Derivat i një numri kompleks. Teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse

15.05.2019 Windows 8

Funksionet e një ndryshoreje komplekse.
Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Ky artikull fillon një seri mësimesh në të cilat unë do të shikoj detyra tipike, lidhur me teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse. Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të keni njohuri baze rreth numrave kompleks. Për të konsoliduar dhe përsëritur materialin, thjesht vizitoni faqen. Ju gjithashtu do të keni nevojë për aftësi për të gjetur derivatet e pjesshme të rendit të dytë. Ja ku jane keto derivate te pjesshme... edhe tani u habita pak sa shpesh ndodhin...

Tema që po fillojmë të shqyrtojmë nuk paraqet ndonjë vështirësi të veçantë, dhe në funksionet e një ndryshoreje komplekse, në parim, gjithçka është e qartë dhe e arritshme. Gjëja kryesore është t'i përmbahemi rregullit bazë, të cilin e nxora eksperimentalisht. Lexo!

Koncepti i një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Së pari, le të rifreskojmë njohuritë tona për funksionin shkollor të një ndryshoreje:

Funksioni me një ndryshore të vetmeështë një rregull sipas të cilit secila vlerë e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) i përgjigjet një dhe vetëm një vlere të funksionit. Natyrisht, "X" dhe "Y" - numra realë.

NË rast kompleks varësia funksionale specifikohet në mënyrë të ngjashme:

Funksioni me një vlerë të një ndryshoreje komplekse- ky është rregulli sipas të cilit të gjithë gjithëpërfshirëse vlera e ndryshores së pavarur (nga fusha e përkufizimit) i përgjigjet një dhe vetëm një gjithëpërfshirëse vlera e funksionit. Teoria konsideron gjithashtu funksione me shumë vlera dhe disa lloje të tjera, por për thjeshtësi do të përqendrohem në një përkufizim.

Cili është ndryshimi midis një funksioni të ndryshueshëm kompleks?

Dallimi kryesor: numrat kompleks. Nuk po ironizoj. Pyetje të tilla shpesh i lënë njerëzit në hutim; në fund të artikullit do t'ju tregoj një histori qesharake. Në mësim Numrat kompleksë për dummies kemi konsideruar një numër kompleks në formën . Që tani shkronja "z" është bërë e ndryshueshme, atëherë do ta shënojmë si më poshtë: , ndërsa “x” dhe “y” mund të marrin të ndryshme e vlefshme kuptimet. Përafërsisht, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga variablat dhe , të cilat marrin vlera "të zakonshme". Nga ky fakt Pika e mëposhtme vijon logjikisht:

Funksioni i një ndryshoreje komplekse mund të shkruhet si:
, ku dhe janë dy funksione të dy e vlefshme variablat.

Funksioni thirret pjesë reale funksione
Funksioni thirret pjesë imagjinare funksione

Domethënë, funksioni i një ndryshoreje komplekse varet nga dy funksione reale dhe . Për të sqaruar më në fund gjithçka, le të shohim shembuj praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ndryshorja e pavarur "zet", siç e mbani mend, shkruhet në formën, pra:

(1) V funksion origjinal i kornizuar

(2) Për termin e parë, u përdor formula e shkurtuar e shumëzimit. Në terma janë hapur kllapat.

(3) Me kujdes katror, duke mos harruar këtë

(4) Rirregullimi i termave: fillimisht i rishkruajmë termat , në të cilën nuk ka një njësi imagjinare(grupi i parë), pastaj termat ku ka (grupi i dytë). Duhet të theksohet se përzierja e termave nuk është e nevojshme dhe ky hap mund të anashkalohet (duke e bërë në fakt me gojë).

(5) Për grupin e dytë e nxjerrim nga kllapa.

Si rezultat, funksioni ynë doli të përfaqësohej në formë

Përgjigje:
– pjesë reale e funksionit.
– pjesë imagjinare e funksionit.

Çfarë lloj funksionesh kanë dalë të jenë këto? Funksionet më të zakonshme të dy variablave nga të cilat mund të gjeni të tilla të njohura derivatet e pjesshme. Pa mëshirë do ta gjejmë. Por pak më vonë.

Shkurtimisht, algoritmi për problemin e zgjidhur mund të shkruhet si më poshtë: zëvendësojmë , në funksionin origjinal, kryejmë thjeshtime dhe ndajmë të gjithë termat në dy grupe - pa një njësi imagjinare (pjesa reale) dhe me një njësi imagjinare (pjesa imagjinare) .

Shembulli 2

Gjeni pjesën reale dhe imagjinare të funksionit

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Përpara se të nxitoni në betejë në aeroplanin kompleks me damë të tërhequr, më lejoni t'ju jap më shumë këshilla të rëndësishme në këtë temë:

BEJ KUJDES! Duhet të jeni të kujdesshëm, natyrisht, kudo, por në numra komplekse duhet të jeni më të kujdesshëm se kurrë! Mos harroni se, hapni me kujdes kllapat, mos humbisni asgjë. Sipas vëzhgimeve të mia, gabimi më i zakonshëm është humbja e një shenje. Mos u ngut!

Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Tani kubi. Duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit, ne nxjerrim:
.

Formulat janë shumë të përshtatshme për t'u përdorur në praktikë, pasi ato shpejtojnë ndjeshëm procesin e zgjidhjes.

Diferencimi i funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Kam dy lajme: të mira dhe të këqija. Do të filloj me atë të mirën. Për një funksion të një ndryshoreje komplekse vlejnë rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Kështu, derivati merret në të njëjtën mënyrë si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje reale.

Lajm i keqështë se për shumë funksione të një ndryshoreje komplekse derivati nuk ekziston fare dhe duhet kuptuar a është i diferencueshëm një funksion apo një tjetër. Dhe "të kuptuarit" se si ndihet zemra juaj shoqërohet me probleme shtesë.

Le të shqyrtojmë funksionin e një ndryshoreje komplekse. Në mënyrë që këtë funksion ishte i diferencueshëm i nevojshëm dhe i mjaftueshëm:

1) Kështu që ekzistojnë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Harrojini këto shënime menjëherë, pasi në teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse përdoret tradicionalisht një shënim i ndryshëm: .

2) Për të kryer të ashtuquajturat Kushtet e Cauchy-Riemann:

Vetëm në këtë rast derivati do të ekzistojë!

Shembulli 3

Zgjidhje ndahet në tre faza të njëpasnjëshme:

1) Le të gjejmë pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kjo detyrë u diskutua në shembujt e mëparshëm, kështu që unë do ta shkruaj pa koment:

Që atëherë:

Kështu:

– pjesë imagjinare e funksionit.

Unë do të ndalem në një tjetër pikë teknike: në çfarë rendi shkruani termat në pjesët reale dhe imagjinare? Po, në parim, nuk ka rëndësi. Për shembull, pjesa reale mund të shkruhet kështu: , dhe ajo imagjinare – si kjo: .

2) Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Janë dy prej tyre.

Le të fillojmë duke kontrolluar gjendjen. Ne gjejme derivatet e pjesshme:

Kështu, kushti është i plotësuar.

Sigurisht, lajmi i mirë është se derivatet e pjesshme janë pothuajse gjithmonë shumë të thjeshta.

Ne kontrollojmë përmbushjen e kushtit të dytë:

Rezultati është i njëjtë, por me shenja të kundërta, pra plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm.

3) Le të gjejmë derivatin e funksionit. Derivati është gjithashtu shumë i thjeshtë dhe gjendet sipas rregullave të zakonshme:

Njësia imagjinare konsiderohet konstante gjatë diferencimit.

Përgjigje: - pjesa reale, – pjesa imagjinare.
Kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur,.

Ka dy mënyra të tjera për të gjetur derivatin, ato, natyrisht, përdoren më rrallë, por informacioni do të jetë i dobishëm për të kuptuar mësimin e dytë - Si të gjeni një funksion të një ndryshoreje komplekse?

Derivati mund të gjendet duke përdorur formulën:

NË në këtë rast:

Kështu

Ne duhet të zgjidhim problemin e kundërt - në shprehjen që rezulton duhet të izolojmë . Për ta bërë këtë, është e nevojshme në terma dhe jashtë kllapave:

Veprimi i kundërt, siç kanë vënë re shumë, është disi më i vështirë për t'u kryer; për të kontrolluar, është gjithmonë më mirë të merret shprehja në një draft ose të hapni me gojë kllapat prapa, duke u siguruar që rezultati të jetë saktësisht

Formula e pasqyrës për gjetjen e derivatit:

Në këtë rast: , Kjo është arsyeja pse:

Shembulli 4

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Nëse plotësohen kushtet Cauchy-Riemann, gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhje e Shpejtë Dhe mostër e përafërt duke përfunduar në fund të mësimit.

A përmbushen gjithmonë kushtet Cauchy-Riemann? Teorikisht, ato nuk plotësohen më shpesh sesa përmbushen. Por në shembuj praktik Nuk mbaj mend një rast kur ato nuk janë përmbushur =) Kështu, nëse derivatet tuaja të pjesshme "nuk konvergojnë", atëherë me një probabilitet shumë të lartë mund të thoni se keni bërë një gabim diku.

Le të komplikojmë funksionet tona:

Shembulli 5

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Llogaritni

Zgjidhja: Algoritmi i zgjidhjes ruhet plotësisht, por në fund do të shtohet një pikë e re: gjetja e derivatit në një pikë. Për kub formula e kërkuar tashmë të shtypura:

Le të përcaktojmë pjesët reale dhe imagjinare të këtij funksioni:

Përsëri vëmendje dhe vëmendje!

Që atëherë:

Kështu:
– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Kontrollimi i kushtit të dytë:

Rezultati është i njëjtë, por me shenja të kundërta, pra plotësohet edhe kushti.

Kushtet Cauchy-Riemann plotësohen, prandaj funksioni është i diferencueshëm:

Le të llogarisim vlerën e derivatit në pikën e kërkuar:

Përgjigje:, , kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur,

Funksionet me kube janë të zakonshme, kështu që këtu është një shembull për t'u përforcuar:

Shembulli 6

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Llogaritni.

Zgjidhja dhe shembulli i përfundimit në fund të orës së mësimit.

Në teorinë e analizës komplekse përcaktohen edhe funksionet e tjera të argumentit kompleks: eksponenti, sinusi, kosinusi etj. Këto funksione kanë veti të pazakonta dhe madje të çuditshme - dhe kjo është vërtet interesante! Unë me të vërtetë dua t'ju them, por këtu, siç ndodh, nuk është një libër referimi ose tekst shkollor, por një libër zgjidhjesh, kështu që do të shqyrtoj të njëjtin problem me disa funksione të zakonshme.

Së pari për të ashtuquajturin formulat e Euler-it:

Për këdo e vlefshme numrat, formulat e mëposhtme janë të vlefshme:

Ju gjithashtu mund ta kopjoni atë në fletoren tuaj si material referimi.

Në mënyrë të rreptë, ekziston vetëm një formulë, por për lehtësi ata zakonisht shkruajnë rast i veçantë me një minus në tregues. Parametri nuk duhet të jetë një shkronjë e vetme; mund të jetë shprehje komplekse, funksionin, është e rëndësishme vetëm që ata të pranojnë vetëm e vlefshme kuptimet. Në fakt, ne do ta shohim këtë tani:

Shembulli 7

Gjeni derivatin.

Zgjidhja: Linja e përgjithshme e partisë mbetet e palëkundur - është e nevojshme të dallohen pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Unë do t'ju sjell zgjidhje e detajuar, dhe më poshtë do të komentoj për çdo hap:

Që atëherë:

(1) Zëvendësoni "z" në vend.

(2) Pas zëvendësimit, duhet të zgjidhni pjesët reale dhe imagjinare e para në tregues ekspozuesit. Për ta bërë këtë, hapni kllapat.

(3) Ne grupojmë pjesën imagjinare të treguesit, duke e vendosur njësinë imagjinare jashtë kllapave.

(4) Ne përdorim veprimin e shkollës me gradë.

(5) Për shumëzuesin përdorim formulën e Euler-it, dhe .

(6) Hapni kllapat, duke rezultuar në:

– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Veprime të mëtejshme janë standarde, le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann:

Shembulli 9

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të një funksioni . Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann. Kështu qoftë, ne nuk do ta gjejmë derivatin.

Zgjidhja: Algoritmi i zgjidhjes është shumë i ngjashëm me dy shembujt e mëparshëm, por ka shumë pika të rëndësishme, Kjo është arsyeja pse Faza e parë Unë do të komentoj përsëri hap pas hapi:

Që atëherë:

1) Zëvendësoni "z" në vend.

(2) Së pari, ne zgjedhim pjesët reale dhe imagjinare brenda sinusit. Për këto qëllime, ne hapim kllapat.

(3) Ne përdorim formulën, dhe .

(4) Përdorimi barazia e kosinusit hiperbolik: Dhe çuditshmëria e sinusit hiperbolik: . Hiperbolikët, edhe pse jashtë kësaj bote, në shumë mënyra të kujtojnë funksione të ngjashme trigonometrike.

Përfundimisht:
– pjesa reale e funksionit;
– pjesë imagjinare e funksionit.

Kujdes! Shenja minus i referohet pjesës imagjinare dhe në asnjë rrethanë nuk duhet ta humbim atë! Për një ilustrim të qartë, rezultati i marrë më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann:

Kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqura.

Përgjigje:, , kushtet Cauchy-Riemann janë të kënaqur.

Zonja dhe zotërinj, le ta kuptojmë vetë:

Shembulli 10

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann.

Zgjodha qëllimisht shembuj më të vështirë, sepse të gjithë duket se janë në gjendje të përballojnë diçka, si kikirikët me lëvozhgë. Në të njëjtën kohë, ju do të stërvitni vëmendjen tuaj! Thyerja e arrave në fund të mësimit.

Epo, në përfundim, do të shqyrtoj një tjetër shembull interesant, kur argumenti kompleks është në emërues. Ka ndodhur disa herë në praktikë, le të shohim diçka të thjeshtë. Eh po plakem...

Shembulli 11

Përcaktoni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit. Kontrolloni përmbushjen e kushteve Cauchy-Riemann.

Zgjidhja: Përsëri është e nevojshme të dallohen pjesët reale dhe imagjinare të funksionit.
Nese atehere

Shtrohet pyetja, çfarë të bëjmë kur "Z" është në emërues?

Gjithçka është e thjeshtë - standardi do të ndihmojë Metoda e shumëzimit të numëruesit dhe emëruesit me shprehjen e konjuguar, tashmë është përdorur në shembujt e mësimit Numrat kompleksë për dummies. Le të kujtojmë formulën e shkollës. Tashmë kemi në emërues, që do të thotë se shprehja e konjuguar do të jetë . Kështu, ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me:

Ku
janë numra realë, dhe - karakter të veçantë që quhet njësi imagjinare . Për një njësi imagjinare, sipas përkufizimit supozohet se
.

(4.1) – formë algjebrike numër kompleks dhe
thirrur pjesë reale numër kompleks dhe
-pjesë imagjinare .

Numri
thirrur konjuguar kompleks tek numri
.

Le të jepen dy numra kompleks
,
.

1. Shuma
numra komplekse Dhe quhet numër kompleks

2. Nga dallimi
numra komplekse Dhe quhet numër kompleks

3. Puna
numra komplekse Dhe quhet numër kompleks

4. Privat nga pjesëtimi i një numri kompleks në një numër kompleks
quhet numër kompleks

Vërejtje 4.1. Kjo do të thotë, veprimet mbi numrat kompleks paraqiten sipas rregullave të zakonshme të veprimeve aritmetike në shprehje fjalë për fjalë në algjebër.

Shembulli 4.1. Janë dhënë numrat kompleks. Gjej

Zgjidhje. 1) .

4) Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugatin kompleks të emëruesit, marrim

Forma trigonometrike numri kompleks:

Ku
- moduli i një numri kompleks,
është argumenti i një numri kompleks. Këndi jo të përcaktuara në mënyrë unike, deri në një term
:

,
.

- vlera kryesore e argumentit, e përcaktuar nga kushti

, (ose
).

Forma demonstrative numri kompleks:

Rrënja
fuqia e numrit Ajo ka vlera të ndryshme, të cilat gjenden nga formula

Ku
.

Pikat që korrespondojnë me vlerat
, janë kulmet e së saktës
një katror i gdhendur në një rreth me rreze
me qendër në origjinë.

Shembulli 4.2. Gjeni të gjitha vlerat e rrënjës
.

Zgjidhje. Le të imagjinojmë një numër kompleks
në formë trigonometrike:

, ku
.

Pastaj
. Prandaj, sipas formulës (4.2)
ka katër kuptime:

,
.

Duke besuar
, ne gjejme

,
,

, .

Këtu ne konvertuam vlerat e argumentit në vlerën e tij kryesore.

Vendos në planin kompleks

Numri kompleks
përshkruar në një avion
pika
me koordinata
. Moduli
dhe argumenti
korrespondojnë me koordinatat polare të pikës
.

Është e dobishme të mbani mend këtë pabarazi
përcakton një rreth me qendër në një pikë rreze . Pabarazia
përcakton një gjysmërrafsh të vendosur në të djathtë të vijës së drejtë
, dhe pabarazia
- gjysmë rrafsh i vendosur mbi vijën e drejtë
. Përveç kësaj, sistemi i pabarazive
vendos këndin ndërmjet rrezeve
Dhe
që buron nga origjina.

Shembulli 4.3. Vizatoni sipërfaqen e përcaktuar nga pabarazitë:
.

Zgjidhje. Pabarazia e parë korrespondon me një unazë me qendër në pikë
dhe dy rreze 1 dhe 2, rrathët nuk përfshihen në zonë (Fig. 4.1).

Pabarazia e dytë korrespondon me këndin midis rrezeve
(përgjysmues i këndit të 4 koordinativ) dhe
(drejtimi i boshtit pozitiv
). Vetë rrezet nuk hyjnë në rajon (Fig. 4.2).

Zona e dëshiruar është kryqëzimi i dy zonave të marra (Fig. 4.3)

4.2. Funksionet e një ndryshoreje komplekse

Le të funksionojë me vlerë të vetme
të përcaktuara dhe të vazhdueshme në rajon
, A - kurba e lëmuar pjesë-pjesë e orientuar e mbyllur ose jo e mbyllur e shtrirë
. Le, si zakonisht,
,, Ku
,
- funksionet reale të ndryshoreve Dhe .

Llogaritja e integralit të një funksioni
ndryshore komplekse zvogëlohet në llogaritjen e integraleve të zakonshme kurvilineare, përkatësisht

Nëse funksioni
analitike në një domen të lidhur thjesht
, që përmban pika Dhe , atëherë formula Njuton-Leibniz vlen:

Ku
- disa antiderivativë për funksionin
, kjo eshte
në zonë
.

Në integralet e funksioneve të një ndryshoreje komplekse, mund të bëhet një ndryshim i ndryshores, dhe integrimi sipas pjesëve është i ngjashëm me mënyrën se si bëhet kur llogariten integralet e funksioneve të një ndryshoreje reale.

Vini re gjithashtu se nëse rruga e integrimit është pjesë e një linje që buron nga një pikë , ose pjesë e një rrethi me qendër në një pikë , atëherë është e dobishme të bëhet një zëvendësim i ndryshueshëm i formularit
. Në rastin e parë
, A - variabli real i integrimit; në rastin e dytë
, A - variabli real i integrimit.

Shembulli 4.4. Llogaritni
me parabolë
nga pika
drejt e në temë
(Figura 4.4).

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë integranin në formë

Pastaj
,
. Le të zbatojmë formulën (4.3):

Sepse
, Kjo
,
. Kjo është arsyeja pse

Shembulli 4.5. Llogarit integralin
, Ku - harku i një rrethi
,
(Fig. 4.5) .

Zgjidhje. Le të themi
, Pastaj
,
,
. Ne marrim:

Funksioni
, me një vlerë dhe analitike në ring
, zbërthehet në këtë unazë në Seriali Laurent

Në formulën (4.5) seria
thirrur Pjesa kryesore Seriali i Laurent dhe seriali
thirrur pjesa e duhur Seriali Laurent.

Përkufizimi 4.1. Pika thirrurpikë njëjës e izoluar funksione
, nëse ka një fqinjësi të kësaj pike në të cilën funksionon
analitike kudo përveç vetë pikës .

Funksioni
në afërsi të një pike mund të zgjerohet në një seri Laurent. Në këtë rast, tre raste të ndryshme janë të mundshme kur seria Laurent:

1) nuk përmban terma me fuqi negative të diferencës
, kjo eshte

(Seriali i Laurent nuk përmban pjesën kryesore). Në këtë rast thirrur pikë njëjës e lëvizshme funksione
;

2) përmban një numër të kufizuar termash me fuqi negative të diferencës
, kjo eshte

dhe
. Në këtë rast, pika thirrur poli i rendit funksione
;

3) përmban numër i pafund terma me gradë negative:

Në këtë rast, pika thirrur në thelb një pikë e veçantë funksione
.

Kur përcaktoni karakterin e një pike të veçuar njëjës, nuk është e nevojshme të kërkoni një zgjerim të serisë Laurent. Ju mund të përdorni veti të ndryshme të pikave të veçuara njëjës.

1) është një pikë singulare e lëvizshme e funksionit
, nëse ka një kufi të kufizuar të funksionit
në pikën :

2) është një pol i funksionit
, Nëse

3) është një pikë në thelb njëjës e funksionit
, nëse në
një funksion nuk ka kufi, as të fundëm as të pafund.

Përkufizimi 4.2. Pika thirrurzero
Porosia e pare (ose shumësi ) funksione
, nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

…,

.

Vërejtje 4.2. Pika nëse dhe vetëm nëse është zero
Porosia e pare funksione
, kur në ndonjë lagje të kësaj pike barazia vlen

ku është funksioni
analitike në një pikë Dhe

4) pikë është poli i rendit (
) funksione
, nëse kjo pikë është rend zero për funksionin
.

5) le - pikë e veçuar njëjës e një funksioni
, Ku
- funksionet analitike në një pikë . Dhe lëreni pikën është rend zero funksione
dhe rendit zero funksione
.

Në
pika është poli i rendit
funksione
.

Në
pika është një pikë singulare e lëvizshme e funksionit
.

Shembulli 4.6. Gjeni pika të izoluara dhe përcaktoni llojin e tyre për një funksion
.

Zgjidhje. Funksione
Dhe
- analitike në të gjithë rrafshin kompleks. Kjo do të thotë se pikat singulare të funksionit
janë zerot e emëruesit, pra pikat ku
. Ka pafundësisht shumë pika të tilla. Para së gjithash, kjo është pika
, si dhe pikat që kënaqin ekuacionin
. Nga këtu
Dhe
.

Merrni parasysh pikën
. Në këtë pikë marrim:

,
,

,
.

Rendi i zeros është
.

,
,

,
.

Pra, periudha
është një pol i rendit të dytë (
).

. Pastaj

,
.

Rendi i numëruesit zero është
.

,
,
.

Rendi zero i emëruesit është
. Prandaj, pikat
në
janë pole të rendit të parë ( shtylla të thjeshta ).

Teorema 4.1. (Teorema e Cauchy-t mbi mbetjet ). Nëse funksioni
është analitike në kufi Rajon
dhe kudo brenda rajonit, përveç një numri të kufizuar pikash njëjës
, Kjo

Gjatë llogaritjes së integraleve, ia vlen të gjejmë me kujdes të gjitha pikat singulare të funksionit
, pastaj vizatoni pikat e konturit dhe njëjës, dhe pas kësaj zgjidhni vetëm ato pika që bien brenda konturit të integrimit. Bërja e zgjedhjes së duhur pa një foto është shpesh e vështirë.

Metoda për llogaritjen e zbritjes
varet nga lloji i pikës njëjës. Prandaj, para se të llogaritni mbetjen, duhet të përcaktoni llojin e pikës së vetme.

1) mbetje e një funksioni në një pikë e barabartë me koeficientin për minus shkallën e parë në zgjerimin Laurent
në afërsi të një pike :

Ky pohim është i vërtetë për të gjitha llojet e pikave të izoluara, dhe për këtë arsye në këtë rast nuk është e nevojshme të përcaktohet lloji i një pike njëjës.

2) mbetja në një pikë njëjës të lëvizshme është e barabartë me zero.

3) nëse është një pol i thjeshtë (pol i rendit të parë), dhe funksioni
mund të paraqitet në formë
, Ku
,
(vini re se në këtë rast
), atëherë mbetja është në pikën barazohet

Në veçanti, nëse
, Kjo
.

4) nëse - shtyllë e thjeshtë, atëherë

5) nëse - shtyllë
funksioni i rendit të th
, Kjo

Shembulli 4.7. Llogarit integralin
.

Zgjidhje. Gjetja e pikave njëjës të integrandit
. Funksioni
ka dy pika njëjës
Dhe
Vetëm një pikë bie brenda konturit
(Fig. 4.6). Pika
- pol i rendit të dytë, që
është një zero e shumëfishit 2 për funksionin
.

Pastaj, duke përdorur formulën (4.7), gjejmë mbetjen në këtë pikë:

Nga teorema 4.1 ne gjejmë

Agjencia Federale për Arsimin

___________________________________

Shteti i Shën Petersburgut

Universiteti Elektroteknik "LETI"

_______________________________________

Teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse

Udhëzimet

në klasa praktike

në matematikën e lartë

Shën Petersburg

Shtëpia botuese SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: Udhëzime metodologjike për zgjidhjen e problemeve / përpiluar nga: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky. Shën Petersburg: Shtëpia botuese e Universitetit Shtetëror Elektroteknik të Shën Petersburgut "LETI", 2010. 32 f.

Miratuar

Këshilli Redaktues dhe Botues i Universitetit

si udhëzimet metodologjike

Funksionet e një ndryshoreje komplekse ,, in rast i përgjithshëm ndryshojnë nga hartat reale të planit
në vetvete vetëm nga forma e regjistrimit. Një objekt i rëndësishëm dhe jashtëzakonisht i dobishëm është klasa e funksioneve të një ndryshoreje komplekse,

që ka të njëjtin derivat si funksionet e një ndryshoreje. Dihet që funksionet e disa ndryshoreve mund të kenë derivate të pjesshëm dhe derivate të drejtimit, por, si rregull, derivate në lidhje me drejtime të ndryshme nuk përkojnë dhe nuk është e mundur të flitet për derivatin në një pikë. Megjithatë, për funksionet e një ndryshoreje komplekse është e mundur të përshkruhen kushtet në të cilat ato lejojnë diferencimin. Studimi i vetive të funksioneve të diferencueshme të një ndryshoreje komplekse është përmbajtja e udhëzimeve metodologjike. Udhëzimet synojnë të demonstrojnë se si vetitë e funksioneve të tilla mund të përdoren për të zgjidhur një sërë problemesh. Zotërimi i suksesshëm i materialit të paraqitur është i pamundur pa aftësi bazë në llogaritjet me numra kompleks dhe njohje me objektet më të thjeshta gjeometrike, të përcaktuara në terma të pabarazive që lidhin pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks, si dhe modulin dhe argumentimin e tij. Një përmbledhje e të gjithë informacionit të nevojshëm për këtë mund të gjendet në udhëzimet.

Aparati standard i analizës matematikore: kufijtë, derivatet, integralet, seritë përdoret gjerësisht në tekstin e udhëzimeve. Aty ku këto koncepte kanë specifikat e tyre, në krahasim me funksionet e një ndryshoreje jepen shpjegimet e duhura, por në të shumtën e rasteve mjafton të veçohen pjesët reale dhe imagjinare dhe të zbatohet aparati standard i analizës reale.

1. Funksionet elementare të një ndryshoreje komplekse

Është e natyrshme të fillohet një diskutim i kushteve për diferencimin e funksioneve të një ndryshoreje komplekse duke zbuluar se cilët funksione elementare e kanë këtë veti. Nga lidhja e dukshme

Nga kjo rrjedh se çdo polinom është i diferencueshëm. Dhe, meqenëse një seri fuqie mund të diferencohet term pas termi brenda rrethit të saj të konvergjencës,

atëherë çdo funksion është i diferencueshëm në pikat në afërsi të të cilave mund të zgjerohet në një seri Taylor. Ky është një kusht i mjaftueshëm, por, siç do të bëhet e qartë së shpejti, është gjithashtu i nevojshëm. Është i përshtatshëm për të mbështetur studimin e funksioneve të një ndryshore në lidhje me derivatin e tyre duke monitoruar sjelljen e grafikut të funksionit. Kjo nuk është e mundur për funksionet e një ndryshoreje komplekse. Pikat e grafikut shtrihen në një hapësirë me dimension 4, .

Megjithatë, disa paraqitje grafike të funksionit mund të merren duke marrë parasysh imazhet e grupeve mjaft të thjeshta në planin kompleks.
, që lind nën ndikimin e një funksioni të caktuar. Për shembull, le të shqyrtojmë disa funksione të thjeshta nga ky këndvështrim.

Funksioni linear

Kjo funksione të thjeshtaështë shumë e rëndësishme, pasi çdo funksion i diferencueshëm është lokalisht i ngjashëm me një linear. Le të shqyrtojmë veprimin e funksionit në detaje maksimale

Këtu
-- moduli i një numri kompleks Dhe -- argumenti i tij. Kështu, funksioni linear kryen shtrirje, rrotullim dhe përkthim. Prandaj, një hartë lineare merr çdo grup në një grup të ngjashëm. Në veçanti, nën ndikimin e një harte lineare, vijat e drejta kthehen në vija të drejta dhe rrathët në rrathë.

Funksioni

Ky funksion është funksioni i radhës më i ndërlikuar pas linearit. Është e vështirë të pritet që ajo të transformojë çdo vijë në një vijë të drejtë dhe një rreth në një rreth; shembuj të thjeshtë tregojnë se kjo nuk ndodh, megjithatë, mund të tregohet se ky funksion e shndërron grupin e të gjitha vijave dhe rrathëve në vetë. Për ta verifikuar këtë, është e përshtatshme të shkoni te përshkrimi real (koordinativ) i hartës

Prova kërkon një përshkrim të hartës së kundërt

Merrni parasysh ekuacionin nëse
, atëherë marrim ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës. Nëse
, Kjo

Prandaj, kur
fitohet ekuacioni i një rrethi arbitrar.

Vini re se nëse
Dhe
, atëherë rrethi kalon nëpër origjinë. Nëse
Dhe
, atëherë ju merrni një vijë të drejtë që kalon përmes origjinës.

Nën veprimin e përmbysjes, ekuacioni në shqyrtim do të rishkruhet në formë

, (
)

ose . Mund të shihet se ky është gjithashtu një ekuacion që përshkruan ose rrathë ose vija të drejta. Fakti që koeficientët në ekuacion Dhe
Vendet e ndërruara do të thotë që gjatë përmbysjes, vijat e drejta që kalojnë nëpër 0 do të kthehen në rrathë dhe rrathët që kalojnë nëpër 0 do të kthehen në vija të drejta.

Funksionet e fuqisë

Dallimi kryesor midis këtyre funksioneve dhe atyre të diskutuar më parë është se ato nuk janë një për një (
). Mund të themi se funksioni
transformon një plan kompleks në dy kopje të të njëjtit plan. Një trajtim i saktë i kësaj teme kërkon përdorimin e aparatit të rëndë të sipërfaqeve Riemann dhe shkon përtej fushëveprimit të çështjeve të shqyrtuara këtu. Është e rëndësishme të kuptohet se plani kompleks mund të ndahet në sektorë, secili prej të cilëve është një-për-një i hartuar në planin kompleks. Ky është ndarja për funksionin
duket kështu. Për shembull, gjysma e sipërme është një-për-një e hartuar në planin kompleks nga funksioni
. Shtrembërimet gjeometrike për imazhe të tilla janë më të vështira për t'u përshkruar sesa në rastin e përmbysjes. Si ushtrim, mund të gjurmoni se në çfarë shndërrohet rrjeti i koordinatave drejtkëndore të gjysmëplanit të sipërm kur shfaqet

Mund të shihet se rrjeti i koordinatave drejtkëndëshe shndërrohet në një familje parabolash që formojnë një sistem të koordinatave të lakuara në rrafsh.
. Ndarja e planit të përshkruar më sipër është e tillë që funksioni
shfaq secilin prej sektorë në të gjithë rrafshin. Përshkrimi i hartës përpara dhe të kundërt duket si ky

Pra funksioni
Ajo ka funksione të ndryshme të anasjellta,

të specifikuara në sektorë të ndryshëm të avionit

Në raste të tilla, hartëzimi thuhet se është me shumë fletë.

Funksioni i Zhukovsky

Funksioni ka emrin e vet, pasi formoi bazën e teorisë së krahut të avionit të krijuar nga Zhukovsky (një përshkrim i këtij dizajni mund të gjendet në libër). Funksioni ka një sërë veçorish interesante, le të përqendrohemi në njërën prej tyre - zbuloni se në cilat grupe vepron ky funksion një-për-një. Merrni parasysh barazinë

, ku
.

Rrjedhimisht, funksioni Zhukovsky është një-për-një në çdo fushë në të cilën për ndonjë Dhe produkti i tyre nuk është i barabartë me një. Këto janë, për shembull, rrethi i njësisë së hapur
dhe komplementi i rrethit njësi të mbyllur
.

Merrni parasysh veprimin e funksionit Zhukovsky në një rreth, atëherë

Duke ndarë pjesët reale dhe imagjinare, marrim ekuacionin parametrik të elipsës

,
.

Nëse
, atëherë këto elipsa mbushin të gjithë rrafshin. Mund të verifikohet në mënyrë të ngjashme që imazhet e segmenteve janë hiperbola

Funksioni eksponencial

Funksioni mund të zgjerohet në një seri fuqie që është absolutisht konvergjente në të gjithë planin kompleks; prandaj, është i diferencueshëm kudo. Le të përshkruajmë grupet në të cilat funksioni është një-për-një. Barazi e dukshme
tregon se rrafshi mund të ndahet në një familje shiritash, secila prej të cilave është hartuar një me një nga një funksion në të gjithë planin kompleks. Kjo ndarje është thelbësore për të kuptuar se si funksionon funksioni i kundërt, më saktë funksionet e anasjellta. Në secilën prej shiritave ka një hartë të anasjelltë të përcaktuar natyrshëm