها نامیده می شود چرخه وظیفه قطار پالسو با حرف مشخص می شود 
:
.
نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی به شکل سری فوریه:
.
دامنه ترم های هارمونیک سری به عدد هارمونیک بستگی دارد.
پیچ و خم
برنج. 2 پیچ و خم
در 
، ما گرفتیم
در اینجا m یک عدد صحیح دلخواه است.
هنگام گسترش در سری فوریه، اجزای زوج وجود ندارند.
سیگنال اره
در دوره، با یک تابع خطی توصیف می شود:
برنج. 3. سیگنال دندان اره ای
این سیگنال یک تابع فرد است، بنابراین سری فوریه آن به صورت سینوس کسینوس فقط شامل عبارات سینوسی خواهد بود:
.
خود سری فوریه برای سیگنال دندان اره به شکل زیر است:
دنباله ای از پالس های مثلثی
شکل 4. قطار پالس های مثلثی
سیگنال یک تابع زوج است، بنابراین اجزای کسینوس وجود خواهند داشت.
ما ضرایب سری فوریه را محاسبه می کنیم:
سری فوریه خود به شکل زیر است:
همانطور که می بینید، برخلاف دنباله های پالس های مستطیلی و دندانه ای، برای سیگنال تناوبی مثلثی، دامنه هارمونیک ها به نسبت توان دوم اعداد هارمونیک کاهش می یابد. 
.
کد برنامه برای meander
N = 8; درصد تعداد هارمونیک های غیر صفر
t = -1: 0.01: 1; درصد بردار زمان
A = 1; ٪ دامنه
T = 1; ٪ دوره زمانی
nh = (1: N) * 2-1; درصد تعداد هارمونیک های غیر صفر
هارمونیک = cos (2 * پی * nh "* t / T)؛
Am = 2 / pi. / Nh; درصد دامنه هارمونیک ها
Am (2: 2: end) = -Am (2: 2: end); % تناوب کاراکتر
s1 = هارمونیک * repmat (Am "، 1، طول (t));
٪ ردیف - مجموع جزئی هارمونیک ها
برای k = 1: N، طرح فرعی (4، 2، k)، نمودار (t، s2 (k، :))، پایان
آر
نتیجه برنامه
نظرات (1) :repmat- ایجاد ماتریس بلوکیا یک آرایه بلوک چند بعدی از بلوک های یکسان. repmat (Am ", 1، طول (t)) - ماتریس از 1 بلوک به صورت عمودی و طول (t) بلوک به صورت افقی تشکیل شده است، هر بلوک یک ماتریس Am است".
کامسام- محاسبه مجموع جزئی عناصر.
طرح فرعی (ردیف ها, سرهنگ ها, ن) – دستور نمایش چندین نمودار پنجره گرافیکی به سلول هایی به شکل ماتریس با تقسیم می شود ردیف ها– خطوط، سرهنگ ها- ستون ها و ن– سلول جاری می شود.
انواع
|
№ گزینه |
پارامترهای سیگنال |
|||
|
|
|
|
|
|
–دامنه سیگنال
–دوره تکرار سیگنال
–مدت زمان سیگنال
–تعداد هارمونیک های غیر صفرسخنان مقدماتی
V این بخشنمایش سیگنال های دوره ای با استفاده از سری فوریه در نظر گرفته خواهد شد. سری های فوریه اساس نظریه هستند تحلیل طیفی، زیرا همانطور که بعدا خواهیم دید، تبدیل فوریه یک سیگنال غیر تناوبی را می توان به عنوان گذر به مرز سری فوریه با دوره تکرار بی نهایت بدست آورد. در نتیجه، ویژگی های سری فوریه برای تبدیل فوریه سیگنال های غیر تناوبی نیز معتبر است.ما عبارات سری فوریه را به صورت مثلثاتی و مختلط در نظر خواهیم گرفت و همچنین به شرایط دیریکله برای همگرایی سری فوریه توجه خواهیم کرد. علاوه بر این، در توضیح مفهومی مانند فرکانس منفی طیف سیگنال که اغلب در آشنایی با نظریه تحلیل طیفی مشکل ایجاد می کند، به تفصیل صحبت خواهیم کرد.
سیگنال دوره ای سری فوریه مثلثاتی
بگذارید یک سیگنال تناوبی از زمان پیوسته وجود داشته باشد، که با یک دوره s تکرار می شود، یعنی. ، جایی که یک عدد صحیح دلخواه است.به عنوان مثال، شکل 1 دنباله ای از پالس های مستطیلی با مدت زمان c را نشان می دهد که با دوره s تکرار می شوند.
شکل 1. توالی دوره ای
پالس های مستطیلی
از دوره تجزیه و تحلیل ریاضیمشخص است که سیستم توابع مثلثاتی
با فرکانس های متعدد، جایی که راد / s یک عدد صحیح است، تشکیل می شود مبنای متعارفبرای گسترش سیگنال های دوره ای با دوره ای که شرایط دیریکله را برآورده می کند.
شرایط دیریکله برای همگرایی سری فوریه مستلزم آن است که یک سیگنال تناوبی روی یک قطعه مشخص شود، در حالی که شرایط زیر را برآورده می کند:
برای مثال تابع تناوبی 
شرایط دیریکله را برآورده نمی کند، زیرا تابع دارای ناپیوستگی هایی از نوع دوم است و مقادیر نامتناهی در آن به خود می گیرد، جایی که یک عدد صحیح دلخواه است. بنابراین تابع نمی توان با یک سری فوریه نمایش داد. شما همچنین می توانید یک مثال از تابع ارائه دهید 
، که محدود است، اما شرایط دیریکله را نیز برآورده نمی کند، زیرا در هنگام نزدیک شدن به صفر، تعداد بی نهایت نقطه افراطی دارد. نمودار تابع در شکل 2 نشان داده شده است.
شکل 2. نمودار تابع :
الف - دو دوره تکرار؛ ب - در مجاورت
شکل 2a دو دوره تکرار تابع را نشان می دهد ، و در شکل 2b - منطقه در مجاورت. مشاهده می شود که با نزدیک شدن به صفر، فرکانس نوسان بی نهایت افزایش می یابد و چنین تابعی را نمی توان با سری فوریه نشان داد، زیرا به صورت تکه ای یکنواخت نیست.
لازم به ذکر است که در عمل هیچ سیگنالی با معانی بی پایانجریان یا ولتاژ عملکرد با عدد بی پایانافراطی مانند همچنین در وظایف کاربردیملاقات نمی کنند. همه سیگنال های تناوبی واقعی شرایط دیریکله را برآورده می کنند و می توانند با یک سری فوریه مثلثاتی بی نهایت به شکل زیر نمایش داده شوند:
 |
در عبارت (2)، ضریب جزء ثابت سیگنال تناوبی را تنظیم می کند.
در تمام نقاطی که سیگنال پیوسته است، سری فوریه (2) به مقادیر این سیگنال و در نقاط شکست نوع اول - به مقدار میانگین، جایی که و محدودیت‌های سمت چپ و راست هستند، همگرا می‌شوند. نقطه شکست، به ترتیب.
همچنین از دوره تجزیه و تحلیل ریاضی مشخص شده است که استفاده از یک سری فوریه کوتاه که فقط شامل جمله های اول است به جای مجموع بی نهایت منجر به نمایش تقریبی سیگنال می شود:
که در آن حداقل میانگین مربعات خطا تضمین می شود. شکل 3 تقریب یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی و یک سیگنال دندانه اره دوره ای را با استفاده از تعداد متفاوتی از عبارت های سری فوریه نشان می دهد.
شکل 3. تقریب سیگنال ها توسط سری فوریه کوتاه شده:
الف - تکانه های مستطیلی؛ ب - سیگنال دندان اره
سری فوریه به شکل پیچیده
در بخش قبل، سری فوریه مثلثاتی را برای بسط سیگنال تناوبی دلخواه با شرایط دیریکله در نظر گرفتیم. با استفاده از فرمول اویلر، می توان نشان داد: |
سپس سری فوریه مثلثاتی (2) با در نظر گرفتن (4):
بنابراین، یک سیگنال تناوبی را می توان با مجموع یک جزء ثابت و شارهای مختلط که در فرکانس هایی با ضرایب چرخش برای فرکانس های مثبت و برای شارهای مختلط که در فرکانس های منفی می چرخند، نشان داد.
ضرایب نمایی مختلط را که در فرکانس های مثبت می چرخند در نظر بگیرید:
عبارات (6) و (7) منطبق هستند، علاوه بر این، جزء ثابت را می توان از طریق یک نمایی مختلط در فرکانس صفر نیز نوشت:
بنابراین، (5)، با در نظر گرفتن (6) - (8)، می تواند به عنوان یک مجموع واحد نمایش داده شود، زمانی که از منهای بی نهایت تا بی نهایت نمایه شود:
 |
عبارت (9) یک سری فوریه به شکل مختلط است. ضرایب سری فوریه به صورت مختلط مربوط به ضرایب و سری به صورت مثلثاتی است و برای فرکانس های مثبت و منفی تعیین می شود. زیرنویس در تعیین فرکانس، عدد هارمونیک گسسته را نشان می‌دهد و زیرنویس‌های منفی مربوط به فرکانس‌های منفی است.
از عبارت (2) نتیجه می شود که برای یک سیگنال واقعی ضرایب و سری (2) نیز واقعی هستند. با این حال، (9) یک سیگنال واقعی را با مجموعه ای از ضرایب مزدوج پیچیده مرتبط با فرکانس های مثبت و منفی مرتبط می کند.
چند توضیح برای سری فوریه به صورت پیچیده
در قسمت قبل، انتقال از سری فوریه مثلثاتی (2) به سری فوریه را به صورت مختلط (9) انجام دادیم. در نتیجه، به جای گسترش سیگنال های تناوبی بر اساس توابع مثلثاتی واقعی، به یک بسط بر اساس نمایی های مختلط، با ضرایب مختلط رسیدیم و حتی فرکانس های منفی در بسط ظاهر شد! تا جایی که این سوالاغلب سوء تفاهم می شود، لازم است توضیحاتی ارائه شود.اولاً، کارکردن با شارهای مختلط عموماً آسان‌تر از توابع مثلثاتی است. به عنوان مثال، هنگام ضرب و تقسیم نمایی های مختلط، کافی است نماها را جمع (تفریق) کنیم، در حالی که فرمول های ضرب و تقسیم برای توابع مثلثاتی دست و پا گیرتر هستند.
تمایز و ادغام شارها، حتی پیچیده، نیز آسان تر از توابع مثلثاتی است که به طور مداوم در حین تمایز و ادغام تغییر می کنند (سینوس به کسینوس تبدیل می شود و بالعکس).
اگر سیگنال تناوبی و واقعی باشد، سری فوریه مثلثاتی (2) بصری تر به نظر می رسد، زیرا تمام ضرایب انبساط واقعی باقی می مانند. با این حال، اغلب باید با سیگنال‌های دوره‌ای پیچیده سر و کار داشت (به عنوان مثال، در مدولاسیون و دمدولاسیون، نمایش مربعی پوشش پیچیده استفاده می‌شود). در این حالت، هنگام استفاده از سری فوریه مثلثاتی، تمام ضرایب و بسط های (2) پیچیده می شوند، در حالی که هنگام استفاده از سری فوریه به صورت مختلط (9)، ضرایب بسط یکسان برای ورودی واقعی و مختلط استفاده می شود. سیگنال ها
و در نهایت، لازم است در توضیح فرکانس های منفی که در (9) ظاهر شد، بمانیم. این سوال اغلب اشتباه درک می شود. V زندگی روزمرهما با فرکانس های منفی مواجه نمی شویم. به عنوان مثال، ما هرگز رادیو خود را روی فرکانس منفی تنظیم نمی کنیم. بیایید به قیاس زیر از مکانیک نگاه کنیم. بگذارید یک آونگ فنری مکانیکی وجود داشته باشد که عمل کند ارتعاشات رایگانبا مقداری فرکانس آیا آونگ می تواند با فرکانس منفی نوسان کند؟ البته که نه. همانطور که هیچ ایستگاه رادیویی با فرکانس منفی پخش نمی شود، بنابراین فرکانس نوسانات آونگ نمی تواند منفی باشد. اما آونگ فنری یک جسم یک بعدی است (آونگ در امتداد یک خط مستقیم در نوسان است).
همچنین می‌توانیم قیاس دیگری از مکانیک ارائه دهیم: چرخی که در یک فرکانس می‌چرخد. چرخ، بر خلاف آونگ، می چرخد، یعنی. یک نقطه از سطح چرخ در یک صفحه حرکت می کند، نه اینکه فقط در امتداد یک خط مستقیم ارتعاش کند. بنابراین، برای تنظیم بدون ابهام چرخش، تنظیم سرعت کافی نیست، زیرا جهت چرخش نیز باید تنظیم شود. دقیقاً به همین دلیل است که می توانیم از علامت فرکانس استفاده کنیم.
بنابراین، اگر چرخ با فرکانس راد / ثانیه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، فرض می‌کنیم که چرخ با فرکانس مثبت می‌چرخد و اگر در جهت عقربه‌های ساعت باشد، فرکانس چرخش منفی خواهد بود. بنابراین، برای تنظیم چرخش، فرکانس منفی دیگر بی معنی است و جهت چرخش را نشان می دهد.
و اکنون مهمترین چیزی که باید درک کنیم. نوسان یک جسم یک بعدی (مثلاً آونگ فنری) را می توان به صورت مجموع چرخش دو بردار نشان داده شده در شکل 4 نشان داد.
شکل 4. نوسان آونگ فنری
به عنوان مجموع چرخش دو بردار
در هواپیمای پیچیده
آونگ در امتداد محور واقعی صفحه مختلط با فرکانس در امتداد نوسان می کند قانون هارمونیک... حرکت آونگ به صورت یک بردار افقی نشان داده شده است. بردار بالایی روی صفحه مختلط با فرکانس مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) و بردار پایینی با فرکانس منفی (در جهت عقربه های ساعت) می چرخد. شکل 4 به وضوح رابطه ای را که از درس مثلثات به خوبی شناخته شده است نشان می دهد:
بنابراین، سری فوریه به شکل مختلط (9) سیگنال‌های تناوبی یک بعدی را به صورت مجموع بردارها در صفحه مختلط که با فرکانس‌های مثبت و منفی می‌چرخند، نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که در مورد سیگنال واقعی، طبق (9)، ضرایب انبساط برای فرکانس های منفی مزدوج مختلط با ضرایب متناظر برای فرکانس های مثبت هستند. در مورد سیگنال مختلط، این خاصیت ضرایب به دلیل پیچیده بودن و همچنین پیچیده بودن برآورده نمی شود.
طیف سیگنال های دوره ای
سری فوریه به شکل مختلط، تجزیه یک سیگنال تناوبی به مجموع نمایی های پیچیده است که در فرکانس های مثبت و منفی در مضرب راد / ثانیه با ضرایب مختلط مربوطه می چرخند که طیف سیگنال را تعیین می کند. ضرایب مختلط را می توان با فرمول اویلر نشان داد، جایی که طیف دامنه است، a طیف فاز است.از آنجایی که سیگنال‌های تناوبی در یک ردیف فقط در یک شبکه فرکانس ثابت تجزیه می‌شوند، طیف سیگنال‌های تناوبی خطی (گسسته) است.
شکل 5. طیف یک دنباله تناوبی
پالس های مستطیلی:
الف - طیف دامنه؛ ب - طیف فاز
شکل 5 نمونه ای از دامنه و طیف فاز یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی را نشان می دهد (شکل 1 را ببینید) در c، مدت زمان پالس c و دامنه پالس B.
طیف دامنه سیگنال واقعی اصلی با توجه به فرکانس صفر متقارن است و طیف فاز ضد متقارن است. توجه داشته باشید که مقادیر طیف فاز و 
مربوط به همان نقطه در صفحه مختلط است.
می توان نتیجه گرفت که تمام ضرایب انبساط سیگنال کاهش یافته کاملا واقعی هستند و طیف فاز 
مربوط به ضرایب منفی است.
توجه داشته باشید که بعد طیف دامنه با بعد سیگنال منطبق است. اگر تغییر ولتاژ در طول زمان را که بر حسب ولت اندازه گیری می شود، توصیف کند، دامنه هارمونیک های طیف نیز ابعاد ولت خواهد داشت.
نتیجه گیری
این بخش در مورد نمایش سیگنال های دوره ای با استفاده از سری فوریه بحث می کند. عبارات سری فوریه به صورت مثلثاتی و مختلط داده شده است. داده ایم توجه ویژهشرایط دیریکله برای همگرایی سری فوریه، و نمونه هایی از توابع که برای آنها سری فوریه واگرایی داده شد.ما روی بیان سری فوریه به شکل مختلط تمرکز کردیم و نشان دادیم که سیگنال‌های تناوبی، هم واقعی و هم پیچیده، با یک سری نمایی پیچیده با فرکانس‌های مثبت و منفی نشان داده می‌شوند. در این مورد، ضرایب انبساط نیز پیچیده هستند و دامنه و طیف فاز سیگنال تناوبی را مشخص می کنند.
در بخش بعدی نگاهی دقیق تر به ویژگی های طیف سیگنال های تناوبی خواهیم داشت.
