توابع متغیر پیچیده
تمایز توابع یک متغیر مختلط.

این مقاله مجموعه ای از درس ها را باز می کند که در آنها وظایف معمولی مربوط به تئوری توابع یک متغیر مختلط را در نظر خواهم گرفت. برای تسلط موفقیت آمیز به مثال ها، باید دانش اولیه ای از اعداد مختلط داشته باشید. به منظور تجمیع و تکرار مطالب، فقط از صفحه دیدن کنید. همچنین برای یافتن به مهارت هایی نیاز خواهید داشت مشتقات جزئی مرتبه دوم... در اینجا آنها هستند، این مشتقات جزئی ... حتی الان هم من خودم کمی تعجب کردم که چقدر اغلب اتفاق می افتد ...

موضوعی که ما شروع به تجزیه و تحلیل می کنیم چندان دشوار نیست و در توابع یک متغیر پیچیده ، در اصل ، همه چیز واضح و در دسترس است. نکته اصلی این است که به قانون اساسی پایبند باشیم که من به طور تجربی آن را استخراج کرده ام. ادامه مطلب

مفهوم تابع متغیر پیچیده

ابتدا، بیایید دانش خود را از تابع مدرسه یک متغیر تجدید کنیم:

تابع تک متغیریقاعده ای است که طبق آن هر مقدار از متغیر مستقل (از حوزه تعریف) با یک و تنها یک مقدار تابع مطابقت دارد. طبیعتا X و Y اعداد واقعی هستند.

در حالت پیچیده، وابستگی عملکردی به همین ترتیب تنظیم می شود:

تابع تک ارزشی یک متغیر مختلط- این قاعده ای است که طبق آن همه یکپارچهمقدار متغیر مستقل (از دامنه) با یک و تنها یک مطابقت دارد مجتمعمقدار تابع در تئوری، چند ارزشی و برخی دیگر از انواع توابع نیز در نظر گرفته می شوند، اما برای سادگی، من بر یک تعریف تمرکز می کنم.

تفاوت بین یک تابع متغیر مختلط چیست؟

تفاوت اصلی: اعداد پیچیده هستند. من طنز نمیکنم از چنین سؤالاتی آنها اغلب دچار گیجی می شوند، در پایان مقاله یک داستان جالب را برای شما تعریف می کنم. در درس اعداد مختلط برای آدمک هاما یک عدد مختلط را در فرم در نظر گرفتیم. از الان حرف "ز" شده است متغیر، سپس آن را به صورت زیر نشان می دهیم:، در حالی که "x" و "بازی" می توانند متفاوت باشند معتبرارزش های. به طور کلی، عملکرد یک متغیر مختلط به متغیرها و متغیرهایی که مقادیر "معمولی" می گیرند بستگی دارد. نکته زیر به طور منطقی از این واقعیت ناشی می شود:

تابع یک متغیر مختلط را می توان به صورت زیر نوشت:
، جایی که و دو تابع از دو هستند معتبرمتغیرها

تابع فراخوانی می شود بخش واقعیکارکرد.
تابع فراخوانی می شود قسمت خیالیکارکرد.

یعنی تابع یک متغیر مختلط به دو تابع واقعی و. برای اینکه در نهایت همه چیز را روشن کنید، مثال های عملی را در نظر بگیرید:

مثال 1

راه حل:متغیر مستقل "z" همانطور که به یاد دارید به صورت زیر نوشته می شود:

(1) تابع اصلی جایگزین شد.

(2) از فرمول ضرب اختصاری برای عبارت اول استفاده شد. در اصطلاح - براکت ها باز شده است.

(3) با دقت مربع، فراموش نکنید که

(4) بازآرایی اصطلاحات: ابتدا عبارت ها را بازنویسی کنید که در آن واحد خیالی وجود ندارد(گروه اول)، سپس اصطلاحات، جایی که هستند (گروه دوم). لازم به ذکر است که نیازی به قاطی کردن اصطلاحات نیست و می توان از این مرحله گذشت (در واقع با اجرای شفاهی آن).

(5) برای گروه دوم آن را از داخل پرانتز خارج می کنیم.

در نتیجه، تابع ما در فرم نشان داده شد

پاسخ:
- بخش واقعی تابع
- قسمت خیالی تابع.

این توابع چیست؟ معمولی ترین توابع دو متغیر است که از بین آنها می توان چنین محبوبیتی پیدا کرد مشتقات جزئی... بدون رحمت - ما پیدا خواهیم کرد. اما کمی بعد.

به طور خلاصه، الگوریتم مسئله حل شده را می توان به صورت زیر نوشت: جایگزین کردن به تابع اصلی، ساده کردن و تقسیم همه اصطلاحات به دو گروه - بدون واحد خیالی (قسمت واقعی) و با یک واحد خیالی (قسمت خیالی).

مثال 2

بخش واقعی و خیالی یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. قبل از پرتاب مهره های خود به جنگ در یک هواپیمای پیچیده، اجازه دهید مهمترین توصیه را در مورد این موضوع به شما ارائه دهم:

مراقب باش!البته باید همه جا مراقب باشید، اما در اعداد مختلط باید مثل قبل مراقب باشید! به یاد داشته باشید، براکت ها را با دقت باز کنید، چیزی را از دست ندهید. طبق مشاهدات من، رایج ترین اشتباه از دست دادن علامت است. عجله نکن!

راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

حالا مکعب. با استفاده از فرمول ضرب کاهش یافته، به دست می آوریم:
.

استفاده از فرمول ها در عمل بسیار راحت است، زیرا آنها به طور قابل توجهی روند حل را سرعت می بخشند.

تمایز توابع یک متغیر مختلط.

دو خبر دارم: خوب و بد. من با یک خوب شروع می کنم. برای تابعی از یک متغیر مختلط، قوانین تمایز و جدول مشتقات توابع ابتدایی معتبر است. بنابراین، مشتق به همان روشی که در مورد یک تابع متغیر واقعی است، گرفته می شود.

خبر بد این است که برای بسیاری از توابع یک متغیر مختلط، مشتق به هیچ وجه وجود ندارد و شما باید بفهمید قابل تمایزاین یا آن تابع و "پیدا کردن" احساس قلب شما با مشکلات اضافی همراه است.

یک تابع متغیر پیچیده را در نظر بگیرید. برای اینکه این تابع قابل تمایز باشد، لازم و کافی است:

1) برای مشتقات جزئی مرتبه اول وجود دارد. فوراً این نام‌گذاری‌ها را فراموش کنید، زیرا در تئوری تابع یک متغیر مختلط، به طور سنتی از نماد متفاوتی استفاده می‌شود: .

2) برای انجام به اصطلاح شرایط کوشی-ریمان:

فقط در این صورت مشتق وجود خواهد داشت!

مثال 3

راه حلبه سه مرحله متوالی تجزیه می شود:

1) قسمت واقعی و خیالی تابع را بیابید. این کار در نمونه های قبلی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت، بنابراین من آن را بدون نظر می نویسم:

از آن به بعد:

به این ترتیب:

- قسمت خیالی تابع.

من به یک نکته فنی دیگر می پردازم: به چه ترتیبیبرای نوشتن اصطلاحات در قسمت واقعی و خیالی؟ بله، در اصل، هیچ تفاوتی وجود ندارد. به عنوان مثال، قسمت واقعی را می توان اینگونه نوشت: ، و خیالی - مانند این:.

2) اجازه دهید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم. دو تا از آنها موجود است.

بیایید با بررسی شرایط شروع کنیم. ما پیدا می کنیم مشتقات جزئی:

بنابراین، شرط برقرار است.

بدون شک، خبر خوب این است که مشتقات جزئی تقریباً همیشه بسیار ساده هستند.

تحقق شرط دوم را بررسی می کنیم:

همینطور شد، اما با علائم مخالف، یعنی شرط هم برآورده شد.

شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود، بنابراین، تابع قابل تمایز است.

3) مشتق تابع را بیابید. مشتق نیز بسیار ساده است و طبق قوانین معمول یافت می شود:

واحد خیالی هنگام تمایز ثابت در نظر گرفته می شود.

پاسخ: - بخش واقعی، قسمت خیالی است.
شرایط کوشی-ریمان برآورده شده است.

دو روش دیگر برای یافتن مشتق وجود دارد، البته از آنها کمتر استفاده می شود، اما اطلاعات برای درک درس دوم مفید خواهد بود - چگونه تابع یک متغیر مختلط را پیدا کنم؟

مشتق را می توان با فرمول پیدا کرد:

در این مورد:

به این ترتیب

ما باید مشکل معکوس را حل کنیم - در عبارت حاصل، شما باید جداسازی کنید. برای انجام این کار، در شرایط و خارج از براکت لازم است:

همانطور که بسیاری متوجه شده اند، انجام عمل معکوس تا حدودی دشوارتر است، برای تأیید، همیشه بهتر است یک عبارت استفاده کنید و روی یک پیش نویس یا به صورت شفاهی پرانتزها را باز کنید و مطمئن شوید که دقیقاً نتیجه می شود.

فرمول آینه ای برای یافتن مشتق:

در این مورد: ، از همین رو:

مثال 4

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را تعیین کنید ... انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. اگر شرایط کوشی-ریمان برقرار است، مشتق تابع را پیدا کنید.

یک راه حل کوتاه و یک نمونه تقریبی از اتمام در پایان آموزش.

آیا شرایط کوشی-ریمان همیشه برآورده می شود؟ در تئوری، آنها بیشتر از آنچه هستند اعدام نمی شوند. اما در مثال های عملی موردی را به خاطر نمی آورم که اجرا نشده باشند =) بنابراین، اگر مشتقات جزئی شما "موافق نبودند"، با احتمال بسیار زیاد می توانید بگویید که در جایی اشتباه کرده اید.

بیایید توابع خود را پیچیده کنیم:

مثال 5

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را تعیین کنید ... انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. محاسبه

راه حل:الگوریتم حل کاملاً حفظ شده است، اما در پایان یک مد جدید اضافه می شود: یافتن مشتق در نقطه. برای مکعب، فرمول مورد نیاز قبلاً استنباط شده است:

بیایید بخش های واقعی و خیالی این تابع را تعریف کنیم:

توجه و توجه دوباره!

از آن به بعد:


به این ترتیب:
- بخش واقعی تابع؛
- قسمت خیالی تابع.

بررسی شرط دوم:

همینطور شد، اما با علائم مخالف، یعنی شرط هم برآورده شد.

شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود، بنابراین، تابع قابل تفکیک است:

بیایید مقدار مشتق را در نقطه مورد نظر محاسبه کنیم:

پاسخ:، شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود،

توابع با مکعب رایج هستند، بنابراین یک مثال برای مشخص کردن:

مثال 6

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را تعیین کنید ... انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. محاسبه.

حل و اتمام نمونه در پایان درس.

در نظریه تحلیل مختلط، سایر توابع یک آرگومان مختلط نیز تعریف می شود: توان، سینوس، کسینوس و غیره. این توابع دارای خواص غیر معمول و حتی عجیب و غریب هستند - و این واقعا جالب است! من می خواهم خیلی به شما بگویم، اما اینجا، این اتفاق افتاده است، نه یک کتاب مرجع یا یک کتاب درسی، بلکه یک حل کننده، بنابراین من همان مشکل را با برخی از توابع رایج در نظر خواهم گرفت.

اول، در مورد به اصطلاح فرمول های اویلر:

برای هرکس واقعیشماره فرمول های زیر معتبر هستند:

شما همچنین می توانید آن را در یک دفترچه به عنوان یک ماده مرجع بازنویسی کنید.

به طور دقیق، تنها یک فرمول وجود دارد، اما معمولا، برای راحتی، آنها همچنین یک مورد خاص با منهای در نشانگر می نویسند. لازم نیست پارامتر یک حرف تنها باشد، می تواند یک عبارت، تابع پیچیده باشد، فقط مهم است که آنها بپذیرند فقط معتبرارزش های. در واقع، همین الان آن را خواهیم دید:

مثال 7

مشتق را بیابید.

راه حل:خط کلی حزب تزلزل ناپذیر باقی می ماند - لازم است بخش های واقعی و خیالی عملکرد را مشخص کرد. من یک راه حل دقیق ارائه خواهم کرد و در زیر هر مرحله را توضیح خواهم داد:

از آن به بعد:

(1) جایگزین "z".

(2) پس از تعویض، باید قسمت واقعی و خیالی را انتخاب کنید اول در اندیکاتورغرفه داران برای این کار براکت ها را باز کنید.

(3) بخش خیالی نشانگر را گروه بندی می کنیم و واحد خیالی را از داخل براکت ها خارج می کنیم.

(4) ما از اقدام مدرسه با درجه استفاده می کنیم.

(5) برای فاکتور، از فرمول اویلر استفاده می کنیم، while.

(6) پرانتزها را باز کنید و به این نتیجه برسید:

- بخش واقعی تابع؛
- قسمت خیالی تابع.

اقدامات بعدی استاندارد هستند، بررسی انجام شرایط کوشی-ریمان:

مثال 9

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را تعیین کنید ... انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. ما مشتق را پیدا نمی کنیم، پس چنین باشد.

راه حل:الگوریتم حل بسیار شبیه به دو مثال قبلی است، اما نکات بسیار مهمی وجود دارد، بنابراین من دوباره مرحله اولیه را مرحله به مرحله توضیح خواهم داد:

از آن به بعد:

1) جایگزین "ز".

(2) ابتدا قسمت واقعی و خیالی را انتخاب کنید داخل سینوس... برای این منظور براکت ها را باز می کنیم.

(3) از فرمول، while استفاده می کنیم .

(4) ما استفاده می کنیم برابری کسینوس هذلولی: و سینوس هایپربولیک عجیب و غریب: هایپربولیک، اگرچه از این جهان نیستند، اما از بسیاری جهات شبیه توابع مثلثاتی مشابه هستند.

در نهایت:
- بخش واقعی تابع؛
- قسمت خیالی تابع.

توجه!علامت منفی مربوط به قسمت خیالی است و ما به هیچ وجه آن را از دست نمی دهیم! برای یک تصویر واضح، نتیجه به دست آمده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

اجازه دهید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم:

شرایط کوشی-ریمان برآورده شده است.

پاسخ:، شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود.

با کسینوس، خانم‌ها و آقایان، ما خودمان آن را متوجه می‌شویم:

مثال 10

قسمت های واقعی و خیالی تابع را مشخص کنید. انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید.

من عمداً نمونه هایی را انتخاب کردم که پیچیده تر هستند، زیرا به نظر می رسد همه چیز می تواند با چیزی مانند بادام زمینی پوست کنده کنار بیاید. در همان زمان شما توجه خود را تربیت خواهید کرد! فندق شکن در پایان درس.

خوب، در پایان، من مثال جالب دیگری را در نظر خواهم گرفت، زمانی که یک استدلال پیچیده در مخرج باشد. من چند بار در عمل ملاقات کرده ام، بیایید یک چیز ساده را مرتب کنیم. اوه من دارم پیر میشم...

مثال 11

قسمت های واقعی و خیالی تابع را مشخص کنید. انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید.

راه حل:باز هم لازم است که قسمت واقعی و خیالی تابع را از هم جدا کنیم.
اگر پس از آن

این سوال پیش می آید که وقتی "z" در مخرج است چه باید کرد؟

همه چیز هوشمندانه است - استاندارد کمک خواهد کرد ترفند ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج، قبلاً در مثال های درس استفاده شده است اعداد مختلط برای آدمک ها... ما فرمول مدرسه را به یاد می آوریم. ما قبلاً آن را در مخرج داریم، به این معنی که یک عبارت مزدوج خواهد بود. بنابراین، شما باید صورت و مخرج را ضرب کنید:

جایی که
اعداد واقعی هستند و - یک شخصیت خاص به نام واحد خیالی ... برای واحد خیالی، طبق تعریف، فرض می شود که
.

(4.1) – فرم جبری عدد مختلط و
تماس گرفت بخش واقعی عدد مختلط و
-قسمت خیالی .

عدد
تماس گرفت مزدوج پیچیده به شماره
.

دو عدد مختلط داده می شود
,
.

1. مجموع
اعداد مختلط و یک عدد مختلط نامیده می شود

2. تفاوت
اعداد مختلط و یک عدد مختلط نامیده می شود

3. بر اساس محصول
اعداد مختلط و یک عدد مختلط نامیده می شود

4. خصوصی از تقسیم یک عدد مختلط روی یک عدد مختلط
یک عدد مختلط نامیده می شود

.

تبصره 4.1. یعنی عملیات روی اعداد مختلط طبق قوانین معمول عملیات حسابی روی عبارات تحت اللفظی در جبر معرفی می شوند.

مثال 4.1.اعداد مختلط داده شده است. پیدا کردن

.

راه حل. 1) .

4) از ضرب صورت و مخرج در مزدوج اعداد مخرج به دست می آید.

فرم مثلثاتی عدد مختلط:

جایی که
- ماژول یک عدد مختلط،
یک آرگومان عدد مختلط است. تزریق تا این اصطلاح به صورت مبهم تعریف شده است
:

,
.

- مقدار اصلی آرگومان که با شرط تعیین می شود

، (یا
).

فرم گویا عدد مختلط:

.

ریشه
توان دهم عدد این دارد مقادیر مختلفی که با فرمول پیدا می شوند

,

جایی که
.

نقاط مربوط به مقادیر
، رئوس صحیح هستند
مربعی که در دایره ای به شعاع حک شده است
در مبدا متمرکز شده است.

مثال 4.2.تمام مقادیر ریشه را پیدا کنید
.

راه حل.بیایید یک عدد مختلط را نشان دهیم
به صورت مثلثاتی:

,

، جایی که
.

سپس
... بنابراین با فرمول (4.2)
چهار معنا دارد:

,
.

با فرض اینکه
، ما پیدا می کنیم

,
,

, .

در اینجا مقادیر آرگومان را به مقدار اصلی آن تبدیل کرده ایم.

مجموعه در هواپیمای پیچیده

عدد مختلط
در هواپیما به تصویر کشیده شده است
نقطه
با مختصات
... مدول
و استدلال
با مختصات قطبی نقطه مطابقت دارد
.

یادآوری این نابرابری مفید است
دایره ای را در مرکز یک نقطه تعریف می کند شعاع ... نابرابری
نیم صفحه ای را مشخص می کند که در سمت راست یک خط مستقیم قرار دارد
، و نابرابری
- نیم صفحه واقع در بالای خط مستقیم
... علاوه بر این، سیستم نابرابری
زاویه بین پرتوها را تنظیم می کند
و
نشات گرفته از مبدأ

مثال 4.3.مساحت تعریف شده با نامساوی را رسم کنید:
.

راه حل.اولین نابرابری مربوط به حلقه ای است که در مرکز آن نقطه قرار دارد
و دو شعاع 1 و 2، دایره در منطقه گنجانده نشده است (شکل 4.1).

نابرابری دوم مربوط به زاویه بین پرتوها است
(نصف ساز زاویه 4 مختصات) و
(جهت محور مثبت
). خود پرتوها وارد منطقه نمی شوند (شکل 4.2).

ناحیه مورد نظر محل تلاقی دو ناحیه بدست آمده است (شکل 4.3)

4.2. توابع متغیر پیچیده

اجازه دهید تابع تک مقدار
تعریف شده و مستمر در منطقه
، آ - منحنی جهت بسته یا باز به صورت تکه ای صاف که در داخل قرار دارد
... بگذار طبق معمول
،، جایی که
,
- توابع واقعی متغیرها و .

محاسبه انتگرال یک تابع
متغیر مختلط به محاسبه انتگرال های منحنی معمولی کاهش می یابد، یعنی

.

اگر تابع
تجزیه و تحلیل در یک دامنه به سادگی متصل است
حاوی نقاط و ، سپس فرمول نیوتن-لایب نیتس انجام می شود:

,

جایی که
- هر ضد مشتق برای یک تابع
، به این معنا که
در محدوده ی
.

در انتگرال توابع یک متغیر مختلط، می‌توانید متغیر را تغییر دهید، و انتگرال‌گیری بر اساس بخش‌ها مشابه روشی است که هنگام محاسبه انتگرال توابع یک متغیر واقعی انجام می‌شود.

همچنین توجه داشته باشید که اگر مسیر ادغام بخشی از خط مستقیم خروجی از نقطه باشد ، یا بخشی از یک دایره در مرکز یک نقطه ، سپس تغییر یک متغیر از فرم مفید است
... در مورد اول
، آ - متغیر واقعی ادغام؛ در مورد دوم
، آ متغیر واقعی ادغام است.

مثال 4.4.محاسبه
سهمی
از نقطه
به نقطه
(شکل 4.4).

راه حل.انتگرال را در فرم بازنویسی می کنیم سپس , ... ما فرمول (4.3) را اعمال می کنیم: زیرا ، سپس , ... بنابراین

مثال 4.5.انتگرال را محاسبه کنید
، جایی که - قوس دایره ای
,
(شکل 4.5).

راه حل.ما گذاشتیم، ، سپس , , ... ما گرفتیم:

عملکرد
، تک ارزشی و تحلیلی در رینگ
، در این حلقه تجزیه می شود سریال لوران

در فرمول (4.5)، سری
تماس گرفت بخش اصلی سریال Laurent و سریال
تماس گرفت قسمت سمت راست سریال لوران.

تعریف 4.1. نقطه تماس گرفتنقطه منفرد جدا شده کارکرد
اگر یک همسایگی از این نقطه وجود داشته باشد که در آن تابع
همه جا تحلیلی به جز خود نقطه .

عملکرد
در مجاورت نقطه را می توان در یک سری Laurent گسترش داد. در این مورد، سه مورد مختلف زمانی که سری Laurent امکان پذیر است:

1) شامل عباراتی با قدرت های منفی تفاوت نیست
، به این معنا که

(سریال لورن شامل قسمت اصلی نمی شود). در این مورد تماس گرفت تکینگی قابل جابجایی کارکرد
;

2) شامل تعداد متناهی عبارت با قدرت اختلاف منفی است
، به این معنا که

,

علاوه بر این
... در این مورد، نکته تماس گرفت قطب نظم کارکرد
;

3) شامل تعداد نامتناهی عبارت با قدرت منفی است:

.

در این مورد، نکته تماس گرفت نکته ضروری کارکرد
.

هنگام تعیین ماهیت یک نقطه منفرد جدا شده، لازم نیست به دنبال یک بسط در یک سری Laurent باشید. شما می توانید از ویژگی های مختلف نقاط ویژگی ایزوله استفاده کنید.

1) یک نقطه منفرد قابل جابجایی تابع است
اگر محدودیت محدودی از تابع وجود داشته باشد
در نقطه :

.

2) یک قطب تابع است
، اگر

.

3) یک نقطه مفرد ضروری تابع است
من چاقم
تابع محدودیتی ندارد، نه متناهی و نه نامتناهی.

تعریف 4.2. نقطه تماس گرفتصفر
مرتبه (یا کثرت ) کارکرد
در صورت احراز شرایط:

…,

.

نکته 4.2. نقطه اگر و فقط در آن صورت صفر است
مرتبه کارکرد
، هنگامی که در برخی از محله های این نقطه برابری

,

که در آن عملکرد
تحلیلی در نقطه و

4) نقطه قطب نظم است (
) کارکرد
اگر این نقطه یک مرتبه صفر باشد برای عملکرد
.

5) اجازه دهید - تابع ایزوله نقطه منفرد
، جایی که
- توابع تحلیلی در نقطه ... و بگذارید نکته مرتبه صفر است کارکرد
و به ترتیب صفر کارکرد
.

در
نقطه قطب نظم است
کارکرد
.

در
نقطه یک نقطه منفرد قابل جابجایی تابع است
.

مثال 4.6.نقاط جدا شده را بیابید و نوع آنها را برای یک تابع تعیین کنید
.

راه حل.کارکرد
و
- تحلیلی در کل صفحه پیچیده. از این رو، نقاط منفرد تابع
صفرهای مخرج هستند، یعنی نقاطی که در آن
... چنین نکاتی بی نهایت زیاد است. اول نکته است
و همچنین نقاطی که معادله را برآورده می کنند
... از اینجا
و
.

نکته را در نظر بگیرید
... در این مرحله دریافت می کنیم:

,
,

,
.

ترتیب صفر است
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

بنابراین نکته
یک قطب درجه دوم است (
).

... سپس

,
.

ترتیب صفر است
.

,
,
.

ترتیب صفر مخرج است
... از این رو نکات
در
قطب های درجه یک هستند ( قطب های ساده ).

قضیه 4.1. (قضیه باقی مانده کوشی ). اگر تابع
در مرز تحلیلی است مناطق
و در همه جای منطقه، به استثنای تعداد محدودی از نقاط منفرد
، سپس

.

هنگام محاسبه انتگرال ها، ارزش دارد که تمام نقاط منفرد تابع را با دقت پیدا کنید.
، سپس یک کانتور و نقاط منفرد رسم کنید و سپس فقط نقاطی را انتخاب کنید که در داخل کانتور ادغام قرار می گیرند. انتخاب درست بدون نقاشی اغلب دشوار است.

روش محاسبه کسر
بستگی به نوع نقطه خاص دارد. بنابراین، قبل از محاسبه کسر، باید نوع نقطه منفرد را تعیین کنید.

1) کسر تابع در نقطه برابر با ضریب منهای درجه اول در بسط لوران است
در مجاورت نقطه :

.

این عبارت برای انواع نقاط جدا شده صادق است و بنابراین در این مورد نیازی به تعیین نوع نقطه خاصی نیست.

2) باقیمانده در نقطه منفرد قابل جابجایی صفر است.

3) اگر یک قطب ساده (قطب مرتبه اول)، و تابع است
را می توان به عنوان نشان داد
، جایی که
,
(توجه داشته باشید که در این مورد
، سپس کسر در نقطه برابر است با

.

به ویژه، اگر
، سپس
.

4) اگر پس یک قطب ساده است

5) اگر - قطب
تابع مرتبه هفتم
، سپس

مثال 4.7.انتگرال را محاسبه کنید
.

راه حل.نقاط مفرد انتگرال را پیدا کنید ... عملکرد دو نقطه منفرد دارد و فقط یک نقطه در داخل کانتور می افتد (شکل 4.6). نقطه - قطب از مرتبه دوم، از آنجا که صفر ضرب 2 برای تابع است .

سپس با استفاده از فرمول (4.7)، باقیمانده را در این نقطه پیدا می کنیم:

به موجب قضیه 4.1، متوجه می شویم

آژانس فدرال آموزش

___________________________________

ایالت سن پترزبورگ

دانشگاه الکتروتکنیک "LETI"

_______________________________________

تئوری توابع یک متغیر مختلط

دستورالعمل های روشی

به آموزش عملی

در ریاضیات عالی

سن پترزبورگ

انتشارات SPbGETU "LETI"

UDC 512.64 (07)

TFKP: دستورالعمل های روش شناختی برای حل مسائل / comp .: V.G.Dyumin، A.M. Kotochigov، N.N. Sosnovsky. سنت پترزبورگ: انتشارات ETU "LETI"، 2010. 32 ص.

تایید شده توسط

شورای تحریریه و انتشارات دانشگاه

به عنوان دستورالعمل

© SPbGETU "LETI"، 2010

توابع یک متغیر مختلط، در حالت کلی، با نگاشت صفحه واقعی متفاوت است
به خودی خود فقط در قالب ضبط. یک شی مهم و بسیار مفید، کلاس تابعی از یک متغیر مختلط است.

داشتن یک مشتق به عنوان تابعی از یک متغیر. مشخص است که توابع چندین متغیر می توانند مشتقات جزئی و جهت دار داشته باشند، اما قاعدتاً مشتقات در جهات مختلف منطبق نیستند و نمی توان در یک نقطه از مشتق صحبت کرد. با این حال، برای توابع یک متغیر مختلط، می توان شرایطی را که تحت آن تمایز را قبول دارند، توصیف کرد. مطالعه ویژگی‌های توابع متمایزپذیر یک متغیر مختلط محتوای دستورالعمل‌ها است. دستورالعمل ها برای نشان دادن چگونگی استفاده از ویژگی های چنین توابعی برای حل مشکلات مختلف در نظر گرفته شده است. تسلط موفقیت آمیز بر مطالب ارائه شده بدون مهارت های محاسباتی ابتدایی با اعداد مختلط و آشنایی با ساده ترین اجسام هندسی تعریف شده بر حسب نابرابری های اتصال بخش های واقعی و خیالی یک عدد مختلط و همچنین مدول و استدلال آن غیرممکن است. خلاصه ای از تمام اطلاعات مورد نیاز برای این کار را می توان در دستورالعمل ها یافت.

دستگاه استاندارد آنالیز ریاضی: حد، مشتق، انتگرال، سری به طور گسترده در متن دستورالعمل استفاده می شود. در جایی که این مفاهیم ویژگی خاص خود را دارند، در مقایسه با توابع یک متغیر، توضیحات متناظر ارائه می‌شود، اما در بیشتر موارد تنها کافی است بخش‌های واقعی و خیالی را جدا کرده و دستگاه استاندارد تحلیل واقعی را روی آن‌ها اعمال کنیم.

1. توابع ابتدایی یک متغیر مختلط

طبیعی است که بحث در مورد شرایط تمایزپذیری توابع یک متغیر مختلط را با توضیح اینکه کدام توابع ابتدایی دارای این ویژگی هستند، آغاز کنیم. از رابطه آشکار

تمایز پذیری هر چند جمله ای به شرح زیر است. و از آنجایی که سری توان را می توان ترم به ترم در دایره همگرایی آن متمایز کرد،

سپس هر تابعی در نقاطی در همسایگی که می‌توان آن را در یک سری تیلور گسترش داد، قابل تمایز است. این شرط کافی است، اما همانطور که به زودی مشخص می شود، لازم است. پشتیبانی از مطالعه توابع یک متغیر با توجه به مشتق با کنترل رفتار نمودار تابع راحت است. چنین امکانی برای توابع یک متغیر مختلط وجود ندارد. نقاط نمودار در فضایی به ابعاد 4 قرار دارند.

با این وجود، با در نظر گرفتن تصاویر مجموعه های نسبتاً ساده صفحه پیچیده، می توان برخی از نمایش های گرافیکی تابع را به دست آورد.
تحت تأثیر یک تابع معین ایجاد می شود. برای مثال، چند تابع ساده را از این منظر در نظر بگیرید.

تابع خطی

این تابع ساده بسیار مهم است، زیرا هر تابع قابل تمایز به صورت محلی شبیه به یک تابع خطی است. بیایید عملکرد تابع را تا حد امکان با جزئیات در نظر بگیریم.

اینجا
- ماژول اعداد مختلط و استدلال اوست بنابراین، تابع خطی کشش، چرخش و برش را انجام می دهد. در نتیجه، یک نگاشت خطی هر مجموعه ای را به مجموعه ای مشابه می برد. به ویژه، تحت تأثیر یک نقشه برداری خطی، خطوط مستقیم به خطوط مستقیم و دایره ها به دایره تبدیل می شوند.

عملکرد

این تابع از نظر پیچیدگی بعد از خطی قرار دارد. دشوار است انتظار داشت که هر خط مستقیم را به یک خط مستقیم و یک دایره را به یک دایره تبدیل کند؛ مثال های ساده نشان می دهد که این اتفاق نمی افتد، اما می توان نشان داد که این تابع مجموعه تمام خطوط و دایره ها را تبدیل می کند. به خودش برای تأیید این موضوع، رفتن به توضیحات واقعی (مختصات) نقشه برداری راحت است

برای اثبات، ما به توصیفی از نگاشت معکوس نیاز داریم

معادله if را در نظر بگیرید
، سپس معادله کلی خط مستقیم را بدست می آورید. اگر
، سپس

بنابراین، برای
معادله یک دایره دلخواه به دست می آید.

توجه داشته باشید که اگر
و
، سپس دایره از مبدأ عبور می کند. اگر
و
، سپس یک خط مستقیم می گیرید که از مبدا می گذرد.

تحت عمل وارونگی، معادله در نظر گرفته شده به صورت بازنویسی می شود

, (
)

یا . می توان دید که این نیز معادله ای است که دایره یا خطوط مستقیم را توصیف می کند. این واقعیت که در معادله ضرایب و
swapped، به این معنی است که در زیر وارونگی، خطوطی که از 0 عبور می کنند به دایره می روند و دایره هایی که از 0 می گذرند به خطوط مستقیم می روند.

توابع قدرت

تفاوت اصلی بین این توابع و آنهایی که قبلاً در نظر گرفته شد این است که آنها یک به یک نیستند (
). می توان گفت که تابع
یک صفحه پیچیده را به دو نمونه از یک صفحه ترجمه می کند. بررسی دقیق این موضوع مستلزم استفاده از دستگاه دست و پا گیر سطوح ریمان است و فراتر از محدوده موضوعاتی است که در اینجا در نظر گرفته شده است. درک این نکته مهم است که صفحه مختلط را می توان به بخش هایی تقسیم کرد که هر یک از آنها یک به یک بر روی صفحه پیچیده نگاشت می شوند. این تقسیم برای تابع است
به نظر می رسد این است، برای مثال، نیمه صفحه بالایی یک به یک بر روی صفحه مختلط توسط تابع نگاشت شده است.
... توصیف اعوجاج هندسی برای چنین تصاویری دشوارتر از حالت وارونگی است. به عنوان یک تمرین، می توانید شبکه مختصات مستطیلی نیم صفحه بالایی را در هنگام نمایش ردیابی کنید.

مشاهده می شود که شبکه مختصات مستطیلی به خانواده ای از سهمی ها تبدیل می شود که سیستم مختصات منحنی را در صفحه تشکیل می دهند.
... تقسیم صفحه ای که در بالا توضیح داده شد به گونه ای است که تابع
هر یک را نمایش می دهد بخش ها در کل هواپیما شرح نقشه برداری رو به جلو و عقب به این صورت است

بنابراین تابع
این دارد توابع معکوس مختلف،

در بخش های مختلف هواپیما داده شده است

در چنین مواردی گفته می شود که نقشه برداری چند ظرفیتی است.

عملکرد ژوکوفسکی

این تابع نام خاص خود را دارد، زیرا اساس تئوری ژوکوفسکی در مورد بال هواپیما را تشکیل می دهد (توضیحات این طرح را می توان در کتاب یافت). این تابع دارای تعدادی ویژگی جالب است، اجازه دهید در مورد یکی از آنها صحبت کنیم - دریابیم که این تابع در کدام مجموعه به صورت یک به یک عمل می کند. برابری را در نظر بگیرید

، جایی که
.

در نتیجه، تابع ژوکوفسکی در هر منطقه ای که برای هر منطقه ای یک به یک است و محصول آنها برابر با یک نیست. اینها برای مثال دایره واحد باز هستند
و مکمل دایره واحد بسته
.

سپس عمل تابع ژوکوفسکی را روی یک دایره در نظر بگیرید

با جدا کردن قسمت های واقعی و خیالی، معادله پارامتری بیضی را به دست می آوریم

,
.

اگر
، سپس این بیضی ها کل صفحه را پر می کنند. به طور مشابه تأیید می شود که تصاویر بخش ها هذلولی هستند

.

تابع نمایی

این تابع یک بسط در یک سری توان را می پذیرد که در کل صفحه پیچیده کاملاً همگرا است، بنابراین، در همه جا قابل تمایز است. اجازه دهید مجموعه هایی را که تابع در آنها یک به یک است را شرح دهیم. برابری آشکار
نشان می‌دهد که صفحه را می‌توان به خانواده‌ای از نوارها تقسیم کرد، که هر کدام از آن‌ها تابع به یک به یک در کل صفحه پیچیده نگاشت می‌شود. این پارتیشن برای درک چگونگی ساختار تابع معکوس، به طور دقیق تر، توابع معکوس ضروری است. در هر یک از نوارها، نقشه برداری معکوس به طور طبیعی تعریف شده است

در این حالت تابع معکوس نیز چند ظرفیتی است و تعداد توابع معکوس بی نهایت است.

توصیف هندسی نقشه برداری بسیار ساده است: خطوط مستقیم
به تیرها بروید
، بخش ها

به دایره ها بروید
.