Ky udhëzues do t'ju ndihmojë të mësoni se si operacionet e matricës: mbledhja (zbritja) e matricave, transpozimi i një matrice, shumëzimi i matricave, gjetja e inversit të një matrice. I gjithë materiali paraqitet në një formë të thjeshtë dhe të arritshme, jepen shembuj përkatës, kështu që edhe një person i papërgatitur mund të mësojë se si të kryejë veprime me matrica. Për vetëkontroll dhe vetë-test, mund të shkarkoni falas një kalkulator matricë >>>.
Do të përpiqem të minimizoj llogaritjet teorike, në disa vende janë të mundshme shpjegimet "në gishta" dhe përdorimi i termave joshkencor. Dashamirët e teorisë solide, ju lutemi mos u përfshini në kritika, detyra jonë është Mësoni si të punoni me matricat.
Për përgatitjen SUPER-SHPEJTË mbi temën (kush "digjet") ekziston një kurs intensiv pdf. Matricë, përcaktor dhe kompensim!
Një matricë është një tabelë drejtkëndore e disa elementet. Si elementet do të shqyrtojmë numrat, pra matricat numerike. ELEMENTIështë një term. Është e dëshirueshme të mbani mend termin, ai do të ndodhë shpesh, nuk është rastësi që kam përdorur të guximshme për ta theksuar atë.
Përcaktimi: matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine
Shembull: Konsideroni një matricë dy nga tre:
Kjo matricë përbëhet nga gjashtë elementet:
Të gjithë numrat (elementet) brenda matricës ekzistojnë më vete, domethënë nuk bëhet fjalë për ndonjë zbritje: 
Është vetëm një tabelë (grumbull) numrash!
Do të pajtohemi gjithashtu mos e riorganizoni numri, përveç nëse përcaktohet ndryshe në shpjegim. Secili numër ka vendndodhjen e vet, dhe ju nuk mund t'i përzieni ato!
Matrica në fjalë ka dy rreshta: 
dhe tre kolona: 
STANDARD: kur flasim për dimensionet e matricës, atëherë ne fillim tregoni numrin e rreshtave, dhe vetëm atëherë - numrin e kolonave. Sapo kemi zbërthyer matricën dy nga tre.
Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të një matrice është i njëjtë, atëherë matrica quhet katrore, Për shembull: 
është një matricë tre-nga-tre.
Nëse matrica ka një kolonë ose një rresht, atëherë quhen edhe matrica të tilla vektorët.
Në fakt, ne e dimë konceptin e një matrice që në shkollë, konsideroni, për shembull, një pikë me koordinatat "x" dhe "y": . Në thelb, koordinatat e një pike shkruhen në një matricë një nga dy. Nga rruga, këtu është një shembull për ju pse renditja e numrave ka rëndësi: dhe janë dy pika krejtësisht të ndryshme të aeroplanit.
Tani le të kalojmë në studim. operacionet e matricës:
1) Veprimi i parë. Heqja e një minus nga një matricë (Futja e një minus në një matricë).
Kthehu te matrica jonë 
. Siç e keni vënë re ndoshta, ka shumë numra negativë në këtë matricë. Kjo është shumë e papërshtatshme për sa i përket kryerjes së veprimeve të ndryshme me matricën, është e papërshtatshme të shkruash kaq shumë minuse, dhe thjesht duket e shëmtuar në dizajn.
Le ta zhvendosim minusin jashtë matricës duke ndryshuar shenjën e ÇDO elementi të matricës:
Në zero, siç e kuptoni, shenja nuk ndryshon, zero - është gjithashtu zero në Afrikë.
Shembull i kundërt: 
. Duket e shëmtuar.
Ne futim një minus në matricë duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:
Epo, është shumë më e bukur. Dhe, më e rëndësishmja, do të jetë MË LEHTË për të kryer çdo veprim me matricën. Sepse ekziston një shenjë e tillë popullore matematikore: sa më shumë minuse - aq më shumë konfuzion dhe gabime.
2) Veprimi dy. Shumëzimi i një matrice me një numër.
Shembull:
Është e thjeshtë, për të shumëzuar një matricë me një numër, ju duhet të gjithë shumëzojeni elementin e matricës me numrin e dhënë. Në këtë rast, tre.
Një shembull tjetër i dobishëm:
– shumëzimi i një matrice me një thyesë
Le të shohim së pari se çfarë të bëjmë NUK KA NEVOJË:
NUK është e nevojshme të futet një fraksion në matricë, së pari, vetëm i vështirëson veprimet e mëtejshme me matricën dhe së dyti, e bën të vështirë për mësuesin të kontrollojë zgjidhjen (veçanërisht nëse 
- përgjigja përfundimtare e detyrës).
Dhe veçanërisht, NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me minus shtatë:
Nga artikulli Matematikë për dummies ose ku të filloni, kujtojmë se thyesat dhjetore me presje në matematikën e lartë po përpiqen në çdo mënyrë t'i shmangin.
E vetmja gjë e dëshirueshme për të bërë në këtë shembull është të futni një minus në matricë:
Por nëse TE GJITHA Elementet e matricës u ndanë me 7 pa lënë gjurmë, atëherë do të ishte e mundur (dhe e nevojshme!) të ndahej.
Shembull:
Në këtë rast, ju mund të NEVOJA shumëzojini të gjithë elementët e matricës me , pasi të gjithë numrat në matricë janë të pjesëtueshëm me 2 pa lënë gjurmë.
Shënim: në teorinë e matematikës së lartë nuk ekziston koncepti shkollor i "ndarjes". Në vend të shprehjes "kjo pjesëtohet me këtë", gjithmonë mund të thuash "kjo shumëzohet me një fraksion". Kjo do të thotë, pjesëtimi është një rast i veçantë i shumëzimit.
3) Veprimi i tretë. Transpozimi i matricës.
Për të transpozuar një matricë, duhet të shkruani rreshtat e saj në kolonat e matricës së transpozuar.
Shembull:
Transpozoni Matricën
Këtu ka vetëm një rresht dhe, sipas rregullit, duhet të shkruhet në një kolonë:
është matrica e transpozuar.
Matrica e transpozuar zakonisht shënohet me një mbishkrim ose një goditje në pjesën e sipërme djathtas.
Shembull hap pas hapi:
Transpozoni Matricën 
Së pari, ne rishkruajmë rreshtin e parë në kolonën e parë:
Pastaj ne rishkruajmë rreshtin e dytë në kolonën e dytë: 
Dhe së fundi, ne rishkruajmë rreshtin e tretë në kolonën e tretë:
Gati. Përafërsisht, të transpozosh do të thotë të kthesh matricën në anën e saj.
4) Veprimi katër. Shuma (diferenca) e matricave.
Shuma e matricave është një veprim i thjeshtë.
JO TË GJITHA MATRIKAT MUND TË PALOSEN. Për të kryer mbledhje (zbritje) të matricave, është e nevojshme që ato të jenë TË TË NJËJTA MADHËSI.
Për shembull, nëse jepet një matricë dy-nga-dy, atëherë ajo mund të shtohet vetëm në një matricë dy-nga-dy dhe asnjë tjetër! 
Shembull:
Shtoni matricat 
dhe 
Për të shtuar matrica, duhet të shtoni elementët e tyre përkatës:
Për diferencën e matricave, rregulli është i ngjashëm, është e nevojshme të gjendet dallimi i elementeve përkatës.
Shembull:
Gjeni ndryshimin e matricave 
, 
Dhe si ta zgjidhim më lehtë këtë shembull, në mënyrë që të mos ngatërrohemi? Këshillohet që të heqni qafe minuset e panevojshme, për këtë ne do të shtojmë një minus në matricë:
Shënim: në teorinë e matematikës së lartë nuk ekziston koncepti shkollor i "zbritjes". Në vend të shprehjes "zbrisni këtë nga kjo", gjithmonë mund të thoni "shtoni një numër negativ në këtë". Domethënë, zbritja është një rast i veçantë i mbledhjes.
5) Veprimi i pestë. Shumëzimi i matricës.
Cilat matrica mund të shumëzohen?
Që një matricë të shumëzohet me një matricë, në mënyrë që numri i kolonave të matricës të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës.
Shembull:
A është e mundur të shumëzohet një matricë me një matricë?
Pra, ju mund të shumëzoni të dhënat e matricës.
Por nëse matricat riorganizohen, atëherë, në këtë rast, shumëzimi nuk është më i mundur!
Prandaj, shumëzimi është i pamundur:
Nuk janë të rralla për detyrat me truk, kur një studenti i kërkohet të shumëzojë matrica, shumëzimi i të cilave është padyshim i pamundur.
Duhet të theksohet se në disa raste është e mundur të shumëzohen matricat në të dyja mënyrat.
Për shembull, për matricat, dhe shumëzimi dhe shumëzimi janë të mundshëm
Për të shumëzuar matricën A me një numër arbitrar α, na duhen elementet e matricës A shumëzohet me numrin α, d.m.th. produkti i një matrice dhe një numri do të jetë si më poshtë:
Shembulli 1 Gjeni Matricën 3 A për matricën
Vendimi. Në përputhje me përkufizimin, ne shumëzojmë elementet e matricës A me 3 dhe merrni
Ky ishte një shembull shumë i thjeshtë i shumëzimit të një matrice me një numër me numra të plotë. Ka edhe shembuj të thjeshtë përpara, por tashmë ata ku midis faktorëve dhe elementeve të matricave ka thyesa, variabla (emërtime shkronjash), sepse ligjet e shumëzimit zbatohen jo vetëm për numrat e plotë, kështu që nuk është kurrë e dëmshme përsëritja e tyre.
Shembulli 2 A me numrin α nëse 
,
.
A me α, duke mos harruar se kur shumëzohen thyesat, numëruesi i thyesës së parë shumëzohet me numëruesin e thyesës së parë dhe prodhimi shkruhet në numërues, dhe emëruesi i thyesës së parë shumëzohet me emëruesin e thyesës së dytë. dhe produkti shkruhet në emërues. Pas marrjes së elementit të dytë të rreshtit të parë të matricës së re, fraksioni që rezulton u zvogëlua me 2, kjo duhet të bëhet. marrim
Shembulli 3 Kryeni një veprim të shumëzimit të matricës A me numrin α nëse
,
.
Vendimi. Shumëzoni elementet e matricës A në α, duke mos u ngatërruar në emërtimet e shkronjave, duke mos harruar të lini një minus përpara elementit të dytë të rreshtit të dytë të matricës së re dhe duke kujtuar se rezultati i shumëzimit të një numri me reciprocitetin e tij është një (elementi i parë të rreshtit të tretë). marrim
.
Shembulli 4 Kryeni një veprim të shumëzimit të matricës A me numrin α nëse 
,
.
Vendimi. Kujtoni se kur shumëzoni një numër në një fuqi me një numër në një fuqi, eksponentët mblidhen. marrim
.
Ky shembull, ndër të tjera, tregon qartë se veprimet e shumëzimit të një matrice me një numër mund të lexohen (dhe shkruhen) në rend të kundërt dhe quhet vendosja e një faktori konstant përpara matricës.
E kombinuar me mbledhje dhe zbritje e matricave Operacioni i shumëzimit të një matrice me një numër mund të formojë shprehje të ndryshme të matricës, për shembull, 5 A − 3B , 4A + 2B .
Vetitë e shumëzimit të një matrice me një numër
(këtu A, B - matricat, - numrat, 1 - numri një)
1. 
2. 
3. 
Vetitë (1) dhe (2) lidhin shumëzimin e një matrice me një numër me mbledhjen e matricave. Ekziston gjithashtu një lidhje shumë e rëndësishme midis shumëzimit të një matrice me një numër dhe shumëzimit të vetë matricave:
dmth nëse në produktin e matricave një nga faktorët shumëzohet me një numër, atëherë i gjithë prodhimi do të shumëzohet me një numër.
Kjo temë do të mbulojë veprime të tilla si mbledhja dhe zbritja e matricave, shumëzimi i një matrice me një numër, shumëzimi i një matrice me një matricë, transpozimi i matricës. Të gjitha simbolet e përdorura në këtë faqe janë marrë nga tema e mëparshme.
Mbledhja dhe zbritja e matricave.
Shuma $A+B$ e matricave $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\herë n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m \herë n) =(c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline( 1,n) $.
Një përkufizim i ngjashëm është prezantuar për diferencën e matricave:
Diferenca $A-B$ e matricave $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\times n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë n)=( c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\mbi linjë (1, n)$.
Shpjegim për hyrjen $i=\overline(1,m)$: show\hide
Hyrja "$i=\overline(1,m)$" do të thotë që parametri $i$ ndryshon nga 1 në m. Për shembull, hyrja $i=\overline(1,5)$ thotë se parametri $i$ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.
Vlen të theksohet se veprimet e mbledhjes dhe zbritjes përcaktohen vetëm për matricat me të njëjtën madhësi. Në përgjithësi, mbledhja dhe zbritja e matricave janë operacione që janë intuitive të qarta, sepse ato nënkuptojnë, në fakt, vetëm mbledhjen ose zbritjen e elementeve përkatëse.
Shembulli #1
Janë dhënë tre matrica:
$$ A=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)\;\; B=\left(\fillimi(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas); \;\; F=\left(\fillimi(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \djathtas). $$
A është e mundur të gjendet matrica $A+F$? Gjeni matricat $C$ dhe $D$ nëse $C=A+B$ dhe $D=A-B$.
Matrica $A$ përmban 2 rreshta dhe 3 kolona (me fjalë të tjera, madhësia e matricës $A$ është $2\herë 3$), dhe matrica $F$ përmban 2 rreshta dhe 2 kolona. Dimensionet e matricës $A$ dhe $F$ nuk përputhen, kështu që nuk mund t'i shtojmë, d.m.th. Operacioni $A+F$ për këto matrica nuk është i përcaktuar.
Madhësitë e matricave $A$ dhe $B$ janë të njëjta, d.m.th. Të dhënat e matricës përmbajnë një numër të barabartë rreshtash dhe kolonash, kështu që operacioni i mbledhjes është i zbatueshëm për to.
$$ C=A+B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)+ \left(\fille(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end (array) \djathtas) $$
Gjeni matricën $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)- \left(\fille(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillimi(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end (array) \djathtas) $$
Përgjigju: $C=\left(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \djathtas)$, $D=\left(\fille(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \djathtas)$.
Shumëzimi i një matrice me një numër.
Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe numri $\alpha$ është matrica $B_(m\herë n)=(b_(ij))$, ku $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline(1,n)$.
E thënë thjesht, të shumëzosh një matricë me një numër do të thotë të shumëzosh çdo element të matricës së dhënë me atë numër.
Shembulli #2
Jepet një matricë: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Gjeni matricat $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dhe $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\majtas(\fille( grup) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\fillim (vargu) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\ majtas(\fillimi(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \fund (array) \djathtas). $$
Shënimi $-A$ është stenografi për $-1\cdot A$. Kjo do të thotë, për të gjetur $-A$, ju duhet të shumëzoni të gjithë elementët e matricës $A$ me (-1). Në fakt, kjo do të thotë që shenja e të gjithë elementëve të matricës $A$ do të ndryshojë në të kundërtën:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas)= \ majtas(\fillimi(grupi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \fund (array) \djathtas) $$
Përgjigju: $3\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas);\; -5\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \djathtas);\; -A=\left(\fillim(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \djathtas)$.
Prodhimi i dy matricave.
Përkufizimi i këtij operacioni është i rëndë dhe, në shikim të parë, i pakuptueshëm. Prandaj, së pari do të tregoj një përkufizim të përgjithshëm, dhe më pas do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë dhe si të punojmë me të.
Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe matricës $B_(n\times k)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë k )=(c_( ij))$, për të cilin çdo element i $c_(ij)$ është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës të rreshtit i-të të matricës $A$ dhe elementeve të Kolona j-të e matricës $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\mbi vijë (1,m), j=\mbi vijë (1,n).$$
Hap pas hapi, ne do të analizojmë shumëzimin e matricave duke përdorur një shembull. Sidoqoftë, duhet t'i kushtoni vëmendje menjëherë që jo të gjitha matricat mund të shumëzohen. Nëse duam të shumëzojmë matricën $A$ me matricën $B$, atëherë së pari duhet të sigurohemi që numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës $B$ (matrica të tilla shpesh quhen ra dakord). Për shembull, matrica $A_(5\herë 4)$ (matrica përmban 5 rreshta dhe 4 kolona) nuk mund të shumëzohet me matricën $F_(9\herë 8)$ (9 rreshta dhe 8 kolona), pasi numri i kolonave të matrica $A $ nuk është e barabartë me numrin e rreshtave të matricës $F$, d.m.th. 4$\neq 9$. Por është e mundur të shumëzohet matrica $A_(5\herë 4)$ me matricën $B_(4\herë 9)$, pasi numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matrica $B$. Në këtë rast, rezultati i shumëzimit të matricave $A_(5\herë 4)$ dhe $B_(4\herë 9)$ është matrica $C_(5\fish 9)$, që përmban 5 rreshta dhe 9 kolona:
Shembulli #3
Matricat e dhëna: $ A=\left(\fille(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \fund (array) \djathtas)$ dhe $ B=\majtas(\fillimi(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) $. Gjeni matricën $C=A\cdot B$.
Për të filluar, ne përcaktojmë menjëherë madhësinë e matricës $C$. Meqenëse matrica $A$ ka madhësi $3\herë 4$ dhe matrica $B$ ka madhësi $4\herë 2$, madhësia e matricës $C$ është $3\herë 2$:
Pra, si rezultat i produktit të matricave $A$ dhe $B$, duhet të marrim matricën $C$, të përbërë nga tre rreshta dhe dy kolona: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \fund (array) \djathtas)$. Nëse emërtimet e elementeve ngrenë pyetje, atëherë mund të shikoni temën paraprake: "Matricat. Llojet e matricave. Termat bazë", në fillim të së cilës shpjegohet emërtimi i elementeve të matricës. Qëllimi ynë është të gjejmë vlerat e të gjithë elementëve të matricës $C$.
Le të fillojmë me elementin $c_(11)$. Për të marrë elementin $c_(11)$, duhet të gjeni shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:
Për të gjetur vetë elementin $c_(11)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së parë të matricës $B$, d.m.th. elementi i parë tek i pari, i dyti tek i dyti, i treti tek i treti, i katërti tek i katërti. Ne përmbledhim rezultatet e marra:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Le të vazhdojmë zgjidhjen dhe të gjejmë $c_(12)$. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së dytë të matricës $B$:
Ngjashëm me atë të mëparshëm, kemi:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Gjenden të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës $C$. Kalojmë në rreshtin e dytë, i cili fillon me elementin $c_(21)$. Për ta gjetur atë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Elementi tjetër $c_(22)$ gjendet duke shumëzuar elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Për të gjetur $c_(31)$ ne shumëzojmë elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementet e kolonës së parë të matricës $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Dhe, së fundi, për të gjetur elementin $c_(32)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Të gjithë elementët e matricës $C$ janë gjetur, mbetet vetëm të shkruhet se $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \ drejtë) $ . Ose, për ta shkruar atë të plotë:
$$ C=A\cdot B =\majtas(\fillimi(arriti) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \fund (array) \djathtas)\cdot \left(\fillim(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) =\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas). $$
Përgjigju: $C=\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas)$.
Nga rruga, shpesh nuk ka asnjë arsye për të përshkruar në detaje vendndodhjen e secilit element të matricës së rezultatit. Për matricat, madhësia e të cilave është e vogël, mund të bëni sa më poshtë:
$$ \left(\fille(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\fille(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \djathtas) =\majtas(\fillimi(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \djathtas) =\majtas (\fillim(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \djathtas) $$
Vlen gjithashtu të theksohet se shumëzimi i matricës është jokomutativ. Kjo do të thotë që në përgjithësi $A\cdot B\neq B\cdot A$. Vetëm për disa lloje matricash, të cilat quhen permutacionale(ose në lëvizje), barazia $A\cdot B=B\cdot A$ është e vërtetë. Bazohet në moskomutativitetin e shumëzimit që kërkohet të tregohet saktësisht se si e shumëzojmë shprehjen me një ose një matricë tjetër: në të djathtë ose në të majtë. Për shembull, shprehja "shumëzo të dyja anët e barazisë $3E-F=Y$ me matricën $A$ në të djathtë" do të thotë që ju dëshironi të merrni barazinë e mëposhtme: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Transpozuar në lidhje me matricën $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ është matrica $A_(n\herë m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, për elementet ku $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
E thënë thjesht, për të marrë matricën e transpozuar $A^T$, duhet të zëvendësoni kolonat në matricën origjinale $A$ me rreshtat përkatës sipas këtij parimi: ishte rreshti i parë - kolona e parë do të bëhet; kishte një rresht të dytë - kolona e dytë do të bëhet; kishte një rresht të tretë - do të ketë një kolonë të tretë dhe kështu me radhë. Për shembull, le të gjejmë matricën e transpozuar në matricën $A_(3\fish 5)$:
Rrjedhimisht, nëse matrica origjinale kishte madhësi $3\herë 5$, atëherë matrica e transpozuar ka madhësi $5\herë 3$.
Disa veti të veprimeve në matrica.
Këtu supozohet se $\alpha$, $\beta$ janë disa numra dhe $A$, $B$, $C$ janë matrica. Për katër pronat e para, unë tregova emrat, pjesa tjetër mund të emërtohet sipas analogjisë me katër të parat.
Shumëzimi i një matrice me një numërështë një veprim në një matricë, si rezultat i të cilit secili prej elementeve të tij shumëzohet me një numër real ose kompleks. Kështu duket në gjuhën matematikore:
$$ B = \lambda \cdot A \Shigjeta djathtas b_(ij) = \lambda a_(ij) $$
Vlen të përmendet se matrica rezultuese $ B $ si rezultat duhet të jetë e njëjta dimension që kishte matrica fillestare $ A $. Ju gjithashtu mund t'i kushtoni vëmendje faktit të mëposhtëm: $ \lambda \cdot A = A \cdot \lambda $, domethënë, ju mund të ndërroni faktorët dhe ky produkt nuk do të ndryshojë.
Do të jetë e dobishme të përdoret operacioni i shumëzimit të një matrice me një numër kur të nxjerrë faktorin e përbashkët nga matrica. Në këtë rast, çdo element i matricës ndahet me numrin $ \lambda $ dhe vendoset përpara matricës.
Vetitë
- Ligji i shpërndarjes për matricat: $$ \lambda \cdot (A+B) = \lambda A + \lambda B $$Shumëzimi i shumës së matricave me një numër mund të zëvendësohet nga shuma e produkteve të secilës matricë individuale me numrin e dhënë
- Ligji i shpërndarjes për numrat realë (kompleks): $$ (\lambda + \mu) \cdot A = \lambda A + \mu A $$ Shumëzimi i një matrice me një shumë numrash mund të zëvendësohet nga shuma e produkteve të secilit numër sipas një matrice
- Ligji asociativ: $$ \lambda \cdot (\mu \cdot A) = (\lambda \cdot \mu) A $$ Është i përshtatshëm për t'u përdorur nëse duhet të hiqni faktorin e përbashkët nga matrica përpara tij, duke shumëzuar koeficientin tashmë përballë tij
- Ekziston një numër i veçantë $ \lambda = 1 $ që e mban matricën të pandryshuar $$ 1 \cdot A = A \cdot 1 = A $$
- Shumëzimi i një matrice me zero çon në faktin se çdo element i matricës rivendoset në zero dhe matrica bëhet zero e të njëjtit dimension siç ishte fillimisht: $$ 0 \cdot A = 0 $$
Shembuj zgjidhjesh
| Shembull |
| Jepet $ A = \begin(pmatrix) 2&-1&4\\0&9&3\\-2&-3&5 \end(pmatrix) $ dhe një numër real $ \lambda = 2 $. Shumëzoni një numër me një matricë. |
| Vendimi |
|
Ne shkruajmë veprimin matematikor të shumëzimit dhe në të njëjtën kohë kujtojmë rregullin që thotë: një matricë shumëzohet me një numër element për element. $$ \lambda \cdot A = 2 \cdot \fillimi(pmatrix) 2&-1&4\\0&9&3\\-2&-3&5 \end(pmatrix) = \fillimi(pmatrix) 2\cdot 2&2\cdot (-1)&2 \cdot 4\\2\cdot 0&2 \cdot 9&2\cdot 3\\2\cdot (-2)&2\cdot (-3)&2\cdot 5 \fund (pmatrix) = $$ $$ = \fillimi(pmatrix) 4&-2&8\\0&18&6\\-4&-6&10 \fund (pmatrix) $$ Si rezultat, shohim se çdo numër në matricë është dyfishuar në raport me vlerën fillestare. Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë dërgoni ajo tek ne. Ne do të ofrojmë një zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të njiheni me ecurinë e llogaritjes dhe të mblidhni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni një kredi nga mësuesi në kohën e duhur! |
| Përgjigju |
| $$ \lambda \cdot A = \fillimi(pmatrix) 4&-2&8\\0&18&6\\-4&-6&10 \fund (pmatrix) $$ |
