Konceptet themelore të sistemeve të numrave
Sistemi i numrave është një grup rregullash dhe teknikash për të shkruar numra duke përdorur një grup karakteresh dixhitale. Numri i shifrave të nevojshme për të shkruar një numër në sistem quhet baza e sistemit të numrave. Baza e sistemit shkruhet në të djathtë të numrit në nënshkrim: ; ; etj.
Ekzistojnë dy lloje të sistemeve të numrave:
pozicionale, kur vlera e secilës shifër të një numri përcaktohet nga pozicioni i saj në shënimin e numrit;
jo pozicionale, kur vlera e një shifre në një numër nuk varet nga vendi i saj në shënimin e numrit.
Një shembull i një sistemi numrash jopozicional është ai romak: numrat IX, IV, XV, etj. Një shembull i një sistemi numrash pozicional është sistemi dhjetor që përdoret çdo ditë.
Çdo numër i plotë në sistemin pozicional mund të shkruhet si një polinom:
ku S është baza e sistemit të numrave;
Shifrat e një numri të shkruar në një sistem numrash të caktuar;
n është numri i shifrave të numrit.
Shembull. Numri shkruhet në formë polinomi si më poshtë:
Llojet e sistemeve të numrave
Sistemi i numrave romak është një sistem jo-pozicional. Përdor shkronjat për të shkruar numra. Alfabeti latin. Në këtë rast, shkronja I do të thotë gjithmonë një, shkronja V nënkupton pesë, X do të thotë dhjetë, L do të thotë pesëdhjetë, C do të thotë njëqind, D do të thotë pesëqind, M do të thotë një mijë, etj. Për shembull, numri 264 është shkruar si CCLXIV. Kur shkruani numra në sistemin numerik romak, vlera e një numri është shuma algjebrike e shifrave të përfshira në të. Në këtë rast, shifrat në hyrjen e numrave ndjekin, si rregull, në rend zbritës të vlerave të tyre dhe nuk lejohet të shkruhet më shumë se tre shifra identike krah për krah. Në rastin kur një shifër me vlerë më të madhe pasohet nga një shifër me vlerë më të vogël, kontributi i saj në vlerën e numrit në tërësi është negativ. Shembuj tipikë që ilustrojnë Rregulla të përgjithshme të dhënat e numrave në sistemin numerik romak janë dhënë në tabelë.
Tabela 2. Shkrimi i numrave në sistemin numerik romak
|
III |
||||
|
VII |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XXIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Disavantazhi i sistemit romak është mungesa e rregullave formale për shkrimin e numrave dhe, në përputhje me rrethanat, veprimet aritmetike me numra shumëshifrorë. Për shkak të shqetësimit dhe kompleksitetit të madh, sistemi i numrave romak aktualisht përdoret aty ku është vërtet i përshtatshëm: në literaturë (numërimi i kapitujve), në dokumente (një seri pasaportash, letrash me vlerë, etj.), për qëllime dekorative në numrin e orës dhe në një sërë rastesh të tjera.
Sistemi i numrave dhjetorë është aktualisht më i njohuri dhe më i përdoruri. Shpikje sistemi dhjetor llogaritja i referohet arritjeve kryesore të mendimit njerëzor. Pa të, vështirë se mund të ekzistonte, aq më pak të lindte Teknologji moderne. Arsyeja pse sistemi i numrave dhjetorë është bërë përgjithësisht i pranuar nuk është aspak matematikore. Njerëzit janë mësuar të numërojnë me shënime dhjetore sepse kanë 10 gishta në duar.
Imazhi i lashtë i shifrave dhjetore (Fig. 1) nuk është i rastësishëm: çdo shifër tregon një numër me numrin e këndeve në të. Për shembull, 0 - pa qoshe, 1 - një cep, 2 - dy qoshe, etj. Drejtshkrimi i shifrave dhjetore ka pësuar ndryshime të rëndësishme. Forma që ne përdorim u krijua në shekullin e 16-të.
Sistemi dhjetor u shfaq për herë të parë në Indi rreth shekullit të 6-të. erë e re. Numërimi indian përdori nëntë karaktere numerike dhe një zero për të treguar një pozicion bosh. Në dorëshkrimet e hershme indiane që kanë ardhur deri tek ne, numrat ishin të shkruar rend i kundërt- shumica shifër domethënëse vendosur në të djathtë. Por shpejt u bë rregull vendosja e një figure të tillë në anën e majtë. Rëndësi e veçantë iu kushtua simbolit null, i cili u prezantua për shënimin pozicional. Numërimi indian, përfshirë zero, ka ardhur deri në kohën tonë. Në Evropë, metodat hindu të aritmetikës dhjetore u përhapën në fillim të shekullit të 13-të. falë punës së matematikanit italian Leonardo të Pizës (Fibonacci). Evropianët huazuan sistemin indian të numrave nga arabët, duke e quajtur atë arab. Ky emër historikisht i pasaktë është ruajtur edhe sot e kësaj dite.
Sistemi dhjetor përdor dhjetë shifra - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dhe 9, si dhe simbolet "+" dhe "-" për të treguar shenjën e numrit dhe një presje ose periudha për të ndarë numrat e pjesëve të plota dhe thyesore.
V kompjuterët Oh përdoret sistemi i numrave binar, baza e tij është numri 2. Për të shkruar numra në këtë sistem përdoren vetëm dy shifra - 0 dhe 1. Ndryshe nga një keqkuptim i zakonshëm, sistemi i numrave binar nuk u shpik nga inxhinierët e dizajnit kompjuterik, por nga matematikanët dhe filozofët shumë kohë përpara ardhjes së kompjuterëve, madje edhe në shekujt XVII dhe XIX. Diskutimi i parë i publikuar për sistemin e numrave binar është nga prifti spanjoll Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Vëmendja e përgjithshme ndaj këtij sistemi u tërhoq nga artikulli i matematikanit gjerman Gottfried Wilhelm Leibniz, botuar në 1703. Ai shpjegoi veprimet binare të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit. Leibniz nuk rekomandoi përdorimin e këtij sistemi për llogaritjet praktike, por theksoi rëndësinë e tij për kërkimin teorik. Me kalimin e kohës, sistemi i numrave binar bëhet i njohur dhe zhvillohet.
Zgjedhja e sistemit binar për aplikim në Shkenca Kompjuterike shpjegohet me faktin se elementet elektronike- Shkaktarët që përbëjnë çipat kompjuterikë mund të jenë vetëm në dy gjendje pune.
Me ndihmën e një sistemi kodimi binar, çdo e dhënë dhe njohuri mund të regjistrohet. Kjo është e lehtë për t'u kuptuar nëse mbani mend parimin e kodimit dhe transmetimit të informacionit duke përdorur kodin Morse. Një operator telegrafi, duke përdorur vetëm dy karaktere të këtij alfabeti - pika dhe viza, mund të transmetojë pothuajse çdo tekst.
Sistemi binar është i përshtatshëm për një kompjuter, por i papërshtatshëm për një person: numrat janë të gjatë dhe të vështirë për t'u shkruar dhe mbajtur mend. Sigurisht, ju mund ta konvertoni numrin në sistemin dhjetor dhe ta shkruani në këtë formë, dhe më pas, kur të keni nevojë ta përktheni përsëri, por të gjitha këto përkthime kërkojnë kohë. Prandaj, përdoren sisteme numrash që lidhen me binar - oktal dhe heksadecimal. Për të shkruar numra në këto sisteme, kërkohen përkatësisht 8 dhe 16 shifra. Në heksadecimal, 10 shifrat e para janë të zakonshme, dhe më pas përdoren shkronja të mëdha latine. Shifra heksadecimal A i përgjigjet dhjetorit 10, heksadecimal B në dhjetor 11, e kështu me radhë. Përdorimi i këtyre sistemeve shpjegohet me faktin se kalimi në shkrimin e një numri në cilindo nga këto sisteme nga shënimi i tij binar është shumë i thjeshtë. Më poshtë është një tabelë e korrespondencës midis numrave të shkruar në sisteme të ndryshme.
Tabela 3. Përputhja e numrave të shkruar në sisteme të ndryshme numrash
|
dhjetore |
Binar |
oktal |
Heksadecimal |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Rregullat për konvertimin e numrave nga një sistem numrash në tjetrin
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin është një pjesë e rëndësishme e aritmetikës së makinës. Konsideroni rregullat themelore të përkthimit.
1. Për përkthim numër binar në dhjetor, është e nevojshme të shkruhet si një polinom, i përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 2, dhe të llogaritet sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:
Kur përktheni, është e përshtatshme të përdorni tabelën e fuqive të dy:
Tabela 4. Fuqitë e 2
|
n (gradë) |
|||||||||||
|
1024 |
Shembull. Shndërroni numrin në sistemin e numrave dhjetorë.
2. Për të përkthyer një numër oktal në një dhjetor, është e nevojshme të shkruhet si një polinom i përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 8 dhe të llogaritet sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:
Kur përktheni, është e përshtatshme të përdorni tabelën e fuqive të tetë:
Tabela 5. Fuqitë e 8
|
n (gradë) |
Duke studiuar kodimet, kuptova se nuk i kuptoja mjaftueshëm sistemet e numrave. Sidoqoftë, ai shpesh përdorte sistemet 2-, 8-, 10-, 16-të, të përkthyera njëra në tjetrën, por gjithçka bëhej në "automatik". Pasi lexova shumë botime, u habita nga mungesa e një të shkruari gjuhë e thjeshtë, artikuj mbi një material të tillë bazë. Kjo është arsyeja pse vendosa të shkruaj timen, në të cilën u përpoqa të paraqes bazat e sistemeve të numrave në një mënyrë të arritshme dhe të rregullt.
Prezantimi
Shënimiështë një mënyrë për të shkruar (përfaqësuar) numrat.Çfarë nënkuptohet me këtë? Për shembull, ju shihni disa pemë para jush. Detyra juaj është t'i numëroni ato. Për ta bërë këtë, mund të përkulni gishtat, të bëni pika në një gur (një pemë - një gisht / nivel) ose të përputhni 10 pemë me ndonjë objekt, për shembull, një gur dhe një kopje të vetme me një shkop dhe t'i vendosni ato në bluaj si të numërosh. Në rastin e parë, numri përfaqësohet si një vijë gishtash të përkulur ose pika, në të dytën - një përbërje gurësh dhe shkopinjsh, ku gurët janë në të majtë, dhe shkopinjtë janë në të djathtë.
Sistemet e numrave ndahen në pozicionale dhe jo pozicionale, dhe pozicionale, nga ana tjetër, në homogjene dhe të përziera.
jopozicionale- më e lashta, në të secila shifër e një numri ka një vlerë që nuk varet nga pozicioni (shifra) i tij. Kjo do të thotë, nëse keni 5 viza, atëherë numri është gjithashtu i barabartë me 5, pasi çdo vizë, pavarësisht nga vendi i saj në rresht, korrespondon me vetëm 1 një artikull.
Sistemi i pozicionit- vlera e secilës shifër varet nga pozicioni (shifra) e saj në numër. Për shembull, sistemi i numrave të 10-të, i njohur për ne, është pozicional. Konsideroni numrin 453. Numri 4 tregon numrin e qindrave dhe korrespondon me numrin 400, 5 - numri i dhjetësheve dhe është i ngjashëm me vlerën 50, dhe 3 - njësitë dhe vlerën 3. Siç mund ta shihni, sa më i madh shifra, aq më e lartë është vlera. Numri përfundimtar mund të paraqitet si shuma e 400+50+3=453.
sistem homogjen- për të gjitha shifrat (pozicionet) e numrit, grupi i karaktereve (shifrave) të vlefshme është i njëjtë. Si shembull, le të marrim sistemin e 10-të të përmendur më parë. Kur shkruani një numër në një sistem homogjen të 10-të, mund të përdorni vetëm një shifër nga 0 në 9 në secilën shifër, kështu që numri 450 lejohet (shifra 1 - 0, 2 - 5, 3 - 4), por 4F5 nuk është, pasi karakteri F nuk është pjesë e shifrave nga 0 deri në 9.
sistem i përzier- në secilën shifër (pozicion) të numrit, grupi i karaktereve (numrave) të vlefshëm mund të ndryshojë nga grupet e shifrave të tjera. Një shembull i mrekullueshëm është sistemi i matjes së kohës. Në kategorinë e sekondave dhe minutave, 60 karaktere të ndryshme janë të mundshme (nga "00" në "59"), në kategorinë e orëve - 24 personazhe të ndryshme(nga "00" në "23"), në shkarkimin e ditës - 365, etj.
Sistemet jopozicionale
Sapo njerëzit mësuan të numëronin, lindi nevoja për të regjistruar numrat. Në fillim, gjithçka ishte e thjeshtë - një pikë ose vizë në një sipërfaqe korrespondonte me një objekt, për shembull, një frut. Kështu u shfaq sistemi i parë i numrave - njësia.Sistemi i numrave të njësisë
Numri në këtë sistem numrash është një varg vijash (shkopinjsh), numri i të cilave është i barabartë me vlerën numri i dhënë. Kështu, një korrje prej 100 hurmash do të jetë e barabartë me një numër që përbëhet nga 100 pika.Por ky sistem ka shqetësime të dukshme - çfarë më shumë numër- sa më i gjatë të jetë vargu i shkopinjve. Përveç kësaj, lehtë mund të bëni një gabim kur shkruani një numër duke shtuar aksidentalisht një shkop shtesë ose, anasjelltas, duke mos e shtuar atë.
Për lehtësi, njerëzit filluan të grupojnë shkopinj me 3, 5, 10 copë. Në të njëjtën kohë, çdo grup korrespondonte me një shenjë ose objekt të caktuar. Fillimisht, gishtat përdoreshin për numërim, kështu që shenjat e para u shfaqën për grupet prej 5 dhe 10 copë (njësi). E gjithë kjo bëri të mundur krijimin e më shumë sisteme të përshtatshme shënimet e numrave.
sistemi dhjetor i lashtë egjiptian
Në Egjiptin e lashtë, karaktere të veçanta (numra) përdoreshin për të treguar numrat 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Ja disa prej tyre:Pse quhet dhjetore? Siç u shkrua më lart - njerëzit filluan të grupojnë simbolet. Në Egjipt, ata zgjodhën një grup prej 10, duke lënë numrin "1" të pandryshuar. V këtë rast, numri 10 quhet baza e sistemit të numrave dhjetorë, dhe çdo simbol është një paraqitje e numrit 10 në një farë mase.
Numrat në sistemin e numrave të lashtë egjiptian shkruheshin si një kombinim i tyre
personazhe, secila prej të cilave u përsërit jo më shumë se nëntë herë. Vlera përfundimtare ishte e barabartë me shumën e elementeve të numrit. Vlen të përmendet se kjo metodë e marrjes së një vlere është karakteristike për çdo sistem numrash jopozicional. Një shembull është numri 345:
Sistemi seksimal babilonas
Ndryshe nga sistemi egjiptian, vetëm 2 simbole u përdorën në sistemin babilonas: një pykë "e drejtë" për njësitë dhe një "gënjeshtare" për dhjetëra. Për të përcaktuar vlerën e një numri, është e nevojshme të ndani imazhin e numrit në shifra nga e djathta në të majtë. Një shkarkim i ri fillon me shfaqjen e një pykë të drejtë pas një të shtrirë. Le të marrim numrin 32 si shembull:
Numri 60 dhe të gjitha shkallët e tij tregohen gjithashtu me një pykë të drejtë, siç është "1". Prandaj, sistemi i numrave babilonas u quajt sexagesimal.
Të gjithë numrat nga 1 deri në 59 u shkruan nga babilonasit në një sistem dhjetor jo-pozicional, dhe vlerat e mëdha- në pozicion me bazën 60. Numri 92:
Shënimi i numrit ishte i paqartë, pasi nuk kishte asnjë shifër për zero. Paraqitja e numrit 92 mund të nënkuptojë jo vetëm 92=60+32, por gjithashtu, për shembull, 3632=3600+32. Për të përcaktuar vlerën absolute të një numri u prezantua karakter të veçantë për të treguar një shifër gjinore që mungon, e cila korrespondon me paraqitjen e shifrës 0 në shënimin dhjetor:
Tani numri 3632 duhet të shkruhet si:
Sistemi babilonas sexagesimal është sistemi i parë i numrave i bazuar pjesërisht në parimin e pozicionit. Ky sistem llogaritja përdoret edhe sot, për shembull, kur përcaktohet koha - një orë përbëhet nga 60 minuta dhe një minutë 60 sekonda.
Sistemi romak
Sistemi romak nuk është shumë i ndryshëm nga ai egjiptian. Ai përdor përkatësisht shkronjat latine të mëdha I, V, X, L, C, D dhe M, për të treguar përkatësisht numrat 1, 5, 10, 50, 100, 500 dhe 1000. Një numër në sistemin numerik romak është një grup shifrash të njëpasnjëshme.Metodat për përcaktimin e vlerës së një numri:
- Vlera e një numri është e barabartë me shumën e vlerave të shifrave të tij. Për shembull, numri 32 në sistemin numerik romak është XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Nëse ka një numër më të vogël në të majtë të shifrës më të madhe, atëherë vlera është e barabartë me diferencën midis shifrave më të mëdha dhe më të vogla. Në të njëjtën kohë, shifra e majtë mund të jetë më e vogël se e djathta me një maksimum prej një renditjeje: për shembull, para L (50) dhe C (100) të atyre "më të rinjve", vetëm X (10) mund të qëndrojë, para D (500) dhe M (1000) - vetëm C (100), përpara V (5) - vetëm I (1); numri 444 në sistemin numerik të konsideruar do të shkruhet CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Vlera është e barabartë me shumën e vlerave të grupeve dhe numrave që nuk përshtaten nën 1 dhe 2 pikë.
1) sllave
2) Greqisht (Jonian)
Sistemet e numrave pozicional
Siç u përmend më lart, parakushtet e para për shfaqjen e një sistemi pozicional u ngritën në Babiloninë e lashtë. Në Indi, sistemi mori formën e numërimit dhjetor pozicional duke përdorur zero, dhe nga hindusët ky sistem numrash u huazua nga arabët, nga të cilët u miratua nga evropianët. Për disa arsye, në Evropë, emri "Arab" iu caktua këtij sistemi.Sistemi i numrave dhjetorë
Ky është një nga sistemet më të zakonshme të numrave. Kjo është ajo që ne përdorim kur telefonojmë çmimin e mallrave dhe shqiptojmë numrin e autobusit. Në çdo shifër (pozicion) mund të përdoret vetëm një shifër nga diapazoni nga 0 deri në 9. Baza e sistemit është numri 10.Për shembull, le të marrim numrin 503. Nëse ky numër do të ishte shkruar në një sistem jopozicional, atëherë vlera e tij do të ishte 5 + 0 + 3 = 8. Por ne kemi një sistem pozicionor, që do të thotë se çdo shifër e numrit duhet të të shumëzohet me bazën e sistemit, në këtë rast numrin “10”, të ngritur në fuqinë e barabartë me numrin shifror. Rezulton se vlera është 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Për të shmangur konfuzionin kur punë të njëkohshme me disa sisteme numrash, baza tregohet si nënshkrim. Kështu, 503 = 503 10 .
Përveç sistemit dhjetor, sistemet 2-, 8-, 16-të meritojnë vëmendje të veçantë.
Sistemi binar i numrave
Ky sistem përdoret kryesisht në informatikë. Pse nuk filluan të përdorin 10-tën me të cilën jemi mësuar? Makina e parë llogaritëse u krijua nga Blaise Pascal, i cili përdori sistemin dhjetor në të, i cili doli të ishte i papërshtatshëm në moderne. makina elektronike, meqenëse kërkonte prodhimin e pajisjeve të afta për të punuar në 10 shtete, gjë që rriti çmimin e tyre dhe dimensionet përfundimtare të makinës. Këto mangësi janë të privuara nga elementët që punojnë në sistemin e dytë. Sidoqoftë, sistemi në shqyrtim u krijua shumë kohë përpara shpikjes së kompjuterëve dhe shkon prapa në qytetërimin Inca, ku u përdor quipu - plekse dhe nyje komplekse litari.Sistemi i numrave pozicional binar ka një bazë prej 2 dhe përdor 2 karaktere (shifra) për të shkruar një numër: 0 dhe 1. Vetëm një shifër lejohet në çdo bit - ose 0 ose 1.
Një shembull është numri 101. Është i ngjashëm me numrin 5 në sistemin e numrave dhjetorë. Për të kthyer nga 2 në 10, është e nevojshme të shumëzoni çdo shifër të numrit binar me bazën "2", të ngritur në një fuqi të barabartë me shifrën. Kështu, numri 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Epo, për makinat, sistemi i numrave të dytë është më i përshtatshëm, por shpesh shohim që ne përdorim numra në sistemin e 10-të në një kompjuter. Atëherë, si e përcakton makina se cilin numër fut përdoruesi? Si e përkthen një numër nga një sistem në tjetrin, sepse ka vetëm 2 karaktere në dispozicion - 0 dhe 1?
Në mënyrë që një kompjuter të punojë me numra (kode) binare, ato duhet të ruhen diku. Për të ruajtur çdo shifër individuale, përdoret një këmbëz, i cili është qark elektronik. Mund të jetë në 2 gjendje, njëra prej të cilave korrespondon me zero, tjetra me një. Për të ruajtur një numër të vetëm, përdoret një regjistër - një grup nxitësish, numri i të cilëve korrespondon me numrin e shifrave në një numër binar. Dhe grupi i regjistrave është RAM. Numri i përfshirë në regjistër është një fjalë makine. Aritmetike dhe operacionet logjike me fjalë kryen njësinë logjike aritmetike (ALU). Për të thjeshtuar aksesin në regjistra, ato numërohen. Numri quhet adresa e regjistrit. Për shembull, nëse duhet të shtoni 2 numra, mjafton të tregoni numrat e qelizave (regjistrave) në të cilat ndodhen, dhe jo vetë numrat. Adresat shkruhen në sisteme 8- dhe heksadecimal (ato do të diskutohen më poshtë), pasi kalimi prej tyre në sistemin binar dhe anasjelltas është mjaft i thjeshtë. Për të kaluar nga numri i 2-të në atë të 8-të, është e nevojshme ta ndani atë në grupe me 3 shifra nga e djathta në të majtë dhe të shkoni në të 16-in - nga 4 shifra secila. Nëse nuk ka shifra të mjaftueshme në grupin më të majtë të shifrave, atëherë ato mbushen nga e majta me zero, të cilat quhen drejtuese. Le të marrim si shembull numrin 101100 2. Në oktal është 101 100 = 54 8 dhe në heksadecimal është 0010 1100 = 2C 16 . E shkëlqyeshme, por pse shohim numra dhjetorë dhe shkronja në ekran? Kur shtypet një çelës, një sekuencë e caktuar e impulseve elektrike transmetohet në kompjuter dhe çdo karakter ka sekuencën e vet të impulseve elektrike (zero dhe një). Programi i tastierës dhe drejtuesit të ekranit thërret tabela e kodeve karaktere (për shembull, Unicode, i cili ju lejon të kodoni 65536 karaktere), përcakton se cilit karakter korrespondon kodi i marrë dhe e shfaq atë në ekran. Kështu, tekstet dhe numrat ruhen në memorien e kompjuterit në kodi binar, a në mënyrë programore konvertohet në imazhe në ekran.
Sistemi i numrave oktal
Sistemi i 8-të i numrave, si ai binar, përdoret shpesh në teknologjinë dixhitale. Ka bazën 8 dhe përdor shifrat nga 0 në 7 për të përfaqësuar numrin.Një shembull i një numri oktal: 254. Për të kthyer në sistemin e 10-të, çdo shifër e numrit origjinal duhet të shumëzohet me 8 n, ku n është numri shifror. Rezulton se 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Sistemi heksadecimal i numrave
Sistemi heksadecimal përdoret gjerësisht në kompjuterë modernë, për shembull, ai specifikon ngjyrën: #FFFFFF - Ngjyra e bardhë. Sistemi në shqyrtim ka bazën 16 dhe përdor për të shkruar numrin: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, ku shkronjat janë 10, 11, 12, 13, 14, 15 respektivisht.Le të marrim si shembull numrin 4F5 16. Për transferim në sistemi oktal- transformimi i parë numër heksadecimal në binare, dhe më pas, duke u ndarë në grupe me 3 shifra, në oktal. Për të kthyer një numër në 2, çdo shifër duhet të përfaqësohet si një numër binar 4-bit. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Por në grupet 1 dhe 3 nuk ka shifra të mjaftueshme, kështu që le ta mbushim secilën me zero kryesore: 0100 1111 0101. Tani duhet ta ndajmë numrin që rezulton në grupe me 3 shifra nga e djathta në të majtë: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 1 101. Le të përkthejmë çdo grup binar në sistemin oktal, duke shumëzuar çdo shifër me 2n, ku n është numri shifror: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Përveç sistemeve të konsideruara të numrave pozicional, ka të tjerë, për shembull:
1) Treshe
2) Kuaternare
3) Duodecimal
Sistemet e pozicionit ndahen në homogjene dhe të përziera.
Sistemet homogjene të numrave pozicional
Përkufizimi i dhënë në fillim të artikullit përshkruan plotësisht sistemet homogjene, kështu që një sqarim është i panevojshëm.Sistemet e numrave të përzier
Përkufizimit të dhënë tashmë, mund t'i shtojmë teoremën e mëposhtme: "nëse P=Q n (P,Q,n janë numra të plotë numra pozitiv, ndërsa P dhe Q janë baza), atëherë shënimi i çdo numri në sistemin e numrave të përzier (P-Q)-të përkon në mënyrë identike me shënimin e të njëjtit numër në sistemin e numrave me bazën Q."Bazuar në teoremën, mund të formulojmë rregullat për transferimin nga sistemi P-të në sistemin Q-të dhe anasjelltas:
- Për të transferuar nga Q-të në P-të, ju duhet një numër në Sistemi Q-të, ndahet në grupe me n shifra, duke filluar me shifra e djathtë, dhe zëvendësoni çdo grup me një shifër në sistemin Pth.
- Për të transferuar nga P-të në Q-të, është e nevojshme që çdo shifër e numrit në sistemin P-të të përkthehet në Q-të dhe të plotësohen shifrat që mungojnë me zerot kryesore, përveç asaj të majtë, në mënyrë që çdo numër në sistemin bazë Q përbëhet nga n shifra.
Sistemet me numra të përzier janë gjithashtu, për shembull:
1) Faktorial
2) Fibonacci
Përkthimi nga një sistem numrash në tjetrin
Ndonjëherë ju duhet të konvertoni një numër nga një sistem numrash në një tjetër, kështu që le të shohim se si të përkthejmë midis sistemeve të ndryshme.Konvertimi dhjetor
Ekziston një numër a 1 a 2 a 3 në sistemin e numrave me bazën b. Për të kthyer në sistemin e 10-të, çdo shifër e numrit duhet të shumëzohet me b n, ku n është numri shifror. Pra (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Shembull: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Konvertimi nga sistemi i numrave dhjetorë në të tjerët
E gjithë pjesa:- Pjesën e plotë të numrit dhjetor e ndajmë radhazi me bazën e sistemit në të cilin po kalojmë, derisa numri dhjetor të bëhet zero.
- Mbetjet e marra nga pjesëtimi janë shifrat e numrit të dëshiruar. Numri në sistemin e ri shkruhet duke filluar nga pjesa e fundit.
- Ne e shumëzojmë pjesën thyesore të numrit dhjetor me bazën e sistemit në të cilin dëshironi të përktheni. E ndajmë të gjithë pjesën. Vazhdojmë të shumëzojmë pjesën thyesore me bazën sistemi i ri derisa të bëhet 0.
- Numri në sistemin e ri është pjesët e plota të rezultateve të shumëzimit në rendin që korrespondon me marrjen e tyre.
15\8 = 1, pjesa e mbetur 7
1\8 = 0, pjesa e mbetur 1
Pasi të kemi shkruar të gjitha mbetjet nga poshtë lart, marrim numrin përfundimtar 17. Prandaj, 15 10 \u003d 17 8.
Konvertimi binar në oktal dhe heksadecimal
Për ta kthyer në oktal, ne e ndajmë numrin binar në grupe prej 3 shifrash nga e djathta në të majtë dhe plotësojmë shifrat ekstreme që mungojnë me zero kryesore. Më pas, ne transformojmë çdo grup duke shumëzuar me radhë shifrat me 2 n , ku n është numri shifror.Le të marrim numrin 1001 2 si shembull: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Për ta kthyer në heksadecimal - ne e ndajmë numrin binar në grupe me 4 shifra nga e djathta në të majtë, pastaj - në mënyrë të ngjashme me konvertimin nga 2 në 8.
Konvertimi nga sistemet oktal dhe heksadecimal në binar
Konvertimi nga oktal në binar - ne konvertojmë çdo shifër të një numri oktal në një numër binar 3-shifror duke e pjesëtuar me 2 (për më shumë informacion rreth pjesëtimit, shihni paragrafin "Konvertimi nga dhjetori në tjetrin" më sipër), shifrat ekstreme që mungojnë do të të plotësohet me zero kryesore.Për shembull, merrni parasysh numrin 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Përkthimi nga 16-ta në 2 - ne e kthejmë secilën shifër të numrit heksadecimal në një numër binar 4-shifror duke e pjesëtuar me 2, duke plotësuar shifrat ekstreme që mungojnë me zerat kryesore.
Shndërrimi i pjesës thyesore të çdo sistemi numerik në dhjetor
Konvertimi kryhet në të njëjtën mënyrë si për pjesët e plota, përveç që shifrat e numrit shumëzohen me bazën në fuqinë "-n", ku n fillon nga 1.
Shembull: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Shndërrimi i pjesës thyesore të sistemit binar në 8 dhe 16
Përkthimi i pjesës thyesore kryhet në të njëjtën mënyrë si për pjesët e plota të numrit, me përjashtimin e vetëm që ndarja në grupe me 3 dhe 4 shifra shkon në të djathtë të pikës dhjetore, shifrat që mungojnë plotësohen. me zero në të djathtë.Shembull: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11.2 8
Shndërrimi i pjesës thyesore të sistemit dhjetor në ndonjë tjetër
Për të përkthyer pjesën thyesore të një numri në sisteme të tjera numrash, duhet ta ktheni pjesën e plotë në zero dhe të filloni të shumëzoni numrin që rezulton me bazën e sistemit në të cilin dëshironi të përktheni. Nëse, si rezultat i shumëzimit, pjesët e plota shfaqen përsëri, ato duhet të kthehen përsëri në zero, pasi të mbani mend (shkruar) vlerën e pjesës së plotë që rezulton. Operacioni përfundon kur pjesa e pjesshme zhduket plotësisht.Për shembull, le të përkthejmë 10.625 10 në sistemi binar:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Duke shkruar të gjitha mbetjet nga lart poshtë, marrim 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
1. Numërimi rendor në sisteme të ndryshme numrash.
V jeta moderne ne përdorim sisteme numrash pozicional, domethënë sisteme në të cilat numri i shënuar me një shifër varet nga pozicioni i shifrës në shënimin e numrit. Prandaj, në të ardhmen do të flasim vetëm për to, duke lënë jashtë termin “pozicional”.
Për të mësuar se si të përktheni numrat nga një sistem në tjetrin, le të kuptojmë se si shkrim sekuencial numrat duke përdorur si shembull sistemin dhjetor.
Meqenëse kemi një sistem numrash dhjetorë, kemi 10 karaktere (shifra) për të ndërtuar numra. Fillojmë numërimin rendor: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numrat kanë mbaruar. Rritim kapacitetin e numrit dhe rivendosim rendin e ulët: 10. Më pas rrisim përsëri renditjen e ulët derisa të mbarojnë të gjitha shifrat: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Rrit rendin e lartë me 1 dhe vendosim rendin e ulët në zero: 20. Kur përdorim të gjitha shifrat për të dy shifrat (marrim numrin 99), përsëri rrisim kapacitetin shifror të numrit dhe rivendosim shifrat ekzistuese: 100. E kështu me radhë.
Le të përpiqemi të bëjmë të njëjtën gjë në sistemet e 2-të, të 3-të dhe të 5-të (le të prezantojmë shënimin për sistemin e 2-të, për të 3-tin, etj.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Nëse sistemi i numrave ka një bazë më të madhe se 10, atëherë do të duhet të futemi karaktere shtesë, është zakon të futen shkronjat e alfabetit latin. Për shembull, për sistemin heksadecimal, përveç dhjetë shifrave, na duhen dy shkronja ( dhe ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Transferimi nga sistemi i numrave dhjetorë në ndonjë tjetër.
Për të kthyer një numër dhjetor të plotë pozitiv në një sistem numrash me një bazë tjetër, duhet ta ndani këtë numër me bazën. Herësi që rezulton ndahet përsëri me bazën dhe më tej derisa herësi të jetë më i vogël se baza. Si rezultat, shkruani herësin e fundit dhe të gjitha mbetjet në një rresht, duke filluar nga ai i fundit.
Shembulli 1 Le ta përkthejmë numrin dhjetor 46 në sistemin e numrave binar.
Shembulli 2 Le ta përkthejmë numrin dhjetor 672 në sistemin e numrave oktal.
Shembulli 3 Shndërroni numrin dhjetor 934 në sistemi heksadecimal duke llogaritur.
3. Përkthim nga çdo sistem numrash në dhjetor.
Për të mësuar se si të përkthen numrat nga çdo sistem tjetër në dhjetor, le të analizojmë shënimin dhjetor të njohur për ne.
Për shembull, numri dhjetor 325 është 5 njësi, 2 dhjetëshe dhe 3 qindra, d.m.th.
Situata është saktësisht e njëjtë në sistemet e tjera të numrave, vetëm ne do të shumëzojmë jo me 10, 100, etj., por me shkallën e bazës së sistemit të numrave. Për shembull, le të marrim numrin 1201 në sistemin e numrave tresh. Ne numërojmë shifrat nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero dhe përfaqësojmë numrin tonë si shumën e prodhimeve të një shifre me një trefish në shkallën e një shifreje:
Ky është shënimi dhjetor i numrit tonë, d.m.th.
Shembulli 4 Konvertoni në sistemin e numrave dhjetorë numër oktal 511.
Shembulli 5 Le ta kthejmë numrin heksadecimal 1151 në sistemin e numrave dhjetorë.
4. Transferimi nga një sistem binar në një sistem me një bazë "fuqia e dy" (4, 8, 16, etj.).
Për të kthyer një numër binar në një numër me bazë "fuqinë e dy", është e nevojshme të ndahet sekuenca binar në grupe sipas numrit të shifrave të barabartë me shkallën nga e djathta në të majtë dhe të zëvendësohet secili grup me shifrën përkatëse të sistemi i ri i numrave.
Për shembull, Le ta kthejmë numrin binar 1100001111010110 në oktal. Për ta bërë këtë, le ta ndajmë atë në grupe me 3 karaktere duke filluar nga e djathta (sepse ), dhe më pas përdorim tabelën e korrespondencës dhe zëvendësojmë secilin grup me një numër të ri:
Mësuam se si të ndërtojmë një tabelë korrespondence në paragrafin 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
ato.
Shembulli 6 Le ta kthejmë numrin binar 1100001111010110 në sistem heksadecimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Transferimi nga një sistem me bazë "fuqia e dy" (4, 8, 16, etj.) në binar.
Ky përkthim është i ngjashëm me atë të mëparshëm të bërë në ana e kundërt: ne zëvendësojmë secilën shifër me një grup shifrash në sistemin binar nga tabela e kërkimit.
Shembulli 7 Le ta përkthejmë numrin heksadecimal C3A6 në sistemin e numrave binar.
Për ta bërë këtë, ne do të zëvendësojmë secilën shifër të numrit me një grup prej 4 shifrash (sepse ) nga tabela e korrespondencës, duke plotësuar grupin me zero në fillim nëse është e nevojshme:
Komenti metodik i mësimit
Qëllimet e mësuesit: T'u tregojë nxënësve metodat e integrimit të njohurive nga burime të ndryshme, të krijojë kushte për punë produktive në grup.
Qëllimet e nxënësve: Të njihen me historinë e shfaqjes së sistemeve të numrave, të mësojnë parimet e ndërtimit të sistemeve të numrave të ndryshëm dhe fushat e përdorimit të tyre, të fitojnë aftësitë e nevojshme. punë ekipore me burime të ndryshme informacioni.
Në një orë mësimi matematike në klasën e 5-të, teksa kryenin një detyrë që lidhej me zbërthimin e numrave shumëshifrorë në shifra, nxënësit kishin pyetje: “Pse numërojmë me dhjetëra? Pse nuk mund të konsiderohet ndryshe? A ka mënyra të tjera për të numëruar? Mësuesit iu kërkua të gjente përgjigje për këto pyetje duke kërkuar, analizuar dhe përmbledhur informacione për këtë temë gjatë javës, duke punuar në grupe të vogla të formuara nga nxënësit e klasës sipas dëshirës. Rezultatet e kësaj pune duhet të zyrtarizohen dhe të paraqiten në mësimin e matematikës brenda një jave. Në fund të orës së mësimit, klasa u nda në grupet e mëposhtme krijuese:
- Sistemet e numrave ( konceptet e përgjithshme) - 5 persona
- Sistemi binar - 7 persona (nga kjo pyetje interesin më të madh)
- Sistemi heksadecimal - 5 persona
- Sistemi dhjetor - 5 persona
- Sisteme të tjera numrash - 3 persona
- Transferimi i tyre nga një sistem në tjetrin - 5 persona.
Si rezultat i veprimtarisë së kërkimit të studentëve, u mor mësimi i mëposhtëm:
"Numrat nuk sundojnë botën, por tregojnë se si sundohet bota"
(Unë-në Goethe)
Grupet e studentëve prezantuan rezultatet e punës kërkimore dhe analitike.
I - Koncepte të përgjithshme
Sistemi i numrave është një grup metodash për përcaktimin e numrave - një gjuhë, alfabeti i së cilës është simbolet (numrat), dhe sintaksa - një rregull që lejon dikë të formulojë një regjistrim të numrave në mënyrë të paqartë.
Një numër është një entitet abstrakt për të përshkruar një sasi
Një shifër është një karakter që përdoret për të shkruar numra. Numrat janë të ndryshëm, më të zakonshëm janë numrat arabë; Numrat romakë më pak të zakonshëm (mund të shihen në faqen e orës ose në emërtimin e shekullit)
Baza është numri i shifrave të përdorura në sistemin e numrave.
Shembuj të numrave në sisteme të ndryshme numrash:
11001 2 – numër binar
221 3 - një numër në sistemin e numrave tresh
31 8 - numër në sistemin e numrave oktal
25 10 - numër në sistemin e numrave dhjetorë
Në librat e vjetër për aritmetikën, përveç 4 veprimeve aritmetike, përmendet edhe i pesti - numërimi. Numërimi (llogaritja) ishte një nga problemet e para që u ndesh në ndërtimin e aritmetikës.
Ka shumë mënyra për të shkruar numra duke përdorur numra. Këto metoda mund të ndahen në tre grupe:
- sistemet e numrave pozicional
- sistemet e numrave të përzier
- sistemet e numrave jopozicionalë
Kartëmonedhat janë një shembull i një sistemi numrash të përzier. Tani në Rusi përdoren monedha dhe kartëmonedha të emërtimeve të mëposhtme: 1 kopek, 5 kopekë, 10 kopekë, 50 kopekë, 1 rubla, 2 rubla, 5 rubla, 10 rubla, 50 rubla, 100 rubla, 500 rubla, 50,00 rubla, 10,00 rubla, 10,00 rubla. rubla. Për të marrë një shumë të caktuar në rubla, duhet të përdorni një sasi të caktuar kartëmonedhash me prerje të ndryshme. Supozoni se blejmë një fshesë me korrent që kushton 6379 rubla. Për të paguar blerjen, do t'ju nevojiten 6 kartëmonedha 1000 rubla, 3 kartëmonedha 100 rubla, 1 faturë pesëdhjetë rubla, dy dhjetëra, një kartëmonedhë me pesë rubla dhe dy monedha 2 rubla. Nëse shkruajmë numrin e kartëmonedhave dhe monedhave, duke filluar nga 100 rubla dhe duke përfunduar me një kopeck, duke zëvendësuar emërtimet që mungojnë me zero, atëherë do të marrim një numër të paraqitur në një sistem numrash të përzier: në rastin tonë, 603121200000.
Në jo sistemet e pozicionit llogaritja, vlera e një numri nuk varet nga pozicioni i shifrave në shënimin e numrit. Nëse ngatërronim numrat në numrin 603121200000, atëherë nuk do të mund të kuptonim se sa kushton fshesa me korrent; në një sistem jo-pozicional, numrat mund të riorganizohen, ndërsa shuma nuk ndryshon. Një shembull i një sistemi jopozicional është sistemi romak. Sisteme të tilla janë ndërtuar mbi parimin e aditivitetit (anglisht add. - sum). Ekuivalenti sasior i një numri përcaktohet si shuma e shifrave. Për shembull:
Në sistemet e numrave pozicional, rendi i shifrave në hyrjen e numrave është gjithmonë i rëndësishëm. (25 dhe 52 janë numra të ndryshëm)
Çdo sistem numrash i destinuar për përdorim praktik duhet të sigurojë:
- aftësia për të paraqitur një numër në një gamë të caktuar numrash
- paqartësia e përfaqësimit
- shkurtësia dhe lehtësia e të shkruarit
- lehtësia e zotërimit të sistemit, si dhe thjeshtësia dhe komoditeti i funksionimit të tij
II - Sistemi binar i numrave
Sistemi i numrave binar është një sistem numrash pozicional me bazën 2. Në këtë sistem numrash numrat natyrorë shkruhen duke përdorur dy simbole: 1 dhe 0. Shifra e sistemit binar është pak. Tetë shifra është një bajt.
Sistemi binar i numrave u shpik nga matematikanët dhe filozofët në shekujt 17-19. Matematikani i shquar Leibniz tha: “Llogaritja me ndihmën e dysheve ... është kryesore për shkencën dhe gjeneron zbulime të reja ... Kur numrat reduktohen në fillimet më të thjeshta, që janë 0 dhe 1, një rend i mrekullueshëm shfaqet kudo. ” Më vonë, sistemi binar u harrua, dhe vetëm në 1936-1938 inxhinieri dhe matematikani amerikan Claude Shannon gjeti një përdorim të jashtëzakonshëm të sistemit binar në hartimin e qarqeve elektronike.
Sistemi binar përdoret në pajisjet dixhitale sepse është më i thjeshti.
Përparësitë e sistemit binar:
- Sa më pak vlera të ketë sistem, aq më e lehtë është të bëhet elemente individuale duke vepruar mbi këto vlera. Dy shifra përfaqësohen lehtësisht dukuritë fizike: ka rrymë - nuk ka rrymë; induksioni fushë magnetike më e madhe se vlera e pragut ose jo, etj.
- Sa më pak gjendje të ketë një element, aq më i lartë është imuniteti ndaj zhurmës dhe aq më shpejt mund të funksionojë.
- Aritmetika binare është mjaft e thjeshtë.
- Është e mundur të përdoret aparati i logjikës për të kryer operacione bitwise
Për të kthyer nga binar në dhjetor, përdoret një tabelë e fuqive 2.
III - Sistemi i numrave heksadecimal
V kohë moderne Sistemi i numrave sexagesimal përdoret për të matur kohën, këndet.
Në paraqitjen e kohës përdoren tre pozicione: orë, minuta, sekonda, pasi për çdo pozicion duhet të përdorim 60 shifra, dhe kemi vetëm 10, pastaj përdoren dy shifra dhjetore (00, 01, ...) për secilën. pozicioni seksimal, pozicionet janë të ndara me një zorrë të trashë. h:m:s.
Merrni parasysh veprimet në sistemin e numrave seksagesimal në dy detyra:
- Torta duhet të piqet në furrë për 45 minuta. Sa sekonda do të duhen?
- Duhet të piqni 10 byrekë. Sa kohë do të duhet?
Për të kryer llogaritjet në sistemin e numrave seksagesimal, duhet të dini tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave seksagesimal. Secila tabelë është shumë e madhe, ka përmasa 60 * 60, mezi kujtuam tabelën e zakonshme të shumëzimit dhe do të jetë shumë më e vështirë për ne të mësojmë tabelën seksi. Si të jesh? Ju mund t'i zgjidhni këto probleme në sistemin e numrave dhjetorë, dhe më pas ta përktheni rezultatin në seksimal.
45 minuta=0*3600+45*60+0= 2700 sekonda
Për të pjekur 10 byrekë do të nevojiten 2700*10=27000 sekonda.
27000/60=450 (mbetja 0)
450/60=7 (e mbetura 30)
7/60=0 (e mbetura 7) Doli 07:30:00
IV - Sistemi i numrave dhjetorë
Përfaqësimi i numrave duke përdorur numra arabë është sistemi më i zakonshëm i numrave pozicional, ai quhet "sistemi i numrave dhjetorë". Quhet dhjetore sepse përdor dhjetë shifra: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Sistemi i numrave dhjetorë është më i madhi arritje e famshme Matematika indiane (595). Sistemi bazë 10 depërtoi në rrugët e karvanëve nga India në shumë zona të Lindjes së Mesme. Gradualisht, ky sistem filloi të përdoret gjithnjë e më gjerësisht në botën arabe, megjithëse sisteme të tjera mbetën në përdorim në të njëjtën kohë. "Libri i Abacus" nga Leonardo i Pizës (1202) ishte një nga burimet për depërtimin e sistemit të numërimit indo-arab në Evropën Perëndimore. Ky libër ishte një vepër madhështore për ato kohë, në formë të shtypur, përbëhej nga 460 faqe. Autori i saj njihet edhe me emrin Fibonacci. Libri i tij përfaqësonte enciklopedinë matematikore të kohës së saj. Sistemi dhjetor u përhap dhe u njoh në Evropë vetëm gjatë Rilindjes.
V - Sisteme të tjera numrash
Sistemi heksadecimal i numrave - karakteret e mëposhtme përdoren për të shkruar numrat: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Sistemi i numrave binar-dhjetor. Në një sistem të tillë, çdo shifër dhjetore është e koduar kombinim i caktuar shifra binare. Emërtimi i secilës shifër dhjetore quhet tetradë. Shembull:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrada)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Sistemi i numrave pesëfish - Matematikanët e parë mund të numëronin vetëm në gishtat e njërës dorë, dhe nëse do të kishte më shumë objekte, ata do të thoshin këtë: "pesë + një", etj. Ndonjëherë numri 20 u mor si bazë - numri i gishtërinjve dhe këmbëve. Nga 307 sistemet e numrave të popujve primitivë amerikanë, 146 ishin dhjetorë, 106 ishin quinary dhe dhjetore. Në një formë më karakteristike, sistemi bazë 20 ekzistonte midis Majave në Meksikë dhe midis Keltëve në Evropë.
VI - Transferimi nga një sistem në tjetrin
A kanë lidhje sistemet e numrave? A është e mundur të përkthehet një numër nga një sistem në tjetrin? Ekzistojnë dy rregulla kryesore për transferimin nga një sistem në tjetrin:
Përkthimi nga çdo sistem tjetër në sistemin dhjetor kryhet sipas formulave:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Shndërrimi i një numri nga një sistem dhjetor në një sistem me çdo bazë kryhet sipas algoritmit:
25 10 konvertohet në numër binar
25/2=12 (e mbetura 1)
12/2=6 (e mbetura 0)
6/2=3 (e mbetura 0)
3/2=1 (e mbetura 1)
1/2=0 (mbetja 1) Mori numrin 11001 2
25 10 konvertohet në numër tresh
25/3=8 (e mbetura 1)
8/3=2 (e mbetura 2)
2/3=0 (e mbetura 2) Marrë 221 3
25 10 konvertohet në numër oktal
25/8=3 (e mbetura 1)
3/8=0 (e mbetura 3) Mora 31 8
Pas prezantimit të rezultateve të punës së grupeve krijuese, të gjitha sistemet e numrave u vlerësuan sipas kritereve të treguara në fillim dhe të gjithë arritën në përfundimin se si rezultat i zhvillimit historik të matematikës, sistemi më i përshtatshëm (dhjetor) u bë më i zakonshmi. Në të njëjtën kohë, kishte mbështetës të zjarrtë të sistemit binar, të cilët besonin se ai ishte shumë i rëndësishëm për elektronikën.
Mësimi u mbyll me një sinkron.
Sistemi i numrave është i përshtatshëm, i shpejtë, ndihmon, numëron, regjistron
“Numërimi dhe llogaritjet janë baza e rendit në kokë” (I. Pestalozzi)
Burimet e informacionit
- D.Ya. Stroik "Një ese e shkurtër mbi historinë e matematikës" ("Nauka", Moskë, 1990).
- N.Ya. Vilenkin, L.P. Shibasov, Z.F. Shibasov "Pas faqeve të një teksti të matematikës" ("Prosveshchenie", Moskë, 2008).
- A.V. Dorofeev "Faqet e historisë në mësimet e matematikës" ("Iluminizmi", Moskë, 2007).
- Burimet e internetit "Wikipedia".
Llogaritësi ju lejon të konvertoni numrat e plotë dhe të pjesshëm nga një sistem numrash në tjetrin. Baza e sistemit të numrave nuk mund të jetë më e vogël se 2 dhe më e madhe se 36 (10 shifra dhe 26 shkronja latine megjithatë). Numrat nuk duhet të kalojnë 30 karaktere. Për të dhëna numrat thyesorë përdorni simbolin. ose,. Për të kthyer një numër nga një sistem në tjetrin, vendosni numrin origjinal në fushën e parë, bazë sistemi origjinal numrin në të dytën dhe bazën e sistemit të numrave në të cilin dëshironi të konvertoni numrin, në fushën e tretë, pastaj klikoni butonin "Merr regjistrimin".
numri origjinal regjistruar në 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 - sistemi i numrave.
Unë dua të marr një rekord të një numri në 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - sistemi i numrave.
Merrni një hyrje
Përkthime të mbaruara: 1419274
Sistemet e numrave
Sistemet e numrave ndahen në dy lloje: pozicionale dhe jo pozicionale. Ne përdorim sistemin arab, ai është pozicional, dhe ekziston edhe ai romak - thjesht nuk është pozicional. Në sistemet pozicionale, pozicioni i një shifre në një numër përcakton në mënyrë unike vlerën e atij numri. Kjo është e lehtë për t'u kuptuar duke parë shembullin e disa numrave.
Shembulli 1. Le të marrim numrin 5921 në sistemin e numrave dhjetorë. Ne numërojmë numrin nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero:
Numri 5921 mund të shkruhet në këtë formë: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Numri 10 është një karakteristikë që përcakton sistemin e numrave. Vlerat e pozicionit të numrit të dhënë merren si gradë.
Shembulli 2. Konsideroni numrin dhjetor real 1234.567. E numërojmë duke filluar nga pozicioni zero i numrit nga pika dhjetore majtas dhe djathtas:
Numri 1234.567 mund të shkruhet si më poshtë: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 26 +7 10 -3 .
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin
Shumica në një mënyrë të thjeshtë transferimi i një numri nga një sistem numrash në tjetrin është përkthimi i numrit fillimisht në sistemin e numrave dhjetorë, dhe më pas, rezultati i marrë në sistemin e numrave të kërkuar.
Shndërrimi i numrave nga çdo sistem numrash në sistem numrash dhjetorë
Për të kthyer një numër nga çdo sistem numrash në dhjetor, mjafton të numërohen shifrat e tij, duke filluar nga zero (shifra në të majtë të pikës dhjetore) në mënyrë të ngjashme me shembujt 1 ose 2. Le të gjejmë shumën e prodhimeve të shifrave të numrit sipas bazës së sistemit të numrave në fuqinë e pozicionit të kësaj shifre:
1.
Shndërroni numrin 1001101.1101 2 në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhja: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0.5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Përgjigje: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Shndërroni numrin E8F.2D 16 në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhja: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Përgjigje: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash dhjetorë në një sistem tjetër numrash
Për të kthyer numrat nga një sistem numrash dhjetorë në një sistem tjetër numrash, pjesët e plota dhe thyesore të numrit duhet të përkthehen veçmas.
Shndërrimi i pjesës së plotë të një numri nga një sistem numrash dhjetor në një sistem tjetër numrash
Pjesa e plotë shndërrohet nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numrash duke e pjesëtuar në mënyrë të njëpasnjëshme pjesën e plotë të numrit me bazën e sistemit të numrave derisa të fitohet një mbetje numër i plotë, i cili është më i vogël se baza e sistemit të numrave. Rezultati i transferimit do të jetë një rekord nga mbetjet, duke filluar nga ai i fundit.
3.
Konvertoni numrin 273 10 në sistemin e numrave oktal.
Zgjidhja: 273 / 8 = 34 dhe mbetja 1, 34 / 8 = 4 dhe mbetja 2, 4 është më e vogël se 8, kështu që llogaritja është e plotë. Regjistrimi nga mbetjet do të duket kështu: 421
Ekzaminimi: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultati është i njëjtë. Pra, përkthimi është i saktë.
Përgjigje: 273 10 = 421 8
Konsideroni konvertimin e numrave dhjetorë të duhur në sisteme të ndryshme duke llogaritur.
Shndërrimi i pjesës thyesore të një numri nga një sistem numrash dhjetor në një sistem tjetër numrash
Kujtoni se një thyesë dhjetore e duhur është numër real me zero pjesë e tërë . Për të përkthyer një numër të tillë në një sistem numrash me bazën N, duhet të shumëzoni vazhdimisht numrin me N derisa pjesa e pjesshme të zerohet ose të merret numri i kërkuar i shifrave. Nëse gjatë shumëzimit fitohet një numër me një pjesë të plotë të ndryshme nga zero, atëherë pjesa e plotë nuk merret parasysh më tej, pasi ajo futet në mënyrë sekuenciale në rezultat.
4.
Konvertoni numrin 0,125 10 në sistemin binar të numrave.
Zgjidhja: 0,125 2 = 0,25 (0 është pjesa e plotë, e cila do të jetë shifra e parë e rezultatit), 0,25 2 = 0,5 (0 është shifra e dytë e rezultatit), 0,5 2 = 1,0 (1 është shifra e tretë e rezultatit , dhe meqenëse pjesa thyesore është zero, përkthimi është i plotë).
Përgjigje: 0.125 10 = 0.001 2
