Funksioni kryesor i kllapave është ndryshimi i renditjes së veprimeve gjatë llogaritjes së vlerave. Për shembull, në shprehjen numerike \(5·3+7\) fillimisht do të llogaritet shumëzimi, e më pas mbledhja: \(5·3+7 =15+7=22\). Por në shprehjen \(5·(3+7)\) fillimisht do të llogaritet mbledhja në kllapa dhe vetëm më pas shumëzimi: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Shembull.
Zgjero kllapa: \(-(4m+3)\).
Zgjidhje
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Shembull.
Hapni kllapa dhe jepni terma të ngjashëm \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Zgjidhje
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Shembull.
Zgjero kllapat \(5(3-x)\).
Zgjidhje
: Në kllapa kemi \(3\) dhe \(-x\), dhe para kllapës është një pesë. Kjo do të thotë që çdo anëtar i kllapave shumëzohet me \(5\) - ju kujtoj këtë Shenja e shumëzimit midis një numri dhe një kllapa nuk shkruhet në matematikë për të zvogëluar madhësinë e hyrjeve.
Shembull.
Zgjero kllapat \(-2(-3x+5)\).
Zgjidhje
: Si në shembullin e mëparshëm, \(-3x\) dhe \(5\) në kllapa shumëzohen me \(-2\).
Shembull.
Thjeshtoni shprehjen: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Zgjidhje
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Mbetet të shqyrtojmë situatën e fundit.
Kur shumëzoni një kllapë me një kllapë, çdo term i kllapës së parë shumëzohet me çdo term të të dytës:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Shembull.
Zgjero kllapat \((2-x)(3x-1)\).
Zgjidhje
: Ne kemi një produkt me kllapa dhe ai mund të zgjerohet menjëherë duke përdorur formulën e mësipërme. Por për të mos u ngatërruar, le të bëjmë gjithçka hap pas hapi.
Hapi 1. Hiqni kllapin e parë - shumëzoni secilin prej termave të tij me kllapin e dytë:
Hapi 2. Zgjeroni produktet e kllapave dhe faktorin siç përshkruhet më sipër:
- Gjërat e para në fillim...
Pastaj e dyta.
Hapi 3. Tani shumëzojmë dhe paraqesim terma të ngjashëm:
Nuk është e nevojshme të përshkruani të gjitha transformimet në një hollësi të tillë; ju mund t'i shumëzoni ato menjëherë. Por nëse sapo po mësoni se si të hapni kllapa, shkruani në detaje, do të ketë më pak mundësi për të bërë gabime.
Shënim për të gjithë seksionin. Në fakt, nuk keni nevojë t'i mbani mend të katër rregullat, duhet të mbani mend vetëm një, këtë: \(c(a-b)=ca-cb\) . Pse? Sepse nëse zëvendësoni një në vend të c, ju merrni rregullin \((a-b)=a-b\) . Dhe nëse zëvendësojmë minus një, marrim rregullin \(-(a-b)=-a+b\) . Epo, nëse zëvendësoni një kllapë tjetër në vend të c, mund të merrni rregullin e fundit.
Parantezë brenda një kllapa
Ndonjëherë në praktikë ka probleme me kllapat e vendosura brenda kllapave të tjera. Këtu është një shembull i një detyre të tillë: thjeshtoni shprehjen \(7x+2(5-(3x+y))\).
Për të zgjidhur me sukses detyra të tilla, ju duhet:
- të kuptojë me kujdes folenë e kllapave - cila në cilën është;
- hapni kllapat në mënyrë sekuenciale, duke filluar, për shembull, me atë më të brendshmen.
Është e rëndësishme kur hapni një nga kllapat mos e prekni pjesën tjetër të shprehjes, thjesht duke e rishkruar ashtu siç është.
Le të shohim detyrën e shkruar më sipër si shembull.
Shembull.
Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm \(7x+2(5-(3x+y))\).
Zgjidhja:
Shembull.
Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Zgjidhje
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Këtu ka folezim të trefishtë të kllapave. Le të fillojmë me atë më të brendshmen (e theksuar me të gjelbër). Ka një plus përpara kllapës, kështu që thjesht shkëputet. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Tani duhet të hapni kllapin e dytë, atë të ndërmjetëm. Por para kësaj, ne do të thjeshtojmë shprehjen e termave të ngjashëm me fantazmë në këtë kllapa të dytë. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Tani hapim kllapin e dytë (të theksuar në blu). Para kllapa është një faktor - kështu që çdo term në kllapa shumëzohet me të. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Dhe hapni kllapin e fundit. Ka një shenjë minus përpara kllapës, kështu që të gjitha shenjat janë të kundërta. |
||
Zgjerimi i kllapave është një aftësi bazë në matematikë. Pa këtë aftësi, është e pamundur të kesh një notë mbi C në klasën e 8-të dhe të 9-të. Prandaj, ju rekomandoj që ta kuptoni mirë këtë temë.
Zgjerimi i kllapave është një lloj transformimi i shprehjes. Në këtë seksion do të përshkruajmë rregullat për hapjen e kllapave, dhe gjithashtu do të shohim shembujt më të zakonshëm të problemeve.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Çfarë është hapja e kllapave?
Kllapat përdoren për të treguar rendin në të cilin kryhen veprimet në shprehjet numerike, fjalë për fjalë dhe të ndryshueshme. Është e përshtatshme të kalosh nga një shprehje me kllapa në një shprehje identike të barabartë pa kllapa. Për shembull, zëvendësoni shprehjen 2 · (3 + 4) me një shprehje të formës 2 3 + 2 4 pa kllapa. Kjo teknikë quhet kllapa hapëse.
Përkufizimi 1
Kllapat zgjeruese i referohen teknikave për të hequr qafe kllapat dhe zakonisht merren parasysh në lidhje me shprehjet që mund të përmbajnë:
- shenjat "+" ose "-" përpara kllapave që përmbajnë shuma ose diferenca;
- prodhimi i një numri, shkronja ose disa shkronja dhe një shumë ose ndryshim, që vendoset në kllapa.
Kështu jemi mësuar ta shikojmë procesin e hapjes së kllapave në kurrikulën shkollore. Megjithatë, askush nuk po na pengon ta shikojmë këtë veprim më gjerësisht. Mund ta quajmë hapjen e kllapave kalimin nga një shprehje që përmban numra negativë në kllapa në një shprehje që nuk ka kllapa. Për shembull, ne mund të shkojmë nga 5 + (− 3) − (− 7) në 5 − 3 + 7. Në fakt edhe kjo është një hapje kllapash.
Në të njëjtën mënyrë, produktin e shprehjeve në kllapa të formës (a + b) · (c + d) mund ta zëvendësojmë me shumën a · c + a · d + b · c + b · d. Kjo teknikë gjithashtu nuk kundërshton kuptimin e hapjes së kllapave.
Ja një shembull tjetër. Mund të supozojmë se çdo shprehje mund të përdoret në vend të numrave dhe variablave në shprehje. Për shembull, shprehja x 2 · 1 a - x + sin (b) do të korrespondojë me një shprehje pa kllapa të formës x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Një pikë tjetër meriton vëmendje të veçantë, e cila ka të bëjë me veçoritë e regjistrimit të vendimeve gjatë hapjes së kllapave. Shprehjen fillestare mund ta shkruajmë me kllapa dhe rezultatin e marrë pas hapjes së kllapave si barazi. Për shembull, pas zgjerimit të kllapave në vend të shprehjes 3 − (5 − 7) marrim shprehjen 3 − 5 + 7 . Të dyja këto shprehje mund t'i shkruajmë si barazi 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Kryerja e veprimeve me shprehje të rënda mund të kërkojë regjistrimin e rezultateve të ndërmjetme. Atëherë zgjidhja do të ketë formën e një zinxhiri barazish. Për shembull, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ose 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Rregulla për hapjen e kllapave, shembuj
Le të fillojmë të shikojmë rregullat për hapjen e kllapave.
Për numrat e vetëm në kllapa
Numrat negativë në kllapa gjenden shpesh në shprehje. Për shembull, (− 4) dhe 3 + (− 4) . Edhe numrat pozitivë në kllapa kanë vend.
Le të formulojmë një rregull për hapjen e kllapave që përmbajnë numra të vetëm pozitiv. Le të supozojmë se a është çdo numër pozitiv. Atëherë mund të zëvendësojmë (a) me a, + (a) me + a, - (a) me – a. Nëse në vend të a marrim një numër specifik, atëherë sipas rregullit: numri (5) do të shkruhet si 5 , shprehja 3 + (5) pa kllapa do të marrë formën 3 + 5 , pasi + (5) zëvendësohet me + 5 , dhe shprehja 3 + (− 5) është ekuivalente me shprehjen 3 − 5 , sepse + (− 5) zëvendësohet nga − 5 .
Numrat pozitivë zakonisht shkruhen pa përdorur kllapa, pasi kllapat janë të panevojshme në këtë rast.
Tani merrni parasysh rregullin për hapjen e kllapave që përmbajnë një numër të vetëm negativ. + (− a) zëvendësojmë me − a, − (− a) zëvendësohet me + a. Nëse shprehja fillon me numër negativ (−a), e cila shkruhet në kllapa, atëherë kllapat hiqen dhe në vend të tyre (−a) Mbetet − a.
Ketu jane disa shembuj: (− 5) mund të shkruhet si − 5, (− 3) + 0, 5 bëhet − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) bëhet 4 − 3 , dhe − (− 4) − (− 3) pas hapjes së kllapave merr formën 4 + 3, pasi − (− 4) dhe − (− 3) zëvendësohet me + 4 dhe + 3 .
Duhet të kuptohet se shprehja 3 · (− 5) nuk mund të shkruhet si 3 · − 5. Kjo do të diskutohet në paragrafët në vijim.
Le të shohim se në çfarë bazohen rregullat për hapjen e kllapave.
Sipas rregullit, diferenca a − b është e barabartë me a + (− b) . Bazuar në vetitë e veprimeve me numra, ne mund të krijojmë një zinxhir barazish (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a e cila do të jetë e drejtë. Ky zinxhir barazish, për shkak të kuptimit të zbritjes, vërteton se shprehja a + (− b) është diferenca a − b.
Bazuar në vetitë e numrave të kundërt dhe rregullat për zbritjen e numrave negativë, mund të themi se − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Ka shprehje që përbëhen nga një numër, shenja minus dhe disa palë kllapa. Përdorimi i rregullave të mësipërme ju lejon të hiqni qafe kllapat në mënyrë sekuenciale, duke lëvizur nga kllapat e brendshme në ato të jashtme ose në drejtim të kundërt. Një shembull i një shprehjeje të tillë do të ishte − (− ((− (5)))) . Le të hapim kllapat, duke lëvizur nga brenda në jashtë: − (− ((− (5))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ky shembull mund të analizohet edhe në drejtim të kundërt: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Nën a dhe b mund të kuptohen jo vetëm si numra, por edhe si shprehje arbitrare numerike ose alfabetike me një shenjë "+" përpara që nuk janë shuma ose dallime. Në të gjitha këto raste, ju mund t'i zbatoni rregullat në të njëjtën mënyrë si ne për numrat e vetëm në kllapa.
Për shembull, pas hapjes së kllapave shprehja − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) do të marrë formën 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z. Si e bëmë? Ne e dimë se − (− 2 x) është + 2 x, dhe meqë kjo shprehje vjen e para, atëherë + 2 x mund të shkruhet si 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x dhe − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Në prodhimet e dy numrave
Le të fillojmë me rregullin për hapjen e kllapave në prodhimin e dy numrave.
Le të pretendojmë se a dhe b janë dy numra pozitivë. Në këtë rast, prodhimi i dy numrave negativë − a dhe − b të formës (− a) · (− b) mund të zëvendësojmë me (a · b) , dhe prodhimet e dy numrave me shenja të kundërta të formës (− a) · b dhe a · (− b) mund të zëvendësohet me (− a b). Shumëzimi i një minus me një minus jep një plus, dhe duke shumëzuar një minus me një plus, si duke shumëzuar një plus me një minus jep një minus.
Korrektësia e pjesës së parë të rregullës së shkruar konfirmohet nga rregulli i shumëzimit të numrave negativë. Për të konfirmuar pjesën e dytë të rregullit, mund të përdorim rregullat për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme.
Le të shohim disa shembuj.
Shembulli 1
Le të shqyrtojmë një algoritëm për hapjen e kllapave në produktin e dy numrave negativ - 4 3 5 dhe - 2, të formës (- 2) · - 4 3 5. Për ta bërë këtë, zëvendësoni shprehjen origjinale me 2 · 4 3 5 . Le të hapim kllapat dhe të marrim 2 · 4 3 5 .
Dhe nëse marrim herësin e numrave negativë (− 4) : (− 2), atëherë hyrja pas hapjes së kllapave do të duket si 4: 2
Në vend të numrave negativë − a dhe − b mund të jetë çdo shprehje me shenjën minus përpara që nuk janë shuma ose dallime. Për shembull, këto mund të jenë produkte, herës, thyesa, fuqi, rrënjë, logaritme, funksione trigonometrike, etj.
Le të hapim kllapat në shprehjen - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Sipas rregullit, ne mund të bëjmë transformimet e mëposhtme: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Shprehje (− 3) 2 mund të shndërrohet në shprehjen (− 3 2) . Pas kësaj, ju mund të zgjeroni kllapat: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Pjesëtimi i numrave me shenja të ndryshme mund të kërkojë gjithashtu zgjerimin paraprak të kllapave: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 dhe 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Rregulli mund të përdoret për të kryer shumëzim dhe pjesëtim të shprehjeve me shenja të ndryshme. Le të japim dy shembuj.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
mëkat (x) (- x 2) = (- mëkat (x) x 2) = - mëkat (x) x 2
Në prodhimet e tre ose më shumë numrave
Le të kalojmë te prodhimet dhe koeficientët, të cilët përmbajnë një numër më të madh numrash. Për të hapur kllapa, këtu do të zbatohet rregulli i mëposhtëm. Nëse ka një numër çift numrash negativë, mund të hiqni kllapat dhe t'i zëvendësoni numrat me të kundërtat e tyre. Pas kësaj, duhet të vendosni shprehjen që rezulton në kllapa të reja. Nëse ka një numër tek numrash negativë, hiqni kllapat dhe zëvendësoni numrat me të kundërtat e tyre. Pas kësaj, shprehja që rezulton duhet të vendoset në kllapa të reja dhe një shenjë minus duhet të vendoset përpara saj.
Shembulli 2
Për shembull, merrni shprehjen 5 · (− 3) · (− 2) , e cila është prodhimi i tre numrave. Janë dy numra negativë, prandaj shprehjen mund ta shkruajmë si (5 · 3 · 2) dhe më pas hapni kllapat, duke marrë shprehjen 5 · 3 · 2.
Në prodhimin (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) pesë numra janë negativë. prandaj (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Pasi kemi hapur më në fund kllapat, marrim −2,5 3:2 4:1,25:1.
Rregulli i mësipërm mund të justifikohet si më poshtë. Së pari, ne mund të rishkruajmë shprehje të tilla si një produkt, duke zëvendësuar pjesëtimin me shumëzim me numrin reciprok. Ne përfaqësojmë çdo numër negativ si produkt i një numri shumëzues dhe - 1 ose - 1 zëvendësohet me (− 1) a.
Duke përdorur vetinë komutative të shumëzimit, ne shkëmbejmë faktorët dhe transferojmë të gjithë faktorët të barabartë me − 1 , deri në fillim të shprehjes. Prodhimi i një numri çift minus një është i barabartë me 1, dhe prodhimi i një numri tek është i barabartë me − 1 , e cila na lejon të përdorim shenjën minus.
Nëse nuk do të përdornim rregullin, atëherë zinxhiri i veprimeve për të hapur kllapat në shprehjen - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 do të dukej kështu:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Rregulli i mësipërm mund të përdoret kur hapen kllapat në shprehjet që paraqesin prodhime dhe koeficientë me shenjën minus që nuk janë shuma ose diferenca. Le të marrim për shembull shprehjen
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Mund të reduktohet në shprehjen pa kllapa x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Kllapat në zgjerim të paraprira nga një shenjë +
Konsideroni një rregull që mund të zbatohet për të zgjeruar kllapat që paraprihen nga një shenjë plus dhe "përmbajtja" e këtyre kllapave nuk shumëzohet ose ndahet me asnjë numër ose shprehje.
Sipas rregullit, kllapat së bashku me shenjën para tyre hiqen, ndërsa shenjat e të gjithë termave në kllapa ruhen. Nëse nuk ka asnjë shenjë para termit të parë në kllapa, atëherë duhet të vendosni një shenjë plus.
Shembulli 3
Për shembull, ne japim shprehjen (12 − 3 , 5) − 7 . Duke hequr kllapat, mbajmë shenjat e termave në kllapa dhe vendosim një shenjë plus përpara termit të parë. Hyrja do të duket si (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Në shembullin e dhënë, nuk është e nevojshme të vendosni një shenjë përpara termit të parë, pasi + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Shembulli 4
Le të shohim një shembull tjetër. Le të marrim shprehjen x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x dhe të kryejmë veprimet me të x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Këtu është një shembull tjetër i kllapave të zgjeruara:
Shembulli 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Si zgjerohen kllapat e parapara me shenjën minus?
Le të shqyrtojmë rastet kur ka një shenjë minus para kllapave, dhe të cilat nuk shumëzohen (ose pjesëtohen) me asnjë numër ose shprehje. Sipas rregullit për hapjen e kllapave të paraprirë nga një shenjë "-", kllapat me shenjën "-" hiqen dhe shenjat e të gjithë termave brenda kllapave janë të kundërta.
Shembulli 6
P.sh.
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Shprehjet me variabla mund të konvertohen duke përdorur të njëjtin rregull:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
marrim x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Hapja e kllapave kur shumëzohet një numër me kllapa, shprehjet me kllapa
Këtu do të shikojmë rastet kur duhet të zgjeroni kllapat që shumëzohen ose pjesëtohen me ndonjë numër ose shprehje. Formulat e formës (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ose b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Ku a 1, a 2, …, a n dhe b janë disa numra ose shprehje.
Shembulli 7
Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehje (3 − 7) 2. Sipas rregullit, ne mund të kryejmë transformimet e mëposhtme: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Marrim 3 · 2 − 7 · 2 .
Duke hapur kllapat në shprehjen 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, marrim 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Shumëzimi i kllapave me kllapa
Shqyrtoni prodhimin e dy kllapave të formës (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Kjo do të na ndihmojë të marrim një rregull për hapjen e kllapave kur kryejmë shumëzim kllapa pas kllapa.
Për të zgjidhur shembullin e dhënë, shënojmë shprehjen (b 1 + b 2) si b. Kjo do të na lejojë të përdorim rregullin për shumëzimin e një kllapa me një shprehje. Marrim (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Duke kryer një zëvendësim të kundërt b nga (b 1 + b 2), zbatoni përsëri rregullin e shumëzimit të një shprehjeje me një kllapa: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Falë një numri teknikash të thjeshta, mund të arrijmë në shumën e produkteve të secilit prej termave nga kllapa e parë me secilin prej termave nga kllapa e dytë. Rregulli mund të zgjerohet në çdo numër termash brenda kllapave.
Le të formulojmë rregullat për shumëzimin e kllapave me kllapa: për të shumëzuar dy shuma së bashku, duhet të shumëzoni secilin prej termave të shumës së parë me secilin nga termat e shumës së dytë dhe të shtoni rezultatet.
Formula do të duket si kjo:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Zgjerojmë kllapat në shprehjen (1 + x) · (x 2 + x + 6) Është prodhim i dy shumave. Le të shkruajmë zgjidhjen: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Vlen të përmenden veçmas ato raste kur ka një shenjë minus në kllapa së bashku me shenjat plus. Për shembull, merrni shprehjen (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Së pari, le t'i paraqesim shprehjet në kllapa si shuma: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Tani mund të zbatojmë rregullin: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Le të hapim kllapat: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Zgjerimi i kllapave në prodhime të kllapave dhe shprehjeve të shumta
Nëse ka tre ose më shumë shprehje në kllapa në një shprehje, kllapat duhet të hapen në mënyrë sekuenciale. Ju duhet të filloni transformimin duke vendosur dy faktorët e parë në kllapa. Brenda këtyre kllapave ne mund të kryejmë transformime sipas rregullave të diskutuara më sipër. Për shembull, kllapat në shprehjen (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Shprehja përmban tre faktorë njëherësh (2 + 4) , 3 dhe (5 + 7 8) . Ne do t'i hapim kllapat në mënyrë sekuenciale. Le t'i bashkojmë dy faktorët e parë në një kllapë tjetër, të cilën do ta bëjmë të kuqe për qartësi: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Në përputhje me rregullin për shumëzimin e një kllapa me një numër, ne mund të kryejmë veprimet e mëposhtme: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Shumëzoni kllapa me kllapa: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Kllapa në natyrë
Shkallët, bazat e të cilave janë disa shprehje të shkruara në kllapa, me eksponentë natyrorë mund të konsiderohen si prodhim i disa kllapave. Për më tepër, sipas rregullave nga dy paragrafët e mëparshëm, ato mund të shkruhen pa këto kllapa.
Merrni parasysh procesin e transformimit të shprehjes (a + b + c) 2 . Mund të shkruhet si prodhim i dy kllapave (a + b + c) · (a + b + c). Le të shumëzojmë kllapa me kllapa dhe marrim a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Le të shohim një shembull tjetër:
Shembulli 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Pjesëtimi i kllapave me numër dhe kllapave me kllapa
Pjestimi i një kllapa me një numër kërkon që të gjithë termat e mbyllur në kllapa të ndahen me numrin. Për shembull, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Pjesëtimi fillimisht mund të zëvendësohet me shumëzim, pas së cilës mund të përdorni rregullin e duhur për hapjen e kllapave në një produkt. I njëjti rregull zbatohet kur pjesëtimi i kllapave me kllapa.
Për shembull, duhet të hapim kllapat në shprehjen (x + 2) : 2 3 . Për ta bërë këtë, së pari zëvendësoni pjesëtimin duke shumëzuar me numrin reciprok (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Shumëzojeni kllapin me numrin (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Këtu është një shembull tjetër i ndarjes me kllapa:
Shembulli 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Le të zëvendësojmë pjesëtimin me shumëzim: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Le të bëjmë shumëzimin: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Rendi i hapjes së kllapave
Tani le të shqyrtojmë rendin e zbatimit të rregullave të diskutuara më sipër në shprehje të përgjithshme, d.m.th. në shprehjet që përmbajnë shuma me dallime, prodhime me herës, kllapa në shkallën natyrore.
Procedura:
- hapi i parë është ngritja e kllapave në një fuqi natyrore;
- në fazën e dytë, kryhet hapja e kllapave në punime dhe koeficientë;
- Hapi i fundit është hapja e kllapave në shumat dhe diferencat.
Le të shqyrtojmë rendin e veprimeve duke përdorur shembullin e shprehjes (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Le të transformojmë nga shprehjet 3 · (− 2) : (− 4) dhe 6 · (− 7) , të cilat duhet të marrin formën (3 2:4) dhe (− 6 · 7) . Kur rezultatet e fituara i zëvendësojmë në shprehjen origjinale, marrim: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Hapni kllapat: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Kur kemi të bëjmë me shprehje që përmbajnë kllapa brenda kllapave, është e përshtatshme të kryhen transformime duke punuar nga brenda jashtë.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Ky artikull diskuton se si të gjeni vlerat e shprehjeve matematikore. Le të fillojmë me shprehje të thjeshta numerike dhe më pas të shqyrtojmë rastet ndërsa kompleksiteti i tyre rritet. Në fund paraqesim një shprehje që përmban simbole shkronjash, kllapa, rrënjë, simbole të veçanta matematikore, fuqi, funksione etj. Sipas traditës, ne do të ofrojmë të gjithë teorinë me shembuj të bollshëm dhe të detajuar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Si të gjeni vlerën e një shprehje numerike?
Shprehjet numerike, ndër të tjera, ndihmojnë për të përshkruar gjendjen e një problemi në gjuhën matematikore. Në përgjithësi, shprehjet matematikore mund të jenë ose shumë të thjeshta, të përbëra nga një palë numrash dhe simbole aritmetike, ose shumë komplekse, që përmbajnë funksione, fuqi, rrënjë, kllapa, etj. Si pjesë e një detyre, shpesh është e nevojshme të gjesh kuptimin e një shprehjeje të caktuar. Si ta bëni këtë do të diskutohet më poshtë.
Rastet më të thjeshta
Këto janë raste kur shprehja nuk përmban asgjë përveç numrave dhe veprimeve aritmetike. Për të gjetur me sukses vlerat e shprehjeve të tilla, do t'ju duhet njohuri për rendin e kryerjes së veprimeve aritmetike pa kllapa, si dhe aftësinë për të kryer veprime me numra të ndryshëm.
Nëse shprehja përmban vetëm numra dhe shenja aritmetike " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atëherë veprimet kryhen nga e majta në të djathtë në rendin vijues: fillimisht shumëzim dhe pjesëtim, pastaj mbledhje dhe zbritje. Le të japim shembuj.
Shembulli 1: Vlera e një shprehjeje numerike
Le t'ju duhet të gjeni vlerat e shprehjes 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Le të bëjmë së pari shumëzimin dhe pjesëtimin. Ne marrim:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Tani kryejmë zbritjen dhe marrim rezultatin përfundimtar:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Shembulli 2: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Së pari kryejmë shndërrimin, pjesëtimin dhe shumëzimin e thyesave:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Tani le të bëjmë disa mbledhje dhe zbritje. Le t'i grupojmë thyesat dhe t'i sjellim në një emërues të përbashkët:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Është gjetur vlera e kërkuar.
Shprehje me kllapa
Nëse një shprehje përmban kllapa, ato përcaktojnë rendin e veprimeve në atë shprehje. Veprimet në kllapa kryhen së pari, dhe më pas të gjitha të tjerat. Le ta tregojmë këtë me një shembull.
Shembulli 3: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes 0,5 · (0,76 - 0,06).
Shprehja përmban kllapa, kështu që fillimisht kryejmë veprimin e zbritjes në kllapa dhe vetëm më pas shumëzimin.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Kuptimi i shprehjeve që përmbajnë kllapa brenda kllapave gjendet sipas të njëjtit parim.
Shembulli 4: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Ne do të kryejmë veprime duke filluar nga kllapat më të brendshme, duke kaluar në ato të jashtme.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Kur gjeni kuptimet e shprehjeve me kllapa, gjëja kryesore është të ndiqni sekuencën e veprimeve.
Shprehje me rrënjë
Shprehjet matematikore, vlerat e të cilave duhet të gjejmë, mund të përmbajnë shenja rrënjësore. Për më tepër, vetë shprehja mund të jetë nën shenjën e rrënjës. Çfarë duhet bërë në këtë rast? Së pari ju duhet të gjeni vlerën e shprehjes nën rrënjë, dhe më pas të nxirrni rrënjën nga numri i marrë si rezultat. Nëse është e mundur, është më mirë të heqësh qafe rrënjët në shprehjet numerike, duke i zëvendësuar ato me vlera numerike.
Shembulli 5: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes me rrënjë - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Së pari, ne llogarisim shprehjet radikale.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Tani mund të llogarisni vlerën e të gjithë shprehjes.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Shpesh, gjetja e kuptimit të një shprehjeje me rrënjë shpesh kërkon fillimisht transformimin e shprehjes origjinale. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull tjetër.
Shembulli 6: Vlera e një shprehjeje numerike
Çfarë është 3 + 1 3 - 1 - 1
Siç mund ta shihni, ne nuk kemi mundësi të zëvendësojmë rrënjën me një vlerë të saktë, gjë që e ndërlikon procesin e numërimit. Megjithatë, në në këtë rast mund të aplikoni formulën e shkurtuar të shumëzimit.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Kështu:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Shprehje me fuqi
Nëse një shprehje përmban fuqi, vlerat e tyre duhet të llogariten përpara se të vazhdohet me të gjitha veprimet e tjera. Ndodh që vetë eksponenti ose baza e shkallës të jenë shprehje. Në këtë rast fillimisht llogaritet vlera e këtyre shprehjeve dhe më pas vlera e shkallës.
Shembulli 7: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Le të fillojmë të llogarisim sipas radhës.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Mbetet vetëm të kryeni operacionin e shtimit dhe të zbuloni kuptimin e shprehjes:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Gjithashtu shpesh këshillohet të thjeshtohet një shprehje duke përdorur vetitë e një shkalle.
Shembulli 8: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes së mëposhtme: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Eksponentët janë përsëri të tillë që vlerat e tyre të sakta numerike nuk mund të merren. Le të thjeshtojmë shprehjen origjinale për të gjetur vlerën e saj.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Shprehje me thyesa
Nëse një shprehje përmban thyesa, atëherë kur llogaritet një shprehje e tillë, të gjitha fraksionet në të duhet të përfaqësohen si fraksione të zakonshme dhe vlerat e tyre të llogariten.
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni përmbajnë shprehje, atëherë së pari llogariten vlerat e këtyre shprehjeve dhe shënohet vlera përfundimtare e vetë fraksionit. Veprimet aritmetike kryhen sipas rendit standard. Le të shohim shembullin e zgjidhjes.
Shembulli 9: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes që përmban thyesat: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Siç mund ta shihni, ka tre fraksione në shprehjen origjinale. Le të llogarisim së pari vlerat e tyre.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Le të rishkruajmë shprehjen tonë dhe të llogarisim vlerën e saj:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Shpesh kur gjeni kuptimin e shprehjeve, është e përshtatshme të zvogëloni thyesat. Ekziston një rregull i pashprehur: para se të gjeni vlerën e tij, është mirë të thjeshtoni çdo shprehje në maksimum, duke reduktuar të gjitha llogaritjet në rastet më të thjeshta.
Shembulli 10: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim shprehjen 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne nuk mund ta nxjerrim plotësisht rrënjën e pesë, por mund ta thjeshtojmë shprehjen origjinale përmes transformimeve.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Shprehja origjinale merr formën:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Le të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Shprehje me logaritme
Kur logaritmet janë të pranishme në një shprehje, vlera e tyre llogaritet që në fillim, nëse është e mundur. Për shembull, në shprehjen log 2 4 + 2 · 4, mund të shkruani menjëherë vlerën e këtij logaritmi në vend të log 2 4 dhe më pas të kryeni të gjitha veprimet. Ne marrim: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Shprehjet numerike mund të gjenden edhe nën shenjën e logaritmit dhe në bazën e saj. Në këtë rast, gjëja e parë që duhet të bëni është të gjeni kuptimet e tyre. Le të marrim shprehjen log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Ne kemi:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Nëse është e pamundur të llogaritet vlera e saktë e logaritmit, thjeshtimi i shprehjes ndihmon për të gjetur vlerën e tij.
Shembulli 11: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të gjejmë vlerën e shprehjes log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Nga vetia e logaritmeve:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Duke përdorur përsëri vetitë e logaritmeve, për thyesën e fundit në shprehje marrim:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Tani mund të vazhdoni me llogaritjen e vlerës së shprehjes origjinale.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Shprehje me funksione trigonometrike
Ndodh që shprehja të përmbajë funksionet trigonometrike të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe funksionet e tyre të anasjellta. Vlera llogaritet para se të kryhen të gjitha veprimet e tjera aritmetike. Përndryshe, shprehja thjeshtohet.
Shembulli 12: Vlera e një shprehjeje numerike
Gjeni vlerën e shprehjes: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Së pari, ne llogarisim vlerat e funksioneve trigonometrike të përfshira në shprehje.
mëkat - 5 π 2 = - 1
Ne i zëvendësojmë vlerat në shprehje dhe llogarisim vlerën e saj:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Është gjetur vlera e shprehjes.
Shpesh, për të gjetur vlerën e një shprehjeje me funksione trigonometrike, fillimisht duhet të konvertohet. Le të shpjegojmë me një shembull.
Shembulli 13: Vlera e një shprehjeje numerike
Duhet të gjejmë vlerën e shprehjes cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Për shndërrimin do të përdorim formulat trigonometrike për kosinusin e një këndi të dyfishtë dhe kosinusin e një shume.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Rasti i përgjithshëm i një shprehjeje numerike
Në përgjithësi, një shprehje trigonometrike mund të përmbajë të gjithë elementët e përshkruar më sipër: kllapa, fuqi, rrënjë, logaritme, funksione. Le të formulojmë një rregull të përgjithshëm për gjetjen e kuptimeve të shprehjeve të tilla.
Si të gjeni vlerën e një shprehjeje
- Rrënjët, fuqitë, logaritmet etj. zëvendësohen nga vlerat e tyre.
- Veprimet në kllapa kryhen.
- Veprimet e mbetura kryhen sipas rendit nga e majta në të djathtë. Së pari - shumëzimi dhe pjesëtimi, pastaj - mbledhja dhe zbritja.
Le të shohim një shembull.
Shembulli 14: Vlera e një shprehjeje numerike
Le të llogarisim vlerën e shprehjes - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Shprehja është mjaft komplekse dhe e rëndë. Nuk ishte rastësisht që ne zgjodhëm vetëm një shembull të tillë, pasi u përpoqëm të futnim në të të gjitha rastet e përshkruara më sipër. Si të gjeni kuptimin e një shprehjeje të tillë?
Dihet se kur llogaritet vlera e një forme komplekse thyesore, vlerat e numëruesit dhe emëruesit të fraksionit së pari gjenden veçmas, përkatësisht. Ne do ta transformojmë dhe thjeshtojmë këtë shprehje në mënyrë sekuenciale.
Para së gjithash, le të llogarisim vlerën e shprehjes radikale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e sinusit dhe shprehjen që është argumenti i funksionit trigonometrik.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Tani mund të zbuloni vlerën e sinusit:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = mëkat π 6 + 2 π = mëkat π 6 = 1 2.
Ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Me emëruesin e thyesës gjithçka është më e thjeshtë:
Tani mund të shkruajmë vlerën e të gjithë thyesës:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Duke marrë parasysh këtë, ne shkruajmë të gjithë shprehjen:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Rezultati përfundimtar:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Në këtë rast, ne ishim në gjendje të llogarisnim vlerat e sakta të rrënjëve, logaritmeve, sinuseve, etj. Nëse kjo nuk është e mundur, mund të përpiqeni t'i shpëtoni prej tyre përmes transformimeve matematikore.
Llogaritja e vlerave të shprehjes duke përdorur metoda racionale
Vlerat numerike duhet të llogariten në mënyrë të qëndrueshme dhe të saktë. Ky proces mund të racionalizohet dhe përshpejtohet duke përdorur veçori të ndryshme të veprimeve me numra. Për shembull, dihet se një produkt është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Duke marrë parasysh këtë veti, mund të themi menjëherë se shprehja 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 është e barabartë me zero. Në të njëjtën kohë, nuk është aspak e nevojshme të kryhen veprimet në rendin e përshkruar në artikullin e mësipërm.
Është gjithashtu i përshtatshëm të përdoret vetia e zbritjes së numrave të barabartë. Pa kryer asnjë veprim, mund të urdhëroni që vlera e shprehjes 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 të jetë gjithashtu zero.
Një teknikë tjetër për të përshpejtuar procesin është përdorimi i transformimeve të identitetit si grupimi i termave dhe faktorëve dhe vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave. Një qasje racionale për llogaritjen e shprehjeve me thyesa është zvogëlimi i shprehjeve të njëjta në numërues dhe emërues.
Për shembull, merrni shprehjen 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Pa kryer veprimet në kllapa, por duke e zvogëluar thyesën, mund të themi se vlera e shprehjes është 1 3 .
Gjetja e vlerave të shprehjeve me ndryshore
Vlera e një shprehjeje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore gjendet për vlera specifike të dhëna të shkronjave dhe variablave.
Gjetja e vlerave të shprehjeve me ndryshore
Për të gjetur vlerën e një shprehjeje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore, duhet të zëvendësoni vlerat e dhëna të shkronjave dhe variablave në shprehjen origjinale dhe më pas të llogarisni vlerën e shprehjes numerike që rezulton.
Shembulli 15: Vlera e një shprehjeje me ndryshore
Llogaritni vlerën e shprehjes 0, 5 x - y dhënë x = 2, 4 dhe y = 5.
Ne zëvendësojmë vlerat e variablave në shprehje dhe llogarisim:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Ndonjëherë mund të transformoni një shprehje në mënyrë që të merrni vlerën e saj pavarësisht nga vlerat e shkronjave dhe ndryshoreve të përfshira në të. Për ta bërë këtë, ju duhet të hiqni qafe shkronjat dhe variablat në shprehje, nëse është e mundur, duke përdorur transformime identike, vetitë e operacioneve aritmetike dhe të gjitha metodat e tjera të mundshme.
Për shembull, shprehja x + 3 - x padyshim ka vlerën 3, dhe për të llogaritur këtë vlerë nuk është e nevojshme të dihet vlera e ndryshores x. Vlera e kësaj shprehjeje është e barabartë me tre për të gjitha vlerat e ndryshores x nga diapazoni i vlerave të saj të lejuara.
Një shembull më shumë. Vlera e shprehjes x x është e barabartë me një për të gjitha x-të pozitive.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Pra, nëse një shprehje numerike përbëhet nga numra dhe nga shenjat +, −, · dhe:, atëherë në rend nga e majta në të djathtë duhet së pari të kryeni shumëzim dhe pjesëtim, dhe më pas mbledhje dhe zbritje, të cilat do t'ju lejojnë të gjeni vlera e dëshiruar e shprehjes.
Le të japim disa shembuj për sqarim.
Shembull.
Njehsoni vlerën e shprehjes 14−2·15:6−3.
Zgjidhje.
Për të gjetur vlerën e një shprehjeje, duhet të kryeni të gjitha veprimet e specifikuara në të në përputhje me rendin e pranuar të kryerjes së këtyre veprimeve. Së pari, në mënyrë nga e majta në të djathtë, ne kryejmë shumëzim dhe pjesëtim, marrim 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Tani kryejmë edhe veprimet e mbetura sipas radhës nga e majta në të djathtë: 14−5−3=9−3=6. Kështu e gjetëm vlerën e shprehjes origjinale, është e barabartë me 6.
Përgjigje:
14−2·15:6−3=6.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes.
Zgjidhje.
Në këtë shembull, fillimisht duhet të bëjmë shumëzimin 2·(−7) dhe pjesëtimin me shumëzimin në shprehjen . Duke kujtuar si , gjejmë 2·(−7)=−14. Dhe për të kryer fillimisht veprimet në shprehje 
, pastaj 
, dhe ekzekutoni: 
.
Vlerat e marra i zëvendësojmë në shprehjen origjinale: .
Por, çka nëse ka një shprehje numerike nën shenjën e rrënjës? Për të marrë vlerën e një rrënjë të tillë, së pari duhet të gjeni vlerën e shprehjes radikale, duke iu përmbajtur rendit të pranuar të kryerjes së veprimeve. Për shembull, .
Në shprehjet numerike, rrënjët duhet të perceptohen si disa numra, dhe këshillohet që menjëherë të zëvendësohen rrënjët me vlerat e tyre, dhe më pas të gjeni vlerën e shprehjes që rezulton pa rrënjë, duke kryer veprime në sekuencën e pranuar.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes me rrënjë.
Zgjidhje.
Së pari le të gjejmë vlerën e rrënjës 
. Për ta bërë këtë, së pari, ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale, ne kemi −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Dhe së dyti, gjejmë vlerën e rrënjës.
Tani le të llogarisim vlerën e rrënjës së dytë nga shprehja origjinale: .
Më në fund, kuptimin e shprehjes origjinale mund ta gjejmë duke i zëvendësuar rrënjët me vlerat e tyre: .
Përgjigje:
Shumë shpesh, për të gjetur kuptimin e një shprehjeje me rrënjë, së pari duhet ta transformoni atë. Le të tregojmë zgjidhjen e shembullit.
Shembull.
Cili është kuptimi i shprehjes 
.
Zgjidhje.
Ne nuk jemi në gjendje të zëvendësojmë rrënjën e tre me vlerën e saj të saktë, gjë që nuk na lejon të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje në mënyrën e përshkruar më sipër. Megjithatë, ne mund të llogarisim vlerën e kësaj shprehje duke kryer transformime të thjeshta. E aplikueshme formula e diferencës katrore: . Duke marrë parasysh, marrim 
. Kështu, vlera e shprehjes origjinale është 1.
Përgjigje:
.
Me gradë
Nëse baza dhe eksponenti janë numra, atëherë vlera e tyre llogaritet duke përcaktuar shkallën, për shembull, 3 2 =3·3=9 ose 8 −1 =1/8. Ka edhe hyrje ku baza dhe/ose eksponenti janë disa shprehje. Në këto raste, duhet të gjeni vlerën e shprehjes në bazë, vlerën e shprehjes në eksponent dhe më pas të llogarisni vlerën e vetë shkallës.
Shembull.
Gjeni vlerën e një shprehjeje me fuqi të formës 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
Zgjidhje.
Në shprehjen origjinale ka dy fuqi 2 3·4−10 dhe (1−1/2) 3,5−2·1/4. Vlerat e tyre duhet të llogariten përpara se të kryeni veprime të tjera.
Le të fillojmë me fuqinë 2 3·4−10. Treguesi i tij përmban një shprehje numerike, le të llogarisim vlerën e saj: 3·4−10=12−10=2. Tani mund të gjeni vlerën e vetë shkallës: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Baza dhe eksponenti (1−1/2) 3.5−2 1/4 përmbajnë shprehje; ne llogarisim vlerat e tyre për të gjetur më pas vlerën e eksponentit. Ne kemi (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Tani kthehemi te shprehja origjinale, zëvendësojmë shkallët në të me vlerat e tyre dhe gjejmë vlerën e shprehjes që na nevojitet: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
Përgjigje:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.
Vlen të përmendet se ka raste më të zakonshme kur këshillohet të kryhet një paraprak thjeshtimi i shprehjes me fuqi në bazë.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Duke gjykuar nga eksponentët në këtë shprehje, nuk do të jetë e mundur të merren vlerat e sakta të eksponentëve. Le të përpiqemi të thjeshtojmë shprehjen origjinale, mbase kjo do të ndihmojë në gjetjen e kuptimit të saj. Ne kemi 
Përgjigje:
.
Fuqitë në shprehje shpesh shkojnë paralelisht me logaritmet, por ne do të flasim për gjetjen e kuptimit të shprehjeve me logaritme në njërën prej tyre.
Gjetja e vlerës së një shprehjeje me thyesa
Shprehjet numerike mund të përmbajnë thyesa në shënimin e tyre. Kur ju duhet të gjeni kuptimin e një shprehjeje si kjo, thyesat e tjera përveç thyesave duhet të zëvendësohen me vlerat e tyre përpara se të vazhdoni me pjesën tjetër të hapave.
Numëruesi dhe emëruesi i thyesave (të cilët janë të ndryshëm nga thyesat e zakonshme) mund të përmbajnë disa numra dhe shprehje. Për të llogaritur vlerën e një fraksioni të tillë, duhet të llogaritni vlerën e shprehjes në numërues, të llogarisni vlerën e shprehjes në emërues dhe më pas të llogarisni vlerën e vetë fraksionit. Ky rend shpjegohet me faktin se thyesa a/b, ku a dhe b janë disa shprehje, në thelb përfaqëson një herës të formës (a):(b), pasi .
Le të shohim shembullin e zgjidhjes.
Shembull.
Gjeni kuptimin e një shprehjeje me thyesa 
.
Zgjidhje.
Ekzistojnë tre thyesa në shprehjen numerike origjinale 
Dhe . Për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale, së pari duhet t'i zëvendësojmë këto thyesa me vlerat e tyre. Le ta bejme.
Numëruesi dhe emëruesi i një thyese përmbajnë numra. Për të gjetur vlerën e një fraksioni të tillë, zëvendësoni shiritin e fraksionit me një shenjë ndarjeje dhe kryeni këtë veprim: 
.
Në numëruesin e thyesës ka një shprehje 7−2·3, vlera e saj gjendet lehtë: 7−2·3=7−6=1. Kështu,. Mund të vazhdoni me gjetjen e vlerës së fraksionit të tretë.
Pjesa e tretë në numërues dhe emërues përmban shprehje numerike, prandaj, së pari duhet të llogaritni vlerat e tyre, dhe kjo do t'ju lejojë të gjeni vlerën e vetë fraksionit. Ne kemi 
.
Mbetet të zëvendësojmë vlerat e gjetura në shprehjen origjinale dhe të kryejmë veprimet e mbetura: .
Përgjigje:
.
Shpesh, kur gjeni vlerat e shprehjeve me thyesa, duhet të kryeni thjeshtimi i shprehjeve thyesore, bazuar në kryerjen e veprimeve me thyesa dhe në reduktimin e thyesave.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Rrënja e pesë nuk mund të nxirret plotësisht, kështu që për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale, së pari le ta thjeshtojmë atë. Për këtë të heqim qafe irracionalitetin në emërues thyesa e parë: 
. Pas kësaj, shprehja origjinale do të marrë formën 
. Pas zbritjes së thyesave, rrënjët do të zhduken, gjë që do të na lejojë të gjejmë vlerën e shprehjes së dhënë fillimisht: .
Përgjigje:
.
Me logaritme
Nëse një shprehje numerike përmban , dhe nëse është e mundur të hiqen prej tyre, atëherë kjo bëhet përpara se të kryeni veprime të tjera. Për shembull, kur gjendet vlera e shprehjes log 2 4+2·3, logaritmi log 2 4 zëvendësohet me vlerën e tij 2, pas së cilës veprimet e mbetura kryhen në rendin e zakonshëm, domethënë log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.
Kur ka shprehje numerike nën shenjën e logaritmit dhe/ose në bazën e tij, fillimisht gjenden vlerat e tyre, pas së cilës llogaritet vlera e logaritmit. Për shembull, merrni parasysh një shprehje me një logaritëm të formës 
. Në bazë të logaritmit dhe nën shenjën e tij ka shprehje numerike, gjejmë vlerat e tyre: . Tani gjejmë logaritmin, pas të cilit plotësojmë llogaritjet: .
Nëse logaritmet nuk llogariten me saktësi, atëherë thjeshtimi paraprak i tij duke përdorur . Në këtë rast, duhet të zotëroni mirë materialin e artikullit konvertimin e shprehjeve logaritmike.
Shembull.
Gjeni vlerën e një shprehjeje me logaritme 
.
Zgjidhje.
Le të fillojmë duke llogaritur log 2 (log 2 256) . Meqenëse 256=2 8, atëherë log 2 256=8, pra, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Logaritmet log 6 2 dhe log 6 3 mund të grupohen. Shuma e logaritmeve log 6 2 + log 6 3 është e barabartë me logaritmin e produktit log 6 (2 3), pra, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Tani le të shohim thyesën. Për të filluar, ne do të rishkruajmë bazën e logaritmit në emërues në formën e një fraksioni të zakonshëm si 1/5, pas së cilës do të përdorim vetitë e logaritmeve, të cilat do të na lejojnë të marrim vlerën e fraksionit: 
.
Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë rezultatet e marra në shprehjen origjinale dhe të përfundojmë gjetjen e vlerës së saj: 
Përgjigje:
Si të gjeni vlerën e një shprehjeje trigonometrike?
Kur një shprehje numerike përmban ose, etj., vlerat e tyre llogariten përpara se të kryhen veprime të tjera. Nëse ka shprehje numerike nën shenjën e funksioneve trigonometrike, atëherë së pari llogariten vlerat e tyre, pas së cilës gjenden vlerat e funksioneve trigonometrike.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Duke iu kthyer artikullit, marrim 
dhe cosπ=−1 . Ne i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen origjinale, ajo merr formën 
. Për të gjetur vlerën e tij, së pari duhet të kryeni fuqizimin dhe më pas të përfundoni llogaritjet: .
Përgjigje:
.
Vlen të përmendet se llogaritja e vlerave të shprehjeve me sinus, kosinus, etj. shpesh kërkon para konvertimi i një shprehjeje trigonometrike.
Shembull.
Sa është vlera e shprehjes trigonometrike 
.
Zgjidhje.
Le të transformojmë shprehjen origjinale duke përdorur , në këtë rast do të na duhet formula e kosinusit me kënd të dyfishtë dhe formula e kosinusit të shumës: 
Transformimet që bëmë na ndihmuan të gjejmë kuptimin e shprehjes.
Përgjigje:
.
Rasti i përgjithshëm
Në përgjithësi, një shprehje numerike mund të përmbajë rrënjë, fuqi, thyesa, disa funksione dhe kllapa. Gjetja e vlerave të shprehjeve të tilla konsiston në kryerjen e veprimeve të mëposhtme:
- rrënjët e para, fuqitë, thyesat etj. zëvendësohen nga vlerat e tyre,
- veprime të mëtejshme në kllapa,
- dhe me rend nga e majta në të djathtë kryhen veprimet e mbetura - shumëzimi dhe pjesëtimi, pasuar nga mbledhja dhe zbritja.
Veprimet e listuara kryhen derisa të merret rezultati përfundimtar.
Shembull.
Gjeni kuptimin e shprehjes 
.
Zgjidhje.
Forma e kësaj shprehjeje është mjaft komplekse. Në këtë shprehje shohim thyesa, rrënjë, fuqi, sinus dhe logaritme. Si të gjeni vlerën e saj?
Duke lëvizur nëpër rekordin nga e majta në të djathtë, hasim në një pjesë të formës 
. Ne e dimë se kur punojmë me thyesa komplekse, duhet të llogarisim veçmas vlerën e numëruesit, veçmas emëruesin dhe në fund të gjejmë vlerën e thyesës.
Në numërues kemi rrënjën e formës 
. Për të përcaktuar vlerën e tij, së pari duhet të llogaritni vlerën e shprehjes radikale 
. Këtu ka një sinus. Vlerën e saj mund ta gjejmë vetëm pasi të kemi llogaritur vlerën e shprehjes 
. Këtë mund ta bëjmë: . Pastaj nga dhe nga 
.
Emëruesi është i thjeshtë: .
Kështu, 
.
Pas zëvendësimit të këtij rezultati në shprehjen origjinale, ai do të marrë formën . Shprehja që rezulton përmban shkallën . Për të gjetur vlerën e tij, së pari duhet të gjejmë vlerën e treguesit, ne kemi 
.
Kështu që, .
Përgjigje:
.
Nëse nuk është e mundur të llogaritni vlerat e sakta të rrënjëve, fuqive, etj., Atëherë mund të përpiqeni të shpëtoni prej tyre duke përdorur disa transformime, dhe më pas të ktheheni në llogaritjen e vlerës sipas skemës së specifikuar.
Mënyra racionale për të llogaritur vlerat e shprehjeve
Llogaritja e vlerave të shprehjeve numerike kërkon qëndrueshmëri dhe saktësi. Po, është e nevojshme t'i përmbaheni sekuencës së veprimeve të regjistruara në paragrafët e mëparshëm, por nuk ka nevojë ta bëni këtë verbërisht dhe mekanikisht. Ajo që nënkuptojmë me këtë është se shpesh është e mundur të racionalizohet procesi i gjetjes së kuptimit të një shprehjeje. Për shembull, disa veçori të veprimeve me numra mund të shpejtojnë dhe thjeshtojnë ndjeshëm gjetjen e vlerës së një shprehjeje.
Për shembull, ne e dimë këtë veti të shumëzimit: nëse një nga faktorët në produkt është i barabartë me zero, atëherë vlera e produktit është e barabartë me zero. Duke përdorur këtë veti, mund të themi menjëherë se vlera e shprehjes 0 · (2 · 3 + 893 - 3234: 54 · 65 - 79 · 56 · 2.2) ·(45·36−2·4+456:3·43) është e barabartë me zero. Nëse do të ndiqnim rendin standard të veprimeve, fillimisht do të duhej të llogarisnim vlerat e shprehjeve të rënda në kllapa, të cilat do të kërkonin shumë kohë dhe rezultati do të ishte akoma zero.
Është gjithashtu e përshtatshme të përdoret vetia e zbritjes së numrave të barabartë: nëse zbrisni një numër të barabartë nga një numër, rezultati është zero. Kjo veti mund të konsiderohet më gjerësisht: ndryshimi midis dy shprehjeve numerike identike është zero. Për shembull, pa llogaritur vlerën e shprehjeve në kllapa, mund të gjeni vlerën e shprehjes (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), është e barabartë me zero, pasi shprehja origjinale është diferenca e shprehjeve identike.
Transformimet e identitetit mund të lehtësojnë llogaritjen racionale të vlerave të shprehjes. Për shembull, grupimi i termave dhe faktorëve mund të jetë i dobishëm; vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave përdoret jo më rrallë. Pra, vlera e shprehjes 53·5+53·7−53·11+5 është shumë e lehtë për t'u gjetur pasi të keni nxjerrë faktorin 53 nga kllapat: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Llogaritja e drejtpërdrejtë do të zgjaste shumë më tepër.
Për të përfunduar këtë pikë, le t'i kushtojmë vëmendje një qasjeje racionale për llogaritjen e vlerave të shprehjeve me thyesa - faktorët identikë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit janë anuluar. Për shembull, zvogëlimi i shprehjeve të njëjta në numëruesin dhe emëruesin e një thyese 
ju lejon të gjeni menjëherë vlerën e saj, e cila është e barabartë me 1/2.
Gjetja e vlerës së një shprehje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore
Vlera e një shprehjeje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore gjendet për vlera specifike të dhëna të shkronjave dhe variablave. Kjo do të thotë, ne po flasim për gjetjen e vlerës së një shprehjeje fjalë për fjalë për vlerat e dhëna të shkronjave, ose për gjetjen e vlerës së një shprehjeje me variabla për vlerat e variablave të zgjedhura.
Rregulli gjetja e vlerës së një shprehjeje fjalë për fjalë ose një shprehje me variabla për vlerat e dhëna të shkronjave ose vlerat e zgjedhura të ndryshoreve është si më poshtë: duhet të zëvendësoni vlerat e dhëna të shkronjave ose ndryshoreve në shprehjen origjinale dhe të llogaritni vlera e shprehjes numerike që rezulton; është vlera e dëshiruar.
Shembull.
Llogaritni vlerën e shprehjes 0,5·x−y në x=2,4 dhe y=5.
Zgjidhje.
Për të gjetur vlerën e kërkuar të shprehjes, së pari duhet të zëvendësoni vlerat e dhëna të variablave në shprehjen origjinale dhe më pas të kryeni hapat e mëposhtëm: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.
Përgjigje:
−3,8 .
Si shënim përfundimtar, ndonjëherë kryerja e konvertimeve në shprehje fjalë për fjalë dhe të ndryshueshme do të japë vlerat e tyre, pavarësisht nga vlerat e shkronjave dhe variablave. Për shembull, shprehja x+3−x mund të thjeshtohet, pas së cilës do të marrë formën 3. Nga kjo mund të konkludojmë se vlera e shprehjes x+3−x është e barabartë me 3 për çdo vlerë të ndryshores x nga diapazoni i saj i vlerave të lejueshme (APV). Një shembull tjetër: vlera e shprehjes është e barabartë me 1 për të gjitha vlerat pozitive të x, kështu që diapazoni i vlerave të lejuara të ndryshores x në shprehjen origjinale është grupi i numrave pozitivë, dhe në këtë varg barazia mban.
Bibliografi.
- Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algjebra: teksti shkollor për klasën e 7-të arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Shprehje numerike– ky është çdo regjistrim i numrave, simboleve aritmetike dhe kllapave. Një shprehje numerike mund të përbëhet thjesht nga një numër. Kujtoni se veprimet themelore aritmetike janë "mbledhja", "zbritja", "shumëzimi" dhe "pjestimi". Këto veprime korrespondojnë me shenjat "+", "-", "∙", ":".
Natyrisht, që të marrim një shprehje numerike, regjistrimi i numrave dhe simboleve aritmetike duhet të jetë kuptimplotë. Kështu, për shembull, një hyrje e tillë 5: + ∙ nuk mund të quhet shprehje numerike, pasi është një grup i rastësishëm simbolesh që nuk ka kuptim. Përkundrazi, 5 + 8 ∙ 9 është tashmë një shprehje e vërtetë numerike.
Vlera e një shprehjeje numerike.
Le të themi menjëherë se nëse kryejmë veprimet e treguara në shprehjen numerike, atëherë si rezultat do të marrim një numër. Ky numër quhet vlera e një shprehjeje numerike.
Le të përpiqemi të llogarisim se çfarë do të marrim si rezultat i kryerjes së veprimeve të shembullit tonë. Sipas radhës në të cilën kryhen veprimet aritmetike, fillimisht kryejmë veprimin e shumëzimit. Shumëzoni 8 me 9. Marrim 72. Tani shtoni 72 dhe 5. Marrim 77.
Pra, 77 - kuptimi shprehja numerike 5 + 8 ∙ 9.
Barazi numerike.
Mund ta shkruani në këtë mënyrë: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Këtu kemi përdorur shenjën “=” (“E barabartë”) për herë të parë. Një shënim i tillë në të cilin dy shprehje numerike ndahen me shenjën "=" quhet barazia numerike. Për më tepër, nëse vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të barazisë përkojnë, atëherë barazia quhet besnik. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - barazi e saktë.
Nëse shkruajmë 5 + 8 ∙ 9 = 100, atëherë kjo do të jetë tashmë barazi e rreme, pasi vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të kësaj barazie nuk përkojnë më.
Duhet theksuar se në shprehjen numerike mund të përdorim edhe kllapa. Kllapat ndikojnë në rendin në të cilin kryhen veprimet. Kështu, për shembull, le të modifikojmë shembullin tonë duke shtuar kllapa: (5 + 8) ∙ 9. Tani së pari duhet të shtoni 5 dhe 8. Ne marrim 13. Dhe pastaj shumëzojmë 13 me 9. Marrim 117. Kështu, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – kuptimi shprehje numerike (5 + 8) ∙ 9.
Për të lexuar saktë një shprehje, duhet të përcaktoni se cili veprim është kryer i fundit për të llogaritur vlerën e një shprehjeje të caktuar numerike. Pra, nëse veprimi i fundit është zbritja, atëherë shprehja quhet "ndryshim". Prandaj, nëse veprimi i fundit është shuma - "shuma", pjesëtimi - "herësi", shumëzimi - "produkti", fuqia - "fuqi".
Për shembull, shprehja numerike (1+5) (10-3) lexohet kështu: "produkti i shumës së numrave 1 dhe 5 dhe ndryshimi i numrave 10 dhe 3".
Shembuj të shprehjeve numerike.
Këtu është një shembull i një shprehjeje numerike më komplekse:
\[\majtas(\frac(1)(4)+3,75 \djathtas):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\pika qendrore 0,5)\]
Kjo shprehje numerike përdor numra të thjeshtë, thyesa të zakonshme dhe dhjetore. Përdoren gjithashtu shenja të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit. Vija e thyesës zëvendëson gjithashtu shenjën e pjesëtimit. Pavarësisht kompleksitetit të dukshëm, gjetja e vlerës së kësaj shprehje numerike është mjaft e thjeshtë. Gjëja kryesore është të jesh në gjendje të kryesh operacione me fraksione, si dhe të bësh me kujdes dhe saktësi llogaritjet, duke respektuar rendin në të cilin kryhen veprimet.
Në kllapa kemi shprehjen $\frac(1)(4)+3,75$ . Shndërroje thyesën dhjetore 3,75 në një thyesë të përbashkët.
$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$
Kështu që, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$
Më pas, në numëruesin e thyesës \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\pika qendrore 0,5)\] kemi shprehjen 1,25+3,47+4,75-1,47. Për të thjeshtuar këtë shprehje, zbatojmë ligjin komutativ të mbledhjes, i cili thotë: "Shuma nuk ndryshon duke ndryshuar vendet e termave". Domethënë 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
Në emëruesin e thyesës shprehja $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$
marrim $\left(\frac(1)(4)+3,75 \djathtas):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$
Kur shprehjet numerike nuk kanë kuptim?
Le të shohim një shembull tjetër. Në emëruesin e thyesës $\frac(5+5)(3\pika qendrore 3-9)$ vlera e shprehjes $3\centerdot 3-9$ është 0. Dhe, siç e dimë, pjesëtimi me zero është i pamundur. Prandaj, thyesa $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nuk ka kuptim. Shprehjet numerike që nuk kanë kuptim thuhet se nuk kanë "pa kuptim".
Nëse në shprehjen numerike përdorim edhe shkronja përveç numrave, atëherë do të kemi
