Matrica А -1 quhet matricë e anasjelltë në lidhje me matricën А nëse А * А -1 = Е, ku Е është matrica e njësisë së rendit të n-të. Një matricë e kundërt mund të ekzistojë vetëm për matricat katrore.
Qëllimi i shërbimit... Me ndihmën e këtij shërbimi në internet mund të gjeni komplementet algjebrike, matricën e transpozuar A T, matricën e bashkuar dhe matricën e anasjelltë. Zgjidhja kryhet direkt në faqen e internetit (online) dhe është pa pagesë. Rezultatet e llogaritjes paraqiten në një raport Word dhe në formatin Excel (d.m.th. është e mundur të kontrollohet zgjidhja). shikoni shembullin e dizajnit.
Udhëzim. Për të marrë një zgjidhje, është e nevojshme të vendosni dimensionin e matricës. Më pas, në një kuti të re dialogu, plotësoni matricën A.
Shihni gjithashtu matricën e anasjelltë duke përdorur metodën Jordan-Gauss
Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt
- Gjetja e matricës së transpozuar A T.
- Përkufizimi i plotësuesve algjebrikë. Zëvendësoni çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik.
- Përbërja e një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës që rezulton ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
- Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë inverse për të.
- Llogaritja e përcaktorit të matricës A. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe, matrica e kundërt nuk ekziston.
- Përkufizimi i plotësuesve algjebrikë.
- Plotësimi i matricës bashkuese (reciproke, të bashkuar) C.
- Përbërja e një matrice të anasjelltë nga komplementet algjebrike: çdo element i matricës së bashkuar C ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
- Bëhet një kontroll: shumëzohen matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë matrica e identitetit.
Shembulli # 1. Le ta shkruajmë matricën si më poshtë:
Komplementet algjebrike.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3 + 2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3 + 3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pastaj matricë e anasjelltë mund të shkruhet si:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Një tjetër algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt
Le të japim një skemë tjetër për gjetjen e matricës së kundërt.- Gjeni përcaktorin e matricës katrore të dhënë A.
- Gjeni plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës A.
- Komplementet algjebrike të elementeve të rreshtit i shkruajmë në kolona (transpozim).
- Ne ndajmë çdo element të matricës që rezulton me përcaktuesin e matricës A.
Një rast i veçantë: Anasjellta e matricës së identitetit E është matrica e identitetit E.
Në matrica të tilla kryhen veprime të ndryshme: shumëzohen me njëra-tjetrën, gjejnë përcaktorë etj. Matricë- një rast i veçantë i një vargu: nëse një grup mund të ketë çfarëdo numri dimensionesh, atëherë vetëm një grup dydimensional quhet matricë.
Në programim, një matricë quhet gjithashtu një grup dy-dimensional. Çdo vargje në program ka një emër sikur të ishte një variabël. Për të sqaruar se për cilën nga qelizat e vargut nënkuptohet, kur përmendet në program, së bashku me variablin, përdoret numri i qelizës në të. Si një matricë dydimensionale ashtu edhe një grup n-dimensionale në një program mund të përmbajnë jo vetëm informacion numerik, por edhe simbolik, varg, boolean dhe informacione të tjera, por gjithmonë të njëjta brenda të gjithë grupit.
Matricat përcaktohen me shkronja të mëdha A: MxN, ku A është emri i matricës, M është numri i rreshtave në matricë dhe N është numri i kolonave. Elementet - shkronjat përkatëse të vogla me indekse që tregojnë numrin e tyre në rresht dhe në kolonën a (m, n).
Matricat më të zakonshme janë drejtkëndëshe, megjithëse në të kaluarën e largët matematikanët konsideroheshin gjithashtu trekëndore. Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të një matrice është i njëjtë, ai quhet katror. Për më tepër, M = N tashmë ka emrin e rendit të matricës. Një matricë me vetëm një rresht quhet rresht. Një matricë me vetëm një kolonë quhet kolonë. Një matricë diagonale është një matricë katrore në të cilën vetëm elementët e vendosur në diagonale janë jo zero. Nëse të gjithë elementët janë të barabartë me një, matrica quhet identitet, nëse zero - zero.
Nëse rreshtat dhe kolonat ndërrohen në matricë, ajo bëhet transpozuar. Nëse të gjithë elementët zëvendësohen me kompleks-konjugat, ai bëhet kompleks-konjugat. Përveç kësaj, ekzistojnë lloje të tjera të matricave, të përcaktuara nga kushtet që vendosen në elementët e matricës. Por shumica e këtyre kushteve vlejnë vetëm për ato katrore.
Video të ngjashme
Kjo temë do të mbulojë veprime të tilla si mbledhja dhe zbritja e matricave, shumëzimi i një matrice me një numër, shumëzimi i një matrice me një matricë, transpozimi i një matrice. Të gjitha simbolet e përdorura në këtë faqe janë marrë nga tema e mëparshme.
Mbledhja dhe zbritja e matricave.
Shuma $ A + B $ e matricave $ A_ (m \ herë n) = (a_ (ij)) $ dhe $ B_ (m \ herë n) = (b_ (ij)) $ quhet matrica $ C_ (m \ herë n) = (c_ (ij)) $, ku $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ për të gjitha $ i = \ mbivendosje (1, m) $ dhe $ j = \ mbivendosje ( 1, n) $.
Një përkufizim i ngjashëm është prezantuar për diferencën e matricave:
Diferenca $ AB $ e matricave $ A_ (m \ herë n) = (a_ (ij)) $ dhe $ B_ (m \ herë n) = (b_ (ij)) $ është matrica $ C_ (m \ herë n ) = ( c_ (ij)) $, ku $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ për të gjitha $ i = \ mbivendosje (1, m) $ dhe $ j = \ mbivendosje (1, n ) $.
Shpjegimi i hyrjes $ i = \ overline (1, m) $: show \ hide
Shënimi "$ i = \ overline (1, m) $" do të thotë që parametri $ i $ varion nga 1 në m. Për shembull, rekordi $ i = \ overline (1,5) $ thotë se parametri $ i $ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.
Duhet të theksohet se veprimet e mbledhjes dhe zbritjes përcaktohen vetëm për matricat me të njëjtën madhësi. Në përgjithësi, mbledhja dhe zbritja e matricave janë operacione intuitive të qarta, sepse ato nënkuptojnë, në fakt, vetëm mbledhjen ose zbritjen e elementeve përkatës.
Shembulli # 1
Janë dhënë tre matrica:
$$ A = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ fundi (array) \ djathtas) \; \; B = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fundi (vargu) \ djathtas); \; F = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ fund (vargu) \ djathtas). $$
A mund ta gjeni matricën $ A + F $? Gjeni matricat $ C $ dhe $ D $ nëse $ C = A + B $ dhe $ D = A-B $.
Matrica $ A $ përmban 2 rreshta dhe 3 kolona (me fjalë të tjera, madhësia e matricës $ A $ është $ 2 \ herë 3 $), dhe matrica $ F $ përmban 2 rreshta dhe 2 kolona. Madhësitë e matricës $ A $ dhe $ F $ nuk përkojnë, kështu që nuk mund t'i shtojmë ato, d.m.th. Operacioni $ A + F $ për matricat e dhëna është i papërcaktuar.
Madhësitë e matricave $ A $ dhe $ B $ janë të njëjta, d.m.th. të dhënat e matricës përmbajnë një numër të barabartë rreshtash dhe kolonash, kështu që operacioni i mbledhjes është i zbatueshëm për to.
$$ C = A + B = \ majtas (\ fillojë (grupi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ fundi (vargu) \ djathtas) + \ majtas (\ fillojë (vargu ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \\ = \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ fundi (vargu) \ djathtas) $$
Gjeni matricën $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ fundi (vargu) \ djathtas) - \ majtas (\ fillojë (vargu) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \\ = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (grupi) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) $$
Përgjigju: $ C = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ fundi (vargu) \ djathtas) $, $ D = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Shumëzimi i një matrice me një numër.
Prodhimi i matricës $ A_ (m \ herë n) = (a_ (ij)) $ me numrin $ \ alfa $ është matrica $ B_ (m \ herë n) = (b_ (ij)) $, ku $ b_ (ij) = \ alfa \ cdot a_ (ij) $ për të gjitha $ i = \ mbivendosje (1, m) $ dhe $ j = \ mbivendosje (1, n) $.
E thënë thjesht, të shumëzosh një matricë me një numër të caktuar do të thotë të shumëzosh çdo element të një matrice të caktuar me atë numër.
Shembulli nr. 2
Matrica është dhënë: $ A = \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Gjeni matricat $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ dhe $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillojë ( grup) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ fund (array) \ djathtas) = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ majtas (\ fillimi (grupi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ fund (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) ( cc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ fundi (arresi) \ djathtas). $$
Shënimi $ -A $ është një stenografi për $ -1 \ cdot A $. Kjo do të thotë, për të gjetur $ -A $, ju duhet të shumëzoni të gjithë elementët e matricës $ A $ me (-1). Në thelb, kjo do të thotë që shenja e të gjithë elementëve të matricës $ A $ do të ndryshojë në të kundërtën:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ majtas (\ fillojë (arriti) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (grupi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $$
Përgjigju: $ 3 \ cdot A = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas); -5 \ cdot A = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas); -A = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Produkti i dy matricave.
Përkufizimi i këtij operacioni është i rëndë dhe, në shikim të parë, i pakuptueshëm. Prandaj, së pari do të tregoj një përkufizim të përgjithshëm, dhe më pas do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë dhe si të punojmë me të.
Matrica $ C_ (m \ herë k) = (c_ ( ij)) $, për të cilën çdo element prej $ c_ (ij) $ është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës të rreshtit i-të të matrica $ A $ sipas elementeve të kolonës j-të të matricës $ B $: $$ c_ (ij) = \ shuma \ limitet_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$
Le të shohim shumëzimin hap pas hapi të matricës duke përdorur një shembull. Sidoqoftë, menjëherë duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që jo të gjitha matricat mund të shumëzohen. Nëse duam të shumëzojmë matricën $ A $ me matricën $ B $, atëherë së pari duhet të sigurohemi që numri i kolonave të matricës $ A $ është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës $ B $ (matrica të tilla shpesh quhen ra dakord). Për shembull, matrica $ A_ (5 \ herë 4) $ (matrica përmban 5 rreshta dhe 4 kolona) nuk mund të shumëzohet me matricën $ F_ (9 \ herë 8) $ (9 rreshta dhe 8 kolona), pasi numri e kolonave të matricës $ A $ nuk është e barabartë me numrin e rreshtave në matricën $ F $, d.m.th. 4 $ \ neq 9 $. Por ju mund ta shumëzoni matricën $ A_ (5 \ herë 4) $ me matricën $ B_ (4 \ herë 9) $, pasi numri i kolonave në matricën $ A $ është i barabartë me numrin e rreshtave në matricën $ B $. Në këtë rast, rezultati i shumëzimit të matricave $ A_ (5 \ herë 4) $ dhe $ B_ (4 \ herë 9) $ do të jetë matrica $ C_ (5 \ herë 9) $, që përmban 5 rreshta dhe 9 kolona:
Shembulli nr. 3
Matricat janë dhënë: $ A = \ majtas (\ fillojë (arriti) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ fundi (vargu) \ djathtas) $ dhe $ B = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Gjeni matricën $ C = A \ cdot B $.
Së pari, le të përcaktojmë menjëherë madhësinë e matricës $ C $. Meqenëse $ A $ është $ 3 \ herë 4 $ dhe $ B $ është $ 4 \ herë 2 $, madhësia e $ C $ është $ 3 \ herë 2 $:
Pra, si rezultat i produktit të matricave $ A $ dhe $ B $, ne duhet të marrim një matricë $ C $, të përbërë nga tre rreshta dhe dy kolona: $ C = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Nëse emërtimet e elementeve ngrenë pyetje, atëherë mund të shikoni temën paraprake: "Matricat. Llojet e matricave. Termat bazë", në fillim të së cilës shpjegohet emërtimi i elementeve të matricës. Qëllimi ynë është të gjejmë vlerat e të gjithë elementëve të matricës $ C $.
Le të fillojmë me $ c_ (11) $. Për të marrë elementin $ c_ (11) $, duhet të gjeni shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të parë të matricës $ A $ dhe kolonës së parë të matricës $ B $:
Për të gjetur vetë elementin $ c_ (11) $, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $ A $ me elementët përkatës të kolonës së parë të matricës $ B $, d.m.th. elementi i parë tek i pari, i dyti tek i dyti, i treti tek i treti, i katërti tek i katërti. Ne përmbledhim rezultatet e marra:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Le të vazhdojmë zgjidhjen dhe të gjejmë $ c_ (12) $. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $ A $ dhe kolonën e dytë të matricës $ B $:
Ngjashëm me atë të mëparshëm, kemi:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Gjenden të gjithë elementët e rreshtit të parë të $ C $. Kaloni në rreshtin e dytë, i cili fillon me $ c_ (21) $. Për ta gjetur atë, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të dytë të matricës $ A $ dhe kolonën e parë të matricës $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
Elementi tjetër $ c_ (22) $ gjendet duke shumëzuar elementët e rreshtit të dytë të matricës $ A $ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Për të gjetur $ c_ (31) $, ne shumëzojmë elementet e rreshtit të tretë të matricës $ A $ me elementët e kolonës së parë të matricës $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
Dhe, së fundi, për të gjetur elementin $ c_ (32) $, do të duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të tretë të matricës $ A $ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Gjenden të gjithë elementët e matricës $ C $, mbetet vetëm të shkruhet se $ C = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ fundi (vargu ) \ djathtas) $ ... Ose, për të shkruar të plotë:
$$ C = A \ cdot B = \ majtas (\ fillojë (arriti) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ fundi (vargu) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ fundi (vargu) \ djathtas). $$
Përgjigju: $ C = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Nga rruga, shpesh nuk ka asnjë arsye për të përshkruar në detaje gjetjen e secilit element të matricës së rezultatit. Për matricat, madhësia e të cilave është e vogël, mund të bëni sa më poshtë:
Vlen gjithashtu të theksohet se shumëzimi i matricës është jokomutativ. Kjo do të thotë se në përgjithësi $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Vetëm për disa lloje matricash që quhen ndërrim(ose lëvizje), barazia $ A \ cdot B = B \ cdot A $ është e vërtetë. Pikërisht në bazë të moskomutativitetit të shumëzimit, kërkohet të tregohet saktësisht se si e shumëzojmë shprehjen me këtë apo atë matricë: djathtas ose majtas. Për shembull, shprehja "shumëzo të dyja anët e barazisë $ 3E-F = Y $ me matricën $ A $ në të djathtë" do të thotë që ne duhet të marrim barazinë e mëposhtme: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transpozuar në lidhje me matricën $ A_ (m \ herë n) = (a_ (ij)) $ quhet matrica $ A_ (n \ herë m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , për elementet të cilat $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
E thënë thjesht, për të marrë matricën e transpozuar $ A ^ T $, duhet të zëvendësoni kolonat në matricën origjinale $ A $ me rreshtat përkatës sipas parimit të mëposhtëm: nëse rreshti i parë ishte, kolona e parë do të bëhet ; kishte një rresht të dytë - kolona e dytë do të bëhet; kishte një rresht të tretë - do të ketë një kolonë të tretë dhe kështu me radhë. Për shembull, le të gjejmë matricën e transpozuar në matricën $ A_ (3 \ herë 5) $:
Prandaj, nëse matrica origjinale ishte 3 $ \ herë 5 $, atëherë matrica e transpozuar është $ 5 \ herë 3 $.
Disa veti të veprimeve në matrica.
Këtu supozohet se $ \ alfa $, $ \ beta $ janë disa numra dhe $ A $, $ B $, $ C $ janë matrica. Për katër pronat e para, unë tregova emrat, pjesa tjetër mund të emërtohet sipas analogjisë me katër të parat.
- $ A + B = B + A $ (komutativiteti shtesë)
- $ A + (B + C) = (A + B) + C $ (asociativiteti shtesë)
- $ (\ alfa + \ beta) \ cdot A = \ alfa A + \ beta A $ (shpërndarja e shumëzimit të matricës në lidhje me mbledhjen e numrave)
- $ \ alfa \ cdot (A + B) = \ alfa A + \ alfa B $ (shumëzimi me një numër në lidhje me mbledhjen e matricës)
- $ A (BC) = (AB) C $
- $ (\ alfa \ beta) A = \ alfa (\ beta A) $
- $ A \ cdot (B + C) = AB + AC $, $ (B + C) \ cdot A = BA + CA $.
- $ A \ cdot E = A $, $ E \ cdot A = A $, ku $ E $ është matrica e identitetit të rendit përkatës.
- $ A \ cdot O = O $, $ O \ cdot A = O $, ku $ O $ është një matricë zero e madhësisë përkatëse.
- $ \ majtas (A ^ T \ djathtas) ^ T = A $
- $ (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T $
- $ (AB) ^ T = B ^ T \ cdot A ^ T $
- $ \ majtas (\ alfa A \ djathtas) ^ T = \ alfa A ^ T $
Në pjesën tjetër, ne do të shqyrtojmë funksionin e ngritjes së një matrice në një fuqi të plotë jo-negative, dhe gjithashtu shembuj të zgjidhur në të cilët është e nevojshme të kryhen disa operacione në matrica.
Zgjidhja e matricës- koncepti i përgjithësimit të veprimeve në matrica. Një matricë matematikore është një tabelë elementesh. Një tabelë e ngjashme me m rreshta dhe n kolona thuhet se është një matricë m-nga-n.
Pamje e përgjithshme e matricës
Elementet kryesore të matricës:
Diagonalja kryesore... Ai është i përbërë nga elementët a 11, dhe 22 ... ..a mn
Diagonale anësore. Ai përbëhet nga elementë a 1n, dhe 2n-1… ..a m1.
Para se të kaloni në zgjidhjen e matricave, merrni parasysh llojet kryesore të matricave:
Sheshi- në të cilën numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave (m = n)
Zero - të gjithë elementët e kësaj matrice janë të barabartë me 0.
Transpozoni Matricën- matrica B e përftuar nga matrica origjinale A duke zëvendësuar rreshtat me kolona.
Beqare- të gjithë elementët e diagonales kryesore janë të barabartë me 1, të gjithë pjesa tjetër janë 0.
matricë e anasjelltë- matrica, kur shumëzohet me të cilën matrica origjinale rezulton në matricën e identitetit.
Matrica mund të jetë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore dhe anësore. Kjo do të thotë, nëse a 12 = a 21, a 13 = a 31,… .a 23 = a 32…. a m-1n = a mn-1. atëherë matrica është simetrike në lidhje me diagonalen kryesore. Vetëm matricat katrore janë simetrike.
Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në pyetjen se si të zgjidhim matricat.
Mbledhja e matricave.
Matricat mund të shtohen në mënyrë algjebrike nëse kanë të njëjtin dimension. Për të shtuar matricën A me matricën B, është e nevojshme të shtoni elementin e rreshtit të parë të kolonës së parë të matricës A në elementin e parë të rreshtit të parë të matricës B, shtoni elementin e kolonës së dytë të rreshtit të parë të matrica A në elementin e kolonës së dytë të rreshtit të parë të matricës B, etj.
Vetitë e palosshme
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
Shumëzimi i matricës.
Matricat mund të shumëzohen nëse janë konsistente. Matricat A dhe B konsiderohen të qëndrueshme nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B.
Nëse A është m me n, B është n me k, atëherë matrica C = A * B do të jetë m me k dhe do të përbëhet nga elementet 
Ku C 11 është shuma e produkteve papar të elementeve të rreshtit të matricës A dhe kolonës së matricës B, domethënë, elementi është shuma e prodhimit të elementit të kolonës së parë të rreshtit të parë të matricës A me elementin e kolonës së parë të rreshtit të parë të matricës B, elementin e kolonës së dytë të rreshtit të parë të matricës A me elementin e kolonës së parë të matricës së rreshtit të dytë B, etj.
Gjatë shumëzimit, renditja e shumëzimit është e rëndësishme. A * B nuk është e barabartë me B * A.
Gjetja e përcaktorit.
Çdo matricë katrore mund të gjenerojë një përcaktues ose përcaktues. Shkruan det. Ose | elementet e matricës |
Për matricat e dimensionit 2 me 2. Përcaktoni se ka një ndryshim midis prodhimit të elementeve të kryesores dhe elementeve të diagonales anësore. 
Për matricat me dimensione 3 me 3 ose më shumë. Operacioni i gjetjes së përcaktorit është më i ndërlikuar.
Le të prezantojmë konceptet:
Element i vogël- është përcaktuesi i matricës që merret nga matrica origjinale duke fshirë rreshtin dhe kolonën e matricës origjinale në të cilën ndodhej ky element.
Komplement algjebrik elementi i një matrice quhet prodhimi i minorit të këtij elementi me -1 në fuqinë e shumës së rreshtit dhe kolonës së matricës origjinale, në të cilën ndodhej ky element.
Përcaktori i çdo matrice katrore është i barabartë me shumën e prodhimit të elementeve të çdo rreshti të matricës nga plotësimet algjebrike përkatëse.
Inversioni i matricës
Inversioni i matricës është procesi i gjetjes së matricës së kundërt që përcaktuam në fillim. Matrica e anasjelltë shënohet gjithashtu si ajo origjinale me një postscript të shkallës -1.
Gjeni matricën e anasjelltë sipas formulës.
A -1 = A * T x (1 / | A |)
Ku A * T është Matrica e Transpozuar e Komplementeve Algjebrike.
Ne bëmë shembuj të zgjidhjes së matricave në formën e një video tutoriali
:
Nëse doni të kuptoni, kërkoni me siguri.
Këto janë veprimet bazë për zgjidhjen e matricave. Nëse keni pyetje shtesë rreth si të zgjidhni matricat, mos ngurroni të shkruani në komente.
Nëse, megjithatë, nuk mund ta kuptoni, përpiquni të kontaktoni një specialist.
Matrica, njihuni me konceptet e saj themelore. Elementet përcaktuese të matricës janë diagonalet e saj - dhe ajo anësore. Kryesorja fillon nga elementi në rreshtin e parë, kolona e parë, dhe vazhdon te elementi në kolonën e fundit, rreshti i fundit (d.m.th., shkon nga e majta në të djathtë). Diagonalja anësore fillon anasjelltas në rreshtin e parë, por në kolonën e fundit, dhe vazhdon te elementi që ka koordinatat e kolonës së parë dhe rreshtit të fundit (shkon nga e djathta në të majtë).
Për të kaluar në përkufizimet dhe veprimet algjebrike në vijim mbi matricat, studioni llojet e matricave. Më të thjeshtat prej tyre janë katrori, njësia, zero dhe anasjelltas. Numri i kolonave dhe rreshtave është i njëjtë. Matrica e transpozuar, le ta quajmë B, merret nga matrica A duke zëvendësuar kolonat me rreshta. Në një, të gjithë elementët e diagonales kryesore janë një, dhe të tjerët janë zero. Dhe në zero, edhe elementët e diagonaleve janë zero. Matrica e anasjelltë është ajo në të cilën matrica origjinale vjen në formën e njësisë.
Gjithashtu, matrica mund të jetë simetrike në lidhje me boshtet kryesore ose anësore. Domethënë, elementi me koordinatat a (1; 2), ku 1 është numri i rreshtit dhe 2 është kolona, është i barabartë me a (2; 1). A (3; 1) = A (1; 3) dhe kështu me radhë. Matricat konsistente janë ato ku numri i kolonave të njërës është i barabartë me numrin e rreshtave të tjetrës (matrica të tilla mund të shumëzohen).
Veprimet kryesore që mund të kryhen me matrica janë mbledhja, shumëzimi dhe gjetja e përcaktorit. Nëse matricat janë të së njëjtës madhësi, domethënë kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash, atëherë ato mund të shtohen. Është e nevojshme të shtohen elementë që janë në të njëjtat vende në matrica, domethënë të shtoni një (m; n) me in (m; n), ku m dhe n janë koordinatat përkatëse të kolonës dhe rreshtit. Kur shtoni matrica, zbatohet rregulli kryesor i mbledhjes së zakonshme aritmetike - kur ndryshohen vendet e termave, shuma nuk ndryshon. Kështu, nëse në vend të një elementi të thjeshtë a ka një shprehje a + b, atëherë ajo mund t'i shtohet një elementi nga një matricë tjetër proporcionale sipas rregullave a + (b + c) = (a + b) + c.
Ju mund të shumëzoni matricat e përputhura të dhëna më sipër. Në këtë rast, fitohet një matricë, ku çdo element është shuma e elementeve të shumëzuar në çift të rreshtit të matricës A dhe kolonës së matricës B. Gjatë shumëzimit, renditja e veprimeve është shumë e rëndësishme. m * n nuk është e barabartë me n * m.
Gjithashtu një nga veprimet kryesore është gjetja. Quhet edhe përcaktor dhe shënohet si det. Kjo vlerë përcaktohet nga moduli, domethënë nuk është kurrë negativ. Mënyra më e lehtë për të gjetur përcaktorin është për një matricë katrore 2x2. Për ta bërë këtë, shumëzoni elementet e diagonales kryesore dhe zbritni prej tyre elementët e shumëzuar të diagonales dytësore.
