Shumica e njerëzve në planetin tonë përdorin shënime dhjetore kur numërojnë, por kompjuterët përdorin binar. Disa fise në agimin e zhvillimit njerëzor përdorën duodecimal dhe seksagesimal. Është prej tyre që kemi 12 orë në numër dhe 60 minuta në orë.
Ndonjëherë është e nevojshme të transferoni një numër nga një sistem në tjetrin. Në këtë artikull, ne do të hedhim një vështrim më të afërt se si të konvertohet në dhjetor nga disa sisteme të tjera të njohura.
Parimi i ndërtimit të një numri nga numrat
Para së gjithash, ju duhet të kuptoni se çfarë është një sistem numrash dhe baza e tij. Një sistem numrash është një mënyrë për të paraqitur numrat si një kombinim i shifrave të caktuara. Baza e sistemit është numri i shifrave të përdorura në të. Për shembull, në sistemin dhjetor me bazën 10, ka vetëm 10 shifra - nga 0 në 9. Në heksadecimal, përkatësisht, ka 16 shifra, të cilat shënohen me numrat arabë 0 - 9 dhe shkronjat latine A - F. të numrave 10 - 15. Për shembull, 2F7BE 16 - numri i sistemit heksadecimal. Me një shënim të tillë, nënshkrimi tregon bazën e sistemit të numrave. Dallimi kryesor midis sistemeve me baza të ndryshme është "vlera" e numrit 10. Në heksadecimal, 10 16 do të ishte 16 10, por në binar 10 2 do të ishte vetëm dy. 100 16 do të llogaritet si
100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .
Është gjithashtu e nevojshme të bëhet dallimi midis koncepteve "shifër" dhe "numër". Një numër tregohet me një karakter, dhe një numër mund të jetë disa. Për shembull, numri 9 10 do të dukej si 1001 2 në binar, por numri 9 nuk ekziston si i tillë në binar.
Algoritmi i përkthimit
Për të kthyer një numër në sistemin dhjetor, duhet të mësoni se si të përdorni një algoritëm të thjeshtë.
- Përcaktoni bazën e sistemit të numrave. Tregohet nga një nënshkrim pas numrit, për shembull, në numrin 2F7BE 16, baza është 16.
- Shumëzoni secilën shifër të numrit me bazën me një fuqi të barabartë me numrin e shifrës nga e djathta në të majtë, duke filluar nga zero. Në numrin 2F7BE 16, E (e barabartë me 14) shumëzohet me 16 me fuqinë zero, B (numri 11) shumëzohet me 16 në fuqinë e parë, dhe kështu me radhë: 2F7BE 16 \u003d 2 * 16 4 + 15 * 16 3 + 7 * 16 2 + 11 *16 1 + 14*16 0 .
- Përmblidhni rezultatet.
2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .
Le të shohim shembuj se si të përkthen sistemet më të njohura - heksadecimal, oktal dhe binar në dhjetor.
- 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
- 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
- 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10
Sigurisht, është e papërshtatshme, joracionale dhe ngurruese të numërosh manualisht çdo herë. Ka shumë kalkulatorë që mund të përkthejnë numrat nga sistemi në sistem. Për shembull, një kalkulator standard i Windows në modalitetin Programues (menyja Alt+3 ose View) mund të funksionojë me sistemet bazë 2, 8, 10 dhe 16.
Për herë të parë, sistemi i numrave pozicional u ngrit në Babiloninë e lashtë. Në Indi, sistemi funksionon në formë
numërimi dhjetor pozicional duke përdorur zero, indianët e kanë këtë sistem numrash
të huazuara nga kombi arab, ata, nga ana tjetër, u morën nga evropianët. Në Evropë, ky sistem është bërë
thirr arabisht.
Sistemi i pozicionit - vlera e të gjitha shifrave varet nga pozicioni (shifra) e kësaj shifre në numër.
Shembuj, sistemi standard i numrave të 10-të është një sistem pozicionor. Le të themi se numri është 453.
Numri 4 qëndron për qindra dhe korrespondon me numrin 400, 5 - numrin e dhjetëra dhe korrespondon me vlerën 50,
dhe 3 - njësitë dhe vlera 3. Është e lehtë të shihet se me rritjen e shkarkimit, vlera rritet.
Kështu, numrin e dhënë e shkruajmë si shumë 400+50+3=453.
Sistemi binar i numrave.
Ka vetëm 2 shifra - 0 dhe 1. Themelimi i sistemit binar- numri 2.
Numri, i cili ndodhet nga buza në të djathtë, tregon numrin e njësive, numri i dytë -
Në të gjitha shifrat, vetëm një shifër është e mundur - ose zero ose një.
Duke përdorur sistemin e numrave binar, është e mundur të kodohet çdo numër natyror duke paraqitur
është një numër në formën e një sekuence zerosh dhe njësh.
Shembull: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110
Sistemi i numrave binar, si sistemi i numrave dhjetorë, përdoret shpesh në llogaritje
teknikë. Kompjuteri ruan tekstin dhe numrat në memorien e tij në kod binar dhe konverton në mënyrë programore
në imazhin në ekran.
Mbledhja, zbritja dhe shumëzimi i numrave binarë.
Tabela e shtimit në sistemin binar:
|
10 (transferimi në klasa e lartë) |
Tabela e zbritjes në sistemin binar:
|
(kredi nga të moshuarit shkarkim) 1 |
Një shembull i shtimit të një "kolone" (14 10 + 5 10 = 19 10 ose 1110 2 + 101 2 = 10011 2):
| + | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Tabela e shumëzimit në sistemin binar:
Një shembull i shumëzimit me një "kolona" (14 10 * 5 10 = 70 10 ose 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):
| * | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | |||||
| + | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 1 | 0 | ||||
| = | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Konvertimi i numrit në sistemin binar.
Për të kthyer nga binar në dhjetor, përdorni tabelën e mëposhtme të eksponentëve
baza 2:
Duke filluar me numrin një, çdo numër shumëzohet me 2. Quhet periudha pas 1-së pikë binare.
Shndërrimi i numrave binarë në dhjetor.
Le të jetë një numër binar 110001 2 . Për ta kthyer në dhjetore, shkruajeni atë si një shumë mbi
renditet si më poshtë:
1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49
Pak më ndryshe:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Është gjithashtu mirë që llogaritja të regjistrohet si një tabelë:
Ne lëvizim nga e djathta në të majtë. Nën të gjitha njësitë binare, ne shkruajmë ekuivalentin e tij në rreshtin më poshtë.
Shndërrimi i numrave binarë thyesorë në dhjetorë.
Ushtrimi: konvertoni numrin 1011010, 101 2 në dhjetor.
Ne e shkruajmë numrin e dhënë në këtë formë:
1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625
Një tjetër opsion shkrimi:
1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625
Ose në formën e tabelës:
|
0.25 |
0.125 |
||||||||
|
0.125 |
Shndërrimi i numrave dhjetorë në binar.
Le, ju duhet të konvertoni numrin 19 në binar. Mund ta bëjmë në këtë mënyrë:
19 /2 = 9 me mbetje 1
9 /2 = 4 me mbetje 1
4 /2 = 2 pa lënë gjurmë 0
2 /2 = 1 pa lënë gjurmë 0
1 /2 = 0 me mbetje 1
Kjo do të thotë, çdo herës ndahet me 2 dhe pjesa e mbetur shkruhet në fund të shënimit binar. Divizioni
vazhdon derisa herësi të jetë zero. Përmbledhja shkruhet nga e djathta në të majtë. ato. më të ulëta
numri (1) do të jetë më i majti, e kështu me radhë. Pra, morëm numrin 19 në shënimin binar: 10011.
Shndërrimi i numrave dhjetorë thyesorë në binar.
Kur një pjesë e plotë është e pranishme në një numër të caktuar, atëherë ai konvertohet veçmas nga pjesa thyesore. Përkthimi
numri thyesor nga dhjetori në binar ndodh si më poshtë:
- Thyesa shumëzohet me bazën e sistemit binar të numrave (2);
- Në punën që rezulton veçohet e gjithë pjesa, e cila pranohet si pjesa e lartë.
shifra e një numri në sistemin e numrave binar;
- Algoritmi përfundon nëse pjesa e pjesshme e produktit që rezulton është e barabartë me zero ose nëse
arrihet saktësia e kërkuar e llogaritjeve. Përndryshe, llogaritjet vazhdojnë
pjesë e pjesshme e produktit.
Shembull: Duhet të konvertohet numri dhjetor thyesor 206.116 në numër binar thyesor.
Duke përkthyer pjesën e plotë, marrim 206 10 =11001110 2 . Pjesa e pjesshme e 0,116 shumëzohet me bazën 2,
i vendosim të gjitha pjesët e produktit me shifra pas presjes dhjetore:
0,116 . 2 = 0,232
0,232 . 2 = 0,464
0,464 . 2 = 0,928
0,928 . 2 = 1,856
0,856 . 2 = 1,712
0,712 . 2 = 1,424
0,424 . 2 = 0,848
0,848 . 2 = 1,696
0,696 . 2 = 1,392
0,392 . 2 = 0,784
Rezultati: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2
Algoritmi për konvertimin e numrave nga një sistem numrash në tjetrin.
1. Nga sistemi i numrave dhjetorë:
- ne e ndajmë numrin me bazën e sistemit të numrave që përkthehet;
- gjeni pjesën e mbetur nga pjesëtimi i pjesës së plotë të numrit;
- shkruani të gjitha mbetjet e ndarjes në rend të kundërt;
2. Nga sistemi binar i numrave:
- për ta kthyer në dhjetore, gjejmë shumën e prodhimeve të bazës 2 nga
shkalla e duhur e shkarkimit;
Në jetën e përditshme, ne jemi mësuar të përdorim sistemin e numrave dhjetorë, të njohur për ne nga banka e shkollës. Sidoqoftë, përveç tij, ka shumë sisteme të tjera. Si të shkruani numrat jo në dhjetor, por, për shembull, në?
Si të konvertohet në binar çdo numër nga sistemi dhjetor
Nevoja për të kthyer një numër dhjetor në binar duket frikësuese vetëm në shikim të parë. Në fakt, është mjaft e thjeshtë - nuk është as e nevojshme të kërkoni shërbime në internet për të përfunduar operacionin.
- Për një mostër, le të marrim numrin 156, të shkruar në formën e zakonshme dhjetore, dhe të përpiqemi ta përkthejmë atë në formë binare.
- Algoritmi do të duket kështu - numri fillestar do të duhet të ndahet me dy, pastaj përsëri me 2 dhe përsëri me 2 derisa një të mbetet në përgjigje.
- Kur kryeni ndarjen për konvertimin në kod binar, nuk janë numrat e plotë që kanë rëndësi - por mbetjet. Nëse, gjatë pjesëtimit, përgjigja rezulton të jetë një numër çift, atëherë pjesa e mbetur shkruhet si numri 0, nëse është tek, atëherë si numri 1.
- Në praktikë, mund të siguroheni lehtësisht që seria fillestare binare e mbetjeve për numrin 156 do të duket kështu - 00111001. Për ta kthyer atë në një kod binar të plotë, kjo seri do të duhet të shkruhet në rend të kundërt - pra 10011100.
Numri binar 10011100, i marrë si rezultat i një operacioni të thjeshtë, do të jetë shprehja binar e numrit 156.
Një shembull tjetër, por tashmë në foto
Konvertimi binar në dhjetor
Përkthimi i kundërt - nga binar në dhjetor - mund të duket pak më i komplikuar. Por nëse përdorni një metodë të thjeshtë të dyfishimit, atëherë kjo detyrë mund të bëhet në disa minuta. Për shembull, le të marrim të njëjtin numër, 156, por në formë binare - 10011100.
- Metoda e dyfishimit bazohet në faktin se në çdo hap të llogaritjes merret e ashtuquajtura totali i mëparshëm dhe i shtohet shifra tjetër.
- Meqenëse në hapin e parë totali i mëparshëm nuk ekziston ende, këtu ata gjithmonë marrin 0, dyfishojnë atë dhe i shtojnë shifrën e parë të shprehjes. Në shembullin tonë, kjo do të jetë 0 * 2 + 1 = 1.
- Në hapin e dytë, ne tashmë kemi totalin e mëparshëm - është i barabartë me 1. Kjo shifër duhet të dyfishohet, dhe më pas duhet t'i shtohet tjetra, domethënë - 1 * 2 + 0 = 2.
- Në hapat e tretë, të katërt dhe të mëpasshëm, totalet e mëparshme merren ende dhe shtohen në figurën tjetër në shprehje.
Kur vetëm një shifër e fundit mbetet në shënimin binar dhe nuk ka asgjë më shumë për të shtuar, operacioni do të përfundojë. Me ndihmën e një kontrolli të thjeshtë, mund të siguroheni që në përgjigje do të merret numri dhjetor i dëshiruar 156.
Metodat më të zakonshme të llogaritjes në botën moderne janë dhjetore dhe binare. Ato përdoren në zona krejtësisht të ndryshme, por të dyja janë po aq të rëndësishme. Shpesh kërkohet edhe një konvertim nga binar në dhjetor ose anasjelltas. Emrat vijnë nga bazat, të cilat varen nga sa karaktere përdoren në shkrimin e numrave. Në binar, këto janë vetëm 0 dhe 1, dhe në dhjetore, nga 0 në 9. Në sisteme të tjera, përveç numrave përdoren shkronja, ikona të tjera, madje edhe hieroglife, por pothuajse të gjitha ato janë vjetëruar prej kohësh. Meqenëse edhe varietetet e tjera të sistemeve të numrave janë shumë më pak të zakonshme, atëherë ne do të përqendrohemi kryesisht në dy të përmendura tashmë. Është vërtet e mahnitshme se si e gjithë kjo mund të dalë. Le të flasim për këtë temë veç e veç.
Historia e shfaqjes
Edhe tani, kur duket se e gjithë bota mendon në të njëjtën mënyrë, ka sisteme shumë të ndryshme. Në skajet më të largëta të globit, ata mjaftohen vetëm me konceptet "një", "dy" dhe "shumë", ose diçka të tillë. Çfarë mund të themi për ato kohë kur ishte shumë më e vështirë për njerëzit të kontaktonin njëri-tjetrin, kështu që u përdorën një numër i madh i llojeve të ndryshme të regjistrimeve dhe metodave të llogaritjes. Njerëzimi nuk erdhi menjëherë në sistemin ekzistues, dhe kjo reflektohet në faktin se ora ndahet në 60 minuta, dhe jo në 100 intervale kohore, gjë që do të dukej më logjike. Dhe në të njëjtën kohë, njerëzit shpesh numërojnë me dhjetëra sesa me dhjetëra. Të gjitha këto janë jehona e kohës kur gishtat e dikujt ose p.sh. falangat e disave shërbenin si mjete për të matur diçka. Kështu u ngritën sistemi dhjetor dhe duodecimal. Por si lindi binarja? Shumë e thjeshtë dhe logjike. Fakti është se, për shembull, diodat kanë vetëm dy pozicione: mund të jenë ose të ndezura ose të fikura. Gjendja e parë, pra, mund të shkruhet si 1, dhe e dyta si 0. Megjithatë, kjo nuk do të thotë se sistemi binar u ngrit në të njëjtën kohë me pajisjet elektronike. Është përdorur shumë më herët, për shembull, Leibniz e konsideroi atë jashtëzakonisht të përshtatshëm, elegant dhe të thjeshtë. Madje është për t'u habitur që ky sistem numrash nuk u bë përfundimisht kryesori.
Aplikacionet
Për shumicën e njerëzve, dy sistemet kryesore të numrave thjesht nuk mbivendosen. Pra, konvertimi nga binar në dhjetor është një detyrë që nuk është e realizueshme për të gjithë. Fakti është se sistemi i fundit përdoret në jetën e përditshme, komunikimin mes njerëzve, me llogaritje të thjeshta etj. Por gjuha binare flitet nga të gjitha pajisjet dixhitale, kryesisht kompjuterët. Çdo informacion që gjendet në kujtesën e çdo kompjuteri desktop, tablet, telefon, laptop dhe shumë pajisje të tjera është kombinime të ndryshme zerosh dhe njësh.
Dallimet dhe veçoritë
Kur bëhet fjalë për sistemet e numrave, është e domosdoshme të bëhet disi dallimi midis tyre. Në fund të fundit, është absolutisht e pamundur të dallosh 11 ose 100 në metoda të ndryshme regjistrimi ashtu si kjo. Kjo është arsyeja pse përdoret treguesi më poshtë dhe në të djathtë të vetë numrit. Pra, kur shihni rekordin 11 2 ose 100 10, mund të kuptoni se çfarë është në rrezik. Të dy sistemet janë pozicionale, domethënë vlera e tij varet nga vendi i një shifre të veçantë. Ata flasin për shifrat e sistemit dhjetor në shkollë: ka njësi, dhjetëshe, qindëshe, mijëra, etj. Në binar, gjithçka është e njëjtë. Por për shkak të faktit se baza e saj - 2 - është më pak se 10, atëherë i duhen shumë më tepër shifra, domethënë regjistrimi i numrave është shumë më i gjatë. Nga rruga, në binar, si në të gjitha sistemet e tjera, përveç dhjetorit, si më i zakonshmi, leximi ndodh në një mënyrë të veçantë. Nëse baza 10 bën të mundur leximin e 101 si "njëqind e një", atëherë për 2 do të jetë "një zero një".
Duke iu rikthyer çështjes së shkarkimeve, duhet përsëritur se për shkak të bazës shumë më të vogël, kërkohen më shumë shkarkime. Kështu, për shembull, 8 10 është 1000 2 . Dallimi është i dukshëm - një shifër dhe katër. Një tjetër ndryshim i madh është se nuk ka numra negativë në sistemin binar. Sigurisht, ju mund ta shkruani atë, por do të ruhet dhe kodohet në një mënyrë tjetër. Pra, si është përkthimi nga binar në dhjetor dhe anasjelltas?
Algoritmi
Mjaft rrallë, por megjithatë ndonjëherë ju duhet të bëni kalimin nga një bazë në tjetrën. Me fjalë të tjera, ekziston nevoja për të kthyer nga binare në dhjetore dhe anasjelltas. Kompjuterët modernë e bëjnë këtë lehtësisht dhe shpejt, edhe nëse regjistrimet janë shumë të gjata dhe voluminoze. Edhe njerëzit mund ta bëjnë këtë, megjithëse me një ritëm shumë më të ngadaltë dhe më pak efikas. Nuk është aq e vështirë për të kryer një operacion dhe të dytë, por kërkohet njohuri se si ta bëni atë, vëmendje dhe praktikë. Për të kaluar nga baza 2 në bazën 10, duhet të bëni hapat e mëposhtëm:
2) shumëzoni në mënyrë të njëpasnjëshme vlerën me 2 të ngritur në fuqinë e barabartë me numrin e pozicionit;
3) shtoni rezultatet.
Një mënyrë tjetër është të filloni të mbledhni prodhimet e numrave në mënyrë sekuenciale nga e djathta në të majtë. Ky quhet transformimi i Hornerit dhe për shumë njerëz duket se është më i përshtatshëm se algoritmi i zakonshëm.
Për të kryer operacionin e kundërt, domethënë për të kaluar nga dhjetore në binar, duhet të bëni sa më poshtë:
1) pjesëtoni numrin origjinal me 2 dhe shkruani pjesën e mbetur (1 ose 0);
2) përsërisni hapin 1 derisa të mbetet vetëm 0 ose 1;
3) shkruani vlerat e marra me radhë.
Ka mënyra të tjera për të kthyer nga binare në dhjetore dhe anasjelltas. Por ata nuk kanë ndonjë avantazh ndaj algoritmit të përshkruar, ato nuk janë më efikase. Por ata kërkojnë aftësinë për të kryer veprime aritmetike në sistemin binar, i cili është i disponueshëm për shumë pak.
Thyesat
Për fat ose për fat të keq, fakti mbetet se jo vetëm numrat e plotë përdoren në sistemin binar. Përkthimi i fraksioneve nuk është shumë i vështirë, por shpesh një detyrë e mundimshme për një person. Nëse numri origjinal paraqitet në sistemin dhjetor, atëherë pas konvertimit të numrit të plotë, gjithçka pas pikës dhjetore nuk duhet të ndahet më, por të shumëzohet me 2, duke shkruar të gjitha pjesët. Nëse po konvertoni nga binar në dhjetor, atëherë gjithçka është edhe më e thjeshtë. Në këtë rast, kur fillon konvertimi i pjesës pas presjes dhjetore, fuqia në të cilën është ngritur 2 do të jetë sekuenciale -1, -2, -3, etj. Është mirë që kjo të merret parasysh në praktikë.
Shembull
Për të kuptuar se si të aplikoni algoritmet e përshkruara, duhet t'i bëni të gjitha operacionet vetë. Praktika gjithmonë mund të përforcojë teorinë, kështu që është më mirë të merren parasysh shembujt e mëposhtëm:
- shndërrimi i 1000101 2 në dhjetore: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10;
- duke përdorur metodën e Hornerit. 00110111010 2 = 0x2+0=0x2+0=0x2+1=1x2+1=3x2+0=6x2+1=13x2+1=27x2+1=55x2+0=110x2+1=221x2+0=442 10;
- 1110,01 2: 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 + 0x2 -1 + 1x2 -2 \u003d 8 + 4 + 2 + 0,25 \u003d 14,25 10;
- nga sistemi dhjetor: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;
Si të mos ngatërrohemi?
Edhe në shembullin e vetëm sistemeve binare dhe dhjetore, bëhet e qartë se ndryshimi i bazës me dorë nuk është një detyrë e parëndësishme. Por ka edhe të tjera: heksadecimal, oktal, seksagesimal, etj. Kur konvertohet manualisht nga një sistem numrash në tjetrin, kujdesi është jashtëzakonisht i nevojshëm. Është vërtet e vështirë të mos ngatërrohesh, veçanërisht nëse postimi është i gjatë. Për më tepër, nuk duhet të harrojmë se shifrat numërohen nga 0, jo nga 1, domethënë, numri i shifrave do të jetë gjithmonë një më shumë. Sigurisht, duhet të numëroni me kujdes numrin e shifrave dhe të mos bëni gabime në operacionet aritmetike dhe, natyrisht, të mos kaloni hapat në algoritëm. Në fund të fundit, ka mënyra për të kaluar në mënyrë programore midis bazave. Por këtu është më e lehtë të shkruash vetë një skenar sesa ta kërkosh në pafundësinë e rrjetit mbarëbotëror. Në çdo rast, aftësitë manuale të përkthimit, si dhe një kuptim teorik se si bëhet kjo, gjithashtu duhet të jenë.
Kalimi i provimit dhe jo vetëm...
Është e çuditshme që në shkolla në klasat e shkencave kompjuterike ata zakonisht u tregojnë nxënësve mënyrën më të vështirë dhe të papërshtatshme për të përkthyer numrat nga një sistem në tjetrin. Kjo metodë konsiston në ndarjen vijuese të numrit origjinal me bazën dhe mbledhjen e pjesës së mbetur të pjesëtimit në rend të kundërt.
Për shembull, ju duhet të konvertoni numrin 810 10 në sistemin binar:
Rezultati shkruhet në rend të kundërt nga poshtë lart. Rezulton 81010 = 11001010102
Nëse keni nevojë të konvertoni numra mjaft të mëdhenj në sistemin binar, atëherë shkalla e ndarjes merr madhësinë e një ndërtese shumëkatëshe. Dhe si mund t'i mbledhësh të gjitha ato me zero dhe të mos humbasësh një të vetme?
Programi USE në shkencat kompjuterike përfshin disa detyra që lidhen me përkthimin e numrave nga një sistem në tjetrin. Si rregull, ky është një konvertim midis sistemeve 8- dhe 16-arësh dhe binar. Këto janë seksionet A1, B11. Por ka edhe probleme me sistemet e tjera të numrave, si në seksionin B7.
Si fillim, le të kujtojmë dy tabela që do të ishte mirë t'i njihnin përmendësh ata që zgjedhin informatikën si profesionin e tyre të ardhshëm.
Tabela e fuqive të numrit 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Përftohet lehtësisht duke shumëzuar numrin e mëparshëm me 2. Pra, nëse nuk i mbani mend të gjithë këta numra, nuk është e vështirë të merrni pjesën tjetër në mendje nga ata që mbani mend.
Tabela e numrave binarë nga 0 në 15 me paraqitje heksadecimal:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Vlerat që mungojnë janë gjithashtu të lehta për t'u llogaritur duke shtuar 1 në vlerat e njohura.
Përkthimi me numra të plotë
Pra, le të fillojmë duke konvertuar drejtpërdrejt në sistemin binar. Le të marrim të njëjtin numër 810 10 . Ne duhet ta zbërthejmë këtë numër në terma të barabartë me fuqitë e dy.
- Ne po kërkojmë fuqinë më të afërt prej dy me 810, duke mos e tejkaluar atë. Kjo është 29 = 512.
- Zbrisni 512 nga 810, marrim 298.
- Përsëritni hapat 1 dhe 2 derisa të mbetet 1 ose 0.
- E morëm kështu: 810 \u003d 512 + 256 + 32 + 8 + 2 \u003d 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Metoda 1: Renditni 1 sipas shifrave që rezultuan të jenë treguesit e termave. Në shembullin tonë, këto janë 9, 8, 5, 3 dhe 1. Pjesa tjetër e vendeve do të jenë zero. Pra, morëm paraqitjen binar të numrit 810 10 = 1100101010 2 . Njësitë janë në vendet e 9-të, 8-të, 5-të, 3-të dhe 1-të, duke numëruar nga e djathta në të majtë nga zero.
Metoda 2: Le t'i shkruajmë termat si fuqi të dyve nën njëri-tjetrin, duke filluar nga më i madhi.
810 =
Dhe tani le t'i bashkojmë këto hapa, si një tifoz i palosur: 1100101010.
Kjo eshte e gjitha. Gjatë rrugës, problemi "sa njësi janë në paraqitjen binar të numrit 810?" zgjidhet gjithashtu thjesht.
Përgjigja është aq sa termat (fuqitë e dyve) në këtë paraqitje. 810 ka 5.
Tani shembulli është më i thjeshtë.
Le ta përkthejmë numrin 63 në sistemin e numrave 5-arësh. Fuqia më e afërt prej 5 me 63 është 25 (katrori 5). Kubi (125) tashmë do të jetë shumë. Kjo do të thotë, 63 shtrihet midis katrorit 5 dhe kubit. Pastaj zgjedhim koeficientin për 5 2 . Kjo është 2.
Marrim 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
Dhe, së fundi, përkthime shumë të lehta midis sistemeve 8- dhe 16-dhjetëshe. Meqenëse baza e tyre është fuqia e dy, përkthimi bëhet automatikisht, thjesht duke zëvendësuar shifrat me paraqitjen e tyre binar. Për sistemin oktal, çdo shifër zëvendësohet me tre shifra binare, dhe për sistemin heksadecimal me katër. Në këtë rast, kërkohen të gjitha zerat kryesore, përveç shifrës më domethënëse.
Le ta përkthejmë numrin 547 8 në sistemin binar.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Një tjetër, për shembull 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Le ta përkthejmë numrin 7368 në sistemin heksadecimal. Së pari, shkruajini numrat në treshe dhe më pas ndajini ato në katër nga fundi: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE 1. Le ta kthejmë numrin C25 16 në sistemin 8-ar. Së pari, i shkruajmë numrat në katër dhe më pas i ndajmë në tre nga fundi: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. Tani merrni parasysh konvertimin në dhjetor. Nuk është e vështirë, gjëja kryesore është të mos bëni gabime në llogaritjet. Ne e zbërthejmë numrin në një polinom me gradë bazë dhe koeficientë në to. Pastaj shumëzojmë dhe shtojmë gjithçka. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474 .
Përkthimi i numrave negativë
Këtu duhet të keni parasysh që numri do të paraqitet në një kod shtesë. Për të përkthyer një numër në një kod shtesë, duhet të dini madhësinë përfundimtare të numrit, domethënë në çfarë duam ta shkruajmë - në një bajt, në dy bajt, në katër. Shifra më domethënëse e numrit nënkupton shenjën. Nëse ka 0, atëherë numri është pozitiv, nëse 1, atëherë negativ. Në të majtë, numri është i mbushur me një shenjë. Ne nuk i konsiderojmë numrat e panënshkruar, ata janë gjithmonë pozitivë, dhe shifra më domethënëse në to përdoret si informative.
Për të kthyer një numër negativ në plotësuesin e dy, duhet të shndërroni një numër pozitiv në binar, më pas t'i ndryshoni zerat në njësh dhe njëshit në zero. Pastaj shtoni 1 në rezultat.
Pra, le ta përkthejmë numrin -79 në sistemin binar. Numri do të na marrë një bajt.
Ne e përkthejmë 79 në sistem binar, 79 = 1001111. Shtojmë zero në të majtë në madhësinë e bajtit, 8 bit, marrim 01001111. Ndryshojmë 1 në 0 dhe 0 në 1. Marrim 10110000. Shtojmë 1 në rezultat, marrim përgjigjen 10110001. Gjatë rrugës, ne i përgjigjemi pyetjes USE "sa njësi janë në paraqitjen binar të numrit -79?". Përgjigja është 4.
Shtimi i 1 në inversin e numrit eliminon ndryshimin midis paraqitjeve +0 = 00000000 dhe -0 = 11111111. Në kodin e plotësimit të dy, ato do të shkruhen njësoj 00000000.
Përkthimi i numrave thyesorë
Numrat thyesorë përkthehen në mënyrë të kundërt me ndarjen e numrave të plotë me bazën, të cilën e shqyrtuam që në fillim. Kjo do të thotë, me shumëzim të njëpasnjëshëm me një bazë të re me mbledhjen e pjesëve të tëra. Pjesët e plota të marra nga shumëzimi mblidhen, por nuk marrin pjesë në veprimet e mëposhtme. Shumëzohen vetëm thyesat. Nëse numri origjinal është më i madh se 1, atëherë pjesët e plota dhe të pjesshme përkthehen veçmas, pastaj ngjiten së bashku.
Le ta përkthejmë numrin 0.6752 në sistemin binar.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Procesi mund të vazhdohet për një kohë të gjatë derisa të marrim të gjitha zerot në pjesën thyesore ose të arrihet saktësia e kërkuar. Le të ndalemi në shenjën e 6-të tani për tani.
Rezulton 0,6752 = 0,101011.
Nëse numri do të ishte 5.6752, atëherë në binar do të ishte 101.101011.
