§ 10. Zbërthimi i polinomeve me metodën faktorizimi i faktorit të përbashkët
Në klasën e 6-të, numrat e përbërë i zbërthim në faktorë të thjeshtë, domethënë i furnizonim numrat natyrorë në formë prodhimi. Për shembull, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.
Disa polinome mund të paraqiten edhe si produkt. Kjo do të thotë se këto polinome mund të faktorizohen. Për shembull, 5a: - 5y - 5 (x - y); a 3 dhe 3a 2 = a 2 (a + 3) dhe të ngjashme.
Le të shqyrtojmë një nga mënyrat e faktorizimit të polinomeve - nxjerrjen e faktorit të përbashkët nga kllapat. Një nga shembujt e një zbërthimi të tillë të njohur për ne është vetia e shpërndarjes së shumëzimit a (b + c) = ab + ac, nëse shkruhet në rend të kundërt: ab + ac - a (b + c). Kjo do të thotë se polinomi ab + ac është zbërthyer në dy faktorë a dhe b + c.
Gjatë faktorizimit të polinomeve me koeficient të plotë, zgjidhet faktori që nxirret nga kllapat në mënyrë që termat e polinomit që mbetet në kllapa të mos kenë një faktor të përbashkët shkronjash dhe moduli i koeficientëve të tyre të mos ketë pjesëtues të përbashkët.
Le të shohim disa shembuj.
Shembull 1. Shprehja e faktorit:
3) 15а 3 b - 10а 2 b 2.
Seksioni
1) Faktori i përbashkët është 4, pra
8m + 4 = 4 ... 2 m + 4 ∙ 1 = 4 (2m + 1).
2) Faktori i përbashkët është ndryshorja a, pra
në + 7ap = a (t + 7p).
3) Në këtë rast, faktori i përbashkët numerik është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 10 dhe 15 - numri 5, dhe faktori i përbashkët i shkronjave është monomi a 2 b. Kështu që,
15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b (3а - 2b).
Shembulli 2. Zbërthehet sipas faktorëve:
1) 2m (b - c) + 3p (b - c);
2) x (y - t) + c (t - b).
Seksioni
1) Në këtë rast, faktori i përbashkët është binar b = c.
Prandaj, 2 m ( b - Me) + 3p ( b - c) = (b - c) (2m + 3p).
2) Termat kanë faktorë në - t dhe t - in, të cilët janë shprehje të kundërta. Prandaj, në termin e dytë, nxjerrim faktorin -1 nga kllapat, marrim: c (t - в) = -с (у - t).
Prandaj, x (y - t) + c (t - b) = x (y - t) - c (y - t) = (y - t) (x - c).
Për të kontrolluar korrektësinë e faktorizimit, shumëzoni faktorët që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë i barabartë me polinomin e dhënë.
Faktorizimi i polinomeve shpesh thjeshton procesin e zgjidhjes së një ekuacioni.
Shembulli 3. Gjeni rrënjët e ekuacionit 5x 2 - 7x = 0.
Seksioni Pjesën e majtë të ekuacionit e faktorizojmë në faktorë duke vendosur faktorin e përbashkët jashtë kllapave: x (5x - 7) = 0. Duke marrë parasysh që prodhimi është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej faktorëve është i barabartë në zero, do të kemi: x = 0 ose 5x - 7 = 0, prej nga x = 0 ose x = 1.4.
Përgjigje: 0; 1.4.
Cili transformim quhet faktorizim i një polinomi? Duke përdorur polinomin ab + ac si shembull, shpjegoni se si kryhet faktorizimi duke faktorizuar faktorin e përbashkët jashtë kllapave.
- (Me gojë) Gjeni faktorin e përbashkët në shprehjen:
- (Me gojë) Faktori:
- Faktoroni faktorin e përbashkët:
- (Me gojë) i bëri saktë faktorizimet:
1) 7a + 7 = 7a;
2) 5m - 5 = 5 (m - 5);
3) 2a - 2 = 2 (a - 1);
4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);
5) 5mn + bn = 5m (n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b (a + c)?
- Shkruani shumën si produkt:
- Faktori:
- Faktori:
4) 7a + 21au;
5) 9x 2 - 27x;
6) 3а - 9а 2;
8) 12ax - 4a 2;
9) -18xy + 24v 2;
10) a 2 b - ab 2;
11) pasdite - p 2 m;
12) -x 2 y 2 - xy.
- Faktoroni faktorin e përbashkët:
4) 15xy + 5x;
6) 15m - 30m 2;
7) 9xy + 6x 2;
9) -p 2 q - pq 2.
- Faktori:
5) 3b 2 - 9b 3;
7) 4y 2 + 12y 4;
8) 5m 5 + 15m 2;
9) -16a 4 - 20a.
- Faktori:
4) 18p 3 - 12p 2;
5) 14b 3 + 7b 4;
6) -25m 3 - 20m.
- Shkruani shumën e 6x 2 në + 15x si produkt dhe gjeni vlerën e tij nëse x = -0,5, y = 5.
- Shkruani shprehjen 12a 2 b - 8a si produkt dhe gjeni vlerën e saj nëse a = 2, 6 =.
- Faktoroni faktorin e përbashkët:
1) a 4 + a 3 - a 2;
2) m 9 - m 2 + m 7;
3) b 6 + b 5 - b 9;
4) - në 7 - në 12 - në 3.
- Paraqisni si vepër:
1) p 7 + p 3 - p 4;
2) a 10 - a 5 + a 8;
3) b 7 - b 5 - b 2;
4) -m 8 - m 2 - m 4.
- Llogaritni në një mënyrë të përshtatshme:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Zgjidhe ekuacionin:
1) x 2 - 2x = 0;
2) x 2 + 4x = 0.
- Gjeni rrënjët e ekuacionit:
1) x 2 + 3x = 0;
2) x 2 -7x = 0.
1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.
- Faktoroni faktorin e përbashkët:
1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8p 7 - 4p 5 + 10p 3;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3.
- Faktoroni faktorin e përbashkët:
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3;
2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;
3) 8x 2 y 2 - 4x 3 në 5 + 12x 4 në 3;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.
- Faktoroni polinomin:
1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;
2) 12b 2 c - 18b 3 - 30b 4 c;
3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.
- Llogaritni në një mënyrë të përshtatshme:
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Gjeni kuptimin e shprehjes:
1) 4,23 a - a 2 nëse a = 5,23;
2) x 2 y + x 3, nëse x = 2,51, b = -2,51;
3) am 5 - m 6, nëse = -1, dhe = -5;
4) -xy - x 2 nëse x = 2.7, b = 7.3.
- Gjeni kuptimin e shprehjes:
1) 9,11 a + a 2 nëse a = -10,11;
2) 5x 2 + 5a 2x, nëse a =; x =.
- Faktoroni polinomin:
1) 2p (x - y) + q (x - y);
2) a (x + y) - (x + y);
3) (a - 7) - b (a - 7);
4) 5 (a + 1) + (a + 1) 2;
5) (x + 2) 2 - x (x + 2);
6) -5 m (m - 2) + 4 (m - 2) 2.
- Imagjinoni shprehjen si një vepër:
1) a (x - y) + b (y - x);
2) g (b - 5) - n (5 - b);
3) 7x - (2b - 3) + 5y (3 - 2b);
4) (x - y) 2 - a (y - x);
5) 5 (x - 3) 2 - (3 - x);
6) (a + 1) (2b - 3) - (a + 3) (3 - 2b).
- Faktori:
1) 3x (b - 2) + y (b - 2);
2) (m 2 - 3) - x (m 2 - 3);
3) a (b - 9) + c (9 - b);
4) 7 (a + 2) + (a + 2) 2;
5) (s - m) 2 - 5 (m - s);
6) - (x + 2y) - 5 (x + 2y) 2.
- Gjeni rrënjët e ekuacionit:
1) 4x 2 - x = 0;
2) 7x 2 + 28x = 0;
3) x 2 + x = 0;
4) x 2 - x = 0.
- Zgjidhe ekuacionin:
1) 12x 2 + x = 0;
2) 0,2 x 2 - 2x = 0;
3) x 2 - x = 0;
4) 1 - x 2 + - x = 0.
- Zgjidhe ekuacionin:
1) x (3x + 2) - 5 (3x + 2) = 0;
2) 2x (x - 2) - 5 (2 - x) = 0.
- Zgjidhe ekuacionin:
1) x (4x + 5) - 7 (4x + 5) = 0;
2) 7 (x - 3) - 2x (3 - x) = 0.
1) 17 3 + 17 2 është shumëfish i 18;
2) 9 14 - 81 6 shumëfish i 80.
- Vërtetoni se kuptimi i shprehjes:
1) 39 9 - 39 8 pjesëtohet me 38;
2) 49 5 - 7 8 ndahet me 48.
- Faktoroni faktorin e përbashkët:
1) (5m - 10) 2;
2) (18а + 27b) 2.
- Gjeni rrënjët e ekuacionit:
1) x (x - 3) = 7x - 21;
2) 2x (x - 5) = 20 - 4x.
- Zgjidhe ekuacionin:
1) x (x - 2) = 4x - 8;
2) 3x (x - 4) = 28 - 7x.
- Vërtetoni se numri:
1) 10 4 + 5 3 pjesëtohet me 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 pjesëtohet me 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 pjesëtohet me 25;
4) 21 3 + 14 a - 7 3 pjesëtohet me 34.
Ushtrime me përsëritje
- Thjeshtoni shprehjen dhe gjeni kuptimin e saj:
1) -3x 2 + 7x 3 - 4x 2 + 3x 2, nëse x = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n nëse m = 7, n = -1.
- Në vend të yjeve, shkruani koeficientët e monomit në mënyrë që barazia të kthehet në identitet:
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (* m 2 - * m - * n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2;
2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (* x 2 - * xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.
- Gjatësia e drejtkëndëshit është trefishi i gjerësisë së tij. Nëse gjatësia e drejtkëndëshit zvogëlohet me 5 cm, atëherë sipërfaqja e tij do të ulet me 40 cm 2. Gjeni gjatësinë dhe gjerësinë e drejtkëndëshit.
Detyra interesante për nxënësit dembelë
Dihet se a< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >| me | dhe | b |< |с|?
Në kuadrin e studimit të shndërrimeve identike, është shumë e rëndësishme tema e nxjerrjes nga kllapa të faktorit të përbashkët. Në këtë artikull, ne do të shpjegojmë se çfarë është saktësisht një transformim i tillë, do të nxjerrim rregullin bazë dhe do të analizojmë shembuj tipikë të detyrave.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Koncepti i faktorizimit të një shumëzuesi
Për të aplikuar me sukses këtë transformim, duhet të dini se për cilat shprehje përdoret dhe çfarë rezultati duhet të merrni si rezultat. Le t'i shpjegojmë këto pika.
Ju mund ta hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehje që janë shuma në të cilat çdo term është një produkt, dhe çdo produkt ka një faktor të përbashkët (të njëjtë) për të gjithë. Quhet faktor i përbashkët. Do ta nxjerrim nga kllapa. Pra, nëse kemi vepra 5 3 dhe 5 4, atëherë mund të faktorizojmë faktorin e përbashkët 5.
Çfarë është ky transformim? Në rrjedhën e saj, ne paraqesim shprehjen origjinale si produkt të faktorit të përbashkët dhe shprehjen në kllapa, që përmban shumën e të gjithë termave origjinalë, përveç faktorit të përbashkët.
Le të marrim shembullin e mësipërm. Zhvendosni faktorin e përbashkët prej 5 në 5 3 dhe 5 4 dhe marrim 5 (3 + 4). Shprehja përfundimtare është prodhimi i faktorit të përbashkët 5 nga shprehja në kllapa, e cila është shuma e termave origjinalë minus 5.
Ky transformim bazohet në vetinë shpërndarëse të shumëzimit, të cilën e kemi studiuar tashmë më parë. Në formë literale, mund të shkruhet si a (b + c) = a b + a c... Duke zëvendësuar anën e djathtë me të majtën, do të shohim një skemë për vendosjen e faktorit të përbashkët jashtë kllapave.
Rregulli për vendosjen e faktorit të përbashkët jashtë kllapave
Duke përdorur të gjitha sa më sipër, ne nxjerrim rregullin bazë për një transformim të tillë:
Përkufizimi 1
Për të nxjerrë faktorin e përbashkët, duhet të shkruani shprehjen origjinale si produkt i faktorit të përbashkët dhe kllapave, të cilat përfshijnë shumën origjinale pa faktorin e përbashkët.
Shembulli 1
Le të marrim një shembull të thjeshtë të paraqitjes. Kemi një shprehje numerike 3 7 + 3 2 - 3 5, që është shuma e tre termave 3 · 7, 3 · 2 dhe një faktori të përbashkët prej 3. Duke marrë për bazë rregullin që kemi nxjerrë, veprën e shkruajmë si 3 (7 + 2 - 5)... Ky është rezultat i transformimit tonë. Regjistrimi i të gjithë zgjidhjes duket si ky: 3 7 + 3 2 - 3 5 = 3 (7 + 2 - 5).
Faktorin mund ta nxjerrim jashtë kllapave jo vetëm në shprehje numerike, por edhe fjalë për fjalë. Për shembull, në 3 x - 7 x + 2 ju mund të hiqni ndryshoren x dhe të merrni 3 x - 7 x + 2 = x (3 - 7) + 2, në shprehje (x 2 + y) x y - (x 2 + y) x 3- faktor i përbashkët (x 2 + y) dhe merrni në fund (x 2 + y) (x y - x 3).
Nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet menjëherë se cili faktor është i zakonshëm. Ndonjëherë një shprehje duhet të para-transformohet duke zëvendësuar numrat dhe shprehjet me prodhime identike të barabarta.
Shembulli 2
Kështu, për shembull, në shprehje 6 x + 4 vjet ju mund të nxirrni një faktor të përbashkët prej 2, jo të shkruar në mënyrë eksplicite. Për ta gjetur atë, duhet të transformojmë shprehjen origjinale, duke paraqitur gjashtë si 2 3 dhe katër si 2 2. Kjo eshte 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y)... Ose në shprehje x 3 + x 2 + 3 x mund të faktorizoni faktorin e përbashkët x, i cili gjendet pas zëvendësimit x 3 në x x 2. Ky transformim është i mundur për shkak të vetive themelore të shkallës. Si rezultat, marrim shprehjen x (x 2 + x + 3).
Një rast tjetër, i cili duhet diskutuar veçmas, është kllapa e minusit. Pastaj ne nxjerrim jo vetë shenjën, por minus një. Për shembull, ne transformojmë në këtë mënyrë shprehjen - 5 - 12 x + 4 x y... Le ta rishkruajmë shprehjen si (- 1) 5 + (- 1) 12 x - (- 1) 4 x y në mënyrë që të shihet më qartë faktori i përbashkët. Le ta nxjerrim nga kllapat dhe të marrim - (5 + 12 x - 4 x y). Ky shembull tregon se në kllapa fitohet e njëjta sasi, por me shenja të kundërta.
Në përfundime, vërejmë se transformimi duke marrë faktorin e përbashkët jashtë kllapave përdoret shumë shpesh në praktikë, për shembull, për të llogaritur vlerën e shprehjeve racionale. Kjo metodë është gjithashtu e dobishme kur ju duhet të përfaqësoni një shprehje si produkt, për shembull, për të faktorizuar një polinom në faktorë të veçantë.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter
Chichaeva Darina klasa 8v
Në punë, një nxënës i klasës 8 shkroi rregullin për faktorizimin e një polinomi në faktorë duke marrë faktorin e përbashkët jashtë kllapave me një zgjidhje të detajuar për shumë shembuj për këtë temë. Për çdo shembull të analizuar propozohen 2 shembuj për zgjidhje të pavarur, për të cilat ka përgjigje. Puna do të ndihmojë në studimin e kësaj teme për ata studentë që, për ndonjë arsye, nuk e zotëruan atë kur kaluan materialin programor të klasës së 7-të dhe (ose) kur përsërisin kursin e algjebrës në klasën e 8-të pas pushimeve verore.
Shkarko:
Pamja paraprake:
Institucion arsimor buxhetor komunal
shkolla e mesme №32
"Shkolla e Asociuar e UNESCO-s" Eureka-Development "
Volzhsky, rajoni i Volgogradit
Puna e përfunduar:
Nxënës i klasës 8B
Çichaeva Darina
Volzhsky
2014
Faktorizimi i faktorit të përbashkët
- - Një mënyrë për të faktorizuar një polinom ështënxjerrja nga kllapa e faktorit të përbashkët;
- - Kur nxirret faktori i përbashkët nga kllapat, thepronë e shpërndarjes;
- - Nëse të gjithë anëtarët e polinomit përmbajnë faktor i përbashkët, pra ky faktor mund të hiqet nga kllapat.
Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, në llogaritjet dhe në një numër problemesh të tjera, është e dobishme të zëvendësohet një polinom me produktin e disa polinomeve (ndër të cilët mund të ketë monome). Paraqitja e një polinomi si produkt i dy ose më shumë polinomeve quhet faktorizimi i një polinomi.
Merrni parasysh polinomin 6a 2 b + 15b 2 ... Secili prej termave të tij mund të zëvendësohet nga produkti i dy faktorëve, njëri prej të cilëve është i barabartë me 3b: → 6a 2 b = 3b * 2a 2, + 15b 2 = 3b * 5b → nga kjo marrim: 6a 2 b + 15b 2 = 3b * 2a 2 + 3b * 5b.
Shprehja rezultuese e bazuar në vetinë shpërndarëse të shumëzimit mund të përfaqësohet si produkt i dy faktorëve. Një prej tyre është faktori i përbashkët 3b dhe tjetra është shuma 2a 2 dhe 5b → 3b * 2a 2 + 3b * 5b = 3b (2a 2 + 5b) → Kështu, ne kemi zgjeruar polinomin: 6a 2 b + 15b 2 me faktorë, duke e përfaqësuar atë si produkt i një monomi 3b dhe polinomi 2a 2 + 5b. Kjo metodë e faktorizimit të një polinomi në faktorë quhet kllapa.
Shembuj:
Faktori:
A) kx-px.
Shumëzuesi x x vënë jashtë kllapave.
kx: x = k; px: x = p.
Marrim: kx-px = x * (k-p).
b) 4a-4b.
Shumëzuesi 4 është në termin 1 dhe termin 2. Kështu që 4 vënë jashtë kllapave.
4a: 4 = a; 4b: 4 = b.
Marrim: 4a-4b = 4 * (a-b).
c) -9m-27n.
9m dhe -27n pjesëtohen me -9 ... Prandaj, ne nxjerrim faktorin numerik jashtë kllapave-9.
9m: (-9) = m; -27n: (-9) = 3n.
Kemi: -9m-27n = -9 * (m + 3n).
d) 5v 2 -15v.
5 dhe 15 pjesëtohen me 5; y 2 dhe y pjesëtohen me y.
Prandaj, ne nxjerrim faktorin e përbashkët jashtë kllapave 5 vjet.
5y 2: 5y = y; -15y: 5y = -3.
Pra: 5y 2 -15y = 5y * (y-3).
Koment: Nga dy gradë me të njëjtën bazë, nxjerrim shkallën me një eksponent më të ulët.
e) 16y 3 + 12y 2.
16 dhe 12 pjesëtohen me 4; y 3 dhe y 2 pjesëtohen me y 2.
Prandaj faktori i përbashkët 4v 2.
16y 3: 4y 2 = 4y; 12y 2: 4y 2 = 3.
Si rezultat, marrim: 16y 3 + 12y 2 = 4y 2 * (4y + 3).
f) Faktoroni polinomin 8b (7y + a) + n (7y + a).
Në këtë shprehje, shohim se i njëjti faktor është i pranishëm(7v + a) , e cila mund të hiqet nga kllapat. Pra, marrim:8b (7y + a) + n (7y + a) = (8b + n) * (7y + a).
g) a (b-c) + d (c-b).
Shprehjet b-c dhe c-b janë të kundërta. Prandaj, për t'i bërë ato të njëjta, më parë d ndryshoni shenjën "+" në "-":
a (b-c) + d (c-b) = a (b-c) -d (b-c).
a (b-c) + d (c-b) = a (b-c) -d (b-c) = (b-c) * (a-d).
Shembuj për një zgjidhje të pavarur:
- mx + im;
- ah + ay;
- 5x + 5vje;
- 12x + 48vje;
- 7ax + 7bx;
- 14x + 21vje;
- –Ma-a;
- 8mn-4m 2;
- -12v 4 -16vje;
- 15v 3 -30v 2;
- 5c (y-2c) + y2 (y-2c);
- 8m (a-3) + n (a-3);
- x (y-5) -y (5-y);
- 3a (2x-7) + 5b (7-2x);
Përgjigjet.
1) m (x + y); 2) a (x + y); 3) 5 (x + y); 4) 12 (x + 4v); 5) 7x (a + b); 6) 7 (2x + 3v); 7) -a (m + 1); 8) 4m (2n-m);
9) -4y (3y 3 +4); 10) 15y 2 (y-2); 11) (y-2c) (5c + y2); 12) (a-3) (8m + n); 13) (y-5) (x + y); 14) (2x-7) (3a-5b).
Përkufizimi 1
Le të kujtojmë së pari Rregullat për shumëzimin e një monomi me një monom:
Për të shumëzuar një monom me një monomë, fillimisht duhet të shumëzoni koeficientët e monomëve, pastaj duke përdorur rregullin për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, të shumëzoni variablat e përfshirë në monomë.
Shembulli 1
Gjeni produktin e monomeve $ (2x) ^ 3y ^ 2z $ dhe $ (\ frac (3) (4) x) ^ 2y ^ 4 $
Zgjidhja:
Së pari, ne llogarisim konvertimin e koeficientëve
$ 2 \ cdot \ frac (3) (4) = \ frac (2 \ cdot 3) (4) $ në këtë detyrë kemi përdorur rregullin e shumëzimit të një numri me një thyesë - për të shumëzuar një numër të plotë me një thyesë, ju duhet të shumëzosh numrin me numëruesin e thyesës dhe emëruesi të vendoset i pandryshuar
Tani do të përdorim vetinë bazë të thyesës - numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni mund të ndahen me të njëjtin numër përveç 0 $. Ndajeni numëruesin dhe emëruesin 6l të kësaj thyese me 2 $, domethënë mund ta zvogëlojmë me 2 $ këtë thyesë $ 2 \ cdot \ frac (3) (4) $ = $ \ frac (2 \ cdot 3) ( 4) = \ \ frac (3 ) (2) $
Rezultati doli të ishte një thyesë e pasaktë, domethënë një me numërues më të madh se emëruesi.
Këtë thyesë e transformojmë me përzgjedhjen e të gjithë pjesës. Kujtojmë se për të theksuar pjesën e plotë, është e nevojshme të shkruhet herësi jo i plotë i përftuar duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin, si pjesë të plotë, pjesën e mbetur të pjesëtimit në numëruesin e pjesës thyesore, pjesëtuesin në emërues.
Ne kemi gjetur koeficientin e produktit të ardhshëm.
Tani do të shumëzojmë në mënyrë sekuenciale variablat $ x ^ 3 \ cdot x ^ 2 = x ^ 5 $,
$ y ^ 2 \ cdot y ^ 4 = y ^ 6 $. Këtu kemi përdorur rregullin për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë: $ a ^ m \ cdot a ^ n = a ^ (m + n) $
Atëherë rezultati i shumëzimit të monomëve do të jetë:
$ (2x) ^ 3y ^ 2z \ cdot (\ frac (3) (4) x) ^ 2y ^ 4 = 1 \ frac (1) (2) x ^ 5y ^ 6 $.
Pastaj, bazuar në këtë rregull, mund të kryeni detyrën e mëposhtme:
Shembulli 2
Paraqisni një polinom të dhënë si produkt të një polinomi dhe një monomi $ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 $
Le të paraqesim secilin nga monomët që përbëjnë polivijën si prodhim i dy monomëve në mënyrë që të zgjedhim një monom të përbashkët, i cili do të jetë faktor si në monomët e parë ashtu edhe në të dytin.
Së pari, fillojmë me monomin e parë $ (4x) ^ 3y $. Le ta zbërthejmë koeficientin e tij në faktorët kryesorë: $ 4 = 2 \ cdot 2 $. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me koeficientin e monomit të dytë $ 8 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $. Vini re se dy faktorë $ 2 \ cdot 2 $ përfshihen në koeficientin e parë dhe të dytë, kështu që 2 $ \ cdot 2 = 4 $ - ky numër do të përfshihet në monomin e përbashkët si koeficient
Tani kushtojini vëmendje që në monomin e parë ka $ x ^ 3 $, dhe në të dytin e njëjta ndryshore me fuqinë $ 2: x ^ 2 $. Prandaj, është e përshtatshme të përfaqësohet ndryshorja $ x ^ 3 $ si më poshtë:
Ndryshorja $ y $ përfshihet vetëm në një term të polinomit, kështu që nuk mund të përfshihet në monomin e përgjithshëm.
Ne përfaqësojmë monomët e parë dhe të dytë të përfshirë në polinom si produkt:
$ (4x) ^ 3y = 4x ^ 2 \ cdot xy $
$ 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot 2 $
Vini re se monomi i zakonshëm, i cili do të jetë një faktor si në monomin e parë ashtu edhe në atë të dytë, është $4x ^ 2 $.
$ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot xy + 4x ^ 2 \ cdot 2 $
Tani zbatojmë ligjin e shpërndarjes së shumëzimit, atëherë shprehja që rezulton mund të përfaqësohet si produkt i dy faktorëve. Një nga faktorët do të jetë faktori i përbashkët: $ 4x ^ 2 $ dhe tjetri është shuma e faktorëve të mbetur: $ xy + 2 $. Do të thotë:
$ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot xy + 4x ^ 2 \ cdot 2 = 4x ^ 2 (xy + 2) $
Kjo metodë quhet faktorizimi duke përdorur një faktor të përbashkët.
Faktori i zakonshëm në këtë rast ishte monomi $ 4x ^ 2 $.
Algoritmi
Vërejtje 1
Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të koeficientëve të të gjithë monomëve të përfshirë në polinom - do të jetë koeficienti i faktorit të përbashkët monom, të cilin do ta marrim jashtë kllapave
Monomi i përbërë nga koeficienti i gjetur në pikën 2, variablat e gjetura në pikën 3 do të jenë faktori i përbashkët. që mund të nxirret nga kllapat si faktor i përbashkët.
Shembulli 3
Faktoroni faktorin e përbashkët prej $ 3a ^ 3- (15a) ^ 2b + 4 (5ab) ^ 2 $
Zgjidhja:
Gjeni gcd-në e koeficientëve për këtë, ne i zbërthejmë koeficientët në faktorët kryesorë
45 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 5 $
Dhe ne do të gjejmë produktin e atyre që përfshihen në zbërthimin e secilit:
Identifikoni variablat që janë pjesë e secilit monom dhe zgjidhni variablin me eksponentin më të vogël
$ a ^ 3 = a ^ 2 \ cdot një $
Ndryshorja $ b $ përfshihet vetëm në monomët e dytë dhe të tretë, kështu që nuk do të hyjë në faktorin e përbashkët.
Le të hartojmë një monom të përbërë nga koeficienti i gjetur në pikën 2, variablat që gjenden në pikën 3, marrim: $ 3a $ - ky do të jetë faktori i përbashkët. pastaj:
$ 3a ^ 3- (15a) ^ 2b + 4 (5ab) ^ 2 = 3a (a ^ 2-5ab + 15b ^ 2) $
