– un circuit electric format dintr-un condensator conectat în serie cu o capacitate, o bobină cu o inductanță și o rezistență electrică.
Circuit oscilator ideal- un circuit format doar dintr-un inductor (fără rezistență proprie) și un condensator (-circuit). Apoi, într-un astfel de sistem, se mențin oscilațiile electromagnetice neamortizate ale curentului din circuit, tensiunea de pe condensator și sarcina condensatorului. Să ne uităm la circuit și să ne gândim de unde provin vibrațiile. Să fie plasat un condensator încărcat inițial în circuitul pe care îl descriem.
Orez. 1. Circuit oscilator
În momentul inițial de timp, toată sarcina este concentrată pe condensator, nu există curent pe bobină (Fig. 1.1). Deoarece pe plăcile condensatoarelor câmp extern nici nu, atunci electronii de pe plăci încep să „plece” în circuit (sarcina condensatorului începe să scadă). În același timp (datorită electronilor eliberați) crește curentul din circuit. Direcția curentului, în în acest caz,, de la plus la minus (totuși, ca întotdeauna), iar condensatorul este o sursă curent alternativ pentru acest sistem. Cu toate acestea, pe măsură ce curentul din bobină crește, ca urmare a , apare un curent de inducție inversă (). Direcția curentului de inducție, conform regulii lui Lenz, ar trebui să niveleze (redu) creșterea curentului principal. Când sarcina condensatorului devine zero (întreaga sarcină se scurge), puterea curentului de inducție în bobină va deveni maximă (Fig. 1.2).
Cu toate acestea, sarcina curentă din circuit nu poate dispărea (legea conservării sarcinii), apoi această sarcină, care a lăsat o placă prin circuit, a ajuns pe cealaltă placă. Astfel, condensatorul este reîncărcat reversul(Fig. 1.3). Curent de inducție pe bobină scade la zero, deoarece modificarea fluxului magnetic tinde de asemenea spre zero.
La incarcat complet a condensatorului, electronii încep să se miște în direcția opusă, adică. condensatorul se descarcă în sens opus și ia naștere un curent care atinge maximul la descărcare completă condensator (fig. 1.4).
Încărcarea inversă suplimentară a condensatorului aduce sistemul în poziția din Figura 1.1. Acest comportament al sistemului se repetă la infinit. Așa că obținem leagănul diverși parametri sisteme: curent în bobină, sarcină pe condensator, tensiune pe condensator. Dacă circuitul și firele sunt ideale (fără rezistență intrinsecă), aceste oscilații sunt .
Pentru o descriere matematică a acestor parametri ai acestui sistem (în primul rând perioada vibratii electromagnetice) este introdus calculat înaintea noastră formula lui Thomson:
Contur imperfect este în continuare același circuit ideal pe care l-am considerat, cu o mică includere: cu prezența rezistenței (-circuit). Această rezistență poate fi fie rezistența bobinei (nu este ideală), fie rezistența firelor conductoare. Logica generală a apariției oscilațiilor într-un circuit non-ideal este similară cu cea dintr-un circuit ideal. Singura diferență este în vibrațiile în sine. Dacă există rezistență, o parte din energie va fi disipată mediu inconjurator- rezistența se va încălzi, apoi energia circuitului oscilator va scădea și oscilațiile în sine vor deveni decolorare.
Pentru a lucra cu circuite la școală, se folosește doar logica energetică generală. În acest caz, presupunem că energia totală a sistemului este inițial concentrată pe și/sau , și este descrisă.
Un câmp electromagnetic poate exista în absența sarcinilor electrice sau a curenților: tocmai aceste câmpuri electrice și magnetice „auto-susținute” constituie undele electromagnetice, care includ lumina vizibilă, infraroșu, ultraviolete și radiații cu raze X, unde radio etc.
§ 25. Circuit oscilator
Cel mai simplu sistem, în care sunt posibile oscilații electromagnetice naturale, este așa-numitul circuit oscilator, format dintr-un condensator și un inductor conectați unul la altul (Fig. 157). Ca un oscilator mecanic, de exemplu un corp masiv pe un arc elastic, oscilațiile naturale din circuit sunt însoțite de transformări de energie.
Orez. 157. Circuit oscilator
Analogie între vibrațiile mecanice și electromagnetice. Pentru un circuit oscilator, un analog al energiei potențiale a unui oscilator mecanic (de exemplu, energia elastică a unui arc deformat) este energia câmpului electric dintr-un condensator. Un analog al energiei cinetice a unui corp în mișcare este energia camp magneticîn inductor. De fapt, energia arcului este proporțională cu pătratul deplasării din poziția de echilibru, iar energia condensatorului este proporțională cu pătratul sarcinii.Energia cinetică a unui corp este proporțională cu pătratul vitezei sale și energia câmpului magnetic din bobină este proporțională cu pătratul curentului.
Energia mecanică totală a oscilatorului cu arc E este egală cu suma energiilor potențiale și cinetice:
Energia vibrațiilor.În mod similar, energia electromagnetică totală a circuitului oscilator este egală cu suma energiilor câmpului electric din condensator și ale câmpului magnetic din bobină:
Dintr-o comparație a formulelor (1) și (2) rezultă că analogul rigidității k a unui oscilator cu arc într-un circuit oscilator este inversul capacității C, iar analogul masei este inductanța bobinei.
Să ne amintim că în sistem mecanic, a cărui energie este dată de expresia (1), proprie neamortizată vibratii armonice. Pătratul frecvenței unor astfel de oscilații egal cu raportul coeficienți pentru pătratele deplasării și vitezei în expresia energiei:
Frecventa naturala.Într-un circuit oscilator, a cărui energie electromagnetică este dată de expresia (2), pot apărea propriile oscilații armonice neamortizate, al cărui pătrat al frecvenței este, de asemenea, egal cu raportul coeficienților corespunzători (adică, coeficienții pătratelor de sarcină și curent):
Din (4) urmează o expresie pentru perioada de oscilație, numită formula lui Thomson:
În timpul oscilațiilor mecanice, dependența deplasării x de timp este determinată de o funcție cosinus, al cărei argument se numește faza de oscilație:
Amplitudinea si faza initiala. Amplitudinea A și faza inițială a sunt determinate de condițiile inițiale, adică de valorile deplasării și vitezei la
În mod similar, cu oscilații naturale electromagnetice în circuit, sarcina condensatorului depinde de timp conform legii
unde frecvența este determinată, în conformitate cu (4), numai de proprietățile circuitului însuși, iar amplitudinea oscilațiilor de sarcină și faza inițială a, ca și cea a unui oscilator mecanic, sunt determinate
condițiile inițiale, adică valorile sarcinii condensatorului și intensității curentului la. Astfel, frecvența naturală nu depinde de metoda de excitare a oscilațiilor, în timp ce amplitudinea și faza inițială sunt determinate precis de condițiile de excitație.
Transformări energetice. Să luăm în considerare mai detaliat transformările de energie în timpul vibrațiilor mecanice și electromagnetice. În fig. 158 descrie schematic stările oscilatoarelor mecanice și electromagnetice la intervale de timp de un sfert de perioadă
Orez. 158. Transformări de energie în timpul vibrațiilor mecanice și electromagnetice
De două ori în timpul perioadei de oscilație, energia este convertită de la un tip la altul și înapoi. Energia totală a circuitului oscilator, ca și energia totală a unui oscilator mecanic, rămâne neschimbată în absența disipării. Pentru a verifica acest lucru, trebuie să înlocuiți expresia (6) și expresia pentru curent în formula (2)
Folosind formula (4) pentru obținem
Orez. 159. Grafice ale dependenței energiei câmpului electric al condensatorului și energiei câmpului magnetic din bobină de timpul de încărcare a condensatorului
Energia totală constantă coincide cu energia potențială în momentele în care sarcina de pe condensator este maximă și coincide cu energia câmpului magnetic al bobinei - energia "cinetică" - în momentele în care sarcina de pe condensator devine zero iar curentul este maxim. În timpul transformărilor reciproce, două tipuri de energie efectuează vibrații armonice cu aceeași amplitudine, defazate între ele și cu o frecvență relativă la valoarea lor medie. Acest lucru poate fi observat cu ușurință din fig. 158 și folosind formule pentru funcțiile trigonometrice ale unei jumătăți de argument:
În Fig. 159 pentru faza inițială
Legile cantitative ale oscilațiilor electromagnetice naturale pot fi stabilite direct pe baza legilor pentru curenții cvasi-staționari, fără a recurge la o analogie cu oscilațiile mecanice.
Ecuația oscilațiilor într-un circuit. Să considerăm cel mai simplu circuit oscilator prezentat în Fig. 157. Când ocoliți circuitul, de exemplu, în sens invers acelor de ceasornic, suma tensiunilor de pe inductor și condensator într-un astfel de circuit închis circuit în serie egal cu zero:
Tensiunea de pe condensator este legată de sarcina plăcii și de capacitatea. Cu relația Tensiunea la nivelul inductanței în orice moment de timp este egală ca mărime și semn opus cu femu-ul auto-inductiv, prin urmare, curentul în circuit egal cu viteza modificări ale sarcinii condensatorului: înlocuirea curentului în expresia pentru tensiunea pe inductor și notând derivata a doua a sarcinii condensatorului în raport cu timpul ca
Obținem Acum expresia (10) ia forma
Să rescriem această ecuație în mod diferit, introducând prin definiție:
Ecuația (12) coincide cu ecuația oscilațiilor armonice a unui oscilator mecanic cu o frecvență naturală Soluția unei astfel de ecuații este dată de o funcție de timp armonică (sinusoidală) (6) cu valori arbitrare ale amplitudinii și fazei inițiale. A. Aceasta implică toate rezultatele de mai sus referitoare la oscilațiile electromagnetice din circuit.
Atenuarea oscilațiilor electromagnetice. Până acum, au fost discutate vibrațiile naturale într-un sistem mecanic idealizat și un circuit LC idealizat. Idealizarea a constat în neglijarea frecării în oscilator și a rezistenței electrice în circuit. Numai în acest caz sistemul va fi conservator și energia de oscilație va fi conservată.
Orez. 160. Circuit oscilator cu rezistenţă
Disiparea energiei de oscilație în circuit poate fi luată în considerare în același mod ca și în cazul unui oscilator mecanic cu frecare. Prezența rezistenței electrice a bobinei și a firelor de conectare este inevitabil asociată cu eliberarea de căldură Joule. Ca și până acum, această rezistență poate fi considerată ca un element independent în schema electrica circuit oscilator, considerând bobina și firele ideale (Fig. 160). Când se ia în considerare un curent cvasi-staționar într-un astfel de circuit, este necesar să se adauge tensiunea peste rezistența la ecuația (10)
Înlocuind, obținem
Introducerea denumirilor
rescriem ecuația (14) sub forma
Ecuația (16) pentru are exact aceeași formă ca ecuația pentru când un oscilator mecanic oscilează cu
frecare proporţională cu viteza (frecare vâscoasă). Prin urmare, în prezența rezistenței electrice în circuit, oscilațiile electromagnetice apar după aceeași lege ca și oscilațiile mecanice ale unui oscilator cu frecare vâscoasă.
Disiparea energiei de vibrație. Ca și în cazul vibrațiilor mecanice, este posibil să se stabilească legea scăderii energiei vibrațiilor naturale în timp prin aplicarea legii Joule-Lenz pentru a calcula căldura degajată:
Ca urmare, în cazul unei atenuări mici pentru intervale de timp mult mai mari decât perioada de oscilație, rata de scădere a energiei de oscilație se dovedește a fi proporțională cu energia însăși:
Soluția ecuației (18) are forma
Energia oscilațiilor electromagnetice naturale într-un circuit cu rezistență scade conform unei legi exponențiale.
Energia oscilațiilor este proporțională cu pătratul amplitudinii lor. Pentru oscilațiile electromagnetice, aceasta rezultă, de exemplu, din (8). Prin urmare, amplitudinea oscilațiilor amortizate, în conformitate cu (19), scade conform legii
Durata de viață a oscilațiilor. După cum se poate observa din (20), amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor de timp egal cu, indiferent de valoarea initiala amplitudini Acest timp x se numește durata de viață a oscilațiilor, deși, după cum se poate observa din (20), oscilațiile continuă formal la nesfârșit. În realitate, desigur, are sens să vorbim despre oscilații doar atâta timp cât amplitudinea lor depășește valoarea caracteristică a nivelului de zgomot termic dintr-un circuit dat. Prin urmare, de fapt, oscilațiile din circuit „trăiesc” pentru un timp finit, care, totuși, poate fi de câteva ori mai mare decât durata de viață x introdusă mai sus.
Este adesea important să se cunoască nu durata de viață a oscilațiilor x în sine, ci numărul de oscilații complete care vor avea loc în circuit în acest timp x. Acest număr înmulțit cu se numește factor de calitate a circuitului.
Strict vorbind, oscilații amortizate nu sunt periodice. Cu o atenuare scăzută, putem vorbi condiționat de o perioadă, care este înțeleasă ca intervalul de timp dintre doi
valori maxime succesive ale sarcinii condensatorului (aceeași polaritate) sau valori maxime ale curentului (un sens).
Amortizarea oscilațiilor afectează perioada, determinând-o să crească în comparație cu cazul idealizat de lipsă de amortizare. Cu o amortizare scăzută, creșterea perioadei de oscilație este foarte mică. Cu toate acestea, cu o atenuare puternică, este posibil să nu existe deloc oscilații: condensatorul încărcat se va descărca aperiodic, adică fără a schimba direcția curentului din circuit. Acest lucru se va întâmpla când, adică când
Solutie exacta. Modelele de oscilații amortizate formulate mai sus decurg din soluția exactă a ecuației diferențiale (16). Prin substituție directă putem verifica dacă are forma
unde sunt constante arbitrare, ale căror valori sunt determinate din condiții inițiale. La amortizare scăzută, multiplicatorul cosinus poate fi considerat ca o amplitudine variabilă a oscilațiilor.
Sarcină
Reîncărcarea condensatoarelor printr-un inductor. În circuit, a cărui diagramă este prezentată în Fig. 161, sarcina condensatorului superior este egală, iar cel inferior nu este încărcat. Momentan cheia este închisă. Găsiți dependența timpului de încărcare al condensatorului superior și a curentului din bobină.
Orez. 161. În momentul inițial de timp, un singur condensator este încărcat
Orez. 162. Încărcările condensatoarelor și curentul din circuit după închiderea cheii
Orez. 163. Analogie mecanică pentru circuitul electric prezentat în Fig. 162
Soluţie. După ce cheia este închisă, în circuit apar oscilații: condensatorul superior începe să se descarce prin bobină, în timp ce se încarcă pe cel inferior; apoi totul se întâmplă în sens invers. Fie, de exemplu, că placa superioară a condensatorului este încărcată pozitiv. Apoi
după o perioadă scurtă de timp, semnele sarcinilor plăcilor condensatorului și direcția curentului vor fi așa cum se arată în Fig. 162. Să notăm prin sarcinile acelor plăci ale condensatoarelor superioare și inferioare care sunt conectate între ele printr-un inductor. Pe baza legii conservării incarcare electrica
Suma tensiunilor de pe toate elementele buclei închise în fiecare moment de timp este zero:
Semnul tensiunii de pe condensator corespunde distribuției sarcinii din Fig. 162. iar sensul indicat al curentului. Expresia curentului prin bobină poate fi scrisă în oricare dintre două forme:
Să excludem din ecuație folosind relațiile (22) și (24):
Introducerea denumirilor
Să rescriem (25) în următoarea formă:
Dacă în loc de a intra în funcție
și luați în considerare că atunci (27) ia forma
Aceasta este ecuația obișnuită a oscilațiilor armonice neamortizate, care are soluția
unde și sunt constante arbitrare.
Revenind din funcție, obținem următoarea expresie pentru dependența timpului de încărcare a condensatorului superior:
Pentru a determina constantele și a, ținem cont că la momentul inițial sarcina și curentul Pentru puterea curentului de la (24) și (31) avem
Din moment ce rezultă că Înlocuind acum în și ținând cont că obținem
Deci, expresiile pentru sarcină și curent au forma
Natura oscilațiilor de sarcină și curent este deosebit de clară când valori identice capacitatile condensatorului. În acest caz
Sarcina condensatorului superior oscilează cu o amplitudine în jurul valorii medii egală cu Peste jumătate din perioada de oscilație, scade de la valoarea maximă din momentul inițial la zero, când toată sarcina este pe condensatorul inferior.
Expresia (26) pentru frecvența de oscilație, desigur, ar putea fi scrisă imediat, deoarece în circuitul în cauză condensatorii sunt conectați în serie. Cu toate acestea, este dificil să scrieți expresii (34) direct, deoarece în astfel de condiții inițiale este imposibil să înlocuiți condensatorii incluse în circuit cu unul echivalent.
O reprezentare vizuală a proceselor care au loc aici este dată de analogul mecanic al acestui circuit electric, prezentat în Fig. 163. Arcurile identice corespund în cazul condensatoarelor de aceeași capacitate. În momentul inițial, arcul din stânga este comprimat, ceea ce corespunde unui condensator încărcat, iar cel din dreapta este într-o stare nedeformată, deoarece analogul sarcinii condensatorului aici este gradul de deformare a arcului. La trecerea prin poziția de mijloc, ambele arcuri sunt parțial comprimate, iar în poziția extremă dreaptă arcul din stânga este nedeformat, iar cel din dreapta este comprimat la fel ca și cel din stânga la momentul inițial, ceea ce corespunde curgerii complete. de încărcare de la un condensator la altul. Deși bila suferă oscilații armonice normale în jurul poziției sale de echilibru, deformarea fiecăruia dintre arcuri este descrisă de o funcție a cărei valoare medie este diferită de zero.
Spre deosebire de un circuit oscilator cu un singur condensator, unde în timpul oscilațiilor este reîncărcat în mod repetat, în sistemul în cauză condensatorul încărcat inițial nu este complet reîncărcat. De exemplu, atunci când sarcina sa este redusă la zero și apoi restabilită din nou la aceeași polaritate. În caz contrar, aceste oscilații nu diferă de oscilațiile armonice dintr-un circuit convențional. Energia acestor oscilații este conservată, dacă, desigur, rezistența bobinei și a firelor de legătură poate fi neglijată.
Explicați de ce, dintr-o comparație a formulelor (1) și (2) pentru energiile mecanice și electromagnetice, s-a ajuns la concluzia că analogul rigidității k este și analogul masei este inductanța și nu invers.
Furnizați o justificare pentru derivarea expresiei (4) pentru frecvența naturală a oscilațiilor electromagnetice din circuit prin analogie cu un oscilator cu arc mecanic.
Oscilațiile armonice dintr-un circuit sunt caracterizate prin amplitudine, frecvență, perioadă, faza de oscilație și faza inițială. Care dintre aceste mărimi sunt determinate de proprietățile circuitului oscilator însuși și care depind de metoda de excitare a oscilațiilor?
Demonstrați că valorile medii ale energiilor electrice și magnetice în timpul oscilațiilor naturale din circuit sunt egale între ele și se ridică la jumătate din total energie electromagnetică ezitare.
Cum se aplică legile fenomenelor cvasi-staționare într-un circuit electric pentru a deriva ecuația diferențială (12) a oscilațiilor armonice din circuit?
Ce ecuație diferențială satisface curentul dintr-un circuit LC?
Deduceți o ecuație pentru viteza de scădere a energiei de oscilație la amortizare scăzută în același mod ca și pentru un oscilator mecanic cu frecare proporțională cu viteza și arătați că pentru intervalele de timp care depășesc semnificativ perioada de oscilație, această scădere are loc conform unei legea exponenţială. Care este sensul termenului „atenuare scăzută” folosit aici?
Arătați că funcția dată de formula (21) satisface ecuația (16) pentru orice valori ale și a.
Luați în considerare sistemul mecanic prezentat în fig. 163, și găsiți dependența de timpul de deformare a arcului stâng și viteza corpului masiv.
Un circuit fără rezistență cu pierderi inevitabile.În problema considerată mai sus, în ciuda condițiilor inițiale nu în totalitate obișnuite pentru încărcările pe condensatoare, a fost posibilă aplicarea ecuațiilor obișnuite pentru circuitele electrice, deoarece acolo erau îndeplinite condițiile pentru procesele cvasi-staționare. Dar în circuit, a cărui diagramă este prezentată în Fig. 164, cu similitudine externă formală cu diagrama din Fig. 162, condițiile cvasi-staționare nu sunt îndeplinite dacă în momentul inițial un condensator este încărcat și al doilea nu.
Să discutăm mai detaliat aici motivele pentru care sunt încălcate condițiile de cvasi-staționaritate. Imediat după închidere
Orez. 164. Circuit electric pentru care nu sunt îndeplinite condițiile cvasi-staționare
cheie, toate procesele au loc numai în condensatoare conectate între ele, deoarece creșterea curentului prin bobina de inductanță are loc relativ lent și la început ramificarea curentului în bobină poate fi neglijată.
Când cheia este închisă, au loc oscilații rapide amortizate într-un circuit format din condensatori și firele care le conectează. Perioada unor astfel de oscilații este foarte scurtă, deoarece inductanța firelor de conectare este scăzută. Ca urmare a acestor oscilații, sarcina de pe plăcile condensatorului este redistribuită, după care cei doi condensatori pot fi considerați ca unul singur. Dar acest lucru nu se poate face din primul moment, deoarece odată cu redistribuirea sarcinilor are loc și o redistribuire a energiei, din care o parte se transformă în căldură.
După scaderea oscilațiilor rapide, în sistem apar oscilații, ca într-un circuit cu un singur condensator, a cărui sarcină la momentul inițial este egală cu sarcina inițială a condensatorului.Condiția pentru validitatea raționamentului de mai sus este micimea a inductanţei firelor de legătură în comparaţie cu inductanţa bobinei.
Ca și în problema luată în considerare, este util să găsim aici o analogie mecanică. Dacă două arcuri corespunzătoare condensatoarelor au fost amplasate pe ambele părți ale unui corp masiv, atunci aici ar trebui să fie amplasate pe o parte a acestuia, astfel încât vibrațiile unuia dintre ele să poată fi transmise celuilalt atunci când corpul este staționar. În loc de două arcuri, puteți lua unul, dar numai în momentul inițial ar trebui să fie deformat neuniform.
Să apucăm arcul de mijloc și să-i întindem jumătatea stângă pe o anumită distanță.A doua jumătate a arcului va rămâne într-o stare nedeformată, astfel încât sarcina din momentul inițial să fie deplasată de la poziția de echilibru la dreapta cu o distanță și este în repaus. Apoi eliberați arcul. Ce caracteristici vor rezulta din faptul ca in momentul initial arcul este deformat neuniform? căci, așa cum nu este greu de imaginat, rigiditatea „jumătății” arcului este egală cu Dacă masa arcului este mică în comparație cu masa bilei, frecvența oscilațiilor naturale ale arcului ca sistem extins este mult mai mare decât frecvenţa oscilaţiilor mingii pe arc. Aceste oscilații „rapide” se vor stinge într-un timp care este o mică fracțiune din perioada oscilațiilor mingii. După ce oscilațiile rapide se atenuează, tensiunea din arc este redistribuită, iar deplasarea sarcinii rămâne practic egală, deoarece sarcina nu are timp să se miște vizibil în acest timp. Deformarea arcului devine uniformă, iar energia sistemului este egală
Astfel, rolul oscilațiilor rapide ale arcului s-a redus la faptul că rezerva de energie a sistemului a scăzut la valoarea care corespunde deformației inițiale uniforme a arcului. Este clar că procesele ulterioare din sistem nu diferă de cazul deformării inițiale uniforme. Dependența deplasării sarcinii în timp este exprimată prin aceeași formulă (36).
În exemplul luat în considerare, ca urmare a vibrațiilor rapide, jumătate din sursa inițială de energie mecanică a fost transformată în energie internă (căldură). Este clar că supunând nu jumătate, ci o parte arbitrară a arcului la deformare inițială, este posibilă transformarea oricărei fracțiuni din sursa inițială de energie mecanică în energie internă. Dar în toate cazurile, energia de oscilație a sarcinii pe arc corespunde rezervei de energie pentru aceeași deformare inițială uniformă a arcului.
Într-un circuit electric, ca urmare a oscilațiilor rapide amortizate, energia unui condensator încărcat este parțial eliberată sub formă de căldură Joule în firele de conectare. Cu capacități egale, aceasta va fi jumătate din rezerva inițială de energie. A doua jumătate rămâne sub formă de energie a oscilațiilor electromagnetice relativ lente într-un circuit format dintr-o bobină și doi condensatori C conectați în paralel și
Astfel, în acest sistem, idealizarea în care se neglijează disiparea energiei de oscilație este fundamental inacceptabilă. Motivul pentru aceasta este că oscilațiile rapide sunt posibile fără a afecta inductorul sau corpul masiv într-un sistem mecanic similar.
Circuit oscilator cu elemente neliniare. Când am studiat vibrațiile mecanice, am văzut că vibrațiile nu sunt întotdeauna armonice. Vibrațiile armonice sunt o proprietate caracteristică sisteme liniare, in care
forța de restabilire este proporțională cu abaterea de la poziția de echilibru, iar energia potențială este proporțională cu pătratul abaterii. Sistemele mecanice reale, de regulă, nu posedă aceste proprietăți, iar vibrațiile din ele pot fi considerate armonice numai pentru mici abateri de la poziția de echilibru.
În cazul oscilațiilor electromagnetice dintr-un circuit, poate părea că avem de-a face sisteme ideale, în care vibrațiile sunt strict armonice. Cu toate acestea, acest lucru este adevărat numai atâta timp cât capacitatea condensatorului și inductanța bobinei pot fi considerate constante, adică independente de sarcină și curent. Un condensator cu un dielectric și o bobină cu un miez, strict vorbind, sunt elemente neliniare. Când un condensator este umplut cu un feroelectric, adică o substanță constanta dielectrică care depinde puternic de câmpul electric aplicat, capacitatea condensatorului nu mai poate fi considerată constantă. În mod similar, inductanța unei bobine cu miez feromagnetic depinde de puterea curentului, deoarece feromagnetul are proprietatea de saturație magnetică.
Dacă în sistemele oscilatorii mecanice masa, de regulă, poate fi considerată constantă, iar neliniaritatea apare numai datorită naturii neliniare forță care acționează, apoi într-un circuit oscilator electromagnetic, neliniaritatea poate apărea atât datorită unui condensator (analog unui arc elastic), cât și datorită unui inductor (analog unei mase).
De ce pentru un circuit oscilant cu doi condensatoare paralele(Fig. 164) este inaplicabilă idealizarea în care sistemul este considerat conservator?
De ce oscilațiile rapide duc la disiparea energiei de oscilație în circuitul din Fig. 164, nu a apărut într-un circuit cu două condensatoare în serie, prezentată în Fig. 162?
Ce motive pot duce la oscilații electromagnetice nesinusoidale în circuit?
Un circuit oscilator în serie este un circuit format dintr-un inductor și un condensator, care sunt conectate în serie. Pe diagrame ideal Un circuit oscilant în serie este desemnat astfel:
Un circuit oscilant real are o rezistență de pierdere a unei bobine și a unui condensator. Acesta este totalul rezistență totală pierderile sunt notate cu litera R. Ca urmare, real circuitul oscilator în serie va arăta astfel:
R este rezistența totală de pierdere a bobinei și a condensatorului
L este inductanța reală a bobinei
C este capacitatea reală a condensatorului
Circuit oscilator și generator de frecvență
Să facem un experiment clasic care se află în fiecare manual de electronică. Pentru a face acest lucru, să punem împreună următoarea diagramă:
Generatorul nostru va produce sine.
Pentru a înregistra o oscilogramă printr-un circuit oscilant în serie, vom conecta la circuit un rezistor de șunt cu o rezistență scăzută de 0,5 Ohmi și vom elimina tensiunea din acesta. Adică, în acest caz, folosim un șunt pentru a monitoriza puterea curentului din circuit.
Și iată diagrama în sine în realitate:
De la stânga la dreapta: rezistență de șunt, inductor și condensator. După cum înțelegeți deja, rezistența R este rezistența totală de pierdere a bobinei și a condensatorului, deoarece nu există elemente radio ideale. Este „ascuns” în interiorul bobinei și condensatorului, deci schema reala Nu îl vom vedea ca un element radio separat.
Acum tot ce trebuie să facem este să conectăm acest circuit la un generator de frecvență și un osciloscop și să-l rulăm prin unele frecvențe, luând o oscilogramă de la șunt. U w, precum și luarea unei oscilograme de la generatorul însuși GENEA U.
Din șunt vom elimina tensiunea, care reflectă comportamentul curentului din circuit, iar de la generator semnalul generatorului însuși. Să ne rulăm circuitul prin câteva frecvențe și să vedem ce este.
Influența frecvenței asupra rezistenței circuitului oscilant
Deci să mergem. În circuit, am luat un condensator de 1 µF și un inductor de 1 mH. Pe generator am instalat o undă sinusoidală cu un leagăn de 4 Volți. Să ne amintim regula: dacă într-un circuit conexiunea elementelor radio are loc în serie unul după altul, înseamnă că prin ele circulă același curent.
Forma de undă roșie este tensiunea de la generatorul de frecvență, iar forma de undă galbenă este o afișare a curentului prin tensiunea pe rezistorul de șunt.
Frecvența 200 Herți cu copeici:
După cum vedem, la această frecvență există un curent în acest circuit, dar este foarte slab
Adăugarea frecvenței. 600 Herți cu copeici
Aici putem vedea clar că puterea curentului a crescut și, de asemenea, vedem că oscilograma curentă este înaintea tensiunii. Miroase a condensator.
Adăugarea frecvenței. 2 kiloherți
Puterea actuală a devenit și mai mare.
3 kiloherți
Puterea actuală a crescut. Observați, de asemenea, că schimbarea de fază a început să scadă.
4,25 Kiloherți
Oscilogramele aproape se contopesc într-una singură. Defazajul dintre tensiune și curent devine aproape imperceptibil.
Și la o anumită frecvență puterea noastră actuală a devenit maximă, iar schimbarea de fază a devenit egal cu zero. Amintește-ți acest moment. Va fi foarte important pentru noi.
Recent, curentul a fost înaintea tensiunii, dar acum a început deja să întârzie după ce s-a aliniat cu el în fază. Deoarece curentul rămâne deja în urma tensiunii, miroase deja a reactanța inductorului.
Creștem și mai mult frecvența
Puterea curentului începe să scadă, iar schimbarea de fază crește.
22 kiloherți
74 Kiloherți
După cum puteți vedea, pe măsură ce frecvența crește, deplasarea se apropie de 90 de grade, iar curentul devine din ce în ce mai mic.
Rezonanţă
Să aruncăm o privire mai atentă la momentul în care schimbarea de fază a fost zero și curentul care trece prin circuitul oscilator în serie a fost maxim:
Acest fenomen se numește rezonanţă.
După cum vă amintiți, dacă rezistența noastră devine mică și, în acest caz, rezistențele de pierdere ale bobinei și condensatorului sunt foarte mici, atunci un curent mare începe să curgă în circuit conform legii lui Ohm: I=U/R. Dacă generatorul este puternic, atunci tensiunea de pe el nu se schimbă, iar rezistența devine neglijabilă și voila! Curentul crește ca ciupercile după ploaie, ceea ce am văzut uitându-ne la oscilograma galbenă la rezonanță.
formula lui Thomson
Dacă, la rezonanță, reactanța bobinei este egală cu reactanța condensatorului X L = X C, atunci le putem egaliza reactanţă iar de acolo calculați frecvența la care s-a produs rezonanța. Deci, reactanța bobinei este exprimată prin formula:
Reactanța condensatorului se calculează cu formula:
Echivalăm ambele părți și calculăm de aici F:
În acest caz, avem formula frecvența de rezonanță. Această formulă este numită diferit formula lui Thomson, după cum înțelegeți, în onoarea omului de știință care a scos-o.
Să folosim formula lui Thomson pentru a calcula frecvența de rezonanță a circuitului nostru oscilator în serie. Pentru asta voi folosi tranzistorul meu RLC.
Măsurăm inductanța bobinei:
Și ne măsurăm capacitatea:
Ne calculăm frecvența de rezonanță folosind formula:
Am 5,09 kiloherți.
Folosind reglarea frecvenței și un osciloscop, am prins o rezonanță la o frecvență de 4,78 Kiloherți (scrisă în colțul din stânga jos)
Să anulăm o eroare de 200 de copeici Herți la eroarea de măsurare a instrumentelor. După cum puteți vedea, formula lui Thompson funcționează.
Rezonanța tensiunii
Să luăm alți parametri ai bobinei și condensatorului și să vedem ce se întâmplă cu elementele radio în sine. Trebuie să aflăm totul în detaliu ;-). Iau un inductor cu o inductanță de 22 microhenry:
și un condensator de 1000 pF
Deci, pentru a prinde rezonanța, nu voi adăuga . Voi face ceva mai viclean.
Deoarece generatorul meu de frecvență este chinezesc și de putere redusă, în timpul rezonanței avem în circuit doar rezistența de pierdere activă R. Rezistența totală este încă o valoare mică, astfel încât curentul la rezonanță atinge valorile maxime. Ca rezultat, o tensiune decentă scade pe rezistența internă a generatorului de frecvență și amplitudinea frecvenței de ieșire a generatorului scade. Voi prinde valoarea minimă a acestei amplitudini. Prin urmare, aceasta va fi rezonanța circuitului oscilator. Supraîncărcarea unui generator nu este bine, dar ce nu poți face de dragul științei!
Ei bine, să începem ;-). Să calculăm mai întâi frecvența de rezonanță folosind formula lui Thomson. Pentru asta deschid calculator online pe Internet și calculați rapid această frecvență. Am 1.073 Megahertzi.
Prind rezonanța generatorului de frecvență prin valorile sale minime de amplitudine. S-a dovedit ceva de genul:
Amplitudine de la vârf la vârf 4 volți
Deși generatorul de frecvență are un leagăn de peste 17 volți! Așa a scăzut foarte mult tensiunea. Și după cum puteți vedea, frecvența de rezonanță s-a dovedit a fi puțin diferită de cea calculată: 1,109 Megaherți.
Acum puțină distracție ;-)
Acesta este semnalul pe care îl aplicăm circuitului nostru oscilator serial:
După cum puteți vedea, generatorul meu nu este capabil să furnizeze un curent mare circuitului oscilant la frecvența de rezonanță, așa că semnalul s-a dovedit a fi chiar ușor distorsionat la vârfuri.
Ei bine, acum partea cea mai interesantă. Să măsurăm căderea de tensiune pe condensator și bobină la frecvența de rezonanță. Adică va arăta astfel:
Ne uităm la tensiunea condensatorului:
Oscilația de amplitudine este de 20 Volți (5x4)! Unde? La urma urmei, am furnizat o undă sinusoidală circuitului oscilator cu o frecvență de 2 volți!
Bine, poate s-a întâmplat ceva cu osciloscopul? Să măsurăm tensiunea pe bobină:
Oameni! Freebie!!! Am furnizat 2 Volți de la generator, dar am primit 20 Volți atât pe bobină, cât și pe condensator! Câștig de energie de 10 ori! Aveți doar timp să eliminați energia fie din condensator, fie din bobină!
Ei bine, din moment ce acesta este cazul... iau un bec pentru moped de 12 volți și îl conectez la un condensator sau bobină. Becul pare să știe la ce frecvență să funcționeze și ce curent să consume. Am setat amplitudinea astfel încât să fie undeva în jur de 20 de volți pe bobină sau condensator, deoarece tensiunea pătrată medie va fi undeva în jur de 14 volți și le atașez un bec unul câte unul:
După cum puteți vedea - zero complet. Lumina nu se va aprinde, așa că bărbieriți, fani ai energiei libere). Nu ați uitat că puterea este determinată de produsul dintre curent și tensiune, nu? Se pare că există suficientă tensiune, dar, vai, puterea curentului! Prin urmare, circuitul oscilator în serie se mai numește amplificator de tensiune în bandă îngustă (rezonant)., nu putere!
Să rezumam ce am găsit în aceste experimente.
La rezonanță, tensiunea de pe bobină și de pe condensator s-a dovedit a fi mult mai mare decât ceea ce am aplicat circuitului oscilator. În acest caz, am primit de 10 ori mai mult. De ce tensiunea de pe bobină la rezonanță este egală cu tensiunea de pe condensator? Acest lucru este ușor de explicat. Deoarece într-un circuit oscilant în serie bobina și conductorul se succed, prin urmare, același curent circulă în circuit.
La rezonanță, reactanța bobinei este egală cu reactanța condensatorului. Conform regulii șunturilor, constatăm că tensiunea scade pe bobină U L = IX L, și pe condensator U C = IX C. Și din moment ce la rezonanță avem X L = X C, atunci obținem asta U L = U C, curentul din circuit este acelasi ;-). Prin urmare, rezonanța într-un circuit oscilator în serie se mai numește rezonanța tensiunii, deoarece tensiunea pe bobină la frecvența de rezonanță este egală cu tensiunea pe condensator.
Factorul de calitate
Ei bine, din moment ce am început să împingem subiectul circuitelor oscilatorii, nu putem ignora un astfel de parametru ca factor de calitate circuit oscilator. Deoarece am efectuat deja câteva experimente, ne va fi mai ușor să determinăm factorul de calitate pe baza amplitudinii tensiunii. Factorul de calitate este indicat prin scrisoare Qși se calculează folosind prima formulă simplă:
Să calculăm factorul de calitate în cazul nostru.
Deoarece costul împărțirii unui pătrat pe verticală este de 2 volți, prin urmare, amplitudinea semnalului generatorului de frecvență este de 2 volți.
Și asta avem la bornele condensatorului sau bobinei. Aici prețul împărțirii unui pătrat pe verticală este de 5 volți. Numărăm pătratele și înmulțim. 5x4=20 Volți.
Calculăm folosind formula factorului de calitate:
Q=20/2=10. În principiu, puțin și nu puțin. Va merge. Acesta este modul în care factorul de calitate poate fi găsit în practică.
Există și o a doua formulă pentru calcularea factorului de calitate.
Unde
R - rezistența la pierderi în circuit, Ohm
L - inductanță, Henry
C - capacitate, Farad
Cunoscând factorul de calitate, puteți găsi cu ușurință rezistența la pierderi R circuit oscilator în serie.
De asemenea, vreau să adaug câteva cuvinte despre factorul de calitate. Factorul de calitate al circuitului este un indicator calitativ al circuitului oscilator. Practic, ei încearcă întotdeauna să-l mărească prin diverse în toate modurile posibile. Dacă te uiți la formula de mai sus, poți înțelege că pentru a crește factorul de calitate, trebuie să reducem cumva rezistența la pierderi a circuitului oscilator. Cea mai mare parte a pierderilor se referă la inductor, deoarece are deja pierderi mari din punct de vedere structural. Este înfășurat din sârmă și în cele mai multe cazuri are un miez. Pe frecvente inalte efectul pielii începe să apară în fir, ceea ce introduce în continuare pierderi în circuit.
rezumat
Un circuit oscilant în serie este format dintr-un inductor și un condensator conectate în serie.
La o anumită frecvență, reactanța bobinei devine egală cu reactanța condensatorului și un fenomen precum rezonanţă.
La rezonanță, reactanțele bobinei și condensatorului, deși sunt egale ca mărime, sunt opuse ca semn, deci sunt scăzute și se adună până la zero. Doar rezistența de pierdere activă R rămâne în circuit.
La rezonanță, puterea curentului în circuit devine maximă, deoarece rezistența la pierdere a bobinei și a condensatorului R se adună la o valoare mică.
La rezonanță, tensiunea pe bobină este egală cu tensiunea pe condensator și depășește tensiunea pe generator.
Coeficientul care arată de câte ori tensiunea de pe bobină sau condensator depășește tensiunea de pe generator se numește factor de calitate Q al circuitului oscilator în serie și arată o evaluare calitativă a circuitului oscilator. Practic încearcă să facă Q cât mai mare posibil.
Pe frecvente joase Circuitul oscilator are o componentă de curent capacitiv înainte de rezonanță, iar după rezonanță - o componentă de curent inductiv.
Vibrații electrice înseamnă modificari periodice sarcină, curent și tensiune. Cel mai simplu sistem în care sunt posibile oscilații electrice libere este așa-numitul circuit oscilator. Acesta este un dispozitiv format dintr-un condensator și o bobină conectate între ele. Vom presupune că nu există rezistență activă a bobinei, caz în care circuitul se numește ideal. Când energie este transmisă acestui sistem, vor avea loc în el oscilații armonice neamortizate ale sarcinii de pe condensator, tensiune și curent.
Puteți da energie circuitului oscilator căi diferite. De exemplu, încărcarea unui condensator de la o sursă curent continuu sau prin excitarea unui curent într-un inductor. În primul caz, energia este deținută de câmpul electric dintre plăcile condensatorului. În al doilea, energia este conținută în câmpul magnetic al curentului care circulă prin circuit.
§1 Ecuaţia oscilaţiilor într-un circuit
Să demonstrăm că atunci când energie este transmisă circuitului, vor avea loc în el oscilații armonice neamortizate. Pentru a face acest lucru trebuie să obțineți ecuație diferențială vibraţii armonice ale formei.
Să presupunem că condensatorul este încărcat și scurtcircuitat la bobină. Condensatorul va începe să se descarce și curentul va curge prin bobină. Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, suma căderilor de tensiune de-a lungul unui circuit închis este egală cu suma FEM din acest circuit. 
.
În cazul nostru, căderea de tensiune se datorează faptului că circuitul este ideal. Condensatorul din circuit se comportă ca o sursă de curent; diferența de potențial dintre plăcile condensatorului acționează ca EMF, unde este sarcina condensatorului și este capacitatea electrică a condensatorului. În plus, atunci când un curent în schimbare trece prin bobină, în ea apare o femură auto-inductivă, unde este inductanța bobinei și este rata de schimbare a curentului în bobină. Deoarece f.e.m. de auto-inducție împiedică procesul de descărcare a condensatorului, a doua lege a lui Kirchhoff ia forma
Dar curentul din circuit este curentul de descărcare sau de încărcare al condensatorului, prin urmare. Apoi
Ecuația diferențială este transformată în forma
Prin introducerea notației, obținem binecunoscuta ecuație diferențială a oscilațiilor armonice.
Aceasta înseamnă că sarcina condensatorului din circuitul oscilant va varia în funcție de legea armonică
unde este valoarea maximă de încărcare a condensatorului, este frecvența ciclică, este faza inițială a oscilațiilor.
Perioada de oscilație a sarcinii 
. Această expresie se numește formula Thompson.
Tensiunea condensatorului
Curentul circuitului
Vedem că pe lângă sarcina de pe condensator, conform legii armonice, se vor modifica și curentul din circuit și tensiunea de pe condensator. Tensiunea oscilează în fază cu sarcina, iar puterea curentului conduce sarcina înăuntru
faza pe .
Energia câmpului electric al unui condensator
Energia curentă a câmpului magnetic
Astfel, energiile câmpurilor electrice și magnetice se modifică și ele conform legii armonice, dar cu frecvență dublă.
Rezuma
Oscilațiile electrice trebuie înțelese ca modificări periodice ale sarcinii, tensiunii, curentului, energiei câmpului electric și energiei câmpului magnetic. Aceste vibrații, ca și cele mecanice, pot fi fie libere, fie forțate, armonice și nearmonice. Oscilațiile electrice armonice libere sunt posibile într-un circuit oscilator ideal.
§2 Procese care au loc într-un circuit oscilator
Am demonstrat matematic existența oscilațiilor armonice libere într-un circuit oscilator. Cu toate acestea, rămâne neclar de ce este posibil un astfel de proces. Ce cauzează oscilațiile în circuit?
În cazul vibrațiilor mecanice libere, s-a găsit un astfel de motiv - aceasta este forța internă care apare atunci când sistemul este scos din poziția de echilibru. Această forță în orice moment este îndreptată spre poziția de echilibru și este proporțională cu coordonatele corpului (cu semnul minus). Să încercăm să găsim un motiv similar pentru apariția oscilațiilor în circuitul oscilator.
Lăsați oscilațiile din circuit să se excite prin încărcarea condensatorului și scurtcircuitarea acestuia la bobină.
În momentul inițial de timp, încărcarea condensatorului este maximă. În consecință, tensiunea și energia câmpului electric al condensatorului sunt și ele maxime.
Nu există curent în circuit, energia câmpului magnetic al curentului este zero.
Primul trimestru al perioadei– descărcarea condensatorului.
Plăcile condensatorului, având potențiale diferite, sunt conectate printr-un conductor, astfel încât condensatorul începe să se descarce prin bobină. Sarcina, tensiunea pe condensator și energia câmpului electric scad.
Curentul care apare în circuit crește, cu toate acestea, creșterea lui este împiedicată de f.e.m. de auto-inducție care apare în bobină. Energia câmpului magnetic al curentului crește.
A trecut un sfert din perioada- condensatorul este descărcat.
Condensatorul a fost descărcat, tensiunea de pe el a devenit egală cu zero. Energia câmpului electric în acest moment este, de asemenea, zero. Conform legii conservării energiei, aceasta nu putea dispărea. Energia câmpului condensatorului este complet convertită în energia câmpului magnetic al bobinei, care în acest moment atinge valoarea sa maximă. Curentul maxim în circuit.
S-ar părea că în acest moment curentul din circuit ar trebui să se oprească, deoarece cauza curentului – câmpul electric – a dispărut. Cu toate acestea, dispariția curentului este din nou împiedicată de fem-ul de auto-inducție în bobină. Acum va suporta curentul în scădere și va continua să curgă în aceeași direcție, încărcând condensatorul. Începe al doilea trimestru al perioadei.
Al doilea trimestru al perioadei
– reincarcarea condensatorului.
Curentul, susținut de fem-ul de auto-inducție, continuă să curgă în aceeași direcție, scăzând treptat. Acest curent încarcă condensatorul în polaritate opusă. Sarcina și tensiunea de pe condensator cresc.
Energia câmpului magnetic al curentului, în scădere, se transformă în energia câmpului electric al condensatorului.
Al doilea trimestru al perioadei a trecut - condensatorul s-a reîncărcat.
Condensatorul se reîncarcă atâta timp cât există curent. Prin urmare, în momentul în care curentul se oprește, sarcina și tensiunea de pe condensator capătă valoarea maximă.
Energia câmpului magnetic în acest moment a fost complet convertită în energia câmpului electric al condensatorului.
Situația din circuit în acest moment este echivalentă cu cea inițială. Procesele din circuit se vor repeta, dar în sens invers. O oscilație completă în circuit, care durează o perioadă, se va termina când sistemul revine la starea initiala, adică atunci când condensatorul este reîncărcat în polaritatea sa inițială.
Este ușor de observat că cauza oscilațiilor în circuit este fenomenul de autoinducție. EMF de auto-inducție împiedică schimbarea curentului: îl împiedică să crească instantaneu și să dispară instantaneu.
Apropo, nu ar fi greșit să comparăm expresiile pentru calcularea forței cvasi-elastice într-un sistem oscilator mecanic și f.e.m. de auto-inducție în circuit:
Anterior, s-au obținut ecuații diferențiale pentru sisteme oscilatorii mecanice și electrice:
În ciuda diferențe fundamentale proceselor fizice la sisteme oscilatorii mecanice și electrice, identitatea matematică a ecuațiilor care descriu procesele din aceste sisteme este clar vizibilă. Ar trebui să vorbim despre asta mai detaliat.
§3 Analogie între vibraţiile electrice şi mecanice
O analiză atentă a ecuațiilor diferențiale pentru un pendul cu arc și un circuit oscilator, precum și a formulelor care conectează cantitățile care caracterizează procesele din aceste sisteme, ne permite să identificăm ce mărimi se comportă la fel (Tabelul 2).
| Pendul de primăvară | Circuit oscilator |
| Coordonatele corpului () | Încărcare pe condensator () |
| Viteza corpului | Puterea curentului în circuit |
| Energia potențială a unui arc deformat elastic | Energia câmpului electric al unui condensator |
| Energia cinetică a încărcăturii | Energia câmpului magnetic al unei bobine de curent |
| Reciprocul rigidității arcului | Capacitatea condensatorului |
| Greutatea încărcăturii | Inductanța bobinei |
Forță elastică  | FEM de auto-inducție egală cu tensiunea pe condensator  |
masa 2
Ceea ce este important nu este doar asemănarea formală dintre mărimile care descriu procesele de oscilație a pendulului și procesele din circuit. Procesele în sine sunt identice!
Pozițiile extreme ale pendulului sunt echivalente cu starea circuitului când sarcina pe condensator este maximă.
Poziția de echilibru a pendulului este echivalentă cu starea circuitului când condensatorul este descărcat. În acest moment, forța elastică devine zero și nu există tensiune pe condensatorul din circuit. Viteza pendulului și curentul din circuit sunt maxime. Energia potențială de deformare elastică a arcului și energia câmpului electric al condensatorului sunt egale cu zero. Energia sistemului constă din energia cinetică a sarcinii sau energia câmpului magnetic al curentului.
Descărcarea unui condensator se desfășoară în mod similar cu mișcarea unui pendul de la poziția sa extremă la poziția sa de echilibru. Procesul de reîncărcare a condensatorului este identic cu procesul de îndepărtare a sarcinii din poziția de echilibru în poziția extremă.
Energia totală a sistemului oscilator 
sau 
rămâne neschimbată în timp.
O analogie similară poate fi urmărită nu numai între un pendul cu arc și un circuit oscilator. Legile universale ale vibrațiilor libere de orice natură! Aceste modele, ilustrate prin exemplul a două sisteme oscilatoare (un pendul cu arc și un circuit oscilator), sunt nu numai posibile, dar trebuie sa vezi în oscilaţiile oricărui sistem.
În principiu, este posibil să se rezolve problema oricărui proces oscilator prin înlocuirea acestuia cu oscilații pendulului. Pentru a face acest lucru, este suficient să construiți în mod competent un sistem mecanic echivalent, să rezolvați o problemă mecanică și să înlocuiți cantitățile în rezultatul final. De exemplu, trebuie să găsiți perioada de oscilație într-un circuit care conține un condensator și două bobine conectate în paralel.
Circuitul oscilant conține un condensator și două bobine. Deoarece bobina se comportă ca greutatea unui pendul cu arc, iar condensatorul ca un arc, sistemul mecanic echivalent trebuie să conțină un arc și două greutăți. Problema este modul în care greutățile sunt atașate la arc. Sunt posibile două cazuri: un capăt al arcului este fix și o greutate este atașată la capătul liber, al doilea este pe primul sau greutățile sunt atașate la diferite capete ale arcului.
La conexiune paralelă bobinele cu inductanță diferită au curenți diferiți care circulă prin ele. În consecință, vitezele sarcinilor într-un sistem mecanic identic trebuie să fie și ele diferite. Evident, acest lucru este posibil doar în al doilea caz.
Am găsit deja perioada acestui sistem oscilator. Este egal 
. Înlocuind masele sarcinilor cu inductanța bobinelor și inversul rigidității arcului cu capacitatea condensatorului, obținem 
.
§4 Circuit oscilant cu sursa de curent continuu
Luați în considerare un circuit oscilator care conține o sursă de curent continuu. Lăsați condensatorul să fie inițial neîncărcat. Ce se va întâmpla în sistem după ce cheia K este închisă? Se vor observa oscilații în acest caz și care este frecvența și amplitudinea lor?
Evident, după închiderea cheii, condensatorul va începe să se încarce. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff:
Prin urmare, curentul din circuit este curentul de încărcare al condensatorului. Apoi . Ecuația diferențială este transformată în forma
*Rezolvăm ecuația prin schimbarea variabilelor.
Să notăm. Diferențiem de două ori și, ținând cont de faptul că , obținem . Ecuația diferențială ia forma
Aceasta este o ecuație diferențială a oscilațiilor armonice, soluția sa este funcția
unde este frecvența ciclică, constantele de integrare și se găsesc din condițiile inițiale.
Sarcina condensatorului se modifică conform legii
Imediat după ce cheia este închisă, sarcina condensatorului este zero și nu există curent în circuit 
. Ținând cont de condițiile inițiale, obținem un sistem de ecuații:
Rezolvând sistemul, obținem și . După ce cheia este închisă, încărcarea condensatorului se modifică conform legii.
Este ușor de observat că în circuit apar oscilații armonice. Prezența unei surse de curent continuu în circuit nu a afectat frecvența de oscilație, aceasta a rămas egală. „Poziția de echilibru” s-a schimbat - în momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorul este încărcat. Amplitudinea oscilațiilor de sarcină pe condensator este egală cu Cε.
Același rezultat poate fi obținut mai simplu prin utilizarea unei analogii între oscilațiile dintr-un circuit și oscilațiile unui pendul cu arc. O sursă de curent continuu este echivalentă cu un câmp de forță constant în care este plasat un pendul cu arc, de exemplu, un câmp gravitațional. Absența sarcinii pe condensator în momentul în care circuitul este închis este identică cu absența deformării arcului în momentul în care pendulul este adus în mișcare oscilatorie.
Într-un câmp de forță constant, perioada de oscilație a pendulului cu arc nu se modifică. Perioada de oscilație în circuit se comportă în același mod - rămâne neschimbată atunci când o sursă de curent continuu este introdusă în circuit.
În poziția de echilibru, când viteza sarcinii este maximă, arcul este deformat:
Când curentul din circuitul oscilant este maxim 
. A doua lege a lui Kirchhoff va fi scrisă după cum urmează
În acest moment, sarcina condensatorului este egală cu Același rezultat ar putea fi obținut pe baza expresiei (*) prin înlocuirea
§5 Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 1 Legea conservării energiei
L= 0,5 µH și un condensator cu o capacitate CU= apar oscilații electrice de 20 pF. Care este tensiunea maximă pe condensator dacă amplitudinea curentului în circuit este de 1 mA? Rezistență activă bobinele sunt neglijabile.
Soluţie:
(1)
2 În momentul în care tensiunea pe condensator este maximă (încărcare maximă pe condensator), nu există curent în circuit. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului electric al condensatorului
(2)
3 În momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorul este complet descărcat. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului magnetic al bobinei
(3)
4 Pe baza expresiilor (1), (2), (3) obținem egalitatea 
. Tensiunea maximă pe condensator este
Problema 2 Legea conservării energiei
Într-un circuit oscilant format dintr-o bobină inductivă Lși un condensator cu o capacitate CU, oscilaţiile electrice apar cu o perioadă T = 1 μs. Valoarea maximă de încărcare 
. De ce egal cu curentulîn circuit în momentul în care sarcina condensatorului este egală cu ? Rezistența activă a bobinei este neglijabilă.
Soluţie:
1 Deoarece rezistența activă a bobinei poate fi neglijată, energia totală a sistemului, constând din energia câmpului electric al condensatorului și energia câmpului magnetic al bobinei, rămâne neschimbată în timp:
(1)
2 În momentul în care încărcarea condensatorului este maximă, nu există curent în circuit. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului electric al condensatorului
(2)
3 Pe baza (1) și (2) obținem egalitatea 
. Curentul din circuit este 
.
4 Perioada de oscilație în circuit este determinată de formula lui Thomson. De aici. Apoi pentru curentul din circuit obținem
Problema 3 Circuit oscilator cu doi condensatori conectați în paralel
Într-un circuit oscilant format dintr-o bobină inductivă Lși un condensator cu o capacitate CU, apar oscilații electrice cu amplitudinea sarcinii . În momentul în care încărcarea condensatorului este maximă, întrerupătorul K este închis. Care va fi perioada de oscilație în circuit după închiderea cheii? Care este amplitudinea curentului în circuit după ce întrerupătorul este închis? Neglijați rezistența ohmică a circuitului.
Soluţie:
1 Închiderea cheii duce la apariția unui alt condensator în circuit, conectat în paralel cu primul. Capacitatea totală a două condensatoare conectate în paralel este egală cu .
Perioada de oscilații în circuit depinde numai de parametrii săi și nu depinde de modul în care au fost excitate oscilațiile în sistem și de ce energie a fost transmisă sistemului pentru aceasta. Conform formulei lui Thomson.
2 Pentru a găsi amplitudinea curentului, să aflăm ce procese au loc în circuit după ce comutatorul este închis.
Al doilea condensator a fost conectat în momentul în care încărcarea primului condensator era maximă, prin urmare, nu exista curent în circuit.
Condensatorul de buclă ar trebui să înceapă să se descarce. Curentul de descărcare, care a ajuns la nod, ar trebui împărțit în două părți. Cu toate acestea, în ramura cu bobina, apare un EMF de auto-inducție, care împiedică creșterea curentului de descărcare. Din acest motiv, întregul curent de descărcare va curge în ramura cu condensatorul, a cărui rezistență ohmică este zero. Curentul se va opri de îndată ce tensiunile de pe condensatoare sunt egale, iar sarcina inițială a condensatorului va fi redistribuită între cei doi condensatori. Timpul de redistribuire a sarcinii între doi condensatori este neglijabil din cauza absenței rezistenței ohmice în ramurile cu condensatoare. În acest timp, curentul din ramura cu bobina nu va avea timp să apară. Fluctuații în sistem nou va continua după redistribuirea sarcinii între condensatori.
Este important să înțelegeți că în procesul de redistribuire a sarcinii între doi condensatori, energia sistemului nu este conservată! Înainte ca cheia să fie închisă, un condensator, unul de circuit, avea energie:
După redistribuirea sarcinii, banca de condensatoare are energie:
Este ușor de observat că energia sistemului a scăzut!
3 Găsim noua amplitudine a curentului folosind legea conservării energiei. În timpul procesului de oscilație, energia băncii de condensatoare este convertită în energia câmpului magnetic al curentului:
Vă rugăm să rețineți că legea conservării energiei începe să „funcționeze” numai după ce redistribuirea sarcinii între condensatoare este finalizată.
Problema 4 Circuit oscilator cu doi condensatori conectați în serie
Circuitul oscilator constă dintr-o bobină de inductanță L și două condensatoare C și 4C conectate în serie. Un condensator de capacitate C este încărcat la tensiune, un condensator de capacitate 4C nu este încărcat. După ce cheia este închisă, în circuit încep oscilațiile. Care este perioada acestor oscilații? Determinați amplitudinea curentului, valorile maxime și minime ale tensiunii pe fiecare condensator.
Soluţie:
1 În momentul în care curentul din circuit este maxim, nu există f.em. auto-inductivă în bobină 
. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff pentru acest moment
Vedem că în momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatoarele sunt încărcate la aceeasi tensiune, dar în polaritate opusă:
2 Înainte de închiderea comutatorului, energia totală a sistemului consta numai din energia câmpului electric al condensatorului C:
În momentul în care curentul din circuit este maxim, energia sistemului este suma energiei câmpului magnetic al curentului și a energiei a doi condensatoare încărcate la aceeași tensiune:
Conform legii conservării energiei
Pentru a găsi tensiunea pe condensatoare, vom folosi legea conservării sarcinii - sarcina plăcii inferioare a condensatorului C este parțial transferată pe placa superioară a condensatorului 4C:
Înlocuim valoarea tensiunii găsite în legea conservării energiei și găsim amplitudinea curentului în circuit:
3 Să găsim limitele în care tensiunea de pe condensatoare se modifică în timpul oscilațiilor.
Este clar că în momentul în care circuitul a fost închis, a existat o tensiune maximă pe condensatorul C. Prin urmare, condensatorul 4C nu a fost încărcat.
După ce cheia este închisă, condensatorul C începe să se descarce, iar condensatorul cu capacitatea 4C începe să se încarce. Procesul de descărcare a primului și de încărcare a celui de-al doilea condensator se termină imediat ce curentul din circuit se oprește. Acest lucru se va întâmpla după jumătate de perioadă. Conform legilor de conservare a energiei și a sarcinii electrice:
Rezolvând sistemul, găsim:
.
Semnul minus înseamnă că după o jumătate de ciclu condensatorul C este încărcat în polaritate opusă celui original.
Problema 5 Circuit oscilator cu două bobine conectate în serie
Circuitul oscilator constă dintr-un condensator cu capacitatea C și două bobine de inductanță L 1Și L 2. În momentul în care curentul din circuit a atins valoarea maximă, un miez de fier este introdus rapid în prima bobină (față de perioada de oscilație), ceea ce duce la creșterea inductanței sale de μ ori. Care este amplitudinea tensiunii în timpul oscilațiilor ulterioare din circuit?
Soluţie:
1 Când miezul este introdus rapid în bobină, fluxul magnetic trebuie menținut (fenomenul inductie electromagnetica). Prin urmare, o schimbare rapidă a inductanței uneia dintre bobine va duce la schimbare rapidă curent în circuit.
2 În timpul introducerii miezului în bobină, încărcarea condensatorului nu a avut timp să se schimbe; a rămas neîncărcat (miezul a fost introdus în momentul în care curentul din circuit era maxim). După un sfert din perioadă, energia câmpului magnetic al curentului se va transforma în energia unui condensator încărcat:
Inlocuim valoarea curenta in expresia rezultata euși găsiți amplitudinea tensiunii pe condensator:
Problema 6 Circuit oscilator cu două bobine conectate în paralel
Inductoarele L 1 și L 2 sunt conectate prin întrerupătoarele K1 și K2 la un condensator cu capacitatea C. În momentul inițial, ambele întrerupătoare sunt deschise, iar condensatorul este încărcat la o diferență de potențial. În primul rând, comutatorul K1 este închis și, când tensiunea de pe condensator devine zero, K2 este închis. Determinați tensiunea maximă pe condensator după închiderea K2. Neglijați rezistențele bobinei.
Soluţie:
1 Când comutatorul K2 este deschis, au loc oscilații în circuitul format dintr-un condensator și prima bobină. Până la închiderea K2, energia condensatorului s-a transferat în energia câmpului magnetic al curentului din prima bobină:
2 După închiderea K2, există două bobine conectate în paralel în circuitul oscilant.
Curentul din prima bobină nu se poate opri din cauza fenomenului de autoinducție. La nod este împărțit: o parte a curentului merge la a doua bobină, iar cealaltă încarcă condensatorul.
3 Tensiunea pe condensator va fi maximă atunci când curentul se oprește eu, condensator de încărcare. Evident, în acest moment curenții din bobine vor fi egali.
:Pendulul se deplasează înainte cu viteza centrului de masă 
și oscilează în raport cu centrul de masă.
Forta elastica este maxima in momentul deformarii maxime a arcului. Evident, în acest moment viteza relativă a sarcinilor devine zero, iar față de tabel greutățile se mișcă cu viteza centrului de masă. Scriem legea conservării energiei:
Rezolvând sistemul, găsim
Facem un înlocuitor
și primim pentru tensiune maxima valoare găsită anterior 
§6 Sarcini pentru decizie independentă
Exerciţiul 1 Calculul perioadei şi frecvenţei oscilaţiilor naturale
1 Circuitul oscilant include o bobină inductanță variabilă, variind în interiorul L 1= 0,5 uH la L 2= 10 µH și un condensator a cărui capacitate poate varia de la C 1= 10 pF la
C 2=500 pF. Ce interval de frecvență poate fi acoperit prin reglarea acestui circuit?
2 De câte ori se va schimba frecvența oscilațiilor naturale în circuit dacă inductanța acestuia este crescută de 10 ori și capacitatea sa este redusă de 2,5 ori?
3 Un circuit oscilant cu un condensator de 1 µF este reglat la o frecvență de 400 Hz. Dacă conectați un al doilea condensator în paralel cu acesta, atunci frecvența de oscilație în circuit devine egală cu 200 Hz. Determinați capacitatea celui de-al doilea condensator.
4 Circuitul oscilant este format dintr-o bobină și un condensator. De câte ori se va schimba frecvența oscilațiilor naturale în circuit dacă un al doilea condensator este conectat în serie la circuit, a cărui capacitate este de 3 ori mai mică decât capacitatea primului?
5 Determinați perioada de oscilație a circuitului, care include o bobină (fără miez) de lungime V= 50 cm m aria secțiunii transversale
S= 3 cm 2, având N= 1000 de spire și capacitatea condensatorului CU= 0,5 uF.
6 Circuitul oscilator include un inductor L= 1,0 µH și un condensator de aer a cărui suprafață a plăcii S= 100 cm 2. Circuitul este reglat la o frecvență de 30 MHz. Determinați distanța dintre plăci. Rezistența activă a circuitului este neglijabilă.
Astăzi ne interesează cele mai simple circuit oscilator, principiul și aplicarea acestuia.
In spate Informatii utile pentru alte subiecte, accesați canalul nostru Telegram.
Oscilații– un proces care se repetă în timp și se caracterizează printr-o modificare a parametrilor sistemului în jurul punctului de echilibru.
Primul lucru care îmi vine în minte sunt vibrațiile mecanice ale unui pendul matematic sau cu arc. Dar vibrațiile pot fi și electromagnetice.
A-prioriu circuit oscilator(sau este un circuit electric în care apar oscilații electromagnetice libere.
Acest contur este circuit electric, constând dintr-o bobină de inductanță L și un condensator cu o capacitate C . Aceste două elemente pot fi conectate doar în două moduri - în serie și în paralel. Să arătăm în figura de mai jos o imagine și o diagramă a unui circuit oscilator simplu.
Apropo! Acum există o reducere pentru toți cititorii noștri 10% pe .
Apropo! Acum există o reducere pentru toți cititorii noștri 10% pe .
Principiul de funcționare al circuitului oscilator
Să ne uităm la un exemplu în care încărcăm mai întâi condensatorul și completăm circuitul. După aceasta, o undă sinusoidală începe să curgă în circuit. electricitate. Condensatorul este descărcat prin bobină. Într-o bobină, când curentul trece prin ea, a EMF autoindusă, îndreptată în direcția opusă curentului condensatorului.
Fiind complet descărcat, condensatorul datorită energiei EMF bobina, care în acest moment va fi maximă, va începe să se încarce din nou, dar numai în polaritate inversă.
Oscilații care apar în circuit - oscilații amortizate libere. Acesta este Fără sursă suplimentară de energie, oscilațiile în orice circuit oscilator real se vor opri mai devreme sau mai târziu, ca orice oscilație din natură.
Acest lucru se datorează faptului că circuitul este format din materiale reale (condensator, bobină, fire) care au următoarele proprietăți: rezistență electrică, iar pierderile de energie într-un circuit oscilator real sunt inevitabile. În caz contrar, acest dispozitiv simplu ar putea deveni o mașină cu mișcare perpetuă, a cărei existență, după cum știm, este imposibilă.
Încă unul caracteristică importantă– factor de calitate Q . Factorul de calitate determină amplitudinea rezonanței și arată de câte ori rezervele de energie din circuit depășesc pierderile de energie pe parcursul unei perioade de oscilație. Cu cât factorul de calitate al sistemului este mai mare, cu atât oscilațiile se vor descrește mai încet.
Rezonanța circuitului LC
Oscilațiile electromagnetice apar la o anumită frecvență, care se numește rezonantă. Citiți mai multe despre aceasta în articolul nostru separat. Frecvența de oscilație poate fi modificată prin variația parametrilor circuitului, cum ar fi capacitatea condensatorului C , inductanța bobinei L , rezistența rezistenței R (Pentru Circuitul LCR).
Aplicarea unui circuit oscilant
Circuitul oscilator este utilizat pe scară largă în practică. Pe baza ei se construiesc filtre de frecventa, nici un singur receptor radio sau generator de semnal de o anumită frecvență nu se poate descurca fără el.
Dacă nu știți cum să abordați calcularea unui circuit LC sau nu aveți absolut timp pentru el, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști. Înaltă calitate și ajutor rapidîn rezolvarea oricăror probleme nu vă va face să așteptați!
