Kjo temë do të mbulojë veprime të tilla si mbledhja dhe zbritja e matricave, shumëzimi i një matrice me një numër, shumëzimi i një matrice me një matricë, transpozimi i matricës. Të gjitha simbolet e përdorura në këtë faqe janë marrë nga tema e mëparshme.
Mbledhja dhe zbritja e matricave.
Shuma $A+B$ e matricave $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\herë n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m \herë n) =(c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline( 1,n) $.
Një përkufizim i ngjashëm është prezantuar për diferencën e matricave:
Diferenca $A-B$ e matricave $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\times n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë n)=( c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\mbi linjë (1, n)$.
Shpjegim për hyrjen $i=\overline(1,m)$: show\hide
Hyrja "$i=\overline(1,m)$" do të thotë që parametri $i$ ndryshon nga 1 në m. Për shembull, hyrja $i=\overline(1,5)$ thotë se parametri $i$ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.
Vlen të theksohet se veprimet e mbledhjes dhe zbritjes përcaktohen vetëm për matricat me të njëjtën madhësi. Në përgjithësi, mbledhja dhe zbritja e matricave janë operacione që janë intuitive të qarta, sepse ato nënkuptojnë, në fakt, vetëm mbledhjen ose zbritjen e elementeve përkatëse.
Shembulli #1
Janë dhënë tre matrica:
$$ A=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)\;\; B=\left(\fillimi(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas); \;\; F=\left(\fillimi(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \djathtas). $$
A është e mundur të gjendet matrica $A+F$? Gjeni matricat $C$ dhe $D$ nëse $C=A+B$ dhe $D=A-B$.
Matrica $A$ përmban 2 rreshta dhe 3 kolona (me fjalë të tjera, madhësia e matricës $A$ është $2\herë 3$), dhe matrica $F$ përmban 2 rreshta dhe 2 kolona. Dimensionet e matricës $A$ dhe $F$ nuk përputhen, kështu që nuk mund t'i shtojmë, d.m.th. Operacioni $A+F$ për këto matrica nuk është i përcaktuar.
Madhësitë e matricave $A$ dhe $B$ janë të njëjta, d.m.th. Të dhënat e matricës përmbajnë një numër të barabartë rreshtash dhe kolonash, kështu që operacioni i mbledhjes është i zbatueshëm për to.
$$ C=A+B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)+ \left(\fille(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end (array) \djathtas) $$
Gjeni matricën $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)- \left(\fille(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillimi(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end (array) \djathtas) $$
Përgjigju: $C=\left(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \djathtas)$, $D=\left(\fille(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \djathtas)$.
Shumëzimi i një matrice me një numër.
Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe numri $\alpha$ është matrica $B_(m\herë n)=(b_(ij))$, ku $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline(1,n)$.
E thënë thjesht, të shumëzosh një matricë me një numër do të thotë të shumëzosh çdo element të matricës së dhënë me atë numër.
Shembulli #2
Jepet një matricë: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Gjeni matricat $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dhe $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\majtas(\fille( grup) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\fillim (vargu) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\ majtas(\fillimi(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \fund (array) \djathtas). $$
Shënimi $-A$ është stenografi për $-1\cdot A$. Kjo do të thotë, për të gjetur $-A$, ju duhet të shumëzoni të gjithë elementët e matricës $A$ me (-1). Në fakt, kjo do të thotë që shenja e të gjithë elementëve të matricës $A$ do të ndryshojë në të kundërtën:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas)= \ majtas(\fillimi(grupi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \fund (array) \djathtas) $$
Përgjigju: $3\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas);\; -5\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \djathtas);\; -A=\left(\fillim(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \djathtas)$.
Prodhimi i dy matricave.
Përkufizimi i këtij operacioni është i rëndë dhe, në shikim të parë, i pakuptueshëm. Prandaj, së pari do të tregoj një përkufizim të përgjithshëm, dhe më pas do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë dhe si të punojmë me të.
Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe matricës $B_(n\times k)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë k )=(c_( ij))$, për të cilin çdo element i $c_(ij)$ është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës të rreshtit i-të të matricës $A$ dhe elementeve të Kolona j-të e matricës $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\mbi vijë (1,m), j=\mbi vijë (1,n).$$
Hap pas hapi, ne do të analizojmë shumëzimin e matricave duke përdorur një shembull. Sidoqoftë, duhet t'i kushtoni vëmendje menjëherë që jo të gjitha matricat mund të shumëzohen. Nëse duam të shumëzojmë matricën $A$ me matricën $B$, atëherë së pari duhet të sigurohemi që numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës $B$ (matrica të tilla shpesh quhen ra dakord). Për shembull, matrica $A_(5\herë 4)$ (matrica përmban 5 rreshta dhe 4 kolona) nuk mund të shumëzohet me matricën $F_(9\fish 8)$ (9 rreshta dhe 8 kolona), pasi numri i kolonave të matrica $A $ nuk është e barabartë me numrin e rreshtave të matricës $F$, d.m.th. 4$\neq 9$. Por është e mundur të shumëzohet matrica $A_(5\herë 4)$ me matricën $B_(4\herë 9)$, pasi numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matrica $B$. Në këtë rast, rezultati i shumëzimit të matricave $A_(5\herë 4)$ dhe $B_(4\herë 9)$ është matrica $C_(5\fish 9)$, që përmban 5 rreshta dhe 9 kolona:
Shembulli #3
Matricat e dhëna: $ A=\left(\fille(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \fund (array) \djathtas)$ dhe $ B=\majtas(\fillimi(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) $. Gjeni matricën $C=A\cdot B$.
Për të filluar, ne përcaktojmë menjëherë madhësinë e matricës $C$. Meqenëse matrica $A$ ka madhësi $3\herë 4$ dhe matrica $B$ ka madhësi $4\herë 2$, madhësia e matricës $C$ është $3\herë 2$:
Pra, si rezultat i produktit të matricave $A$ dhe $B$, duhet të marrim matricën $C$, të përbërë nga tre rreshta dhe dy kolona: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \fund (array) \djathtas)$. Nëse emërtimet e elementeve ngrenë pyetje, atëherë mund të shikoni temën paraprake: "Matricat. Llojet e matricave. Termat bazë", në fillim të së cilës shpjegohet emërtimi i elementeve të matricës. Qëllimi ynë është të gjejmë vlerat e të gjithë elementëve të matricës $C$.
Le të fillojmë me elementin $c_(11)$. Për të marrë elementin $c_(11)$, duhet të gjeni shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:
Për të gjetur vetë elementin $c_(11)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së parë të matricës $B$, d.m.th. elementi i parë tek i pari, i dyti tek i dyti, i treti tek i treti, i katërti tek i katërti. Ne përmbledhim rezultatet e marra:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Le të vazhdojmë zgjidhjen dhe të gjejmë $c_(12)$. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së dytë të matricës $B$:
Ngjashëm me atë të mëparshëm, kemi:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Gjenden të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës $C$. Kalojmë në rreshtin e dytë, i cili fillon me elementin $c_(21)$. Për ta gjetur atë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Elementi tjetër $c_(22)$ gjendet duke shumëzuar elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Për të gjetur $c_(31)$ ne shumëzojmë elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementet e kolonës së parë të matricës $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Dhe, së fundi, për të gjetur elementin $c_(32)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Të gjithë elementët e matricës $C$ janë gjetur, mbetet vetëm të shkruhet se $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \ drejtë) $ . Ose, për ta shkruar atë të plotë:
$$ C=A\cdot B =\majtas(\fillimi(arriti) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \fund (array) \djathtas)\cdot \left(\fillim(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) =\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas). $$
Përgjigju: $C=\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas)$.
Nga rruga, shpesh nuk ka asnjë arsye për të përshkruar në detaje vendndodhjen e secilit element të matricës së rezultatit. Për matricat, madhësia e të cilave është e vogël, mund të bëni sa më poshtë:
Vlen gjithashtu të theksohet se shumëzimi i matricës është jokomutativ. Kjo do të thotë që në përgjithësi $A\cdot B\neq B\cdot A$. Vetëm për disa lloje matricash, të cilat quhen permutacionale(ose në lëvizje), barazia $A\cdot B=B\cdot A$ është e vërtetë. Është në bazë të moskomutativitetit të shumëzimit që kërkohet të tregohet saktësisht se si e shumëzojmë shprehjen me një ose një matricë tjetër: në të djathtë ose në të majtë. Për shembull, shprehja "shumëzo të dyja anët e barazisë $3E-F=Y$ me matricën $A$ në të djathtë" do të thotë që ju dëshironi të merrni barazinë e mëposhtme: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Transpozuar në lidhje me matricën $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ është matrica $A_(n\herë m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, për elementet ku $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
E thënë thjesht, për të marrë matricën e transpozuar $A^T$, duhet të zëvendësoni kolonat në matricën origjinale $A$ me rreshtat përkatës sipas këtij parimi: ishte rreshti i parë - kolona e parë do të bëhet; kishte një rresht të dytë - kolona e dytë do të bëhet; kishte një rresht të tretë - do të ketë një kolonë të tretë dhe kështu me radhë. Për shembull, le të gjejmë matricën e transpozuar në matricën $A_(3\fish 5)$:
Rrjedhimisht, nëse matrica origjinale kishte madhësi $3\herë 5$, atëherë matrica e transpozuar ka madhësi $5\herë 3$.
Disa veti të veprimeve në matrica.
Këtu supozohet se $\alpha$, $\beta$ janë disa numra dhe $A$, $B$, $C$ janë matrica. Për katër pronat e para, unë tregova emrat, pjesa tjetër mund të emërtohet sipas analogjisë me katër të parat.
- $A+B=B+A$ (komutativiteti i mbledhjes)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativiteti shtesë)
- $(\alfa+\beta)\cdot A=\alfa A+\beta A$ (shpërndarja e shumëzimit me një matricë në lidhje me mbledhjen e numrave)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alfa A+\alfa B$ (shpërndarja e shumëzimit me një numër në lidhje me mbledhjen e matricës)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, ku $E$ është matrica e identitetit të rendit përkatës.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, ku $O$ është një matricë zero e madhësisë së duhur.
- $\majtas(A^T \djathtas)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\majtas(\alfa A \djathtas)^T=\alfa A^T$
Në pjesën tjetër, do të shqyrtohet operacioni i ngritjes së një matrice në një fuqi të plotë jo-negativ dhe do të zgjidhen shembuj në të cilët do të kërkohen disa operacione në matrica.
Shtimi i matricës:
Zbritja dhe mbledhja e matricës reduktohet në veprimet përkatëse në elementet e tyre. Operacioni i mbledhjes së matricës hyrë vetëm për matricat të njëjtën madhësi, d.m.th matricat, të cilat kanë respektivisht të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash. shuma e matricave A dhe B quhet matricë C, elementet e të cilit janë të barabartë me shumën e elementeve përkatës. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij diferenca e matricës.
Shumëzimi i një matrice me një numër:
Operacioni i shumëzimit (pjestimit) të matricës e çdo madhësie me një numër arbitrar reduktohet në shumëzimin (pjestimin) e secilit element matricat për këtë numër. Produkt matricë Dhe numri k quhet matricë B, e tillë që
b ij = k × a ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matricë- A \u003d (-1) × A quhet e kundërta matricë POR.
Vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit të matricës:
Operacionet e shtimit të matricës dhe shumëzimet e matricës në një numër kanë këto veti: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , ku A, B dhe C janë matrica, α dhe β janë numra.
Shumëzimi i matricës (produkti i matricës):
Operacioni i shumëzimit të dy matricave futet vetëm për rastin kur numri i kolonave të të parës matricatështë e barabartë me numrin e rreshtave të sekondës matricat. Produkt matricë Dhe m × n në matricë Në n×p , quhet matricëС m×p të tillë që с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a në × b nk , d.m.th., gjeni shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të i matricat Dhe në elementet përkatëse të kolonës j -të matricat B. Nëse matricat A dhe B janë katror me të njëjtën madhësi, atëherë produktet AB dhe BA ekzistojnë gjithmonë. Është e lehtë të tregohet se A × E = E × A = A, ku A është një katror matricë, E - beqare matricë të njëjtën madhësi.
Karakteristikat e shumëzimit të matricës:
Shumëzimi i matricës jo komutative, d.m.th. AB ≠ BA edhe nëse të dy produktet janë të përcaktuara. Megjithatë, nëse për ndonjë matricat relacioni AB = BA është i kënaqur, atëherë i tillë matricat quhen permutacione. Shembulli më tipik është single matricë, e cila është e pandryshueshme me ndonjë tjetër matricë të njëjtën madhësi. Permutacioni mund të jetë vetëm katror matricat të të njëjtit rend. A × E = E × A = A
Shumëzimi i matricës ka këto veti: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë. Vetitë e përcaktorëve.
përcaktues matricë rendit të dytë, ose përcaktues Rendi i dytë, i quajtur numri, i cili llogaritet me formulën:
përcaktues matricë rendit të tretë, ose përcaktues rendi i tretë, i quajtur numri, i cili llogaritet me formulën:
Ky numër përfaqëson një shumë algjebrike të përbërë nga gjashtë terma. Çdo term përmban saktësisht një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë matricat. Çdo term përbëhet nga produkti i tre faktorëve.
Shenjat me të cilat anëtarët përcaktues matricë përfshihen në formulë gjetja e përcaktorit të matricës Rendi i tretë mund të përcaktohet duke përdorur skemën e mësipërme, e cila quhet rregulli i trekëndëshave ose rregulli Sarrus. Tre termat e parë merren me shenjë plus dhe përcaktohen nga figura e majtë, dhe tre termat e tjerë merren me shenjën minus dhe përcaktohen nga figura e djathtë.
Përcaktoni numrin e termave për të gjetur përcaktues matricë, në një shumë algjebrike, mund të llogarisni faktorialin: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6
Vetitë përcaktuese të matricës
Vetitë përcaktuese të matricës:
Prona #1:
Përcaktues matricë nuk do të ndryshojë nëse rreshtat e tij zëvendësohen me kolona, çdo rresht nga një kolonë me të njëjtin numër dhe anasjelltas (Transpozimi). |A| = |A| T
Pasoja:
Kolonat dhe rreshtat përcaktues matricë janë të barabarta, prandaj vetitë e natyrshme në rreshta kryhen edhe për kolonat.
Prona #2:
Kur ndërroni 2 rreshta ose kolona përcaktues matricë do të ndryshojë shenjën në të kundërtën, duke mbajtur vlerën absolute, d.m.th.
Prona #3:
Përcaktues matricë, e cila ka dy rreshta identike, është e barabartë me zero.
Prona #4:
Faktori i përbashkët i elementeve të çdo serie përcaktues matricë mund të hiqet nga shenja përcaktues.
Pasojat nga vetitë #3 dhe #4:
Nëse të gjithë elementët e një serie të caktuar (rresht ose kolonë) janë proporcionale me elementët përkatës të një serie paralele, atëherë përcaktues matricë barazohet me zero.
Prona #5:
përcaktues matricë atëherë janë të barabarta me zero përcaktues matricë barazohet me zero.
Prona #6:
Nëse të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone përcaktues paraqitet si një shumë prej 2 termash, atëherë përcaktues matricat mund të përfaqësohet si shuma e 2 përcaktuesit sipas formulës:
Prona #7:
Nëse në ndonjë rresht (ose kolonë) përcaktues shtoni elementet përkatëse të një rreshti (ose kolone) tjetër të shumëzuar me të njëjtin numër, më pas përcaktues matricë nuk do të ndryshojë vlerën e saj.
Një shembull i aplikimit të vetive në një llogaritje përcaktues matricë:
Viti i 1, matematika e larte, studimi matricat dhe veprimet themelore mbi to. Këtu sistematizojmë operacionet kryesore që mund të kryhen me matrica. Si të filloni me matricat? Sigurisht, nga më të thjeshtat - përkufizimet, konceptet themelore dhe operacionet më të thjeshta. Ju sigurojmë se matricat do të kuptohen nga të gjithë ata që i kushtojnë të paktën pak kohë!
Përkufizimi i matricës
Matricëështë një tabelë elementësh drejtkëndëshe. Epo, nëse në terma të thjeshtë - një tabelë numrash.
Matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull, matricë A , matricë B etj. Matricat mund të jenë të madhësive të ndryshme: drejtkëndëshe, katrore, ka edhe matrica rreshtash dhe matrica kolonash të quajtura vektorë. Madhësia e matricës përcaktohet nga numri i rreshtave dhe kolonave. Për shembull, le të shkruajmë një matricë drejtkëndore të madhësisë m në n , ku m është numri i rreshtave, dhe n është numri i kolonave.
Elementet për të cilat i=j (a11, a22, .. ) formojnë diagonalen kryesore të matricës dhe quhen diagonale.
Çfarë mund të bëhet me matricat? Shto/Zbris, shumëzohen me një numër, shumohen mes tyre, transpozoj. Tani për të gjitha këto operacione bazë në matrica në rend.
Veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së matricës
Ne ju paralajmërojmë menjëherë se mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi. Rezultati është një matricë me të njëjtën madhësi. Shtimi (ose zbritja) e matricave është e lehtë − thjesht shtoni elementet e tyre përkatëse . Le të marrim një shembull. Le të kryejmë mbledhjen e dy matricave A dhe B të madhësisë dy nga dy.
Zbritja kryhet me analogji, vetëm me shenjën e kundërt.
Çdo matricë mund të shumëzohet me një numër arbitrar. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni me këtë numër secilin prej elementeve të tij. Për shembull, le të shumëzojmë matricën A nga shembulli i parë me numrin 5:
Operacioni i shumëzimit të matricës
Jo të gjitha matricat mund të shumëzohen me njëra-tjetrën. Për shembull, kemi dy matrica - A dhe B. Ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën vetëm nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B. Për më tepër, çdo element i matricës që rezulton në rreshtin i-të dhe kolonën j-të do të jetë i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës në rreshtin i-të të faktorit të parë dhe kolonës j-të të të dytit.. Për të kuptuar këtë algoritëm, le të shkruajmë se si shumëzohen dy matrica katrore:
Dhe një shembull me numra realë. Le të shumëzojmë matricat:
Operacioni i transpozimit të matricës
Transpozimi i matricës është një operacion ku ndërrohen rreshtat dhe kolonat përkatëse. Për shembull, ne transpozojmë matricën A nga shembulli i parë:
Përcaktues matricë
Përcaktori, oh përcaktor, është një nga konceptet bazë të algjebrës lineare. Njëherë e një kohë, njerëzit dolën me ekuacione lineare dhe pas tyre duhej të shpiknin një përcaktues. Në fund, ju takon të përballeni me gjithë këtë, kështu që shtytja e fundit!
Përcaktori është një karakteristikë numerike e një matrice katrore, e cila nevojitet për të zgjidhur shumë probleme.
Për të llogaritur përcaktuesin e matricës më të thjeshtë katrore, duhet të llogaritni diferencën midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.
Përcaktori i një matrice të rendit të parë, domethënë i përbërë nga një element, është i barabartë me këtë element.
Po sikur matrica të jetë tre me tre? Kjo është më e vështirë, por mund të bëhet.
Për një matricë të tillë, vlera e përcaktorit është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të diagonales kryesore dhe produkteve të elementeve të shtrirë në trekëndësha me faqe paralele me diagonalen kryesore, nga e cila prodhimi i elementeve i diagonales dytësore dhe produkti i elementeve që shtrihen në trekëndësha me faqe paralele me diagonalen dytësore zbriten.
Për fat të mirë, rrallëherë është e nevojshme të llogariten përcaktuesit e matricave të mëdha në praktikë.
Këtu kemi shqyrtuar operacionet bazë në matrica. Natyrisht, në jetën reale nuk mund të hasni kurrë as një aluzion të një sistemi matricë ekuacionesh, ose anasjelltas, mund të hasni raste shumë më komplekse kur vërtet duhet të grumbulloni trurin tuaj. Pikërisht për raste të tilla ka një shërbim studentor profesional. Kërkoni ndihmë, merrni një zgjidhje cilësore dhe të detajuar, shijoni suksesin akademik dhe kohën e lirë.
