Fjalë kyçe:
- shënim
- numri
- alfabeti
- sistemi i numrave pozicional
- bazë
- formë e zgjeruar e shkrimit të një numri
- shënimi i numrave të palosur
- sistemi binar i numrave
- sistemi i numrave oktal
- sistemi heksadecimal i numrave
1.1.1. Informacione të përgjithshme rreth sistemeve të numrave
Oriz. 1.1.
Shenjat që përdoren për të shkruar numra në sisteme të ndryshme numrash
Në çdo sistem numrash, numrat përdoren për të treguar numra të quajtur nodalë; pjesa tjetër e numrave (algoritmik) fitohen si rezultat i ndonjë operacioni nga numrat nyjor.
Shembulli 1... Për babilonasit, numrat kyç ishin 1, 10, 60; në sistemin numerik romak, numrat nodalë janë 1, 5, 10, 50, 100, 500 dhe 1000, të shënuar përkatësisht I, V, X, L, C, D, M.
Sistemet e numrave ndryshojnë në zgjedhjen e numrave nodalë dhe në metodat e gjenerimit të numrave algoritmikë. Llojet e mëposhtme të sistemeve të numrave mund të dallohen:
- sisteme unare;
- sistemet jopozicionale;
- sistemet e pozicionit.
Sistemi më i thjeshtë dhe më i lashtë është i ashtuquajturi sistem i numrave unar. Përdor vetëm një simbol për të shkruar çdo numër - një shkop, një nyjë, një nivel, një guralec. Gjatësia e regjistrimit të një numri me një kodim të tillë lidhet drejtpërdrejt me vlerën e tij, gjë që e bën këtë metodë të ngjashme me paraqitjen gjeometrike të numrave në formën e segmenteve. Është sistemi unar që qëndron në themelin e aritmetikës dhe është ajo që ende i fut nxënësit e klasës së parë në botën e numërimit. Sistemet unare quhen gjithashtu sisteme etiketash.
Në sistemet e numrave jopozicionalë, numrat formohen duke shtuar numrat nyjorë.
Shembulli 2... Në sistemin e numrave të lashtë egjiptian, numrat 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 shënoheshin, përkatësisht, si më poshtë:
Të njëjtët numra në sistemin numerik romak përcaktohen si më poshtë: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Këtu, numrat algoritmikë fitohen duke mbledhur dhe zbritur numra nyjorë, duke marrë parasysh rregullin e mëposhtëm: çdo shenjë më e vogël, e vendosur në të djathtë të asaj më të madhe, i shtohet vlerës së saj dhe çdo shenjë më e vogël, e vendosur në të majtë të më i madhi, i zbritet.
Sistemi i numrave dhjetorë, të cilin jemi mësuar ta përdorim në jetën e përditshme, me të cilin jemi njohur që nga fëmijëria, në të cilin kryejmë të gjitha llogaritjet tona, është një shembull i një sistemi numrash pozicional. Në të, numrat algoritmikë formohen si më poshtë: vlerat e shifrave shumëzohen me "peshat" e shifrave përkatëse dhe shtohen të gjitha vlerat e marra. Kjo mund të shihet qartë në numrat e gjuhës ruse, për shembull: "tre-njëqind e pesë-dhjetë e shtatë".
Baza e sistemit të numrave pozicional mund të jetë çdo numër natyror q> 1.
Alfabeti i sistemit dhjetor përbëhet nga numrat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alfabeti i një sistemi numrash pozicional arbitrar me bazë q është numrat 0, 1, ..., q-1, secila prej të cilave mund të shkruhet duke përdorur një karakter unik; shifra më pak e rëndësishme është gjithmonë O.
Përparësitë kryesore të çdo sistemi numrash pozicional janë thjeshtësia e kryerjes së veprimeve aritmetike dhe numri i kufizuar i karaktereve të nevojshme për të shkruar çdo numër.
a 1 - numrat që i përkasin alfabetit të sistemit të numrave të dhënë;
q 1 - "pesha" e kategorisë i-të.
Shkrimi i një numri sipas formulës (1) quhet formë e zgjeruar e shënimit. Një formë e reduktuar e shkrimit të një numri është paraqitja e tij në formën ± a n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 ... a -m 1
- 1 Vetëm numrat e plotë pozitivë do të konsiderohen më poshtë.
Shembulli 3. Konsideroni numrin dhjetor 14351.1. Forma e tij e kondensuar e shënimit është aq e njohur sa nuk e vërejmë se si lëvizim në mendjen tonë në një shënim të zgjeruar, duke shumëzuar shifrat e numrit me "peshat" e shifrave dhe duke shtuar produktet që rezultojnë:
1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .
1.1.2. Sistemi binar i numrave
Sistemi i numrave binar quhet sistemi i numrave pozicional me bazën 2. Për të shkruar numrat në sistemin e numrave binar përdoren vetëm dy shifra: 0 dhe 1.
Bazuar në formulën (1) për numrat e plotë binarë, mund të shkruani:
Për shembull:
10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .
Kjo formë e shënimit "nxjerrë" rregullin për konvertimin e numrave binarë natyrorë në sistemin e numrave dhjetorë: është e nevojshme të llogaritet shuma e fuqive të dyve që korrespondojnë me njësitë në formën e reduktuar të shkrimit të një numri binar.
Le të marrim nga formula (1 ") rregullin për konvertimin e numrave dhjetorë të plotë në sistemin e numrave binar.
Ndani
a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 me 2.
Herësi do të jetë i barabartë
a n-1 2 n-2 + ... + a 1,
dhe pjesa e mbetur do të jetë 0.
Koeficienti që rezulton pjesëtohet përsëri me 2, pjesa e mbetur e pjesëtimit do të jetë e barabartë me 1.
Nëse vazhdojmë këtë proces të ndarjes, atëherë në hapin e n-të do të marrim një grup numrash:
a 0, a 1, a 2, ..., a n-1
të cilat përfshihen në paraqitjen binar të numrit origjinal dhe përkojnë me mbetjet kur ai pjesëtohet në mënyrë sekuenciale me 2. Gjatë shkrimit të numrit origjinal në sistemin e numrave binar, duhet pasur parasysh se mbetjet pas pjesëtimit me 2 janë marrë. në rendin e kundërt të renditjes së shifrave përkatëse në paraqitjen binar të numrit origjinal ...
Shembulli 4... Le ta kthejmë numrin dhjetor 11 në shënim binar. Sekuenca e veprimeve të konsideruara më sipër (algoritmi i përkthimit) mund të përshkruhet si më poshtë:
Duke shkruar mbetjet e ndarjes në drejtimin e treguar nga shigjeta, marrim: 11 10 = 1011 2.
Shembulli 5... Nëse numri dhjetor është mjaft i madh, atëherë mënyra e mëposhtme e shkrimit të algoritmit të mësipërm është më e përshtatshme:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Sistemi i numrave oktal
Sistemi i numrave oktal është sistemi i numrave pozicional me bazën 8. Për të shkruar numrat në sistemin e numrave oktal përdoren numrat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Bazuar në formulën (1) për një numër oktal të plotë, mund të shkruani:
Për shembull: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10
Kështu, për të kthyer një numër të plotë oktal në sistemin e numrave dhjetorë, shkoni te rekordi i tij i zgjeruar dhe llogaritni vlerën e shprehjes që rezulton.
Për të kthyer një numër dhjetor të plotë në sistemin e numrave oktal, duhet ta ndani në mënyrë sekuenciale këtë numër dhe herësit e numrave të plotë që rezultojnë me 8 derisa të merrni një herës të barabartë me zero. Numri origjinal në sistemin e ri të numrave përbëhet nga regjistrimi sekuencial i mbetjeve që rezultojnë, duke filluar nga ai i fundit.
Shembulli 6. Le ta përkthejmë numrin dhjetor 103 në sistemin e numrave oktal.
1.1.4. Sistemi heksadecimal i numrave
Baza: q = 16.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Këtu, vetëm dhjetë nga gjashtëmbëdhjetë shifra kanë emërtimin e pranuar përgjithësisht 0, ..., 9. Për të shkruar shifra me ekuivalente sasiore dhjetore 10, 11, 12, 13, 14, 15, zakonisht pesë shkronjat e para të alfabetit latin janë të përdorura.
Kështu, hyrja 3AF16 do të thotë:
3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Shembulli 7... Le ta përkthejmë numrin dhjetor 154 në sistemin heksadecimal të numrave.
1.1.5. Rregulla për shndërrimin e numrave dhjetorë të plotë në bazë q
Për të kthyer një numër dhjetor të plotë në bazën q:
- kryejmë në mënyrë sekuenciale pjesëtimin e numrit të dhënë dhe herësit të plotë që rezultojnë në bazë të sistemit të ri të numrave derisa të marrim një herës të barabartë me zero;
- mbetjet që rezultojnë, të cilat janë shifra të një numri në sistemin e ri të numrave, duhet të përputhen me alfabetin e sistemit të ri të numrave;
- krijoni një numër në sistemin e ri të numrave, duke e shkruar atë, duke filluar nga mbetja e fundit e marrë.
Le të krijojmë një tabelë korresponduese për numrat dhjetorë, binarë, oktalë dhe heksadecimalë nga 0 në 20.
Koleksioni i Unifikuar i Burimeve Dixhitale Arsimore (http://school-collection.edu.ru/) përmban një animacion interaktiv "Konvertimi i një numri dhjetor në një sistem tjetër numrash". Me ndihmën e tij, ju mund të shikoni përkthimin e një numri të plotë arbitrar nga 0 në 512 në sistemin e numrave pozicional, baza e të cilit nuk kalon 16.
Në laboratorin virtual "Digital Scales" që ndodhet në të njëjtin vend, mund të zotëroni një metodë tjetër të konvertimit të numrave dhjetorë të plotë në sisteme të tjera numrash - metodën e dallimeve.
1.1.6. Aritmetika binare
Aritmetika binare bazohet në përdorimin e tabelave të mëposhtme të mbledhjes dhe shumëzimit:
Shembulli 8... Tabela e mbledhjes binare është jashtëzakonisht e thjeshtë. Meqenëse 1 + 1 = 10, atëherë 0 mbetet në këtë bit dhe 1 bartet në bitin tjetër.
Shembulli 9... Operacioni i shumëzimit kryhet sipas skemës së zakonshme të përdorur në sistemin e numrave dhjetorë, me shumëzimin sekuencial të shumëzimit me shifrën tjetër të shumëzuesit.
Kështu, në një sistem binar, shumëzimi reduktohet në ndërrime të shumëzuesit dhe shtesa.
1.1.7. Sistemet e numrave "kompjuterike".
Në teknologjinë kompjuterike, përdoret një sistem numrash binar, i cili ofron një numër avantazhesh ndaj sistemeve të tjera:
- numrat binarë përfaqësohen në një kompjuter duke përdorur elementë teknikë mjaft të thjeshtë me dy gjendje të qëndrueshme;
- prezantimi i informacionit me anë të vetëm dy gjendjeve është i besueshëm dhe rezistent ndaj zhurmës;
- aritmetika binare është më e thjeshta;
- ekziston një aparat matematikor që ofron transformime logjike të të dhënave binare.
Shkëmbimi i informacionit ndërmjet pajisjeve kompjuterike kryhet duke transferuar kode binare. Për shkak të gjatësisë së tyre të madhe dhe uniformitetit vizual, është e papërshtatshme që një person të përdorë kode të tilla. Prandaj, specialistët (programuesit, inxhinierët) në disa faza të zhvillimit, krijimit, akordimit të sistemeve kompjuterike zëvendësojnë kodet binare me vlerat e tyre ekuivalente në sistemet e numrave oktal ose heksadecimal. Si rezultat, gjatësia e fjalës origjinale zvogëlohet përkatësisht me tre ose katër herë. Kjo e bën më të lehtë shikimin dhe analizimin e informacionit.
Me ndihmën e burimit "Libri i problemeve ndërvepruese, seksioni" Sistemet numerike "" (http://school-collection.edu.ru/), mund të kontrolloni se sa fort e keni zotëruar materialin e studiuar në këtë paragraf.
Gjëja më e rëndësishme
Një sistem numrash është një sistem shenjash në të cilin miratohen rregulla të caktuara për shkrimin e numrave. Shenjat me të cilat shkruhen numrat quhen numra dhe kombinimi i tyre quhet alfabeti i sistemit të numrave.
Sistemi i numrave quhet pozicional nëse ekuivalenti sasior i një shifre në një numër varet nga pozicioni i tij në regjistrimin e numrave. Baza e sistemit të numrave pozicional është e barabartë me numrin e shifrave që përbëjnë alfabetin e tij.
Baza e sistemit të numrave pozicional mund të jetë çdo numër natyror q> 1.
Në sistemin numerik pozicional me bazë q, çdo numër mund të përfaqësohet si:
Një numër;
q - baza e sistemit numerik;
dhe i - numrat që i përkasin alfabetit të sistemit të caktuar numrash;
n - numri i shifrave të plota të numrit;
m - numri i shifrave thyesore të numrit;
q i - "pesha" e kategorisë i-të.
Pyetje dhe detyra
Si të kaloni nga forma e shembur e shkrimit të një numri dhjetor në formën e tij të zgjeruar?
Përgjigju
Konsideroni numrin dhjetor 14351.1. Forma e tij e kondensuar e shënimit është aq e njohur sa nuk e vërejmë se si lëvizim në mendjen tonë në një shënim të zgjeruar, duke shumëzuar shifrat e numrit me "peshat" e shifrave dhe duke shtuar produktet që rezultojnë:
1 · 10 4 + 4 · 10 3 + 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 1 · 10 0 + 1 · 10 -1.
Kalimi nga i shembur në i zgjeruar
1. Shikoni numrin që ju është dhënë dhe përcaktoni numrin e shifrave të tij.
Shembull:
Shkruani 5827 në formë të zgjeruar.
Lexoni numrin me zë të lartë: pesë mijë e tetëqind e njëzet e shtatë.
Vini re se ky numër ka katër shifra. Si rezultat, forma e zgjeruar do të përmbajë katër terma.
2. Rishkruajeni numrin si shumën e shifrave të tij, duke lënë një distancë ndërmjet tyre për të shumëzuar secilën shifër me ndonjë shifër (më shumë për këtë më vonë).
Shembull:
5827 rishkruani si më poshtë:
3. Shifrat e numrit janë të vendosura në pozicione të caktuara që korrespondojnë (nga e djathta në të majtë) njësi, dhjetëshe, qindra, mijëra, etj. Përcaktoni emrin e pozicionit dhe kuptimin e tij për secilën shifër (nga e djathta në të majtë).
Shembull:
Meqenëse ky numër ka katër shifra, atëherë duhet të përcaktoni emrat e katër pozicioneve (nga e djathta në të majtë).
7 korrespondon me njësitë (vlera = 1 = 10 0).
2 korrespondon me dhjetëra (vlera = 10 = 10 1).
8 korrespondon me qindra (vlera = 100 = 10 2).
5 korrespondon me mijëra (vlera = 1000 = 10 3).
4. Shumëzoni çdo shifër të numrit të dhënë me vlerën e pozicionit të tij përkatës.
Shembull:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0
SISTEMET LLOGARITES DHE
TRANSFERIMI NUMRI NGA NJE SISTEM NE TJETRIN
Sistemi i numrave (CC) -është një mënyrë për të paraqitur numrat dhe rregullat përkatëse të veprimeve mbi to.
Sistemet e numrave ndahen në pozicionale dhe jopozicionale
Baza e sistemit të numrave- thirrni numrin e shifrave të përdorura për të shkruar numrat
Alfabeti SS- thirrni të gjithë numrat (shenjat) që përdoren për të shkruar numra
Forma e zgjeruar e shkrimit të një numri
Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 + .. a 1 q 1 + a 0 q 0
q - bazë
a i - numrat
n - numri i biteve të pjesës së plotë
m - numri i shifrave të pjesës thyesore
123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2
Tabela e ekuivalentëve të numrave
| q = 10 | q = 16 | q = 12 | q = 8 | q = 5 | q = 4 | q = 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 10 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 11 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 11 | 12 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 12 | 13 | 111 |
| 8 | 8 | 8 | 10 | 13 | 20 | 1000 |
| 9 | 9 | 9 | 11 | 14 | 21 | 1001 |
| 10 | A | A | 12 | 20 | 22 | 1010 |
| 11 | V | V | 13 | 21 | 23 | 1011 |
| 12 | ME | 10 | 14 | 22 | 30 | 1100 |
| 13 | D | 11 | 15 | 23 | 31 | 1101 |
| 14 | E | 12 | 16 | 24 | 32 | 1110 |
| 15 | F | 13 | 17 | 30 | 33 | 1111 |
| 16 | 10 | 14 | 20 | 31 | 100 | 10000 |
Alfabetet në sistemet përkatëse të numrave janë me shkronja të zeza.
Rregulli për konvertimin e një numri nga çdo sistem numrash në dhjetor
Për të kthyer një numër në sistemin e numrave dhjetorë, duhet:
1.shkruani numrin në formë të zgjeruar
2.Konverto të gjitha shifrat në SS dhjetore (për SS me q> 10)
3.llogaritni vlerën e shprehjes që rezulton
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10
1BE, 84 16 = 1 ∙ 16 2 + B∙16 1 +E∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10
Zgjidh shembuj:
2) 150 6 = A 10
4) DF 18 = A 10
5) 1AB 16 = A 10
Rregulli për konvertimin e numrave të plotë dhjetorë në sisteme të tjera numrash:
1. Kryen pjesëtimin radhazi me pjesën e mbetur të numrit të dhënë dhe herësit jo të plotë që rezultojnë në bazë të SS-së së re derisa të marrim një herës jo të plotë më të vogël se pjesëtuesi.
2. Mbetjet që rezultojnë, të cilat janë shifrat e numrit në SS të re, i sjellin ato në përputhje me alfabetin e SS të re (për SS me q> 10)
3. Plotësoni numrin në SS të re, duke shkruar të gjitha mbetjet, duke filluar nga herësi i fundit
| 19 10 = 10011 2 |  |
| 19 10 = 13 16 | |
| 205 10 = CD 16 |  |
Zgjidh shembuj:
1) 5 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
2) 15 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
1) 150 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
Shndërrimi i shpejtë binar me fuqinë e dy zbërthimit
Është i përshtatshëm për të kthyer një numër në një SS binar për disa numra në mënyrën e dytë: me zbërthim në fuqitë e dy. Sigurisht, për këtë ju duhet t'i dini përmendësh këto gradë ;-)
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2
Mund të kapërceni formën e zgjeruar të shkrimit të numrit. Nëse ka një shkallë, atëherë vendosim një, nëse nuk ka shkallë në rend (në shembullin tonë, 3 dhe 2), atëherë vendosim 0 atje.
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2
Kjo metodë është veçanërisht e përshtatshme për numrat, vlera e të cilëve është afër një shkalle.
Zgjidh shembuj:
1) 161 10 = A 2
1) 321 10 = A 2
1) 600 10 = A 2
Rregulli për konvertimin e një numri binar në SS me bazë q = 2 n
1. numri i dhënë binar, duke filluar nga presja (pjesët e plota dhe thyesore), në grupe me n shifra në secilën
Baza e sistemit të numrave pozicional është një numër i plotë q, i cili është ngritur në një fuqi.
Baza e sistemit të numrave pozicional është një sekuencë numrash, secila prej të cilave përcakton ekuivalentin sasior (peshën) e një karakteri, në varësi të vendit të tij në kodin e numrave.
Baza dhjetore: ... 10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Baza e një sistemi numrash pozicional arbitrar: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza në çdo sistem përshkruhet si 10, por ka një kuptim të ndryshëm sasior. Tregon sa herë ndryshon vlera sasiore e një shifre kur ajo zhvendoset në një pozicion ngjitur. Shumë sisteme pozicionale janë të mundshme, pasi çdo numër, jo më pak se 2, mund të merret si bazë e sistemit të numrave.
Emri i sistemit të numrave korrespondon me bazën e tij (dhjetëshe, binar, pesëfish, etj.).
Në radix q (q-sistemi numerik ary), njësitë e shifrave janë fuqi të njëpasnjëshme të numrit q, me fjale te tjera, q njësitë e çdo kategorie formojnë njësinë e kategorisë tjetër.
Për të shkruar numrat në q-Kërkohet cilido sistem numerik q shenja (shifra) të ndryshme që përfaqësojnë numrat 0, 1, ..., q – 1.
Rrjedhimisht, baza e sistemit të numrave pozicional është e barabartë me numrin e simboleve (shenjave) në alfabetin e tij. Regjistroni një numër q v q-sistemi ari numerik ka formën 10.
Shembulli 1. Sistemi i numrave oktal.
Baza: q = 8.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dhe 7.
Numrat: për shembull, 45023.152 8; 751.001 8.
Shembulli 2. Sistemi i numrave pesëfish .
Baza: q = 5.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3 dhe 4.
Numrat: për shembull, 20304 5; 324,03 5.
Shembulli 3. Sistemi heksadecimal i numrave.
Baza: q = 16.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Këtu vetëm dhjetë shifra nga gjashtëmbëdhjetë kanë përcaktimin e pranuar përgjithësisht 0-9. Për të shkruar pjesën tjetër të karaktereve të alfabetit (10, 11, 12, 13, 14 dhe 15), zakonisht përdoren pesë shkronjat e para të alfabetit latin.
Numrat: për shembull, B5C3.1A2 16; 355.0FA01 8.
Në sistemin e numrave pozicional, çdo numër real mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme:
Një q = ±( a n– 1 × q n –1 + a n– 2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a– 1 × q –1 + a– 2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) ose ±.
Këtu A - vetë numri; q - radix;
edhe une- numrat që i përkasin alfabetit të sistemit të numrave të dhënë; P - numri i shifrave të plota të një numri; T - numri i shifrave thyesore të një numri.
Zgjerimi i një numri sipas formulës (1) quhet forma e zgjeruar e regjistrimit ... Përndryshe, kjo formë shënimi quhet polinom ose qetësues.
Shembulli 1. dhjetore A 10 = 5867.91 sipas formulës (1) paraqitet si më poshtë:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Shembulli 2. Formula (1) për sistemin e numrave oktal është:
A 8 = ± ( a n– 1 × 8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +… + jam× 8 - m),
ku edhe une- numrat 0–7.
Numri oktal A 8 = 7064.3 në formën (1) do të shkruhet si më poshtë:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Shembulli 3. Pesë numër A 5 = 2430.21 sipas formulës (1) do të shkruhet si më poshtë:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 "+ 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Duke vlerësuar këtë shprehje, mund të merrni ekuivalentin dhjetor të numrit pesëfish të treguar: 365.44 10.
Shembulli 4. Shënimi heksadecimal është 3 AF 16 do të thotë:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Baza e sistemit të numrave pozicional është një numër i plotë q, i cili është ngritur në një fuqi.
Baza e sistemit të numrave pozicional është një sekuencë numrash, secila prej të cilave përcakton ekuivalentin sasior (peshën) e një karakteri, në varësi të vendit të tij në kodin e numrave.
Baza dhjetore: ... 10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Baza e një sistemi numrash pozicional arbitrar: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza në çdo sistem përshkruhet si 10, por ka një kuptim të ndryshëm sasior. Tregon sa herë ndryshon vlera sasiore e një shifre kur ajo zhvendoset në një pozicion ngjitur. Shumë sisteme pozicionale janë të mundshme, pasi çdo numër, jo më pak se 2, mund të merret si bazë e sistemit të numrave.
Emri i sistemit të numrave korrespondon me bazën e tij (dhjetëshe, binar, pesëfish, etj.).
Në radix q (q-sistemi numerik ary), njësitë e shifrave janë fuqi të njëpasnjëshme të numrit q, me fjale te tjera, q njësitë e çdo kategorie formojnë njësinë e kategorisë tjetër.
Për të shkruar numrat në q-Kërkohet cilido sistem numerik q shenja (shifra) të ndryshme që përfaqësojnë numrat 0, 1, ..., q – 1.
Rrjedhimisht, baza e sistemit të numrave pozicional është e barabartë me numrin e simboleve (shenjave) në alfabetin e tij. Regjistroni një numër q v q-sistemi ari numerik ka formën 10.
Shembulli 1. Sistemi i numrave oktal.
Baza: q = 8.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dhe 7.
Numrat: për shembull, 45023.152 8; 751.001 8.
Shembulli 2. Sistemi i numrave pesëfish .
Baza: q = 5.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3 dhe 4.
Numrat: për shembull, 20304 5; 324,03 5.
Shembulli 3. Sistemi heksadecimal i numrave.
Baza: q = 16.
Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Këtu vetëm dhjetë shifra nga gjashtëmbëdhjetë kanë përcaktimin e pranuar përgjithësisht 0-9. Për të shkruar pjesën tjetër të karaktereve të alfabetit (10, 11, 12, 13, 14 dhe 15), zakonisht përdoren pesë shkronjat e para të alfabetit latin.
Numrat: për shembull, B5C3.1A2 16; 355.0FA01 8.
Në sistemin e numrave pozicional, çdo numër real mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme:
Një q = ±( a n– 1 × q n –1 + a n– 2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a– 1 × q –1 + a– 2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) ose ±.
Këtu A - vetë numri; q - radix;
edhe une- numrat që i përkasin alfabetit të sistemit të numrave të dhënë; P - numri i shifrave të plota të një numri; T - numri i shifrave thyesore të një numri.
Zgjerimi i një numri sipas formulës (1) quhet forma e zgjeruar e regjistrimit ... Përndryshe, kjo formë shënimi quhet polinom ose qetësues.
Shembulli 1. dhjetore A 10 = 5867.91 sipas formulës (1) paraqitet si më poshtë:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Shembulli 2. Formula (1) për sistemin e numrave oktal është:
A 8 = ± ( a n– 1 × 8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +… + jam× 8 - m),
ku edhe une- numrat 0–7.
Numri oktal A 8 = 7064.3 në formën (1) do të shkruhet si më poshtë:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Shembulli 3. Pesë numër A 5 = 2430.21 sipas formulës (1) do të shkruhet si më poshtë:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 "+ 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Duke vlerësuar këtë shprehje, mund të merrni ekuivalentin dhjetor të numrit pesëfish të treguar: 365.44 10.
Shembulli 4. Shënimi heksadecimal është 3 AF 16 do të thotë:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
