Më parë ne funksioni i dhënë, i udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjeti derivatin e tij. Derivati ka përdorime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën v=gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet që s"(t) = v(t). Kjo do të thotë se për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni një funksion s = s(t), derivati i të cilit është i barabartë me gt. Nuk është e vështirë të merret me mend. se \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Në fakt
\(s"(t) = \majtas(\frac(gt^2)(2) \djathtas)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Përgjigje: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne morëm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si ligj i lëvizje, pasi \(\majtas (\frac(gt^2)(2) +C \djathtas)" = gt \)
Për ta bërë problemin më specifik, na u desh të rregullonim situatën fillestare: të tregojmë koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull në t = 0. Nëse, të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia s(t) = (gt 2)/2 + C marrim: s(0) = 0 + C, d.m.th. C = s 0. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Në matematikë caktohen veprimet reciproke emra të ndryshëm, dilni me emërtime të veçanta, për shembull: kuadrimi (x 2) dhe nxjerrja rrenja katrore(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) dhe arcsine (arcsin x), etj. Procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni të caktuar quhet diferencimi, A operacion i kundërt, pra procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, - integrimin.
Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në jetën e përditshme": funksioni y = f(x) "prodhon" veçori e re y" = f"(x). Funksioni y = f(x) vepron si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë atë "prind" ose "prodhues"; ata thonë se është, në lidhje me funksionin y" = f"( x) , imazh primar ose primitiv.
Përkufizimi. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X nëse barazia F"(x) = f(x) vlen për \(x \në X\)
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).
Le të japim shembuj.
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për çdo x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë
2) Funksioni y = x 3 është antiderivativ për funksionin y = 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë
3) Funksioni y = sin(x) është antiderivativ për funksionin y = cos(x), pasi për çdo x barazia (sin(x))" = cos(x) është e vërtetë
Kur gjenden antiderivatet, si dhe derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.
Ne e dimë se derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivati i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Nëse F(x) është një antiderivativ për f(x), atëherë kF(x) është një antiderivativ për kf(x).
Teorema 1. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati për funksionin y = f(kx + m) është funksioni \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X, atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C.
Metodat e integrimit
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)
Metoda e integrimit me zëvendësim përfshin futjen e një të reje variabli i integrimit(domethënë zëvendësime). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për zgjedhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet përmes praktikës.
Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali \(\textstyle \int F(x)dx \). Le të bëjmë zëvendësimin \(x= \varphi(t) \) ku \(\varphi(t) \) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrimi i shprehjeve të formës \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Nëse m është tek, m > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi sin x = t.
Nëse n është tek, n > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.
Integrimi sipas pjesëve
Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ose:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Klasa e funksioneve irracionale është shumë e gjerë, kështu që thjesht nuk mund të ketë një mënyrë universale për t'i integruar ato. Në këtë artikull do të përpiqemi të identifikojmë llojet më karakteristike të funksioneve të integrandit irracional dhe të lidhim metodën e integrimit me to.
Ka raste kur është e përshtatshme të përdoret metoda e nënshkrimit të shenjës diferenciale. Për shembull, kur gjenden integrale të pacaktuara të formës, ku fq– thyesa racionale.
Shembull.
Gjej integral i pacaktuar 
.
Zgjidhje.
Nuk është e vështirë të vërehet se. Prandaj, ne e vendosim atë nën shenjën diferenciale dhe përdorim tabelën e antiderivativëve: 
Përgjigje:
.
13. Zëvendësimi linear thyesor
Integralet e tipit ku a, b, c, d janë numra realë, a, b,..., d, g janë numra natyrorë, reduktohen në integrale të një funksioni racional me zëvendësim, ku K është shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesit e thyesave
Në të vërtetë, nga zëvendësimi rrjedh se
dmth x dhe dx shprehen përmes funksioneve racionale të t. Për më tepër, çdo shkallë e thyesës shprehet përmes një funksioni racional të t.
Shembulli 33.4. Gjeni integralin 
Zgjidhje: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesve të thyesave 2/3 dhe 1/2 është 6.
Prandaj, vendosim x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Prandaj,
Shembulli 33.5. Specifikoni zëvendësimin për gjetjen e integraleve:
Zgjidhje: Për I 1 zëvendësim x=t 2, për I 2 zëvendësim
14. Zëvendësimi trigonometrik
Integralet e tipit reduktohen në integrale funksionesh që varen racionalisht nga funksionet trigonometrike duke përdorur zëvendësimet trigonometrike të mëposhtme: x = një sint për integralin e parë; x=a tgt për integralin e dytë; për integralin e tretë.
Shembulli 33.6. Gjeni integralin 
Zgjidhje: Le të vendosim x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Pastaj
Këtu integrani është një funksion racional në lidhje me x dhe 
Duke zgjedhur një katror të plotë nën radikalin dhe duke bërë një zëvendësim, integralet e tipit të treguar reduktohen në integrale të tipit të konsideruar tashmë, d.m.th., në integrale të tipit 
Këto integrale mund të llogariten duke përdorur zëvendësimet e duhura trigonometrike.
Shembulli 33.7. Gjeni integralin 
Zgjidhje: Meqenëse x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atëherë x+1=t, x=t-1, dx=dt. Kjo është arsyeja pse 
Le të vendosim 
Shënim: Lloji integral 
Është e përshtatshme për të gjetur duke përdorur zëvendësimin x=1/t.
15. Integrali i caktuar
Le të përcaktohet një funksion në një segment dhe të ketë një antiderivativ në të. Diferenca quhet integral i caktuar funksionojnë përgjatë segmentit dhe shënojnë. Kështu që,
Dallimi shkruhet në formë, atëherë 
. Numrat thirren kufijtë e integrimit
.
Për shembull, një nga antiderivativët për një funksion. Kjo është arsyeja pse
16 . Nëse c është një numër konstant dhe funksioni ƒ(x) është i integrueshëm në , atëherë
pra faktori konstant c mund të nxirret nga shenja e integralit të caktuar.
▼Le të hartojmë shumën integrale për funksionin me ƒ(x). Ne kemi:
Më pas rrjedh se funksioni c ƒ(x) është i integrueshëm në [a; b] dhe formula (38.1) është e vlefshme.▲
2. Nëse funksionet ƒ 1 (x) dhe ƒ 2 (x) janë të integrueshëm në [a;b], atëherë të integrueshëm në [a; b] shuma e tyre u
pra, integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve.
▼ 
▲
Vetia 2 zbatohet për shumën e çdo numri të kufizuar termash.
3.
Kjo pronë mund të pranohet me përkufizim. Kjo veti konfirmohet edhe nga formula e Newton-Leibniz.
4. Nëse funksioni ƒ(x) është i integrueshëm në [a; b] dhe a< с < b, то
domethënë, integrali mbi të gjithë segmentin është i barabartë me shumën e integraleve mbi pjesët e këtij segmenti. Kjo veti quhet aditiviteti i një integrali të caktuar (ose vetia e aditivitetit).
Kur e ndajmë segmentin [a;b] në pjesë, ne përfshijmë pikën c në numrin e pikave të ndarjes (kjo mund të bëhet për shkak të pavarësisë së kufirit të shumës integrale nga metoda e ndarjes së segmentit [a;b] në pjesë). Nëse c = x m, atëherë shuma integrale mund të ndahet në dy shuma:
Secila nga shumat e shkruara është integrale, përkatësisht, për segmentet [a; b], [a; s] dhe [s; b]. Duke kaluar në kufirin në barazinë e fundit si n → ∞ (λ → 0), marrim barazinë (38.3).
Vetia 4 është e vlefshme për çdo vendndodhje të pikave a, b, c (supozojmë se funksioni ƒ (x) është i integrueshëm në pjesën më të madhe të segmenteve që rezultojnë).
Kështu, për shembull, nëse a< b < с, то
(u përdorën vetitë 4 dhe 3).
5. "Teorema mbi vlerat mesatare". Nëse funksioni ƒ(x) është i vazhdueshëm në intervalin [a; b], atëherë ka një tonka me є [a; b] të tillë që
▼Me formulën Njuton-Leibniz kemi
ku F"(x) = ƒ(x). Duke zbatuar teoremen e Lagranzhit (teoremen mbi rritjen e fundme te nje funksioni) ne ndryshimin F(b)-F(a), marrim
F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲
Vetia 5 ("teorema e vlerës mesatare") për ƒ (x) ≥ 0 ka një kuptim të thjeshtë gjeometrik: vlera e integralit të caktuar është e barabartë, për disa c є (a; b), me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me lartësi ƒ (c) dhe bazë b-a (shih Fig. 170). Numri 
quhet vlera mesatare e funksionit ƒ(x) në intervalin [a; b].
6. Nëse funksioni ƒ (x) ruan shenjën e tij në segmentin [a; b], ku a< b, то интегралимеет
тот же знак, что и функция. Так, если
ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼Me "teoremën e vlerës mesatare" (vetia 5)
ku c є [a; b]. Dhe meqenëse ƒ(x) ≥ 0 për të gjithë x О [a; b], atëherë
ƒ(с)≥0, b-a>0.
Prandaj ƒ(с) (b-а) ≥ 0, d.m.th. 
▲
7. Pabarazi ndërmjet funksioneve të vazhdueshme në intervalin [a; b], (a
▼Meqenëse ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, atëherë kur një< b, согласно свойству 6, имеем
Ose, sipas pronës 2,
Vini re se është e pamundur të dallohen pabarazitë.
8. Vlerësimi i integralit. Nëse m dhe M janë, përkatësisht, vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit y = ƒ (x) në segmentin [a; b], (a< b), то
▼Meqenëse për çdo x є [a;b] kemi m≤ƒ(x)≤M, atëherë, sipas vetive 7, kemi
Duke aplikuar vetinë 5 në integralet ekstreme, marrim
▲
Nëse ƒ(x)≥0, atëherë vetia 8 ilustrohet gjeometrikisht: sipërfaqja e një trapezi lakor është e mbyllur midis zonave të drejtkëndëshave baza e të cilëve është , dhe lartësitë e të cilëve janë m dhe M (shih Fig. 171).
9. Moduli i një integrali të caktuar nuk e kalon integralin e modulit të integrandit:
▼Duke zbatuar vetinë 7 për pabarazitë e dukshme -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, marrim
Nga kjo rrjedh se
▲
10. Derivati i një integrali të caktuar në lidhje me një kufi të sipërm të ndryshores është i barabartë me integrandin në të cilin ndryshorja e integrimit zëvendësohet me këtë kufi, d.m.th.
Llogaritja e sipërfaqes së një figure është një nga problemet më të vështira në teorinë e zonës. Në kursin e gjeometrisë shkollore mësuam të gjejmë sipërfaqet e formave bazë gjeometrike, për shembull, rreth, trekëndësh, romb etj. Sidoqoftë, shumë më shpesh duhet të merreni me llogaritjen e zonave të shifrave më komplekse. Kur zgjidhen probleme të tilla, duhet të përdoret llogaritja integrale.
Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemin e llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor, dhe do t'i qasemi asaj në një kuptim gjeometrik. Kjo do të na lejojë të zbulojmë lidhjen e drejtpërdrejtë midis integralit të caktuar dhe zonës së një trapezi lakor.
Përkufizimi 1
Bashkësia e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar $y=f(x)$, e përcaktuar në një segment të caktuar, quhet integrali i pacaktuar i një funksioni të caktuar $y=f(x)$. Integrali i pacaktuar shënohet me simbolin $\int f(x)dx $.
Komentoni
Përkufizimi 2 mund të shkruhet si më poshtë:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Jo çdo funksion irracional mund të shprehet si një integral përmes funksioneve elementare. Megjithatë, shumica e këtyre integraleve mund të reduktohen duke përdorur zëvendësime në integrale të funksioneve racionale, të cilat mund të shprehen në terma të funksioneve elementare.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \djathtas)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \djathtas)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \djathtas)^(r/s) \djathtas)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \djathtas)dx $.
I
Kur gjeni një integral të formës $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ është e nevojshme të kryhet zëvendësimi i mëposhtëm:
Me këtë zëvendësim, çdo fuqi fraksionale e ndryshores $x$ shprehet përmes një fuqie të plotë të ndryshores $t$. Si rezultat, funksioni integrand transformohet në një funksion racional të ndryshores $t$.
Shembulli 1
Kryeni integrimin:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Zgjidhja:
$k=4$ është emëruesi i përbashkët i thyesave $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\fillimi(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2))(t^(3) +1) \djathtas)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2))(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\fund(array)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
II
Kur gjejmë një integral të formës $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ është e nevojshme të kryhet zëvendësimi i mëposhtëm:
ku $k$ është emëruesi i përbashkët i thyesave $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
Si rezultat i këtij zëvendësimi, funksioni integrand transformohet në një funksion racional të ndryshores $t$.
Shembulli 2
Kryeni integrimin:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Zgjidhja:
Le të bëjmë zëvendësimin e mëposhtëm:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \majtas(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \djathtas)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \majtas |\frac(t-2)(t+2) \djathtas|+C\]
Pasi kemi bërë zëvendësimin e kundërt, marrim rezultatin përfundimtar:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \majtas|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \djathtas|+C.\]
III
Kur gjendet një integral i formës $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, kryhet i ashtuquajturi zëvendësim i Euler-it (një nga tre zëvendësimet e mundshme është përdorur).
Zëvendësimi i parë i Euler
Për rastin $a>
Duke marrë shenjën “+” përpara $\sqrt(a) $, marrim
Shembulli 3
Kryeni integrimin:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) .\]
Zgjidhja:
Le të bëjmë zëvendësimin e mëposhtëm (rasti $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t)) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
Pasi kemi bërë zëvendësimin e kundërt, marrim rezultatin përfundimtar:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
Zëvendësimi i dytë i Euler
Për rastin $c>0$ është e nevojshme të kryhet zëvendësimi i mëposhtëm:
Duke marrë shenjën "+" përpara $\sqrt(c) $, marrim
Shembulli 4
Kryeni integrimin:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Zgjidhja:
Le të bëjmë zëvendësimin e mëposhtëm:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2)) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Duke bërë të kundërtën zëvendësim, marrim rezultatin përfundimtar:
\[\fille(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \majtas|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \djathtas|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \majtas|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\djathtas|+C) \fund ( grup)\]
Zëvendësimi i tretë i Euler
Le të shqyrtojmë integrale me rrënjë thyesore funksion linear:
(1)
,
ku R është funksioni racional i argumenteve të tij. Kjo do të thotë, një funksion i përbërë nga argumentet e tij dhe konstantat arbitrare duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh të mbledhjes (zbritjes), shumëzimit dhe pjesëtimit (duke ngritur në një fuqi numër të plotë).
Shembuj të integraleve të konsideruar me irracionalitet linear thyesor
Le të japim shembuj të integraleve me rrënjë të formës (1) .
Shembulli 1
Edhe pse këtu shenja integrale përfshin rrënjë të shkallëve të ndryshme, shprehja integrand mund të transformohet si më poshtë:
;
;
.
Kështu, integrandi përbëhet nga ndryshorja e integrimit x dhe rrënja e funksionit linear duke përdorur një numër të kufizuar të veprimeve të zbritjes, pjesëtimit dhe shumëzimit. Prandaj është një funksion racional i x dhe dhe i përket llojit në shqyrtim (1)
me vlera konstante n = 6
,
α = β = δ = 1
,
γ = 0
:
.
Shembulli 2
Këtu bëjmë konvertimin:
.
Kjo tregon se integrandi është një funksion racional i x dhe . Prandaj i përket llojit në fjalë.
Shembull i përgjithshëm i irracionalitetit linear thyesor
Në më shumë rast i përgjithshëm, integrandi mund të përfshijë çdo numër të kufizuar rrënjësh të të njëjtit funksion thyesor linear:
(2)
,
ku R është funksioni racional i argumenteve të tij,
- numrat racionalë,
m 1, n 1, ..., m s, n s- numrat e plotë.
Në të vërtetë, le të jetë n emëruesi i përbashkët i numrave r 1, ..., r s. Atëherë ato mund të përfaqësohen si:
,
ku k 1 , k 2 , ..., k s- numrat e plotë. Pastaj të gjithë të përfshirë në (2)
rrënjët janë fuqitë e:
,
,
. . . . .
.
Kjo është, i gjithë integrandi (2)
i përbërë nga x dhe rrënjë duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh mbledhjeje, shumëzimi dhe pjesëtimi. Prandaj është një funksion racional i x dhe :
.
Metoda e integrimit rrënjë
Integrale me irracionalitetin linear thyesor
(1)
reduktohet në integralin e një funksioni racional me zëvendësim
(3)
.
Dëshmi
Nxjerrja e rrënjës së shkallës n nga të dyja anët (3)
:
.
Le të transformohemi (3)
:
;
;
.
Gjetja e derivatit:
;
;
.
Diferenciale:
.
Zëvendësoni në (1)
:
.
Kjo tregon se funksioni integrand përbëhet nga konstante dhe një ndryshore integruese t duke përdorur një numër të fundëm të veprimeve të mbledhjes (zbritjes), shumëzimit (rritjes në një fuqi numër të plotë) dhe ndarjes. Prandaj, integrandi është një funksion racional i ndryshores së integrimit. Kështu, llogaritja e integralit u reduktua në integrimin e një funksioni racional. Q.E.D.
Shembull i integrimit të irracionalitetit linear
Gjeni integralin:
Zgjidhje
Meqenëse integrali përfshin rrënjë të të njëjtit funksion linear (fraksional) x + 1 , dhe integrandi formohet duke përdorur veprimet e zbritjes dhe pjesëtimit, atëherë ky integral i përket llojit në shqyrtim.
Le ta transformojmë integrandin në mënyrë që të përfshijë rrënjë të së njëjtës shkallë:
;
;
.
Bërja e një zëvendësimi
x+ 1 = t 6.
Le të marrim diferencën:
d (x + 1) = dx = (
t 6 )′
dt = 6 t 5 dt.
Le të zëvendësojmë:
x = t 6 - 1
;
;
;
.
Zgjedhim të gjithë pjesën e thyesës duke vënë në dukje se
t 6 - 1 =
(t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Pastaj
.
Përgjigju
,
Ku .
Shembull i integrimit të irracionalitetit thyesor-linear
Gjeni integralin
Zgjidhje
Le të zgjedhim rrënjën e funksionit thyesor linear:
.
Pastaj
.
Bërja e një zëvendësimi
.
Merrni diferencialin
.
Gjetja e derivatit
.
Pastaj
.
Më pas vërejmë se
.
Zëvendësoni në integrand
.
Përgjigju
Referencat:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, "Lan", 2003.
