Shumëzimi i një matrice me një numër real. Shumëzimi i një matrice me një numër

Ky udhëzues do t'ju ndihmojë të mësoni se si operacionet e matricës: mbledhja (zbritja) e matricave, transpozimi i një matrice, shumëzimi i matricave, gjetja e inversit të një matrice. I gjithë materiali paraqitet në një formë të thjeshtë dhe të arritshme, jepen shembuj përkatës, kështu që edhe një person i papërgatitur mund të mësojë se si të kryejë veprime me matrica. Për vetëkontroll dhe vetë-test, mund të shkarkoni falas një kalkulator matricë >>>.

Do të përpiqem të minimizoj llogaritjet teorike, në disa vende janë të mundshme shpjegimet "në gishta" dhe përdorimi i termave joshkencor. Dashamirët e teorisë solide, ju lutemi mos u përfshini në kritika, detyra jonë është Mësoni si të punoni me matricat.

Për përgatitjen SUPER-SHPEJTË mbi temën (kush "digjet") ekziston një kurs intensiv pdf. Matricë, përcaktor dhe kompensim!

Një matricë është një tabelë drejtkëndore e disa elementet. Si elementet do të shqyrtojmë numrat, pra matricat numerike. ELEMENTIështë një term. Është e dëshirueshme të mbani mend termin, ai do të ndodhë shpesh, nuk është rastësi që kam përdorur të guximshme për ta theksuar atë.

Përcaktimi: matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine

Shembull: Konsideroni një matricë dy nga tre:

Kjo matricë përbëhet nga gjashtë elementet:

Të gjithë numrat (elementet) brenda matricës ekzistojnë më vete, domethënë nuk bëhet fjalë për ndonjë zbritje:

Është vetëm një tabelë (grumbull) numrash!

Ne gjithashtu do të pajtohemi mos e riorganizoni numri, përveç nëse përcaktohet ndryshe në shpjegim. Secili numër ka vendndodhjen e vet, dhe ju nuk mund t'i përzieni ato!

Matrica në fjalë ka dy rreshta:

dhe tre kolona:

STANDARD: kur flasim për dimensionet e matricës, atëherë së pari tregoni numrin e rreshtave, dhe vetëm atëherë - numrin e kolonave. Sapo kemi zbërthyer matricën dy nga tre.

Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të një matrice është i njëjtë, atëherë matrica quhet katrore, Për shembull: është një matricë tre nga tre.

Nëse matrica ka një kolonë ose një rresht, atëherë quhen edhe matrica të tilla vektorët.

Në fakt, ne e dimë konceptin e një matrice që në shkollë, konsideroni, për shembull, një pikë me koordinatat "x" dhe "y": . Në thelb, koordinatat e një pike shkruhen në një matricë një nga dy. Nga rruga, këtu është një shembull për ju pse renditja e numrave ka rëndësi: dhe janë dy pika krejtësisht të ndryshme të aeroplanit.

Tani le të kalojmë në studim. operacionet e matricës:

1) Veprimi i parë. Heqja e një minus nga një matricë (Futja e një minus në një matricë).

Kthehu te matrica jonë . Siç e keni vënë re ndoshta, ka shumë numra negativë në këtë matricë. Kjo është shumë e papërshtatshme për sa i përket kryerjes së veprimeve të ndryshme me matricën, është e papërshtatshme të shkruash kaq shumë minuse, dhe thjesht duket e shëmtuar në dizajn.

Le ta zhvendosim minusin jashtë matricës duke ndryshuar shenjën e ÇDO elementi të matricës:

Në zero, siç e kuptoni, shenja nuk ndryshon, zero - është gjithashtu zero në Afrikë.

Shembull i kundërt: . Duket e shëmtuar.

Ne futim një minus në matricë duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Epo, është shumë më e bukur. Dhe, më e rëndësishmja, do të jetë MË LEHTË për të kryer çdo veprim me matricën. Sepse ekziston një shenjë e tillë popullore matematikore: sa më shumë minuse - aq më shumë konfuzion dhe gabime.

2) Veprimi dy. Shumëzimi i një matrice me një numër.

Shembull:

Është e thjeshtë, për të shumëzuar një matricë me një numër, ju duhet secili shumëzojeni elementin e matricës me numrin e dhënë. Në këtë rast, tre.

Një shembull tjetër i dobishëm:

– shumëzimi i një matrice me një thyesë

Le të shohim së pari se çfarë të bëjmë NUK KA NEVOJË:

NUK është e nevojshme të futet një fraksion në matricë, së pari, vetëm i vështirëson veprimet e mëtejshme me matricën dhe së dyti, e bën të vështirë për mësuesin të kontrollojë zgjidhjen (veçanërisht nëse - përgjigja përfundimtare e detyrës).

Dhe veçanërisht, NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me minus shtatë:

Nga artikulli Matematikë për dummies ose ku të filloni, kujtojmë se thyesat dhjetore me presje në matematikën e lartë po përpiqen në çdo mënyrë t'i shmangin.

E vetmja gjë e dëshirueshme për të bërë në këtë shembull është të futni një minus në matricë:

Por nëse TE GJITHA Elementet e matricës u ndanë me 7 pa lënë gjurmë, atëherë do të ishte e mundur (dhe e nevojshme!) të ndahej.

Shembull:

Në këtë rast, ju mund të DUHET shumëzojini të gjithë elementët e matricës me , pasi të gjithë numrat në matricë janë të pjesëtueshëm me 2 pa lënë gjurmë.

Shënim: në teorinë e matematikës së lartë nuk ekziston koncepti shkollor i "ndarjes". Në vend të shprehjes "kjo pjesëtohet me këtë", gjithmonë mund të thuash "kjo shumëzohet me një fraksion". Kjo do të thotë, pjesëtimi është një rast i veçantë i shumëzimit.

3) Veprimi i tretë. Transpozimi i matricës.

Për të transpozuar një matricë, duhet të shkruani rreshtat e saj në kolonat e matricës së transpozuar.

Shembull:

Transpozoni Matricën

Këtu ka vetëm një rresht dhe, sipas rregullit, duhet të shkruhet në një kolonë:

është matrica e transpozuar.

Matrica e transpozuar zakonisht shënohet me një mbishkrim ose një goditje në pjesën e sipërme djathtas.

Shembull hap pas hapi:

Transpozoni Matricën

Së pari, ne rishkruajmë rreshtin e parë në kolonën e parë:

Pastaj ne rishkruajmë rreshtin e dytë në kolonën e dytë:

Dhe së fundi, ne rishkruajmë rreshtin e tretë në kolonën e tretë:

Gati. Përafërsisht, të transpozosh do të thotë të kthesh matricën në anën e saj.

4) Veprimi katër. Shuma (diferenca) e matricave.

Shuma e matricave është një veprim i thjeshtë.
JO TË GJITHA MATRIKAT MUND TË PALOSEN. Për të kryer mbledhje (zbritje) të matricave, është e nevojshme që ato të jenë TË TË NJËJTA MADHËSI.

Për shembull, nëse jepet një matricë dy-nga-dy, atëherë ajo mund të shtohet vetëm në një matricë dy-nga-dy dhe asnjë tjetër!

Shembull:

Shtoni matricat dhe

Për të shtuar matrica, duhet të shtoni elementët e tyre përkatës:

Për diferencën e matricave, rregulli është i ngjashëm, është e nevojshme të gjendet dallimi i elementeve përkatës.

Shembull:

Gjeni ndryshimin e matricave ,

Dhe si ta zgjidhim më lehtë këtë shembull, në mënyrë që të mos ngatërrohemi? Këshillohet që të heqni qafe minuset e panevojshme, për këtë ne do të shtojmë një minus në matricë:

Shënim: në teorinë e matematikës së lartë nuk ekziston koncepti shkollor i "zbritjes". Në vend të shprehjes "zbrisni këtë nga kjo", gjithmonë mund të thoni "shtoni një numër negativ në këtë". Domethënë, zbritja është një rast i veçantë i mbledhjes.

5) Veprimi i pestë. Shumëzimi i matricës.

Cilat matrica mund të shumëzohen?

Që një matricë të shumëzohet me një matricë, në mënyrë që numri i kolonave të matricës të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës.

Shembull:
A është e mundur të shumëzohet një matricë me një matricë?

Pra, ju mund të shumëzoni të dhënat e matricës.

Por nëse matricat riorganizohen, atëherë, në këtë rast, shumëzimi nuk është më i mundur!

Prandaj, shumëzimi është i pamundur:

Nuk janë të rralla detyrat me truk, kur një studenti i kërkohet të shumëzojë matrica, shumëzimi i të cilave është padyshim i pamundur.

Duhet të theksohet se në disa raste është e mundur të shumëzohen matricat në të dyja mënyrat.
Për shembull, për matricat, dhe shumëzimi dhe shumëzimi janë të mundshëm

Viti i 1, matematika e larte, studimi matricat dhe veprimet themelore mbi to. Këtu sistematizojmë operacionet kryesore që mund të kryhen me matrica. Si të filloni me matricat? Sigurisht, nga më të thjeshtat - përkufizimet, konceptet themelore dhe operacionet më të thjeshta. Ju sigurojmë se matricat do të kuptohen nga të gjithë ata që i kushtojnë të paktën pak kohë!

Përkufizimi i matricës

Matricëështë një tabelë elementësh drejtkëndëshe. Epo, nëse në terma të thjeshtë - një tabelë numrash.

Matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull, matricë A , matricë B etj. Matricat mund të jenë të madhësive të ndryshme: drejtkëndëshe, katrore, ka edhe matrica rreshtash dhe matrica kolonash të quajtura vektorë. Madhësia e matricës përcaktohet nga numri i rreshtave dhe kolonave. Për shembull, le të shkruajmë një matricë drejtkëndore të madhësisë m në n , ku m është numri i rreshtave, dhe n është numri i kolonave.

Elementet për të cilat i=j (a11, a22, .. ) formojnë diagonalen kryesore të matricës dhe quhen diagonale.

Çfarë mund të bëhet me matricat? Shto/Zbris, shumëzohen me një numër, shumohen mes tyre, transpozoj. Tani për të gjitha këto operacione bazë në matrica në rend.

Veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së matricës

Ne ju paralajmërojmë menjëherë se mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi. Rezultati është një matricë me të njëjtën madhësi. Shtimi (ose zbritja) e matricave është e lehtë − thjesht shtoni elementet e tyre përkatëse . Le të marrim një shembull. Le të kryejmë mbledhjen e dy matricave A dhe B të madhësisë dy nga dy.

Zbritja kryhet me analogji, vetëm me shenjën e kundërt.

Çdo matricë mund të shumëzohet me një numër arbitrar. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni me këtë numër secilin prej elementeve të tij. Për shembull, le të shumëzojmë matricën A nga shembulli i parë me numrin 5:

Operacioni i shumëzimit të matricës

Jo të gjitha matricat mund të shumëzohen me njëra-tjetrën. Për shembull, kemi dy matrica - A dhe B. Ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën vetëm nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B. Për më tepër, çdo element i matricës që rezulton në rreshtin i-të dhe kolonën j-të do të jetë i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës në rreshtin i-të të faktorit të parë dhe kolonës j-të të të dytit.. Për të kuptuar këtë algoritëm, le të shkruajmë se si shumëzohen dy matrica katrore:

Dhe një shembull me numra realë. Le të shumëzojmë matricat:

Operacioni i transpozimit të matricës

Transpozimi i matricës është një operacion ku ndërrohen rreshtat dhe kolonat përkatëse. Për shembull, ne transpozojmë matricën A nga shembulli i parë:

Përcaktues matricë

Përcaktori, oh përcaktor, është një nga konceptet bazë të algjebrës lineare. Njëherë e një kohë, njerëzit dolën me ekuacione lineare dhe pas tyre duhej të shpiknin një përcaktues. Në fund, ju takon të përballeni me gjithë këtë, kështu që shtytja e fundit!

Përcaktori është një karakteristikë numerike e një matrice katrore, e cila nevojitet për të zgjidhur shumë probleme.
Për të llogaritur përcaktuesin e matricës më të thjeshtë katrore, duhet të llogaritni diferencën midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.

Përcaktori i një matrice të rendit të parë, domethënë i përbërë nga një element, është i barabartë me këtë element.

Po sikur matrica të jetë tre me tre? Kjo është më e vështirë, por mund të bëhet.

Për një matricë të tillë, vlera e përcaktorit është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të diagonales kryesore dhe produkteve të elementeve të shtrirë në trekëndësha me faqe paralele me diagonalen kryesore, nga e cila prodhimi i elementeve i diagonales dytësore dhe produkti i elementeve që shtrihen në trekëndësha me faqe paralele me diagonalen dytësore zbriten.

Për fat të mirë, rrallëherë është e nevojshme të llogariten përcaktuesit e matricave të mëdha në praktikë.

Këtu kemi shqyrtuar operacionet bazë në matrica. Natyrisht, në jetën reale nuk mund të hasni asnjëherë një aluzion të një sistemi matricë ekuacionesh, ose anasjelltas, mund të hasni raste shumë më komplekse kur vërtet duhet të grumbulloni trurin tuaj. Pikërisht për raste të tilla ka një shërbim studentor profesional. Kërkoni ndihmë, merrni një zgjidhje cilësore dhe të detajuar, shijoni suksesin akademik dhe kohën e lirë.

Kjo temë do të mbulojë veprime të tilla si mbledhja dhe zbritja e matricave, shumëzimi i një matrice me një numër, shumëzimi i një matrice me një matricë, transpozimi i matricës. Të gjitha simbolet e përdorura në këtë faqe janë marrë nga tema e mëparshme.

Mbledhja dhe zbritja e matricave.

Shuma $A+B$ e matricave $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\herë n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m \herë n) =(c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline( 1,n) $.

Një përkufizim i ngjashëm është prezantuar për diferencën e matricave:

Diferenca $AB$ e matricave $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\times n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë n)=( c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\mbi linjë (1, n)$.

Shpjegim për hyrjen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Hyrja "$i=\overline(1,m)$" do të thotë që parametri $i$ ndryshon nga 1 në m. Për shembull, hyrja $i=\overline(1,5)$ thotë se parametri $i$ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.

Vlen të theksohet se veprimet e mbledhjes dhe zbritjes përcaktohen vetëm për matricat me të njëjtën madhësi. Në përgjithësi, mbledhja dhe zbritja e matricave janë operacione që janë intuitive të qarta, sepse ato nënkuptojnë, në fakt, vetëm mbledhjen ose zbritjen e elementeve përkatëse.

Shembulli #1

Janë dhënë tre matrica:

$$ A=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)\;\; B=\left(\fillimi(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas); \;\; F=\left(\fillimi(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \djathtas). $$

A është e mundur të gjendet matrica $A+F$? Gjeni matricat $C$ dhe $D$ nëse $C=A+B$ dhe $D=A-B$.

Matrica $A$ përmban 2 rreshta dhe 3 kolona (me fjalë të tjera, madhësia e matricës $A$ është $2\herë 3$), dhe matrica $F$ përmban 2 rreshta dhe 2 kolona. Dimensionet e matricës $A$ dhe $F$ nuk përputhen, kështu që nuk mund t'i shtojmë, d.m.th. Operacioni $A+F$ për këto matrica nuk është i përcaktuar.

Madhësitë e matricave $A$ dhe $B$ janë të njëjta, d.m.th. Të dhënat e matricës përmbajnë një numër të barabartë rreshtash dhe kolonash, kështu që operacioni i mbledhjes është i zbatueshëm për to.

$$ C=A+B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)+ \left(\fille(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end (array) \djathtas) $$

Gjeni matricën $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)- \left(\fille(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillimi(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end (array) \djathtas) $$

Përgjigju: $C=\left(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \djathtas)$, $D=\left(\fille(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \djathtas)$.

Shumëzimi i një matrice me një numër.

Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe numri $\alpha$ është matrica $B_(m\herë n)=(b_(ij))$, ku $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline(1,n)$.

E thënë thjesht, të shumëzosh një matricë me një numër do të thotë të shumëzosh çdo element të matricës së dhënë me atë numër.

Shembulli #2

Jepet një matricë: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Gjeni matricat $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dhe $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\majtas(\fille( grup) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\fillim (vargu) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\ majtas(\fillimi(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \fund (array) \djathtas). $$

Shënimi $-A$ është stenografi për $-1\cdot A$. Kjo do të thotë, për të gjetur $-A$, ju duhet të shumëzoni të gjithë elementët e matricës $A$ me (-1). Në fakt, kjo do të thotë që shenja e të gjithë elementëve të matricës $A$ do të ndryshojë në të kundërtën:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas)= \ majtas(\fillimi(grupi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \fund (array) \djathtas) $$

Përgjigju: $3\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas);\; -5\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \djathtas);\; -A=\left(\fillim(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \djathtas)$.

Prodhimi i dy matricave.

Përkufizimi i këtij operacioni është i rëndë dhe, në shikim të parë, i pakuptueshëm. Prandaj, së pari do të tregoj një përkufizim të përgjithshëm, dhe më pas do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë dhe si të punojmë me të.

Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe matricës $B_(n\times k)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë k )=(c_( ij))$, për të cilin çdo element i $c_(ij)$ është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës të rreshtit i-të të matricës $A$ dhe elementeve të Kolona j-të e matricës $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\mbi vijë (1,m), j=\mbi vijë (1,n).$$

Hap pas hapi, ne do të analizojmë shumëzimin e matricave duke përdorur një shembull. Sidoqoftë, duhet t'i kushtoni vëmendje menjëherë që jo të gjitha matricat mund të shumëzohen. Nëse duam të shumëzojmë matricën $A$ me matricën $B$, atëherë së pari duhet të sigurohemi që numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës $B$ (matrica të tilla shpesh quhen ra dakord). Për shembull, matrica $A_(5\herë 4)$ (matrica përmban 5 rreshta dhe 4 kolona) nuk mund të shumëzohet me matricën $F_(9\fish 8)$ (9 rreshta dhe 8 kolona), pasi numri i kolonave të matrica $A $ nuk është e barabartë me numrin e rreshtave të matricës $F$, d.m.th. 4$\neq 9$. Por është e mundur të shumëzohet matrica $A_(5\herë 4)$ me matricën $B_(4\herë 9)$, pasi numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matrica $B$. Në këtë rast, rezultati i shumëzimit të matricave $A_(5\herë 4)$ dhe $B_(4\herë 9)$ do të jetë matrica $C_(5\herë 9)$, që përmban 5 rreshta dhe 9 kolona:

Shembulli #3

Matricat e dhëna: $ A=\left(\fille(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \fund (array) \djathtas)$ dhe $ B=\majtas(\fillimi(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) $. Gjeni matricën $C=A\cdot B$.

Për të filluar, ne përcaktojmë menjëherë madhësinë e matricës $C$. Meqenëse matrica $A$ ka madhësi $3\herë 4$ dhe matrica $B$ ka madhësi $4\herë 2$, madhësia e matricës $C$ është $3\herë 2$:

Pra, si rezultat i produktit të matricave $A$ dhe $B$, duhet të marrim matricën $C$, të përbërë nga tre rreshta dhe dy kolona: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \fund (array) \djathtas)$. Nëse emërtimet e elementeve ngrenë pyetje, atëherë mund të shikoni temën paraprake: "Matricat. Llojet e matricave. Termat bazë", në fillim të së cilës shpjegohet emërtimi i elementeve të matricës. Qëllimi ynë është të gjejmë vlerat e të gjithë elementëve të matricës $C$.

Le të fillojmë me elementin $c_(11)$. Për të marrë elementin $c_(11)$, duhet të gjeni shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:

Për të gjetur vetë elementin $c_(11)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së parë të matricës $B$, d.m.th. elementi i parë tek i pari, i dyti tek i dyti, i treti tek i treti, i katërti tek i katërti. Ne përmbledhim rezultatet e marra:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Le të vazhdojmë zgjidhjen dhe të gjejmë $c_(12)$. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së dytë të matricës $B$:

Ngjashëm me atë të mëparshëm, kemi:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Gjenden të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës $C$. Kalojmë në rreshtin e dytë, i cili fillon me elementin $c_(21)$. Për ta gjetur atë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Elementi tjetër $c_(22)$ gjendet duke shumëzuar elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Për të gjetur $c_(31)$ ne shumëzojmë elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementet e kolonës së parë të matricës $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Dhe, së fundi, për të gjetur elementin $c_(32)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Të gjithë elementët e matricës $C$ janë gjetur, mbetet vetëm të shkruhet se $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \ drejtë) $ . Ose, për ta shkruar atë të plotë:

$$ C=A\cdot B =\majtas(\fillimi(arriti) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \fund (array) \djathtas)\cdot \left(\fillim(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) =\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas). $$

Përgjigju: $C=\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas)$.

Nga rruga, shpesh nuk ka asnjë arsye për të përshkruar në detaje vendndodhjen e secilit element të matricës së rezultatit. Për matricat, madhësia e të cilave është e vogël, mund të bëni sa më poshtë:

Vlen gjithashtu të theksohet se shumëzimi i matricës është jokomutativ. Kjo do të thotë që në përgjithësi $A\cdot B\neq B\cdot A$. Vetëm për disa lloje matricash, të cilat quhen permutacionale(ose në lëvizje), barazia $A\cdot B=B\cdot A$ është e vërtetë. Është në bazë të moskomutativitetit të shumëzimit që kërkohet të tregohet saktësisht se si e shumëzojmë shprehjen me një ose një matricë tjetër: në të djathtë ose në të majtë. Për shembull, shprehja "shumëzo të dyja anët e barazisë $3EF=Y$ me matricën $A$ në të djathtë" do të thotë që ju dëshironi të merrni barazinë e mëposhtme: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpozuar në lidhje me matricën $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ është matrica $A_(n\herë m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, për elementet ku $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

E thënë thjesht, për të marrë matricën e transpozuar $A^T$, duhet të zëvendësoni kolonat në matricën origjinale $A$ me rreshtat përkatës sipas këtij parimi: ishte rreshti i parë - kolona e parë do të bëhet; kishte një rresht të dytë - kolona e dytë do të bëhet; kishte një rresht të tretë - do të ketë një kolonë të tretë dhe kështu me radhë. Për shembull, le të gjejmë matricën e transpozuar në matricën $A_(3\fish 5)$:

Rrjedhimisht, nëse matrica origjinale kishte madhësi $3\herë 5$, atëherë matrica e transpozuar ka madhësi $5\herë 3$.

Disa veti të veprimeve në matrica.

Këtu supozohet se $\alpha$, $\beta$ janë disa numra dhe $A$, $B$, $C$ janë matrica. Për katër pronat e para, unë tregova emrat, pjesa tjetër mund të emërtohet sipas analogjisë me katër të parat.

1. $A+B=B+A$ (komutativiteti i mbledhjes)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativiteti shtesë)
3. $(\alfa+\beta)\cdot A=\alfa A+\beta A$ (shpërndarja e shumëzimit me një matricë në lidhje me mbledhjen e numrave)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alfa A+\alfa B$ (shpërndarja e shumëzimit me një numër në lidhje me mbledhjen e matricës)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, ku $E$ është matrica e identitetit të rendit përkatës.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, ku $O$ është një matricë zero e madhësisë së duhur.
10. $\majtas(A^T \djathtas)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\majtas(\alfa A \djathtas)^T=\alfa A^T$

Në pjesën tjetër, do të shqyrtohet operacioni i ngritjes së një matrice në një fuqi të plotë jo-negativ dhe do të zgjidhen shembuj në të cilët do të kërkohen disa operacione në matrica.

Leksioni №1

MATRIX

Përkufizimi dhe llojet e matricave

Përkufizimi 1.1.Matricë madhësia T P quhet tabelë drejtkëndëshe me numra (ose objekte të tjera) që përmbajnë m linjat dhe n kolonat.

Matricat shënohen me shkronja të mëdha (kapitale) të alfabetit latin, për shembull, A, B, C... Numrat (ose objektet e tjera) që përbëjnë matricën quhen elementet matricat. Elementet e matricës mund të jenë funksione. Për të përcaktuar elementët e matricës, përdoren shkronja të vogla të alfabetit latin me indeksim të dyfishtë: aij, ku është indeksi i parë i(lexo - dhe) - numri i rreshtit, indeksi i dytë j(lexo - drejtpërdrejt) – numri i kolonës.

Përkufizimi 1.2. Matrica quhet katror p- rendit nëse numri i rreshtave të tij është i barabartë me numrin e kolonave dhe është i barabartë me të njëjtin numër P

Për një matricë katrore, konceptet kryesore dhe anësore diagonale.

Përkufizimi 1.3.Diagonalja kryesore një matricë katrore përbëhet nga elementë që kanë të njëjtat indekse, d.m.th. Këto janë elementet: a 11, një 22,…

Përkufizimi 1.4. diagonale nëse të gjithë elementët përveç elementeve të diagonales kryesore janë të barabartë me zero

Përkufizimi 1.5. Matrica katrore quhet trekëndëshi, nëse të gjithë elementët e tij të vendosur poshtë (ose sipër) diagonales kryesore janë të barabarta me zero.

Përkufizimi 1.6. matricë katrore P- rendi i th, në të cilin të gjithë elementët e diagonales kryesore janë të barabarta me një, dhe pjesa tjetër janë të barabarta me zero, quhet beqare matricë n rend, dhe shënohet me shkronjën E.

Përkufizimi 1.7. Një matricë e çdo madhësie quhet i pavlefshëm, ose matricë null, nëse të gjithë elementët e tij janë të barabartë me zero.

Përkufizimi 1.8. Një matricë me një rresht quhet matrica e rreshtave.

Përkufizimi 1.9. Një matricë me një kolonë quhet matrica e kolonës.

A = (a 11 a 12 ... a 1n) - matricë-rresht;

Përkufizimi 1.10. Dy matrica A dhe V me madhësi të njëjtë quhen të barabartë, nëse të gjithë elementët përkatës të këtyre matricave janë të barabartë, d.m.th. aij = bij për çdo i= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, n.

Operacionet e matricës

Në matrica, si dhe në numra, mund të kryhen një sërë operacionesh. Veprimet kryesore mbi matricat janë mbledhja (zbritja) e matricave, shumëzimi i një matrice me një numër dhe shumëzimi i matricave. Këto veprime janë të ngjashme me veprimet me numra. Një operacion specifik është transpozimi i matricës.

Shumëzimi i një matrice me një numër

Përkufizimi 1.11.Prodhimi i matricës A me numrinλ quhet matricë B = A, elementet e të cilit fitohen duke shumëzuar elementet e matricës A te numri λ .

Shembulli 1.1. Gjeni produktin e një matrice A= në numrin 5.

Zgjidhje. .◄ 5A=

Rregulla për shumëzimin e një matrice me një numër: për të shumëzuar një matricë me një numër, duhet të shumëzoni të gjithë elementët e matricës me atë numër.

Pasoja.

1. Faktori i përbashkët i të gjithë elementëve të matricës mund të nxirret jashtë shenjës së matricës.

2. Produkt matricë A numri 0 ka një matricë zero: A· 0 = 0 .

Shtimi i matricës

Përkufizimi 1.12.Shuma e dy matricave A dhe B të njëjtën madhësi t n quajtur matricë ME= A+ V, elementet e të cilit fitohen duke shtuar elementet përkatëse të matricës A dhe matricat V, d.m.th. cij = aij + bij për i = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(d.m.th matricat shtohen element pas elementi).

Pasoja. Shuma e matricës A me një matricë zero është e barabartë me matricën origjinale: A + O = A.

1.2.3. Zbritja e matricës

Dallimi i dy matricave të së njëjtës madhësi përcaktohet përmes operacioneve të mëparshme: A - B \u003d A + (- 1) V.

Përkufizimi 1.13. Matricë –A = (- 1) A thirrur e kundërt matricë A.

Pasoja. Shuma e matricave të kundërta është e barabartë me matricën zero : A + (-A) \u003d O.

Shumëzimi i matricës

Përkufizimi 1.14.Shumëzimi i matricës A me matricën B përcaktohet kur numri i kolonave të matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë. Pastaj produkti i matricës një matricë e tillë quhet , secili element i të cilit cijështë e barabartë me shumën e produkteve të elementeve i-rreshti i matricës A mbi elementët përkatës j-kolona e matricës b.

Shembulli 1.4. Llogaritni prodhimin e matricave A B ku

A=

=

Shembulli 1.5. Gjeni produktet e matricave AB dhe VA, ku

Vërejtje. Nga Shembujt 1.4-1.5 rrjedh se veprimi i shumëzimit të matricës ka disa dallime nga shumëzimi i numrave:

1) nëse prodhimi i matricave AB ekziston, pastaj pas rirregullimit të faktorëve, produkti i matricave VA mund të mos ekzistojë. Në të vërtetë, në shembullin 1.4 produkti i matricës AB ekziston, por produkti BA nuk ekziston;

2) edhe nëse punon AB dhe VA ekzistojnë, atëherë rezultati i produktit mund të jetë matrica me madhësi të ndryshme. Në rastin kur të dyja funksionojnë AB dhe VA ekzistojnë dhe të dyja janë matrica të së njëjtës madhësi (kjo është e mundur vetëm kur shumëzohen matrica katrore të të njëjtit rend), atëherë ligji komutativ (zhvendësues) i shumëzimit ende nuk qëndron, ato. A B Në A, si në shembullin 1.5;

3) megjithatë, nëse shumëzojmë matricën katrore A te matrica e identitetit E i njëjti rend, atëherë AE = EA = A.

Kështu, matrica e identitetit luan të njëjtin rol në shumëzimin e matricës siç luan numri 1 në shumëzimin e numrave;

4) prodhimi i dy matricave jozero mund të jetë i barabartë me matricën zero, d.m.th. A B= 0, kjo nuk rrjedh A = 0 ose B= 0.