Gjeni gradën e një matrice: metoda dhe shembuj. Rangu i matricës

Elementare Transformimet e mëposhtme të matricës quhen:

1) ndërrimi i çdo dy rreshtash (ose kolonash),

2) shumëzimi i një rreshti (ose kolone) me një numër jo zero,

3) duke shtuar në një rresht (ose kolonë) një rresht tjetër (ose kolonë), të shumëzuar me një numër të caktuar.

Të dy matricat quhen ekuivalente, nëse njëra prej tyre merret nga tjetra duke përdorur një grup të kufizuar transformimesh elementare.

Matricat ekuivalente nuk janë, në përgjithësi, të barabarta, por radhët e tyre janë të barabarta. Nëse matricat A dhe B janë ekuivalente, atëherë shkruhet si më poshtë: A ~ B.

Kanonike Një matricë është një matricë në të cilën në fillim të diagonales kryesore ka disa në një rresht (numri i të cilave mund të jetë zero), dhe të gjithë elementët e tjerë janë të barabartë me zero, për shembull,

Duke përdorur transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave, çdo matricë mund të reduktohet në kanonike. Renditja e një matrice kanonike është e barabartë me numrin e atyre në diagonalen e saj kryesore.

Shembulli 2 Gjeni gradën e një matrice

A=

dhe e sjellin në formë kanonike.

Zgjidhje. Nga rreshti i dytë, zbritni të parën dhe riorganizoni këto rreshta:

.

Tani nga rreshtat e dytë dhe të tretë zbresim të parën, shumëzuar me 2 dhe 5, përkatësisht:

;

zbrit të parën nga rreshti i tretë; marrim një matricë

B = ,

e cila është ekuivalente me matricën A, pasi është marrë prej saj duke përdorur një grup të fundëm transformimesh elementare. Natyrisht, rangu i matricës B është 2, dhe për rrjedhojë r(A)=2. Matrica B lehtë mund të reduktohet në kanonike. Duke zbritur kolonën e parë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjitha ato pasardhëse, i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të parë, përveç të parës, dhe elementet e rreshtave të mbetur nuk ndryshojnë. Pastaj, duke zbritur kolonën e dytë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjithë ata pasues, ne i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të dytë, përveç të dytës, dhe marrim matricën kanonike:

.

Teorema Kronecker - Capelli- kriteri i përputhshmërisë për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare:

Në mënyrë që një sistem linear të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së zgjeruar të këtij sistemi të jetë i barabartë me gradën e matricës së tij kryesore.

Vërtetim (kushtet e përputhshmërisë së sistemit)

Domosdoshmëri

Le sistemi të përbashkët Pastaj ka numra të tillë që . Prandaj, kolona është një kombinim linear i kolonave të matricës. Nga fakti se rangu i një matrice nuk do të ndryshojë nëse një rresht (kolona) fshihet ose shtohet nga sistemi i rreshtave (kolonave) të saj, i cili është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera, rrjedh se .

Përshtatshmëria

Le . Le të marrim disa minore themelore në matricë. Meqenëse, atëherë do të jetë edhe baza minore e matricës. Pastaj, sipas teoremës së bazës e mitur, kolona e fundit e matricës do të jetë një kombinim linear i kolonave bazë, domethënë kolonave të matricës. Prandaj, kolona e termave të lirë të sistemit është një kombinim linear i kolonave të matricës.

Pasojat

Numri i variablave kryesore sistemeve e barabartë me gradën e sistemit.

E përbashkët sistemi do të përcaktohet (zgjidhja e tij është unike) nëse rangu i sistemit është i barabartë me numrin e të gjitha variablave të tij.

Sistemi homogjen i ekuacioneve

Oferta15 . 2 Sistemi homogjen i ekuacioneve

është gjithmonë i përbashkët.

Dëshmi. Për këtë sistem, bashkësia e numrave , , , është një zgjidhje.

Në këtë seksion do të përdorim shënimin matricë të sistemit: .

Oferta15 . 3 Shuma e zgjidhjeve të një sistemi homogjen të ekuacioneve lineare është një zgjidhje për këtë sistem. Një zgjidhje e shumëzuar me një numër është gjithashtu një zgjidhje.

Dëshmi. Le të shërbejnë si zgjidhje për sistemin. Pastaj dhe. Le . Pastaj

Që atëherë - zgjidhja.

Lë të jetë një numër arbitrar, . Pastaj

Që atëherë - zgjidhja.

Pasoja15 . 1 Nëse një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka një zgjidhje jozero, atëherë ai ka pafundësisht shumë zgjidhje të ndryshme.

Në të vërtetë, duke shumëzuar një zgjidhje jo zero me numra të ndryshëm, do të marrim zgjidhje të ndryshme.

Përkufizimi15 . 5 Ne do të themi se zgjidhjet forma e sistemeve sistemi themelor i zgjidhjeve, nëse kolonat formojnë një sistem linearisht të pavarur dhe çdo zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i këtyre kolonave.

Një numër r quhet rangu i matricës A nëse:
1) në matricën A ka një minor të rendit r, i ndryshëm nga zero;
2) të gjitha minoret e rendit (r+1) dhe më të larta, nëse ekzistojnë, janë të barabarta me zero.
Përndryshe, rangu i një matrice është rendi minor më i lartë përveç zeros.
Emërtimet: rangA, r A ose r.
Nga përkufizimi rezulton se r është një numër i plotë pozitiv. Për një matricë zero, rangu konsiderohet të jetë zero.

Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur renditja e matricës. Në këtë rast, zgjidhja ruhet në format Word dhe Excel. shih zgjidhje shembull.

Udhëzimet. Zgjidhni dimensionin e matricës, klikoni Next.

Përkufizimi . Le të jepet një matricë e rangut r. Çdo minor i një matrice që është i ndryshëm nga zero dhe ka rend r quhet bazë, dhe rreshtat dhe kolonat e përbërësve të saj quhen rreshta dhe kolona bazë.
Sipas këtij përkufizimi, një matricë A mund të ketë disa minore bazë.

Rangu i matricës së identitetit E është n (numri i rreshtave).

Shembulli 1. Duke pasur parasysh dy matrica, dhe të miturit e tyre , . Cila prej tyre mund të merret si bazë?
Zgjidhje. Minor M 1 =0, kështu që nuk mund të jetë bazë për asnjë nga matricat. Minor M 2 =-9≠0 dhe ka rend 2, që do të thotë se mund të merret si bazë e matricave A ose / dhe B, me kusht që ato të kenë renditje të barabarta me 2. Meqenëse detB=0 (si përcaktor me dy kolona proporcionale), atëherë rangB=2 dhe M 2 mund të merren si bazë minore e matricës B. Rangu i matricës A është 3, për faktin se detA=-27≠ 0 dhe, si rrjedhim, rendi bazë minor i kësaj matrice duhet të jetë i barabartë me 3, domethënë M 2 nuk është bazë për matricën A. Vini re se matrica A ka një bazë të vetme minore, të barabartë me përcaktorin e matricës A.

Teorema (në lidhje me bazën minore). Çdo rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) bazë të saj.
Pasojat nga teorema.

1. Çdo matricë (r+1) kolonë (rresht) e rangut r është e varur në mënyrë lineare.
2. Nëse renditja e një matrice është më e vogël se numri i rreshtave (kolonave) të saj, atëherë rreshtat (kolonat) e saj varen në mënyrë lineare. Nëse rangA është e barabartë me numrin e rreshtave (kolonave) të tij, atëherë rreshtat (kolonat) janë linearisht të pavarura.
3. Përcaktori i një matrice A është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse rreshtat (kolonat) e saj janë të varura në mënyrë lineare.
4. Nëse shtoni një rresht (kolona) në një rresht (kolona) të një matrice, të shumëzuar me ndonjë numër tjetër përveç zeros, atëherë rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
5. Nëse kaloni një rresht (kolona) në një matricë, e cila është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera, atëherë rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
6. Rangu i një matrice është i barabartë me numrin maksimal të rreshtave (kolonave) të saj linearisht të pavarur.
7. Numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur është i njëjtë me numrin maksimal të kolonave linearisht të pavarura.

Shembulli 2. Gjeni gradën e një matrice .
Zgjidhje. Bazuar në përkufizimin e renditjes së matricës, ne do të kërkojmë një minor të rendit më të lartë, të ndryshëm nga zero. Së pari, le ta transformojmë matricën në një formë më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni rreshtin e parë të matricës me (-2) dhe shtoni atë në të dytin, pastaj shumëzojeni atë me (-1) dhe shtoni atë në të tretën.

Le të jepet një matricë:

.

Le të zgjedhim në këtë matricë vargje arbitrare dhe kolona arbitrare
. Pastaj përcaktorja rendi i th, i perbere nga elemente matrice
, i vendosur në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura, quhet minor matrica e rendit të th
.

Përkufizimi 1.13. Rangu i matricës
është rendi më i madh i minorit jozero të kësaj matrice.

Për të llogaritur gradën e një matrice, duhet të merren parasysh të gjitha minoret e saj të rendit më të ulët dhe, nëse të paktën njëri prej tyre është i ndryshëm nga zero, vazhdoni të merrni parasysh minorët e rendit më të lartë. Kjo qasje për përcaktimin e renditjes së një matrice quhet metoda e kufirit (ose metoda e kufirit të të miturve).

Problemi 1.4. Duke përdorur metodën e kufirit të të miturve, përcaktoni gradën e matricës
.

.

Merrni parasysh skajet e rendit të parë, për shembull,
. Pastaj vazhdojmë të shqyrtojmë disa skaje të rendit të dytë.

Për shembull,
.

Së fundi, le të analizojmë kufirin e rendit të tretë.

.

Pra, rendi më i lartë i një minoreje jo zero është 2, pra
.

Gjatë zgjidhjes së problemit 1.4, mund të vëreni se një numër i të miturve kufitarë të rendit të dytë janë jozero. Në këtë drejtim, zbatohet koncepti i mëposhtëm.

Përkufizimi 1.14. Një minor bazë i një matrice është çdo minor jo zero rendi i të cilit është i barabartë me gradën e matricës.

Teorema 1.2.(Teorema bazë e vogël). Rreshtat bazë (kolonat bazë) janë linearisht të pavarura.

Vini re se rreshtat (kolonat) e një matrice varen në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëra prej tyre mund të përfaqësohet si një kombinim linear i të tjerëve.

Teorema 1.3. Numri i rreshtave të matricës linearisht të pavarur është i barabartë me numrin e kolonave të matricës linearisht të pavarur dhe është i barabartë me gradën e matricës.

Teorema 1.4.(Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm që përcaktorja të jetë e barabartë me zero). Në mënyrë që përcaktorja - urdhri ishte e barabartë me zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rreshtat (kolonat) e saj të jenë të varura linearisht.

Llogaritja e renditjes së një matrice bazuar në përkufizimin e saj është shumë e rëndë. Kjo bëhet veçanërisht e rëndësishme për matricat e rendit të lartë. Në këtë drejtim, në praktikë, grada e një matrice llogaritet bazuar në zbatimin e teoremave 10.2 - 10.4, si dhe përdorimin e koncepteve të ekuivalencës së matricës dhe transformimeve elementare.

Përkufizimi 1.15. Dy matrica
Dhe quhen ekuivalente nëse radhët e tyre janë të barabarta, d.m.th.
.

Nëse matricat
Dhe janë ekuivalente, pastaj vini re
 .

Teorema 1.5. Rangu i matricës nuk ndryshon për shkak të transformimeve elementare.

Ne do të quajmë transformime elementare të matricës
ndonjë nga operacionet e mëposhtme në një matricë:

Zëvendësimi i rreshtave me kolona dhe kolonave me rreshtat përkatës;

Rirregullimi i rreshtave të matricës;

Kalimi i një linje elementet e së cilës janë të gjithë zero;

Shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;

Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve përkatës të një rreshti tjetër të shumëzuar me të njëjtin numër
.

Përfundim i Teoremës 1.5. Nëse matrica
të marra nga matrica duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare, pastaj matricën
Dhe janë ekuivalente.

Kur llogaritet rangu i një matrice, ajo duhet të reduktohet në një formë trapezoidale duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare.

Përkufizimi 1.16. Ne do ta quajmë trapezoidale një formë të paraqitjes së matricës kur në minorën kufitare të rendit më të lartë jo zero, të gjithë elementët poshtë atyre diagonale zhduken. Për shembull:

.

Këtu
, elementet e matricës
shkoni në zero. Atëherë forma e paraqitjes së një matrice të tillë do të jetë trapezoidale.

Si rregull, matricat reduktohen në një formë trapezoidale duke përdorur algoritmin Gaussian. Ideja e algoritmit të Gausit është që, duke shumëzuar elementët e rreshtit të parë të matricës me faktorët përkatës, arrihet që të gjithë elementët e kolonës së parë të vendosura poshtë elementit.
, do të kthehej në zero. Pastaj, duke shumëzuar elementët e kolonës së dytë me faktorët përkatës, sigurojmë që të gjithë elementët e kolonës së dytë të vendosura poshtë elementit
, do të kthehej në zero. Pastaj vazhdoni në të njëjtën mënyrë.

Problemi 1.5. Përcaktoni rangun e një matrice duke e reduktuar atë në një formë trapezoidale.

.

Për ta bërë më të lehtë përdorimin e algoritmit Gaussian, mund të ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë.








.

Është e qartë se këtu
. Megjithatë, për ta sjellë rezultatin në një formë më elegante, mund të vazhdoni më tej transformimin e kolonave.










.

Rangu i një matrice është një karakteristikë e rëndësishme numerike. Problemi më tipik që kërkon gjetjen e renditjes së një matrice është kontrollimi i konsistencës së një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Në këtë artikull do të japim konceptin e renditjes së matricës dhe do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e tij. Për të kuptuar më mirë materialin, do të analizojmë në detaje zgjidhjet e disa shembujve.

Navigimi i faqes.

Përcaktimi i rangut të një matrice dhe konceptet e nevojshme shtesë.

Përpara se të shprehni përkufizimin e rangut të një matrice, duhet të keni një kuptim të mirë të konceptit të një minori, dhe gjetja e minoreve të një matrice nënkupton aftësinë për të llogaritur përcaktuesin. Pra, nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë të kujtoni teorinë e artikullit, metodat për gjetjen e përcaktuesit të një matrice dhe vetitë e përcaktorit.

Le të marrim një matricë A të renditjes. Le të jetë k një numër natyror që nuk e kalon më të voglin e numrave m dhe n, d.m.th. .

Përkufizimi.

Rendi i vogël kth matrica A është përcaktues i një matrice katrore të rendit, e përbërë nga elementë të matricës A, të cilat janë të vendosura në k rreshta dhe k kolona të parazgjedhura, dhe renditja e elementeve të matricës A është ruajtur.

Me fjalë të tjera, nëse në matricën A fshijmë (p–k) rreshtat dhe (n–k) kolonat, dhe nga elementët e mbetur krijojmë një matricë, duke ruajtur renditjen e elementeve të matricës A, atëherë përcaktorja e matrica që rezulton është një minor i rendit k të matricës A.

Le të shohim përkufizimin e një minoreje matrice duke përdorur një shembull.

Merrni parasysh matricën .

Le të shkruajmë disa minore të rendit të parë të kësaj matrice. Për shembull, nëse zgjedhim rreshtin e tretë dhe kolonën e dytë të matricës A, atëherë zgjedhja jonë korrespondon me një minore të rendit të parë . Me fjalë të tjera, për të marrë këtë minor, ne kaluam rreshtin e parë dhe të dytë, si dhe kolonën e parë, të tretë dhe të katërt nga matrica A, dhe krijuam një përcaktues nga elementi i mbetur. Nëse zgjedhim rreshtin e parë dhe kolonën e tretë të matricës A, atëherë marrim një minor .

Le të ilustrojmë procedurën për marrjen e të miturve të konsideruar të rendit të parë
Dhe .

Kështu, minorët e rendit të parë të një matrice janë vetë elementët e matricës.

Le të tregojmë disa të mitur të rendit të dytë. Zgjidhni dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, merrni rreshtin e parë dhe të dytë dhe kolonën e tretë dhe të katërt. Me këtë zgjedhje kemi një të mitur të rendit të dytë . Ky minor gjithashtu mund të kompozohet duke fshirë rreshtin e tretë, kolonën e parë dhe të dytë nga matrica A.

Një tjetër minor i rendit të dytë i matricës A është .

Le të ilustrojmë ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të dytë
Dhe .

Në mënyrë të ngjashme, minoret e rendit të tretë të matricës A mund të gjenden. Meqenëse ka vetëm tre rreshta në matricën A, ne i zgjedhim të gjitha. Nëse zgjedhim tre kolonat e para të këtyre rreshtave, marrim një minor të rendit të tretë

Mund të ndërtohet gjithashtu duke kryqëzuar kolonën e fundit të matricës A.

Një tjetër i vogël i rendit të tretë është

fitohet duke fshirë kolonën e tretë të matricës A.

Këtu është një foto që tregon ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të tretë
Dhe .

Për një matricë të dhënë A nuk ka minore të rendit më të lartë se e treta, pasi .

Sa minore të rendit kth ka një matricë A e rendit ?

Numri i të miturve të rendit k mund të llogaritet si , ku Dhe - numri i kombinimeve përkatësisht nga p në k dhe nga n në k.

Si mund të ndërtojmë të gjitha minoret e rendit k të matricës A të rendit p me n?

Do të na duhen shumë numra rreshtash matricë dhe shumë numra kolonash. Ne shkruajmë gjithçka kombinimet e p elementeve nga k(ato do të korrespondojnë me rreshtat e zgjedhur të matricës A kur ndërtohet një minor i rendit k). Secilit kombinim të numrave të rreshtave shtojmë në mënyrë sekuenciale të gjitha kombinimet e n elementeve të k numrave të kolonave. Këto grupe kombinimesh të numrave të rreshtave dhe numrave të kolonave të matricës A do të ndihmojnë për të kompozuar të gjitha minoret e rendit k.

Le ta shohim me një shembull.

Shembull.

Gjeni të gjitha minoret e rendit të dytë të matricës.

Zgjidhje.

Meqenëse rendi i matricës origjinale është 3 me 3, totali i të miturve të rendit të dytë do të jetë .

Le të shkruajmë të gjitha kombinimet e numrave nga 3 deri në 2 rreshta të matricës A: 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3. Të gjitha kombinimet e numrave të kolonave 3 deri në 2 janë 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3.

Le të marrim rreshtat e parë dhe të dytë të matricës A. Duke zgjedhur kolonën e parë dhe të dytë, kolonën e parë dhe të tretë, kolonën e dytë dhe të tretë për këto rreshta, marrim përkatësisht minoret.

Për rreshtat e parë dhe të tretë, me një zgjedhje të ngjashme të kolonave, kemi

Mbetet për të shtuar kolonat e parë dhe të dytë, të parë dhe të tretë, të dytë dhe të tretë në rreshtat e dytë dhe të tretë:

Pra, të nëntë të miturit e rendit të dytë të matricës A janë gjetur.

Tani mund të vazhdojmë me përcaktimin e renditjes së matricës.

Përkufizimi.

Rangu i matricësështë rendi më i lartë i minorit jozero të matricës.

Rangu i matricës A shënohet si Rank(A). Ju gjithashtu mund të gjeni emërtimet Rg(A) ose Rang(A).

Nga përkufizimet e renditjes së matricës dhe matricës minore, mund të konkludojmë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe grada e një matrice jozero nuk është më pak se një.

Gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit.

Pra, metoda e parë për gjetjen e renditjes së një matrice është mënyra e regjistrimit të të miturve. Kjo metodë bazohet në përcaktimin e rangut të matricës.

Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A të rendit .

Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi zgjidhjen e këtij problemi duke numëruar të miturit.

Nëse ka të paktën një element të matricës që është i ndryshëm nga zero, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një (pasi ekziston një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).

Më pas shikojmë të miturit e rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit e rendit të dytë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minor jo-zero të rendit të dytë, atëherë vazhdojmë të numërojmë minoret e rendit të tretë, dhe grada e matricës është të paktën e barabartë me dy.

Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë përveç zeros, atëherë renditja e matricës është të paktën tre, dhe kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të katërt.

Vini re se rangu i matricës nuk mund të kalojë më të voglin e numrave p dhe n.

Shembull.

Gjeni gradën e matricës .

Zgjidhje.

Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj nuk është më pak se një.

Minoren e rendit të dytë është e ndryshme nga zero, prandaj, rangu i matricës A është të paktën dy. Kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të tretë. Totali i tyre gjërat.

Të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Prandaj, rangu i matricës është dy.

Përgjigje:

Renditja (A) = 2 .

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve.

Ka metoda të tjera për të gjetur gradën e një matrice që ju lejojnë të merrni rezultatin me më pak punë llogaritëse.

Një metodë e tillë është metodë e vogël e skajit.

Le të merremi me koncepti i skajit të vogël.

Thuhet se një M ok i vogël i rendit (k+1) të matricës A kufizohet me një të vogël M të rendit k të matricës A nëse matrica që i korrespondon minorit M ok "përmban" matricën që i korrespondon minorit. M .

Me fjalë të tjera, matrica që i korrespondon minorit kufitar M merret nga matrica që i përgjigjet minorit kufitar M ok duke fshirë elementët e një rreshti dhe një kolone.

Për shembull, merrni parasysh matricën dhe të marrë një të vogël të rendit të dytë. Le të shkruajmë të gjithë të miturit në kufi:

Metoda e kufirit të minoreve justifikohet nga teorema e mëposhtme (e paraqesim formulimin e saj pa prova).

Teorema.

Nëse të gjitha minoret që kufizojnë minorin e rendit k-të të një matrice A të rendit p me n janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit (k+1) të matricës A janë të barabarta me zero.

Kështu, për të gjetur gradën e një matrice nuk është e nevojshme të kalojmë nëpër të gjithë të miturit që janë mjaftueshëm në kufi. Numri i minoreve që kufizojnë minorin e rendit kth të një matrice A të rendit , gjendet me formulën . Vini re se nuk ka më shumë minore që kufizojnë minoren e rendit k-të të matricës A sesa ka (k + 1) minore të renditjes së matricës A. Prandaj, në shumicën e rasteve, përdorimi i metodës së kufirit të të miturve është më fitimprurës sesa thjesht numërimi i të gjithë të miturve.

Le të kalojmë në gjetjen e renditjes së matricës duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmi këtë metodë.

Nëse matrica A është jozero, atëherë si minor i rendit të parë marrim çdo element të matricës A që është i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minore kufitare jo zero (rendi i saj është dy), atëherë ne vazhdojmë të marrim parasysh të miturat e saj kufitare. Nëse të gjitha janë zero, atëherë Rank(A) = 2. Nëse të paktën një minor kufitar është jo zero (rendi i tij është tre), atëherë ne i konsiderojmë minoret kufitare të tij. Dhe kështu me radhë. Si rezultat, Rank(A) = k nëse të gjitha minoret kufitare të rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero, ose Rank(A) = min(p, n) nëse ka një jo- zero minor që kufizohet me një minor të rendit (min( p, n) – 1) .

Le të shohim metodën e kufirit të të miturve për të gjetur gradën e një matrice duke përdorur një shembull.

Shembull.

Gjeni gradën e matricës me metodën e kufirit të të miturve.

Zgjidhje.

Meqenëse elementi a 1 1 i matricës A është jozero, ne e marrim atë si një minor të rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare që është e ndryshme nga zero:

Gjendet një skaj i vogël i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të shohim të miturit e saj në kufi (të tyre gjërat):

Të gjithë të miturit që kufizojnë minorin e rendit të dytë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy.

Përgjigje:

Renditja (A) = 2 .

Shembull.

Gjeni gradën e matricës duke përdorur të mitur në kufi.

Zgjidhje.

Si minor jozero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 1 të matricës A. I mituri rrethues i rendit të dytë jo e barabartë me zero. Ky i mitur kufizohet me një të mitur të rendit të tretë
. Meqenëse nuk është e barabartë me zero dhe nuk ka asnjë të vogël kufitare për të, rangu i matricës A është i barabartë me tre.

Përgjigje:

Renditja (A) = 3 .

Gjetja e renditjes duke përdorur transformimet elementare të matricës (metoda Gauss).

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të gjetur gradën e një matrice.

Transformimet e mëposhtme të matricës quhen elementare:

• riorganizimi i rreshtave (ose kolonave) të një matrice;
• duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k, të ndryshëm nga zero;
• duke u shtuar elementeve të një rreshti (kolone) elementët përkatës të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër arbitrar k.

Matrica B quhet ekuivalente me matricën A, nëse B merret nga A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare. Ekuivalenca e matricave shënohet me simbolin "~", domethënë shkruhet A ~ B.

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur transformimet elementare të matricës bazohet në pohimin: nëse matrica B merret nga matrica A duke përdorur një numër të fundëm transformimesh elementare, atëherë Rank(A) = Rank(B) .

Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga vetitë e përcaktorit të matricës:

• Kur riorganizoni rreshtat (ose kolonat) e një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën. Nëse është e barabartë me zero, atëherë kur rreshtat (kolonat) riorganizohen, ajo mbetet e barabartë me zero.
• Kur shumëzoni të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k të ndryshëm nga zero, përcaktori i matricës që rezulton është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale të shumëzuar me k. Nëse përcaktori i matricës origjinale është i barabartë me zero, atëherë pasi të keni shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone me numrin k, përcaktori i matricës që rezulton gjithashtu do të jetë i barabartë me zero.
• Shtimi i elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar të një matrice elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër të caktuar k, nuk ndryshon përcaktuesin e saj.

Thelbi i metodës së transformimeve elementare konsiston në zvogëlimin e matricës, gradën e së cilës duhet ta gjejmë në një trapezoidale (në një rast të veçantë, në një trekëndësh të sipërm) duke përdorur transformime elementare.

Pse po bëhet kjo? Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jo zero. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon kur kryhen transformime elementare, vlera që rezulton do të jetë rangu i matricës origjinale.

Ne japim ilustrime të matricave, njëra prej të cilave duhet të merret pas transformimeve. Pamja e tyre varet nga rendi i matricës.

Këto ilustrime janë shabllone në të cilat ne do të transformojmë matricën A.

Le të përshkruajmë algoritmi i metodës.

Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A jozero të rendit (p mund të jetë e barabartë me n).

Kështu që, . Le të shumëzojmë të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës A me . Në këtë rast, marrim një matricë ekuivalente, duke e treguar atë A (1):

Elementeve të rreshtit të dytë të matricës rezultuese A (1) shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parë, shumëzuar me . Elementeve të rreshtit të tretë u shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të parë, shumëzuar me . Dhe kështu me radhë deri në vijën p-të. Le të marrim një matricë ekuivalente, ta shënojmë A (2):

Nëse të gjithë elementët e matricës rezultuese të vendosura në rreshta nga e dyta në p-th janë të barabarta me zero, atëherë rangu i kësaj matrice është i barabartë me një, dhe, rrjedhimisht, rangu i matricës origjinale është i barabartë tek një.

Nëse në rreshtat nga e dyta në p-të ka të paktën një element jozero, atëherë vazhdojmë të kryejmë transformime. Për më tepër, ne veprojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë, por vetëm me pjesën e matricës A (2) të shënuar në figurë.

Nëse , atëherë ne i riorganizojmë rreshtat dhe (ose) kolonat e matricës A (2) në mënyrë që elementi "i ri" të bëhet jo zero.

Kështu që, . Ne e shumëzojmë çdo element të rreshtit të dytë të matricës A (2) me . Ne marrim matricën ekuivalente A (3):

Elementeve të rreshtit të tretë të matricës rezultuese A (3) shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të dytë, shumëzuar me . Elementeve të rreshtit të katërt u shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të dytë, shumëzuar me . Dhe kështu me radhë deri në vijën p-të. Le të marrim një matricë ekuivalente, ta shënojmë A (4):

Nëse të gjithë elementët e matricës rezultuese të vendosura në rreshta nga e treta në p-të janë të barabarta me zero, atëherë grada e kësaj matrice është e barabartë me dy, dhe, për rrjedhojë, Rank(A) = 2.

Nëse vijat nga e treta në p-të përmbajnë të paktën një element jozero, atëherë ne vazhdojmë të kryejmë transformime. Për më tepër, ne veprojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë, por vetëm me pjesën e matricës të shënuar në figurë

Elementi është jo zero, kështu që ne mund të shumëzojmë elementet e rreshtit të dytë të matricës A (2) me:

Elementeve të rreshtit të tretë të matricës që rezulton shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të dytë, shumëzuar me; te elementet e rreshtit të katërt – elementet e rreshtit të dytë shumëzuar me ; te elementet e rreshtit të pestë – elementet e rreshtit të dytë, shumëzuar me:

Të gjithë elementët e rreshtave të tretë, të katërt dhe të pestë të matricës që rezulton janë të barabartë me zero. Pra, duke përdorur transformimet elementare, ne e sollëm matricën A në formën trapezoidale, nga e cila mund të shihet se Rank(A (4)) = 2. Prandaj, rangu i matricës origjinale është gjithashtu dy.

Pra, kolona e parë konvertohet në formën e dëshiruar.

Elementi në matricën që rezulton është i ndryshëm nga zero. Shumëzoni elementet e rreshtit të dytë me:

Kolona e dytë e matricës që rezulton ka formën e dëshiruar, pasi elementi tashmë është i barabartë me zero.

Meqenëse , a , pastaj ndërroni kolonën e tretë dhe të katërt:

Le të shumëzojmë rreshtin e tretë të matricës që rezulton me:

Kjo përfundon transformimin. Marrim Rank(A (5))=3, pra, Rank(A)=3.

Përgjigje:

Renditja e matricës origjinale është tre.

Përmblidhni.

Ne shqyrtuam konceptin e renditjes së matricës dhe shikuam tre mënyra për ta gjetur atë:

• sipas përkufizimit duke numëruar të gjithë të miturit;
• metoda e kufirit të të miturve;
• me metodën e shndërrimeve elementare.

Këshillohet që gjithmonë të përdoret metoda e transformimeve elementare gjatë gjetjes së renditjes së një matrice, pasi ajo çon në një rezultat me më pak llogaritje në krahasim me metodën e kufirit të të miturve, dhe aq më tepër në krahasim me metodën e numërimit të të gjithë të miturve të një matricë.