خواص ضرب ماتریس تبدیلات اولیه ماتریس هستند. تبدیل های ابتدایی ردیف های ماتریس

تبدیلات ماتریس ابتداییکاربرد گسترده ای در مسائل مختلف ریاضی پیدا می کند. به عنوان مثال، آنها اساس روش شناخته شده گاوس (روش حذف مجهولات) را برای حل یک سیستم معادلات خطی تشکیل می دهند.

تحولات ابتدایی عبارتند از:

1) جایگشت دو ردیف (ستون)؛

2) ضرب تمام عناصر یک ردیف (ستون) ماتریس در عددی که برابر با صفر نیست.

3) جمع دو ردیف (ستون) ماتریس، ضرب در همان عدد غیر صفر.

دو ماتریس نامیده می شوند معادلاگر بتوان یکی از آنها را پس از تعداد محدودی تبدیل ابتدایی از دیگری به دست آورد. در حالت کلی، ماتریس های معادل برابر نیستند، اما دارای رتبه یکسانی هستند.

محاسبه دترمینال ها با استفاده از تبدیل های ابتدایی

با استفاده از تبدیل های ابتدایی، محاسبه دترمینان یک ماتریس آسان است. به عنوان مثال، شما باید تعیین کننده یک ماتریس را محاسبه کنید:

سپس می توانید فاکتور را حذف کنید:

اکنون، از عناصر کم می کنیم jستون هفتم، عناصر مربوط به ستون اول، ضرب در، ما تعیین می کنیم:

که عبارت است از: کجا

سپس همان مراحل را برای و اگر همه عناصر را تکرار می کنیم، در نهایت به دست می آوریم:

اگر برای برخی از تعیین‌کننده‌های میانی مشخص شد که عنصر بالا سمت چپ آن است، باید ردیف‌ها یا ستون‌ها را به گونه‌ای مرتب کنیم که عنصر جدید بالا سمت چپ برابر با صفر نباشد. اگر Δ ≠ 0 باشد، این کار همیشه قابل انجام است. باید در نظر داشت که علامت تعیین کننده بسته به اینکه کدام عنصر اصلی است تغییر می کند (یعنی زمانی که ماتریس به گونه ای تبدیل می شود). سپس علامت تعیین کننده مربوطه است.

مثال با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را کاهش دهید

به نمای مثلثی

راه حل: ابتدا ردیف اول ماتریس را در 4 و ردیف دوم را در (-1) ضرب می کنیم و ردیف اول را به ردیف دوم اضافه می کنیم:

حالا بیایید ردیف اول را در 6 و ردیف سوم را در (–1) ضرب کرده و ردیف اول را به ردیف سوم اضافه کنیم:

در نهایت، ردیف دوم را در 2 و ردیف سوم را در (9-) ضرب کنید و ردیف دوم را به ردیف سوم اضافه کنید:

نتیجه یک ماتریس مثلثی بالایی است

مثال. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از دستگاه ماتریس:

راه حل.اجازه دهید این سیستم معادلات خطی را به صورت ماتریسی بنویسیم:

حل این سیستم معادلات خطی به صورت ماتریسی به صورت زیر است:

کجا ماتریس معکوس ماتریس است آ.

تعیین کننده ماتریس ضریب آبرابر است با:

از این رو ماتریس آماتریس معکوس دارد.

2. Maltsev A.I. مبانی جبر خطی. - M .: Nauka، 1975 .-- 400 p.

3. برونشتاین I. N.، Semendyaev K. A. راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان دانشکده های فنی. - مسکو: ناوکا، 1986 .-- 544 ص.

تبدیلات ماتریس ابتداییچنین تبدیل هایی از ماتریس هستند که در نتیجه هم ارزی ماتریس ها حفظ می شود. بنابراین، تبدیل های ابتدایی مجموعه راه حل های سیستم معادلات جبری خطی را که این ماتریس نشان می دهد، تغییر نمی دهد.

تبدیل های اولیه در روش گاوسی برای آوردن یک ماتریس به شکل مثلثی یا پلکانی استفاده می شود.

تعریف

تبدیل رشته های ابتداییبه نام:

در برخی از درس‌های جبر خطی، جایگشت ردیف‌های ماتریس به یک تبدیل ابتدایی جداگانه تفکیک نمی‌شود، زیرا جایگشت هر دو ردیف از ماتریس را می‌توان با ضرب هر ردیف از ماتریس در یک ثابت به‌دست آورد و به آن اضافه کرد. هر ردیف از ماتریس یک ردیف دیگر ضرب در یک ثابت،.

به همین ترتیب، تبدیل ستون های ابتدایی.

تحولات ابتدایی برگشت پذیر.

نامگذاری نشان می دهد که ماتریس را می توان از طریق تبدیل های ابتدایی به دست آورد (یا برعکس).

خواص

عدم تغییر رتبه تحت تبدیل های ابتدایی

معادل سازی SLAE ها تحت تبدیل های ابتدایی

بیا زنگ بزنیم تبدیلات ابتدایی بر روی سیستم معادلات جبری خطی :

• تنظیم مجدد معادلات؛
• ضرب یک معادله در یک ثابت غیر صفر؛
• اضافه کردن یک معادله به معادله دیگر ضرب در مقداری ثابت.

آن ها تحولات ابتدایی بر روی ماتریس گسترده آن. سپس عبارت زیر درست است: به یاد بیاورید که اگر مجموعه راه حل های دو سیستم بر هم منطبق باشند، گفته می شود که معادل هستند.

یافتن ماتریس های معکوس

قضیه (در مورد یافتن ماتریس معکوس). اجازه دهید تعیین کننده ماتریس برابر با صفر نباشد، اجازه دهید ماتریس با عبارت تعیین شود. سپس، با تبدیل ابتدایی ردیف‌های ماتریس به ماتریس هویت در ترکیب، تبدیل به به طور همزمان اتفاق می‌افتد.

کاهش ماتریس ها به شکل پلکانی

اجازه دهید مفهوم ماتریس های پله ای را معرفی کنیم: ماتریس دارای نمای پلکانی , if: پس عبارت زیر درست است:

تعاریف مرتبط

ماتریس ابتداییماتریس A ابتدایی است اگر ضرب یک ماتریس دلخواه B در آن منجر به تبدیل ابتدایی ردیف‌های ماتریس B شود.

ادبیات

Ilyin V.A., Poznyak E.G. جبر خطی: کتاب درسی دانشگاه... - چاپ ششم، پاک شده. - M .: FIZMATLIT، 2004 .-- 280 ص.

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «تبدیل‌های ماتریس ابتدایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

معرفی. در معنای دقیق این اصطلاح، اجزای اولیه و غیر قابل تجزیه بیشتر است که به فرض، تمام ماده از آن تشکیل شده است. در مدرن فیزیک، اصطلاح "E. h." معمولاً نه به معنای دقیق آن، بلکه کمتر برای نام ... ... دایره المعارف فیزیکی

معرفی. در معنای دقیق این اصطلاح، ذرات اولیه و غیر قابل تجزیه بیشتر هستند که بر اساس فرض، تمام ماده از آنها تشکیل شده است. در مفهوم «E. h." در فیزیک مدرن، ایده ذات اولیه بیان می شود، ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به ماتریکس مراجعه کنید. ماتریس یک شی ریاضی است که به شکل جدول مستطیلی از عناصر یک حلقه یا فیلد (مثلا اعداد صحیح، اعداد حقیقی یا مختلط) نوشته شده است که نشان دهنده ... ... ویکی پدیا

ماتریس یک شی ریاضی است که به شکل جدول مستطیلی از اعداد (یا عناصر حلقه) نوشته شده و امکان انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) بین آن و سایر اشیاء مشابه را فراهم می کند. قوانین اجرا ... ... ویکی پدیا

ماتریس یک شی ریاضی است که به شکل جدول مستطیلی از اعداد (یا عناصر حلقه) نوشته شده و امکان انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) بین آن و سایر اشیاء مشابه را فراهم می کند. قوانین اجرا ... ... ویکی پدیا

ماتریس یک شی ریاضی است که به شکل جدول مستطیلی از اعداد (یا عناصر حلقه) نوشته شده و امکان انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) بین آن و سایر اشیاء مشابه را فراهم می کند. قوانین اجرا ... ... ویکی پدیا

ماتریس یک شی ریاضی است که به شکل جدول مستطیلی از اعداد (یا عناصر حلقه) نوشته شده و امکان انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) بین آن و سایر اشیاء مشابه را فراهم می کند. قوانین اجرا ... ... ویکی پدیا

ماتریس یک شی ریاضی است که به شکل جدول مستطیلی از اعداد (یا عناصر حلقه) نوشته شده و امکان انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) بین آن و سایر اشیاء مشابه را فراهم می کند. قوانین اجرا ... ... ویکی پدیا

تبدیلات ماتریس ابتداییچنین تبدیل هایی از ماتریس هستند که در نتیجه هم ارزی ماتریس ها حفظ می شود. بنابراین، تبدیل های ابتدایی مجموعه راه حل های سیستم معادلات جبری خطی را که این ماتریس نشان می دهد، تغییر نمی دهد.

تبدیل های اولیه در روش گاوسی برای آوردن یک ماتریس به شکل مثلثی یا پلکانی استفاده می شود.

تعریف

تبدیل رشته های ابتداییبه نام:

در برخی دروس جبر خطی، جایگشت سطرهای ماتریس به یک تبدیل ابتدایی جداگانه تفکیک نمی شود، زیرا جایگشت هر دو ردیف از ماتریس را می توان با ضرب هر ردیف از ماتریس در یک ثابت به دست آورد. k (\ displaystyle k)، و به هر ردیف از ماتریس یک ردیف دیگر ضرب در ثابت اضافه کنید k (\ displaystyle k), k ≠ 0 (\ displaystyle k \ neq 0).

به همین ترتیب، تبدیل ستون های ابتدایی.

تحولات ابتدایی برگشت پذیر.

تعیین نشان می دهد که ماتریس A (\ displaystyle A)را می توان از B (\ سبک نمایش B)توسط دگرگونی های ابتدایی (یا برعکس).

خواص

عدم تغییر رتبه تحت تبدیل های ابتدایی

قضیه (در مورد عدم تغییر رتبه تحت تبدیل های ابتدایی). اگر A ~ B (\ displaystyle A \ sim B)، سپس r a n g A = r a n g B (\ displaystyle \ mathrm (رنگ) A = \ mathrm (رنگ) B).

معادل سازی SLAE ها تحت تبدیل های ابتدایی

بیا زنگ بزنیم تبدیلات ابتدایی بر روی سیستم معادلات جبری خطی :

• تنظیم مجدد معادلات؛
• ضرب یک معادله در یک ثابت غیر صفر؛
• اضافه کردن یک معادله به معادله دیگر ضرب در مقداری ثابت.

یعنی تحولات ابتدایی بر روی ماتریس توسعه یافته آن. سپس عبارت زیر درست است: به یاد بیاورید که اگر مجموعه های راه حل های آنها بر هم منطبق باشند، گفته می شود که دو سیستم معادل هستند.

یافتن ماتریس های معکوس

قضیه (در مورد یافتن ماتریس معکوس). اجازه دهید تعیین کننده ماتریس A n × n (\ شیوه نمایش A_ (n \ بار n))برابر با صفر نیست، اجازه دهید ماتریس B (\ سبک نمایش B)توسط عبارت تعریف شده است B = [A | E] n × 2 n (\ سبک نمایش B = _ (n \ برابر 2n))... سپس، با تبدیل ابتدایی ردیف های ماتریس A (\ displaystyle A)به ماتریس هویت E (\ displaystyle E)بعنوان بخشی از B (\ سبک نمایش B)به طور همزمان تبدیل می شود E (\ displaystyle E)به A - 1 (\ displaystyle A ^ (- 1)).

سه عملیات بعدی نامیده می شود تبدیل های ابتدایی ردیف های ماتریس:

1) ضرب ردیف ith ماتریس در عدد λ ≠ 0:

که به شکل (i) → λ (i) خواهیم نوشت.

2) جایگشت دو ردیف در ماتریس، به عنوان مثال ردیف های i و k ام:

که به شکل (i) ↔ (k) خواهیم نوشت.

3) با ضریب λ به ردیف i ام ماتریس اضافه می کنیم:

که به شکل (i) → (i) + λ (k) خواهیم نوشت.

عملیات مشابه روی ستون های یک ماتریس نامیده می شود تبدیل ستون های ابتدایی.

هر تبدیل ابتدایی سطرها یا ستون‌های یک ماتریس دارد تبدیل ابتدایی معکوس، که ماتریس تبدیل شده را به ماتریس اصلی تبدیل می کند. به عنوان مثال، تبدیل معکوس برای جایگشت دو رشته، جایگزین کردن رشته های مشابه است.

هر تبدیل ابتدایی ردیف ها (ستون ها) ماتریس A را می توان به عنوان ضرب A در سمت چپ (راست) توسط یک ماتریس از نوع خاصی تفسیر کرد. این ماتریس در صورتی به دست می آید که همان تبدیل مجدد انجام شود ماتریس واحد... بیایید نگاهی دقیق تر به تبدیل رشته های ابتدایی بیندازیم.

اجازه دهید ماتریس B با ضرب ردیف i ام ماتریس m × n A در عدد λ ≠ 0 به دست آید. سپس B = Е i (λ) А، جایی که ماتریس E i (λ) از ماتریس هویت E بدست می آید. از مرتبه m با ضرب ردیف i ام آن در عدد λ.

اجازه دهید ماتریس B در نتیجه جایگشت ردیف های i و k ام ماتریس A از نوع m × n به دست آید. سپس B = F ik A، که در آن ماتریس F ik از ماتریس هویت E از مرتبه m با جابجایی ردیف های i و k ام آن به دست می آید.

اجازه دهید ماتریس B با اضافه کردن ردیف i ام ماتریس A به ردیف k-امین آن با ضریب λ بدست آید. سپس B = G ik (λ) А، که در آن ماتریس G ik از ماتریس هویت E از مرتبه m در نتیجه افزودن ردیف k با ضریب λ به ردیف i به دست می آید، یعنی. در تقاطع ردیف i و ستون k ماتریس E، عنصر صفر با عدد λ جایگزین می شود.

تبدیل های اولیه ستون های ماتریس A به همین ترتیب اجرا می شود، اما در عین حال با ماتریس هایی از نوع خاص نه در سمت چپ، بلکه در سمت راست ضرب می شود.

با استفاده از الگوریتم هایی که مبتنی بر تبدیل های ابتدایی سطرها و ستون ها هستند، ماتریس ها را می توان به اشکال مختلف تبدیل کرد. یکی از مهمترین این الگوریتم ها اساس اثبات قضیه زیر را تشکیل می دهد.

قضیه 10.1.با استفاده از تبدیل های ردیف ابتدایی، هر ماتریسی را می توان به کاهش داد نمای پلکانی.

◄ اثبات قضیه شامل ساخت یک الگوریتم خاص برای کاهش ماتریس به شکل گام به گام است. این الگوریتم شامل تکرارهای متعدد به ترتیب معین از سه عملیات مرتبط با برخی از عناصر فعلی ماتریس است که بر اساس مکان در ماتریس انتخاب می شود. در مرحله اول الگوریتم، بالا سمت چپ را به عنوان عنصر فعلی ماتریس انتخاب می کنیم، یعنی. [A] 11.

1*. اگر عنصر فعلی صفر است، به عملیات 2 * بروید. اگر برابر با صفر نباشد، ردیفی که عنصر جاری در آن قرار دارد (ردیف جاری) با ضرایب مناسب به ردیف‌های زیر اضافه می‌شود تا همه عناصر ماتریس در ستون زیر عنصر جاری صفر شوند. به عنوان مثال، اگر عنصر فعلی [A] ij باشد، به عنوان ضریب برای ردیف k، k = i + 1، ...، باید عدد - [A] kj / [A] ij را بگیریم. عنصر فعلی جدید را انتخاب می کنیم و در ماتریس یک ستون به سمت راست و یک ردیف به پایین جابه جا می کنیم و با تکرار عملیات 1 * به مرحله بعدی می رویم. اگر چنین جابجایی ممکن نباشد، به عنوان مثال. به آخرین ستون یا سطر رسیده است، تبدیل را متوقف می کنیم.

2 *. اگر عنصر فعلی در برخی از ردیف های ماتریس برابر با صفر باشد، از طریق عناصر ماتریس واقع در ستون زیر عنصر فعلی نگاه می کنیم. اگر هیچ غیر صفر در بین آنها وجود ندارد، به عملیات 3 * بروید. بگذارید یک عنصر غیر صفر در خط k در زیر عنصر فعلی وجود داشته باشد. خطوط فعلی و k-امین را عوض می کنیم و به عملیات 1 * برمی گردیم.

3 *. اگر عنصر فعلی و همه عناصر زیر آن (در همان ستون) برابر با صفر باشند، عنصر فعلی را تغییر می دهیم و یک ستون را در ماتریس به سمت راست منتقل می کنیم. اگر چنین افستی امکان پذیر باشد، یعنی عنصر فعلی در سمت راست ترین ستون ماتریس نباشد، عملیات 1 * را تکرار می کنیم. اگر قبلاً به لبه سمت راست ماتریس رسیده‌ایم و تغییر عنصر فعلی غیرممکن است، ماتریس یک شکل پلکانی دارد و می‌توانیم تبدیل‌ها را متوقف کنیم.

از آنجایی که ماتریس محدود است ابعادو در یک مرحله از الگوریتم، موقعیت عنصر فعلی حداقل توسط یک ستون به سمت راست منتقل می شود، فرآیند تبدیل به پایان می رسد و در بیش از n مرحله (n تعداد ستون های ماتریس است) . این بدان معنی است که لحظه ای فرا می رسد که ماتریس یک فرم پلکانی خواهد داشت.

مثال 10.10.ماتریس را تبدیل می کنیم به یک نمای پلکانی با استفاده از تبدیل رشته های ابتدایی.

با استفاده از الگوریتم حاصل از اثبات قضیه 10.1 و نوشتن ماتریس ها پس از اتمام عملیات آن، به دست می آوریم.

تبدیل های ماتریس ابتدایی عبارتند از:

1. تغییر ترتیب ردیف ها (ستون ها).

2. دور انداختن ردیف (ستون) صفر.

3. ضرب عناصر هر ردیف (ستون) در یک عدد.

4. افزودن به عناصر هر ردیف (ستون) عناصر یک ردیف دیگر (ستون)، ضرب در یک عدد.

سیستم های معادلات جبری خطی (مفاهیم و تعاریف اساسی).

1. سیستم مترمعادلات خطی با n ناشناخته نامیده می شود سیستم معادلات فرم:

2.تصمیم گیریبه سیستم معادلات (1) مجموعه اعداد گفته می شود ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , تبدیل هر معادله سیستم به هویت.

3. سیستم معادلات (1) نامیده می شود مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد؛ اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود ناسازگار.

4. سیستم معادلات (1) نامیده می شود معیناگر فقط یک راه حل داشته باشد، و تعریف نشدهاگر او بیش از یک راه حل داشته باشد.

5. در نتیجه تبدیل های ابتدایی، سیستم (1) به سیستمی معادل آن (یعنی داشتن مجموعه ای از راه حل های یکسان) تبدیل می شود.

به تحولات ابتداییسیستم های معادلات خطی عبارتند از:

1. دور انداختن خطوط پوچ.

2. تغییر ترتیب خطوط.

3. افزودن به عناصر هر خط از عناصر یک خط دیگر، ضرب در یک عدد.

روش های حل سیستم معادلات خطی.

1) روش ماتریس معکوس (روش ماتریسی) برای حل سیستم های n معادله خطی با n مجهول.

سیستم nمعادلات خطی با nناشناخته نامیده می شود سیستم معادلات فرم:

اجازه دهید سیستم (2) را به صورت ماتریسی بنویسیم، برای این کار نماد را معرفی می کنیم.

ماتریس ضرایب قبل از متغیرها:

X = ماتریسی از متغیرها است.

В = - ماتریس اعضای آزاد.

سپس سیستم (2) به شکل زیر در می آید:

آ× ایکس = ب- معادله ماتریسی

پس از حل معادله، به دست می آوریم:

ایکس = آ -1 × ب

مثال:

; ;

1) │А│ = 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 ماتریس A -1 وجود دارد.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X = A -1 × B

پاسخ:

2) قانون کرامر برای حل سیستم های n - معادلات خطی با n - مجهول.

سیستمی متشکل از 2 معادله خطی با 2 مجهول را در نظر بگیرید:

بیایید این سیستم را با استفاده از روش جایگزینی حل کنیم:

از معادله اول به شرح زیر است:

با جایگزینی معادله دوم، به دست می آوریم:

مقدار را با فرمول جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:

تعیین کننده Δ - تعیین کننده ماتریس سیستم.

Δ ایکس 1 - متغیر تعیین کننده ایکس 1 ;

Δ ایکس 2 - متغیر تعیین کننده ایکس 2 ;

فرمول ها:

ایکس 1 =;ایکس 2 =;…,ایکس n =؛ Δ  0;

- نامیده می شوند توسط فرمول های کرامر

هنگام یافتن عوامل تعیین کننده مجهولات NS 1 ، NS 2 ,…, NS nستون ضرایب برای متغیری که تعیین کننده آن یافت می شود با ستون اعضای آزاد جایگزین می شود.

مثال:حل یک سیستم معادلات به روش کرامر

راه حل:

اجازه دهید ابتدا تعیین کننده اصلی این سیستم را بسازیم و محاسبه کنیم:

از آنجایی که Δ ≠ 0، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با قانون کرامر می توان آن را پیدا کرد:

که در آن Δ 1، Δ 2، Δ 3 از تعیین کننده Δ با جایگزینی ستون های 1، 2 یا 3 به ترتیب با ستون عبارت های آزاد به دست می آیند.

بدین ترتیب:

روش گاوس برای حل سیستم معادلات خطی.

سیستم را در نظر بگیرید:

ماتریس توسعه یافته سیستم (1) ماتریسی به شکل زیر است:

روش گاوسروشی است برای حذف متوالی مجهولات از معادلات سیستم، با شروع از معادله دوم توسط متر- معادله

در این حالت، با تبدیل های ابتدایی، ماتریس سیستم به یک مثلث کاهش می یابد (اگر m = nو تعیین کننده سیستم ≠ 0) یا گام به گام (اگر متر< n ) فرم.

سپس با شروع از آخرین معادله با عدد، همه مجهولات پیدا می شوند.

الگوریتم روش گاوسی:

1) یک ماتریس توسعه یافته از سیستم، شامل ستونی از اعضای آزاد ایجاد کنید.

2) اگر آ 11  0، سپس ردیف اول بر تقسیم می شود آ 11 و ضرب در (- آ 21) و خط دوم را اضافه کنید. به همین ترتیب، رسیدن متر-خط:

صفحه I تقسیم بر آ 11 و ضرب در (- آ متر 1) و اضافه کنید متر- th p.

در این مورد، از معادلات، با شروع از دوم به متر- یعنی متغیر مستثنی است ایکس 1 .

3) در مرحله 3، ردیف دوم برای تبدیل های اولیه مشابه ردیف های 3 به استفاده می شود. متر- تویو این متغیر را حذف می کند ایکس 2 شروع از خط 3 تا متر- thuyu و غیره

در نتیجه این دگرگونی ها، سیستم به شکل مثلثی یا پلکانی (در حالت مثلثی، زیر صفرهای مورب اصلی) کاهش می یابد.

کاهش سیستم به شکل مثلثی یا پلکانی نامیده می شود با سیر مستقیم روش گاوس، و یافتن مجهولات از سیستم حاصل نامیده می شود معکوس.

مثال:

دوره مستقیم اجازه دهید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ارائه دهیم

با کمک تبدیل های ابتدایی به شکل گام به گام. ردیف های اول و دوم ماتریس را دوباره مرتب کنید آ ب، ماتریس را دریافت می کنیم:

بیایید ردیف دوم ماتریس حاصل را با اولین ضرب در (2‒) و ردیف سوم آن - با ضرب ردیف اول در (‒7) اضافه کنیم. ماتریس را دریافت می کنیم

به ردیف سوم ماتریس به دست آمده، ردیف دوم ضرب در (‒3) را اضافه کنید که در نتیجه ماتریس پلکانی به دست می آید.

بنابراین، ما این سیستم معادلات را به شکل گام به گام آورده ایم:

,

حرکت معکوس با شروع از آخرین معادله سیستم معادلات گام به گام به دست آمده، مقادیر مجهولات را به طور متوالی پیدا می کنیم: