ku
janë numra realë, dhe është një personazh i veçantë i quajtur njësi imagjinare . Për njësinë imagjinare, sipas përkufizimit, supozohet se
.

(4.1) – formë algjebrike numër kompleks dhe
thirrur pjesë reale numër kompleks dhe
-pjesë imagjinare .

Numri
thirrur konjuguar kompleks tek numri
.

Le të jepen dy numra kompleksë
,
.

1. shuma
numra komplekse Dhe quhet një numër kompleks

2. ndryshim
numra komplekse Dhe quhet një numër kompleks

3. puna
numra komplekse Dhe quhet një numër kompleks

4. Privat nga pjesëtimi i një numri kompleks në një numër kompleks
quhet një numër kompleks

.

Vërejtje 4.1. Kjo do të thotë, veprimet mbi numrat kompleks paraqiten sipas rregullave të zakonshme të veprimeve aritmetike në shprehjet fjalë për fjalë në algjebër.

Shembulli 4.1. Janë dhënë numra kompleks. Per te gjetur

.

Zgjidhje. 1) .

4) Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugatin kompleks të emëruesit, marrim

formë trigonometrike numri kompleks:

ku
është moduli i një numri kompleks,
është argumenti i një numri kompleks. Injeksion të përcaktuara në mënyrë të paqartë, deri në një term
:

,
.

- vlera kryesore e argumentit, e përcaktuar nga kushti

, (ose
).

formë treguese numri kompleks:

.

Rrënja
shkalla e numrit Ajo ka vlera të ndryshme, të cilat gjenden nga formula

,

ku
.

Pikat që korrespondojnë me vlerat
, janë kulme të një të rregullti
një katror i gdhendur në një rreth me rreze
me qendër në origjinë.

Shembulli 4.2. Gjeni të gjitha vlerat e rrënjës
.

Zgjidhje. Imagjinoni një numër kompleks
në formë trigonometrike:

,

, ku
.

Pastaj
. Prandaj, sipas formulës (4.2)
ka katër kuptime:

,
.

Duke supozuar
, ne gjejme

,
,

, .

Këtu kemi konvertuar vlerat e argumentit në vlerën e tij kryesore.

Vendos në planin kompleks

Numri kompleks
përshkruar në një avion
pika
me koordinata
. Moduli
dhe argumenti
korrespondojnë me koordinatat polare të pikës
.

Është e dobishme të mbani mend këtë pabarazi
përcakton një rreth me qendër në një pikë rreze . Pabarazia
përcakton një gjysmërrafsh të vendosur në të djathtë të vijës së drejtë
, dhe pabarazia
- një gjysmë aeroplan i vendosur mbi një vijë të drejtë
. Përveç kësaj, sistemi i pabarazive
vendos këndin ndërmjet rrezeve
Dhe
që dalin nga origjina e koordinatave.

Shembulli 4.3. Vizatoni sipërfaqen e përcaktuar nga pabarazitë:
.

Zgjidhje. Pabarazia e parë korrespondon me një unazë të përqendruar në një pikë
dhe dy rreze 1 dhe 2, rrathët nuk janë përfshirë në zonë (Fig. 4.1).

Pabarazia e dytë korrespondon me këndin midis rrezeve
(përgjysmues i këndit të 4 koordinativ) dhe
(drejtimi i boshtit pozitiv
). Vetë rrezet nuk hyjnë në rajon (Fig. 4.2).

Zona e dëshiruar është kryqëzimi i dy zonave të marra (Fig. 4.3)

4.2. Funksionet e një ndryshoreje komplekse

Le të funksionojë me një vlerë të vetme
të përcaktuara dhe të vazhdueshme në domen
, por është një kurbë e orientuar pjesë-pjesë e lëmuar e mbyllur ose jo e mbyllur e shtrirë
. Le, si zakonisht,
,, ku
,
- funksionet reale të ndryshoreve Dhe .

Llogaritja e integralit të një funksioni
ndryshore komplekse reduktohet në llogaritjen e integraleve të zakonshëm lakor, përkatësisht

.

Nëse funksioni
është analitike në një domen të lidhur thjesht
që përmbajnë pika Dhe , atëherë formula e Njuton-Leibnizit vlen:

,

ku
- disa antiderivativë për funksionin
, d.m.th
në rajonin e
.

Në integralet e funksioneve të një ndryshoreje komplekse, mund të ndryshohet ndryshorja, dhe integrimi sipas pjesëve është i ngjashëm me mënyrën se si bëhet kur llogariten integralet e funksioneve të një ndryshoreje reale.

Vini re gjithashtu se nëse rruga e integrimit është pjesë e një vije të drejtë që fillon nga pika , ose pjesë e një rrethi me qendër në një pikë , atëherë është e dobishme të ndryshohet ndryshorja e formës
. Në rastin e parë
, por - variabli real i integrimit; në rastin e dytë
, por është variabli real i integrimit.

Shembulli 4.4. Llogaritni
përgjatë një parabole
nga pika
drejt e në temë
(Figura 4.4).

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë integranin në formë Pastaj , . Ne aplikojmë formulën (4.3): Sepse , pastaj , . Kjo është arsyeja pse

Shembulli 4.5. Llogarit integralin
, ku - harku i një rrethi
,
(Fig. 4.5) .

Zgjidhje. Supozoni , pastaj , , . Ne marrim:

Funksioni
, me një vlerë dhe analitike në ring
, zbërthehet në këtë unazë në Seriali Laurent

Në formulën (4.5) seria
thirrur Pjesa kryesore Seriali Laurent dhe seriali
thirrur pjesa e djathtë Laurent rresht.

Përkufizimi 4.1. Pika thirrurpikë njëjës e izoluar funksione
nëse ka një lagje të kësaj pike ku funksioni
është analitike kudo përveç vetë pikës .

Funksioni
në afërsi të pikës mund të zgjerohet në një seri Laurent. Në këtë rast, tre raste të ndryshme janë të mundshme kur seria Laurent:

1) nuk përmban terma me shkallë negative ndryshimi
, d.m.th

(seriali Laurent nuk përmban pjesën kryesore). Në këtë rast thirrur pikë njëjës e lëvizshme funksione
;

2) përmban një numër të kufizuar termash me shkallë negative ndryshimi
, d.m.th

,

dhe
. Në këtë rast, pika thirrur poli i rendit funksione
;

3) përmban një numër të pafund termash me fuqi negative:

.

Në këtë rast, pika thirrur pikë thelbësore funksione
.

Kur përcaktoni natyrën e një pike njëjës të izoluar, nuk është e nevojshme të kërkoni një zgjerim të serisë Laurent. Ju mund të përdorni veçori të ndryshme të pikave kyçe të izoluara.

1) është një pikë njëjës e lëvizshme e funksionit
nëse ka një kufi të kufizuar të funksionit
në pikën :

.

2) është një pol i funksionit
, nëse

.

3) është një pikë thelbësore njëjës e funksionit
, nëse në
funksioni nuk ka kufi, as të fundëm as të pafund.

Përkufizimi 4.2. Pika thirrurzero
urdhëroj (ose shumëfishime ) funksione
nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

…,

.

Vërejtje 4.2. Pika atëherë dhe vetëm atëherë është zero
urdhëroj funksione
kur, në ndonjë lagje të kësaj pike, barazia

,

ku është funksioni
është analitike në pikën Dhe

4) pika është poli i rendit (
) funksione
nëse kjo pikë është zero e rendit për funksionin
.

5) le - pikë e veçuar njëjës e një funksioni
, ku
- funksionon analitik në një pikë . Dhe lëre pikën është rendi zero funksione
dhe rendit zero funksione
.

Në
pika është poli i rendit
funksione
.

Në
pika është një pikë njëjës e lëvizshme e funksionit
.

Shembulli 4.6. Gjeni pika të izoluara dhe përcaktoni llojin e tyre për funksionin
.

Zgjidhje. Funksione
Dhe
- analitike në të gjithë rrafshin kompleks. Prandaj, pikat singulare të funksionit
janë zerot e emëruesit, pra pikat ku
. Ka pafundësisht shumë pika të tilla. Së pari, kjo është pika
, si dhe pikat që plotësojnë ekuacionin
. Nga këtu
Dhe
.

Konsideroni një pikë
. Në këtë pikë marrim:

,
,

,
.

Rendi i zeros është
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Pra, pika
është një shtyllë e rendit të dytë (
).

. Pastaj

,
.

Rendi i numëruesit zero është
.

,
,
.

Rendi i emëruesit zero është
. Prandaj, pikat
në
janë shtylla të rendit të parë ( shtylla të thjeshta ).

Teorema 4.1. (Teorema e mbetjes Cauchy ). Nëse funksioni
është analitike në kufi zonave
dhe kudo brenda rajonit, me përjashtim të një numri të kufizuar pikash njëjës
, pastaj

.

Gjatë llogaritjes së integraleve, ia vlen të gjejmë me kujdes të gjitha pikat singulare të funksionit
, më pas vizatoni një kontur dhe pika të veçanta, dhe pas kësaj zgjidhni vetëm ato pika që janë brenda konturit të integrimit. Të bësh zgjedhjen e duhur pa një foto shpesh është e vështirë.

Mënyra e llogaritjes së zbritjes
varet nga lloji i pikës njëjës. Prandaj, përpara se të llogaritni mbetjen, duhet të përcaktoni llojin e pikës njëjës.

1) mbetje funksioni në një pikë është e barabartë me koeficientin minus fuqinë e parë në zgjerimin Laurent
në afërsi të pikës :

.

Ky pohim është i vërtetë për të gjitha llojet e pikave të izoluara, dhe për këtë arsye në këtë rast nuk është e nevojshme të përcaktohet lloji i një pike njëjës.

2) mbetja në pikën singulare të lëvizshme është e barabartë me zero.

3) nëse është një pol i thjeshtë (pol i rendit të parë), dhe funksioni
mund të përfaqësohet si
, ku
,
(vini re se në këtë rast
), pastaj mbetja në pikë barazohet

.

Në veçanti, nëse
, pastaj
.

4) nëse është një shtyllë e thjeshtë, pra

5) nëse - shtyllë
funksioni i rendit
, pastaj

Shembulli 4.7. Llogarit integralin
.

Zgjidhje. Gjeni pika njëjës të integrandit . Funksioni ka dy pika njëjës Dhe Vetëm një pikë bie brenda konturit (Fig. 4.6). Pika është një pol i rendit të dytë, pasi është zero e shumëzimit 2 për funksionin .

Pastaj me formulën (4.7) gjejmë mbetjen në këtë pikë:

Në bazë të teoremës 4.1 ne gjejmë

Funksionet e një ndryshoreje komplekse.
Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Ky artikull hap një seri mësimesh në të cilat do të shqyrtoj problemet tipike që lidhen me teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse. Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të keni njohuri bazë për numrat kompleks. Për të konsoliduar dhe përsëritur materialin, mjafton të vizitoni faqen. Ju gjithashtu do të keni nevojë për aftësi për të gjetur derivatet e pjesshme të rendit të dytë. Ja ku janë, këto derivate të pjesshme ... edhe tani u habita pak sa shpesh ndodhin ...

Tema që po fillojmë të analizojmë nuk është veçanërisht e vështirë, dhe në funksionet e një ndryshoreje komplekse, në parim, gjithçka është e qartë dhe e arritshme. Gjëja kryesore është t'i përmbahemi rregullit bazë, i cili rrjedh nga unë në mënyrë empirike. Lexo!

Koncepti i një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Së pari, le të rifreskojmë njohuritë tona rreth funksionit shkollor të një ndryshoreje:

Funksioni i një ndryshorejeështë një rregull sipas të cilit çdo vlerë e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) i përgjigjet një dhe vetëm një vlere të funksionit. Natyrisht, "x" dhe "y" janë numra realë.

Në rastin kompleks, varësia funksionale jepet në mënyrë të ngjashme:

Funksioni me një vlerë të një ndryshoreje komplekseështë rregulli që të gjithë të integruara vlera e ndryshores së pavarur (nga domeni) i përgjigjet një dhe të vetme gjithëpërfshirëse vlera e funksionit. Në teori, konsiderohen gjithashtu funksione me shumë vlera dhe disa lloje të tjera, por për thjeshtësi, unë do të përqendrohem në një përkufizim.

Cili është funksioni i një ndryshoreje komplekse?

Dallimi kryesor është se numrat janë kompleks. Nuk po ironizoj. Nga pyetje të tilla ata shpesh bien në hutim, në fund të artikullit do të tregoj një histori të lezetshme. Në mësim Numrat kompleksë për dummies kemi konsideruar një numër kompleks në formën . Që tani shkronja "Z" është bërë e ndryshueshme, atëherë do ta shënojmë si më poshtë: , ndërsa "x" dhe "y" mund të marrin të ndryshme e vlefshme vlerat. Përafërsisht, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga variablat dhe , të cilat marrin vlera "të zakonshme". Pika e mëposhtme rrjedh logjikisht nga ky fakt:

Funksioni i një ndryshoreje komplekse mund të shkruhet si:
, ku dhe janë dy funksione të dy e vlefshme variablave.

Funksioni thirret pjesë reale funksione .
Funksioni thirret pjesë imagjinare funksione .

Domethënë, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga dy funksione reale dhe . Për të sqaruar më në fund gjithçka, le të shohim shembuj praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ndryshorja e pavarur "z", siç e mbani mend, shkruhet si, pra:

(1) Zëvendësuar në funksionin origjinal.

(2) Për termin e parë, u përdor formula e shumëzimit të reduktuar. Në mandat u hapën kllapat.

(3) Me kujdes katror, ​​duke mos harruar këtë

(4) Rirregullimi i termave: së pari rishkruaj termat , në të cilën nuk ka një njësi imagjinare(grupi i parë), pastaj termat, ku ka (grupi i dytë). Duhet të theksohet se nuk është e nevojshme të përzihen termat dhe ky hap mund të anashkalohet (në fakt, duke e kryer atë me gojë).

(5) Grupi i dytë nxirret nga kllapa.

Si rezultat, funksioni ynë doli të përfaqësohej në formë

Përgjigje:
është pjesa reale e funksionit .
është pjesa imagjinare e funksionit .

Cilat janë këto funksione? Funksionet më të zakonshme të dy variablave, nga të cilat mund të gjenden kaq të njohura derivatet e pjesshme. Pa mëshirë - do të gjejmë. Por pak më vonë.

Shkurtimisht, algoritmi i problemit të zgjidhur mund të shkruhet si më poshtë: ne zëvendësojmë në funksionin origjinal, kryejmë thjeshtime dhe ndajmë të gjithë termat në dy grupe - pa një njësi imagjinare (pjesa reale) dhe me një njësi imagjinare (pjesa imagjinare).

Shembulli 2

Gjeni pjesën reale dhe imagjinare të një funksioni

Ky është një shembull bëjeni vetë. Përpara se të hidheni në betejë në aeroplanin kompleks me damë të zhveshur, më lejoni t'ju jap këshillat më të rëndësishme për këtë temë:

BEJ KUJDES! Duhet të jeni të kujdesshëm, natyrisht, kudo, por në numra komplekse duhet të jeni më të kujdesshëm se kurrë! Mos harroni se, zgjeroni me kujdes kllapat, mos humbisni asgjë. Sipas vëzhgimeve të mia, gabimi më i zakonshëm është humbja e shenjës. Mos u ngut!

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Tani kubike. Duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit, ne nxjerrim:
.

Formulat janë shumë të përshtatshme për t'u përdorur në praktikë, pasi ato shpejtojnë shumë procesin e zgjidhjes.

Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Kam dy lajme: të mira dhe të këqija. Do të filloj me një të mirë. Për një funksion të një ndryshoreje komplekse vlejnë rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Kështu, derivati ​​merret në të njëjtën mënyrë si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje reale.

Lajmi i keq është se për shumë funksione të një ndryshoreje komplekse, nuk ka fare derivat dhe ju duhet të kuptoni është i diferencueshëm një funksion apo një tjetër. Dhe "të kuptoni" se si ndihet zemra juaj shoqërohet me telashe shtesë.

Konsideroni një funksion të një ndryshoreje komplekse. Që ky funksion të jetë i diferencueshëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që:

1) Që të ketë derivate të pjesshëm të rendit të parë. Harrojini këto shënime menjëherë, pasi në teorinë e funksionit të një ndryshoreje komplekse, tradicionalisht përdoret një version tjetër i shënimit: .

2) Për të kryer të ashtuquajturat Kushtet e Cauchy-Riemann:

Vetëm në këtë rast derivati ​​do të ekzistojë!

Shembulli 3

Zgjidhje zbërthehet në tre faza të njëpasnjëshme:

1) Gjeni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kjo detyrë u analizua në shembujt e mëparshëm, kështu që unë do ta shkruaj pa koment:

Që atëherë:

Në këtë mënyrë:

është pjesa imagjinare e funksionit .

Do të ndalem në një pikë tjetër teknike: në çfarë rendi shkruani termat në pjesë reale dhe imagjinare? Po, në thelb nuk ka rëndësi. Për shembull, pjesa reale mund të shkruhet kështu: , dhe imagjinare - si kjo: .

2) Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Janë dy prej tyre.

Le të fillojmë duke kontrolluar gjendjen. Ne gjejme derivatet e pjesshme:

Kështu, kushti është përmbushur.

Pa dyshim, lajmi i mirë është se derivatet e pjesshme janë pothuajse gjithmonë shumë të thjeshta.

Ne kontrollojmë përmbushjen e kushtit të dytë:

Doli e njëjta gjë, por me shenja të kundërta, pra plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm.

3) Gjeni derivatin e funksionit. Derivati ​​është gjithashtu shumë i thjeshtë dhe gjendet sipas rregullave të zakonshme:

Njësia imagjinare në diferencim konsiderohet konstante.

Përgjigje: - pjesa reale është pjesa imagjinare.
Kushtet Cauchy-Riemann janë plotësuar,.

Ka dy mënyra të tjera për të gjetur derivatin, ato natyrisht përdoren më rrallë, por informacioni do të jetë i dobishëm për të kuptuar mësimin e dytë - Si të gjeni funksionin e një ndryshoreje komplekse?

Derivati ​​mund të gjendet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

Në këtë mënyrë

Është e nevojshme të zgjidhet problemi i kundërt - në shprehjen që rezulton, ju duhet të izoloni . Për ta bërë këtë, është e nevojshme në terma dhe të nxirren nga kllapat:

Veprimi i kundërt, siç e kanë vënë re shumë, është disi më i vështirë për t'u kryer; për verifikim, është gjithmonë më mirë të merret shprehja dhe në draft, ose të hapni verbalisht kllapat prapa, duke u siguruar që të dalë saktësisht

Formula e pasqyrës për gjetjen e derivatit:

Në këtë rast: , kjo është arsyeja pse:

Shembulli 4

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann. Nëse plotësohen kushtet Cauchy-Riemann, gjeni derivatin e funksionit.

Një zgjidhje e shkurtër dhe një mostër e përafërt e përfundimit në fund të mësimit.

A përmbushen gjithmonë kushtet Cauchy-Riemann? Teorikisht, ato më shpesh nuk përmbushen se sa janë. Por në shembuj praktikë, nuk mbaj mend një rast që ato të mos ishin ekzekutuar =) Kështu, nëse derivatet tuaja të pjesshme "nuk konvergjuan", atëherë me një probabilitet shumë të lartë mund të themi se keni bërë një gabim diku.

Le të komplikojmë funksionet tona:

Shembulli 5

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann. Llogaritni

Zgjidhja: Algoritmi i zgjidhjes ruhet plotësisht, por në fund shtohet një modë e re: gjetja e derivatit në një pikë. Për kubin, formula e kërkuar tashmë është nxjerrë:

Le të përcaktojmë pjesët reale dhe imagjinare të këtij funksioni:

Vëmendje dhe sërish vëmendje!

Që atëherë:


Në këtë mënyrë:
është pjesa reale e funksionit;
është pjesa imagjinare e funksionit .

Kontrollimi i kushtit të dytë:

Doli e njëjta gjë, por me shenja të kundërta, pra plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm:

Llogaritni vlerën e derivatit në pikën e kërkuar:

Përgjigje:, , kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur,

Funksionet me kube janë të zakonshme, kështu që një shembull për t'u konsoliduar:

Shembulli 6

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann. Llogarit .

Vendimi dhe përfundimi i mostrës në fund të mësimit.

Në teorinë e analizës komplekse përcaktohen edhe funksionet e tjera të argumentit kompleks: eksponencial, sinus, kosinus etj. Këto funksione kanë veti të pazakonta dhe madje të çuditshme - dhe është vërtet interesante! Unë me të vërtetë dua t'ju them, por këtu, ashtu ndodhi, jo një libër referimi ose një tekst shkollor, por një zgjidhje, kështu që do të shqyrtoj të njëjtën detyrë me disa funksione të përbashkëta.

Së pari në lidhje me të ashtuquajturat Formulat e Euler-it:

Për këdo e vlefshme numrat, formulat e mëposhtme janë të vlefshme:

Ju gjithashtu mund ta kopjoni atë në fletoren tuaj si referencë.

Në mënyrë të rreptë, ekziston vetëm një formulë, por zakonisht, për lehtësi, ata gjithashtu shkruajnë një rast të veçantë me një minus në tregues. Parametri nuk duhet të jetë një shkronjë e vetme, ai mund të jetë një shprehje komplekse, një funksion, është e rëndësishme vetëm që ato të marrin vetëm e vlefshme vlerat. Në fakt, ne do ta shohim atë tani:

Shembulli 7

Gjeni derivatin.

Zgjidhja: Linja e përgjithshme e partisë mbetet e palëkundur - është e nevojshme të veçohen pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Unë do të jap një zgjidhje të detajuar dhe do të komentoj për secilin hap më poshtë:

Që atëherë:

(1) Zëvendësim për "z".

(2) Pas zëvendësimit, është e nevojshme të ndahen pjesët reale dhe imagjinare i pari në eksponent ekspozuesit. Për ta bërë këtë, hapni kllapat.

(3) Ne grupojmë pjesën imagjinare të treguesit, duke e vendosur njësinë imagjinare jashtë kllapave.

(4) Përdorni veprimin e shkollës me fuqi.

(5) Për shumëzuesin, ne përdorim formulën e Euler-it, ndërsa .

(6) Ne hapim kllapat, si rezultat:

është pjesa reale e funksionit;
është pjesa imagjinare e funksionit .

Veprimet e mëtejshme janë standarde, le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann:

Shembulli 9

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann. Kështu qoftë, ne nuk do ta gjejmë derivatin.

Zgjidhja: Algoritmi i zgjidhjes është shumë i ngjashëm me dy shembujt e mëparshëm, por ka pika shumë të rëndësishme, kështu që unë do të komentoj përsëri hap pas hapi fazën fillestare:

Që atëherë:

1) Ne zëvendësojmë në vend të "z".

(2) Së pari, zgjidhni pjesët reale dhe imagjinare brenda sinusit. Për këtë qëllim, hapni kllapat.

(3) Ne përdorim formulën , ndërsa .

(4) Përdorimi barazia e kosinusit hiperbolik: Dhe çuditshmëria hiperbolike e sinusit: . Hiperbolikët, megjithëse nuk janë të kësaj bote, por në shumë mënyra ngjajnë me funksione të ngjashme trigonometrike.

Përfundimisht:
është pjesa reale e funksionit;
është pjesa imagjinare e funksionit .

Kujdes! Shenja minus i referohet pjesës imagjinare dhe në asnjë rast nuk duhet ta humbasim atë! Për një ilustrim vizual, rezultati i marrë më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann:

Kushtet Cauchy-Riemann janë plotësuar.

Përgjigje:, , kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur.

Me kosinus, zonja dhe zotërinj, ne e kuptojmë vetë:

Shembulli 10

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kontrolloni përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann.

Kam marrë qëllimisht shembuj më të ndërlikuar, sepse të gjithë mund të trajtojnë diçka si kikirikë të qëruar. Në të njëjtën kohë, stërvitni vëmendjen tuaj! Arrëthyesi në fund të mësimit.

Epo, në përfundim, unë do të shqyrtoj një shembull tjetër interesant kur argumenti kompleks është në emërues. Ne u takuam nja dy herë në praktikë, le të analizojmë diçka të thjeshtë. Oh po plakem...

Shembulli 11

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kontrolloni përmbushjen e kushteve të Cauchy-Riemann.

Zgjidhja: Përsëri, është e nevojshme të ndahen pjesët reale dhe imagjinare të funksionit.
Nese atehere

Shtrohet pyetja, çfarë të bëjmë kur "Z" është në emërues?

Gjithçka është e thjeshtë - standardi do të ndihmojë metoda e shumëzimit të numëruesit dhe emëruesit me shprehjen e konjuguar, tashmë është përdorur në shembujt e mësimit Numrat kompleksë për dummies. Le të kujtojmë formulën e shkollës. Në emëruesin që kemi tashmë, kështu shprehja e konjuguar do të jetë . Kështu, ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me:

Agjencia Federale për Arsimin

___________________________________

Shteti i Shën Petersburgut

Universiteti Elektroteknik "LETI"

_______________________________________

Teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse

Udhëzimet

tek ushtrimet praktike

në matematikën e lartë

Shën Petersburg

Shtëpia botuese e Universitetit Elektroteknik të Shën Peterburgut "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: Udhëzime për zgjidhjen e problemeve / përmbledhje: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky. Shën Petersburg: Shtëpia botuese e St.

Miratuar

këshilli redaktues dhe botues i universitetit

si udhëzime

© Universiteti Elektroteknik i Shën Petersburgut "LETI", 2010

Funksionet e ndryshores komplekse , në rastin e përgjithshëm ndryshojnë nga pasqyrimet e planit real
në vetvete vetëm një formë regjistrimi. Një objekt i rëndësishëm dhe jashtëzakonisht i dobishëm është klasa e një funksioni të një ndryshoreje komplekse,

që ka të njëjtin derivat si funksionet e një ndryshoreje. Dihet që funksionet e disa ndryshoreve mund të kenë derivate të pjesshëm dhe të drejtuar, por, si rregull, derivatet në drejtime të ndryshme nuk përkojnë dhe nuk mund të flitet për një derivat në një pikë. Megjithatë, për funksionet e një ndryshoreje komplekse, është e mundur të përshkruhen kushtet në të cilat ato pranojnë diferencimin. Studimi i vetive të funksioneve të diferencueshme të një ndryshoreje komplekse është përmbajtja e udhëzimeve. Udhëzimet janë të orientuara drejt demonstrimit se si vetitë e funksioneve të tilla mund të përdoren për të zgjidhur probleme të ndryshme. Përvetësimi i suksesshëm i materialit të paraqitur është i pamundur pa aftësi elementare në llogaritjen me numra kompleks dhe njohje me objektet më të thjeshta gjeometrike të përcaktuara në terma të pabarazive që lidhen me pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks, si dhe modulin dhe argumentimin e tij. Një përmbledhje e të gjithë informacionit të nevojshëm për këtë mund të gjendet në udhëzimet.

Aparati standard i analizës matematikore: kufijtë, derivatet, integralet, seritë përdoret gjerësisht në tekstin e udhëzimeve. Aty ku këto koncepte kanë specifikat e tyre, në krahasim me funksionet e një ndryshoreje, jepen shpjegimet e duhura, por në të shumtën e rasteve mjafton të veçohen pjesët reale dhe imagjinare dhe të aplikohet aparati standard i analizës reale.

1. Funksionet elementare të një ndryshoreje komplekse

Është e natyrshme të fillohet diskutimi i kushteve të diferencimit për funksionet e një ndryshoreje komplekse duke sqaruar se cilët funksione elementare e kanë këtë veti. Nga lidhja e dukshme

Diferencimi i çdo polinomi vijon. Dhe, meqenëse seria e fuqisë mund të diferencohet term pas termi brenda rrethit të konvergjencës së saj,

atëherë çdo funksion është i diferencueshëm në pikat rreth të cilave mund të zgjerohet në një seri Taylor. Ky është një kusht i mjaftueshëm, por, siç do të bëhet e qartë së shpejti, është gjithashtu i domosdoshëm. Është i përshtatshëm për të mbështetur studimin e funksioneve të një ndryshore nga derivati ​​duke kontrolluar sjelljen e grafikut të funksionit. Për funksionet e një ndryshoreje komplekse, kjo nuk është e mundur. Pikat e grafikut shtrihen në një hapësirë ​​me dimension 4, .

Sidoqoftë, një paraqitje grafike e funksionit mund të merret duke marrë parasysh imazhet e grupeve mjaft të thjeshta të planit kompleks.
që lindin nën ndikimin e një funksioni të caktuar. Për shembull, merrni parasysh, nga ky këndvështrim, disa funksione të thjeshta.

Funksioni linear

Ky funksion i thjeshtë është shumë i rëndësishëm, pasi çdo funksion i diferencueshëm është lokalisht i ngjashëm me një linear. Konsideroni veprimin e funksionit me detaje maksimale

këtu
-- moduli i numrit kompleks Dhe është argumenti i tij. Kështu, funksioni linear kryen shtrirje, rrotullim dhe prerje. Prandaj, një hartë lineare harton çdo grup në një grup të ngjashëm. Në veçanti, nën ndikimin e një harte lineare, linjat kthehen në vija dhe rrathët në rrathë.

Funksioni

Ky funksion është më i afërt për nga kompleksiteti me atë linear. Është e vështirë të pritet që ai do të marrë ndonjë rresht në një vijë, dhe një rreth në një rreth, shembuj të thjeshtë tregojnë se kjo nuk ndodh, megjithatë, mund të tregohet se ky funksion merr grupin e të gjitha linjave dhe rrathëve në vetvete. . Për ta verifikuar këtë, është e përshtatshme të kalohet në përshkrimin real (koordinativ) të hartës

Prova kërkon një përshkrim të hartës së anasjelltë

Merrni parasysh ekuacionin nëse
, atëherë marrim ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze. Nëse
, pastaj

Prandaj, në
fitohet ekuacioni i një rrethi arbitrar.

Vini re se nëse
Dhe
, atëherë rrethi kalon nëpër origjinë. Nëse
Dhe
, atëherë ju merrni një vijë të drejtë që kalon përmes origjinës.

Nën veprimin e përmbysjes, ekuacioni i konsideruar do të rishkruhet në formë

, (
)

ose . Mund të shihet se ky është gjithashtu një ekuacion që përshkruan ose rrathë ose vija të drejta. Fakti që në ekuacion koeficientët Dhe
këmbyer do të thotë që gjatë përmbysjes, linjat që kalojnë nga 0 do të kthehen në rrathë dhe rrathët që kalojnë nëpër 0 do të kthehen në vija.

Funksionet e fuqisë

Dallimi kryesor midis këtyre funksioneve dhe atyre të konsideruara më parë është se ato nuk janë një për një (
). Mund të themi se funksioni
harton planin kompleks në dy raste të të njëjtit rrafsh. Një shqyrtim i kujdesshëm i kësaj teme kërkon përdorimin e aparatit të rëndë të sipërfaqeve Riemann dhe është përtej qëllimit të pyetjeve të shqyrtuara këtu. Është e rëndësishme të kuptohet se plani kompleks mund të ndahet në sektorë, secili prej të cilëve është një-për-një i hartuar në planin kompleks. Ky është ndarja për funksionin
duket kështu, Për shembull, gjysma e sipërme rrafshin një-për-një është hartuar në planin kompleks nga funksioni
. Shtrembërimet gjeometrike për imazhe të tilla janë më të vështira për t'u përshkruar sesa në rastin e përmbysjes. Si ushtrim, mund të gjurmoni se në çfarë shkon rrjeti i koordinatave drejtkëndore të gjysmëplanit të sipërm kur shfaqet

Mund të shihet se rrjeti i koordinatave drejtkëndëshe shndërrohet në një familje parabolash duke formuar një sistem të koordinatave të lakuara në rrafsh.
. Ndarja e planit të përshkruar më sipër është e tillë që funksioni
shfaq secilën prej sektorë në të gjithë rrafshin. Përshkrimi i hartës përpara dhe prapa duket kështu

Pra funksioni
Ajo ka funksione të ndryshme të anasjellta,

dhënë në sektorë të ndryshëm të avionit

Në raste të tilla, hartëzimi thuhet se është me shumë fletë.

Funksioni i Zhukovsky

Funksioni ka emrin e vet, pasi formoi bazën e teorisë së krahut të avionit, krijuar nga Zhukovsky (një përshkrim i këtij dizajni mund të gjendet në libër). Funksioni ka një numër karakteristikash interesante, le të përqendrohemi në njërën prej tyre - zbuloni se në cilat grupe vepron ky funksion një-për-një. Merrni parasysh barazinë

, ku
.

Prandaj, funksioni Zhukovsky është një-për-një në çdo fushë në të cilën, për cilindo Dhe produkti i tyre nuk është i barabartë me unitetin. Këto janë, për shembull, rrethi i njësisë së hapur
dhe komplementi i rrethit njësi të mbyllur
.

Merrni parasysh veprimin e funksionit Zhukovsky në rreth, atëherë

Duke ndarë pjesët reale dhe imagjinare, marrim ekuacionin parametrik të elipsës

,
.

Nëse
, atëherë këto elipsa mbushin të gjithë rrafshin. Në mënyrë të ngjashme, verifikohet që imazhet e segmenteve janë hiperbola

.

Funksioni eksponencial

Funksioni mund të zgjerohet në një seri fuqie, e cila konvergon absolutisht në të gjithë planin kompleks, prandaj është i diferencueshëm kudo. Le të përshkruajmë grupet në të cilat funksioni është një-për-një. Barazi e dukshme
tregon se rrafshi mund të ndahet në një familje shiritash, secila prej të cilave është një-për-një e hartuar nga funksioni në të gjithë planin kompleks. Kjo ndarje është thelbësore për të kuptuar se si funksionon funksioni i kundërt, ose më mirë, funksionet e anasjellta. Në secilin prej shiritave, harta e kundërt përcaktohet natyrshëm

Funksioni i anasjelltë është gjithashtu shumëvalent në këtë rast, dhe numri i funksioneve të anasjellta është i pafund.

Përshkrimi gjeometrik i hartës është mjaft i thjeshtë: vija të drejta
shndërrohen në trarë
, segmente

lëvizin në rrathë
.