Pra, nëse një shprehje numerike përbëhet nga numra dhe shenja +, -, · dhe:, atëherë në rend nga e majta në të djathtë, së pari duhet të kryeni shumëzim dhe pjesëtim, dhe më pas mbledhje dhe zbritje, të cilat do t'ju lejojnë të gjeni dëshirën. vlera e shprehjes.
Le të japim një zgjidhje shembujsh për sqarim.
Shembull.
Vlerëso vlerën e shprehjes 14−2 · 15: 6−3.
Zgjidhje.
Për të gjetur vlerën e një shprehjeje, duhet të kryeni të gjitha veprimet e treguara në të në përputhje me rendin e pranuar të kryerjes së këtyre veprimeve. Së pari, në mënyrë nga e majta në të djathtë, ne kryejmë shumëzim dhe pjesëtim, marrim 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Tani, gjithashtu, me rend nga e majta në të djathtë, kryejmë veprimet e mbetura: 14−5−3 = 9−3 = 6. Pra, gjetëm vlerën e shprehjes origjinale, është 6.
Përgjigje:
14-215: 6-3 = 6.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes.
Zgjidhje.
V ky shembull fillimisht duhet të bëjmë shumëzimin 2 · (−7) dhe pjesëtimin dhe shumëzimin në shprehje. Duke kujtuar se si është bërë, gjejmë 2 (−7) = - 14. Dhe për të kryer veprime në shprehje, së pari 
, pastaj 
, dhe ekzekutoni: 
.
Zëvendësoni vlerat e marra në shprehjen origjinale:.
Por, çka nëse ka një shprehje numerike nën shenjën e rrënjës? Për të marrë vlerën e një rrënjë të tillë, së pari duhet të gjeni vlerën e shprehjes radikale, duke iu përmbajtur rendit të pranuar të ekzekutimit të veprimeve. Për shembull,.
Në shprehjet numerike, rrënjët duhet të perceptohen si disa numra, dhe këshillohet që menjëherë të zëvendësohen rrënjët me vlerat e tyre, dhe më pas të gjeni vlerën e shprehjes që rezulton pa rrënjë, duke kryer veprime në sekuencën e pranuar.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes me rrënjë.
Zgjidhje.
Së pari, gjejmë vlerën e rrënjës 
... Për ta bërë këtë, së pari, ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale, ne kemi −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... Dhe së dyti, gjejmë vlerën e rrënjës.
Tani le të llogarisim vlerën e rrënjës së dytë nga shprehja origjinale:.
Më në fund, mund të gjejmë vlerën e shprehjes origjinale duke zëvendësuar rrënjët me vlerat e tyre:.
Përgjigje:
Shumë shpesh, për të bërë të mundur gjetjen e vlerës së një shprehjeje me rrënjë, fillimisht duhet ta transformoni atë. Le të tregojmë zgjidhjen e një shembulli.
Shembull.
Cili është kuptimi i shprehjes 
.
Zgjidhje.
Nuk mund të zëvendësojmë rrënjën e tre me vlerën e saj të saktë, gjë që nuk na lejon të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje në mënyrën e përshkruar më sipër. Megjithatë, ne mund të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje duke kryer transformime të thjeshta. E aplikueshme formula e dallimit të katrorëve:. Duke marrë parasysh, ne marrim 
... Kështu, vlera e shprehjes origjinale është 1.
Përgjigje:
.
Me gradë
Nëse baza dhe eksponenti janë numra, atëherë vlera e tyre llogaritet sipas përcaktimit të eksponentit, për shembull, 3 2 = 3 · 3 = 9 ose 8 −1 = 1/8. Ekzistojnë gjithashtu regjistrime kur baza dhe/ose eksponenti janë disa shprehje. Në këto raste, duhet të gjeni vlerën e shprehjes në bazë, vlerën e shprehjes në eksponent dhe më pas të llogarisni vlerën e vetë shkallës.
Shembull.
Gjeni vlerën e një shprehjeje me fuqitë e formës 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4.
Zgjidhje.
Në shprehjen origjinale, dy shkallë janë 2 3 4-10 dhe (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Vlerat e tyre duhet të llogariten përpara se të kryeni ndonjë hap tjetër.
Le të fillojmë me një fuqi 2 3 4−10. Në treguesin e tij ekziston një shprehje numerike, ne llogarisim vlerën e saj: 3 4-10 = 12-10 = 2. Tani mund të gjeni vlerën e vetë shkallës: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.
Në bazë dhe eksponent (1-1 / 2) 3,5-2 Ne kemi (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.
Tani kthehemi te shprehja origjinale, zëvendësojmë fuqitë në të me vlerat e tyre dhe gjejmë vlerën e shprehjes që na nevojitet: 2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.
Përgjigje:
2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 6.
Vlen të përmendet se ka raste më të zakonshme kur këshillohet të kryhet një paraprak thjeshtimi i shprehjes me fuqi në bazë.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Duke gjykuar nga eksponentët në këtë shprehje, nuk mund të merren vlerat e sakta të eksponentëve. Le të përpiqemi të thjeshtojmë shprehjen origjinale, mbase kjo do të ndihmojë në gjetjen e kuptimit të saj. Ne kemi 
Përgjigje:
.
Diplomat në shprehje shpesh shkojnë paralelisht me logaritmet, por ne do të flasim për gjetjen e vlerave të shprehjeve me logaritme në njërën prej tyre.
Gjetja e vlerës së një shprehjeje me thyesa
Shprehjet numerike në shënimin e tyre mund të përmbajnë thyesa. Kur ju duhet të gjeni kuptimin e një shprehjeje të tillë, fraksionet e tjera nga fraksionet e zakonshme duhet të zëvendësohen me vlerat e tyre përpara se të kryeni pjesën tjetër të hapave.
Numëruesi dhe emëruesi i thyesave (të cilët janë të ndryshëm nga thyesat e zakonshme) mund të përmbajnë disa numra dhe shprehje. Për të llogaritur vlerën e një fraksioni të tillë, duhet të llogaritni vlerën e shprehjes në numërues, të llogarisni vlerën e shprehjes në emërues dhe më pas të llogarisni vlerën e vetë fraksionit. Ky renditje shpjegohet me faktin se thyesa a / b, ku a dhe b janë disa shprehje, është në thelb një herës i formës (a) :( b), pasi.
Le të shqyrtojmë zgjidhjen e një shembulli.
Shembull.
Gjeni kuptimin e një shprehjeje me thyesa 
.
Zgjidhje.
Në shprehjen numerike origjinale, tre thyesa 
dhe . Për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale, fillimisht na duhen këto thyesa, zëvendësojini ato me vlera. Le ta bejme.
Numëruesi dhe emëruesi i thyesës përmbajnë numra. Për të gjetur vlerën e një fraksioni të tillë, zëvendësoni shiritin thyesor me një shenjë ndarjeje dhe kryeni këtë veprim: 
.
Numëruesi i fraksionit përmban shprehjen 7−2 · 3, vlera e tij është e lehtë për t'u gjetur: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. Në këtë mënyrë, . Mund të vazhdoni me gjetjen e vlerës së fraksionit të tretë.
Pjesa e tretë në numërues dhe emërues përmban shprehje numerike, prandaj, së pari duhet të llogaritni vlerat e tyre, dhe kjo do t'ju lejojë të gjeni vlerën e vetë fraksionit. Ne kemi 
.
Mbetet të zëvendësojmë vlerat e gjetura në shprehjen origjinale dhe të kryejmë veprimet e mbetura:.
Përgjigje:
.
Shpesh, kur gjeni vlerat e shprehjeve me thyesa, duhet të bëni thjeshtimi i shprehjeve thyesore bazuar në kryerjen e veprimeve me thyesa dhe në zvogëlimin e thyesave.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Rrënja e pesë nuk është ekstraktuar plotësisht, kështu që për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale, së pari le ta thjeshtojmë atë. Për këtë shpëtoj nga irracionaliteti në emërues thyesa e parë: 
... Pas kësaj, shprehja origjinale do të marrë formën 
... Pas zbritjes së thyesave, rrënjët do të zhduken, gjë që do të na lejojë të gjejmë fillimisht vlerën për të kësaj shprehjeje: .
Përgjigje:
.
Me logaritme
Nëse shprehja numerike përmban, dhe nëse është e mundur të shpëtoni prej tyre, atëherë kjo bëhet përpara se të kryeni pjesën tjetër të veprimeve. Për shembull, kur gjeni vlerën e shprehjes log 2 4 + 2 + 6 = 8.
Kur ka shprehje numerike nën shenjën e logaritmit dhe/ose në bazën e tij, fillimisht gjenden vlerat e tyre, pas së cilës llogaritet vlera e logaritmit. Për shembull, merrni parasysh një shprehje me një logaritëm të formës 
... Në bazën e logaritmit dhe nën shenjën e tij ka shprehje numerike, gjejmë vlerat e tyre:. Tani gjejmë logaritmin, pas së cilës plotësojmë llogaritjet:.
Nëse logaritmet nuk llogariten saktësisht, atëherë thjeshtimi i shprehjes fillestare duke përdorur atë mund të ndihmojë për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale. Në të njëjtën kohë, duhet të zotëroni mirë materialin e artikullit. konvertimin e shprehjeve logaritmike.
Shembull.
Gjeni vlerën e një shprehjeje me logaritme 
.
Zgjidhje.
Le të fillojmë duke llogaritur log 2 (log 2 256). Meqenëse 256 = 2 8, atëherë log 2 256 = 8, pra log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.
Logaritmet e log 6 2 dhe log 6 3 mund të grupohen. Shuma e logaritmeve të log 6 2 + log 6 3 është e barabartë me logaritmin e produktit log 6 (2 3), pra log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Tani le të merremi me thyesën. Për të filluar, ne do të rishkruajmë bazën e logaritmit në emërues si një fraksion i zakonshëm si 1/5, pas së cilës do të përdorim vetitë e logaritmeve, të cilat do të na lejojnë të marrim vlerën e fraksionit: 
.
Mbetet vetëm për të zëvendësuar rezultatet e fituara në shprehjen origjinale dhe për të përfunduar gjetjen e vlerës së saj: 
Përgjigje:
Si ta gjej vlerën e një shprehjeje trigonometrike?
Kur një shprehje numerike përmban ose, etj., vlerat e tyre llogariten përpara se të kryhen veprime të tjera. Nëse ka shprehje numerike nën shenjën e funksioneve trigonometrike, atëherë së pari llogariten vlerat e tyre, pas së cilës gjenden vlerat e funksioneve trigonometrike.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Duke iu referuar artikullit, marrim 
dhe cosπ = -1. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen origjinale, ajo merr formën 
... Për të gjetur vlerën e tij, së pari duhet të kryeni fuqizimin, dhe më pas të përfundoni llogaritjet:.
Përgjigje:
.
Duhet të theksohet se llogaritja e vlerave të shprehjeve me sinus, kosinus, etj. shpesh kërkon para shndërrimi i shprehjes trigonometrike.
Shembull.
Sa është vlera e një shprehjeje trigonometrike 
.
Zgjidhje.
Ne e transformojmë shprehjen origjinale duke përdorur, in në këtë rast na duhet një formulë kosinusi me kënd të dyfishtë dhe një formulë kosinusi shumës: 
Shndërrimet e kryera na ndihmuan të gjejmë kuptimin e shprehjes.
Përgjigje:
.
Rasti i përgjithshëm
V rast i përgjithshëm një shprehje numerike mund të përmbajë rrënjë, fuqi, thyesa, funksione dhe kllapa. Gjetja e vlerave të shprehjeve të tilla duhet të bëni sa më poshtë:
- rrënjët e para, fuqitë, thyesat etj. zëvendësohen nga vlerat e tyre,
- veprime të mëtejshme në kllapa,
- dhe me rend nga e majta në të djathtë kryhen veprimet e mbetura - shumëzimi dhe pjesëtimi, pasuar nga mbledhja dhe zbritja.
Veprimet e listuara kryhen derisa të merret rezultati përfundimtar.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Forma e kësaj shprehjeje është mjaft e ndërlikuar. Në këtë shprehje, ne shohim thyesën, rrënjët, shkallët, sinusin dhe logaritmin. Si e gjeni kuptimin e saj?
Duke lëvizur përgjatë rekordit nga e majta në të djathtë, hasim në një pjesë të formës 
... Ne e dimë se kur punojmë me thyesa komplekse, duhet të llogarisim veçmas vlerën e numëruesit, veçmas - emëruesin dhe, së fundi, të gjejmë vlerën e thyesës.
Në numërues kemi një rrënjë të formës 
... Për të përcaktuar vlerën e tij, së pari duhet të llogaritni vlerën e shprehjes radikale 
... Këtu ka një sinus. Vlerën e saj mund ta gjejmë vetëm pasi të kemi llogaritur vlerën e shprehjes 
... Ne mund ta bëjmë këtë:. Pastaj, nga dhe 
.
Emëruesi është i thjeshtë:.
Në këtë mënyrë, 
.
Pas zëvendësimit të këtij rezultati në shprehjen origjinale, ai do të marrë formën. Shprehja që rezulton përmban shkallën. Për të gjetur vlerën e tij, së pari duhet të gjeni vlerën e treguesit, ne kemi 
.
Kështu që, .
Përgjigje:
.
Nëse nuk është e mundur të llogaritni vlerat e sakta të rrënjëve, shkallëve, etj., Atëherë mund të përpiqeni të shpëtoni prej tyre duke përdorur disa transformime, dhe më pas të ktheheni në llogaritjen e vlerës sipas skemës së treguar.
Mënyra racionale për llogaritjen e vlerave të shprehjeve
Llogaritja e vlerave të shprehjeve numerike kërkon qëndrueshmëri dhe kujdes. Po, duhet t'i përmbaheni sekuencës së veprimeve të regjistruara në paragrafët e mëparshëm, por nuk keni nevojë ta bëni atë verbërisht dhe mekanikisht. Me këtë nënkuptojmë se shpeshherë është e mundur të racionalizohet procesi i gjetjes së kuptimit të një shprehjeje. Për shembull, disa veti të veprimeve me numra mund të shpejtojnë dhe thjeshtojnë ndjeshëm gjetjen e vlerës së një shprehjeje.
Për shembull, ne e dimë këtë veti të shumëzimit: nëse një nga faktorët në produkt është zero, atëherë vlera e produktit është e barabartë me zero. Duke përdorur këtë veti, mund të themi menjëherë se vlera e shprehjes 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) është e barabartë me zero. Nëse do t'i përmbaheshim rendit standard të kryerjes së veprimeve, atëherë së pari do të duhej të llogarisnim vlerat e shprehjeve të mëdha në kllapa, dhe kjo do të merrte shumë kohë, dhe rezultati do të ishte akoma zero.
Është gjithashtu e përshtatshme të përdoret vetia e zbritjes së numrave të barabartë: nëse zbrisni një numër të barabartë nga një numër, rezultati do të jetë zero. Kjo veti mund të konsiderohet më gjerësisht: ndryshimi midis dy shprehjeve numerike identike është zero. Për shembull, pa vlerësuar vlerat e shprehjeve në kllapa, mund të gjeni vlerën e shprehjes (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), është e barabartë me zero, pasi shprehja origjinale është diferenca e të njëjtave shprehje.
Transformimet identike mund të kontribuojnë në llogaritjen racionale të vlerave të shprehjeve. Për shembull, grupimi i termave dhe faktorëve mund të jetë i dobishëm dhe shpesh përdoren edhe kllapa. Pra, vlera e shprehjes 53 5 + 53 7−53 11 + 5 është shumë e lehtë për t'u gjetur pasi të vendoset faktori 53 jashtë kllapave: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Llogaritja e drejtpërdrejtë do të zgjaste shumë më tepër.
Në fund të këtij paragrafi, le t'i kushtojmë vëmendje një qasjeje racionale për llogaritjen e vlerave të shprehjeve me thyesa - të njëjtët faktorë në numëruesin dhe emëruesin e një fraksioni anulohen. Për shembull, anulimi i të njëjtave shprehje në numëruesin dhe emëruesin e një thyese 
ju lejon të gjeni menjëherë vlerën e saj, e cila është 1/2.
Gjetja e vlerës së një shprehje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore
Kuptimi i një shprehje alfabetike dhe një shprehje me variabla gjendet për vlera specifike të specifikuara të shkronjave dhe variablave. Kjo eshte, vjen për gjetjen e kuptimit shprehje fjalë për fjalë për vlerat e dhëna të shkronjave ose për gjetjen e vlerës së një shprehjeje me variabla për vlerat e zgjedhura të variablave.
Rregulla gjetja e vlerës së një shprehje alfabetike ose një shprehje me variabla për vlerat e dhëna të shkronjave ose vlerat e zgjedhura të variablave është si më poshtë: ju duhet të zëvendësoni këto vlera të shkronjave ose variablave në shprehjen origjinale dhe të llogaritni vlera e rezultatit shprehje numerike, është vlera e dëshiruar.
Shembull.
Vlerëso shprehjen 0,5 x − y me x = 2,4 dhe y = 5.
Zgjidhje.
Për të gjetur vlerën e kërkuar të shprehjes, së pari duhet të zëvendësoni këto vlera të variablave në shprehjen origjinale dhe më pas të kryeni hapat e mëposhtëm: 0.5 · 2.4-5 = 1.2-5 = -3.8.
Përgjigje:
−3,8 .
Si përfundim, vërejmë se ndonjëherë kryerja e transformimeve të shprehjeve dhe shprehjeve fjalë për fjalë me ndryshore ju lejon të merrni vlerat e tyre, pavarësisht nga vlerat e shkronjave dhe ndryshoreve. Për shembull, shprehja x + 3 − x mund të thjeshtohet, pas së cilës bëhet 3. Prandaj, mund të konkludojmë se vlera e shprehjes x + 3 − x është e barabartë me 3 për çdo vlerë të ndryshores x nga diapazoni i saj i vlerave të lejuara (ODV). Një shembull tjetër: vlera e shprehjes është e barabartë me 1 për të gjitha vlerat pozitive të x, kështu që diapazoni i vlerave të vlefshme të ndryshores x në shprehjen origjinale është grupi numra pozitiv, dhe barazia ndodh në këtë rajon.
Bibliografi.
- Matematika: tekst shkollor. për 5 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi i 21-të, Fshirë. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. Klasa 6: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm. institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, Rev. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 f.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algjebra: studim. për 7 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008 .-- 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algjebra: studim. për 8 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008 .-- 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algjebra: Klasa 9: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009 .-- 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algjebër dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. për 10-11 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M .: Arsimi, 2004. - 384 f.: i sëmurë - ISBN 5-09-013651-3.
Një shprehje numerike është shënimi i numrave në lidhje me veprimet aritmetike dhe kllapat. Kur në një shprehje përdoren variablat së bashku me numrat dhe e gjithë shprehja është e përbërë me kuptim, atëherë quhet shprehje algjebrike (fjalë për fjalë). Nëse shprehja përmban funksione të drejtpërdrejta, derivatore, të anasjellta dhe të tjera trigonometrike, atëherë shprehja quhet trigonometrike. Nje numer i madh i shembujt dhe detyrat që përdorin shprehje të ndryshme janë të detajuara në kursi shkollor matematikë.
Gjërat kryesore për të mbajtur mend:
1. Vlera e një shprehjeje numerike do të jetë numri i fituar gjatë kryerjes së veprimeve aritmetike në këtë shprehje. Gjëja kryesore është të kryeni vazhdimisht operacione aritmetike. Për thjeshtësi të gjithë operacionit, veprimet mund të numërohen. Nëse shprehja përmban kllapa, atëherë para së gjithash kryejmë veprimin që korrespondon me shenjën në kllapa. Eksponimi do të jetë hapi tjetër. Më tej, sipas përparësisë, ne kryejmë shumëzim ose pjesëtim, dhe vetëm në fund, mbledhje dhe zbritje.
Dhe tani do të gjejmë vlerën e shprehjes numerike 5 + 20 * (60-45). Së pari, heqim qafe kllapat. Duke kryer veprimin, marrim 60-45 = 15. Tani kemi 5 + 20 * 15. Veprimi tjetër është shumëzimi 20 * 15 = 300. Dhe veprimi i fundit do të jetë mbledhja, ne e kryejmë atë dhe marrim rezultatin përfundimtar 5 + 300 = 305.
2. Me një kënd të njohur? Kur punoni me shprehje trigonometrike, duhet të dini formulat bazë trigonometrike për t'ju ndihmuar të thjeshtoni shprehjen. Gjeni vlerën e shprehjes cos 12? cos 18? - mëkati 12? mëkati 18 ?. Për të thjeshtuar këtë shprehje, përdorni formulën cos (? +?) = Cos? cos? - mëkat? mëkat?, atëherë marrim cos 12? cos 18? - mëkati 12? sin 18? = cos (12? +18?) = cos30? = v3? 2.
3. Shprehje me ndryshore. Duhet mbajtur mend se vlera e një shprehjeje algjebrike varet drejtpërdrejt nga ndryshorja. Variablat mund të shënohen me shkronja greke ose Alfabeti latin... Kur kemi vendosni parametrat shprehja algjebrike, së pari ju duhet ta thjeshtoni atë. Pas kësaj, ju duhet të zëvendësoni variablat e specifikuar dhe të prodhoni veprimet aritmetike... Si rezultat, duke pasur parasysh variablat, marrim një numër, i cili do të jetë vlera e shprehjes algjebrike. Merrni një shembull ku duhet të gjeni vlerën e shprehjes 3 (a + y) +2 (3a + 2y) me a = 4 dhe y = 5. Thjeshtoni këtë shprehje dhe merrni 3a + 3y + 6a + 4y = 9a + 7y. Tani ju duhet të zëvendësoni vlerën e variablave dhe të llogarisni, rezultati do të jetë vlera e shprehjes. Pra, kemi 9a + 7y me a = 4 dhe y = 5 marrim 36 + 35 = 71. Vini re se shprehjet algjebrike nuk kanë gjithmonë kuptim. Për shembull, kjo shprehje 15: (b-4) ka kuptim për çdo b përveç b = 4.
Shprehje numerikeËshtë ndonjë regjistrim i numrave, shenjave aritmetike dhe kllapave. Një shprehje numerike mund të përbëhet nga vetëm një numër. Kujtojmë se veprimet kryesore aritmetike janë "mbledhja", "zbritja", "shumëzimi" dhe "pjestimi". Këto veprime korrespondojnë me shenjat "+", "-", "∙", ":".
Natyrisht, që të marrim një shprehje numerike, shënimi i numrave dhe shenjat aritmetike duhet të jenë kuptimplotë. Kështu, për shembull, një shënim i tillë 5: + ∙ nuk mund të quhet një shprehje numerike, pasi ky është një grup i rastësishëm karakteresh që nuk ka asnjë kuptim. Përkundrazi, 5 + 8 ∙ 9 është tashmë një shprehje e vërtetë numerike.
Vlera e një shprehjeje numerike.
Le të themi menjëherë se nëse kryejmë veprimet e treguara në një shprehje numerike, atëherë do të marrim një numër si rezultat. Ky numër quhet vlera e një shprehjeje numerike.
Le të përpiqemi të llogarisim atë që marrim si rezultat i kryerjes së veprimeve të shembullit tonë. Sipas radhës në të cilën kryhen veprimet aritmetike, fillimisht kryejmë veprimin e shumëzimit. Shumëzojeni 8 me 9. Merrni 72. Tani shtoni 72 dhe 5. Merrni 77.
Pra 77 - kuptimi shprehja numerike 5 + 8 ∙ 9.
Barazi numerike.
Mund ta shkruani në këtë mënyrë: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Këtu kemi përdorur fillimisht shenjën "=" ("E barabartë"). Një shënim i tillë, në të cilin dy shprehje numerike ndahen me shenjën "=", quhet barazia numerike... Për më tepër, nëse vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të barazisë përkojnë, atëherë barazia quhet besnik... 5 + 8 ∙ 9 = 77 - barazi e vërtetë.
Nëse shkruajmë 5 + 8 ∙ 9 = 100, atëherë do të jetë tashmë barazi e rreme, pasi vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të kësaj barazie nuk përkojnë më.
Duhet theksuar se në një shprehje numerike, mund të përdorim edhe kllapa. Kllapat ndikojnë në rendin në të cilin kryhen veprimet. Kështu, për shembull, le të modifikojmë shembullin tonë duke shtuar kllapa: (5 + 8) ∙ 9. Tani, së pari duhet të shtoni 5 dhe 8. Marrim 13. Dhe pastaj shumëzojmë 13 me 9. Marrim 117. Kështu, ( 5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – kuptimi shprehje numerike (5 + 8) ∙ 9.
Për të lexuar saktë një shprehje, duhet të përcaktoni se cili veprim është kryer i fundit për të llogaritur vlerën e një shprehjeje të caktuar numerike. Keshtu nese veprimi i fundit zbritje, atëherë shprehja quhet "ndryshim". Prandaj, nëse veprimi i fundit është shuma - "shuma", ndarja - "herësi", shumëzimi - "produkti", fuqia - "shkalla".
Për shembull, shprehja numerike (1 + 5) (10-3) lexohet kështu: "produkti i shumës së numrave 1 dhe 5 nga diferenca midis numrave 10 dhe 3".
Shembuj të shprehjeve numerike.
Këtu është një shembull i një shprehjeje numerike më komplekse:
\ [\ majtas (\ frac (1) (4) +3,75 \ djathtas): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ pikë qendrore 0,5) \]
Kjo shprehje numerike përdor numrat e thjeshtë, thyesat dhe dhjetoret. Përdoren edhe shenjat e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit. Shiriti i thyesës zëvendëson gjithashtu shenjën e pjesëtimit. Pavarësisht kompleksitetit në dukje, është mjaft e lehtë të gjesh vlerën e kësaj shprehjeje numerike. Gjëja kryesore është të jesh në gjendje të kryesh operacione me fraksione, si dhe të bësh me kujdes dhe saktësi llogaritjet, duke respektuar rendin e kryerjes së veprimeve.
Në kllapa, kemi shprehjen $ \ frac (1) (4) + 3,75 $. Shndërroni numrin dhjetor 3,75 në një thyesë.
3,75 $ = 3 \ frak (75) (100) = 3 \ frak (3) (4) $
Kështu që, $ \ frak (1) (4) + 3,75 = \ frak (1) (4) +3 \ frak (3) (4) = 4 $
Më tej, në numëruesin e thyesës \ [\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ pikë qendrore 0,5) \] kemi shprehjen 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Për ta thjeshtuar këtë shprehje, zbatojmë ligjin e zhvendosjes së mbledhjes, i cili thotë: "Shuma nuk ndryshon nga ndryshimi i vendeve të termave". Kjo do të thotë, 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 = 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 = 6 + 2 = 8.
Në emëruesin e thyesës, shprehja 4 $ \ pika qendrore 0,5 = 4 \ pika qendrore \ frac (1) (2) = 4: 2 = 2 $
marrim $ \ majtas (\ frac (1) (4) +3,75 \ djathtas): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ pikë qendrore 0,5) = 4: \ frac (8) (2) = 4: 4 = 1 $
Kur shprehjet numerike janë të pakuptimta?
Le të marrim një shembull tjetër. Në emëruesin e thyesës $ \ frac (5 + 5) (3 \ pika qendrore 3-9) $ vlera e shprehjes $ 3 \ qendra 3-9 $ është 0. Dhe, siç e dimë, pjesëtimi me zero është i pamundur. Prandaj, fraksioni $ \ frac (5 + 5) (3 \ pika qendrore 3-9) $ nuk ka vlerë. Shprehjet numerike që nuk kanë asnjë kuptim thuhet se janë "të pakuptimta".
Nëse në shprehjen numerike, përveç numrave, përdorim edhe shkronja, atëherë do të marrim tashmë
Formula
Mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi janë veprime aritmetike (ose veprimet aritmetike). Këto veprime aritmetike korrespondojnë me shenjat e operacioneve aritmetike:
+ (lexo" nje plus") - shenja e operacionit të shtimit,
- (lexo" minus") - shenjë veprimet e zbritjes,
∙ (lexo" shumohen") - shenjë veprimet e shumëzimit,
: (lexo" ndajnë") është shenja e operacionit të ndarjes.
Një rekord i përbërë nga numra të lidhur me shenja të veprimeve aritmetike quhet shprehje numerike. Një shprehje numerike mund të përmbajë gjithashtu kllapa Për shembull, regjistro 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) është një shprehje numerike.
Rezultati i kryerjes së veprimeve mbi numrat në një shprehje numerike quhet vlera e një shprehjeje numerike... Bërja e kësaj quhet vlerësimi i vlerës së një shprehjeje numerike. Para se të shkruani vlerën e një shprehjeje numerike, vendosni shenjë e barabartë"=". Tabela 1 tregon shembuj të shprehjeve numerike dhe kuptimet e tyre.
Një rekord i përbërë nga numra dhe shkronja të vogla të alfabetit latin, të lidhur me shenja të veprimeve aritmetike, quhet shprehje fjalë për fjalë... Kjo hyrje mund të përmbajë kllapa. Për shembull, hyrja një +b - 3 ∙cështë një shprehje fjalë për fjalë. Në vend të shkronjave në një shprehje fjalë për fjalë, ju mund të zëvendësoni numra të ndryshëm... Në këtë rast, kuptimi i shkronjave mund të ndryshojë, prandaj quhen edhe shkronjat në shprehjen e mirëfilltë variablave.
Duke zëvendësuar numrat në vend të shkronjave në shprehjen e mirëfilltë dhe duke llogaritur vlerën e shprehjes numerike që rezulton, ata gjejnë vlera e shprehjes fjalë për fjalë duke pasur parasysh vlerat e shkronjave(për vlerat e dhëna të variablave). Tabela 2 tregon shembuj të shprehjeve të shkronjave.
Një shprehje fjalë për fjalë mund të mos ketë rëndësi nëse zëvendësimi i vlerave të shkronjave rezulton në një shprehje numerike, vlera e së cilës është për numrat natyrorë nuk mund të gjendej. Një shprehje e tillë numerike quhet e pasaktë për numrat natyrorë. Thuhet gjithashtu se kuptimi i një shprehjeje të tillë " e pacaktuar" për numrat natyrorë dhe vetë shprehjen "Nuk ka kuptim"... Për shembull, shprehja fjalë për fjalë a - b nuk ka rëndësi për a = 10 dhe b = 17. Në të vërtetë, për numrat natyrorë, zvogëlimi nuk mund të jetë më i vogël se i zbritur. Për shembull, duke pasur vetëm 10 mollë (a = 10), nuk mund të dhuroni 17 prej tyre (b = 17)!
Tabela 2 (kolona 2) jep një shembull të një shprehjeje alfabetike. Plotësoni tabelën plotësisht me analogji.
Për numrat natyrorë, shprehja 10 -17 e pasaktë (nuk ka kuptim), d.m.th. diferenca 10 -17 nuk mund të shprehet si numër natyror. Një shembull tjetër: nuk mund të pjesëtosh me zero, pra për çdo numër natyror b, herësi b: 0 të papërcaktuara.
Ligjet matematikore, vetitë, disa rregulla dhe marrëdhënie shpesh shkruhen në formën e shkronjave (d.m.th. në formën e shprehjes së shkronjave). Në këto raste, shprehja fjalë për fjalë quhet formulë... Për shembull, nëse anët e shtatëkëndëshit janë të barabarta a,b,c,d,e,f,g, pastaj formula (shprehje fjalë për fjalë) për të llogaritur perimetrin e saj fq duket si:
p =një +b +c +d +e +f +g
Për a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, perimetri i heptagonit p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.
Për a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, perimetri i një heptagoni tjetër është p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.
Blloku 1. Fjalor
Hartoni një fjalorth të termave dhe përkufizimeve të reja nga paragrafi. Për ta bërë këtë, shkruani fjalë nga lista e termave më poshtë në qelizat boshe. Në tabelë (në fund të bllokut) tregoni numrat e termave në përputhje me numrat e kornizave. Rekomandohet të rishikoni me kujdes paragrafin përpara se të plotësoni qelizat e fjalorit.
- Veprimet: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim.
2. Shenjat "+" (plus), "-" (minus), "∙" (shumohen, " : " (ndaj).
3. Një rekord i përbërë nga numra që lidhen me shenja të veprimeve aritmetike dhe në të cilin mund të ketë edhe kllapa.
4. Rezultati i kryerjes së veprimeve mbi numrat në terma numerikë.
5. Shenja para vlerës së një shprehjeje numerike.
6. Një rekord i përbërë nga numra dhe shkronja të vogla të alfabetit latin, të lidhur me njëri-tjetrin me shenja të veprimeve aritmetike (mund të ketë edhe kllapa).
7. Emri i përgjithshëm i shkronjave në shprehje fjalë për fjalë.
8. Vlera e një shprehjeje numerike, e cila përftohet me zëvendësimin e ndryshoreve.në një shprehje fjalë për fjalë.
9. Shprehje numerike vlera e së cilës për numrat natyrorë nuk mund të gjendet.
10. Shprehje numerike, vlera e së cilës për numrat natyrorë mund të gjendet.
11. Ligjet matematikore, vetitë, disa rregulla dhe marrëdhënie, të shkruara në formë shkronjash.
12. Alfabeti, shkronjat e vogla të të cilit përdoren për të shkruar shprehje alfabetike.
Blloku 2. Krijoni korrespondencë
Vendosni një korrespondencë midis artikullit në kolonën e majtë dhe zgjidhjes në të djathtë. Shkruani përgjigjen në formën: 1a, 2d, 3b ...
Blloku 3. Testi i aspektit. Shprehje numerike dhe fjalë për fjalë
Testet e aspekteve zëvendësojnë koleksionet e problemeve në matematikë, por ato krahasohen në mënyrë të favorshme me to në atë që mund të zgjidhen në kompjuter, të kontrollohen zgjidhjet dhe të zbulojnë menjëherë rezultatin e punës. Ky test përmban 70 probleme. Por ju mund t'i zgjidhni problemet me zgjedhje, për këtë ekziston një tabelë vlerësimi, ku tregohen detyra të thjeshta dhe më të vështira. Më poshtë është testi.
- Jepet një trekëndësh me brinjë c,d,m, shprehur në cm
- Jepet një katërkëndësh me brinjë b,c,d,m shprehur në m
- Shpejtësia e automjetit në km / orë është b, koha e lëvizjes në orë është d
- Distanca e përshkuar nga turisti në m orë është Me km
- Distanca e përshkuar nga një turist që lëviz me shpejtësi m km/orë është b km
- Shuma e dy numrave është 15 më shumë se i dyti
- Diferenca është më e vogël se reduktimi me 7
- Linja e pasagjerëve ka dy kuvertë me të njëjtin numër vendesh pasagjerësh. Në secilin nga rreshtat e kuvertës m vende, rreshta në kuvertë në n më shumë se vende me radhë
- Petya është m vjeç, Masha është n vjeç dhe Katya është k vjet më e vogël se Petya dhe Masha së bashku
- m = 8, n = 10, k = 5
- m = 6, n = 8, k = 15
- t = 121, x = 1458
- Kuptimi i kësaj shprehjeje
- Shprehja fjalë për fjalë për perimetrin është
- Perimetri i shprehur në centimetra
- Formula për rrugën e mbuluar nga makina
- Formula për shpejtësinë v, lëvizjen e turistit
- Formula e kohës t, lëvizja turistike
- Distanca e përshkuar me makinë në kilometra
- Shpejtësia e turistit në kilometra në orë
- Koha e udhëtimit turistik në orë
- Numri i parë është...
- Zbritja është….
- Shprehje për numrin më të madh të pasagjerëve që mund të transportojë linja k fluturimet
- Numri më i madh i pasagjerëve që mund të transportojë linja k fluturimet
- Shprehje letrash për moshën e Katya
- Mosha e Katya
- Koordinata e pikës B, nëse koordinata e pikës C është t
- Koordinata e pikës D, nëse koordinata e pikës C është t
- Koordinata e pikës A, nëse koordinata e pikës C është t
- Gjatësia e segmentit BD në një rreze numerike
- Gjatësia e segmentit CA në rrezen e numrave
- Gjatësia e segmentit DA në rrezen e numrave
Ky artikull diskuton se si të gjeni vlerat e shprehjeve matematikore. Le të fillojmë me shprehje të thjeshta numerike dhe më pas të shqyrtojmë rastet ndërsa kompleksiteti i tyre rritet. Në fund, ne japim një shprehje që përmban përcaktimet e shkronjave, kllapa, rrënjë, të veçanta shenja matematikore, shkalla, funksioni etj. E gjithë teoria, sipas traditës, do të furnizohet me shembuj të bollshëm dhe të detajuar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Si ta gjej vlerën e një shprehjeje numerike?
Shprehjet numerike, ndër të tjera, ndihmojnë në përshkrimin e një kushti problemor në gjuhën matematikore. Në përgjithësi shprehjet matematikore mund të jetë ose shumë e thjeshtë, e përbërë nga një palë numrash dhe shenjash aritmetike, ose shumë komplekse, që përmban funksione, gradë, rrënjë, kllapa, etj. Brenda kuadrit të një detyre, shpesh është e nevojshme të gjesh kuptimin e një shprehjeje. Si ta bëni atë, dhe do të ketë një fjalim më poshtë.
Rastet më të thjeshta
Këto janë rastet kur shprehja nuk përmban asgjë përveç numrave dhe veprimeve aritmetike. Për të gjetur me sukses vlerat e shprehjeve të tilla, do t'ju duhet njohuri për rendin e kryerjes së veprimeve aritmetike pa kllapa, si dhe aftësinë për të kryer veprime me numra të ndryshëm.
Nëse shprehja përmban vetëm numra dhe shenja aritmetike "+", "·", "-", "÷", atëherë veprimet kryhen nga e majta në të djathtë në rendin e mëposhtëm: së pari shumëzim dhe pjesëtim, pastaj mbledhje dhe zbritje. Ketu jane disa shembuj.
Shembull 1. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të jetë e nevojshme të gjejmë vlerat e shprehjes 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Le të bëjmë së pari shumëzimin dhe pjesëtimin. Ne marrim:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Tani zbresim dhe marrim rezultatin përfundimtar:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Shembulli 2. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Së pari, ne kryejmë shndërrimin e thyesave, pjesëtimit dhe shumëzimit:
0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Tani le të bëjmë mbledhjen dhe zbritjen. Le t'i grupojmë thyesat dhe t'i sjellim në një emërues të përbashkët:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Vlera që po kërkonit u gjet.
Shprehje me kllapa
Nëse shprehja përmban kllapa, atëherë ato përcaktojnë rendin e veprimeve në këtë shprehje. Së pari, kryhen veprimet në kllapa, dhe më pas të gjitha të tjerat. Le ta tregojmë këtë me një shembull.
Shembulli 3. Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).
Shprehja përmban kllapa, kështu që fillimisht kryejmë veprimin e zbritjes në kllapa dhe vetëm atëherë bëjmë shumëzimin.
0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.
Kuptimi i shprehjeve që përmbajnë kllapa në kllapa ndjek të njëjtin parim.
Shembulli 4. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Ne do t'i kryejmë veprimet duke filluar nga kllapat më të brendshme, duke kaluar në ato të jashtme.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Në gjetjen e vlerave të shprehjeve me kllapa, gjëja kryesore është të ndiqni sekuencën e veprimeve.
Shprehje me rrënjë
Shprehjet matematikore që na duhen për të gjetur vlerat mund të përmbajnë shenja rrënjësore. Për më tepër, vetë shprehja mund të jetë nën shenjën e rrënjës. Çfarë duhet bërë në këtë rast? Së pari, duhet të gjeni vlerën e shprehjes nën rrënjë, dhe më pas të nxirrni rrënjën nga numri që rezulton. Nëse është e mundur, është më mirë të heqësh qafe rrënjët në shprehjet numerike, duke zëvendësuar nga me vlerat numerike.
Shembulli 5. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes me rrënjë - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Së pari, ne llogarisim shprehjet radikale.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Tani mund të vlerësoni vlerën e të gjithë shprehjes.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6,5
Shpesh, gjetja e kuptimit të një shprehjeje të rrënjosur shpesh kërkon konvertimin e shprehjes origjinale së pari. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull tjetër.
Shembulli 6. Vlera e një shprehjeje numerike
Sa është 3 + 1 3 - 1 - 1
Siç mund ta shihni, nuk ka asnjë mënyrë që ne të zëvendësojmë rrënjën me një vlerë të saktë, gjë që e ndërlikon procesin e llogaritjes. Sidoqoftë, në këtë rast, mund të aplikoni formulën e shkurtuar të shumëzimit.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Në këtë mënyrë:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Shprehjet e fuqisë
Nëse shprehja përmban shkallë, vlerat e tyre duhet të llogariten përpara se të vazhdohet me të gjitha veprimet e tjera. Ndodh që vetë eksponenti ose baza e shkallës të jenë shprehje. Në këtë rast fillimisht llogaritet vlera e këtyre shprehjeve dhe më pas vlera e gradës.
Shembulli 7. Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Ne fillojmë të llogarisim me radhë.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Mbetet vetëm për të kryer operacionin e shtimit dhe për të gjetur vlerën e shprehjes:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Gjithashtu shpesh këshillohet të thjeshtohet shprehja duke përdorur vetitë e shkallës.
Shembulli 8. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes së mëposhtme: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.
Eksponentët janë përsëri të tillë që vlerat e tyre të sakta numerike nuk mund të merren. Le të thjeshtojmë shprehjen origjinale për të gjetur kuptimin e saj.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Shprehjet e thyesave
Nëse një shprehje përmban fraksione, atëherë kur llogaritet një shprehje e tillë, të gjitha fraksionet në të duhet të përfaqësohen si fraksione të zakonshme dhe vlerat e tyre të llogariten.
Nëse ka shprehje në numëruesin dhe emëruesin e një thyese, atëherë së pari llogariten vlerat e këtyre shprehjeve dhe shkruhet vlera përfundimtare e vetë thyesës. Veprimet aritmetike kryhen në mënyrë standarde. Le të shqyrtojmë zgjidhjen e një shembulli.
Shembulli 9. Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes që përmban thyesat: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Siç mund ta shihni, ka tre fraksione në shprehjen origjinale. Le të llogarisim së pari vlerat e tyre.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Le të rishkruajmë shprehjen tonë dhe të llogarisim vlerën e saj:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1
Shpesh, kur gjeni vlerat e shprehjeve, është e përshtatshme të zvogëloni fraksionet. Ekziston një rregull i pashprehur: para se të gjeni vlerën e tij, është mirë të thjeshtoni çdo shprehje në maksimum, duke reduktuar të gjitha llogaritjet në rastet më të thjeshta.
Shembulli 10. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim shprehjen 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne nuk mund ta nxjerrim rrënjën e pesë plotësisht, por mund ta thjeshtojmë shprehjen origjinale duke e transformuar atë.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Shprehja origjinale merr formën:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Le të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Shprehje me logaritme
Kur logaritmet janë të pranishme në shprehje, vlera e tyre, nëse është e mundur, llogaritet që në fillim. Për shembull, në shprehjen log 2 4 + 2 · 4, mund të shkruani menjëherë vlerën e këtij logaritmi në vend të log 2 4 dhe më pas të kryeni të gjitha veprimet. Ne marrim: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Shprehjet numerike mund të gjenden edhe nën shenjën e logaritmit dhe në bazën e tij. Në këtë rast, hapi i parë është gjetja e vlerave të tyre. Merrni shprehjen log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Ne kemi:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Nëse nuk është e mundur të llogaritet vlera e saktë e logaritmit, thjeshtimi i shprehjes ju ndihmon të gjeni vlerën e tij.
Shembulli 11. Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.
Nga vetia e logaritmeve:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.
Përsëri duke zbatuar vetitë e logaritmeve, për thyesën e fundit në shprehje marrim:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Tani mund të vazhdoni me llogaritjen e vlerës së shprehjes origjinale.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Shprehje me funksione trigonometrike
Ndodh që një shprehje të përmbajë funksione trigonometrike të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe funksione që janë të anasjellta me to. Vlerat llogariten para se të kryhen të gjitha veprimet e tjera aritmetike. Përndryshe, shprehja thjeshtohet.
Shembulli 12. Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Së pari, ne llogarisim vlerat e funksioneve trigonometrike të përfshira në shprehje.
mëkat - 5 π 2 = - 1
Ne i zëvendësojmë vlerat në shprehje dhe llogarisim vlerën e saj:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
U gjet vlera e shprehjes.
Shpesh, për të gjetur vlerën e një shprehjeje me funksione trigonometrike, fillimisht duhet të transformohet. Le të shpjegojmë me një shembull.
Shembulli 13. Vlera e një shprehjeje numerike
Ju duhet të gjeni vlerën e shprehjes cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Për transformimin do të përdorim formulat trigonometrike për kosinusin e këndit të dyfishtë dhe kosinusin e shumës.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.
Rasti i përgjithshëm i një shprehjeje numerike
Në përgjithësi, një shprehje trigonometrike mund të përmbajë të gjithë elementët e mësipërm: kllapa, gradë, rrënjë, logaritme, funksione. Le të formulojmë rregull i përgjithshëm gjetja e vlerave të shprehjeve të tilla.
Si të gjeni kuptimin e një shprehjeje
- Rrënjët, shkallët, logaritmet etj. zëvendësohen nga vlerat e tyre.
- Veprimet në kllapa kryhen.
- Veprimet e mbetura kryhen sipas rendit nga e majta në të djathtë. Së pari, shumëzimi dhe pjesëtimi, pastaj mbledhja dhe zbritja.
Le të shohim një shembull.
Shembulli 14. Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Shprehja është mjaft komplekse dhe e rëndë. Nuk ishte rastësisht që zgjodhëm vetëm një shembull të tillë, duke u përpjekur t'i përshtatim të gjitha rastet e përshkruara më sipër në të. Si e gjeni kuptimin e një shprehjeje të tillë?
Dihet se kur llogaritet vlera e një forme komplekse thyesore, së pari, vlerat e numëruesit dhe emëruesit të fraksionit gjenden veçmas, përkatësisht. Ne do ta transformojmë dhe thjeshtojmë vazhdimisht këtë shprehje.
Para së gjithash, ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e sinusit dhe shprehjen që është argumenti i funksionit trigonometrik.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Tani mund të zbuloni vlerën e sinusit:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = mëkat π 6 + 2 π = mëkat π 6 = 1 2.
Ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Me emëruesin e thyesës, gjithçka është më e thjeshtë:
Tani mund të shkruajmë vlerën e të gjithë thyesës:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Me këtë në mendje, le të shkruajmë të gjithë shprehjen:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Rezultati përfundimtar:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Në këtë rast, ne mundëm të llogarisnim vlerat e sakta të rrënjëve, logaritmeve, sinuseve, etj. Nëse kjo nuk është e mundur, mund të përpiqeni t'i shpëtoni prej tyre me transformime matematikore.
Llogaritja e vlerave të shprehjeve në mënyra racionale
Llogaritni vlerat numerike në mënyrë konsistente dhe të saktë. Ky proces mund të racionalizohet dhe të përshpejtohet duke përdorur prona të ndryshme veprimet me numra. Për shembull, dihet se produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Duke marrë parasysh këtë veti, mund të themi menjëherë se shprehja 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 është e barabartë me zero. Në këtë rast, nuk është aspak e nevojshme të kryhen veprimet sipas rendit të përshkruar në artikullin e mësipërm.
Është gjithashtu i përshtatshëm të përdoret vetia e zbritjes së numrave të barabartë. Pa kryer asnjë veprim, mund të urdhëroni që vlera e shprehjes 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 të jetë gjithashtu e barabartë me zero.
Një teknikë tjetër që ju lejon të shpejtoni procesin është përdorimi i transformimeve identike si grupimi i termave dhe faktorëve dhe faktor i përbashkët jashtë kllapave. Një qasje racionale për llogaritjen e shprehjeve me thyesa është zvogëlimi i shprehjeve të njëjta në numërues dhe emërues.
Për shembull, merrni shprehjen 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Pa kryer veprimet në kllapa, por duke e zvogëluar thyesën, mund të themi se vlera e shprehjes është 1 3.
Gjetja e vlerave të shprehjeve me ndryshore
Kuptimi i një shprehje alfabetike dhe një shprehje me variabla gjendet për vlera specifike të specifikuara të shkronjave dhe variablave.
Gjetja e vlerave të shprehjeve me ndryshore
Për të gjetur vlerën e një shprehjeje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore, duhet të zëvendësoni në shprehjen origjinale vlerat e synuara shkronjat dhe variablat, dhe më pas llogarisni vlerën e shprehjes numerike që rezulton.
Shembulli 15. Vlera e një shprehjeje me variabla
Vlerësoni vlerën e shprehjes 0,5 x - y të dhënë x = 2, 4 dhe y = 5.
Ne zëvendësojmë vlerat e variablave në shprehje dhe llogarisim:
0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.
Ndonjëherë mund të transformoni një shprehje në atë mënyrë që të merrni vlerën e saj, pavarësisht nga vlerat e shkronjave dhe ndryshoreve të përfshira në të. Për ta bërë këtë, ju duhet të hiqni qafe shkronjat dhe variablat në shprehje, nëse është e mundur, duke përdorur transformime identike, vetitë e operacioneve aritmetike dhe të gjitha metodat e tjera të mundshme.
Për shembull, shprehja x + 3 - x ka padyshim vlerën 3, dhe ju nuk keni nevojë të dini vlerën e x për të llogaritur këtë vlerë. Vlera e kësaj shprehjeje është e barabartë me tre për të gjitha vlerat e ndryshores x nga diapazoni i vlerave të saj të vlefshme.
Një shembull më shumë. Vlera e shprehjes x x është e barabartë me një për të gjitha x-të pozitive.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter
