Le të shohim një nga temat më të rëndësishme në shkencën kompjuterike -. Në kurrikulën shkollore, ajo zbulohet mjaft "modeste", me shumë mundësi për shkak të mungesës së orëve të caktuara për të. Njohuri mbi këtë temë, veçanërisht në përkthimi i sistemeve të numrave, janë parakusht për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe pranimin në universitete në fakultetet përkatëse. Më poshtë diskutohen në detaje koncepte të tilla si sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional, jepen shembuj të këtyre sistemeve të numrave, rregullat për konvertimin e numrave dhjetorë të plotë, thyesat dhjetore të rregullta dhe numrat dhjetorë të përzier në çdo sistem tjetër numrash, konvertimi i numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor, konvertimi nga sistemet e numrave oktal dhe heksadecimal në një numër binar. janë paraqitur sistemi. Në provime, ka një numër të madh problemesh në këtë temë. Aftësia për t'i zgjidhur ato është një nga kërkesat për aplikantët. Së shpejti: Për secilën temë të seksionit, përveç materialit të detajuar teorik, do të prezantohen pothuajse të gjitha opsionet e mundshme detyrat për vetë-studim. Përveç kësaj, do të keni mundësinë të shkarkoni falas zgjidhje të detajuara plotësisht të gatshme për këto probleme nga shërbimi i mbajtjes së skedarëve, duke ilustruar mënyra të ndryshme për të marrë përgjigjen e duhur.
sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave jopozicionalë- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre nuk varet nga vendndodhja e saj në numër.
Sistemet e numrave jo-pozicionalë përfshijnë, për shembull, romake, ku në vend të numrave ka shkronja latine.
| Unë | 1 (një) |
| V | 5 (pesë) |
| X | 10 (dhjetë) |
| L | 50 (pesëdhjetë) |
| C | 100 (njëqind) |
| D | 500 (pesëqind) |
| M | 1000 (mijë) |
Këtu shkronja V qëndron për 5, pavarësisht nga vendndodhja e saj. Megjithatë, vlen të përmendet se megjithëse sistemi romak i numrave është një shembull klasik i një sistemi numrash jopozicional, ai nuk është plotësisht jopozicional, sepse numri më i vogël para atij më të madh të zbritet prej tij:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
Sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave pozicional- sistemet e numrave, në të cilat vlera sasiore e një shifre varet nga vendndodhja e saj në numër.
Për shembull, nëse flasim për sistemin dhjetor, atëherë në numrin 700 numri 7 do të thotë "shtatëqind", por i njëjti numër në numrin 71 do të thotë "shtatë dhjetëra", dhe në numrin 7020 - "shtatë mijë".
Secili sistemi i numrave pozicional ka të sajën bazë... Si bazë zgjidhet një numër natyror më i madh ose i barabartë me dy. Është e barabartë me numrin e shifrave të përdorura në këtë sistem numrash.
- Për shembull:
- Binar- sistemi i numrave pozicional me bazën 2.
- Kuaternare- sistemi i numrave pozicional me bazën 4.
- Pesëfish- sistemi i numrave pozicional me bazën 5.
- oktal- sistemi i numrave pozicional me bazën 8.
- Heksadecimal- sistemi i numrave pozicional me bazën 16.
Për të zgjidhur me sukses problemet në temën "Sistemet e numrave", studenti duhet të dijë përmendësh korrespondencën e numrave binar, dhjetorë, oktalë dhe heksadecimal deri në 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Është e dobishme të dihet se si fitohen numrat në këto sisteme numrash. Ju mund të merrni me mend se në oktal, heksadecimal, tresh dhe të tjerë sistemet e numrave pozicional gjithçka ndodh në mënyrë të ngjashme me sistemin dhjetor me të cilin jemi mësuar:
Një i shtohet numrit dhe fitohet një numër i ri. Nëse vendi i njësheve bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, ne e rrisim numrin e dhjetësheve me 1, etj.
Ky "një tranzicion" është ajo që tremb shumicën e studentëve. Në fakt, gjithçka është mjaft e thjeshtë. Kalimi ndodh nëse biti i njëseve bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, e rrisim numrin e dhjetësheve me 1. Shumë, duke kujtuar sistemin e mirë të vjetër dhjetor, ngatërrohen në çast në shifra dhe në këtë tranzicion, sepse dhjetëshja dhjetore dhe, për shembull, dhjetëshja binare janë gjëra të ndryshme.
Prandaj, studentët e shkathët kanë "teknikat e tyre" (çuditërisht ... punojnë) kur plotësojnë, për shembull, tabela të së vërtetës, kolonat e para (vlerat e ndryshoreve) të të cilave, në fakt, janë të mbushura me numra binarë në rend rritës. .
Për shembull, le të shohim marrjen e numrave sistemi oktal: Numrit të parë (0) i shtojmë 1, marrim 1. Më pas i shtojmë 1 në 1, marrim 2 etj. në 7. Nëse i shtojmë një 7-ës, fitojmë një numër të barabartë me bazën e sistemit të numrave, dmth. 8. Pastaj ju duhet të rrisni vendin e dhjetëra me një (marrim një dhjetë oktal - 10). Më tej, padyshim, ka numrat 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Rregulli i përkthimit nga një sistem numrash në tjetrin.
1 Shndërrimi i numrave të plotë dhjetorë në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të ndahet me radix i ri... Pjesa e parë e mbetur e pjesëtimit është shifra e parë më pak e rëndësishme e numrit të ri. Nëse herësi i pjesëtimit është më i vogël ose i barabartë me bazën e re, atëherë ai (herësi) duhet të ndahet përsëri në një bazë të re. Ndarja duhet vazhduar derisa të marrim herësin më të vogël se baza e re. Kjo është shifra më domethënëse e numrit të ri (duhet të mbani mend se, për shembull, në sistemin heksadecimal ka shkronja pas 9, d.m.th. nëse merrni 11 në pjesën e mbetur, duhet ta shkruani si B).
Shembull ("ndarja me një qoshe"): Le ta përkthejmë numrin 173 10 në sistemin e numrave oktal.
Pra, 173 10 = 255 8
2 Shndërrimi i thyesave dhjetore të sakta në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të shumëzohet me bazën e re të sistemit të numrave. Shifra që ka kaluar në të gjithë pjesën është shifra më domethënëse e pjesës thyesore të numrit të ri. për të marrë shifrën tjetër, pjesa thyesore e produktit që rezulton duhet përsëri të shumëzohet me bazën e re të sistemit të numrave derisa të ndodhë kalimi në të gjithë pjesën. Vazhdojmë shumëzimin derisa pjesa thyesore të bëhet e barabartë me zero, ose derisa të arrijmë saktësinë e përcaktuar në problem ("...llogarit me saktësi, për shembull, dy shifra dhjetore").
Shembull: Le ta përkthejmë numrin 0,65625 10 në sistemin e numrave oktal.
Komenti metodik i mësimit
Qëllimet e mësuesit: T'u tregojë nxënësve metodat e integrimit të njohurive nga burime të ndryshme, të krijojë kushte për punë produktive në grup.
Objektivat e nxënësve: Të njihen me historinë e shfaqjes së sistemeve të numrave, të mësojnë parimet e ndërtimit të sistemeve të ndryshme të numrave dhe fushat e përdorimit të tyre, të marrin aftësitë e nevojshme të punës në grup me burime të ndryshme informacioni.
Në një orë mësimi të matematikës në klasën e V-të, teksa kryenin një detyrë që lidhej me zbërthimin e numrave shumëshifrorë, nxënësit kishin pyetje: “Pse numërojmë me dhjetëra? Pse nuk mund ta numëroni ndryshe? A ka mënyra të tjera numërimi?”. Mësuesit iu kërkua të gjente përgjigje për këto pyetje duke kërkuar, analizuar dhe përmbledhur informacione për këtë temë gjatë javës, duke punuar në grupe të vogla të formuara nga nxënësit e klasës sipas dëshirës. Rezultatet e kësaj pune duhet të zyrtarizohen dhe të paraqiten në një mësim matematike brenda një jave. Në fund të orës së mësimit, klasa u nda në grupet e mëposhtme krijuese:
- Sistemet e numrave (konceptet e përgjithshme) - 5 persona
- Sistemi binar - 7 persona (kjo pyetje zgjoi më shumë interes)
- Sistemi heksagezimal - 5 persona
- Sistemi dhjetor - 5 persona
- Sisteme të tjera numrash - 3 persona
- Transferimi i tyre nga një sistem në tjetrin - 5 persona.
Si rezultat i aktiviteteve të kërkimit të studentëve, u mor mësimi i mëposhtëm:
"Numrat nuk sundojnë botën, por tregojnë se si drejtohet bota"
(Dhe-në Goethe)
Grupet e studentëve prezantuan rezultatet e punës kërkimore dhe analitike.
I - Koncepte të përgjithshme
Një sistem numerik është një grup teknikash për përcaktimin e numrave - një gjuhë alfabeti i së cilës është simbole (numra), dhe sintaksa është një rregull që ju lejon të formuloni një numër në mënyrë të paqartë.
Numri është një entitet abstrakt për të përshkruar sasinë
Një shifër është një shenjë që përdoret për të shkruar numrat. Numrat janë të ndryshëm, më të zakonshëm janë numrat arabë; Numrat romakë më pak të zakonshëm (mund të shihen në numrin e një ore ose në përcaktimin e shekullit)
Baza është numri i shifrave të përdorura në sistemin numerik.
Shembuj të numrave në sisteme të ndryshme numrash:
11001 2 - një numër në shënimin binar
221 3 - numër në sistemin numerik tresh
31 8 - numër në shënimin oktal
25 10 - numër në shënimin dhjetor
Në librat e vjetër për aritmetikën, përveç 4 veprimeve aritmetike, përmendet edhe i pesti - numërimi. Numërimi (llogaritja e vdekur) ishte një nga problemet e para që u ndesh në ndërtimin e aritmetikës.
Ka shumë mënyra për të shkruar numra duke përdorur numra. Këto metoda mund të ndahen në tre grupe:
- sistemet e numrave pozicional
- sistemet e numrave të përzier
- sistemet e numrave jopozicionalë
Kartëmonedhat janë një shembull i një sistemi numerik të përzier. Tani në Rusi përdoren monedha dhe kartëmonedha të emërtimeve të mëposhtme: 1kop., 5kop., 10kop., 50kop., 1RUB., 2RUB., 5RUB., 10RUB., 50RUB., 100RUB., 500RUB., 1000RUB. 5000 RUB. Për të marrë një shumë të caktuar në rubla, duhet të përdorni një sasi të caktuar kartëmonedhash me prerje të ndryshme. Supozoni se blejmë një fshesë me korrent që kushton 6379 rubla. Për të paguar blerjen, do t'ju nevojiten 6 kartëmonedha 1000 rubla, 3 kartëmonedha 100 rubla, 1 faturë pesëdhjetë rubla, dy dhjetëra, një pesë rubla dhe dy monedha nga 2 rubla. Nëse shkruajmë numrin e kartëmonedhave dhe monedhave, duke filluar me 100 rubla dhe duke përfunduar me një kopeck, duke zëvendësuar emërtimet që mungojnë me zero, atëherë do të marrim një numër të përfaqësuar në sistemin numerik të përzier: në rastin tonë - 603121200000.
Në sistemet e numrave jopozicionalë, vlera e një numri nuk varet nga pozicioni i shifrave në regjistrimin e numrave. Nëse do të përzienim numrat në numrin 603121200000, atëherë nuk do të mund të kuptonim se sa kushton një fshesë me korrent; në një sistem jo-pozicional, numrat mund të riorganizohen pa ndryshuar shumën. Një shembull i një sistemi jopozicional është sistemi romak. Sisteme të tilla janë ndërtuar mbi parimin e aditivitetit (anglisht add. - sum). Ekuivalenti sasior i një numri përcaktohet si shuma e shifrave. Për shembull:
Në sistemet e numrave pozicional, rendi i shifrave në regjistrimin e numrave është gjithmonë i rëndësishëm. (25 dhe 52 janë numra të ndryshëm)
Çdo sistem numrash i destinuar për përdorim praktik duhet të sigurojë:
- aftësia për të paraqitur një numër në një gamë të caktuar numrash
- paraqitje e paqartë
- shkurtësia dhe thjeshtësia e regjistrimit
- lehtësia e zotërimit të sistemit, si dhe thjeshtësia dhe komoditeti i funksionimit të tij
II - Sistemi binar i numrave
Sistemi i numrave binar është një sistem numrash pozicional me bazën 2. Në këtë sistem numrash numrat natyrorë shkruhen duke përdorur dy karaktere: 1 dhe 0. Numri në sistemin binar është pak. Tetë shifra janë një bajt.
Sistemi binar i numrave u shpik nga matematikanët dhe filozofët në shekujt 17-19. Matematikani i shquar Leibniz tha: "Llogaritja me ndihmën e dysheve ... është bazë për shkencën dhe krijon zbulime të reja ... Kur numrat reduktohen në parimet më të thjeshta, që janë 0 dhe 1, një rend i mrekullueshëm shfaqet kudo" . Më vonë, sistemi binar u harrua dhe vetëm në 1936-1938 inxhinieri dhe matematikani amerikan Claude Shannon gjeti një aplikim të mrekullueshëm të sistemit binar në hartimin e qarqeve elektronike.
Sistemi binar përdoret në pajisjet dixhitale sepse është më i thjeshti.
Përfitimet e sistemit binar:
- Sa më pak vlera të ekzistojnë në sistem, aq më e lehtë është të prodhohen elementë individualë që veprojnë me këto vlera. Dy numra përfaqësohen lehtësisht nga dukuritë fizike: ka një rrymë - nuk ka rrymë; induksioni i fushës magnetike është më i madh se vlera e pragut apo jo, etj.
- Sa më pak të jetë numri i gjendjeve të një elementi, aq më i lartë është imuniteti ndaj zhurmës dhe aq më shpejt mund të funksionojë.
- Aritmetika binare është mjaft e drejtpërdrejtë.
- Është e mundur të përdoret aparati i logjikës për të kryer operacione bitwise
Për të kthyer nga binar në dhjetor, përdorni tabelën e fuqisë 2.
III - Sistemi i numrave heksagezimal
Në kohët moderne, sistemi i numrave seksimal përdoret për të matur kohën, këndet.
Në paraqitjen e kohës përdoren tre pozicione: orë, minuta, sekonda, pasi për çdo pozicion duhet të përdorni 60 shifra, kurse ne kemi vetëm 10, pastaj për çdo pozicion seksagesimal përdoren dy shifra dhjetore (00, 01, . ..), pozicionet ndahen me dy pika. h: m: s.
Konsideroni veprimet në sistemin e numrave seksagesimal në dy probleme:
- Byreku duhet të piqet në furrë për 45 minuta. Sa sekonda do të duhen?
- Duhet të piqni 10 byrekë. Sa do të zgjas?
Për të bërë llogaritjet në sistemin e numrave seksagesimal, duhet të dini tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave seksagesimal. Çdo tabelë është shumë e madhe, ka përmasa 60 * 60, mezi kujtuam tabelën e zakonshme të shumëzimit dhe do të jetë edhe më e vështirë për ne të mësojmë tabelën e viteve gjashtëdhjetë. Si të jesh? Ju mund t'i zgjidhni këto probleme në shënimin dhjetor, dhe më pas ta përktheni rezultatin në gjashtëdhjetë e vogël.
45 minuta = 0 * 3600 + 45 * 60 + 0 = 2700 sekonda
2700 * 10 = 27000 sekonda do të duhen për të pjekur 10 byrek.
27000/60 = 450 (e mbetura 0)
450/60 = 7 (e mbetura 30)
7/60 = 0 (e mbetura 7) Doli 07:30:00
IV - Sistemi i numrave dhjetorë
Paraqitja e numrave duke përdorur numra arabë është sistemi më i zakonshëm i numrave pozicional, ai quhet "sistemi i numrave dhjetorë". Quhet dhjetore sepse përdor dhjetë shifra: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Sistemi i numrave dhjetorë është arritja më e famshme e matematikës indiane (595). Sistemi bazë 10 depërtoi në rrugët e karvanëve nga India në shumë zona të Lindjes së Mesme. Gradualisht, ky sistem u përdor gjithnjë e më shumë në botën arabe, megjithëse sisteme të tjera mbetën në përdorim në të njëjtën kohë. "Libri i Abacus" nga Leonardo i Pizës (1202) ishte një nga burimet për depërtimin e sistemit të numërimit indo-arab në Evropën Perëndimore. Ky libër ishte një vepër kolosale në atë kohë, në formë të shtypur përbëhej nga 460 faqe. Autori i saj njihet edhe me emrin Fibonacci. Libri i tij përfaqësonte enciklopedinë matematikore të kohës së saj. Sistemi dhjetor u përhap dhe u njoh në Evropë vetëm gjatë Rilindjes.
V - Sisteme të tjera numrash
Sistemi i numrave heksadecimal - për të shkruar numrat përdoren shenjat e mëposhtme: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Sistemi i numrave binar-dhjetor. Në një sistem të tillë, çdo shifër dhjetore është e koduar me një kombinim specifik të shifrave në sistemin binar. Emërtimi i secilës shifër dhjetore quhet fletore. Shembull:
125 10 = 000100100101 2-10 (3 tetrada)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Sistemi i numrave pesëfish - Matematikanët e parë ishin në gjendje të numëronin vetëm në gishtat e njërës dorë, dhe nëse kishte më shumë objekte, ata thoshin: "pesë + një", etj. Ndonjëherë numri 20 u mor si bazë - numri i gishtërinjve dhe këmbëve. Nga 307 sistemet numerike të popujve primitivë amerikanë, 146 ishin dhjetorë, 106 ishin pesëfishtë dhe dhjetorë. Në një formë më karakteristike, sistemi bazë 20 ekzistonte midis Majave në Meksikë dhe Keltëve në Evropë.
VI - Transferimi nga një sistem në tjetrin
A kanë lidhje sistemet e numrave? A është e mundur të transferohet një numër nga një sistem në tjetrin? Ekzistojnë dy rregulla themelore për transferimin nga një sistem në tjetrin:
Shndërrimi nga çdo sistem tjetër në dhjetor kryhet sipas formulave:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Shndërrimi i një numri nga sistemi dhjetor në një sistem me çdo bazë kryhet sipas algoritmit:
Konvertoni 25 10 në Binar
25/2 = 12 (e mbetura 1)
12/2 = 6 (e mbetura 0)
6/2 = 3 (e mbetura 0)
3/2 = 1 (e mbetura 1)
1/2 = 0 (mbetja 1) Mori numrin 11001 2
25 10 konvertohet në numër tresh
25/3 = 8 (e mbetura 1)
8/3 = 2 (e mbetura 2)
2/3 = 0 (e mbetura 2) Marra 221 3
Shndërroni 25 10 në numër oktal
25/8 = 3 (e mbetura 1)
3/8 = 0 (e mbetura 3) Mora 31 8
Pas prezantimit të rezultateve të punës së grupeve krijuese, të gjitha sistemet e numrave u vlerësuan sipas kritereve të treguara në fillim dhe të gjithë arritën në përfundimin se si rezultat i zhvillimit historik të matematikës, sistemi më i përshtatshëm (dhjetor) ka. bëhen më të përhapurit. Në të njëjtën kohë, kishte mbështetës të zjarrtë të sistemit binar, të cilët besonin se ai ishte shumë i rëndësishëm për elektronikën.
Mësimi përfundoi ishte sinkron.
Sistemi i numrave - i përshtatshëm, i shpejtë, ndihmon, numëron, shkruan
"Numërimi dhe llogaritja është baza e rendit në kokë" (I. Pestalozzi)
Burimet e informacionit
- D.Ya. Stroyk "Një skicë e shkurtër e historisë së matematikës" ("Shkenca", Moskë, 1990).
- N. Ya. Vilenkin, L.P. Shibasov, Z.F. Shibasov "Pas faqeve të një teksti të matematikës" ("Iluminizmi", Moskë, 2008).
- A.V. Dorofeeva "Faqet e historisë në mësimet e matematikës" ("Iluminizmi", Moskë, 2007).
- Burimet e internetit "Wikipedia".
Sistemi i numrave quhet një grup teknikash për emërtimin dhe shkrimin e numrave. Në çdo sistem numrash, disa simbole zgjidhen për të përfaqësuar numrat (ato quhen shifrat), dhe pjesa tjetër e numrave fitohen si rezultat i çdo operacioni në shifrat e sistemit të numrave të dhënë.
Sistemi quhet pozicionale, nëse vlera e secilës shifër (pesha e saj) ndryshon në varësi të pozicionit (pozicionit) të saj në sekuencën e shifrave që përfaqësojnë numrin.
Numri i njësive të çdo kategorie, i kombinuar në një njësi të kategorisë më të vjetër, quhet sistemi i numrave pozicional bazë... Nëse numri i shifrave të tilla është P, atëherë thirret sistemi i numrave P-içi. Baza e sistemit të numrave është e njëjtë me numrin e shifrave të përdorura për të shkruar numrat në këtë sistem numrash.
Shkrimi i një numri arbitrar x v P-sistemi i numrave pozicional ari bazohet në paraqitjen e këtij numri në formën e një polinomi
x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m
Veprimet aritmetike mbi numrat në çdo sistem numrash pozicional kryhen sipas të njëjtave rregulla si në sistemin dhjetor, pasi të gjitha bazohen në rregullat për kryerjen e veprimeve në polinomet përkatëse. Në këtë rast, ju duhet vetëm të përdorni ato tabela të mbledhjes dhe shumëzimit që korrespondojnë me këtë bazë P sistemi i numrave.
Gjatë shndërrimit të numrave nga dhjetore në rrënjë P> 1 zakonisht përdorin algoritmin e mëposhtëm:
1) nëse pjesa e plotë e numrit përkthehet, atëherë pjesëtohet me P, pas së cilës mbahet mend pjesa e mbetur e ndarjes. Koeficienti që rezulton ndahet përsëri në P, pjesa e mbetur mbahet mend. Procedura vazhdon derisa herësi të bëhet i barabartë me zero. Mbetet nga ndarja me P shkarkohet në rendin e kundërt të marrjes;
2) nëse pjesa thyesore e numrit përkthehet, atëherë shumëzohet me P, pas së cilës e gjithë pjesa mbahet mend dhe hidhet. Pjesa thyesore e sapo fituar shumëzohet me P etj. Procedura vazhdon derisa pjesa thyesore të jetë e barabartë me zero. Pjesët e plota shkruhen pas presjes dhjetore sipas radhës në të cilën janë marrë. Rezultati mund të jetë ose një pjesë e fundme ose periodike në shënimin bazë P... Prandaj, kur thyesa është periodike, është e nevojshme të ndërpritet shumëzimi në një hap dhe të kënaqemi me një regjistrim të përafërt të numrit origjinal në sistemin me bazën. P .
Kodimi i numrave
Për të përdorur numrat, duhet t'i emërtoni dhe shkruani disi, keni nevojë për një sistem numërimi. Sisteme të ndryshme për numërimin dhe shkrimin e numrave bashkëjetuan për mijëvjeçarë dhe konkurruan me njëri-tjetrin, por nga fundi i "epokës para kompjuterit" numri "dhjetë" filloi të luante një rol të veçantë në numërim, dhe sistemi më i popullarizuar i kodimit doli. te behesh sistemi dhjetor pozicional. Në këtë sistem, kuptimi i një shifre në një numër varet nga vendi (pozicioni) i saj brenda numrit. Sistemi i numrave dhjetorë erdhi nga India (jo më vonë se shekulli i 6-të pas Krishtit). Alfabeti i këtij sistemi: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - vetëm 10 shifra, pra baza e sistemit të numrave është 10. Numri shkruhet si kombinim i njësi, dhjetëshe, qindëshe, mijëra, etj. Shembull: 1998 = 8 * 10 0 + 9 * 10 1 + 9 * 10 2 + 1 * 10 3.
Në këtë sistem ka 10 shifra: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, por informacioni bartet jo vetëm nga shifra, por edhe nga vendi ku qëndron shifra (që është, pozicioni i saj). Shifra më e djathtë e numrit tregon numrin e njësheve, e dyta nga e djathta - numrin e dhjetësheve, tjetra - numrin e qindrave, etj.
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Vini re se zgjedhja e numrit 10 si bazë e sistemit të numrave shpjegohet nga tradita, dhe jo nga disa veti të jashtëzakonshme të numrit 10. Në përgjithësi, përfaqësimi i numrit N në sistemin e numrave p-ary, ajo:
N = a n * p n + a n-l * p n-l + ... + a l * p l + a o, ku a ¹ 0, a i Î {0, 1, 2, ..., a i }.
Në Babiloni, për shembull, u përdor sistemi i numrave 60-ar, alfabeti përmbante numra nga 1 në 59, nuk kishte numër 0, tabelat e shumëzimit ishin shumë të rënda, kështu që shumë shpejt u harrua, por jehonë e përhapjes së tij të mëparshme. mund të vërehet edhe tani - ndarja e orës 60 minuta, duke e ndarë rrethin me 360 gradë.
Sistemi binar i numrave
Sistemi binar i numrave u shpik nga matematikanët dhe filozofët edhe para ardhjes së kompjuterëve (shekujt XVII - XIX). Matematikani i shquar Leibniz tha: "Llogaritja me ndihmën e dysheve ... është themelore për shkencën dhe krijon zbulime të reja ... Kur numrat reduktohen në parimet më të thjeshta, që janë 0 dhe 1, një rend i mrekullueshëm shfaqet kudo. " Më vonë, sistemi binar u harrua, dhe vetëm në 1936 - 1938, inxhinieri dhe matematikani amerikan Claude Shannon gjeti aplikime të jashtëzakonshme të sistemit binar në hartimin e qarqeve elektronike. Konsideroni një shembull të paraqitjes së një numri në sistemin e numrave binar:
Shembulli 2.1.1. Le ta kthejmë numrin 2000 në sistemin binar.
1. Ndani 2000 me bazën e sistemit të ri të numrave - 2:
2000: 2 = 1000 (0 - mbetje),
2. Mblidhni herësin e fundit të pjesëtimit (gjithmonë i barabartë me 1) dhe mbetjet nga pjesëtimi dhe shkruajini ato me radhë, duke filluar nga fundi:
2000 10 ==11111010000 2
Për të kontrolluar, ne përkthejmë numrin që rezulton në sistemin e numrave dhjetorë, për këtë:
1. Le të zgjedhim shifrat binare të numrit, pra fuqitë e numrit 2, duke filluar nga e 0-ta:
2. Le të shkruajmë shumën e prodhimeve 0 dhe 1 me fuqinë përkatëse të numrit 2 (shih paraqitjen e numrit në sistemin e numrave p-ary):
0 * 2 0 + 0 * 2 1 + 0 * 2 2 + 0 * 2 3 + l * 2 4 + 0 * 2 5 + l * 2 6 + l * 2 7 + l * 2 8 + l * 2 9 + l * 210 = 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2000
Ka sisteme numrash që janë të ngjashëm me binarët. Kur punoni me kompjuterë, ndonjëherë duhet të merreni me numra binarë, pasi numrat binarë janë të përfshirë në dizajnin e kompjuterit. Sistemi binar është i përshtatshëm për një kompjuter, por i papërshtatshëm për një person - numrat shumë të gjatë janë të papërshtatshëm për t'u shkruar dhe memorizuar. Sistemet e numrave vijnë në shpëtim, të ngjashme me binar - oktal dhe heksadecimal.
Për shembull, në sistemin heksadecimal, 10 numra arabë dhe shkronja të alfabetit latin (A, B, C, D, E, F) janë të destinuara për të shkruar numra. Për të shkruar një numër në këtë sistem numrash, është e përshtatshme të përdorni paraqitjen binar të numrit. Le të marrim për shembull të njëjtin numër - 2000 ose 11111010000 në binar. Le ta zbërthejmë në katër shifra, duke lëvizur nga e djathta në të majtë, në katër të fundit në të majtë shtojmë një 0 të parëndësishme në mënyrë që numri i shifrave në treshe të jetë katër: 0111 1101 0000. Le të fillojmë përkthimin - numrin 0111 në sistemin binar korrespondon me numrin 7 në dhjetor (7 10 = 1 * 2 0 + 1 * 2 1 + 1 * 2 2), në sistemin heksadecimal të numrave, numri 7 është; numri 1101 në sistemin binar korrespondon me numrin 13 në dhjetor (13 = 1 * 2 0 + 0 * 2 1 + 1 * 2 2 + 1 * 2 3), në sistemin heksadecimal ky numër korrespondon me shifrën D, dhe, së fundi, numri 0000 - në çdo sistem numrash 0. Tani shkruajmë rezultatin:
11111010000 2 = 7D0 16.
SISTEMET DY DHE TETE NUMRA
Ndërsa sistemi i numrave dhjetorë është më i përdoruri, kjo nuk do të thotë se është më i miri. Përhapja e tij e gjerë është kryesisht për shkak të rrethanës anatomike që kemi dhjetë gishta në duar dhe këmbë. Sa i përket parimit të pozicionit dhe emërtimeve numerike, ato po aq mirë mund të përshtaten me sistemin e numrave me çdo bazë, pavarësisht nëse është i barabartë me 2, 10 ose ndonjë numër tjetër të plotë pozitiv përveç një. Për shembull, duke zëvendësuar 7 x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x-2 në vend të x vlera 10, marrim 765.43 në sistemin tonë dhjetor normal. Por pa dëmtimin më të vogël të parimit pozicional të përcaktimit të numrave të plotë dhe thyesave në vend të xçdo numër tjetër i plotë pozitiv mund të zëvendësohet. Në vend të numrit 10, si bazë të sistemit të numrave më së shpeshti sugjeroheshin numrat 8 dhe 12. Sistemet që rezultojnë nga zëvendësimet e tilla njihen si oktal dhe duodecimal. Oktale në vend të ndryshores x në paraqitjen polinomale duhet të zëvendësohet 8, dhe më pas numri i barabartë me 765.43 në sistemin dhjetor, në sistemin oktal do të jetë i barabartë me (8 2) + 6 (8 1) + 5 (8 0) + 4 (8 -1) + 3 ( 8 –2), dmth numri. Në sistemin duodecimal, i njëjti përfaqësim polinomial për x= 12 jep (12 2) + 6 (12 1) + 5 (12 0) + 4 (12 –1) + 3 (12 –2), ose në shënimin tonë të zakonshëm. Për sa i përket llogaritjeve, ato janë në të tre sistemet numerike, dhjetore, tetëshe dhe dymbëdhjetëshifrore, të kryera pothuajse në të njëjtën mënyrë dhe me të njëjtën lehtësi. Dallimi është kryesisht në tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit, pasi ato ndryshojnë nga një sistem numrash në tjetrin. Për shembull, shtatë plus shtatë është e barabartë me tetë plus gjashtë në oktal, dhjetë plus katër në dhjetore dhe dymbëdhjetë plus dy në dymbëdhjetë. Në mënyrë simbolike, këto shuma dhe vepra mund të shkruhen si më poshtë:Ne shohim se kalimi nga dhjetori në oktal ose dymbëdhjetëdhjetor kërkon vërtet një rishikim të plotë të tabelave të mbledhjes dhe shumëzimit; kjo shpjegon pse propozimet për të kaluar në këto sisteme numrash nuk janë pranuar gjerësisht. Përfitimet e këtij tranzicioni kompensohen nga vështirësitë që vijnë me të. Përparësitë kryesore të sistemeve të numrave oktal dhe dymbëdhjetë janë të lidhura me pjesëtueshmërinë e bazave të tyre. Duke marrë parasysh vetëm numrat e plotë më pak se gjysma e bazës (pasi asnjë numër nuk mund të jetë pjesëtues i bazës nëse ky numër është më shumë se gjysma e bazës, por më i vogël se ai), është e lehtë të kuptohet se numri 10 ka dy jopjestues. - numrat 3 dhe 4, kurse në oktal Në sistem i vetmi jopjesëtues më i vogël se gjysma e bazës është numri 3, kurse në sistemin dymbëdhjetëshifror i vetmi jopjesëtues i bazës është 5. Në me fjalë të tjera, përparësia e numrit 12 si bazë e sistemit të numrave është se ka pjesëtuesit e numrave 2, 3, 4 dhe 6, ndërsa 10 ka pjesëtues të 2 dhe 5. 8 ka vetëm 2 dhe 4 si pjesëtues. , por përparësia e tij kryesore ndaj të tjerave është se përgjysmimi i vazhdueshëm çon pa ndryshim në një paraqitje fraksionale "një vend" në formë polinomi. Për shembull, nëse 8 pjesëtohet me 2 10, atëherë rezultati është saktësisht (0,004) 8, ndërsa nëse 12 pjesëtohet me 2 10, atëherë ju merrni (përafërsisht) (0,0183) 12, dhe kur pjesëtohet me 2 10, rezultati është (gjithashtu e përafërt) do të jetë (0.0097656) 10.
Duke studiuar kodimet, kuptova se nuk i kuptoja mjaftueshëm sistemet e numrave. Sidoqoftë, ai shpesh përdorte sistemet 2-, 8-, 10-, 16, të përkthyer njëri në tjetrin, por gjithçka bëhej "automatikisht". Pasi lexova shumë botime, u habita nga mungesa e një artikulli të vetëm, të shkruar në gjuhë të thjeshtë, për një material kaq bazë. Kjo është arsyeja pse vendosa të shkruaj timen, në të cilën u përpoqa të shpjegoj bazat e sistemeve të numrave në një mënyrë të arritshme dhe të rregullt.
Prezantimi
Shënimiështë një mënyrë për të shkruar (përfaqësuar) numrat.Çfarë do të thotë kjo? Për shembull, ju shihni disa pemë para jush. Detyra juaj është t'i numëroni ato. Për ta bërë këtë, ju mund - të përkulni gishtat, të bëni pika në gur (një pemë - një gisht / nivel) ose të përputhni 10 pemë me një objekt, për shembull, një gur, dhe për një kopje të vetme - një shkop dhe t'i vendosni ato. në tokë ndërsa numëroni. Në rastin e parë, numri përfaqësohet si një vijë gishtash të përkulur ose pika, në të dytën - një përbërje gurësh dhe shkopinjsh, ku gurët janë në të majtë dhe shkopinj në të djathtë.
Sistemet e numrave ndahen në pozicionale dhe jo pozicionale, dhe pozicionale, nga ana tjetër, në ato homogjene dhe të përziera.
Jo pozicionale- më e vjetra, në të secila shifër e një numri ka një vlerë që nuk varet nga pozicioni (grada) e tij. Kjo do të thotë, nëse keni 5 viza, atëherë numri është gjithashtu 5, pasi çdo vizë, pavarësisht nga vendi i saj në rresht, korrespondon me vetëm 1 një objekt.
Sistemi i pozicionit- kuptimi i secilës shifër varet nga pozicioni (shifra) i saj në numër. Për shembull, sistemi i 10-të i numrave i njohur për ne është pozicional. Konsideroni numrin 453. Numri 4 tregon numrin e qindrave dhe korrespondon me numrin 400, 5 - numri i dhjetësheve dhe është i ngjashëm me vlerën 50, dhe 3 - njësitë dhe vlerën 3. Siç mund ta shihni, sa më e madhe shifra, aq më e lartë është vlera. Numri përfundimtar mund të përfaqësohet si shuma e 400 + 50 + 3 = 453.
Sistemi homogjen- për të gjitha shifrat (pozicionet) e numrit, grupi i simboleve (numrave) të lejuar është i njëjtë. Le të marrim si shembull sistemin 10 të përmendur më parë. Kur shkruani një numër në një sistem uniform të 10-të, mund të përdorni vetëm një shifër nga 0 në 9 në secilën shifër, kështu që numri 450 lejohet (shifra 1 - 0, 2 - 5, 3 - 4), dhe 4F5 nuk është, sepse karakteri F nuk është pjesë e grupit shifror nga 0 në 9.
Sistemi i përzier- në secilën shifër (pozicion) të numrit, grupi i karaktereve (shifrave) të vlefshme mund të ndryshojë nga grupet e shifrave të tjera. Një shembull i mrekullueshëm është sistemi i matjes së kohës. Në kategorinë e sekondave dhe minutave, 60 karaktere të ndryshme janë të mundshme (nga "00" në "59"), në kategorinë e orëve - 24 karaktere të ndryshme (nga "00" në "23"), në kategorinë e ditëve - 365, etj.
Sistemet jopozicionale
Sapo njerëzit mësuan të numëronin, lindi nevoja për të shkruar numra. Në fillim, gjithçka ishte e thjeshtë - një pikë ose vizë në një sipërfaqe korrespondonte me një objekt, për shembull, një frut. Kështu u shfaq sistemi i parë i numrave - njësia një.Sistemi i numrave të njësisë
Një numër në këtë sistem numrash është një varg me viza (shkopinj), numri i të cilave është i barabartë me vlerën e numrit të dhënë. Kështu, një korrje prej 100 hurmash do të jetë e barabartë me një numër që përbëhet nga 100 dash.Por ky sistem ka disavantazhe të dukshme - sa më i madh të jetë numri, aq më i gjatë është vargu i shkopinjve. Përveç kësaj, lehtë mund të bëni një gabim kur shkruani një numër duke shtuar aksidentalisht një shkop shtesë ose, anasjelltas, duke mos e shtuar atë.
Për lehtësi, njerëzit filluan të grupojnë shkopinj në 3, 5, 10 pjesë. Në të njëjtën kohë, një shenjë ose objekt i caktuar korrespondonte për secilin grup. Fillimisht, gishtat përdoreshin për numërim, kështu që shenjat e para u shfaqën për grupet prej 5 dhe 10 copë (njësi). E gjithë kjo bëri të mundur krijimin e sistemeve më të përshtatshme për regjistrimin e numrave.
Sistemi dhjetor i lashtë egjiptian
Në Egjiptin e Lashtë, simbolet (numrat) specialë përdoreshin për të treguar numrat 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Ja disa prej tyre:Pse quhet dhjetore? Siç u tha më lart, njerëzit filluan të grupojnë personazhe. Në Egjipt, ata zgjodhën grupimin me 10, duke lënë numrin "1" të pandryshuar. Në këtë rast, numri 10 quhet baza e sistemit të numrave dhjetorë, dhe çdo karakter është një paraqitje e numrit 10 në një farë mase.
Numrat në sistemin e numrave të lashtë egjiptian shkruheshin si një kombinim i tyre
personazhe, secila prej të cilave përsëritet jo më shumë se nëntë herë. Vlera totale ishte e barabartë me shumën e elementeve të numrit. Vlen të përmendet se kjo metodë e marrjes së një vlere është e natyrshme në çdo sistem numrash jopozicional. Një shembull është numri 345:
Sistemi seksagezimal babilonas
Për dallim nga egjiptiani, në sistemin babilonas u përdorën vetëm 2 simbole: pykë "e drejtë" - për të përcaktuar njësitë dhe "shtrirë" - për dhjetëra. Për të përcaktuar vlerën e një numri, është e nevojshme të ndahet imazhi i numrit në shifra nga e djathta në të majtë. Një shkarkim i ri fillon me shfaqjen e një pykë të drejtë pas një të shtrirë. Le të marrim numrin 32 si shembull:
Numri 60 dhe të gjitha shkallët e tij shënohen gjithashtu me një pykë të drejtë si "1". Prandaj, sistemi i numrave babilonas u quajt gjashtëagesimal.
Të gjithë numrat nga 1 deri në 59 u regjistruan nga babilonasit në sistemin dhjetor jo-pozicional, dhe vlerat e mëdha - në sistemin pozicional me bazën 60. Numri 92:
Regjistrimi i numrit ishte i paqartë, pasi nuk kishte asnjë shifër që tregonte zero. Përfaqësimi i numrit 92 mund të nënkuptojë jo vetëm 92 = 60 + 32, por gjithashtu, për shembull, 3632 = 3600 + 32. Për të përcaktuar vlerën absolute të numrit, u prezantua një karakter i veçantë për të treguar shifrën gjashtëgimale që mungon, e cila korrespondon me paraqitjen e shifrës 0 në shënimin dhjetor:
Tani numri 3632 duhet të shkruhet si:
Sistemi babilonas sexagesimal ishte sistemi i parë i numrave i bazuar pjesërisht në parimin e pozicionit. Ky sistem numërimi përdoret sot, për shembull, kur përcaktohet koha - një orë përbëhet nga 60 minuta, dhe një minutë përbëhet nga 60 sekonda.
Sistemi romak
Sistemi romak nuk është shumë i ndryshëm nga ai egjiptian. Përdor shkronjat e mëdha I, V, X, L, C, D dhe M për të përfaqësuar përkatësisht numrat 1, 5, 10, 50, 100, 500 dhe 1000. Një numër në sistemin numerik romak është një grup numrash të njëpasnjëshëm.Metodat për përcaktimin e vlerës së një numri:
- Vlera e një numri është e barabartë me shumën e vlerave të shifrave të tij. Për shembull, numri 32 në sistemin numerik romak është XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32
- Nëse në të majtë të shifrës më të madhe është ajo më e vogël, atëherë vlera është e barabartë me diferencën midis shifrave më të mëdha dhe më të vogla. Në këtë rast, shifra e majtë mund të jetë më e vogël se e djathta me maksimum një renditje madhësie: kështu, para L (50) dhe C (100) të atyre "më të ulëta", vetëm X (10) mund të qëndrojë, përpara D (500) dhe M (1000) - vetëm C (100), para V (5) - vetëm I (1); numri 444 në sistemin numerik të konsideruar do të shkruhet si CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444.
- Vlera është e barabartë me shumën e vlerave të grupeve dhe numrave që nuk përshtaten nën 1 dhe 2 pikë.
1) sllave
2) Greqisht (Jonian)
Sistemet e numrave pozicional
Siç u përmend më lart, parakushtet e para për shfaqjen e një sistemi pozicional u ngritën në Babiloninë e lashtë. Në Indi, sistemi mori formën e numërimit dhjetor pozicional duke përdorur zero, dhe nga indianët ky sistem numrash u huazua nga arabët, nga të cilët u miratua nga evropianët. Për disa arsye, në Evropë emri "Arab" i mbeti këtij sistemi.Sistemi i numrave dhjetorë
Ky është një nga sistemet më të zakonshme të numrave. Kjo është ajo që ne përdorim kur emërtojmë çmimin e një produkti dhe shqiptojmë numrin e autobusit. Në çdo shifër (pozicion) mund të përdoret vetëm një shifër në rangun nga 0 deri në 9. Baza e sistemit është numri 10.Për shembull, le të marrim numrin 503. Nëse ky numër do të ishte shkruar në një sistem jopozicional, atëherë vlera e tij do të ishte 5 + 0 + 3 = 8. Por ne kemi një sistem pozicionor dhe për këtë arsye çdo shifër e numrit duhet të shumëzohet. nga baza e sistemit, në këtë rast numri “10” është ngritur në fuqinë e barabartë me numrin e bitit. Rezulton se vlera është 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503. Për të shmangur konfuzionin kur punoni me shumë sisteme numrash në të njëjtën kohë, baza specifikohet si një nënshkrim. Pra, 503 = 503 10.
Përveç sistemit dhjetor, vëmendje të veçantë meritojnë sistemet e 2-të, 8-të, 16-të.
Sistemi binar i numrave
Ky sistem përdoret kryesisht në informatikë. Pse nuk e përdorën 10-tën që jemi mësuar? Makina e parë informatike u krijua nga Blaise Pascal, i cili përdori sistemin dhjetor në të, i cili doli të ishte i papërshtatshëm në makinat moderne elektronike, pasi kërkohej të prodhoheshin pajisje të afta të funksiononin në 10 shtete, gjë që rriti çmimin e tyre dhe përfundimi. madhësia e makinës. Elementet që veprojnë në sistemin e dytë janë të lirë nga këto mangësi. Sidoqoftë, sistemi në fjalë u krijua shumë përpara shpikjes së kompjuterëve dhe është "rrënjosur" në qytetërimin Inca, ku ata përdorën kipu - endjet dhe nyjet komplekse të litarit.Sistemi binar i numrave pozicional ka një bazë 2 dhe përdor 2 karaktere (shifra) për të shkruar numrin: 0 dhe 1. Vetëm një shifër lejohet në secilën shifër - ose 0 ose 1.
Një shembull është numri 101. Është analog me numrin 5 në shënimin dhjetor. Për të kthyer nga e dyta në të dhjetën, është e nevojshme të shumëzoni çdo shifër të numrit binar me bazën "2" të ngritur në fuqinë e barabartë me shifrën. Kështu, numri 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.
Epo, për makinat sistemi i numrave të 2-të është më i përshtatshëm, por ne shpesh shohim të përdorim në kompjuter numrat në sistemin e 10-të. Atëherë, si e përcakton makina se cilin numër fut përdoruesi? Si e përkthen një numër nga një sistem në tjetrin, sepse ka vetëm 2 karaktere në dispozicion - 0 dhe 1?
Në mënyrë që një kompjuter të punojë me numra (kode) binare, ato duhet të ruhen diku. Për të ruajtur çdo shifër individuale, përdoret një këmbëz, i cili është një qark elektronik. Mund të jetë në 2 gjendje, njëra prej të cilave korrespondon me zero, tjetra me një. Për të memorizuar një numër të veçantë, përdoret një regjistër - një grup shkaktarësh, numri i të cilëve korrespondon me numrin e shifrave në një numër binar. Dhe grupi i regjistrave është memoria e aksesit të rastësishëm. Numri i përfshirë në regjistër është një fjalë makine. Veprimet aritmetike dhe logjike me fjalë kryhen nga një njësi logjike aritmetike (ALU). Për të thjeshtuar aksesin në regjistra, ato numërohen. Numri quhet adresa e regjistrit. Për shembull, nëse duhet të shtoni 2 numra, mjafton të tregoni numrat e qelizave (regjistrave) në të cilat ndodhen, dhe jo vetë numrat. Adresat shkruhen në sisteme oktal dhe heksadecimal (ato do të diskutohen më poshtë), pasi kalimi prej tyre në sistemin binar dhe anasjelltas është mjaft i thjeshtë. Për të transferuar nga numri i 2-të në atë të 8-të, është e nevojshme ta ndani atë në grupe me 3 shifra nga e djathta në të majtë, dhe për të shkuar në numrin e 16-të - në 4. Nëse nuk ka shifra të mjaftueshme në grupin më të majtë të shifrave, atëherë ato janë të mbushura me zero nga e majta, të cilat quhen drejtuese. Le të marrim si shembull numrin 101100 2. Në oktal është 101 100 = 54 8, dhe në heksadecimal është 0010 1100 = 2C 16. E shkëlqyeshme, por pse shohim numra dhjetorë dhe shkronja në ekran? Kur shtypni një tast, një sekuencë e caktuar e impulseve elektrike transmetohet në kompjuter, ku secili simbol i korrespondon sekuencës së vet të impulseve elektrike (zero dhe një). Programi i tastierës dhe drejtuesit të ekranit shikon tabelën e kodit të karaktereve (për shembull, Unicode, i cili mund të kodojë 65536 karaktere), përcakton se cilit karakter korrespondon kodi që rezulton dhe e shfaq atë në ekran. Kështu, tekstet dhe numrat ruhen në memorien e kompjuterit në kod binar dhe në mënyrë programore shndërrohen në imazhe në ekran.
Sistemi i numrave oktal
Sistemi i 8-të i numrave, si ai binar, përdoret shpesh në teknologjinë dixhitale. Është baza 8 dhe përdor shifrat 0 deri në 7 për të përfaqësuar numrin.Një shembull i një numri oktal: 254. Për të kthyer në sistemin e 10-të, çdo shifër e numrit origjinal duhet të shumëzohet me 8 n, ku n është numri shifror. Rezulton se 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.
Sistemi heksadecimal i numrave
Sistemi heksadecimal përdoret gjerësisht në kompjuterët modernë, për shembull, ai tregon ngjyrën: #FFFFFF - e bardhë. Sistemi në shqyrtim ka bazën 16 dhe përdor numrat për të shkruar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, ku shkronjat janë 10, 11, 12, 13, 14, 15 respektivisht.Le të marrim si shembull numrin 4F5 16. Për t'u kthyer në sistemin oktal - së pari ne konvertojmë numrin heksadecimal në binar, dhe më pas, duke e ndarë atë në grupe me 3 shifra, në oktal. Për të kthyer një numër në 2, çdo shifër duhet të përfaqësohet si një numër binar 4-bit. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Por në grupet 1 dhe 3 nuk ka vend, kështu që ne e mbushim secilën me zero kryesore: 0100 1111 0101. Tani ju duhet ta ndani numrin që rezulton në grupe me 3 shifra nga e djathta në të majtë: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Le të përkthejmë çdo grup binar në sistemin oktal, duke shumëzuar çdo bit me 2 n, ku n është numri i bitit: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.
Përveç sistemeve të konsideruara të numrave pozicional, ka të tjerë, për shembull:
1) Triniteti
2) Kuaternare
3) Duodecimal
Sistemet e pozicionit ndahen në homogjene dhe të përziera.
Sistemet homogjene të numrave pozicional
Përkufizimi i dhënë në fillim të artikullit përshkruan plotësisht sistemet homogjene, kështu që sqarimi është i panevojshëm.Sistemet e numrave të përzier
Përkufizimit të dhënë tashmë, mund t'i shtojmë teoremën e mëposhtme: "nëse P = Q n (P, Q, n janë numra të plotë pozitiv, ndërsa P dhe Q janë baza), atëherë paraqitja e çdo numri në të përzierën (PQ) - Sistemi i numrave në mënyrë identike përkon me shkrimin e të njëjtit numër në bazën Q.Bazuar në teoremën, mund të formulojmë rregullat për transferimin nga sistemet P-të në Q-të dhe anasjelltas:
- Për të kaluar nga Q-të në P-të, është e nevojshme që numri në sistemin Q-të të ndahet në grupe me n shifra, duke filluar me shifrën e djathtë dhe të zëvendësohet secili grup me një shifër në sistemin P-të.
- Për të transferuar nga P-të në Q-të, është e nevojshme të përkthehet çdo shifër e një numri në sistemin P-të në Q-të dhe të plotësohen shifrat që mungojnë me zerot kryesore, përveç asaj të majtë, në mënyrë që secili numri në sistemin me bazë Q përbëhet nga n shifra ...
Sistemet me numra të përzier janë gjithashtu, për shembull:
1) Faktorial
2) Fibonacci
Përkthimi nga një sistem numrash në tjetrin
Ndonjëherë kërkohet të konvertohet një numër nga një sistem numrash në një tjetër, kështu që ne do të shqyrtojmë mënyrat e përkthimit midis sistemeve të ndryshme.Konvertimi në dhjetor
Ekziston një numër a 1 a 2 a 3 në bazën b. Për të transferuar në sistemin e 10-të, është e nevojshme të shumëzoni çdo shifër të numrit me b n, ku n është numri i shifrës. Pra (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Shembull: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10
Konvertimi nga dhjetori në të tjera
E gjithë pjesa:- Pjesën e plotë të numrit dhjetor e ndajmë radhazi me bazën e sistemit në të cilin përkthejmë derisa numri dhjetor të bëhet zero.
- Mbetjet e marra nga pjesëtimi janë shifrat e numrit të dëshiruar. Numri në sistemin e ri regjistrohet duke filluar nga pjesa e fundit.
- Pjesa thyesore e numrit dhjetor shumëzohet me bazën e sistemit në të cilin dëshironi të përktheni. E ndajmë të gjithë pjesën. Ne vazhdojmë të shumëzojmë pjesën thyesore me bazën e sistemit të ri derisa të jetë e barabartë me 0.
- Numrat në sistemin e ri përbëjnë pjesë të tëra të rezultateve të shumëzimit në rendin që korrespondon me marrjen e tyre.
15 \ 8 = 1, pjesa e mbetur 7
1 \ 8 = 0, mbetja 1
Duke shkruar të gjitha mbetjet nga poshtë lart, marrim numrin përfundimtar 17. Prandaj, 15 10 = 17 8.
Konvertimi nga binar në oktal dhe heksadecimal
Për ta kthyer në oktal, ne e ndajmë numrin binar në grupe me 3 shifra nga e djathta në të majtë dhe plotësojmë shifrat ekstreme që mungojnë me zero kryesore. Më pas, ne transformojmë çdo grup duke shumëzuar në mënyrë sekuenciale shifrat me 2 n, ku n është numri i bitit.Si shembull, merrni numrin 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0+ 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8
Për ta kthyer në heksadecimal, ne ndajmë numrin binar në grupe me 4 shifra nga e djathta në të majtë, pastaj - në mënyrë të ngjashme me konvertimin nga e dyta në të 8-tën.
Konvertoni nga sistemet oktal dhe heksadecimal në binar
Konvertimi nga oktal në binar - shndërroni çdo shifër të një numri oktal në një numër binar 3-bit duke e pjesëtuar me 2 (për më shumë detaje mbi ndarjen, shihni paragrafin "Konvertimi nga dhjetori në të tjerët" më lart), plotësoni shifrat ekstreme që mungojnë me zero kryesore.Për shembull, merrni parasysh numrin 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Konvertimi nga 16 në 2 - ne e kthejmë çdo bit të një numri heksadecimal në një numër binar 4-bit duke e pjesëtuar me 2, plotësojmë shifrat ekstreme që mungojnë me zerat kryesore.
Shndërroni pjesën thyesore të çdo sistemi numerik në dhjetor
Konvertimi kryhet në të njëjtën mënyrë si për pjesët e plota, përveç që shifrat e numrit shumëzohen me bazën në fuqinë "-n", ku n fillon me 1.
Shembull: 101,011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0 , 25 + 0,125) = 5,375 10
Shndërroni pjesën thyesore të një sistemi binar në 8 dhe 16
Përkthimi i pjesës thyesore kryhet në të njëjtën mënyrë si për të gjitha pjesët e një numri, me përjashtim të vetëm që ndarja në grupe me 3 dhe 4 shifra shkon në të djathtë të pikës dhjetore, shifrat që mungojnë plotësohen. me zero në të djathtë.Shembull: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11,2 8
Shndërroni pjesën thyesore të sistemit dhjetor në ndonjë tjetër
Për të përkthyer pjesën thyesore të një numri në sisteme të tjera numrash, duhet ta ktheni pjesën e plotë në zero dhe të filloni të shumëzoni numrin që rezulton me bazën e sistemit në të cilin dëshironi të përktheni. Nëse, si rezultat i shumëzimit, pjesët e plota shfaqen përsëri, ato duhet të kthehen në zero, pasi më parë të keni memorizuar (shkruar) vlerën e pjesës së plotë që rezulton. Operacioni përfundon kur pjesa e pjesshme zhduket plotësisht.Për shembull, le të konvertojmë 10.625 10 në binar:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Duke shkruar të gjitha mbetjet nga lart poshtë, marrim 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2
Paraqitja e numrave dhe komandave në një kompjuter(INFlesson5.doc).
Ideja për të shprehur numrat në dhjetë shenja, duke u dhënë atyre, përveç kuptimit në formë, edhe kuptimit në vend, është aq e thjeshtë saqë është e vështirë të kuptosh se sa e mahnitshme është pikërisht për shkak të kësaj thjeshtësie. Sa e vështirë është të arrish te kjo metodë, e shohim në shembullin e gjenive më të mëdhenj të dijerisë greke, Arkimedit dhe Apolonit, të cilëve kjo ide mbeti e fshehur.
Pierre Simon Laplace
Duke studiuar mënyrat e paraqitjes së informacionit numerik, është e nevojshme të njiheni me rregullat për përkthimin e një paraqitjeje të një numri në një tjetër, të përpiqeni të kuptoni pse i njëjti numër në situata të ndryshme duhet të përfaqësohet ndryshe. Një pjesë e veçantë e teorisë së numrave "Sistemet numerike" merret me metodat e paraqitjes së numrave.
Një koncept tjetër i rëndësishëm është prezantuar - sistemi i numrave. Pse është e nevojshme? Çfarë është kjo gjithsesi? Sistemet e numrave janë sisteme të krijuara nga njeriu. Sisteme të tilla quhen artificiale Ndryshe nga natyrore sistemet e krijuara nga natyra. Sistemet natyrore (natyrore) përfshijnë galaktikat, sistemin tonë diellor, njeriun në tërësi, etj. Sistemet artificiale përfshijnë qytetet, fabrikat, sistemin arsimor, gjuhët kombëtare, domethënë gjithçka që bëhet nga njerëzit.
Sistemet artificiale mund të ndahen në
materiali: makina, aeroplanë, shtëpi, qytete, diga, etj .;
publike , pra shoqata të ndryshme njerëzish: parlamenti, sistemi arsimor publik, klubi i shahut, etj.;
informative: gjuhët kombëtare, rrjeti kompjuterik Interneti, sistemet e numrave etj.
Çdo sistem artificial është krijuar me një qëllim të caktuar. Mund të argumentohet se më i miri është sistemi artificial që siguron më së miri arritjen e qëllimit të krijimit të tij.
Qëllimi i krijimit të një sistemi numrash është zhvillimi i mënyrës më të përshtatshme për të shkruar numrat. Sistemi i numrave ju lejon të shfaqni në një formë kompakte informacion sasior për objektet dhe manipulojini ato duke përdorur rregulla mjaft të thjeshta.
Nëntë numrat e parë natyrorë i shënojmë me karaktere të veçanta:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bëni të njëjtën gjë me të gjithë numrat që hasen në praktikë, d.m.th. do të ishte e papërshtatshme të caktoheshin të gjithë numrat që hasen me shenja të veçanta. Edhe nëse nevojat tona do të kufizoheshin në numërimin brenda një mijë, do të ishte e nevojshme të mësojmë përmendësh një mijë karaktere të veçanta. Natyrisht, për një kohë të gjatë njerëzit filluan të zgjedhin një ose një rresht tjetër të "çelësave", numrave bazë dhe t'i tregojnë ato vetëm me shenja të veçanta.
Sistemet e numrave janë një shpikje gjeniale e njerëzimit. Për të raportuar se sot është dy mijë e shtatë në gjuhën natyrore, më duhet të përdor 16 karaktere (duke përjashtuar hapësirat). Duke përdorur gjuhën e numrave, mund të përshkruani të njëjtën gjë me katër karaktere. Rezulton se numrat përfaqësojnë kodet e fjalëve përkatëse, gjë që vërtetohet edhe nga fakti se numri i vitit, i shkruar me fjalë dhe numra, lexohet nga ne në të njëjtën mënyrë. Numrat në gjuhë të ndryshme natyrore shqiptohen ndryshe, dhe shënimi i tyre dhe rregullat për kryerjen e veprimeve aritmetike mbi to janë të njëjta.
Koncepti i numrit është thelbësor si për matematikën ashtu edhe për shkencën kompjuterike. Por nëse në matematikë vëmendja më e madhe i kushtohet metodave të përpunimit të numrave, atëherë për shkencën kompjuterike është e pamundur të injorohen metodat e paraqitjes së numrave, pasi janë ato që përcaktojnë burimet e nevojshme të memories, shpejtësinë dhe gabimin e llogaritjeve.
1. Shënimi- kjo është një mënyrë për të shfaqur numrat dhe rregullat përkatëse për veprimet në numra.
Sistemet e ndryshme të numrave që kanë ekzistuar më parë dhe që përdoren në kohën tonë mund të ndahen në jo pozicionale dhe pozicionale.
1.1 Sistemet e numrave jopozicionalë.
Egjiptianët e lashtë përdornin sisteme numrash jopozicionalë,
Grekët, Romakët dhe disa popuj të tjerë të lashtësisë. Në sistemet e numrave jopozicionalë, vlera që ajo (shenja) tregon nuk varet nga pozicioni i shenjës në shënimin e numrit.
Deri tek ne ka ardhur sistemi romak i numrave (numrat romakë), i cili në disa raste përdoret ende në numërim (shekulli, vëllimi, kapitulli i librit). Në sistemin romak, shkronjat latine përdoren si numra:
1 5 10 50 100 500 1000
Për shembull, numri CCXXXII është shuma e dyqind, tre dhjetësheve dhe dy njësive dhe është e barabartë me dyqind e tridhjetë e dy.
Në numrat romakë, numrat shkruhen nga e majta në të djathtë në rend zbritës. Në këtë rast, vlerat e tyre shtohen. Nëse një numër më i vogël shkruhet në të majtë dhe një më i madh në të djathtë, atëherë vlerat e tyre zbriten.
VI = 5 + 1 = 6, dhe IV = 5 - 1 = 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Sistemet e numrave jopozicionalë ishin pak a shumë të përshtatshëm për të kryer mbledhje dhe zbritje, por aspak të përshtatshme për shumëzim dhe pjesëtim.
1.2 Sistemet e numrave pozicional (PSS).
Sistemet e numrave pozicional janë të përshtatshëm në atë që ju lejojnë të shkruani numra të mëdhenj në mënyrë arbitrare duke përdorur një numër të vogël shifrash. Algoritmet mjaft të thjeshta për kryerjen e veprimeve aritmetike mbi numrat janë një avantazh i rëndësishëm i sistemeve të numrave pozicional.
Në sistemet e numërimit pozicional, vlera e shënuar me një shifër në shënimin e një numri varet nga pozicioni i tij.
Numri i shifrave të përdorura quhet bazë PSS.
Sistemi i numrave i përdorur në matematikën moderne është sistemi dhjetor pozicional. Baza e tij është dhjetë, pasi çdo numër shkruhet duke përdorur dhjetë shifra:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Shumë prej nesh i lidhin këto ikona, të njohura që nga fëmijëria, me konceptin e "numrit". Megjithatë, ne mund të përdorim çdo ikonë si numra. Dhe numrat nuk duhet të jenë dhjetë.
Megjithëse sistemi dhjetor zakonisht quhet arab, ai e ka origjinën në Indi, në shekullin e 5-të. Në Evropë, ata mësuan për këtë sistem në shekullin XII nga traktatet shkencore arabe, të cilat u përkthyen në latinisht. Kjo shpjegon emrin "numrat arabë".
Lloji pozicional i sistemit dhjetor është i lehtë për t'u kuptuar për çdo numër shumëshifror. Për shembull, në numrin 333, shifra e parë do të thotë treqind, e dyta - tre dhjetëra, e treta - tre njësi. I njëjti numër, në varësi të pozicionit në shënimin e numrave, tregon vlera të ndryshme.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Çdo numër dhjetor mund të përfaqësohet si shuma e prodhimeve të shifrave përbërëse të tij me fuqitë përkatëse të dhjetësheve. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat dhjetore.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Kjo ju lejon të konvertoni numrat me bazë jo të barabartë me 10 në paraqitjen dhjetore.
Për të kryer një përkthim të tillë, është e nevojshme të shënohet numri origjinal si shuma e produkteve të shifrave të numrit me shkallët përkatëse të bazës dhe të llogaritet vlera e shprehjes numerike që rezulton sipas rregullave dhjetore. aritmetike.
1.432.32 5 → A 10.
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2.DF, 4A 16 → A 10
DF, 4A 16 = 13 * 16 1 + 15 * 16 0 + 4 * 16 -1 + A * 16 -2 = 208 + 15 +
Numri dhjetë nuk është baza e vetme e mundshme për një sistem pozicionor. Matematikani i famshëm rus NN Luzin e shprehu kështu: "Përparësitë e sistemit dhjetor nuk janë matematikore, por zoologjike. Nëse nuk do të kishim dhjetë gishta, por tetë, atëherë njerëzimi do të përdorte sistemin oktal".
Për të shkruar numra në një sistem pozicional me një radix n (n- përcaktimi i bazës së MSS) duhet të ketë alfabeti nga n shifra. Zakonisht për këtë, me n ≤ 10 përdorni n numrat e parë arabë, dhe për n> 10 Shkronjat latine u shtohen dhjetë numrave arabë.
Këtu janë shembuj të alfabeteve të disa sistemeve:
Baza e sistemit të cilit i përket një numër tregohet nga një nënshkrim i atij numri.
1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.
1.3 Shndërrimi i numrave dhjetorë në MSS me bazë jo të barabartë me 10.
1.3.1 Përkthimi i numrave të plotë.
Baza e sistemit të ri të numrave shprehet në sistem dhjetor
numrat dhe të gjitha veprimet pasuese duhet të kryhen në sistemin e numrave dhjetorë;
Kryen në mënyrë sekuenciale pjesëtimin e numrit të dhënë dhe herësit jo të plotë që rezultojnë në bazë të sistemit të ri të numrave derisa të marrim një herës jo të plotë më të vogël se pjesëtuesi;
Mbetjet që rezultojnë, të cilat janë shifrat e një numri në sistemin e ri të numrave, duhet të sillen në përputhje me alfabetin e sistemit të ri të numrave;
Ndërtoni një numër në sistemin e ri të numrave, duke e shkruar atë, duke filluar nga herësi i fundit.
1.3.2 Përkthimi i numrave thyesorë.
Të shprehë bazën e sistemit të ri të numrave në sistemin dhjetor dhe të kryejë të gjitha veprimet e mëpasshme në sistemin e numrave dhjetorë;
Shumëzoni në mënyrë sekuenciale numrin e dhënë dhe pjesët thyesore që rezultojnë të prodhimeve në bazë të sistemit të ri të numrave derisa pjesa thyesore e produktit të bëhet e barabartë me zero ose të arrihet saktësia e kërkuar e paraqitjes së numrave në sistemin e ri të numrave;
Pjesët e tëra që rezultojnë të prodhimeve që janë shifra të një numri në sistemin e ri të numrave, përputhen me alfabetin e sistemit të ri të numrave;
Hartoni pjesën thyesore të numrit në sistemin e ri të numrave, duke filluar nga e gjithë pjesa e prodhimit të parë.
Shembuj të përkthimit të numrave dhjetorë specifikë janë paraqitur në Shtojcën 1.
Shtojca 1.
Faqja © 2015-2019
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2016-02-16
