تبدیل موجک یک تبدیل شبیه به تبدیل فوریه (یا خیلی بیشتر شبیه تبدیل فوریه پنجره‌دار) با یک تابع ارزیابی کاملا متفاوت است. تفاوت اصلی در موارد زیر است: تبدیل فوریه سیگنال را به اجزایی به شکل سینوس و کسینوس تجزیه می کند. توابع بومی سازی شده در فضای فوریه. برعکس، تبدیل موجک از توابع بومی سازی شده هم در فضای واقعی و هم در فضای فوریه استفاده می کند. به طور کلی تبدیل موجک را می توان با معادله زیر بیان کرد:

که در آن * نماد ترکیب پیچیده و تابع است ψ - برخی از عملکردها تابع را می توان خودسرانه انتخاب کرد، اما باید برآورده شود قوانین خاص.

همانطور که می بینید، تبدیل موجک در واقع یک مجموعه بی نهایت است تحولات مختلفبسته به تابع ارزیابی که برای محاسبه آن استفاده می شود. این دلیل اصلی این اصطلاح است « تبدیل موجک» در شرایط بسیار متفاوت و برای کاربردهای مختلف استفاده می شود. همچنین انواع مختلفی از طبقه بندی گزینه های تبدیل موجک وجود دارد. در اینجا ما فقط تقسیم را بر اساس متعامد بودن موجک نشان می دهیم. می تواند به کار رود موجک های متعامد برای تبدیل موجک گسسته و موجک های غیر متعامد برای پیوسته این دو نوع تبدیل دارای ویژگی های زیر هستند:

1. تبدیل موجک گسسته یک بردار داده به همان طول ورودی را برمی گرداند. معمولاً حتی در این بردار، بسیاری از داده ها تقریباً صفر هستند. این مربوط به این واقعیت است که آن را به مجموعه ای از موجک (توابع) که متعامد به ترجمه موازی و مقیاس آنها تجزیه می شود. بنابراین، ما چنین سیگنالی را به ضرایب طیف موجک یکسان یا کمتر به عنوان تعداد نقاط داده سیگنال تجزیه می کنیم. به عنوان مثال، چنین طیف موجک برای پردازش سیگنال و فشرده سازی بسیار خوب است، زیرا ما در اینجا اطلاعات اضافی دریافت نمی کنیم.
2. در مقابل، تبدیل موجک پیوسته، آرایه ای را یک بعد بزرگتر از ورودی برمی گرداند. برای داده های یک بعدی، تصویری از صفحه زمان-فرکانس به دست می آوریم. شما به راحتی می توانید تغییر فرکانس سیگنال را در طول مدت آن ردیابی کنید و این طیف را با طیف سیگنال های دیگر مقایسه کنید. از آنجایی که یک مجموعه غیر متعامد از موجک ها در اینجا استفاده می شود، داده ها همبستگی بالایی دارند و دارای افزونگی زیادی هستند. این کمک می کند تا نتیجه را به شکلی نزدیک تر به درک انسان ببینید.

جزئیات بیشتر در مورد تبدیل موجک در هزاران منبع اینترنتی در مورد موجک ها در وب یا به عنوان مثال در اینجا موجود است.

کتابخانه پردازش داده Gwyddion هر دوی این تبدیل ها را پیاده سازی می کند و ماژول ها با استفاده از تبدیل موجک در منو موجود هستند. پردازش داده ها → تحولات یکپارچه.

تبدیل موجک گسسته

تبدیل موجک گسسته (DWT) اجرای تبدیل موجک با استفاده از مجموعه ای مجزا از مقیاس ها و ترجمه های موجک است که از برخی قوانین خاص پیروی می کنند. به عبارت دیگر، این تبدیل سیگنال را به مجموعه ای متعامد از موجک ها تجزیه می کند، که تفاوت اصلی با تبدیل موجک پیوسته (CWT) یا اجرای آن برای سری های زمانی گسسته است که گاهی اوقات تبدیل موجک گسسته پیوسته (DT) نامیده می شود. -CWT).

یک موجک را می توان از یک تابع مقیاس ساخت که ویژگی های مقیاس پذیری آن را توصیف می کند. محدودیت این است که تابع مقیاس باید متعامد به تبدیل‌های گسسته‌اش باشد، که دلالت بر برخی محدودیت‌های ریاضی بر روی آنها دارد، که در همه جا ذکر شده است. معادله همسانی

جایی که اس- ضریب مقیاس (معمولاً 2 انتخاب می شود). علاوه بر این، ناحیه زیر تابع باید نرمال شود و تابع مقیاس بندی باید متعامد به ترجمه های عددی آن باشد، یعنی.

پس از معرفی برخی شرایط اضافی(چون محدودیت های فوق منجر به تنها راه حل) می توانیم نتیجه همه این معادلات را بدست آوریم، یعنی. مجموعه محدودی از ضرایب یک ککه تابع مقیاس بندی و همچنین موجک را تعریف می کنند. موجک از تابع مقیاس به عنوان به دست می آید نجایی که ن- یک عدد صحیح زوج سپس مجموعه موجک تشکیل می شود مبنای متعارف، که برای تجزیه سیگنال استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که معمولاً فقط چند ضریب یک کغیر صفر خواهد بود که محاسبات را ساده می کند.

شکل زیر برخی از توابع و موجک های مقیاس بندی را نشان می دهد. معروف ترین خانواده موجک های متعارف خانواده Daubechies است. موجک های آن معمولاً با تعداد ضرایب غیر صفر نشان داده می شوند یک ک، بنابراین ما معمولا در مورد موجک های Daubechies 4، Daubechies 6 و غیره صحبت می کنیم. به طور کلی، با افزایش تعداد ضرایب موجک، توابع صاف تر می شوند. این به وضوح هنگام مقایسه موجک های Daubechies 4 و 20 که در زیر ارائه شده است، دیده می شود. یکی دیگر از موجک های ذکر شده - ساده ترین موجکهارا که استفاده می کند موج مربعبه عنوان یک تابع مقیاس بندی

تابع مقیاس بندی هار و موجک (چپ) و اجزای فرکانس آنها (راست).

تابع مقیاس‌بندی Daubechies 4 و موجک (چپ) و اجزای فرکانس آنها (راست).

تابع مقیاس‌بندی Daubechies 20 و موجک (چپ) و اجزای فرکانس آنها (راست).

انواع مختلفی از پیاده سازی الگوریتم تبدیل موجک گسسته وجود دارد. قدیمی ترین و معروف ترین الگوریتم مول (همی) است. در این الگوریتم دو فیلتر صاف کننده و غیر هموار از ضرایب موجک تشکیل شده اند و این فیلترها به صورت مکرر برای بدست آوردن داده ها برای تمام مقیاس های موجود اعمال می شوند. در صورت استفاده مجموعه کاملداده ها D = 2 Nو طول سیگنال است Lابتدا داده ها محاسبه می شوند D/2برای مقیاس L / 2 N - 1، سپس داده ها ( D /2)/2برای مقیاس L /2 N - 2، … تا زمانی که در نهایت به 2 مورد داده برای مقیاس برسید L/2. نتیجه این الگوریتم آرایه‌ای با طول ورودی خواهد بود که معمولاً داده‌ها از بیشترین مقدار مرتب‌سازی می‌شوند. در مقیاس بزرگبه کوچکترین

Gwyddion از یک الگوریتم هرمی برای محاسبه تبدیل موجک گسسته استفاده می کند. تبدیل موجک گسسته در فضای دو بعدی در ماژول DWT موجود است.

تبدیل موجک گسسته می تواند برای ساده و حذف سریعنویز ناشی از یک سیگنال پر سر و صدا اگر فقط بگیریم تعداد محدودیبالاترین ضرایب طیف تبدیل موجک گسسته است، و اگر تبدیل موجک معکوس را انجام دهیم (با همان مبنای)، می توانیم سیگنالی کم و بیش پاک شده از نویز دریافت کنیم. راه های مختلفی برای انتخاب شانس ذخیره شدن وجود دارد. Gwyddion آستانه جهانی، آستانه تطبیقی ​​مقیاس، و آستانه تطبیقی ​​مقیاس فضایی را پیاده سازی می کند. برای تعیین آستانه در این روش ها، ابتدا تخمین واریانس نویز ارائه شده توسط را تعیین می کنیم

جایی که Y ijمربوط به تمام ضرایب بالاترین مقیاس فرعی تجزیه است (جایی که انتظار می رود بیشتر نویز وجود داشته باشد). به طور متناوب، واریانس نویز را می توان به طور مستقل به دست آورد، به عنوان مثال، به عنوان واریانس سیگنال AFM زمانی که هیچ اسکنی در حال انجام نیست. برای زیر باند فرکانس بالاتر (آستانه جهانی) یا برای هر زیر باند (برای آستانه تطبیقی ​​مقیاس) یا برای محیط اطراف هر پیکسل در زیر باند (برای مقیاس و آستانه تطبیقی ​​فضا)، واریانس به صورت محاسبه می شود.

مقدار آستانه در شکل نهایی به صورت محاسبه می شود

وقتی آستانه یک مقیاس مشخص مشخص است، می‌توانیم تمام ضرایب کمتر از مقدار آستانه (آستانه سخت) را حذف کنیم یا می‌توانیم مقدار مطلق این ضرایب را با مقدار آستانه (آستانه نرم) کاهش دهیم.

حذف نویز DWT در منو موجود است پردازش داده ها → تحولات یکپارچه→ حذف نویز DWT.

تبدیل موجک پیوسته

تبدیل موجک پیوسته (CWT) پیاده سازی تبدیل موجک با استفاده از مقیاس های دلخواه و موجک های عملا دلخواه است. موجک های مورد استفاده متعامد نیستند و داده های به دست آمده از این تبدیل همبستگی بالایی دارند. برای توالی های زمانی گسسته، این تبدیل نیز می تواند مورد استفاده قرار گیرد، با این محدودیت که حداقل موجک حامل باید برابر با نمونه گیری داده باشد. گاهی اوقات به این تبدیل موجک پیوسته در زمان گسسته (DT-CWT) گفته می شود و متداول ترین روش مورد استفاده برای محاسبه CWT در کاربردهای دنیای واقعی است.

در اصل، تبدیل موجک پیوسته با استفاده از تعریف تبدیل موجک به طور مستقیم کار می کند، یعنی. ما پیچیدگی سیگنال را با موجک مقیاس شده محاسبه می کنیم. برای هر مقیاس، به این ترتیب مجموعه ای با طول یکسان به دست می آوریم ن، که سیگنال ورودی است. استفاده كردن ممقیاس های خودسرانه انتخاب شده، یک میدان دریافت می کنیم N×M، که مستقیماً صفحه زمان-فرکانس را نشان می دهد. الگوریتم مورد استفاده برای این محاسبه می تواند بر اساس کانولوشن مستقیم یا بر اساس کانولوشن با استفاده از ضرب فضای فوریه باشد (به این حالت تبدیل موجک سریع نیز گفته می شود).

انتخاب موجک برای استفاده در تجزیه زمان-فرکانس مهمترین چیز است. با این انتخاب می‌توان بر وضوح نتیجه در زمان و فرکانس تأثیر گذاشت. تغییر ویژگی‌های اصلی تبدیل موجک به این شکل غیرممکن است (فرکانس‌های پایین دارای وضوح خوبدر فرکانس و بد در زمان; فرکانس‌های بالا وضوح فرکانس ضعیف و وضوح زمانی خوبی دارند)، اما می‌توانید فرکانس کلی یا وضوح زمانی را کمی افزایش دهید. این به طور مستقیم با عرض موجک مورد استفاده در فضای واقعی و فوریه متناسب است. برای مثال، اگر از موجک مورلت استفاده کنیم (قسمت واقعی تابع کسینوس میرایی است)، می‌توان انتظار داشت کیفیت بالادر فرکانس‌ها، زیرا چنین موجکی از نظر فرکانس به خوبی محلی است. در مقابل، با استفاده از موجک گاوسی مشتق (DOG)، محلی سازی خوبی در زمان دریافت می کنیم، اما از نظر فرکانس ضعیف.

تبدیل موجک پیوسته در ماژول CWT که در منو موجود است پیاده سازی شده است پردازش داده ها → تحولات یکپارچه→ C.W.T.

منابع

الف Bultheel: گاو نر. بلژیک ریاضی. Soc.: (1995) 2

S. G. Chang، B. Yu، M. Vetterli: IEEE Trans. پردازش تصویر، (2000) 9 ص. 1532

S. G. Chang، B. Yu، M. Vetterli: IEEE Trans. پردازش تصویر، (2000) 9 ص. 1522

مشخص است که یک سیگنال دلخواه که برای آن شرط را می توان با یک سیستم متعامد از توابع نشان داد:

, (18)

ضرایب از رابطه تعیین می شود

,

جایی که مربع هنجار یا انرژی تابع پایه است. سری (18) را سری فوریه تعمیم یافته می نامند. در این حالت، محصولات شکل موجود در سری (18) نشان دهنده چگالی طیفی سیگنال و ضرایب نشان دهنده طیف سیگنال هستند. ذات تحلیل طیفیسیگنال برای تعیین ضرایب است. با دانستن این ضرایب، می توان سیگنال های (تقریبی) را برای تعداد ثابتی از ردیف ها ترکیب کرد:

.

سری فوریه تعمیم یافته برای یک سیستم معین توابع پایهو تعداد عبارت ها، بهترین ترکیب را با توجه به معیار حداقل میانگین مربعات خطا، که به عنوان مقدار درک می شود، ارائه می دهد.

.

تبدیل های شناخته شده (هادامارد، کارهونن-لوف، فوریه) "ضعیف" نشان دهنده سیگنال غیر ثابت در ضرایب انبساط است. بیایید این را در مثال زیر نشان دهیم. اجازه دهید یک تابع غیر ثابت داده شود

و تبدیل فوریه آن (شکل 9).

تجزیه و تحلیل انجیر. شکل 9 نشان می دهد که غیر ایستایی سیگنال زمان با تعداد زیادی ضرایب فرکانس بالا غیر صفر نشان داده می شود. این باعث مشکلات زیر می شود:

تجزیه و تحلیل یک سیگنال زمانی از تصویر فوریه آن دشوار است.

با در نظر گرفتن تعداد زیادی از ضرایب فرکانس بالا، یک تقریب قابل قبول از سیگنال زمان ممکن است.

کیفیت بصری ضعیف تصاویر واقعی بازسازی شده توسط ضرایب فرکانس پایین. و غیره.

مشکلات موجود توسعه یک دستگاه ریاضی برای تبدیل سیگنال های غیر ثابت را ضروری می کند. یکی از راه های ممکنتجزیه و تحلیل چنین سیگنال هایی تبدیل به موجک (WT) شده است.

برنج. 9. تبدیل فوریه یک سیگنال سینوسی با گام های کوچک در تقاطع صفر

VP یک سیگنال یک بعدی، نمایش آن به شکل یک سری فوریه تعمیم یافته یا انتگرال فوریه بر روی سیستمی از توابع پایه است که هم در حوزه فضایی و هم در حوزه فرکانس محلی شده اند. نمونه ای از این تابع پایه موجک هار است که با عبارت تعریف می شود

(20)

از نظر گرافیکی، موجک هار به صورت زیر نمایش داده می شود:

برنج. 10. تابع پایه موجک هار

اجازه دهید فرآیند تجزیه سیگنال را در سیستم توابع پایه هار در نظر بگیریم. اولین تابع پایه، بر خلاف تمام تابع های بعدی، یک خط مستقیم است. در مورد یک پایه نرمال شده، پیچیدگی اولین تابع پایه با سیگنال اصلی مقدار متوسط ​​آن را تعیین می کند. اجازه دهید یک سیگنال گسسته با طول نمونه داده شود. تابع پایه نرمال شده روی بازه با عبارت توضیح داده می شود. سپس پیچیدگی این تابع با سیگنال منجر به بیان می شود

اگر سنتز سیگنال را با ضریب با استفاده از تابع سنتز انجام دهیم، یک جزء ثابت مطابق با مقدار متوسط ​​سیگنال به دست خواهیم آورد. برای اینکه بتوانیم سیگنال را با جزئیات بیشتر توصیف کنیم، ضریب دوم را با استفاده از تابع پایه نشان داده شده توسط عبارت (20) محاسبه می کنیم:

تحلیل و بررسی بیان داده شدهنشان می دهد که ضریب تفاوت در مقادیر متوسط ​​​​نیمه های سیگنال را مشخص می کند. اگر اکنون یک سنتز را روی دو ضریب با تابع پایه سنتز برای ضریب دوم انجام دهیم.

تقریب زیر را بدست می آوریم:

عملیات بعدی تجزیه و تحلیل، یعنی محاسبه ضرایب و سنتز، مشابه مورد در نظر گرفته شده است، با این تفاوت که تمام اقدامات برای نیمی از سیگنال، سپس برای یک چهارم، و غیره تکرار می شوند. در آخرین تکرار، تجزیه و تحلیل برای جفت متغیرهای تصادفی انجام می شود (شکل 11).

برنج. 11. تبدیل جفت متغیرهای تصادفی

در نتیجه، سیگنال اصلی دقیقاً با ضرایب تبدیل موجک هار توصیف می شود. ضرایب موجک سیگنال (19) در شکل نشان داده شده است. ده

از شکل می توان دریافت که غیر ایستایی سیگنال (افتاده های تند) در تعداد کمی از ضرایب موجک محلی است. این منجر به امکان بازسازی بهتر سیگنال غیر ثابت از داده های ناقص می شود.

برنج. 12. ضرایب موجک یک دوره از تابع (19)

هنگام محاسبه ضرایب موجک، توابع پایه سیگنال تحلیل شده را به صورت زیر پوشش می دهند (شکل 12). از انجیر 12 نشان می دهد که سیستم توابع پایه هار در یک فضای گسسته باید با دو پارامتر مشخص شود: تغییر و فرکانس (مقیاس):

,

مقیاس تابع پایه کجاست. - تغییر مکان. در حالت گسسته، پارامتر مقیاس، که در آن هر عدد صحیح مثبت، پارامتر شیفت است. بنابراین، کل مجموعه توابع پایه را می توان به صورت نوشتاری نوشت

.

VP گسسته رو به جلو و معکوس با فرمول محاسبه می شود

,

.

لازم به ذکر است که اگر تعداد نمونه ها باشد، حداکثر مقدار آن است. بزرگترین مقدار برای جریان است.

برای سیگنال های پیوسته، عبارات انتگرالی زیر معتبر خواهند بود:

,

.

بدین ترتیب با تعیین توابع موجک می توان انبساط سیگنال را بر حسب مبنای موجک سیگنال های پیوسته یا گسسته انجام داد.

برنج. 13. توزیع توابع پایه هار در تجزیه و تحلیل سیگنال

یک تابع اگر شرایط زیر را برآورده کند می تواند یک مبنای موجک تشکیل دهد:

1. محدودیت هنجار:

.

2. تابع موجک باید هم از نظر زمان و هم از نظر فرکانس محدود باشد:

و ، در .

مثال متقابل: تابع دلتا و تابع هارمونیک این شرط را برآورده نمی کنند.

3. میانگین صفر:

اگر این شرط را تعمیم دهیم می توانیم فرمول را بدست آوریم , که درجه صاف بودن تابع را مشخص می کند. اعتقاد بر این است که هر چه درجه صافی تابع پایه بیشتر باشد، خواص تقریبی آن بهتر است.

به عنوان مثال، توابع موجک معروف زیر را ارائه می کنیم:

, .

برای VP، و همچنین برای DFT، یک الگوریتم تبدیل سریع وجود دارد. دوباره معاون هار را در نظر بگیرید. از انجیر شکل 13 نشان می دهد که توابع با ضریب مقیاس کوچک از نمونه سیگنال های مشابهی برای محاسبه ضرایب استفاده می کنند که توابع دارای ضریب مقیاس بزرگ هستند. در این حالت عملیات جمع کردن همان نمونه ها به طور مکرر تکرار می شود. بنابراین، برای کاهش حجم محاسبات، توصیه می شود IP را از کوچکترین ضریب مقیاس محاسبه کنید. در نتیجه، ضرایب موجک را به دست می آوریم که مقادیر میانگین هستند و تفاوت ها . برای ضرایب تکرار این رویه. در این مورد، میانگین گیری ضرایب با میانگین 4 نمونه سیگنال مطابقت دارد، اما یک عملیات ضرب و یک عملیات جمع صرف شده است. فرآیند تجزیه تا زمانی که تمام ضرایب طیف محاسبه شود تکرار می شود.

اجازه دهید الگوریتم تبدیل سریع موجک هار را به شکل ماتریس بنویسیم. اجازه دهید بردار عناصر سایز 8 ماتریس تبدیل هار را می توان به صورت نوشتاری نوشت

تبدیل موجک پیوسته

خواص تبدیل موجک

الزامات موجک

برای پیاده سازی تبدیل موجک، توابع موجک باید معیارهای زیر را برآورده کنند:

1. موجک باید انرژی محدودی داشته باشد:

2. اگر تبدیل فوریه برای است، یعنی،

سپس شرط زیر باید برآورده شود:

این شرط شرط پذیرش نامیده می شود و از آن نتیجه می شود که موجک با مولفه فرکانس صفر باید شرط را برآورده کند یا در حالتی دیگر موجک باید میانگینی برابر با صفر داشته باشد.

3. معیار اضافیبرای موجک های پیچیده ارائه شده است، یعنی برای آنها تبدیل فوریه باید به طور همزمان واقعی باشد و باید برای فرکانس های منفی کاهش یابد.

4. محلی سازی: موجک باید پیوسته، یکپارچه، دارای پشتیبانی فشرده باشد و هم از نظر زمان (در مکان) و هم از نظر فرکانس محلی باشد. اگر موجک در فضا باریک شود، متوسط ​​فرکانس آن افزایش می یابد، طیف موجک به ناحیه فرکانس های بالاتر حرکت می کند و گسترش می یابد. این فرآیند باید خطی باشد - باریک کردن موجک به نصف باید متوسط ​​فرکانس و عرض طیفی آن را نیز ضریب دو افزایش دهد.

1. خطی بودن

2. عدم تغییر برشی

جابجایی سیگنال در زمان توسط t0 منجر به جابجایی طیف موجک نیز به میزان t0 می شود.

3. تغییر ناپذیری تحت مقیاس بندی

کشش (فشرده سازی) سیگنال منجر به فشرده سازی (کشش) طیف موجک سیگنال می شود.

4. تمایز

از این نتیجه می شود که تفاوتی بین تابع یا موجک تحلیلگر وجود ندارد. اگر موجک آنالیز با فرمول داده شود، می تواند برای تجزیه و تحلیل سیگنال بسیار مفید باشد. این ویژگی به ویژه در صورتی مفید است که سیگنال به صورت یک سری گسسته داده شود.

تبدیل موجک برای یک سیگنال پیوسته با توجه به تابع موجک به صورت زیر تعریف می شود:

جایی که به معنای مزدوج پیچیده برای، پارامتر مربوط به تغییر زمانی است و پارامتر موقعیت نامیده می شود، پارامتر مقیاس بندی را مشخص می کند و پارامتر کشش نامیده می شود.

تابع وزن

ما می توانیم یک تابع نرمال شده را به صورت زیر تعریف کنیم

که به معنای تغییر زمان با b و مقیاس بندی زمان با a است. سپس فرمول تبدیل موجک به تغییر خواهد کرد

سیگنال اصلی را می توان با استفاده از فرمول تبدیل معکوس بازیابی کرد

در حالت گسسته، پارامترهای مقیاس بندی a و shift b با مقادیر گسسته نشان داده می شوند:

سپس موجک آنالیز به شکل زیر است:

که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

در این حالت، برای یک سیگنال پیوسته، تبدیل موجک گسسته و آن تبدیل معکوسبا فرمول های زیر نوشته می شود:

کمیت ها به عنوان ضرایب موجک نیز شناخته می شوند.

یک ثابت عادی سازی وجود دارد.

در عمل، DTWS باید برای سیگنال های با طول محدود اعمال شود. بنابراین، برای به دست آوردن دنباله ای از ضرایب با طول یکسان از سیگنالی با طولی، باید اصلاح شود. تبدیل حاصل، تبدیل موجک گسسته (DWT) نامیده می شود.

ابتدا DWT را به صورت ماتریسی توصیف می کنیم و سپس بر اساس بانک های فیلتر که بیشتر در پردازش سیگنال استفاده می شود.

در هر دو مورد، ما فرض می کنیم که اساس توابع و
به طور فشرده تعریف شده است. این به طور خودکار تضمین می کند که دنباله ها محدود هستند. و . علاوه بر این، فرض کنید سیگنالی که باید تبدیل شود دارای طول باشد
.

1. توضیحات ماتریس dwt

با بردار مشخص کنید دنباله طول محدود برای برخی . این بردار به بردار تبدیل می شود
، حاوی دنباله ها است
و
، هر نیم طول. تبدیل را می توان به صورت ضرب ماتریس نوشت
، جایی که ماتریس
- مربع و از صفر و عناصر تشکیل شده است ضربدر
. به دلیل خواص به دست آمده در بخش 2.3، ماتریس
متعامد است و ماتریس معکوس آن برابر با جابجایی است. به عنوان مثال، مثال زیر را در نظر بگیرید. بیایید یک فیلتر از طول را در نظر بگیریم
، دنباله ای از طول
، اما به عنوان مقدار اولیه -
. دنباله دریافت از با فرمول (2.35)، که در آن
. سپس عملیات ضرب ماتریس-بردار به صورت نمایش داده می شود

. (2.52)

تبدیل معکوس ضرب است
به ماتریس معکوس
:

. (2.53)

بنابراین، بیان (2.51) یک مرحله DWT است. DWT کامل برای ضرب مکرر نیمه بالایی بردار است
به یک ماتریس مربع
، اندازه آن
. این روش قابل تکرار است دبار تا زمانی که طول بردار 1 شود.

در ردیف های چهارم و هشتم ماتریس (2.51) دنباله دایره ای جابجا شده: ضرایبی که خارج از ماتریس سمت راست هستند در همان ردیف سمت چپ قرار می گیرند. این بدان معنی است که DWT دقیقاً یک دوره طول دارد نسیگنال DTWS با تداوم دوره ای بی نهایت به دست می آید . بنابراین DWT وقتی به این شکل تعریف می‌شود، مانند مورد DFT از تناوب سیگنال استفاده می‌کند.

شرح ماتریس DWT کوتاه و واضح است. با این حال، در پردازش سیگنال، DWT اغلب با استفاده از یک بلوک دیاگرام شبیه به سیستم تجزیه و تحلیل-سنتز توصیف می شود (شکل 1.1 را ببینید).

1. شرح dwt با استفاده از بلوک های فیلتر

با در نظر گرفتن تبدیل‌های زیر باند در فصل 1، ما برابری‌های مشابه (2.45) و (2.46) را به‌عنوان فیلتر و به دنبال آن کاهش با ضریب دو تفسیر کردیم. از آنجایی که در این مورد دو فیلتر وجود دارد و ، سپس بانک فیلتر دو بانده است و می توان آن را همانطور که در شکل 2.5 نشان داده شده است نشان داد.

فیلترها افو Eبه معنای فیلتر کردن توسط فیلتر است و
، به ترتیب. در شاخه پایین مدار فیلترینگ پایین گذر انجام می شود. نتیجه مقداری تقریب سیگنال است، یک زیر باند فرکانس پایین (LF) فاقد جزئیات است. یک زیر باند فرکانس بالا (HF) در بالای مدار اختصاص داده شده است. توجه داشته باشید که هنگام پردازش سیگنال ها، ثابت است
همیشه از بانک فیلتر خارج می شود و سیگنال در 2 ضرب می شود (شکل 3.2، فصل 3 را ببینید).

بنابراین، مدار در شکل 2.5 سیگنال سطح را تقسیم می کند
برای سیگنال های دو سطح
. علاوه بر این، تبدیل موجک با اعمال بازگشتی این طرح به قسمت LF به دست می‌آید. هنگام انجام تبدیل موجک یک تصویر، هر تکرار الگوریتم ابتدا به ردیف ها و سپس به ستون های تصویر انجام می شود (به اصطلاح هرم مالات ساخته می شود). در کدک‌های ویدیویی ADV6xx، از هرم Mallat اصلاح‌شده استفاده می‌شود، زمانی که در هر تکرار لزوماً تغییر در ردیف‌ها و ستون‌ها انجام نمی‌شود. برای بیشتر ساخته شده است حسابداری کاملادراک بصری انسان

تبدیل حاصل مشابه (2.51) است. با این حال، چند تفاوت وجود دارد. هنگام فیلتر کردن سیگنالی با طول محدود، با مشکل ادامه آن در مرز مواجه می شویم. اجرای ماتریس DWT معادل ادامه دوره ای سیگنال در مرز است. این نوع ادامه برای فیلترهای متعامد اجباری است. در مورد فیلترهای دو طرفه، برخی احتمالات دیگر به دلیل تقارن ویژگی های آنها ظاهر می شود. این موضوع در فصل 3 با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

مداری که DWT را انجام می دهد نیز می تواند همانطور که در شکل 2.6 نشان داده شده است نشان داده شود. در اینجا، فیلتر بازگشتی و حذف با یک عملیات فیلتر کردن و یک عملیات حذف در هر زیر باند جایگزین می‌شوند. تعریف فیلترهای تکرار شونده و ساده ترین برای دادن دامنه فرکانس.

تبدیل موجک گسسته

6.3.3.1. اطلاعات کلیدر مورد تبدیل موجک

تبدیل موجک سیگنال ها تعمیم تحلیل طیفی است که یک نماینده معمولی آن تبدیل فوریه کلاسیک است.

تبدیل موجک (WT) به گسسته (DWT) و پیوسته (CWT) تقسیم می شود. DWT برای تبدیل سیگنال و کدگذاری، CWT برای تجزیه و تحلیل سیگنال استفاده می شود.

در تحلیل موجک، نقش توابع پایه توسط توابعی از نوع خاصی به نام موجک ایفا می شود. اصطلاح "موجک" (موجک) در ترجمه انگلیسی به معنای "موج کوچک (کوتاه)" است. موجک ها نامی تعمیم یافته برای خانواده هایی از توابع dthematic با فرم معینی هستند که از نظر زمان و فرکانس محلی هستند و در آنها همه توابع از یک تابع پایه (تولید کننده) با استفاده از جابجایی ها و بسط های آن در امتداد محور زمان به دست می آیند.

تبدیل موجک، توابع زمانی تحلیل شده را بر حسب نوسانات محلی در زمان و فرکانس در نظر می گیرد.

ویژگی متمایزتجزیه و تحلیل موجک این است که می تواند از خانواده هایی از توابع پیاده سازی شده استفاده کند گزینه های مختلفروابط عدم قطعیت بر این اساس، محقق امکان انتخاب انعطاف‌پذیری بین آنها و استفاده از آن دسته از توابع موجک را دارد که کارها را به بهترین نحو حل می‌کنند.

زمینه اصلی کاربرد تبدیل های موجک، تجزیه و تحلیل و پردازش سیگنال ها و توابعی است که در زمان غیر ثابت هستند، زمانی که نتایج تجزیه و تحلیل باید نه تنها شامل پاسخ فرکانسسیگنال (توزیع انرژی سیگنال بر روی اجزای فرکانس)، اما همچنین اطلاعات مربوط به مختصات محلی که گروه‌های خاصی از اجزای فرکانس خود را بر روی آنها نشان می‌دهند یا تغییر سریعاجزای فرکانس سیگنال

در شکل 3.1، سیگنال تحلیل شده از دو دیزیان مدوله شده تشکیل شده است. تبدیل موجک مورلت به وضوح موقعیت مکانی و فرکانس آنها را نشان می دهد، در حالی که طیف فوریه فقط محلی سازی فرکانس را ارائه می دهد.

یکی از ایده های اصلی و به ویژه پربار نمایش موجک سیگنال ها، تقسیم توابع تقریب سیگنال به دو گروه است: تقریبی - خشن، با دینامیک زمانی نسبتاً کند تغییرات، و جزئیات - با دینامیک محلی و سریع تغییرات در پس زمینه. دینامیک صاف، با تقسیم و جزئیات بعدی آنها در سطوح دیگر تجزیه سیگنال. این هم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس نمایش سیگنال توسط موجک امکان پذیر است.

تصویر

شکل 3.1 - تبدیل موجک سیگنال

6.3.3.2. توابع اساسی تبدیل موجک.

موجک‌ها به شکل بسته‌های موج کوتاه با طول متوسط ​​صفر هستند که در امتداد محور آرگومان موضعی شده‌اند، نسبت به شیفت ثابت و نسبت به عملیات مقیاس‌بندی خطی هستند. از نظر محلی سازی در زمان و نمایش فرکانس، موجک ها یک موقعیت میانی بین توابع هارمونیک بومی سازی شده در فرکانس و تابع دیراک محلی شده در زمان را اشغال می کنند.

تابع پایه موجک نوعی نوسان "کوتاه" است. علاوه بر این، مفهوم فرکانس تحلیل طیفی با یک مقیاس جایگزین می شود و برای همپوشانی " امواج کوتاه» کل محور زمان یک تغییر توابع در زمان را معرفی کرد. اساس موجک ها توابع موقت از نوع زیر هستند:

, (3.1)

جایی که b تغییر است.

a مقیاس است.

تابع باید مساحت صفر داشته باشد. تبدیل فوریه چنین توابعی در فرکانس صفر صفر است و به شکل فیلتر باند گذر است. معانی مختلفپارامتر مقیاس بندی "a" مربوط به بانک فیلتر باند گذر است. خانواده‌های موجک در حوزه زمان یا فرکانس برای نشان دادن سیگنال‌ها و عملکردها به عنوان برهم‌نهی موجک در سطوح مختلف تجزیه سیگنال استفاده می‌شوند.

تابع بعدی

به پارامترها و . وکتور، توسط تابع داده شده است، دارای طول ثابت در فضا است:

.

در عمل، تابع پایه اغلب به عنوان تابع استفاده می شود

به نام کلاه مکزیکی

6.3.3.3. تبدیل موجک پیوسته

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد و یک تابع تابع پایه باشد. تبدیل موجک پیوسته با عبارتی از شکل زیر توصیف می شود:

. (3.2)

اگر تابع پایه با عبارت زیر توصیف شود:

,

سپس نتیجه تبدیل فوریه معمولی است (در این مورد، پارامتر استفاده نمی شود).

برای پوشش کل محور زمانی فضا توسط تابع موجک، از عملیات شیفت (تغییر در امتداد محور زمان) استفاده می شود: ، که در آن مقدار b برای CWP یک مقدار پیوسته است. برای پوشاندن همه چیز محدوده فرکانساز عملیات مقیاس بندی زمانی موجک با تغییر مداوم متغیر مستقل استفاده می شود: . بنابراین، با جابجایی در امتداد متغیر مستقل (t-b)، موجک این توانایی را دارد که در امتداد کل محور عددی یک سیگنال دلخواه حرکت کند و با تغییر متغیر مقیاس "a" (در یک نقطه ثابت (t-b) از محور) ، می تواند طیف فرکانس سیگنال را در بازه معینی از همسایگی این نقاط "مشاهده" کند.

بنابراین، تبدیل موجک پیوسته تجزیه یک سیگنال در همه جابجایی‌ها و فشرده‌سازی‌ها/بسط‌های ممکن برخی از تابع‌های محدود محلی - یک موجک است. در این حالت متغیر "a" مقیاس موجک را تعیین می کند و معادل فرکانس در تبدیل فوریه است و متغیر "b" جابجایی موجک با توجه به سیگنال از نقطه شروع در منطقه است. تعریف آن، که مقیاس آن مقیاس زمانی سیگنال تحلیل شده را تکرار می کند.

مفهوم مقیاس VP مشابهی با مقیاس نقشه های جغرافیایی دارد. مقادیر بزرگ مقیاس با نمایش جهانی سیگنال مطابقت دارد و مقادیر پایینمقیاس به شما امکان می دهد جزئیات را تشخیص دهید. از نظر فرکانس، فرکانس‌های پایین با اطلاعات سیگنال جهانی و فرکانس‌های بالا مطابقت دارند اطلاعات دقیقو ویژگی هایی که وسعت کمی دارند، یعنی. مقیاس موجک، به عنوان واحدی از مقیاس نمایش زمان-فرکانس سیگنال‌ها، معکوس فرکانس است. زوم مانند عملیات ریاضی، سیگنال را گسترش یا فشرده می کند. مقادیر مقیاس بزرگ مربوط به پسوند سیگنال است و مقادیر کوچک مربوط به نسخه های فشرده شده است. در تعریف موجک، ضریب مقیاس آدر مخرج است. به ترتیب، آ> 1 سیگنال را گسترش می دهد، آ < 1 сжимает его.

6.3.3.4. تبدیل موجک گسسته

در اصل، هنگام پردازش داده ها در رایانه شخصی، یک نسخه گسسته از تبدیل موجک پیوسته را می توان با تخصیص مقادیر گسسته پارامترهای (a، b) موجک ها با یک مرحله دلخواه a و b انجام داد. نتیجه تعداد ضرایب اضافی است که بسیار بیشتر از تعداد نمونه های سیگنال اصلی است که برای بازسازی سیگنال لازم نیست.

تبدیل موجک گسسته (DWT) اطلاعات کافی را برای آنالیز سیگنال و سنتز سیگنال فراهم می کند و در عین حال از نظر تعداد عملیات و حافظه مورد نیاز مقرون به صرفه است. DWP با مقادیر گسسته پارامترها عمل می کند آو ب، که معمولاً به شکل توابع قدرت ارائه می شوند:

,

,

جایی که ;

تمام اعداد؛

پارامتر مقیاس؛

پارامتر Shift.

مبنای فضا در نمایش گسسته:

ضرایب موجک تبدیل مستقیم:

. (3.5)

مقدار "a" می تواند دلخواه باشد، اما معمولاً روی 2 تنظیم می شود و تبدیل نامیده می شود تبدیل موجک دوتایی. برای تحول دوتایی توسعه یافته است الگوریتم سریعمحاسبات، شبیه به تبدیل فوریه سریع، که استفاده گسترده از آن را در تجزیه و تحلیل آرایه های داده دیجیتال از پیش تعیین کرد.

معکوس تبدیل گسستهبرای سیگنال های پیوسته با فضای موجک متعامد نرمال شده:

. (3.6)

تعداد موجک های استفاده شده توسط ضریب مقیاس m سطح را مشخص می کند تجزیهسیگنال، در حالی که سطح صفر (m = 0) معمولاً به عنوان سطح حداکثر وضوح زمانی سیگنال در نظر گرفته می شود، یعنی. خود سیگنال و سطوح بعدی (m< 0) образуют ниспадающее درخت موجک. AT نرم افزارمحاسبات برای جلوگیری از استفاده از شماره گذاری منفی توسط m، علامت منفی معمولاً مستقیماً به آن منتقل می شود نمای بعدیتوابع پایه:

6.3.3.5. محلی سازی فرکانس-زمان تحلیل موجک.

سیگنال های واقعیمعمولا متناهی هستند طیف فرکانس سیگنال ها با مدت زمان آنها نسبت معکوس دارد. بر این اساس، تجزیه و تحلیل فرکانس پایین سیگنال به اندازه کافی دقیق باید در فواصل زمانی زیادی از تنظیم آن، و فرکانس بالا - در موارد کوچک انجام شود. اگر ترکیب فرکانس سیگنال در بازه تنظیم آن دستخوش تغییرات قابل توجهی شود، تبدیل فوریه فقط داده های متوسط ​​​​ترکیب فرکانس سیگنال با وضوح فرکانس ثابت را ارائه می دهد. محلی‌سازی فرکانس-زمان مشخصی از تجزیه و تحلیل با جداسازی تبدیل فوریه پنجره‌دار ایجاد می‌شود، که به خانواده‌هایی از طیف‌های فرکانس بومی‌سازی شده در زمان، اما در عرض پنجره ثابت تابع پنجره، و بنابراین با مقدار ثابتی از هم فرکانس و هم وضوح زمان.

برخلاف تبدیل فوریه پنجره‌دار، تبدیل موجک، با مقادیر گسسته مشابه شیفت‌های b، خانواده‌ای از طیف‌های فاکتور مقیاس به دست می‌دهد. آکشش فشاری:

. (3.8)

اگر فرض کنیم که هر موجک دارای "عرض" معینی از پنجره زمانی خود است، که مربوط به فرکانس "متوسط" معینی از تصویر طیفی موجک است، معکوس ضریب مقیاس آن. آ، پس می توان خانواده های فاکتورهای مقیاس تبدیل موجک را مشابه خانواده های طیف فرکانس تبدیل فوریه پنجره ای در نظر گرفت، اما با یک تفاوت اساسی. فاکتورهای مقیاس، "عرض" موجک ها و بر این اساس، فرکانس "متوسط" تصاویر فوریه آنها را تغییر می دهند و در نتیجه، هر فرکانس مدت زمان پنجره زمانی تحلیل خود را دارد و بالعکس. بنابراین مقادیر پارامتر کوچک است آ، مشخص کننده مولفه های سریع در سیگنال ها، مربوط به فرکانس های بالا و ارزش های بزرگ – فرکانس های پایین. با تغییر مقیاس، موجک ها قادر به تشخیص تفاوت ها هستند فرکانس های مختلف، و به دلیل تغییر (پارامتر ب) برای تجزیه و تحلیل خواص سیگنال در نقاط مختلفدر کل بازه زمانی مورد مطالعه پنجره زمانی چند بعدی تبدیل موجک برای تشخیص بهینه فرکانس پایین و ویژگی های فرکانس بالاسیگنال ها

بنابراین، در فرکانس های بالاوضوح بهتر در زمان، و در فرکانس پایین. برای مولفه فرکانس بالا سیگنال می توانیم موقعیت زمانی آن را با دقت بیشتری و برای جزء فرکانس پایین مقدار فرکانس آن را مشخص کنیم.

اطلاعات فرکانس بالا (در مقیاس کوچک) بر اساس فواصل سیگنال طولانی و اطلاعات فرکانس پایین بر اساس فواصل بزرگ محاسبه می شود. از آنجایی که سیگنال های تحلیل شده همیشه متناهی هستند، هنگام محاسبه ضرایب روی مرزهای مشخصات سیگنال، ناحیه قابلیت اطمینان از حد سیگنال فراتر می رود و برای کاهش خطای محاسباتی، سیگنال با تنظیم شرایط اولیه و نهایی تکمیل می شود.

6.3.3.6. مزایا و معایب آنالیز موجک

مزایای آنالیز موجک عبارتند از:

تبدیل موجک تمام مزایای تبدیل فوریه را دارد.

پایه‌های موجک را می‌توان هم از نظر فرکانس و هم در زمان به خوبی محلی‌سازی کرد.

هنگام جداسازی فرآیندهای چند مقیاسی به خوبی محلی سازی شده در سیگنال ها، تنها آن دسته از سطوح تجزیه مقیاس که مورد علاقه هستند را می توان در نظر گرفت.

پایه های موجک، بر خلاف تبدیل فوریه، بسیار متفاوت هستند توابع اساسی، که خواص آن معطوف به حل مسائل مختلف است.

نقطه ضعف تبدیل موجک پیچیدگی نسبی آنهاست.

6.3.3.7. خواص آنالیز موجک

به دست آوردن اطلاعات عینی در مورد سیگنال بر اساس ویژگی های تبدیل موجک است که در انواع موجک ها مشترک است. بیایید اصلی ترین این خواص را در نظر بگیریم. برای نشان دادن عملیات تبدیل موجک توابع دلخواه x(t)، از شاخص TW استفاده می کنیم.

خطی بودن.

TW[α x 1 (t) + β x 2 (t)] = α TW+β TW.

عدم تغییر برشی. جابجایی سیگنال در زمان توسط t 0 منجر به جابجایی طیف موجک نیز با t 0 می شود:

TW = X(a, b-t o).

مقیاس ناپذیری. کشش (فشرده سازی) سیگنال منجر به فشرده سازی (کشش) طیف موجک سیگنال می شود:

TW = (1/a o) X(a/a o,b/a o).

تفکیک.

D n (TW)/dt n = TW.

TW = (-1) n x(t) dt.

فرقی نمی کند که تابع یا موجک تحلیلگر را متمایز کنیم. اگر موجک حذف با یک فرمول داده شود، این می تواند برای حذف سیگنال ها بسیار مفید باشد. می‌توان ویژگی‌های مرتبه بالا یا تغییرات مقیاس کوچک سیگنال x(t) را تجزیه و تحلیل کرد، در حالی که مؤلفه‌های چندجمله‌ای در مقیاس بزرگ (روند و پس‌زمینه منطقه‌ای) را نادیده گرفت، با تفکیک تعداد دفعات لازم یا موجک یا خود سیگنال. این ویژگی به ویژه زمانی مفید است که سیگنال به صورت یک سری گسسته داده شود.

قیاسی از قضیه پارسوالبرای موجک های متعامد و دو ضلعی.

X 1 (t) x 2 *(t) \u003d X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

نتیجه این است که انرژی سیگنال را می توان بر حسب ضرایب تبدیل موجک محاسبه کرد.

مبانی پردازش دیجیتالسیگنال ها: آموزش/ یو.آ. بریوخانوف، A.A. پریوروف، وی. دژیگان، وی. خریاشچف؛ یاروسلاول دولت. un-t im. P.G. دمیدوف. - Yaroslavl: YarGU, 2013. - 344 p. (ص 270)