Kemi parë se derivati ka përdorime të shumta: derivati është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); derivati është pjerrësia e tangjentes në grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; derivati ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por në jeta reale Problemet e anasjellta gjithashtu duhet të zgjidhen: për shembull, së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën u = tg. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet se s"(t) = u"(t). Kjo do të thotë që për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni funksionin s = s(t), derivati i të cilit është i barabartë me tg. Nuk është e vështirë të merret me mend
Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne zbuluam se, në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion të formës 
një konstante arbitrare mund të shërbejë si ligj lëvizjeje, pasi
Për ta bërë detyrën më specifike, na duhej të rregullonim situatën fillestare: tregoni koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull, në t=0. Nëse, le të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia marrim s(0) = 0 + C, d.m.th. S 0 = C. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike:
Në matematikë caktohen veprimet reciproke emra të ndryshëm, dilni me emërtime të veçanta: p.sh., katrore (x 2) dhe nxjerrja rrenja katrore sine(sinх) dhe arksine(arcsin x), etj. Procesi i gjetjes së derivatit në lidhje me funksioni i dhënë quhet diferencim, dhe operacion i kundërt, d.m.th. procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar - integrimi.
Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në terma të përditshëm": funksioni y - f(x) "prodhon në ekzistencë" veçori e re y"= f"(x) Funksioni y = f(x) vepron si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë atë "prind" ose "prodhues", ata thonë se është, në lidhje me funksioni y"=f"(x), imazhi primar, ose, shkurt, antiderivativi.
Përkufizimi 1. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në një interval të caktuar X nëse për të gjitha x nga X vlen barazia F"(x)=f(x).
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).
Ketu jane disa shembuj:
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për të gjithë x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë.
2) funksioni y - x 3 është antiderivativ për funksionin y-3x 2, pasi për të gjithë x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë.
3) Funksioni y-sinх është antiderivativ për funksionin y = cosx, pasi për të gjithë x barazia (sinx)" = cosx është e vërtetë.
4) Funksioni është antiderivativ për një funksion në interval pasi për të gjitha x > 0 barazia është e vërtetë
Në përgjithësi, duke ditur formulat për gjetjen e derivateve, nuk është e vështirë të përpilohet një tabelë formulash për gjetjen e antiderivativëve.
Shpresojmë të kuptoni se si është përpiluar kjo tabelë: derivati i funksionit, i cili shkruhet në kolonën e dytë, është i barabartë me funksionin që është shkruar në rreshtin përkatës të kolonës së parë (kontrollojeni, mos u bëni dembel, është shumë e dobishme). Për shembull, për funksionin y = x 5, antiderivati, siç do të vendosni, është funksioni (shih rreshtin e katërt të tabelës).
Shënime: 1. Më poshtë do të vërtetojmë teoremën se nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C. Prandaj, do të ishte më e saktë të shtoni termin C kudo në kolonën e dytë të tabelës, ku C është një numër real arbitrar.
2. Për hir të shkurtësisë, ndonjëherë në vend të frazës “funksioni y = F(x) është një antiderivativ i funksionit y = f(x),” ata thonë se F(x) është një antiderivativ i f(x) .”
2. Rregullat për gjetjen e antiderivativëve
Gjatë gjetjes së antiderivativëve, si dhe gjatë gjetjes së derivateve, përdoren jo vetëm formula (ato janë të renditura në tabelën në f. 196), por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.
Ne e dimë se derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivati i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Ne tërheqim vëmendjen tuaj për disi "lehtësia" e këtij formulimi. Në fakt, duhet formuluar teorema: nëse funksionet y = f(x) dhe y = g(x) kanë antiderivat në intervalin X, përkatësisht y-F(x) dhe y-G(x), atëherë shuma e funksioneve y = f(x)+g(x) ka një antiderivativ në intervalin X, dhe ky antiderivativ është funksioni y = F(x)+G(x). Por zakonisht, kur formulojnë rregulla (dhe jo teorema), ato lënë vetëm fjalë kyçe- kjo e bën më të përshtatshëm zbatimin e rregullit në praktikë
Shembulli 2. Gjeni antiderivativin për funksionin y = 2x + cos x.
Zgjidhje. Antiderivati për 2x është x"; antiderivati për cox është sin x. Kjo do të thotë se antiderivati për funksionin y = 2x + cos x do të jetë funksioni y = x 2 + sin x (dhe në përgjithësi çdo funksion i formës Y = x 1 + sinx + C) .
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e antiderivativit.
Shembulli 3.
Zgjidhje. a) Antiderivati për sin x është -soz x; Kjo do të thotë se për funksionin y = 5 sin x funksioni antiderivativ do të jetë funksioni y = -5 cos x.
b) Antiderivativi për cos x është sin x; Kjo do të thotë se antiderivati i një funksioni është funksioni
c) Antiderivati për x 3 është antiderivati për x, antiderivati për funksionin y = 1 është funksioni y = x. Duke përdorur rregullat e para dhe të dyta për gjetjen e antiderivativëve, gjejmë se antiderivati për funksionin y = 12x 3 + 8x-1 është funksioni
Koment. Siç dihet, derivati i një produkti nuk është i barabartë me produktin e derivateve (rregulli për diferencimin e një produkti është më kompleks) dhe derivati i një herësi nuk është i barabartë me herësin e derivateve. Prandaj, nuk ka rregulla për gjetjen e antiderivatit të produktit ose antiderivativit të herësit të dy funksioneve. Bej kujdes!
Le të marrim një rregull tjetër për gjetjen e antiderivativëve. Dimë se derivati i funksionit y = f(kx+m) llogaritet me formulë
Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 3. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati për funksionin y=f(kx+m) është funksioni
Me të vërtetë,
Kjo do të thotë se është një antiderivativ për funksionin y = f(kx+m).
Kuptimi i rregullit të tretë është si më poshtë. Nëse e dini se antiderivati i funksionit y = f(x) është funksioni y = F(x), dhe ju duhet të gjeni antiderivativin e funksionit y = f(kx+m), atëherë veproni kështu: merrni i njëjti funksion F, por në vend të argumentit x, zëvendësohet shprehja kx+m; përveç kësaj, mos harroni të shkruani "faktori korrigjues" përpara shenjës së funksionit
Shembulli 4. Gjeni antiderivativë për funksionet e dhëna:
Zgjidhje, a) Antiderivati për sin x është -soz x; Kjo do të thotë se për funksionin y = sin2x antiderivati do të jetë funksioni
b) Antiderivativi për cos x është sin x; Kjo do të thotë se antiderivati i një funksioni është funksioni
c) Antiderivati për x 7 do të thotë që për funksionin y = (4-5x) 7 antiderivati do të jetë funksioni
3. Integrali i pacaktuar
Ne kemi vërejtur tashmë më lart se problemi i gjetjes së një antiderivati për një funksion të caktuar y = f(x) ka më shumë se një zgjidhje. Le të diskutojmë këtë çështje në më shumë detaje.
Dëshmi. 1. Le të jetë y = F(x) antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X. Kjo do të thotë se për të gjitha x nga X vlen barazia x"(x) = f(x). gjeni derivatin e çdo funksioni të formës y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Pra, (F(x)+C) = f(x). Kjo do të thotë se y = F(x) + C është një antiderivativ për funksionin y = f(x).
Kështu, ne kemi vërtetuar se nëse funksioni y = f(x) ka një antiderivativ y=F(x), atëherë funksioni (f = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, për shembull, çdo funksion i formës y = F(x) +C është një antiderivativ.
2. Le të provojmë tani se lloji i treguar i funksioneve shteron të gjithë grupin e antiderivativëve.
Le të jenë y=F 1 (x) dhe y=F(x) dy antiderivativë për funksionin Y = f(x) në intervalin X. Kjo do të thotë se për të gjitha x nga intervali X vlejnë marrëdhëniet e mëposhtme: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Le të shqyrtojmë funksionin y = F 1 (x) -.F(x) dhe të gjejmë derivatin e tij: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Dihet se nëse derivati i një funksioni në një interval X është identikisht i barabartë me zero, atëherë funksioni është konstant në intervalin X (shih Teoremën 3 nga § 35). Kjo do të thotë se F 1 (x) - F (x) = C, d.m.th. Fx) = F(x)+C.
Teorema është vërtetuar.
Shembulli 5.Është dhënë ligji i ndryshimit të shpejtësisë me kohën: v = -5sin2t. Gjeni ligjin e lëvizjes s = s(t), nëse dihet se në kohën t=0 koordinata e pikës ishte e barabartë me numrin 1.5 (d.m.th. s(t) = 1.5).
Zgjidhje. Meqenëse shpejtësia është një derivat i koordinatës në funksion të kohës, së pari duhet të gjejmë antiderivativin e shpejtësisë, d.m.th. antiderivativ për funksionin v = -5sin2t. Një nga antiderivativët e tillë është funksioni , dhe grupi i të gjithë antiderivativëve ka formën:
Për të gjetur vlerën specifike të konstantës C, ne përdorim kushtet fillestare, sipas të cilit, s(0) = 1.5. Duke zëvendësuar vlerat t=0, S = 1.5 në formulën (1), marrim:
Duke zëvendësuar vlerën e gjetur të C në formulën (1), marrim ligjin e lëvizjes që na intereson:
Përkufizimi 2. Nëse një funksion y = f(x) ka një antiderivativ y = F(x) në një interval X, atëherë bashkësia e të gjithë antiderivativëve, d.m.th. bashkësia e funksioneve të formës y = F(x) + C quhet integrali i pacaktuar i funksionit y = f(x) dhe shënohet me:
(lexo:" integral i pacaktuar ef nga x de x").
Në paragrafin tjetër do të zbulojmë se cili është kuptimi i fshehur i këtij përcaktimi.
Bazuar në tabelën e antiderivativëve të disponueshëm në këtë seksion, ne do të përpilojmë një tabelë të integraleve kryesore të pacaktuara:
Bazuar në tre rregullat e mësipërme për gjetjen e antiderivativëve, ne mund të formulojmë rregullat përkatëse të integrimit.
Rregulli 1. Integrali i shumës së funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve të këtyre funksioneve:
Rregulli 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:
Rregulli 3. Nëse
Shembulli 6. Nuk mund të gjendet integrale të përcaktuara:
Zgjidhje, a) Duke përdorur rregullat e parë dhe të dytë të integrimit, marrim:
Tani le të përdorim formulat e 3-të dhe të 4-të të integrimit:
Si rezultat marrim:
b) Duke përdorur rregullin e tretë të integrimit dhe formulën 8, marrim:
c) Për të gjetur drejtpërdrejt një integral të dhënë, nuk kemi as formulën përkatëse dhe as rregullin përkatës. Në raste të tilla, ndonjëherë ndihmojnë transformimet identike të kryera më parë të shprehjes që përmbahet nën shenjën integrale.
Le të përdorim formulën trigonometrike për zvogëlimin e shkallës:
Pastaj gjejmë në mënyrë sekuenciale:
A.G. Mordkovich Algjebra klasa e 10-të
Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë
Funksioni F(x ) thirrur antiderivativ për funksion f(x) në një interval të caktuar, nëse për të gjithë x nga ky interval vlen barazia
F"(x ) = f(x ) .
Për shembull, funksioni F(x) = x 2 f(x ) = 2X , sepse
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Vetia kryesore e antiderivativit
Nëse F(x) - antiderivativ i një funksioni f(x) në një interval të caktuar, pastaj funksioni f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe të gjitha këto antiderivative mund të shkruhen në formë F(x) + C, Ku ME është një konstante arbitrare.
Për shembull. Funksioni F(x) = x 2 + 1 është një antiderivativ i funksionit f(x ) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funksionin F(x) = x 2 - 1 është një antiderivativ i funksionit f(x ) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funksionin F(x) = x 2 - 3 është një antiderivativ i funksionit f(x) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); ndonjë funksion F(x) = x 2 + ME , Ku ME - një konstante arbitrare, dhe vetëm një funksion i tillë është një antiderivativ i funksionit f(x) = 2X . ◄ |
Rregullat për llogaritjen e antiderivativëve
- Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , A G(x) - antiderivativ për g(x) , Kjo F(x) + G(x) - antiderivativ për f(x) + g(x) . Me fjale te tjera, antiderivati i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve .
- Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , Dhe k - konstante, atëherë k · F(x) - antiderivativ për k · f(x) . Me fjale te tjera, faktori konstant mund të nxirret nga shenja e derivatit .
- Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , Dhe k,b- konstante, dhe k ≠ 0 , Kjo 1 / k F( k x+ b ) - antiderivativ për f(k x+ b) .
Integrali i pacaktuar
Integrali i pacaktuar nga funksioni f(x) quajtur shprehje F(x) + C, domethënë bashkësia e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x) . Integrali i pacaktuar shënohet si më poshtë:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- thërrasin ata funksioni i integruar ;
f(x) dx- thërrasin ata integrand ;
x - thërrasin ata variabli i integrimit ;
F(x) - një nga funksionet primitive f(x) ;
ME është një konstante arbitrare.
Për shembull, ∫ 2 x dx =X 2 + ME , ∫ cosx dx = mëkat X + ME e kështu me radhë. ◄
Fjala "integrale" vjen nga fjalë latine numër i plotë , që do të thotë "restauruar". Duke marrë parasysh integralin e pacaktuar të 2 x, duket se e rivendosim funksionin X 2 , derivati i të cilit është i barabartë me 2 x. Rivendosja e një funksioni nga derivati i tij, ose, çfarë është e njëjtë, gjetja e një integrali të pacaktuar mbi një integrand të caktuar quhet integrimin këtë funksion. Integrimi është operacioni i kundërt i diferencimit.Për të kontrolluar nëse integrimi është kryer në mënyrë korrekte, mjafton të diferencohet rezultati dhe të merret integrand.
Vetitë themelore të integralit të pacaktuar
- Derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:
- Faktori konstant i integrandit mund të hiqet nga shenja integrale:
- Integrali i shumës (diferencës) së funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve të këtyre funksioneve:
- Nëse k,b- konstante, dhe k ≠ 0 , Kjo
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Tabela e antiderivativëve dhe integraleve të pacaktuara
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| I. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \fillimi(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\n \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \djathtas) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \djathtas ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Zakonisht quhen integralet antiderivativ dhe të pacaktuar të dhënë në këtë tabelë antiderivatet tabelare
Dhe integrale tavoline
. |
|||
Integral i caktuar
Lëreni në mes [a; b] dhënë funksion të vazhdueshëm y = f(x) , Pastaj integrali i caktuar nga a në b funksione f(x) quhet rritje e antiderivativit F(x) ky funksion, pra
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Numrat a Dhe b thirren në përputhje me rrethanat më të ulëta Dhe krye kufijtë e integrimit.
Rregullat themelore për llogaritjen e integralit të caktuar
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ku k - konstante;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), ku f(x) — edhe funksioni;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), ku f(x) është një funksion tek.
Komentoni . Në të gjitha rastet, supozohet se integrandët janë të integrueshëm në intervale numerike, kufijtë e të cilave janë kufijtë e integrimit.
Kuptimi gjeometrik dhe fizik i integralit të caktuar
| Kuptimi gjeometrik integral i caktuar | Kuptimi fizik
integral i caktuar |
 |  |
Sheshi S trapezoid lakor (një figurë e kufizuar nga grafiku i një pozitivi të vazhdueshëm në interval [a; b] funksione f(x) , boshti kau dhe drejt x=a , x=b ) llogaritet me formulë $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Rrugë s, të cilin pika materiale e ka kapërcyer, duke lëvizur drejtvizor me një shpejtësi që ndryshon sipas ligjit v(t)
, për një periudhë kohore a ;
b] , pastaj zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe vijat e drejta x = a
, x = b
, llogaritur me formulë $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Për shembull. Le të llogarisim sipërfaqen e figurës së kufizuar me vija y = x 2 Dhe y = 2- x . Le të paraqesim skematikisht grafikët e këtyre funksioneve dhe të theksojmë me një ngjyrë të ndryshme figurën, zona e së cilës duhet të gjendet. Për të gjetur kufijtë e integrimit, zgjidhim ekuacionin: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)(2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\majtas (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \djathtas )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Vëllimi i një trupi revolucioni
 | Nëse një trup fitohet si rezultat i rrotullimit rreth një boshti kau trapezi lakor i kufizuar nga një grafik i vazhdueshëm dhe jo negativ në interval [a; b] funksione y = f(x) dhe drejt x = a Dhe x = b , atëherë quhet trupi i rrotullimit . Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet me formulën $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Nëse një trup rrotullimi fitohet si rezultat i rrotullimit të një figure të kufizuar sipër dhe poshtë nga grafikët e funksioneve y = f(x) Dhe y = g(x) , në përputhje me rrethanat, atëherë $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Për shembull. Le të llogarisim vëllimin e një koni me rreze r
dhe lartësia h
. Le ta pozicionojmë konin në një sistem koordinativ drejtkëndor në mënyrë që boshti i tij të përputhet me boshtin kau
, dhe qendra e bazës ndodhej në origjinë. Rrotullimi i gjeneratorit AB përcakton një kon. Që nga ekuacioni AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| dhe për vëllimin e konit kemi $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\majtas (0-\frac(1)(3) \djathtas)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Më parë, duke pasur parasysh një funksion të caktuar, të udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjetëm derivatin e tij. Derivati ka përdorime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën v=gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet që s"(t) = v(t). Kjo do të thotë se për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni një funksion s = s(t), derivati i të cilit është i barabartë me gt. Nuk është e vështirë të merret me mend. se \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Në fakt
\(s"(t) = \majtas(\frac(gt^2)(2) \djathtas)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Përgjigje: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne morëm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si ligj i lëvizje, pasi \(\majtas (\frac(gt^2)(2) +C \djathtas)" = gt \)
Për ta bërë problemin më specifik, na u desh të rregullonim situatën fillestare: të tregojmë koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull në t = 0. Nëse, të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia s(t) = (gt 2)/2 + C marrim: s(0) = 0 + C, d.m.th. C = s 0. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Në matematikë, operacioneve reciproke të anasjellta u jepen emra të ndryshëm, shpiken shënime të veçanta, për shembull: katrori (x 2) dhe rrënja katrore (\(\sqrt(x) \)), sinusi (sin x) dhe arcsine (arcsin x) dhe etj. Procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni të caktuar quhet diferencimi, dhe operacioni i anasjelltë, pra procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, është integrimin.
Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në terma të përditshëm": funksioni y = f(x) "lind" një funksion të ri y" = f"(x). Funksioni y = f(x) vepron si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë atë "prind" ose "prodhues"; ata thonë se është, në lidhje me funksionin y" = f"( x) , imazh primar ose primitiv.
Përkufizimi. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X nëse barazia F"(x) = f(x) vlen për \(x \në X\)
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).
Le të japim shembuj.
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për çdo x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë
2) Funksioni y = x 3 është antiderivativ për funksionin y = 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë
3) Funksioni y = sin(x) është antiderivativ për funksionin y = cos(x), pasi për çdo x barazia (sin(x))" = cos(x) është e vërtetë
Kur gjenden antiderivatet, si dhe derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.
Ne e dimë se derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivati i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Nëse F(x) është një antiderivativ për f(x), atëherë kF(x) është një antiderivativ për kf(x).
Teorema 1. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati për funksionin y = f(kx + m) është funksioni \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X, atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C.
Metodat e integrimit
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)
Metoda e integrimit me zëvendësim përfshin futjen e një variabli të ri integrimi (d.m.th., zëvendësimi). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për zgjedhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet përmes praktikës.
Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali \(\textstyle \int F(x)dx \). Le të bëjmë zëvendësimin \(x= \varphi(t) \) ku \(\varphi(t) \) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrimi i shprehjeve të formës \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Nëse m është tek, m > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi sin x = t.
Nëse n është tek, n > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.
Integrimi sipas pjesëve
Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ose:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
