Rezultati tashmë është marrë!
Sistemet e numrave
Ekzistojnë sisteme numrash pozicionalë dhe jopozicionalë. Sistemi i numrave arab, të cilin ne përdorim në jetën e përditshme, është pozicional, por sistemi romak i numrave nuk është. Në sistemet e numrave pozicional, pozicioni i një numri përcakton në mënyrë unike madhësinë e numrit. Le ta shqyrtojmë këtë duke përdorur shembullin e numrit 6372 në sistemin e numrave dhjetorë. Le ta numërojmë këtë numër nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero:
Atëherë numri 6372 mund të përfaqësohet si më poshtë:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Numri 10 përcakton sistemin e numrave (në këtë rast është 10). Vlerat e pozicionit të një numri të caktuar merren si fuqi.
Konsideroni numrin dhjetor real 1287.923. Le ta numërojmë duke filluar nga pozicioni zero i numrit nga pika dhjetore majtas dhe djathtas:
Atëherë numri 1287.923 mund të përfaqësohet si:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Në përgjithësi, formula mund të përfaqësohet si më poshtë:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
ku C n është një numër i plotë në pozicion n, D -k - numri thyesor në pozicionin (-k), s- sistemi i numrave.
Disa fjalë për sistemet e numrave Një numër në sistemin e numrave dhjetor përbëhet nga shumë shifra (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), në sistemin e numrave oktal përbëhet nga shumë shifra. (0,1, 2,3,4,5,6,7), në sistemin binar të numrave - nga një grup shifrash (0,1), në sistemin heksadecimal të numrave - nga një grup shifrash (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), ku A,B,C,D,E,F korrespondojnë me numrat 10,11, 12,13,14,15.Në tabelën Tab.1 janë paraqitur numrat në sisteme të ndryshme numrash.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Shënimi | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin
Për të kthyer numrat nga një sistem numrash në tjetrin, mënyra më e lehtë është që fillimisht të konvertohet numri në sistemin e numrave dhjetorë dhe më pas të konvertohet nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin e numrave të kërkuar.
Shndërrimi i numrave nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë
Duke përdorur formulën (1), ju mund të konvertoni numrat nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë.
Shembull 1. Shndërroni numrin 1011101.001 nga sistemi i numrave binar (SS) në SS dhjetore. Zgjidhja:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Shembull2. Shndërroni numrin 1011101.001 nga sistemi i numrave oktal (SS) në SS dhjetore. Zgjidhja:
Shembull 3 . Shndërroni numrin AB572.CDF nga sistemi i numrave heksadecimal në SS dhjetore. Zgjidhja:
Këtu A-zëvendësuar me 10, B- në 11, C- në 12, F- deri në 15.
Shndërrimi i numrave nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numerik
Për të kthyer numrat nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numrash, duhet të konvertoni veçmas pjesën e plotë të numrit dhe pjesën thyesore të numrit.
Pjesa e plotë e një numri konvertohet nga SS dhjetore në një sistem tjetër numrash duke e ndarë në mënyrë sekuenciale pjesën e plotë të numrit me bazën e sistemit të numrave (për SS binar - me 2, për SS 8-ar - me 8, për 16 -ary SS - nga 16, etj. ) derisa të merret një mbetje e tërë, më e vogël se CC bazë.
Shembull 4 . Le ta kthejmë numrin 159 nga SS dhjetore në SS binar:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Siç mund të shihet nga Fig. 1, numri 159 kur pjesëtohet me 2 jep herësin 79 dhe mbetja 1. Më tej, numri 79 kur pjesëtohet me 2 jep herësin 39 dhe mbetja 1, etj. Si rezultat, duke ndërtuar një numër nga mbetjet e ndarjes (nga e djathta në të majtë), marrim një numër në SS binar: 10011111 . Prandaj mund të shkruajmë:
159 10 =10011111 2 .
Shembull 5 . Le ta kthejmë numrin 615 nga SS dhjetore në SS oktal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kur konvertoni një numër nga një SS dhjetor në një SS oktal, duhet ta ndani në mënyrë sekuenciale numrin me 8 derisa të merrni një mbetje numër të plotë më të vogël se 8. Si rezultat, duke ndërtuar një numër nga mbetjet e pjesëtimit (nga e djathta në të majtë) marrim një numër në SS oktal: 1147 (shih Fig. 2). Prandaj mund të shkruajmë:
615 10 =1147 8 .
Shembull 6 . Le ta kthejmë numrin 19673 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS heksadecimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Siç mund të shihet nga figura 3, duke pjesëtuar në mënyrë të njëpasnjëshme numrin 19673 me 16, mbetjet janë 4, 12, 13, 9. Në sistemin e numrave heksadecimal, numri 12 i përgjigjet C, numri 13 me D. Prandaj, numri heksadecimal është 4CD9.
Për të kthyer thyesat dhjetore të rregullta (një numër real me një pjesë të plotë zero) në një sistem numrash me bazë s, është e nevojshme të shumëzojmë me radhë këtë numër me s derisa pjesa thyesore të përmbajë një zero të pastër, ose të marrim numrin e kërkuar të shifrave. . Nëse, gjatë shumëzimit, fitohet një numër me një pjesë të plotë të ndryshme nga zero, atëherë kjo pjesë e plotë nuk merret parasysh (ato përfshihen në mënyrë sekuenciale në rezultat).
Le të shohim sa më sipër me shembuj.
Shembull 7 . Le ta kthejmë numrin 0.214 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Siç mund të shihet nga Fig. 4, numri 0.214 shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 2. Nëse rezultati i shumëzimit është një numër me një pjesë të plotë të ndryshme nga zero, atëherë pjesa e plotë shkruhet veçmas (në të majtë të numrit). dhe numri shkruhet me një pjesë të plotë zero. Nëse nga shumëzimi rezulton një numër me një pjesë të plotë zero, atëherë një zero shkruhet në të majtë të tij. Procesi i shumëzimit vazhdon derisa pjesa thyesore të arrijë një zero të pastër ose të marrim numrin e kërkuar të shifrave. Duke shkruar numra me shkronja të zeza (Fig. 4) nga lart poshtë, marrim numrin e kërkuar në sistemin e numrave binar: 0. 0011011 .
Prandaj mund të shkruajmë:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Shembull 8 . Le ta kthejmë numrin 0.125 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Për të kthyer numrin 0.125 nga SS dhjetore në binar, ky numër shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 2. Në fazën e tretë, rezultati është 0. Për rrjedhojë, rezulton rezultati i mëposhtëm:
0.125 10 =0.001 2 .
Shembull 9 . Le ta kthejmë numrin 0.214 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS heksadecimal.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Duke ndjekur shembujt 4 dhe 5, marrim numrat 3, 6, 12, 8, 11, 4. Por në heksadecimal SS, numrat 12 dhe 11 korrespondojnë me numrat C dhe B. Prandaj, kemi:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Shembull 10 . Le ta kthejmë numrin 0,512 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS oktal.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Mora:
0.512 10 =0.406111 8 .
Shembull 11 . Le ta kthejmë numrin 159.125 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë veçmas pjesën e plotë të numrit (Shembulli 4) dhe pjesën e pjesshme të numrit (Shembulli 8). Duke kombinuar më tej këto rezultate marrim:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Shembull 12 . Le ta kthejmë numrin 19673.214 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS heksadecimal. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë veçmas pjesën e plotë të numrit (Shembulli 6) dhe pjesën e pjesshme të numrit (Shembulli 9). Më tej, duke kombinuar këto rezultate marrim.
Le të shohim një nga temat më të rëndësishme në shkencën kompjuterike -. Në kurrikulën shkollore, ajo zbulohet mjaft "modeste", ka shumë të ngjarë për shkak të mungesës së orëve të caktuara për të. Njohuri mbi këtë temë, veçanërisht për përkthimi i sistemeve të numrave, janë parakusht për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe pranimin në universitete në fakultetet përkatëse. Më poshtë diskutojmë në detaje koncepte të tilla si sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional, jepen shembuj të këtyre sistemeve të numrave, janë paraqitur rregullat për shndërrimin e numrave dhjetorë të plotë, thyesat dhjetore të duhura dhe numrat dhjetorë të përzier në çdo sistem tjetër numrash, konvertimin e numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor, shndërrimin nga sistemet e numrave oktal dhe heksadecimal në numra binar. sistemi. Ka shumë probleme për këtë temë në provime. Aftësia për t'i zgjidhur ato është një nga kërkesat për aplikantët. Së shpejti: Për secilën temë të seksionit, përveç materialit të detajuar teorik, do të prezantohen pothuajse të gjitha opsionet e mundshme detyrat për vetë-studim. Për më tepër, do të keni mundësinë të shkarkoni plotësisht falas nga një shërbim i mbajtjes së skedarëve zgjidhje të gatshme të detajuara për këto probleme, duke ilustruar mënyra të ndryshme për të marrë përgjigjen e saktë.
sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave jopozicionalë- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre nuk varet nga vendndodhja e saj në numër.
Sistemet e numrave jo-pozicionalë përfshijnë, për shembull, romake, ku në vend të numrave ka shkronja latine.
| I | 1 (një) |
| V | 5 (pesë) |
| X | 10 (dhjetë) |
| L | 50 (pesëdhjetë) |
| C | 100 (njëqind) |
| D | 500 (pesëqind) |
| M | 1000 (mijë) |
Këtu shkronja V qëndron për 5, pavarësisht nga vendndodhja e saj. Megjithatë, vlen të përmendet se megjithëse sistemi romak i numrave është një shembull klasik i një sistemi numrash jopozicional, ai nuk është plotësisht jopozicional, sepse Numri më i vogël përpara atij më të madhi zbritet prej tij:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave pozicional- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre varet nga vendndodhja e saj në numër.
Për shembull, nëse flasim për sistemin e numrave dhjetorë, atëherë në numrin 700 numri 7 do të thotë "shtatëqind", por i njëjti numër në numrin 71 do të thotë "shtatë dhjetëra", dhe në numrin 7020 - "shtatë mijë". .
Secili sistemi i numrave pozicional ka të vetin bazë. Si bazë zgjidhet një numër natyror më i madh ose i barabartë me dy. Është e barabartë me numrin e shifrave të përdorura në një sistem numrash të caktuar.
- Për shembull:
- Binar- sistemi i numrave pozicional me bazën 2.
- Kuaternare- sistemi i numrave pozicional me bazën 4.
- Pesëfish- sistemi i numrave pozicional me bazën 5.
- oktal- sistemi i numrave pozicional me bazën 8.
- Heksadecimal- sistemi i numrave pozicional me bazën 16.
Për të zgjidhur me sukses problemet në temën "Sistemet e numrave", studenti duhet të dijë përmendësh korrespondencën e numrave binar, dhjetorë, oktalë dhe heksadecimal deri në 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Është e dobishme të dihet se si fitohen numrat në këto sisteme numrash. Ju mund ta merrni me mend se në oktal, heksadecimal, tresh dhe të tjerë sistemet e numrave pozicional gjithçka ndodh në të njëjtën mënyrë si sistemi dhjetor me të cilin jemi mësuar:
Një i shtohet numrit dhe fitohet një numër i ri. Nëse vendi i njësive bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, ne e rrisim numrin e dhjetësheve me 1, etj.
Ky "kalim i një" është ajo që frikëson shumicën e studentëve. Në fakt, gjithçka është mjaft e thjeshtë. Kalimi ndodh nëse shifra e njësive bëhet e barabartë me bazën e numrave, e rrisim numrin e dhjetësheve me 1. Shumë, duke kujtuar sistemin e mirë të vjetër dhjetor, ngatërrohen menjëherë për shifrat në këtë tranzicion, sepse dhjetëshja dhe, për shembull, dhjetëshja binare janë gjëra të ndryshme.
Prandaj, studentët e shkathët zhvillojnë "metodat e tyre" (çuditërisht... duke punuar) kur plotësojnë, për shembull, tabela të së vërtetës, kolonat e para (vlerat e ndryshueshme) të të cilave, në fakt, janë të mbushura me numra binarë në rend rritës.
Për shembull, le të shohim futjen e numrave sistemi oktal: Numrit të parë (0) i shtojmë 1, marrim 1. Më pas i shtojmë 1 në 1, marrim 2 etj. në 7. Nëse i shtojmë një me 7, fitojmë një numër të barabartë me bazën e sistemit të numrave, d.m.th. 8. Pastaj ju duhet të rrisni vendin e dhjetëra me një (marrim dhjetën oktal - 10). Më tej, padyshim, janë numrat 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Rregullat për konvertimin nga një sistem numrash në tjetrin.
1 Konvertimi i numrave dhjetorë me numra të plotë në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të ndahet me baza e re e sistemit të numrave. Pjesa e parë e mbetur e pjesëtimit është shifra e parë e vogël e numrit të ri. Nëse herësi i pjesëtimit është më i vogël ose i barabartë me bazën e re, atëherë ai (herësi) duhet të ndahet përsëri me bazën e re. Ndarja duhet të vazhdohet derisa të marrim një herës më të vogël se baza e re. Kjo është shifra më e lartë e numrit të ri (duhet të mbani mend se, për shembull, në sistemin heksadecimal, pas 9 ka shkronja, d.m.th. nëse pjesa e mbetur është 11, duhet ta shkruani si B).
Shembull ("pjestimi sipas këndit"): Le ta kthejmë numrin 173 10 në sistemin e numrave oktal.
Kështu, 173 10 = 255 8
2 Shndërrimi i thyesave dhjetore të rregullta në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të shumëzohet me bazën e sistemit të ri të numrave. Shifra që është bërë pjesë e plotë është shifra më e lartë e pjesës thyesore të numrit të ri. për të marrë shifrën tjetër, pjesa thyesore e produktit që rezulton duhet përsëri të shumëzohet me një bazë të re të sistemit të numrave derisa të ndodhë kalimi në të gjithë pjesën. Ne vazhdojmë shumëzimin derisa pjesa thyesore të jetë e barabartë me zero, ose derisa të arrijmë saktësinë e specifikuar në problem (“...llogaritni me një saktësi, për shembull, dy shifra dhjetore”).
Shembull: Le ta kthejmë numrin 0.65625 10 në sistemin e numrave oktal.
Shënim 1
Nëse dëshironi të konvertoni një numër nga një sistem numrash në një tjetër, atëherë është më e përshtatshme që fillimisht ta shndërroni atë në sistemin e numrave dhjetorë dhe vetëm atëherë ta shndërroni atë nga sistemi i numrave dhjetorë në çdo sistem tjetër numrash.
Rregullat për konvertimin e numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor
Në teknologjinë informatike që përdor aritmetikën e makinës, shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin luan një rol të rëndësishëm. Më poshtë japim rregullat bazë për shndërrime (përkthime) të tilla.
Kur konvertoni një numër binar në një dhjetor, ju duhet të përfaqësoni numrin binar si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si prodhim i një shifre të numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast $2$, dhe më pas duhet të llogarisni polinomin duke përdorur rregullat e aritmetikës dhjetore:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Figura 1. Tabela 1
Shembulli 1
Shndërroni numrin $11110101_2$ në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e dhënë të fuqive $1$ të bazës $2$, ne përfaqësojmë numrin si një polinom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave oktal në sistemin e numrave dhjetorë, duhet ta përfaqësoni atë si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si prodhim i një shifre të numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rasti $8$, dhe më pas duhet të llogarisni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Figura 2. Tabela 2
Shembulli 2
Shndërroni numrin $75013_8$ në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e dhënë të fuqive $2$ të bazës $8$, ne e paraqesim numrin si një polinom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Për të kthyer një numër nga heksadecimal në dhjetor, ju duhet ta përfaqësoni atë si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si prodhim i një shifre të numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast $16$, dhe më pas ju duhet të llogarisni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Figura 3. Tabela 3
Shembulli 3
Shndërroni numrin $FFA2_(16)$ në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e dhënë të fuqive $3$ të bazës $8$, ne e paraqesim numrin si një polinom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Rregullat për konvertimin e numrave nga sistemi i numrave dhjetorë në një tjetër
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin binar, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me $2$ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me $1$. Një numër në sistemin binar përfaqësohet si një sekuencë e rezultatit të fundit të pjesëtimit dhe mbetjeve nga pjesëtimi në rend të kundërt.
Shembulli 4
Konvertoni numrin $22_(10)$ në sistemin binar të numrave.
Zgjidhja:
Figura 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave dhjetorë në oktal, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me 8$ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 7$. Një numër në sistemin e numrave oktal përfaqësohet si një sekuencë shifrash të rezultatit të ndarjes së fundit dhe mbetjeve nga pjesëtimi në rend të kundërt.
Shembulli 5
Konvertoni numrin $571_(10)$ në sistemin e numrave oktal.
Zgjidhja:
Figura 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin heksadecimal, ai duhet të ndahet në mënyrë të njëpasnjëshme me $16 $ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me $15 $. Një numër në sistemin heksadecimal përfaqësohet si një sekuencë shifrash të rezultatit të ndarjes së fundit dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit në rend të kundërt.
Shembulli 6
Konvertoni numrin $7467_(10)$ në sistemin heksadecimal të numrave.
Zgjidhja:
Figura 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Për të konvertuar një thyesë të duhur nga një sistem numrash dhjetor në një sistem numrash jo dhjetorë, është e nevojshme të shumëzohet në mënyrë sekuenciale pjesa thyesore e numrit që konvertohet me bazën e sistemit në të cilin duhet të konvertohet. Fraksionet në sistemin e ri do të përfaqësohen si pjesë të tëra të produkteve, duke filluar nga e para.
Për shembull: $0,3125_((10))$ në sistemin e numrave oktal do të duket si $0,24_((8))$.
Në këtë rast, mund të hasni një problem kur një thyesë dhjetore e fundme mund t'i korrespondojë një thyese të pafundme (periodike) në sistemin e numrave jo dhjetorë. Në këtë rast, numri i shifrave në fraksionin e paraqitur në sistemin e ri do të varet nga saktësia e kërkuar. Duhet gjithashtu të theksohet se numrat e plotë mbeten numra të plotë, dhe thyesat e duhura mbeten thyesa në çdo sistem numrash.
Rregullat për konvertimin e numrave nga një sistem numrash binar në një tjetër
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave binar në oktal, ai duhet të ndahet në treshe (treshifrore), duke filluar me shifrën më pak të rëndësishme, nëse është e nevojshme, duke shtuar zero në treshen kryesore, pastaj zëvendësoni secilën treshe me shifrën oktale përkatëse. sipas tabelës 4.
Figura 7. Tabela 4
Shembulli 7
Konvertoni numrin $1001011_2$ në sistemin e numrave oktal.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën 4, ne konvertojmë numrin nga sistemi i numrave binar në oktal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Për të kthyer një numër nga sistemi binar i numrave në heksadecimal, ai duhet të ndahet në tetradë (katër shifra), duke filluar me shifrën më pak të rëndësishme, nëse është e nevojshme, duke shtuar zero në tetradën më të rëndësishme, pastaj të zëvendësohet çdo tetradë me shifrën oktale përkatëse. sipas tabelës 4.
1. Numërimi rendor në sisteme të ndryshme numrash.
Në jetën moderne, ne përdorim sisteme numrash pozicional, domethënë sisteme në të cilat numri i shënuar me një shifër varet nga pozicioni i shifrës në shënimin e numrit. Prandaj, në të ardhmen do të flasim vetëm për to, duke lënë jashtë termin "pozicional".
Për të mësuar se si të konvertojmë numrat nga një sistem në tjetrin, do të kuptojmë se si ndodh regjistrimi sekuencial i numrave duke përdorur shembullin e sistemit dhjetor.
Meqenëse kemi një sistem numrash dhjetorë, kemi 10 simbole (shifra) për të ndërtuar numra. Fillojmë të numërojmë: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numrat kanë mbaruar. Rritim thellësinë e bitit të numrit dhe rivendosim shifrën e rendit të ulët: 10. Më pas e rrisim përsëri shifrën e rendit të ulët derisa të mbarojnë të gjitha shifrat: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. E rrisim shifrën e rendit të lartë me 1 dhe e rivendosim shifrën e rendit të ulët: 20. Kur përdorim të gjitha shifrat për të dyja shifrat (marrim numrin 99), e rrisim përsëri kapacitetin e shifrës së numrit dhe rivendosim shifrat ekzistuese: 100. E kështu me radhë.
Le të përpiqemi të bëjmë të njëjtën gjë në sistemet e 2-të, të 3-të dhe të 5-të (prezantojmë shënimin për sistemin e 2-të, për të 3-tin, etj.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Nëse sistemi i numrave ka një bazë më të madhe se 10, atëherë do të duhet të futim karaktere shtesë; është zakon të futim shkronja të alfabetit latin. Për shembull, për sistemin 12-shifror, përveç dhjetë shifrave, na duhen dy shkronja ( dhe ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Shndërrimi nga sistemi i numrave dhjetorë në ndonjë tjetër.
Për të kthyer një numër dhjetor të plotë pozitiv në një sistem numrash me një bazë tjetër, duhet ta ndani këtë numër me bazën. Ndajeni herësin që rezulton me bazën përsëri, dhe më tej derisa herësi të jetë më i vogël se baza. Si rezultat, shkruani në një rresht herësin e fundit dhe të gjitha mbetjet, duke filluar nga i fundit.
Shembulli 1. Le ta kthejmë numrin dhjetor 46 në sistemin e numrave binar.
Shembulli 2. Le ta kthejmë numrin dhjetor 672 në sistemin e numrave oktal.
Shembulli 3. Le ta kthejmë numrin dhjetor 934 në sistemin heksadecimal të numrave.
3. Shndërrimi nga çdo sistem numrash në dhjetor.
Për të mësuar se si të konvertojmë numrat nga çdo sistem tjetër në dhjetor, le të analizojmë shënimin e zakonshëm për një numër dhjetor.
Për shembull, numri dhjetor 325 është 5 njësi, 2 dhjetëshe dhe 3 qindra, d.m.th.
Situata është saktësisht e njëjtë në sistemet e tjera të numrave, vetëm ne do të shumëzojmë jo me 10, 100, etj., por me fuqitë e bazës së sistemit të numrave. Për shembull, le të marrim numrin 1201 në sistemin e numrave tresh. Le të numërojmë shifrat nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero dhe ta imagjinojmë numrin tonë si shumën e prodhimeve të një shifre dhe tre në fuqinë e shifrës së numrit:
Ky është shënimi dhjetor i numrit tonë, d.m.th.
Shembulli 4. Le ta kthejmë numrin oktal 511 në sistemin e numrave dhjetorë.
Shembulli 5. Le ta kthejmë numrin heksadecimal 1151 në sistemin e numrave dhjetorë.
4. Shndërrimi nga sistemi binar në sistem me bazën “fuqia e dyve” (4, 8, 16, etj.).
Për të kthyer një numër binar në një numër me fuqi dy bazë, është e nevojshme që sekuenca binar të ndahet në grupe sipas numrit të shifrave të barabarta me fuqinë nga e djathta në të majtë dhe të zëvendësohet secili grup me shifrën përkatëse të numrit të ri. sistemi i numrave.
Për shembull, Le të konvertojmë numrin binar 1100001111010110 në sistemin oktal. Për ta bërë këtë, ne do ta ndajmë atë në grupe me 3 karaktere duke filluar nga e djathta (që nga ), dhe më pas do të përdorim tabelën e korrespondencës dhe do ta zëvendësojmë çdo grup me një numër të ri:
Mësuam se si të ndërtojmë një tabelë korrespondence në hapin 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Ato.
Shembulli 6. Le ta kthejmë numrin binar 1100001111010110 në heksadecimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Shndërrimi nga një sistem me bazë "fuqia e dy" (4, 8, 16, etj.) në binar.
Ky përkthim është i ngjashëm me atë të mëparshëm, i bërë në drejtim të kundërt: ne zëvendësojmë secilën shifër me një grup shifrash në sistemin binar nga tabela e korrespondencës.
Shembulli 7. Le ta kthejmë numrin heksadecimal C3A6 në sistemin e numrave binar.
Për ta bërë këtë, zëvendësoni secilën shifër të numrit me një grup prej 4 shifrash (që nga ) nga tabela e korrespondencës, duke plotësuar grupin me zero në fillim nëse është e nevojshme:
Shënim 1
Nëse dëshironi të konvertoni një numër nga një sistem numrash në një tjetër, atëherë është më e përshtatshme që fillimisht ta shndërroni atë në sistemin e numrave dhjetorë dhe vetëm atëherë ta shndërroni atë nga sistemi i numrave dhjetorë në çdo sistem tjetër numrash.
Rregullat për konvertimin e numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor
Në teknologjinë informatike që përdor aritmetikën e makinës, shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin luan një rol të rëndësishëm. Më poshtë japim rregullat bazë për shndërrime (përkthime) të tilla.
Kur konvertoni një numër binar në një dhjetor, ju duhet të përfaqësoni numrin binar si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si prodhim i një shifre të numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast $2$, dhe më pas duhet të llogarisni polinomin duke përdorur rregullat e aritmetikës dhjetore:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Figura 1. Tabela 1
Shembulli 1
Shndërroni numrin $11110101_2$ në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e dhënë të fuqive $1$ të bazës $2$, ne përfaqësojmë numrin si një polinom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave oktal në sistemin e numrave dhjetorë, duhet ta përfaqësoni atë si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si prodhim i një shifre të numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rasti $8$, dhe më pas duhet të llogarisni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Figura 2. Tabela 2
Shembulli 2
Shndërroni numrin $75013_8$ në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e dhënë të fuqive $2$ të bazës $8$, ne e paraqesim numrin si një polinom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Për të kthyer një numër nga heksadecimal në dhjetor, ju duhet ta përfaqësoni atë si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si prodhim i një shifre të numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast $16$, dhe më pas ju duhet të llogarisni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Figura 3. Tabela 3
Shembulli 3
Shndërroni numrin $FFA2_(16)$ në sistemin e numrave dhjetorë.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e dhënë të fuqive $3$ të bazës $8$, ne e paraqesim numrin si një polinom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Rregullat për konvertimin e numrave nga sistemi i numrave dhjetorë në një tjetër
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin binar, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me $2$ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me $1$. Një numër në sistemin binar përfaqësohet si një sekuencë e rezultatit të fundit të pjesëtimit dhe mbetjeve nga pjesëtimi në rend të kundërt.
Shembulli 4
Konvertoni numrin $22_(10)$ në sistemin binar të numrave.
Zgjidhja:
Figura 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave dhjetorë në oktal, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me 8$ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 7$. Një numër në sistemin e numrave oktal përfaqësohet si një sekuencë shifrash të rezultatit të ndarjes së fundit dhe mbetjeve nga pjesëtimi në rend të kundërt.
Shembulli 5
Konvertoni numrin $571_(10)$ në sistemin e numrave oktal.
Zgjidhja:
Figura 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin heksadecimal, ai duhet të ndahet në mënyrë të njëpasnjëshme me $16 $ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me $15 $. Një numër në sistemin heksadecimal përfaqësohet si një sekuencë shifrash të rezultatit të ndarjes së fundit dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit në rend të kundërt.
Shembulli 6
Konvertoni numrin $7467_(10)$ në sistemin heksadecimal të numrave.
Zgjidhja:
Figura 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Për të konvertuar një thyesë të duhur nga një sistem numrash dhjetor në një sistem numrash jo dhjetorë, është e nevojshme të shumëzohet në mënyrë sekuenciale pjesa thyesore e numrit që konvertohet me bazën e sistemit në të cilin duhet të konvertohet. Fraksionet në sistemin e ri do të përfaqësohen si pjesë të tëra të produkteve, duke filluar nga e para.
Për shembull: $0,3125_((10))$ në sistemin e numrave oktal do të duket si $0,24_((8))$.
Në këtë rast, mund të hasni një problem kur një thyesë dhjetore e fundme mund t'i korrespondojë një thyese të pafundme (periodike) në sistemin e numrave jo dhjetorë. Në këtë rast, numri i shifrave në fraksionin e paraqitur në sistemin e ri do të varet nga saktësia e kërkuar. Duhet gjithashtu të theksohet se numrat e plotë mbeten numra të plotë, dhe thyesat e duhura mbeten thyesa në çdo sistem numrash.
Rregullat për konvertimin e numrave nga një sistem numrash binar në një tjetër
- Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave binar në oktal, ai duhet të ndahet në treshe (treshifrore), duke filluar me shifrën më pak të rëndësishme, nëse është e nevojshme, duke shtuar zero në treshen kryesore, pastaj zëvendësoni secilën treshe me shifrën oktale përkatëse. sipas tabelës 4.
Figura 7. Tabela 4
Shembulli 7
Konvertoni numrin $1001011_2$ në sistemin e numrave oktal.
Zgjidhje. Duke përdorur tabelën 4, ne konvertojmë numrin nga sistemi i numrave binar në oktal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Për të kthyer një numër nga sistemi binar i numrave në heksadecimal, ai duhet të ndahet në tetradë (katër shifra), duke filluar me shifrën më pak të rëndësishme, nëse është e nevojshme, duke shtuar zero në tetradën më të rëndësishme, pastaj të zëvendësohet çdo tetradë me shifrën oktale përkatëse. sipas tabelës 4.
