ویژگی های طیفی طیف سیگنال های دوره ای ویژگی های ویژگی های طیفی سیگنال های دوره ای

برای ساده‌سازی روش‌های حل مسائل آنالیز مدار، سیگنال‌ها به عنوان مجموع توابع معین نشان داده می‌شوند.

این فرآیند با مفهوم سری فوریه تعمیم یافته اثبات می شود. در ریاضیات ثابت شده است که هر تابعی که شرایط دیریکله را برآورده کند می تواند به صورت یک سری نمایش داده شود:

برای تعیین، قسمت چپ و راست سری را در ضرب می کنیم و انتگرال قسمت چپ و راست را می گیریم:

برای بازه ای که در آن شرایط متعامد برآورده می شود.

مشاهده می شود که ما یک عبارت برای سری فوریه تعمیم یافته گرفتیم:

ما نوع خاصی از عملکرد را برای گسترش سیگنال به یک سری مشخص می کنیم. به عنوان چنین تابعی، ما یک سیستم متعامد از توابع را انتخاب می کنیم:

برای تعیین سری، مقدار را محاسبه می کنیم:

بنابراین، دریافت می کنیم:

از نظر گرافیکی، این سری به صورت دو نمودار از مولفه های هارمونیک دامنه نمایش داده می شود.

عبارت حاصل را می توان به صورت زیر نشان داد:

شکل دوم ضبط سری فوریه مثلثاتی را به دست آوردیم. از نظر گرافیکی، این سری در قالب دو نمودار - طیف دامنه و فاز ارائه شده است.

بیایید شکل پیچیده سری فوریه را پیدا کنیم، برای این کار از فرمول های اویلر استفاده می کنیم:

از نظر گرافیکی، طیف در این شکل بر روی محور فرکانس در محدوده نمایش داده می شود.

بدیهی است که طیف یک سیگنال تناوبی، که به صورت پیچیده یا دامنه بیان می شود، گسسته است. این بدان معناست که طیف شامل اجزایی با فرکانس است

ویژگی های طیفی یک سیگنال غیر تناوبی

از آنجایی که یک سیگنال منفرد به عنوان یک سیگنال غیر تناوبی در مهندسی رادیو در نظر گرفته می شود، برای یافتن طیف آن، سیگنال را به عنوان سیگنال تناوبی با نقطه نشان می دهیم. بیایید از تبدیل سری فوریه برای دوره داده شده استفاده کنیم. دریافت برای:

تجزیه و تحلیل عبارت به‌دست‌آمده نشان می‌دهد که در , دامنه مولفه‌ها بی‌نهایت کوچک می‌شود و به‌طور پیوسته روی محور فرکانس قرار می‌گیرند. سپس برای رهایی از این وضعیت از مفهوم چگالی طیفی استفاده می کنیم:

عبارت به دست آمده را با سری پیچیده فوریه جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

در نهایت می رسیم:

در اینجا چگالی طیفی است و خود عبارت تبدیل فوریه مستقیم است. برای تعیین سیگنال از طیف آن، تبدیل فوریه معکوس استفاده می شود:

ویژگی های تبدیل فوریه

از فرمول تبدیل فوریه مستقیم و معکوس مشخص می شود که اگر سیگنال تغییر کند، طیف آن نیز تغییر می کند. خواص زیر وابستگی طیف سیگنال تغییر یافته را به طیف سیگنال قبل از تغییرات تنظیم می کند.

1) ویژگی خطی تبدیل فوریه

ما دریافتیم که طیف مجموع سیگنال ها برابر است با مجموع طیف آنها.

2) طیف سیگنال در زمان جابجا شد

مشخص شد که وقتی سیگنال جابجا می شود، طیف دامنه تغییر نمی کند، اما فقط طیف فاز با مقدار تغییر می کند.

3) تغییر مقیاس زمانی

یعنی وقتی سیگنال چندین بار منبسط می شود (باریک می شود)، طیف این سیگنال باریک می شود (بسط می یابد).

4) طیف جابجایی

5) طیف مشتق سیگنال

مشتق سمت چپ و راست تبدیل فوریه معکوس را در نظر بگیرید.

می بینیم که طیف مشتق سیگنال برابر است با طیف سیگنال اصلی ضرب می شود، یعنی طیف دامنه تغییر می کند و طیف فاز تغییر می کند.

6) طیف انتگرال سیگنال

انتگرال سمت چپ و راست تبدیل فوریه معکوس را در نظر بگیرید.

می بینیم که طیف مشتق سیگنال برابر است با طیف سیگنال اصلی تقسیم بر:

7) طیف حاصل ضرب دو سیگنال

بنابراین، طیف حاصلضرب دو سیگنال برابر است با پیچیدگی طیف آنها ضرب در ضریب

8) خاصیت دوگانگی

بنابراین، اگر طیفی با سیگنالی مطابقت داشته باشد، آنگاه سیگنالی به شکل منطبق با طیف فوق، منطبق بر طیفی از نظر شکل منطبق بر سیگنال فوق است.

دستورالعمل کارهای آزمایشگاهی

انضباطعناصر نظریه عمومی سیگنال ها »

توافق شده توسعه یافته است

مهندس حفاظت از کار دانشیار گروه EAPP

G.V. مانگوتکینا ________ A.S. خیسماتولین

2014 _____________2014

دانشجو gr. BAT-11-21

E.I.Bulankin

دستورالعمل های روشی برای دانشجویان گرایش آماده سازی 220700 "اتوماسیون فرآیندها و تولیدات فناوری"، پروفایل "اتوماسیون فرآیندها و تولیدات فناوری در پتروشیمی و پالایش نفت" در نظر گرفته شده است.

در جلسه ای از بخش EAPP بحث شد

صورتجلسه شماره ________________ 1393

ã شعبه FGBOU VPO UGNTU در صلوات، 2014

ویژگی های سیگنال های قطعی

هدف، واقعگرایانه: بررسی ویژگی های سیگنال های قطعی
در Mathcad

اطلاعات نظری مختصر

ویژگی های طیفی سیگنال های دوره ای

شرایط تناوب - ایکس(تی)= x(t+mT)، جایی که تی- عادت زنانه متر- عدد طبیعی، متر= 1، 2، .... هر سیگنال دوره ای ایکس(تی) را می توان با سری فوریه مثلثاتی نشان داد.

ایکس(تی)= a0 + ∑(یک ک cos kw 1 t + b kگناه کیلووات 1 تن)= a 0 + ∑ A k cos( کیلووات 1 تن +φ ک), (1.1)

جایی که ω 1 = 2π/Tفرکانس زاویه ای هارمونیک 1 یا اساسی است. a 0 و k، و ب بهضرایب انبساط محاسبه شده توسط فرمول:

یک 0 = یک ک = b k =

جایی که آکدامنه هارمونیک k ام است. φ کفاز k امین هارمونیک است. یک 0- مقدار متوسط ​​سیگنال (جزء ثابت)؛ کω 1 = ω ک- فرکانس زاویه ای کهارمونیک -ام t nنقطه زمانی مربوط به آغاز دوره است.

وابستگی ها آکو φ کروی فرکانس ω کبه ترتیب طیف دامنه و فاز هستند.

در برخی موارد، شکل پیچیده سری فوریه راحت تر است

(1.2)

ضرایب سری (1.2) با فرمول محاسبه می شود

(1.3)

فرمول های (1.2) و (1.3) یک جفت تبدیل فوریه هستند. مجموعه ضرایب طیف پیچیده یک سیگنال تناوبی x(t). مجموعه مقادیر واقعی بسته به فرکانس، طیف دامنه ها است. مجموعه مقادیر φ کبسته به فرکانس - طیف فاز.

سری (1.2) به راحتی در فرم نشان داده شده است

(1.4)

(1.5)

مثال 1.1

طیف دامنه ها و فازهای سیگنال x(t) را بسازید که بیان تحلیلی آن با داده های اولیه V m:= 4volt∙sec -1 ,T:= 2 sec و t 0:= 2 sec است. فرم

.

نمودار سیگنال برای محدوده زمانی t:=-1.5∙T، در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1 - نمودار سیگنال

تصمیم گیری

از آنجایی که این سیگنال تابع تناوبی از زمان است، باید از سری فوریه مثلثاتی یا پیچیده برای نمایش طیفی آن استفاده شود. اجازه دهید طیف دامنه ها و فازها را بر اساس سری فوریه مثلثاتی پیدا کنیم.

اجازه دهید ضرایب گسترش سیگنال را در بازه t:= 0..T در فرکانس زاویه ای هارمونیک اساسی ω 1:= و تعداد هارمونیک ها k:= 1..5 تعیین کنیم.

1) جزء DC

2) ضریب کسینوس

جایگزینی مقادیر عددی V m , T و ω 1 می دهد

در نتیجه ادغام، به دست می آوریم

به عنوان مثال، 1 = 0 ولت؛ 2 = 0 ولت؛ 3 = 0 ولت؛ 4 = 0 ولت

شکل دیگری از تعیین ضرایب انبساط راحت تر است.

سپس با بیان t 0 و ω 1 بر حسب T، داریم

بنابراین برای k>0 ضرایب a k برابر با صفر است.

3) ضریب سینوسی

با بیان t 0 و ω 1 بر حسب T، می توان دریافت کرد

از این رو، پس از ساده سازی، به شرح زیر است

دامنه هارمونیک kth

برای k>1 خواهد بود

بنابراین، با در نظر گرفتن مولفه ثابت، طیف دامنه

طیف فاز

از آنجایی که ضرایب a k = 0 و b k<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.

نمودارهای این طیف ها به صورت نمودار میله ای در شکل 2 نشان داده شده است.

ویژگی های طیفی سیگنال های غیر تناوبی

نمایش طیفی را می توان به موردی تعمیم داد که تابع ایکس(تی) غیر تناوبی است، یعنی. تی→∞. در این حالت تبدیل فوریه انتگرال اعمال می شود

در اینجا Ф و Ф -1 نامهای عملگر فوریه مستقیم و معکوس هستند.

فرمول های (1.6) و (1.7) یک جفت تبدیل فوریه انتگرال هستند. عملکرد اف(jω) تابع طیفی یا طیف پیچیده یک سیگنال غیر تناوبی نامیده می شود. در فرکانس های مثبت و منفی تعریف می شود.

تابع طیفی را می توان به صورت نمایش داد

طیف دامنه کجاست،

طیف فاز است.

مثال 1.2

طیف تابع x(t) تعریف شده در بازه -τ/2 را بیابید

بیان تحلیلی تابع

شکل 3 - فراوانی تکرار

تصمیم گیری

از آنجایی که تابع یک تابع غیر تناوبی زمان است، تابع طیفی آن (طیف پیچیده) را بر اساس تبدیل فوریه انتگرال (1.7) می یابیم. از نظر کمیت های بدون بعد، باید به خاطر داشت که تابع طیفی چگالی طیفی دامنه ها و فازهای نوسانات هارمونیک پیچیده ابتدایی را مشخص می کند. دارای ابعاد ولت × ثانیه برای سیگنالی به شکل ولتاژ است. فرکانس گوشه ω دارای بعد رادیان/ثانیه است.

با کمک ویژگی های طیفی، ترکیب داخلی (طیف) سیگنال تخمین زده می شود. برای این سیگنال x(t)به شکل یک سری فوریه تعمیم یافته نمایش داده می شود و آن را از نظر سیستم توابع پایه T گسترش می دهد k(t)

جایی که از به -ضرایب ثابت که منعکس کننده سهم تابع F^(?) در تشکیل مقادیر سیگنال در بازه زمانی در نظر گرفته شده است.

توانایی نمایش یک سیگنال پیچیده x(t)در قالب مجموع سیگنال‌های ساده، RDO برای سیستم‌های دینامیکی خطی مهم است. اصل برهم نهی، یعنی واکنش آنها به مجموع تأثیرات (سیگنال ها) برابر است با مجموع واکنش ها به هر یک از تأثیرات به طور جداگانه. بنابراین، با دانستن واکنش یک سیستم خطی به یک سیگنال ساده، می توان با جمع بندی نتایج، واکنش آن را به هر سیگنال پیچیده دیگری تعیین کرد.

انتخاب تابع k(t)مشروط به الزامات حداکثر دقت تقریب سیگنال x(t)سری (7.21) با حداقل تعداد عبارت این سری و در صورت امکان کاهش مشکلات محاسباتی که در تعیین ضرایب سری ایجاد می شود. با ک.

به عنوان توابع پایه، بیشترین استفاده از توابع مثلثاتی واقعی است

و توابع نمایی پیچیده

تجزیه و تحلیل طیفی کلاسیک سیگنال ها بر اساس آنها است. در عین حال، می توان از سیستم های دیگر توابع پایه (کارکردهای تیلور، والش، لاگر، هرمیت، لژاندر، چبیشف، کوتلنیکوف و غیره. 121) استفاده کرد که در تعدادی از موارد این امکان را فراهم می کند. ویژگی های تابع تقریبی را در نظر بگیرید x(t)با حفظ خطای تقریب داده شده، تعداد عبارت های سری (7.21) را کاهش دهید.

در سال های اخیر، یک سیستم جدید و بسیار امیدوار کننده از توابع پایه ظاهر شده است که به نام موجک هابر خلاف توابع هارمونیک، آنها می توانند با تغییر شکل و ویژگی های خود، با ویژگی های محلی سیگنال نزدیک شونده سازگار شوند. در نتیجه، نمایش سیگنال‌های پیچیده (از جمله سیگنال‌هایی با جهش‌ها و ناپیوستگی‌های محلی) به‌وسیله مجموعه‌ای از موجک‌ها از یک نوع یا دیگری امکان‌پذیر می‌شود.

هنگام استفاده از توابع پایه مثلثاتی (7.22)، سری (7.21) شکل سری فوریه مثلثاتی کلاسیک را به خود می گیرد.

جایی که Q \u003d 2n / T - فرکانس هارمونیک اساسی سری (G - دوره سیگنال)؛ k \u003d 1، 2، 3، ... - یک عدد صحیح؛ ak، bk - اعداد واقعی (ضرایب فوریه)، که طبق فرمول ها محاسبه می شود

در این فرمول ها، مانند قبل (نگاه کنید به (7.20))، t 0 -یک عدد دلخواه که می تواند به دلایل راحتی در محاسبه انتگرال ها انتخاب شود (7.25)، زیرا مقادیر این انتگرال ها به کمیت بستگی دارد. t0وابسته نباش x T (t) -پالس سیگنال پایه (شکل 7.3 را ببینید، که در).

ضریب یک 0میانگین دو برابر شده (در طول دوره) مقدار سیگنال، ضرایب باقی مانده را تعیین می کند a k > b k (k= 1، 2، 3، ...) - مشارکت بههارمونیک ام سری فوریه (7.24) در تشکیل مقادیر سیگنال لحظه ای ایکس(؟).

سری فوریه مثلثاتی (7.24) را می توان به دو شکل دیگر نوشت: به صورت انبساط سینوسی.

و به صورت انبساط کسینوس

جایی که L 0/2 \u003d a 0/2 -جزء ثابت سیگنال؛ آک-دامنه k-andهارمونیک های سری، با فرمول محاسبه می شود

فازهای اولیه این هارمونیک ها از روابط محاسبه می شود

مجموعه دامنه های اجزای هارمونیک یک سیگنال تناوبی (A تا )° =(تماس گرفت طیف دامنهاین سیگنال مجموع فازهای اولیه این اجزا (φ/^)^ =1 - طیف فازعلامت.

با استفاده از تابع 5 دیراک 8(?)، هر دو طیف را می توان نمایش داد توابع شبکهفرکانس ها

t.s. دامنه و طیف فاز یک سیگنال تناوبی هستند گسستهطیف این یک سیگنال دوره ای را از سیگنال های دیگر با طیف پیوسته متمایز می کند.

بنابراین، یک سیگنال تناوبی را می توان به عنوان مجموع هارمونیک ها نشان داد (7.24). در این حالت فرکانس هر جزء هارمونیک سری فوریه مضربی از فرکانس هارمونیک اساسی؟2 است که به دوره سیگنال بستگی دارد. تی.

هر چه تعداد این هارمونیک ها بیشتر باشد، خطای تقریب تابع کمتر است x(t)مجموع متناهی سری فوریه (7.24). یک استثنا، نقاط ناپیوستگی تابع است x(i).در مجاورت چنین نقاطی به اصطلاح پدیده گیبس|2|. با توجه به این پدیده، در مجاورت نقاط ناپیوستگی، مجموع متناهی سری فوریه

"دم های" نوسانی را تشکیل می دهند که ارتفاع آنها با افزایش تعداد هارمونیک های سری فوریه کاهش نمی یابد. N-تقریباً 9٪ از پرش در تابع است x(t)در نقطه شکست

برای محاسبه دامنه و فاز اولیه هارمونیک &-ام سیگنال تناوبی، به جای فرمول های (7.28) و (7.29)، می توان از فرمول ها استفاده کرد.

جایی که X t \u003d X t (p) \u003d L (x T (t))فهرست مطالب تیمتغیر ایکس -تصویر لاپلاس از تکانه سیگنال پایه، تعیین شده توسط فرمول (به پیوست 2 مراجعه کنید)

من-واحد خیالی؛ & = 0,1,2,... یک عدد صحیح مثبت است. استفاده از این فرمول ها نیاز به محاسبه انتگرال ها را بی نیاز می کند (7.25) که محاسبات را بسیار ساده می کند. اجازه دهید نمونه ای از چنین محاسبه ای را نشان دهیم.

مثال 7.1

طیف دامنه سیگنال تناوبی را تعیین کنید تصمیم گیری

روی انجیر 7.3، آ، نموداری از چنین سیگنالی نشان داده شده است. مشاهده می شود که سیگنال یک دوره دارد تی= من بنابراین فرکانس هارمونیک بنیادی سری فوریه مربوطه (7.24) برابر است با Q \u003d 2p / T \u003d 2 s -1. گرفتن t0 = 0, x T (t) =گناه؟ (برای 0 تن

برنج. 73.

آ -شکل موج ب -طیف دامنه سیگنال

از این رو، A 0/2 = 2/p، A k= 4/i (4 و 2 - 1)، sch= l، کجا ک= 1،2، 3، یعنی بسط تابع |sin(?)| به سری فوریه مثلثاتی شکل دارد

توجه داشته باشید:در اینجا f/، = l (و ns y k = 0) به دلیل استفاده از علامت منفی قبل از مجموع هارمونیک های سری.

روی انجیر 7.3، بطیف دامنه سیگنال در نظر گرفته شده نشان داده شده است. مقدار دامنه؟-امین هارمونیک سری الف بهبا یک قطعه عمودی با طول مناسب نشان داده می شود که در پایه آن عدد هارمونیک قرار دارد.

لازم به ذکر است که دامنه الف بهبرخی از هارمونیک های سری فوریه می تواند برابر با صفر باشد. علاوه بر این، کاهش یکنواخت در دامنه این هارمونیک ها با افزایش عدد هارمونیک اختیاری است، همانطور که در شکل 1. 7.3، ب

با این حال، در همه موارد، شرایط محدود است الف به= 0، که از

همگرایی سری فوریه

بیایید با استفاده از فرمول (7.32) مشکل را حل کنیم. برای انجام این کار، ابتدا تصویر لاپلاس از ضربه اصلی سیگنال را پیدا می کنیم x T (t)

تعویض اینجا p = ikQ = 2ik(جایی که من- واحد خیالی، ک= 1، 2، 3،...)، به دست می آوریم که با نتایج قبلی مطابقت دارد.

در کاربردهای فنی، اغلب از شکل پیچیده سری فوریه استفاده می شود

در این مورد، از توابع نمایی پیچیده (7.23) به عنوان توابع پایه استفاده می شود. بنابراین، ضرایب ج صسری (7.36) تبدیل شد جامع. آنها طبق فرمول محاسبه می شوند

که در آن، مانند فرمول (7.6)، متغیر شاخص است پمی تواند عدد صحیح مثبت یا منفی باشد.

هنگام استفاده از شکل پیچیده سری فوریه (7.36) طیف دامنهسیگنال دوره ای x(t)مجموعه مقادیر مطلق ضرایب فوریه پیچیده نامیده می شود ج ص

آ طیف فاز- مجموعه ای از آرگومان های اصلی این ضرایب

مقادیر زیادی (با٪)^ > = _ نامیده می شود طیف قدرتسیگنال دوره ای و مجموعه اعداد مختلط (از ص - دنباله طیفیسیگنال دوره ای این سه مشخصه (طیف دامنه، طیف فاز و طیف توان) به ویژگی های طیفی اصلی یک سیگنال دوره ای اشاره دارد.

بر خلاف دامنه و طیف فاز یک سیگنال تناوبی، ارائه شده در قالب یک سری فوریه مثلثاتی (7.24)، طیف های همان سیگنال، ساخته شده با استفاده از ضرایب فوریه پیچیده (7.37)، معلوم می شود. دو طرفهاین نتیجه وجود "فرکانس های منفی" در (7.36) است. بر.(برای مقادیر منفی پ).این دومی البته در واقعیت وجود ندارد. آنها فقط نمایش تابع هارمونیک نمایی استفاده شده در تشکیل سری پیچیده فوریه را منعکس می کنند e~tبه شکل یک بردار واحد که در جهت عقربه های ساعت با سرعت زاویه ای ω می چرخد.

اگر تصویر لاپلاس از ضربه اصلی یک سیگنال تناوبی وجود داشته باشد X T (p) = L (x T (t))،سپس طیف دامنه ها و طیف فازهای یک سیگنال تناوبی را می توان با فرمول محاسبه کرد.

الگوریتم های به اصطلاح تبدیل فوریه سریع، به لطف آن می توان زمان محاسبه ضرایب فوریه را به قدری کاهش داد که طیف سیگنال ها در طول پردازش آنها تقریباً در زمان واقعی به دست می آیند.

در نتیجه، سه ویژگی مهم ویژگی های طیفی یک سیگنال تناوبی را یادداشت می کنیم.

• 1. اگر x(t) -یک تابع زوج است، مولفه های خیالی همه ضرایب فوریه مختلط Im(C w ) برابر با صفر هستند و برعکس، اگر این تابع فرد باشد، اجزای واقعی همه ضرایب فوریه مختلط Re(Cn) برابر با صفر هستند. .
• 2. در نقطه ناپیوستگی نوع اول t = trکارکرد x(t)مجموع سری فوریه S(t)با نزدیک شدن آرگومان به نقطه شکست برابر است با نیمی از مجموع مقادیر محدود تابع تی = rچپ و راست، یعنی

توجه داشته باشید: اگر مقادیر تابع باشد x(€)در انتها + D) ضربه پایه x T (t)با یکدیگر برابر نیستند، سپس با تداوم دوره ای تکانه، این نقاط به نقاط ناپیوستگی از نوع اول تبدیل می شوند.

3. قدرت سیگنال تناوبی در حوزه زمان و فرکانس با یکدیگر برابر است، یعنی.

این نسبت بیان می کند قضیه پارسوال.

وجود در فرمول (7.36) "فرکانس های منفی" nQ.(برای سالها

نکات کلی

در میان سیستم های مختلف توابع متعامد که می توانند به عنوان پایه ای برای نمایش سیگنال های رادیویی استفاده شوند، توابع هارمونیک (سینوسی و کسینوس) جایگاه استثنایی را اشغال می کنند. اهمیت سیگنال‌های هارمونیک برای مهندسی رادیو به دلایلی است.

در مهندسی رادیو، باید با سیگنال‌های الکتریکی که با پیام‌های ارسالی با استفاده از روش کدگذاری پذیرفته شده مرتبط هستند، سروکار داشت.

می توان گفت که سیگنال الکتریکی یک فرآیند فیزیکی (الکتریکی) است که اطلاعات را حمل می کند. مقدار اطلاعاتی که می توان با استفاده از یک سیگنال خاص منتقل کرد به پارامترهای اصلی آن بستگی دارد: مدت زمان، باند فرکانس، توان و برخی ویژگی های دیگر. سطح تداخل در کانال ارتباطی نیز مهم است: هر چه این سطح پایین تر باشد، اطلاعات بیشتری را می توان با استفاده از یک سیگنال با قدرت معین منتقل کرد. قبل از صحبت در مورد قابلیت های اطلاعاتی یک سیگنال، لازم است با ویژگی های اصلی آن آشنا شوید. توصیه می شود سیگنال های قطعی و تصادفی را به طور جداگانه در نظر بگیرید.

سیگنال قطعی به هر سیگنالی گفته می شود که مقدار آنی آن در هر زمان با احتمال یک قابل پیش بینی باشد.

نمونه‌هایی از سیگنال‌های قطعی، پالس‌ها یا انفجارهای پالس‌هایی هستند که شکل، بزرگی و موقعیت آن در زمان مشخص است، و همچنین یک سیگنال پیوسته با روابط دامنه و فاز معین در طیف آن. سیگنال های قطعی را می توان به دوره ای و غیر تناوبی تقسیم کرد.

سیگنال دوره ای هر سیگنالی است که برای آن شرط وجود دارد

که در آن دوره T یک قطعه متناهی است و k هر عدد صحیحی است.

ساده ترین سیگنال قطعی دوره ای یک نوسان هارمونیک است. نوسان کاملاً هارمونیک تک رنگ نامیده می شود. این اصطلاح که از اپتیک وام گرفته شده است، تأکید می کند که طیف یک نوسان هارمونیک از یک خط طیفی منفرد تشکیل شده است. برای سیگنال های واقعی که شروع و پایان دارند، طیف ناگزیر تار می شود. بنابراین، نوسانات کاملاً تک رنگ در طبیعت وجود ندارند. در آینده، یک سیگنال هارمونیک و تک رنگ مشروط به معنای نوسان خواهد بود. هر سیگنال تناوبی پیچیده، همانطور که شناخته شده است، می تواند به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس هایی که مضربی از فرکانس اصلی w = 2*Pi/T هستند نمایش داده شود. مشخصه اصلی یک سیگنال تناوبی پیچیده تابع طیفی آن است که حاوی اطلاعاتی در مورد دامنه ها و فازهای هارمونیک های فردی است.

سیگنال قطعی غیر تناوبی، هر سیگنال قطعی است که شرط s(t)s(t+kT) برای آن برقرار باشد.

به عنوان یک قاعده، یک سیگنال غیر دوره ای در زمان محدود است. نمونه‌هایی از این سیگنال‌ها عبارتند از: پالس‌های ذکر شده، انفجار پالس‌ها، "خراش‌های" نوسانات هارمونیک و غیره. سیگنال های غیر تناوبی مورد توجه اصلی هستند، زیرا عمدتاً در عمل استفاده می شوند.

مشخصه اصلی یک سیگنال غیر تناوبی و همچنین یک سیگنال تناوبی، عملکرد طیفی آن است.

سیگنال‌های تصادفی شامل سیگنال‌هایی هستند که مقادیر آن‌ها از قبل مشخص نیست و فقط با احتمال معینی کمتر از یک قابل پیش‌بینی هستند. چنین عملکردهایی مانند ولتاژ الکتریکی مربوط به گفتار، موسیقی، دنباله ای از کاراکترهای یک کد تلگراف در هنگام ارسال یک متن غیر تکراری است. سیگنال های تصادفی همچنین شامل دنباله ای از پالس های رادیویی در ورودی گیرنده رادار هستند، زمانی که دامنه پالس ها و مراحل پر شدن فرکانس بالا آنها به دلیل تغییر در شرایط انتشار، موقعیت هدف و برخی دلایل دیگر در نوسان است. . بسیاری از نمونه های دیگر از سیگنال های تصادفی را می توان ارائه داد. اساساً هر سیگنالی که حامل اطلاعات باشد باید تصادفی در نظر گرفته شود. سیگنال های قطعی فهرست شده، "کاملا شناخته شده"، دیگر حاوی اطلاعات نیستند. در ادامه، از چنین سیگنال هایی اغلب به عنوان "نوسان" یاد می شود.

یک رویکرد آماری برای توصیف و تجزیه و تحلیل سیگنال های تصادفی استفاده می شود. ویژگی های اصلی سیگنال های تصادفی عبارتند از:

الف) قانون توزیع احتمال.

ب) توزیع طیفی قدرت سیگنال.

بر اساس اولین مشخصه، می توان زمان اقامت نسبی مقدار سیگنال را در یک محدوده سطح معین، نسبت حداکثر مقادیر به ریشه میانگین مربع و تعدادی از پارامترهای مهم سیگنال دیگر را یافت. مشخصه دوم فقط توزیع فرکانس توان سیگنال متوسط ​​را نشان می دهد. اطلاعات دقیق تر در مورد اجزای منفرد طیف - در مورد دامنه ها و مراحل آنها - ویژگی طیفی یک فرآیند تصادفی ارائه نمی شود.

همراه با سیگنال های تصادفی مفید در تئوری و عمل، باید با تداخل تصادفی - نویز مقابله کرد. همانطور که در بالا ذکر شد، سطح نویز عامل اصلی محدود کننده نرخ انتقال اطلاعات برای یک سیگنال مشخص است.

تصاویر فوریه - ضرایب پیچیده سری فوریه اف(j w ک) سیگنال دوره ای (1) و چگالی طیفی اف(j w) سیگنال غیر دوره ای (2) - دارای تعدادی ویژگی مشترک

1. خطی بودن . انتگرال ها (1) و (2) تبدیل خطی تابع را انجام دهید f(تی). بنابراین، تصویر فوریه از ترکیب خطی توابع برابر است با ترکیب خطی مشابه تصاویر آنها. اگر یک f(تی) = آ 1 f 1 (تی) + آ 2 f 2 (تی)، سپس اف(j w) = آ 1 اف 1 (j w) + آ 2 اف 2 (j w)، کجا اف 1 (j w) و اف 2 (j w) - تصاویر فوریه از سیگنال ها f 1 (تی) و f 2 (تی)، به ترتیب.

2. تاخیر انداختن (تغییر مبدا زمان برای توابع تناوبی) . سیگنال را در نظر بگیرید f 2 (تی) مدتی به تعویق افتاد تی 0 نسبت به سیگنال f 1 (تی) که به همین شکل است: f 2 (تی) = f 1 (تی – تی 0). اگر سیگنال f 1 عکس دارد اف 1 (j w)، سپس تصویر فوریه سیگنال f 2 برابر است اف 2 (j w) == . با ضرب و تقسیم بر ، عبارات را به صورت زیر گروه بندی می کنیم:

از آنجایی که آخرین انتگرال است اف 1 (j w)، سپس اف 2 (j w) = ه -j w تی 0 اف 1 (j w) . بنابراین، هنگامی که سیگنال برای مدتی به تأخیر می افتد تی 0 (تغییر مبدا زمان)، مدول چگالی طیفی آن تغییر نمی کند، و آرگومان با w کاهش می یابد. تی 0 متناسب با زمان تاخیر. بنابراین، دامنه های طیف سیگنال به مبدأ بستگی ندارد و فازهای اولیه با تاخیر تی 0 کاهش w تی 0 .

3. تقارن . برای معتبر f(تی) تصویر اف(j w) تقارن مزدوج دارد: اف(– j w) = . اگر یک f(تی) یک تابع زوج است، سپس Im اف(j w) = 0; برای تابع فرد Re اف(j w) = 0. ماژول | اف(j w)| و بخش واقعی Re اف(j w) - توابع فرکانس زوج، آرگومان arg اف(j w) و Im اف(j w) - عجیب و غریب.

4. تفکیک . از فرمول تبدیل مستقیم، ادغام با قطعات، اتصال تصویر مشتق سیگنال را به دست می آوریم. f(تی) با تصویر خود سیگنال

برای یک عملکرد کاملاً یکپارچه f(تی) جمله غیر انتگرال برابر با صفر است، و بنابراین، در، و آخرین انتگرال تصویر فوریه سیگنال اصلی را نشان می دهد. اف(j w) . بنابراین، تصویر فوریه از مشتق df/dtتوسط رابطه به تصویر خود سیگنال مربوط می شود j w اف(j w) - هنگام تمایز یک سیگنال، تصویر فوریه آن در ضرب می شود j w همین رابطه برای ضرایب نیز صادق است اف(j w ک) که با ادغام در محدوده های محدود از - تی/2 تا + تی/2. در واقع، محصول در محدوده مناسب است

از آنجایی که به دلیل تناوب بودن تابع f(تی/2) = f(– تی/2)، a = = = (– 1) ک، سپس در این مورد عبارت خارج از انتگرال ناپدید می شود و فرمول

جایی که فلش به طور نمادین عملکرد تبدیل فوریه مستقیم را نشان می دهد. این رابطه را می توان به تمایز چندگانه نیز تعمیم داد: برای nمشتق -ام داریم: d n f/dt n (j w) n F(j w).

فرمول های به دست آمده به ما امکان می دهند تصویر فوریه مشتقات یک تابع را از طیف شناخته شده آن پیدا کنیم. همچنین استفاده از این فرمول ها در مواردی که در نتیجه تمایز، به تابعی می رسیم که تصویر فوریه آن ساده تر محاسبه می شود، راحت است. بنابراین اگر f(تی) یک تابع خطی تکه ای و سپس مشتق آن است df/dtیک ثابت تکه ای است، و برای آن انتگرال تبدیل مستقیم را می توان به طور ابتدایی یافت. برای به دست آوردن ویژگی های طیفی انتگرال تابع f(تی) تصویر آن باید به تقسیم شود j w

5. دوگانگی زمان و فرکانس . مقایسه انتگرال های تبدیل فوریه مستقیم و معکوس منجر به نتیجه گیری در مورد تقارن عجیب آنها می شود که اگر فرمول تبدیل معکوس بازنویسی شود و عامل 2p به سمت چپ معادله منتقل شود واضح تر می شود:

برای سیگنال f(تی) که تابع یکنواخت زمان است f(– تی) = f(تی) زمانی که چگالی طیفی اف(j w) - ارزش واقعی اف(j w) = اف(w)، هر دو انتگرال را می توان به شکل مثلثاتی تبدیل فوریه کسینوس بازنویسی کرد:

با جایگزینی متقابل تیو w انتگرال های تبدیل مستقیم و معکوس به یکدیگر تبدیل می شوند. از این نتیجه می شود که اگر اف(w) نشان دهنده چگالی طیفی یک تابع زوج از زمان است f(تی، سپس تابع 2p f(w) چگالی طیفی سیگنال است اف(تی). برای توابع فرد f(تی) [f(تی) = – f(تی)] چگالی طیفی اف(j w) کاملاً خیالی [ اف(j w) = jF(w)]. انتگرال های فوریه در این مورد به شکل تبدیل های سینوسی تقلیل می یابند که از آن نتیجه می شود که اگر چگالی طیفی jF(w) مربوط به یک تابع فرد است f(تی) سپس مقدار j 2p f(w) نشان دهنده چگالی طیفی سیگنال است اف(تی). بنابراین، نمودارهای وابستگی زمانی سیگنال های این کلاس ها و چگالی طیفی آن دوتایی نسبت به یکدیگر هستند.

انتگرال (1)

انتگرال (2)

در مهندسی رادیو، نمایش طیفی و زمانی سیگنال ها به طور گسترده ای استفاده می شود. اگرچه سیگنال‌ها طبیعتاً فرآیندهای تصادفی هستند، اما پیاده‌سازی‌های فردی یک فرآیند تصادفی و برخی سیگنال‌های خاص (مثلاً اندازه‌گیری) را می‌توان توابع قطعی (یعنی شناخته شده) در نظر گرفت. دومی معمولاً به دوره ای و غیر تناوبی تقسیم می شود ، اگرچه سیگنال های کاملاً دوره ای وجود ندارند. یک سیگنال در صورتی که شرایط را برآورده کند دوره ای نامیده می شود

در یک بازه زمانی، که در آن T یک مقدار ثابت است که دوره نامیده می شود، و k هر عدد صحیح است.

ساده ترین مثال سیگنال تناوبی، نوسان هارمونیک (یا به اختصار هارمونیک) است.

دامنه کجاست، = فرکانس است، فرکانس دایره ای است، فاز اولیه هارمونیک است.

اهمیت مفهوم هارمونیک برای تئوری و عمل مهندسی رادیو به دلایل مختلفی توضیح داده می شود:

1. سیگنال های هارمونیک هنگام عبور از مدارهای الکتریکی خطی ثابت (مثلاً فیلترها) شکل و فرکانس خود را حفظ می کنند و فقط دامنه و فاز را تغییر می دهند.
2. سیگنال های هارمونیک به سادگی تولید می شوند (به عنوان مثال، با استفاده از نوسانگرهای LC).

سیگنال غیر تناوبی سیگنالی است که در یک بازه زمانی محدود غیر صفر باشد. یک سیگنال غیر تناوبی را می توان به صورت دوره ای، اما با یک دوره بی نهایت بزرگ در نظر گرفت. یکی از ویژگی های اصلی یک سیگنال غیر تناوبی، طیف آن است. طیف سیگنال تابعی است که وابستگی شدت هارمونیک های مختلف در ترکیب سیگنال را به فرکانس این هارمونیک ها نشان می دهد. طیف یک سیگنال تناوبی، وابستگی ضرایب سری فوریه به فرکانس هارمونیک هایی است که این ضرایب با آن مطابقت دارند. برای یک سیگنال غیر تناوبی، طیف تبدیل فوریه مستقیم سیگنال است. بنابراین، طیف یک سیگنال تناوبی یک طیف گسسته (یک تابع گسسته از فرکانس) است، در حالی که یک سیگنال غیر تناوبی با یک طیف پیوسته (پیوسته) مشخص می شود.

به این نکته توجه کنیم که طیف های گسسته و پیوسته ابعاد مختلفی دارند. طیف گسسته همان ابعاد سیگنال را دارد، در حالی که بعد طیف پیوسته برابر است با نسبت بعد سیگنال به بعد فرکانس. برای مثال، اگر سیگنال با یک ولتاژ الکتریکی نمایش داده شود، طیف گسسته با ولت [V] و طیف پیوسته بر حسب ولت بر هرتز [V/Hz] اندازه گیری می شود. بنابراین اصطلاح چگالی طیفی برای طیف پیوسته نیز به کار می رود.

ابتدا نمایش طیفی سیگنال های تناوبی را در نظر بگیرید. از درس ریاضیات مشخص است که هر تابع تناوبی که شرایط دیریکله را برآورده کند (یکی از شرایط لازم شرط محدود بودن انرژی است) را می توان با یک سری فوریه به صورت مثلثاتی نشان داد:

جایی که مقدار متوسط ​​سیگنال را در طول دوره تعیین می کند و جزء ثابت نامیده می شود. فرکانس را فرکانس بنیادی سیگنال (فرکانس اولین هارمونیک) و مضرب های آن را هارمونیک های بالاتر می نامند. عبارت (3) را می توان به صورت زیر نشان داد:

روابط معکوس برای ضرایب a و b شکل دارند

شکل 1 نمای معمولی از نمودار طیف دامنه سیگنال تناوبی را برای شکل مثلثاتی سری (6) نشان می دهد:

استفاده از یک عبارت (فرمول اویلر).

به جای (6)، می توانیم شکل پیچیده سری فوریه را بنویسیم:

که در آن ضریب، دامنه های مختلط هارمونیک ها نامیده می شود که مقادیر آنها، مطابق با (4) و فرمول اویلر، با عبارت تعیین می شود:

با مقایسه (6) و (9)، توجه می کنیم که هنگام استفاده از شکل پیچیده سری فوریه، مقادیر منفی k به ما امکان می دهد از اجزایی با "فرکانس های منفی" صحبت کنیم. با این حال، ظاهر فرکانس‌های منفی ماهیت رسمی دارد و با استفاده از نماد پیچیده برای نشان دادن یک سیگنال واقعی همراه است.

سپس به جای (9) دریافت می کنیم:

دارای ابعاد [دامنه / هرتز] است و دامنه سیگنال را در هر باند 1 هرتز نشان می دهد. بنابراین، این تابع فرکانس پیوسته S(jw) را چگالی طیفی دامنه های پیچیده یا به سادگی چگالی طیفی می نامند. ما به یک مورد مهم توجه می کنیم. با مقایسه عبارات (10) و (11)، متوجه می شویم که برای w=kwo آنها فقط با یک عامل ثابت تفاوت دارند، و

آن ها دامنه های پیچیده یک تابع تناوبی با دوره T را می توان از مشخصه طیفی یک تابع غیر تناوبی با همان شکل، که در بازه داده شده است، تعیین کرد. موارد فوق با توجه به مدول چگالی طیفی نیز صادق است:

از این رابطه نتیجه می شود که پوشش طیف دامنه پیوسته یک سیگنال غیر تناوبی و پوشش دامنه های طیف خط یک سیگنال تناوبی از نظر شکل منطبق هستند و فقط در مقیاس متفاوت هستند. اکنون انرژی سیگنال غیر تناوبی را محاسبه می کنیم. با ضرب هر دو قسمت نابرابری (14) در s(t) و ادغام در حدهای بی نهایت، به دست می آید:

که در آن S(jw) و S(-jw) کمیت های مزدوج پیچیده هستند. مانند

این عبارت برابری پارسوال برای یک سیگنال غیر تناوبی نامیده می شود. کل انرژی سیگنال را تعیین می کند. نتیجه این است که چیزی بیش از انرژی سیگنال در هر 1 هرتز باند فرکانس در اطراف فرکانس w وجود ندارد. بنابراین، این تابع گاهی اوقات چگالی انرژی طیفی سیگنال s(t) نامیده می شود. اکنون، بدون اثبات، چندین قضیه در مورد طیف‌ها ارائه می‌کنیم که ویژگی‌های اصلی تبدیل فوریه را بیان می‌کنند.