Përkufizimi
Funksioni y = f (x) quhet ligj (rregull, hartografi), sipas të cilit, çdo element x i bashkësisë X shoqërohet me një dhe vetëm një element y të grupit Y.

Bashkësia X quhet domeni i funksionit.
Bashkësia e elementeve y ∈ Y, të cilat kanë paraimazhe në bashkësinë X, quhet grup vlerash funksioni(ose varg vlerash).

Domeni funksionet quhen ndonjëherë grup përkufizimi ose shumë detyra funksione.

Elementi x ∈ X thirrur argumenti i funksionit ose ndryshore e pavarur.
Elementi y ∈ Y thirrur vlera e funksionit ose ndryshore e varur.

Vetë hartëzimi f quhet karakteristikë e funksionit.

Karakteristika f ka vetinë që nëse dy elementë dhe nga bashkësia e përkufizimit kanë vlera të barabarta: , atëherë .

Simboli që tregon karakteristikën mund të jetë i njëjtë me simbolin e elementit të vlerës së funksionit. Kjo do të thotë, mund ta shkruani kështu: . Vlen të kujtohet se y është një element nga bashkësia e vlerave të funksionit dhe është rregulli me të cilin elementi x lidhet me elementin y.

Vetë procesi i llogaritjes së një funksioni përbëhet nga tre hapa. Në hapin e parë, ne zgjedhim një element x nga grupi X. Më pas, duke përdorur rregullin, elementi x shoqërohet me një element të grupit Y. Në hapin e tretë, ky element i caktohet ndryshores y.

Vlera private e funksionit thirrni vlerën e një funksioni të dhënë një vlerë të zgjedhur (të veçantë) të argumentit të tij.

Grafiku i funksionit f quhet një grup çiftesh.

Funksionet komplekse

Përkufizimi
Lërini funksionet dhe jepen. Për më tepër, fusha e përcaktimit të funksionit f përmban një grup vlerash të funksionit g. Atëherë çdo element t nga fusha e përcaktimit të funksionit g i korrespondon një elementi x, dhe ky x i përgjigjet y. Kjo korrespondencë quhet funksion kompleks: .

Një funksion kompleks quhet gjithashtu përbërje ose mbivendosje e funksioneve dhe nganjëherë shënohet si më poshtë: .

Në analizën matematikore, përgjithësisht pranohet se nëse një karakteristikë e një funksioni shënohet me një shkronjë ose simbol, atëherë ajo specifikon të njëjtën korrespondencë. Mirëpo, në disiplina të tjera, ekziston një mënyrë tjetër shënimi, sipas së cilës pasqyrimet me të njëjtën karakteristikë, por me argumente të ndryshme, konsiderohen të ndryshme. Kjo do të thotë, hartografitë konsiderohen të ndryshme. Le të japim një shembull nga fizika. Le të themi se marrim parasysh varësinë e momentit nga koordinatat. Dhe le të kemi një varësi të koordinatave nga koha. Atëherë varësia e impulsit nga koha është një funksion kompleks. Por, për shkurtim, caktohet si më poshtë: . Me këtë qasje, dhe janë funksione të ndryshme. Duke pasur parasysh vlerat e njëjta të argumenteve, ato mund të japin vlera të ndryshme. Ky shënim nuk pranohet në matematikë. Nëse kërkohet një reduktim, duhet të futet një karakteristikë e re. Për shembull . Atëherë është qartë e dukshme se dhe janë funksione të ndryshme.

Funksionet e vlefshme

Domeni i një funksioni dhe grupi i vlerave të tij mund të jetë çdo grup.
Për shembull, sekuencat e numrave janë funksione, domeni i të cilave është bashkësia e numrave natyrorë, dhe grupi i vlerave është numra realë ose kompleksë.
Produkti i kryqëzuar është gjithashtu një funksion, pasi për dy vektorë ka vetëm një vlerë të vektorit. Këtu domeni i përkufizimit është bashkësia e të gjithë çifteve të mundshme të vektorëve. Bashkësia e vlerave është bashkësia e të gjithë vektorëve.
Një shprehje Boolean është një funksion. Domeni i tij i përkufizimit është bashkësia e numrave realë (ose çdo grup në të cilin është përcaktuar operacioni i krahasimit me elementin "0"). Grupi i vlerave përbëhet nga dy elementë - "e vërtetë" dhe "e rreme".

Funksionet numerike luajnë një rol të rëndësishëm në analizën matematikore.

Funksioni numerikështë një funksion vlerat e të cilit janë numra realë ose kompleksë.

Funksion real ose realështë një funksion vlerat e të cilit janë numra realë.

Maksimumi dhe minimumi

Numrat real kanë një operacion krahasimi. Prandaj, grupi i vlerave të një funksioni real mund të jetë i kufizuar dhe të ketë vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

Funksioni aktual quhet i kufizuar nga lart (nga poshtë), nëse ka një numër M të tillë që pabarazia vlen për të gjithë:
.

Funksioni i numrave thirret kufizuar, nëse ka një numër M të tillë që për të gjithë:
.

Maksimumi M (minimumi m) funksioni f, në një grup X, vlera e funksionit thirret për një vlerë të caktuar të argumentit të tij, për të cilin për të gjithë,
.

Buza e sipërme ose kufiri i saktë i sipërm Një funksion real i kufizuar më lart është numri më i vogël që kufizon gamën e tij të vlerave nga lart. Kjo do të thotë, ky është një numër s për të cilin, për të gjithë dhe për cilindo, ekziston një argument, vlera e funksionit të të cilit tejkalon s′: .
Kufiri i sipërm i një funksioni mund të shënohet si më poshtë:
.

Kufiri i sipërm i një funksioni me kufi të sipërm

Buza e poshtme ose kufiri i saktë i poshtëm Një funksion real i kufizuar nga poshtë është numri më i madh që kufizon gamën e tij të vlerave nga poshtë. Kjo do të thotë, ky është një numër i për të cilin, për të gjithë dhe për cilindo, ekziston një argument, vlera e funksionit të të cilit është më e vogël se i′: .
Infimum i një funksioni mund të shënohet si më poshtë:
.

Infimumi i një funksioni të kufizuar më të ulëtështë pika në pafundësi.

Kështu, çdo funksion real, në një grup X jo bosh, ka një kufi të sipërm dhe të poshtëm. Por jo çdo funksion ka një maksimum dhe një minimum.

Si shembull, merrni parasysh një funksion të përcaktuar në një interval të hapur.
Kufizohet, në këtë interval, nga lart nga vlera 1 dhe më poshtë - vlera 0 :
per te gjithe .
Ky funksion ka një kufi të sipërm dhe të poshtëm:
.
Por nuk ka maksimum dhe minimum.

Nëse marrim parasysh të njëjtin funksion në segment, atëherë në këtë grup ai kufizohet lart dhe poshtë, ka një kufi të sipërm dhe të poshtëm dhe ka një maksimum dhe një minimum:
per te gjithe ;
;
.

Funksionet monotonike

Përkufizimet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese
Lëreni funksionin të përcaktohet në një grup numrash realë X. Funksioni thirret rreptësisht në rritje (rreptësisht në rënie)
.
Funksioni thirret jo në rënie (jo në rritje), nëse për të gjitha të tilla që vlen pabarazia e mëposhtme:
.

Përkufizimi i një funksioni monoton
Funksioni thirret monotone, nëse nuk është në rënie ose jo në rritje.

Funksionet me shumë vlera

Një shembull i një funksioni me shumë vlera. Degët e saj tregohen me ngjyra të ndryshme. Çdo degë është një funksion.

Siç del nga përkufizimi i funksionit, çdo element x nga fusha e përkufizimit shoqërohet vetëm me një element nga bashkësia e vlerave. Por ka harta në të cilat elementi x ka disa ose një numër të pafund imazhesh.

Si shembull, merrni parasysh funksionin arksine: . Është anasjellta e funksionit sinusit dhe përcaktohet nga ekuacioni:
(1) .
Për një vlerë të dhënë të ndryshores së pavarur x, që i përket intervalit, ky ekuacion plotësohet nga pafundësisht shumë vlera të y (shih figurën).

Le të vendosim një kufizim në zgjidhjet e ekuacionit (1). Le
(2) .
Në këtë kusht, një vlerë e dhënë korrespondon me vetëm një zgjidhje të ekuacionit (1). Kjo do të thotë, korrespondenca e përcaktuar nga ekuacioni (1) në kushtin (2) është një funksion.

Në vend të kushtit (2), mund të vendosni çdo kusht tjetër të formularit:
(2.n) ,
ku n është një numër i plotë. Si rezultat, për çdo vlerë të n, ne do të marrim funksionin tonë, të ndryshëm nga të tjerët. Shumë funksione të ngjashme janë funksion me shumë vlera. Dhe funksioni i përcaktuar nga (1) nën kushtin (2.n) është degë e një funksioni me shumë vlera.

Ky është një grup funksionesh të përcaktuara në një grup të caktuar.

Dega e funksionit me shumë vleraështë një nga funksionet e përfshira në funksionin me shumë vlera.

Funksioni me një vlerëështë një funksion.

Referencat:
O.I. Besov. Ligjërata për analizën matematikore. Pjesa 1. Moskë, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 2003.
CM. Nikolsky. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 1983.

Si ?
Shembuj zgjidhjesh

Nëse diçka mungon diku, do të thotë se ka diçka diku

Ne vazhdojmë të studiojmë seksionin "Funksionet dhe Grafikët" dhe stacioni tjetër në udhëtimin tonë është. Një diskutim aktiv i këtij koncepti filloi në artikullin mbi grupet dhe vazhdoi në mësimin e parë në grafikët e funksioneve, ku shikova funksionet elementare dhe, në veçanti, domenet e tyre të përkufizimit. Prandaj, unë rekomandoj që dummies të fillojnë me bazat e temës, pasi nuk do të ndalem më në disa pika themelore.

Supozohet se lexuesi e njeh domenin e përcaktimit të funksioneve të mëposhtme: funksione lineare, kuadratike, kubike, polinome, eksponenciale, sinus, kosinus. Ato janë përcaktuar në (bashkësia e të gjithë numrave realë). Për tangjentet, harksinat, kështu qoftë, ju fal =) - grafikët më të rrallë nuk mbahen mend menjëherë.

Shtrirja e përkufizimit duket të jetë një gjë e thjeshtë dhe lind një pyetje logjike: për çfarë do të bëhet fjalë artikulli? Në këtë mësim do të shikoj problemet e zakonshme të gjetjes së domenit të një funksioni. Për më tepër, ne do të përsërisim pabarazitë me një ndryshore, aftësitë për zgjidhjen e të cilave do të kërkohen edhe në probleme të tjera të matematikës së lartë. Materiali, nga rruga, është i gjithë materiali shkollor, kështu që do të jetë i dobishëm jo vetëm për studentët, por edhe për studentët. Informacioni, natyrisht, nuk pretendon të jetë enciklopedik, por këtu nuk ka shembuj të “vdekur” të largët, por gështenja të pjekura, të cilat janë marrë nga vepra reale praktike.

Le të fillojmë me një zhytje të shpejtë në temë. Shkurtimisht për gjënë kryesore: po flasim për një funksion të një ndryshoreje. Fusha e përkufizimit të saj është shumë kuptime të "x", per cilin ekzistojnë kuptimi i "lojtarëve". Le të shohim një shembull hipotetik:

Fusha e përkufizimit të këtij funksioni është një bashkim intervalesh:
(për ata që kanë harruar: - ikona e bashkimit). Me fjalë të tjera, nëse merrni ndonjë vlerë të "x" nga intervali , ose nga , ose nga , atëherë për secilën "x" të tillë do të ketë një vlerë "y".

Përafërsisht, ku është fusha e përkufizimit, ekziston një grafik i funksionit. Por gjysma e intervalit dhe pika "tse" nuk përfshihen në zonën e përkufizimit dhe nuk ka grafik atje.

Si të gjeni domenin e një funksioni? Shumë njerëz kujtojnë rimën e fëmijëve: "shkëmb, letër, gërshërë", dhe në këtë rast mund të parafrazohet me siguri: "rrënja, fraksioni dhe logaritmi". Kështu, nëse hasni në një fraksion, rrënjë ose logaritëm në rrugën e jetës suaj, duhet të jeni menjëherë shumë, shumë të kujdesshëm! Tangjenti, kotangjenti, arksina, arkozina janë shumë më pak të zakonshme, dhe ne gjithashtu do të flasim për to. Por së pari, skica nga jeta e milingonave:

Domeni i një funksioni që përmban një fraksion

Supozoni se na është dhënë një funksion që përmban disa fraksione. Siç e dini, nuk mund të pjesëtoni me zero: , pra ato Vlerat "X" që e kthejnë emëruesin në zero nuk përfshihen në fushën e këtij funksioni.

Nuk do të ndalem në funksionet më të thjeshta si etj., pasi të gjithë shohin në mënyrë të përsosur pikat që nuk përfshihen në fushën e tyre të përkufizimit. Le të shohim thyesat më kuptimplote:

Shembulli 1

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: Nuk ka asgjë të veçantë në numërues, por emëruesi duhet të jetë jo zero. Le ta vendosim të barabartë me zero dhe të përpiqemi të gjejmë pikat "të këqija":

Ekuacioni që rezulton ka dy rrënjë: . Vlerat e të dhënave nuk janë në objektin e funksionit. Në të vërtetë, zëvendësoni ose në funksion dhe do të shihni që emëruesi shkon në zero.

Përgjigju: domain:

Hyrja lexon kështu: “fusha e përkufizimit është të gjithë numrat realë me përjashtim të grupit të përbërë nga vlera " Më lejoni t'ju kujtoj se simboli i vijës së prapme në matematikë tregon zbritjen logjike, dhe kllapat kaçurrela tregojnë grupin. Përgjigja mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente si një bashkim i tre intervaleve:

Kushdo që i pëlqen.

Në pika funksioni toleron pushime pa fund, dhe drejtëzat e dhëna nga ekuacionet janë asimptota vertikale për grafikun e këtij funksioni. Megjithatë, kjo është një temë paksa e ndryshme, dhe më tej nuk do të përqendrohem shumë në këtë.

Shembulli 2

Gjeni domenin e një funksioni

Detyra është në thelb gojore dhe shumë prej jush do të gjejnë pothuajse menjëherë zonën e përkufizimit. Përgjigja është në fund të mësimit.

A do të jetë një fraksion gjithmonë "i keq"? Nr. Për shembull, një funksion përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Pavarësisht se çfarë vlere të "x" marrim, emëruesi nuk do të shkojë në zero, për më tepër, do të jetë gjithmonë pozitiv: . Pra, fushëveprimi i këtij funksioni është: .

Të gjitha funksionet si të përcaktuara dhe të vazhdueshme në .

Situata është pak më e ndërlikuar kur emëruesi është i zënë nga një trinom kuadratik:

Shembulli 3

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: Le të përpiqemi të gjejmë pikat në të cilat emëruesi shkon në zero. Për këtë do të vendosim ekuacioni kuadratik:

Diskriminuesi rezultoi negativ, që do të thotë se nuk ka rrënjë reale dhe funksioni ynë përcaktohet në të gjithë boshtin e numrave.

Përgjigju: domain:

Shembulli 4

Gjeni domenin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Ju këshilloj të mos përtoheni me probleme të thjeshta, pasi keqkuptimet do të grumbullohen me shembuj të mëtejshëm.

Domeni i një funksioni me rrënjë

Funksioni i rrënjës katrore përcaktohet vetëm për ato vlera të "x" kur shprehja radikale është jo negative: . Nëse rrënja ndodhet në emërues , atëherë kushti është dukshëm i shtrënguar: . Llogaritje të ngjashme janë të vlefshme për çdo rrënjë të shkallës së barabartë pozitive: , megjithatë, rrënja është tashmë e shkallës së 4-të në studimet e funksionit nuk e mbaj mend.

Shembulli 5

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: shprehja radikale duhet të jetë jo negative:

Para se të vazhdoj me zgjidhjen, më lejoni t'ju kujtoj rregullat bazë për të punuar me pabarazitë, të njohura nga shkolla.

I kushtoj vëmendje të veçantë! Tani po shqyrtojmë pabarazitë me një variabël- domethënë për ne ka vetëm një dimension përgjatë boshtit. Ju lutemi mos ngatërroni me pabarazitë e dy ndryshoreve, ku i gjithë plani koordinativ është i përfshirë gjeometrikisht. Megjithatë, ka edhe rastësi të këndshme! Pra, për pabarazi transformimet e mëposhtme janë ekuivalente:

1) Kushtet mund të transferohen nga një pjesë në tjetrën duke ndryshuar ato (kushtet) shenjat.

2) Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen me një numër pozitiv.

3) Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me negativ numër, atëherë ju duhet të ndryshoni vetë shenjë e pabarazisë. Për shembull, nëse ka pasur "më shumë", atëherë do të bëhet "më pak"; nëse ishte "më pak se ose e barabartë", atëherë do të bëhet "më e madhe se ose e barabartë".

Në pabarazi, ne lëvizim "tre" në anën e djathtë me një ndryshim të shenjës (rregulli nr. 1):

Le të shumëzojmë të dyja anët e pabarazisë me –1 (rregulli nr. 3):

Le të shumëzojmë të dyja anët e pabarazisë me (rregulli nr. 2):

Përgjigju: domain:

Përgjigja mund të shkruhet gjithashtu në një frazë ekuivalente: "funksioni është përcaktuar në ."
Gjeometrikisht, zona e përkufizimit përshkruhet duke hijezuar intervalet përkatëse në boshtin e abshisës. Në këtë rast:

Edhe një herë ju kujtoj kuptimin gjeometrik të fushës së përkufizimit - grafiku i funksionit ekziston vetëm në zonën me hije dhe mungon në .

Në shumicën e rasteve, një përcaktim thjesht analitik i fushës së përkufizimit është i përshtatshëm, por kur funksioni është shumë i ndërlikuar, duhet të vizatoni një bosht dhe të bëni shënime.

Shembulli 6

Gjeni domenin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Kur ka një binom ose trinom katror nën rrënjën katrore, situata bëhet pak më e ndërlikuar dhe tani do të analizojmë në detaje teknikën e zgjidhjes:

Shembulli 7

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: shprehja radikale duhet të jetë rreptësisht pozitive, domethënë duhet të zgjidhim pabarazinë. Në hapin e parë, ne përpiqemi të faktorizojmë trinomin kuadratik:

Diskriminuesi është pozitiv, ne po kërkojmë rrënjë:

Pra, parabola kryqëzon boshtin e abshisës në dy pika, që do të thotë se një pjesë e parabolës ndodhet poshtë boshtit (pabarazia), dhe një pjesë e parabolës ndodhet mbi bosht (pabarazia që na nevojitet).

Meqenëse koeficienti është , degët e parabolës tregojnë lart. Nga sa më sipër rezulton se pabarazia plotësohet në intervalet (degët e parabolës shkojnë lart në pafundësi), dhe kulmi i parabolës ndodhet në intervalin nën boshtin x, i cili korrespondon me pabarazinë:

! Shënim: Nëse nuk i kuptoni plotësisht shpjegimet, vizatoni boshtin e dytë dhe të gjithë parabolën! Këshillohet që të ktheheni te artikulli dhe manuali Formula të nxehta për kursin e matematikës në shkollë.

Ju lutemi vini re se vetë pikat janë hequr (nuk përfshihen në zgjidhje), pasi pabarazia jonë është e rreptë.

Përgjigju: domain:

Në përgjithësi, shumë pabarazi (përfshirë atë të konsideruar) zgjidhen nga universalja metoda e intervalit, i njohur sërish nga kurrikula shkollore. Por në rastet e binomeve katrore dhe trinomeve, për mendimin tim, është shumë më e përshtatshme dhe më e shpejtë për të analizuar vendndodhjen e parabolës në lidhje me boshtin. Dhe ne do të analizojmë metodën kryesore - metodën e intervalit - në detaje në artikull. Funksioni zero. Intervale të qëndrueshme.

Shembulli 8

Gjeni domenin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Mostra komenton me detaje logjikën e arsyetimit + metodën e dytë të zgjidhjes dhe një tjetër transformim të rëndësishëm të pabarazisë, pa dijeninë e të cilit studenti do të çalojë në njërën këmbë..., ...hmm... ndoshta u emocionova. rreth këmbës, më shumë gjasa në një gisht. Gishti i madh.

A mund të përcaktohet një funksion i rrënjës katrore në të gjithë vijën numerike? Sigurisht. Të gjitha fytyrat e njohura: . Ose një shumë e ngjashme me një eksponent: . Në të vërtetë, për çdo vlerë të "x" dhe "ka": , pra edhe dhe .

Këtu është një shembull më pak i dukshëm: . Këtu diskriminuesi është negativ (parabola nuk e pret boshtin x), ndërsa degët e parabolës janë të drejtuara lart, pra domeni i përkufizimit: .

Pyetja e kundërt: a mund të jetë domeni i përkufizimit të një funksioni bosh? Po, dhe një shembull primitiv sugjeron menjëherë veten , ku shprehja radikale është negative për çdo vlerë të "x", dhe domeni i përkufizimit: (ikona e grupit bosh). Një funksion i tillë nuk është fare i përcaktuar (natyrisht, edhe grafiku është iluziv).

Me rrënjë të çuditshme etj. gjithçka është shumë më mirë - këtu shprehja radikale mund të jetë negative. Për shembull, një funksion përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Sidoqoftë, funksioni ka një pikë të vetme që ende nuk është përfshirë në domenin e përkufizimit, pasi emëruesi është vendosur në zero. Për të njëjtën arsye për funksionin pikët janë të përjashtuara.

Domeni i një funksioni me logaritëm

Funksioni i tretë i zakonshëm është logaritmi. Si shembull, unë do të vizatoj logaritmin natyror, i cili shfaqet në afërsisht 99 shembuj nga 100. Nëse një funksion i caktuar përmban një logaritëm, atëherë domeni i tij i përkufizimit duhet të përfshijë vetëm ato vlera të "x" që plotësojnë pabarazinë. Nëse logaritmi është në emërues: , atëherë shtesë vendoset një kusht (pasi ).

Shembulli 9

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: në përputhje me sa më sipër, ne do të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

Zgjidhje grafike për dummies:

Përgjigju: domain:

Do të ndalem në një pikë tjetër teknike - nuk kam shkallën e treguar dhe ndarjet përgjatë boshtit nuk janë shënuar. Shtrohet pyetja: si të bëni vizatime të tilla në një fletore në letër me kuadrate? A duhet të matet distanca ndërmjet pikave me qeliza në mënyrë rigoroze sipas shkallës? Është më kanonik dhe më i rreptë, natyrisht, në shkallë, por një vizatim skematik që pasqyron thelbësisht situatën është gjithashtu mjaft i pranueshëm.

Shembulli 10

Gjeni domenin e një funksioni

Për të zgjidhur problemin, mund të përdorni metodën e paragrafit të mëparshëm - analizoni se si ndodhet parabola në lidhje me boshtin x. Përgjigja është në fund të mësimit.

Siç mund ta shihni, në fushën e logaritmeve gjithçka është shumë e ngjashme me situatën me rrënjët katrore: funksioni (trinomi katror nga shembulli nr. 7) përcaktohet në intervalet dhe funksioni (binomi katror nga shembulli nr. 6) në intervalin . Është e çuditshme edhe të thuhet, funksionet e tipit përcaktohen në të gjithë vijën numerike.

Informacion i dobishëm : funksioni tipik është interesant, ai përcaktohet në të gjithë vijën numerike përveç pikës. Sipas vetive të logaritmit, "dy" mund të shumëzohet jashtë logaritmit, por në mënyrë që funksioni të mos ndryshojë, "x" duhet të mbyllet nën shenjën e modulit: . Këtu është një tjetër "zbatim praktik" i modulit =). Kjo është ajo që duhet të bëni në shumicën e rasteve kur prishni madje shkallë, për shembull: . Nëse baza e shkallës është dukshëm pozitive, për shembull, atëherë nuk ka nevojë për shenjën e modulit dhe mjafton të përdorni kllapa: .

Për të shmangur përsëritjen, le ta komplikojmë detyrën:

Shembulli 11

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: në këtë funksion kemi edhe rrënjën edhe logaritmin.

Shprehja radikale duhet të jetë jo negative: , dhe shprehja nën shenjën e logaritmit duhet të jetë rreptësisht pozitive: . Kështu, është e nevojshme të zgjidhet sistemi:

Shumë prej jush e dinë shumë mirë ose në mënyrë intuitive mendojnë se zgjidhja e sistemit duhet të kënaqë ndaj secilit gjendje.

Duke ekzaminuar vendndodhjen e parabolës në lidhje me boshtin, arrijmë në përfundimin se pabarazia plotësohet nga intervali (hije blu):

Pabarazia padyshim korrespondon me gjysmëintervalin "e kuq".

Meqenëse duhet të plotësohen të dyja kushtet njëkohësisht, atëherë zgjidhja e sistemit është kryqëzimi i këtyre intervaleve. “Interesat e përbashkëta” plotësohen në pjesën e parë.

Përgjigju: domain:

Pabarazia tipike, siç tregohet në shembullin nr. 8, nuk është e vështirë të zgjidhet në mënyrë analitike.

Domeni i gjetur nuk do të ndryshojë për "funksione të ngjashme", p.sh. ose . Ju gjithashtu mund të shtoni disa funksione të vazhdueshme, për shembull: , ose si kjo: , apo edhe si kjo: . Siç thonë ata, rrënja dhe logaritmi janë gjëra kokëfortë. E vetmja gjë është që nëse një nga funksionet "rivendoset" në emërues, atëherë domeni i përkufizimit do të ndryshojë (edhe pse në rastin e përgjithshëm kjo nuk është gjithmonë e vërtetë). Epo, në teorinë e matanit për këtë verbale... oh... ka teorema.

Shembulli 12

Gjeni domenin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Përdorimi i një vizatimi është mjaft i përshtatshëm, pasi funksioni nuk është më i thjeshtë.

Disa shembuj të tjerë për të përforcuar materialin:

Shembulli 13

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: le të kompozojmë dhe zgjidhim sistemin:

Të gjitha veprimet tashmë janë diskutuar gjatë gjithë artikullit. Le të përshkruajmë intervalin që korrespondon me pabarazinë në vijën numerike dhe, sipas kushtit të dytë, eliminojmë dy pika:

Kuptimi doli të ishte krejtësisht i parëndësishëm.

Përgjigju: domain

Një lojë e vogël matematikore për një variant të shembullit të 13-të:

Shembulli 14

Gjeni domenin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ata që e humbën nuk kanë fat ;-)

Pjesa e fundit e mësimit i kushtohet funksioneve më të rralla, por edhe "punuese":

Zonat e përkufizimit të funksionit
me tangjente, kotangjente, arksina, arkosina

Nëse ndonjë funksion përfshin , atëherë nga fusha e tij e përkufizimit përjashtuar pikë , Ku Z– një grup numrash të plotë. Në veçanti, siç theksohet në artikull Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare, funksioni ka vlerat e mëposhtme:

Kjo është, fusha e përkufizimit të tangjentes: .

Le të mos vrasim shumë:

Shembulli 15

Gjeni domenin e një funksioni

Zgjidhje: në këtë rast, pikat e mëposhtme nuk do të përfshihen në fushën e përkufizimit:

Le të hedhim "dy" të anës së majtë në emëruesin e anës së djathtë:

Si rezultat :

Përgjigju: domain: .

Në parim, përgjigja mund të shkruhet si një bashkim i një numri të pafund intervalesh, por ndërtimi do të jetë shumë i rëndë:

Zgjidhja analitike është plotësisht në përputhje me transformimi gjeometrik i grafikut: nëse argumenti i një funksioni shumëzohet me 2, atëherë grafiku i tij do të tkurret në bosht dy herë. Vini re se si periudha e funksionit është përgjysmuar dhe pikat e pushimit dyfishuar në frekuencë. Takikardi.

Një histori e ngjashme me cotangent. Nëse ndonjë funksion përfshin , atëherë pikat përjashtohen nga fusha e tij e përkufizimit. Në veçanti, për funksionin e shpërthimit automatik ne shkrepim vlerat e mëposhtme:

Me fjale te tjera:

Një funksion është një model. Le të përcaktojmë X si një grup vlerash të një ndryshoreje të pavarur // e pavarur do të thotë çdo.

Një funksion është një rregull me ndihmën e të cilit, për çdo vlerë të një ndryshoreje të pavarur nga bashkësia X, mund të gjendet një vlerë unike e ndryshores së varur. // d.m.th. për çdo x ka një y.

Nga përkufizimi del se ekzistojnë dy koncepte - një ndryshore e pavarur (të cilën e shënojmë me x dhe mund të marrë çdo vlerë) dhe një ndryshore e varur (që e shënojmë me y ose f (x) dhe llogaritet nga funksioni kur ne zevendesojme x).

PËR SHEMBULL y=5+x

1. I pavarur është x, që do të thotë se marrim çdo vlerë, le të x=3

2. Tani le të llogarisim y, që do të thotë y=5+x=5+3=8. (y varet nga x, sepse çfarëdo x që zëvendësojmë, marrim të njëjtën y)

Variabla y thuhet se varet funksionalisht nga ndryshorja x dhe shënohet si më poshtë: y = f (x).

PËR SHEMBULL.

1.y=1/x. (i quajtur hiperbolë)

2. y=x^2. (i quajtur parabolë)

3.y=3x+7. (i quajtur vija e drejtë)

4. y= √ x. (i quajtur dega e parabolës)

Ndryshorja e pavarur (të cilën e shënojmë me x) quhet argument i funksionit.

Funksioni Domain

Bashkësia e të gjitha vlerave që merr një argument funksioni quhet domeni i funksionit dhe shënohet D(f) ose D(y).

Konsideroni D(y) për 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) dhe (0;+∞) //i gjithë bashkësia e numrave realë përveç zeros.

2. D (y)= (∞; +∞)//i gjithë numri i numrave realë

3. D (y)= (∞; +∞)//i gjithë numri i numrave realë

4. D (y)= - ∞; + ∞[ .

Shembull 1. Gjeni domenin e një funksioni y = 2 .

Zgjidhje. Fusha e përkufizimit të funksionit nuk tregohet, që do të thotë se në bazë të përkufizimit të mësipërm, nënkuptohet domeni natyror i përkufizimit. Shprehje f(x) = 2 e përcaktuar për çdo vlerë reale x Prandaj, ky funksion përcaktohet në të gjithë grupin R numra realë.

Prandaj, në vizatimin e mësipërm, vija numerike është e hijezuar gjatë gjithë rrugës nga minus pafundësia në plus pafundësi.

Zona e përcaktimit të rrënjës n shkalla e th

Në rastin kur funksioni jepet me formulën dhe n- numri natyror:

Shembulli 2. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Siç del nga përkufizimi, një rrënjë e një shkalle çift ka kuptim nëse shprehja radikale është jo negative, domethënë nëse - 1 ≤ x≤ 1. Prandaj, domeni i përkufizimit të këtij funksioni është [- 1; 1] .

Zona e hijezuar e vijës numerike në vizatimin e mësipërm është fusha e përcaktimit të këtij funksioni.

Funksioni i fushës së fuqisë

Domeni i një funksioni fuqie me një eksponent numër të plotë

Nëse a- pozitive, atëherë fusha e përcaktimit të funksionit është bashkësia e të gjithë numrave realë, pra ]- ∞; + ∞[ ;

Nëse a- negative, atëherë fusha e përcaktimit të funksionit është bashkësia ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , domethënë e gjithë rreshti numerik përveç zeros.

Në vizatimin përkatës të mësipërm, e gjithë vija numerike është e hijezuar dhe pika që i korrespondon zeros është zhveshur (nuk përfshihet në domenin e përkufizimit të funksionit).

Shembulli 3. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Termi i parë është një fuqi numër i plotë x e barabartë me 3, dhe fuqia e x në termin e dytë mund të përfaqësohet si një - gjithashtu një numër i plotë. Rrjedhimisht, fusha e përcaktimit të këtij funksioni është e gjithë boshti numerik, pra ]- ∞; + ∞[ .

Domeni i një funksioni fuqie me një eksponent thyesor

Në rastin kur funksioni jepet me formulën:

nëse është pozitive, atëherë fusha e përcaktimit të funksionit është bashkësia 0; + ∞[ .

Shembulli 4. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Të dy termat në shprehjen e funksionit janë funksione fuqie me eksponentë thyesorë pozitivë. Rrjedhimisht, domeni i përcaktimit të këtij funksioni është bashkësia - ∞; + ∞[ .

Domeni i funksioneve eksponenciale dhe logaritmike

Domeni i funksionit eksponencial

Në rastin kur një funksion jepet me një formulë, domeni i përcaktimit të funksionit është e gjithë boshti numerik, pra ] - ∞; + ∞[ .

Domeni i funksionit logaritmik

Funksioni logaritmik përcaktohet me kusht që argumenti i tij të jetë pozitiv, domethënë domeni i përkufizimit të tij është bashkësia ]0; + ∞[ .

Gjeni vetë domenin e funksionit dhe më pas shikoni zgjidhjen

Fusha e funksioneve trigonometrike

Funksioni Domain y= cos( x) - gjithashtu shumë R numra realë.

Funksioni Domain y= tg( x) - një tufë me R numra realë të ndryshëm nga numrat .

Funksioni Domain y= ctg( x) - një tufë me R numra realë, përveç numrave.

Shembulli 8. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Funksioni i jashtëm është një logaritëm dhjetor dhe fusha e tij e përkufizimit i nënshtrohet kushteve të fushës së përkufizimit të një funksioni logaritmik në përgjithësi. Kjo do të thotë, argumenti i saj duhet të jetë pozitiv. Argumenti këtu është sinusi i "x". Duke e kthyer një busull imagjinar rreth një rrethi, ne shohim se kushti mëkat x> 0 shkelet kur "x" është e barabartë me zero, "pi", dy, shumëzuar me "pi" dhe përgjithësisht e barabartë me prodhimin e "pi" dhe çdo numër të plotë çift ose tek.

Kështu, fusha e përcaktimit të këtij funksioni jepet nga shprehja

,

Ku k- një numër i plotë.

Fusha e përkufizimit të funksioneve trigonometrike të anasjellta

Funksioni Domain y= harksin( x) - vendos [-1; 1] .

Funksioni Domain y= arccos( x) - edhe grupi [-1; 1] .

Funksioni Domain y= arktan( x) - një tufë me R numra realë.

Funksioni Domain y= arcctg( x) - gjithashtu shumë R numra realë.

Shembulli 9. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Le të zgjidhim pabarazinë:

Kështu, marrim domenin e përkufizimit të këtij funksioni - segmentin [- 4; 4] .

Shembulli 10. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Le të zgjidhim dy pabarazi:

Zgjidhja e pabarazisë së parë:

Zgjidhja e pabarazisë së dytë:

Kështu, marrim domenin e përkufizimit të këtij funksioni - segmentin.

Shtrirja e fraksionit

Nëse një funksion jepet nga një shprehje thyesore në të cilën ndryshorja është në emëruesin e thyesës, atëherë fusha e përcaktimit të funksionit është bashkësia R numra realë, përveç këtyre x, në të cilën emëruesi i thyesës bëhet zero.

Shembulli 11. Gjeni domenin e një funksioni .

Zgjidhje. Duke zgjidhur barazinë e emëruesit të thyesës në zero, gjejmë domenin e përkufizimit të këtij funksioni - bashkësinë ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .