Le të shqyrtojmë së pari konceptin e një sasie të ndryshueshme, ose thjesht një ndryshore.

Vlera e ndryshueshme X përcaktohet nga grupi i vlerave që mund të marrë në rastin në shqyrtim. Kjo është shumë X le të quajmë zonën e ndryshimit të vlerave të ndryshueshme x.

Lënda kryesore e studimit në matematikë nuk është, megjithatë, ndryshimi në një variabël në vetvete, por marrëdhënia midis dy ose më shumë ndryshoreve kur ato ndryshojnë së bashku. Në shumë raste, variablat nuk mund të marrin asnjë çift vlerash nga shtrirja e tyre; nëse njërit prej tyre i jepet një kuptim specifik, atëherë kjo tashmë përcakton kuptimin e tjetrit. Pastaj thirret i pari të pavarur , dhe e dyta - i varur e ndryshueshme.

Le të jepen dy variabla x Dhe y me fushat e ndryshimit X Dhe Y. Nëse çdo element x X Nga një rregull të caktuar f përputhet një element i vetëm y Y, pastaj e thonë këtë në xhirime X dhënë funksionin y = f(x).

Është e qartë se në këtë rast ndryshorja xështë variabli i pavarur. Ajo quhet shpesh argument funksione.

E ndryshueshme yështë ndryshorja e varur dhe quhet vlera e funksionit, ose thjesht funksionin.

Një tufë me X thirrur fusha e përkufizimit funksionet dhe një grup Y - Rajon saj vlerat .

ekziston një sërë mënyrash caktimet e funksioneve:

A) më e thjeshta - analitike metodë, pra specifikimi i një funksioni në formën e një formule. Nëse domeni i një funksioni X nuk tregohet, pastaj nën X kuptime të shumta të nënkuptuara x, për të cilën formula ka kuptim;

b) grafike mënyrë. Kjo metodë është veçanërisht e qartë. Për një funksion të një ndryshoreje y= f(x) përdoret plani koordinativ ( xy).

Mbledhja e pikëve y, përkatëse vlerat e dhëna x, përcakton grafikun e funksionit në rrafsh ( xy);

V) tabelare mënyrë. Shpesh përdoret kur ndryshorja e pavarur x merr vetëm një numër të kufizuar vlerash.

5.2. Vetitë themelore të funksioneve

Le të shqyrtojmë vetitë kryesore të funksioneve që thjeshtojnë kërkimin e tyre:

Barazi. Funksioni y = f(x) quhet madje , nëse për ndonjë vlerë x, që i përket fushës së përcaktimit të funksionit X, do të thotë (- x) gjithashtu i përket X dhe në të njëjtën kohë kryhet

f(– x) =f(x).

Grafiku i një funksioni çift është simetrik ndaj ordinatës.

Funksioni y = f(x) quhet i çuditshëm , nëse për ndonjë x X vijon (- x) X dhe ku

f(– x) = –f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.

Nëse funksioni y = f(x) nuk është as çift, as tek, shpesh quhet funksionin pamje e përgjithshme .

Monotone. Funksioni y = f(x) quhet në rritje në një interval ( a, b), nëse për ndonjë x 1 , x 2 (a, b), të tilla

Çfarë x 1 < x 2, rrjedh se f(x 1) < f(x 2), dhe në rënie , Nëse f(x 1) >f(x 2).

Rritja dhe zvogëlimi i intervalit ( a, b) thirren funksionet monotone në këtë interval dhe vetë intervali ( a, b) - intervali i monotonitetit të këtyre funksioneve.

Në disa tekste quhen funksione të tilla rreptësisht monotone, A monotone quhet një funksion që nuk zvogëlohet dhe nuk rritet në intervalin në shqyrtim (në vend të pabarazive strikte për funksionet, shkruhen pabarazi jo strikte).

Kufizimi. Funksioni y = f(x) quhet kufizuar në intervalin ( a, b), nëse ekziston një numër i tillë ME> 0, e cila për çdo x (a, b) duhet |f(x)| < C , dhe ndryshe i pakufizuar, pra nëse për ndonjë numër C> 0 e tillë ekziston x (a, b), Çfarë |f(x)| > C. Në Fig. Figura 5.1 tregon një grafik të një funksioni të kufizuar në intervalin ( a, b).

Një përkufizim i ngjashëm i kufijve mund të jepet për çdo lloj intervali.

Periodiciteti. Funksioni y = f(x) quhet periodike, nëse ekziston një numër i tillë t atë për këdo x X kryer

f(x+t)= f(x).

Më i vogli nga këta numra t thirrur periudha e funksionit dhe është caktuar T.

Një tipar karakteristik i periodicitetit të funksioneve është prania e funksioneve trigonometrike në përbërjen e tyre.

5.3. Funksionet elementare dhe grafikët e tyre

Funksionet bazë përfshijnë:

A) funksionet më të thjeshta elementare

1. Konstantey = c, Ku Me- një numër real konstant për një funksion të caktuar, i njëjtë për të gjitha vlerat x.

2. Funksioni i fuqisë, ku është çdo numër real konstant përveç zeros. Lloji i grafikëve të funksionit për disa numra të plotë pozitiv ( = n), numra të plotë negativ ( = - n) dhe thyesore ( = 1/ n) vlerat janë paraqitur më poshtë.

4. Funksioni logaritmik y= log një x (a > 0; a 1).

5. Funksionet trigonometrike: y= mëkat x, y=cos x, y= tg x, y=ctg x.

6. Funksionet trigonometrike të anasjellta.

y= harksin x y= harqe x

y= arktan x y= arcctg x

b) funksione komplekse

Përveç funksioneve elementare më të thjeshta të renditura të argumentit x funksionet elementare përfshijnë gjithashtu funksione, argumentet e të cilëve janë gjithashtu funksione elementare, si dhe funksionet e marra duke kryer një numër të kufizuar veprimesh aritmetike në funksionet elementare. Për shembull, funksioni

është gjithashtu një funksion elementar.

Funksionet argumentet e të cilëve nuk janë variabla të pavarur, por funksione të tjera thirren funksione komplekse ose mbivendosjet e funksioneve. Le të jepen dy funksione: y= mëkat x Dhe z= regjistri 2 y. Atëherë një funksion kompleks (superpozicioni i funksioneve) mund të ketë formën

z= regjistri 2 (mëkat x).

Ju gjithashtu mund të prezantoni konceptin funksioni i anasjelltë .Le y = f(x) jepet në fushën e përkufizimit X, A Y- kuptimet e shumta të tij. Le të zgjedhim një vlerë y= y 0 dhe përdorni atë për të gjetur x 0 kështu që y 0 ishte e barabartë f(x 0).Vlerat e ngjashme x Mund të ketë disa 0.

Kështu, për çdo vlerë y nga Y janë caktuar një ose më shumë vlera x. Nëse një vlerë e tillë x vetëm një gjë, pastaj në zonë Y mund të përcaktohet një funksion x= g(y), i cili quhet e kundërta për funksionin y = f(x).

Le të gjejmë, për shembull, funksioni i anasjelltë për funksionin eksponencial y = një x. Nga përkufizimi i logaritmit del se nëse është dhënë vlera y, pastaj vlera x, duke plotesuar kushtin y = një x, gjendet me formulë x= log një y. Domethënë të gjithë y nga Y mund t'i caktohet një vlerë specifike x= log një y.

Prandaj, funksioni x= log një yështë anasjellta e funksionit y = një x në grupe X Dhe Y. Meqenëse është zakon të shënohet ndryshorja e pavarur e çdo funksioni x, atëherë në këtë rast thonë se y = f(x) Dhe y= g(x) janë funksione të anasjellta.

Grafikët e funksioneve y = f(x) dhe funksionin e anasjelltë të tij y= g(x) janë simetrike në lidhje me përgjysmuesin e këndit të koordinatave 1 dhe 3.

Le të përsërisim konceptet e një funksioni dhe vetitë e tij, të cilat do të na nevojiten për prezantimin e mëtejshëm të materialit.

Përkufizimi. Funksioni F(X) është një rregull që lejon që çdo vlerë xX të shoqërohet me një vlerë të vetmeY = F(X)Y, ku x është një ndryshore e pavarur (argument),Y- ndryshore e varur (vlera e funksionit). Ata thonë funksioninFAjo ka Domeni D(F)= XDhe Gama e vlerave R(F) Y.

Përkufizimi. Shumë çifte ((X, F(X)): XD(F)) quhet Grafiku i funksionit F .

Ekzistojnë tre mënyra kryesore për të specifikuar një funksion:

 kur Metoda analitike duke përcaktuar një funksion, varësia midis variablave përcaktohet nga formula;

 kur Metoda tabelare caktimet e funksioneve shkruhen në një rend të caktuar, vlerat e argumenteve dhe vlerat përkatëse të funksionit;

 kur Grafikisht Kur specifikoni një funksion, marrëdhënia midis variablave pasqyrohet duke përdorur një grafik.

Le të shohim disa varësi funksionale të përdorura në ekonomi:

 Funksioni i kërkesës- varësia e kërkesës D për disa produkte nga çmimi i tij P;

 Funksioni i sugjerimit- varësia nga oferta S të një produkti nga çmimi i tij P;

 Funksioni i shërbimeve- vlerësimi numerik subjektiv i dobisë nga një individ i caktuar DHE dhe sasive X mallra për të;

 Funksioni i kostos- varësia e kostove I për prodhim X njësitë e prodhimit;

 Norma e tatimit- varësia e shkallës tatimore N si përqindje e të ardhurave vjetore P.

Të gjitha këto funksione, përveç këtij të fundit, janë shumë të vështira për t'u shprehur në mënyrë analitike. Nëse është e nevojshme, ato gjenden përmes analizave të mundimshme. Funksioni i fundit, përkundrazi, zakonisht është mjaft i njohur për të gjithë shoqërinë dhe është i miratuar ligjërisht.

Përkufizimi. Funksioni F ( X ) ka një kufi B , kur x tenton në a, nëse vleratF(X) afrohuni sa të doni me numrinB, kur vlerat e ndryshores x afrohen arbitrarisht me numrin a.

Emërtimi. .

Duhet të theksohet se ky përkufizim merr parasysh vlerat X, në mënyrë arbitrare afër numrit A, por që nuk përkon me A.

Përkufizimi. Nëse funksioniF(X) përcaktohet në pikën a dhe barazia vlen , KjoF(X) quhet funksion i vazhdueshëm në pikën a.

Përkufizimi. Një funksion që është i vazhdueshëm në çdo pikë të domenit të tij të përkufizimit quhet Funksioni i vazhdueshëm. Përndryshe thirret funksioni Eksploziv.

Grafiku i një funksioni të vazhdueshëm mund të vizatohet pa e ngritur dorën.

Funksionet e vazhdueshme kanë vetitë e mëposhtme:

 shuma ose prodhimi i funksioneve të vazhdueshme është funksion i vazhdueshëm;

 raporti i dy funksioneve të vazhdueshme është një funksion i vazhdueshëm në të gjitha pikat në të cilat emëruesi i raportit nuk zhduket.

Koment. Një metodë që është efektive në analizën e funksioneve të vazhdueshme mund të jetë joefektive në studimin e funksioneve të ndërprera, megjithëse e kundërta nuk përjashtohet..

Përkufizimi. FunksioniF(X) quhet Në rritje (në zbritje) në një setX, nëse nga fakti seX1 < X2 rrjedh seF(X1 )< F(X2 ) (F(X1 )> F(X2 )). FunksioniF(X) quhet Jo në rënie (jo në rritje) në një setX, nëse nga fakti seX1  X2 , X1 , X2  Xrrjedh seF(X1 ) F(X2 ) (F(X1 ) F(X2 )).

Teorema. Lëreni funksioninF(X) është i diferencueshëm në intervalin (A, B). Pastaj:

 Nëse derivati ​​i parë i funksionitKudo në këtë interval, funksioni rritet në të;

 Nëse derivati ​​i parëkudo në këtë interval, atëherë funksioni zvogëlohet;

 Derivati ​​i parëKudo në këtë interval, atëherë funksioni është konstant në këtë interval.

Përkufizimi. Funksionet rritëse, zvogëluese, jo-zvogëluese, jo rritëse quhen Monotone.

Koment. Një funksion monoton nuk duhet të jetë i vazhdueshëm.

Shembulli 1. Gjeni intervalet e monotonitetit të një funksioni F(X)=(1- X2 )3 .

. Gjetja e derivatit: Të zgjidhim ekuacionin. marrim X1=0, x2=1, x3=-1. Funksioni F(X) të përcaktuara dhe të vazhdueshme përgjatë gjithë vijës numerike. Prandaj pikat X1, x2, x3 janë pika kritike. Nuk ka pika të tjera kritike, pasi ajo ekziston kudo.

Ne shqyrtojmë pikat kritike duke përcaktuar shenjën majtas dhe djathtas të secilës pikë. Për të zvogëluar llogaritjet dhe për qartësi, është e përshtatshme të shkruhet ky studim në formën e një tabele. 1:

Tabela 1

F(X)	Mosha		Mosha		Përshkruani		Përshkruani

Rreshti i parë përmban të gjitha pikat kritike sipas renditjes së vendndodhjes së tyre në boshtin numerik; Midis tyre futen pika të ndërmjetme, të vendosura majtas dhe djathtas të pikave kritike. Rreshti i dytë përmban shenjat derivative në të treguara pikat e ndërmjetme. Rreshti i tretë përmban një përfundim në lidhje me sjelljen e funksionit në intervalet në studim. Në intervalin (-; 0) funksioni rritet, në intervalin (0; +) funksioni zvogëlohet.

Përkufizimi. FunksioniF(X) është Unimodale në segmentin [A, B] nëse dhe vetëm nëse është monotone në të dyja anët e pikës së vetme optimale x* në intervalin në shqyrtim.

Shembulli 2. Këtu janë shembuj të grafikëve të funksioneve unimodale:

 në Fig. 6 funksion të vazhdueshëm;

 në Fig. 7 - funksion i ndërprerë;

 në Fig. 8 - funksion diskret.

Një grup funksionesh që janë njëmodale në një interval [ A; B] , do të shënojmë

P[ A; B] .

Për të kontrolluar njëmodalitetin e një funksioni F(X) në praktikë zakonisht përdoren kriteret e mëposhtme:

1) nëse funksioni F(X) i diferencueshëm në interval [ A; B] dhe derivati ​​nuk zvogëlohet në këtë segment, atëherë F(X) P[ A; B] ;

2) nëse funksioni F(X) dy herë i diferencueshëm në interval [ A; B] dhe kur X[A; B] , Kjo F(X) P[ A; B] .X=-0.5. Prandaj, nëse Х-0,5 dhe, në veçanti, kur X. Duke përdorur kriterin e dytë të unimodalitetit, marrim atë F(X) P .

Përkufizimi. Konsideroni grupin SR. Ne mund të përcaktojmë korrespondencën me të cilën çdo pikë XS caktohet një vlerë e vetme numerike. Kjo korrespondencë quhet Funksioni skalarF, të përcaktuara në setS.

Përkufizimi. Në teorinë e optimizimitFthirrur Funksioni objektiv, AS - Zonë e pranueshme , një grup pikash që plotësojnë kufizimet, ose një sërë vlerash të lejueshme x.

Funksioni me një ndryshore të vetme

Funksionet e një ndryshoreje.

Prezantimi

Në matematikë, konceptet themelore janë koncepti i një grupi, një element i një grupi. Analiza matematikore merret kryesisht me grupe numerike.

Në atë që vijon do të përdorim simbolikën e mëposhtme:

N - grup numrash natyrorë;

Z - grup i numrave të plotë;

Q - grup numrash racionalë;

R - grup i numrave realë;

C – grup numra komplekse;

Î -	Shenja e përkatësisë: XÎ X – element X i përket grupit X, XÏ X - X nuk i përket grupit X;
Ì -	Shenja e përfshirjes: X Ì Y – grupi X është një nëngrup i Y;
È -	Shenja e bashkimit: X È Y – një grup elementet e të cilit i përkasin X ose Y;
Ç -	shenja e prerjes së bashkësive: X Ç Y – një bashkësi elementet e së cilës i përkasin njëkohësisht X dhe Y;
\ -	shenjë për zbritjen e bashkësive: X\Y – një bashkësi e përbërë nga elementë të bashkësisë X që nuk i përkasin Y;
" -	kuantifikues i universalitetit, lexon: “për cilindo”, “për të gjithë”, “të gjithë”, “të gjithë” etj.;
$ -	sasior i ekzistencës, lexon: "ekziston", "do të gjendet";
Ù -	logjik "dhe" (lidhëz);
Ú -	logjik "ose" (ndarje);
Þ -	shenja e pasojës, lexon: "ndjek", "kryhet", "përfshin";
Û -	shenjë ekuivalencës, thotë: “atëherë dhe vetëm atëherë”, “e nevojshme dhe e mjaftueshme”;
| ose:	- përshkrimi (deshifrimi) i shenjave, lexohet: “të tillë që...”, “për të cilat kryhet...”, etj.

Për shembull, shënimi simbolik " X ON $ y ON: ( y> x Ú y< x) lexohet “për çdo numër natyror X do të ketë numri natyror në diçka e tillë y> x, ose y< x».

Siç e dini, çdo numër real shoqërohet me një pikë të vetme në vijën numerike. Prandaj, në të ardhmen do të biem dakord të identifikojmë termat "numër real" dhe "pika" të vijës numerike. Për intervalet numerike ne do të përdorim shënimin e mëposhtëm:

[a; b] ose a£ x £ b– boshllëk i mbyllur ose segmenti i linjës duke filluar në një pikë A dhe përfundon në një pikë b;

(a; b) ose a< x < b– hapësirë ​​e hapur ose intervali;

(a; b] ose a< x £ b,

[a; b) ose a£ x < b

– hapësira gjysmë të hapura ose gjysmë intervale;

[a; +¥) ose x³ a , (–¥; b] ose x £ b– rrezet;

(a; +¥) ose x> a , (–¥ ; b) ose x < b– rrezet e hapura;

(–¥ ; +¥) ose –¥< X < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

Në shkencë dhe praktikë duhet të merremi lloje te ndryshme sasive. Disa prej tyre, në kushte specifike, mbeten të pandryshuara (konstante), të tjera ndryshojnë (variabla). Për shembull, vëllimi i audiencës, bankat janë konstante dhe vëllimi tullumbace– e ndryshueshme.

NË analiza matematikore do të na interesojë vetëm shprehja numerike e kësaj apo asaj sasie, dhe jo natyra e saj, d.m.th. ne do të shqyrtojmë abstrakte sasive. Prandaj, do të quajmë vlerë konstante atë vlerë që merr një vlerë fikse, specifike (madje të panjohur). Ne do ta shënojmë këtë: X– konst. Më shpesh, konstantet shënohen me shkronja fillestare. Alfabeti latin: a, b, c, ... ose greqisht a, b, e, l, ... .

Ne e konsiderojmë një ndryshore që mund të jetë arbitrare vlerat numerike nga disa grupe numrash. Variablat më së shpeshti përcaktohen me shkronja nga fundi i alfabetit latin: X, në, z, t,... . Kompleti nga i cili një ndryshore merr vlera quhet domeni i përkufizimit të kësaj ndryshoreje dhe shkruhet: xÎD.

Funksioni me një ndryshore të vetme

Së bashku me konceptin e një grupi dhe një elementi të një grupi, konceptet themelore të matematikës përfshijnë konceptin e korrespondencës. Një lloj i caktuar korrespondence quhet funksion.

Le të jepet një bashkësi X me elemente X dhe bashkësia Y, e përbërë nga elementë në(bashkësitë X dhe Y nuk janë bosh, elementet e tyre mund të jenë të çdo natyre).

Përkufizimi 1.1 Nëse çdo element X Oh sipas disa ligjeve(rregull) f përputhet një element i vetëm nëО У, atëherë thonë se është dhënë bashkësia X funksionin y = f(x), X OH ose shfaqja f: X → Y vendos X në grupin Y.

Terminologjia e mëposhtme është miratuar:

X- variabël ose argument i pavarur,

X është domeni i përcaktimit të funksionit dhe secilit element X OH - vlera e argumentit,

në– variabla e varur, ose funksioni i argumentit X,

Y është diapazoni i vlerave të funksionit dhe secilit element në OU është e tillë që
y = f(x) për disa X OH quhet vlera e funksionit.

Në varësi të grupeve X dhe Y, funksionet kanë emra dhe shënime specifike:

nëse X, Y janë nënbashkësi të bashkësisë së numrave realë R, atëherë funksioni në = f (x) quhet funksion real i një argumenti real ose funksion i një ndryshoreje;

nëse HÌR, UUС - funksion kompleks shënohet argumenti real z = f(x);

nëse XOS, Y OS është një funksion kompleks i një argumenti kompleks, i shënuar w = f(z);

nëse XÌN, UÌR është një funksion i një argumenti natyror ose një sekuence y n = f(P);

nëse XÌR 2 (d.m.th. grupi i pikave ( x, në) aeroplan), UÌR, zОУ – funksion real i dy variablave z = f(x, në);

nëse XÌR P (P-hapësira aritmetike dimensionale), УÌR – funksion real P variablave Dhe =f(x 1 ,X 2 , …, x n). Ky dhe funksionet e mësipërme quhen numerike funksione;

nëse XM R, УМ V 2 (bashkësia e vektorëve gjeometrikë në rrafsh) është një funksion vektorial i argumentit skalar, ` r(t)= x(t) +y(t) ;

nëse XÌ R 2, UÌ V 2 është një funksion vektorial i dy argumenteve skalar, `F(x, y) = P( x, y) + Q( x, y) ;

Në analizën matematikore kryesisht studiohen funksionet numerike. Le të shqyrtojmë fillimisht një funksion real të një ndryshoreje. Meqenëse si argumenti ashtu edhe funksioni janë një vlerë numerike reale, ne shpesh do ta përdorim atë në gjininë femërore: ndryshore e pavarur, ndryshore e varur.

Në këtë rast, përkufizimi 1.1 mund të riformulohet si më poshtë:

Përkufizimi 1.2 Nëse çdo vlerë ndryshore X nga grupi numerik XÌR sipas disa ligjeve f i caktuar për një numër të caktuar real në, pastaj ata thonë se në set X jepet një funksion numerik = f (x). Ku X thirrur të pavarur ndryshore (argument), në – i varur ndryshorja (funksioni), X është domeni i përcaktimit të funksionit dhe shënohet me X = D( f) .

Vlerat e shumta që merr në, thirri diapazoni i funksionit dhe shënohet me E( f) . Letër f simbolizon rregullin me të cilin krijohet korrespondenca ndërmjet X Dhe në. Së bashku me letrën f Përdoren edhe shkronja të tjera: y = g(x), y = h(x), y = u(x) . Funksioni gjithashtu mund të shënohet z= j( t), x = f (z), s = S ( fq) etj., d.m.th. si ndryshorja e pavarur dhe ajo e varur mund të shënohen me çdo shkronjë të alfabetit latin.

Dy funksione të barabartë nëse dhe vetëm nëse kanë domenin e njëjtë të përkufizimit dhe për secilën vlerë të argumentit marrin të njëjtën vlerë.

Të përkufizosh një funksion do të thotë të specifikosh një rregull me ndihmën e të cilit për secilën vlerë të argumentit mund të gjesh vlerën përkatëse të funksionit.

Mënyrat themelore për të specifikuar një funksion:

1) Analitike– duke përdorur një ose më shumë formula, për shembull

y= mëkat3 x + x 2 , ,

(dy funksionet e fundit quhen ndonjëherë funksione analitike pjesë-pjesë ose hapa). Nëse një funksion specifikohet në mënyrë analitike (me një formulë), atëherë fusha e përkufizimit kuptohet si grupi i vlerave të argumentit. X, per cilin formula e dhënë mund të llogarisni vlerën përkatëse në(d.m.th. të gjitha operacionet e specifikuara në formulë janë të realizueshme).

Nëse në një formulë që përshkruan një funksion ndryshorja e varur shprehet përmes një ndryshoreje të pavarur, atëherë një funksion i tillë quhet padyshim dhënë. Funksionet e mësipërme janë specifikuar në mënyrë eksplicite.

Nëse barazia që përshkruan funksionin nuk zgjidhet në lidhje me variablin e varur, atëherë funksioni quhet në mënyrë implicite dhënë, Për shembull

X 2 + 3xy – në 3 = 1 ose ln( x+3y) = y 2 .

Një funksion i nënkuptuar mund të përfaqësohet në formë

Ku t- një parametër që merr vlera nga një grup i caktuar. Ky funksion quhet parametrikisht funksioni i dhënë . Për shembull,

, tО R përcakton funksionin y =(X –1) 2 ,

përcakton një funksion .

Specifikimi parametrik i një funksioni përdoret gjerësisht në mekanikë: nëse X = X(t) Dhe në = në(t) ligjet për ndryshimin e koordinatave të një pike lëvizëse, më pas përcaktoj ekuacionet trajektorja lëvizjet.

2) Verbale. Për shembull, "pjesë e plotë e një numri" është numri i plotë më i madh që nuk tejkalon X. Ky funksion është caktuar në = [x].

3) Tabela. Për shembull

X	X 1	X 2	X 3	...
në	në 1	në 2	në 3	...

Kështu specifikohen funksionet, zakonisht të marra nga rezultatet e përvojës, eksperimentit ose llogaritjes.

4) Grafike.

Përkufizimi 1.3. Grafiku i funksionit në = f (x) është vendndodhja gjeometrike e pikave të planit koordinativ XOU me koordinata ( X, f(x)), ku X OD( f).

Imazhi varësia funksionale në formën e një rreshti (grafiku) dhe është duke specifikuar grafikisht funksionin. Për shembull, leximet e oshiloskopit, elektrokardiogrami, etj. - Kjo paraqitje grafike varësitë midis sasive të studiuara.

Vini re se për një funksion me vlerë të vetme, grafiku i tij ka vetëm një pikë kryqëzimi me çdo drejtëz X = A, AО D( f).

Vetitë e funksioneve.

I. Funksioni në = f (x), xÎD, i thirrur kufizuar në grupin D nëse ekziston numra realë A, B të tillë që " x OD kushti A £ f(x) £ B. Grafiku i një funksioni të tillë ndodhet në disa shirit horizontal ndërmjet vijave të drejta në= A dhe në= B (Fig. 1a). Nëse numra të tillë A dhe B nuk ekzistojnë, atëherë funksioni quhet i pakufishëm në bashkësinë D.

nese " xÎD Þ f(x) £ B, pastaj funksioni të kufizuara sipër(Fig. 1 b).

nese " xÎD Þ f(x) ³ A, pastaj funksioni kufizohet më poshtë(Fig. 1c).

Funksionet janë të kufizuara në fushën e tyre të përkufizimit në= mëkat x Dhe y=cos x, sepse për të gjitha vlerat X kryer

– 1 £ mëkat x 1 £ dhe –1 £ kosto x 1 £.

Funksioni është i kufizuar nga lart, sepse per te gjithe vlerat reale X kushti eshte plotesuar në£ 1. Një shembull i një funksioni të kufizuar nga poshtë është funksioni eksponencial në= , sepse > 0 për të gjitha vlerat reale X.

II. Funksioni në = f (x), xÎD, i thirrur në rritje, nëse për ndonjë vlerë të argumentit X 1 , X 2 OD të tilla që X 1 < X 2, kushti eshte plotesuar f(x 1) < f(x 2) (d.m.th. vlerë më të lartë argumenti korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, Fig. 2a).

Funksioni në = f (x), xÎD, i thirrur në rënie, nese " X 1 ,X 2 OD të tilla që X 1 < X 2, gjendja ( f(x 1) > f(x 2) (një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit, Fig. 2b). Funksionet rritëse dhe zvogëluese quhen monotone funksione. Nëse pabarazitë strikte zëvendësohen nga ato jo strikte, atëherë funksioni në përputhje me rrethanat do të quhet jo-zvogëlues dhe jo-rritës.

III. Funksioni në = f (x), xÎD, i thirrur madje, Nëse

" XÎD Þ (- XÎD dhe f (–x) =f (x)).

Grafiku i funksionit çift është simetrik në lidhje me boshtin op-amp (Fig. 3a).

Funksioni në = f (x), xÎD, i thirrur i çuditshëm, Nëse

" XÎD Þ (- XÎD dhe f (–x) =f (x)).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (Fig. 3b).

IV. Funksioni në= f (x), xÎD, i thirrur periodike, Nëse

$T > 0: " XÎD Þ ( X± ТÎD dhe f (x) = f (x± T)).

në

Numri T quhet perioda e funksionit. Në çdo dy segmente ngjitur të boshtit OX me gjatësi T, grafiku i një funksioni periodik ka të njëjtën formë (Fig. 4).

Nëse çdo element x i grupit X (x є X) shoqërohet me një element të mirëpërcaktuar y të grupit Y (y є Y), atëherë ata thonë se funksioni y = f(x) është specifikuar në bashkësinë X. . Në këtë rast emri x. ndryshorja (ose argumenti) e pavarur, y është ndryshorja e varur dhe shkronja f tregon ligjin e korrespondencës. Vendosni emrin X. domeni i përkufizimit, dhe grupi Y është domeni i vlerave të funksionit.

Metodat për specifikimin e funksioneve.

a)analitik, nëse funksioni jepet me formulën y = f(x)

b) metoda tabelare. Ai konsiston në faktin se funksioni specifikohet nga një tabelë që përmban vlerat e argumentit x dhe vlerat përkatëse të funksionit f(x).

c) grafik. Ai konsiston në paraqitjen e një grafiku të një funksioni - një grup pikash (x, y) të planit, abshisat e të cilave janë vlerat e argumentit x, dhe ordinatat janë vlerat përkatëse të funksionit f. (x).

d) logjike

3 . Kufiri i njëanshëm. Ekzistenca e një kufiri në një pikë.

Numri i emrave kufiri i njëanshëm në të majtë të funksionit f(x) në pikën e kondensimit x 0, nëse për ∀ε>0 ∃δ>0, i tillë që x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x )

Numri i emrave kufiri i njëanshëm në të djathtë të funksionit f(x) në pikën e kondensimit x 0, nëse ∀ε>0

∃δ>0, i tillë që x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Numri i emrave një kufi i njëanshëm në të djathtë të funksionit f(x) në pikën e kondensimit x 0, nëse nëse ∀ε>0 ∃δ>0, i tillë që x ∈[ x 0, x 0 + δ) =>

Thelbi i kufirit është në një pikë. Numri A quhet. kufiri i funksionit f(x) pasi x tenton në x 0 (ose pikë x 0), nëse për ndonjë, qoftë edhe arbitrarisht të vogël, numër pozitiv ε>0, ekziston i tillë numër pozitivδ>0 (në varësi të ε, δ=δ(ε)), që për të gjitha x jo të barabarta me x 0 dhe duke përmbushur kushtin , pabarazia është e plotësuar

Shënohet me ose

2. Kufiri i një funksioni dhe vetitë e tij.

Kufizoni trashjen e saktësisë e një bashkësie A quhet pikë x 0 nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike ka bashkësi të ndryshme nga x 0 .

Përcaktimi i kufirit Cauchy. Funksioni y=f(x), i përcaktuar në A, ka një kufi C në pikën e kondensimit x 0 nëse ∀ε>0 ∃δ>0, i tillë që x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, C+ε). Ekzistenca e një kufiri shkruhet si lim x → x 0 f(x)=C ose |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Përcaktimi i kufirit sipas Heine. Nëse për sekuenca të ndryshme (x n) që priren në x 0, sekuenca e vlerave të funksionit (f(x n)) konvergon në një numër të caktuar C, atëherë ky numër quhet kufiri i funksionit f(x).

Përkufizimi i Cauchy përdoret për të justifikuar ekzistencën e një kufiri, dhe përkufizimi i Hein përdoret për të justifikuar mungesën e një kufiri.

Vetitë e kufirit: kufiri është unik dhe funksioni është i kufizuar në një lagje të caktuar të pikës kufitare.

1) Kufiri i vlerës konstante

Kufiri i një sasie konstante është i barabartë me vetë sasinë konstante.