Më parë, për një funksion të caktuar, të udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjetëm derivatin e tij. Derivati ka aplikime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); pjerrësia e tangjentes në grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të hulumtoni funksionin për monotoni dhe ekstrem; ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas ligjit të njohur të lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes nga një shpejtësi e njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto detyra.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e lëvizjes së saj në kohën t jepet me formulën v = gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s (t) ligji i kërkuar i lëvizjes. Dihet se s "(t) = v (t). Prandaj, për të zgjidhur problemin është e nevojshme të zgjidhni një funksion s = s (t), derivati i të cilit është i barabartë me gt. Është e lehtë të merret me mend se \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \).
\ (s "(t) = \ majtas (\ frac (gt ^ 2) (2) \ djathtas)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
Përgjigje: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)
Vini re menjëherë se shembulli u zgjidh saktë, por jo plotësisht. Morëm \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si një ligj i lëvizje, pasi \ (\ majtas (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ djathtas) "= gt \)
Për ta bërë problemin më të përcaktuar, na duhej të rregullonim situatën fillestare: të tregojmë koordinatat e pikës lëvizëse në një moment në kohë, për shembull, në t = 0. Nëse, le të themi, s (0) = s 0, atëherë nga barazinë s (t) = (gt 2) / 2 + C marrim: s (0) = 0 + C, d.m.th., C = s 0. Tani ligji i lëvizjes përcaktohet në mënyrë unike: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.
Në matematikë, operacioneve reciproke të anasjellta u jepen emra të ndryshëm, ato dalin me shënime të veçanta, për shembull: katror (x 2) dhe rrënjë katror (\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) dhe arcsine (arcsin x) dhe etj. Quhet procesi i gjetjes së derivatit në lidhje me një funksion të caktuar diferencimi, dhe operacioni i anasjelltë, d.m.th., procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, është duke integruar.
Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në jetën e përditshme": funksioni y = f (x) "prodhon" një funksion të ri y "= f" (x). Funksioni y = f (x) vepron si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë "prind" ose "prodhues", ata thonë se është, në lidhje me funksionin y "= f" ( x) , imazh primar, ose antiderivativ.
Përkufizimi. Funksioni y = F (x) quhet antiderivativ për funksionin y = f (x) në intervalin X nëse për \ (x \ në X \) barazia F "(x) = f (x)
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk tregohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i funksionit).
Ketu jane disa shembuj.
1) Funksioni y \ u003d x 2 është antiderivativ për funksionin y \ u003d 2x, pasi për çdo x barazia (x 2) "= 2x
2) Funksioni y \ u003d x 3 është antiderivativ për funksionin y \ u003d 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3) "\ u003d 3x 2
3) Funksioni y = sin (x) është antiderivativ për funksionin y = cos (x), pasi për çdo x barazia (sin (x)) "= cos (x)
Kur gjeni antiderivativë, si derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse të llogaritjes së derivateve.
Dimë se derivati i shumës është i barabartë me shumën e derivateve. Ky rregull krijon rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivati i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull krijon rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Nëse F (x) është antiderivativ për f (x), atëherë kF (x) është antiderivativ për kf (x).
Teorema 1. Nëse y = F (x) është antiderivativ për funksionin y = f (x), atëherë antiderivati për funksionin y = f (kx + m) është funksioni \ (y = \ frac (1) (k) F (kx + m) \)
Teorema 2. Nëse y = F (x) është antiderivativ për funksionin y = f (x) në intervalin X, atëherë funksioni y = f (x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F (x) + C.
Metodat e integrimit
Metoda e zëvendësimit të variablave (Metoda e zëvendësimit)
Metoda e integrimit me zëvendësim konsiston në prezantimin e një variabli të ri të integrimit (d.m.th., zëvendësimit). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për përputhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të identifikuar saktë zëvendësimin fitohet nga praktika.
Le të kërkohet të llogaritet integrali \ (\ textstyle \ int F (x) dx \). Le të bëjmë zëvendësimin \ (x = \ varphi (t) \) ku \ (\ varphi (t) \) është një funksion me një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)
Integrimi i shprehjeve si \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)
Nëse m është tek, m> 0, atëherë është më e përshtatshme të zëvendësohet sin x = t.
Nëse n është tek, n> 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.
Integrimi pjesë-pjesë
Integrimi sipas pjesëve - Zbatimi i formulës së mëposhtme për integrim:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
ose:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)
Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ tekst (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ tekst (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ tekst (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ tekst (arctg) x + C $$ $$ \ int \ tekst (ch) x dx = \ tekst (sh) x + C $$ $$ \ int \ tekst (sh) x dx = \ tekst (ch ) x + C $$Integrimi me zëvendësim (zëvendësimi i variablave). Supozoni se kërkohet të llogaritet një integral që nuk është tabelor. Thelbi i metodës së zëvendësimit është se në integral ndryshorja x zëvendësohet nga ndryshorja t me formulën x = q (t), prej nga dx = q "(t) dt.
Teorema. Le të jetë funksioni x = q (t) i përcaktuar dhe i diferencueshëm në një grup T dhe le të jetë X bashkësia e vlerave të këtij funksioni, në të cilën përcaktohet funksioni f (x). Atëherë nëse në bashkësinë X funksioni f (x) ka një antiderivativ, atëherë në bashkësinë T është e vlefshme formula e mëposhtme:
Formula (1) quhet formula e ndryshimit të ndryshores në integralin e pacaktuar.
Integrimi sipas pjesëve. Metoda e integrimit sipas pjesëve rrjedh nga formula për diferencialin e produktit të dy funksioneve. Le të jenë u (x) dhe v (x) dy funksione të diferencueshme të ndryshores x. Pastaj:
d (uv) = udv + vdu. - (3)
Duke integruar të dyja anët e barazisë (3), marrim:
Por që atëherë:
Lidhja (4) quhet formula e integrimit sipas pjesëve. Gjetja e integralit duke përdorur këtë formulë. Këshillohet ta përdorni atë kur integrali në anën e djathtë të formulës (4) është më i lehtë për t'u llogaritur se ai origjinal.
Në formulën (4) nuk ka konstante arbitrare C, pasi në anën e djathtë të kësaj formule ka një integral të pacaktuar që përmban një konstante arbitrare.
Këtu janë disa lloje të zakonshme të integraleve të llogaritura me metodën e integrimit sipas pjesëve.
I. Integrale të formës, (P n (x) është një polinom i shkallës n, k është një numër). Për të gjetur këto integrale, mjafton të vendosni u = P n (x) dhe të aplikoni formulën (4) n herë.
II. Integrale të formës, (Pn (x) është një polinom i shkallës n në lidhje me x). Ato mund të gjenden me të shpeshta, duke marrë për u një funksion që është një faktor i P n (x).
Integrimi i drejtpërdrejtë
Formulat bazë të integrimit
| 1.C - konstante | 1*. | |
2.  , n ≠ –1 | ||
| 3. + C | ||
4.  |  | |
5. |  | |
6.  |  | |
7.  |  | |
8.  |  | |
9.  |  | |
10.  |  |  |
11.  |  |  |
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  |
Llogaritja e integraleve duke përdorur përdorimin e drejtpërdrejtë të tabelës së integraleve më të thjeshta dhe vetive themelore të integraleve të pacaktuar quhet integrimi i drejtpërdrejtë.
Shembulli 1.
Shembulli 2.
Shembulli 3.
Kjo është metoda më e zakonshme për integrimin e një funksioni kompleks, i cili konsiston në transformimin e integralit duke kaluar në një variabël tjetër të integrimit.
Nëse është e vështirë të reduktohet integrali në një tabelor duke përdorur transformime elementare, atëherë në këtë rast përdoret metoda e zëvendësimit. Thelbi i kësaj metode qëndron në faktin se duke futur një ndryshore të re është e mundur që ky integral të reduktohet në një integral të ri, i cili është relativisht i lehtë për t'u marrë drejtpërdrejt.
Për integrimin me metodën e zëvendësimit, përdoret skema e mëposhtme e zgjidhjes:
2) gjeni diferencialin nga të dy pjesët e zëvendësimit;
3) shprehni të gjithë integrandin në terma të një ndryshoreje të re (pas së cilës duhet të merret një integral tabelor);
4) gjeni integralin tabelor të marrë;
5) kryeni zëvendësimin e kundërt.
Gjeni integralet:
Shembulli 1 . Zëvendësimi:cosx = t,-sinxdx = dt,
Zgjidhja:
Shembulli 2.∫e -x3 x 2 dx Zëvendësimi:-x 3 = t, -3x 2 dx = dt, Zgjidhja:∫e -x3 x 2 dx = ∫e t (-1/3) dt = -1 / 3e t + C = -1 / 3e -x3 + C
Shembulli 3.
Zëvendësimi: 1 + sinx = t, cosxdx = dt,
Zgjidhja: .
SEKSIONI 1.5. Një integral i caktuar, metodat e llogaritjes së tij.
fq.1 Koncepti i integralit të caktuar
Detyrë. Gjeni shtimin e një funksioni antiderivativ për një funksion f (x), kur kalon argumentin x nga kuptimi a ndaj vlerës b.
Zgjidhje... Supozoni se integrimi gjeti: ∫ (x) dx = F (x) + C.
Pastaj F (x) + C 1, ku C 1- çdo numër i dhënë do të jetë një nga funksionet antiderivative për këtë funksion f (x)... Gjeni shtimin e tij kur argumenti kalon nga vlera a ndaj vlerës b... Ne marrim:
x = b - x = a = F (b) + C 1 - F (a) -C 1 = F (b) -F (a)
Siç mund ta shihni, në shprehjen për rritjen e funksionit antiderivativ F (x) + C 1 asnjë konstante C 1... Dhe që nga poshtë C 1 nënkuptohet çdo numër i dhënë, rezultati i marrë të çon në përfundimin e mëposhtëm: kur kalon argument x nga kuptimi x = a ndaj vlerës x = b të gjitha funksionet F (x) + C, antiderivativë për një funksion të caktuar f (x), kanë të njëjtën rritje të barabartë me F (b) -F (a).
Kjo rritje zakonisht quhet integral i caktuar dhe shënoni me: dhe lexoni: integrale të a përpara b të funksionit f (x) në lidhje me dx ose, shkurt, integralin e a përpara b nga f (x) dx.
Numri a thirrur kufiri i poshtëm integrimi, numri b - krye; segmenti a ≤ x ≤ b - segmenti i integrimit. Këtu supozohet se integrandi f (x) e vazhdueshme për të gjitha vlerat x duke plotësuar kushtet: a x b
Përkufizimi. Rritja e antiderivativëve F (x) + C kur kalon argument x nga kuptimi x = a ndaj vlerës x = b e barabartë me diferencën F (b) -F (a), quhet integral i caktuar dhe shënohet me simbolin: kështu që nëse ∫ (x) dx = F (x) + C, pastaj = F (b) -F (a) - dhënë barazia quhet formula Njuton-Leibniz.
f.2 Vetitë themelore të një integrali të caktuar
Të gjitha vetitë janë deklaruar në propozimin që funksionet në shqyrtim janë të integrueshme në intervalet përkatëse.
fq 3 Llogaritja e drejtpërdrejtë e integralit të caktuar
Për të llogaritur një integral të caktuar, kur mund të gjendet integrali i pacaktuar përkatës, përdoret formula Njuton - Leibniz.
ato. integrali i caktuar është i barabartë me diferencën midis vlerave të çdo funksioni antiderivativ në kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të integrimit.
Nga kjo formulë, ju mund të shihni rendin e llogaritjes së një integrali të caktuar:
1) gjeni integralin e pacaktuar të një funksioni të caktuar;
2) në zëvendësuesin antiderivativ që rezulton në vend të argumentit fillimisht kufiri i sipërm dhe më pas kufiri i poshtëm i integralit;
3) zbritni rezultatin e zëvendësimit të kufirit të poshtëm nga rezultati i zëvendësimit të kufirit të sipërm.
Shembulli 1: 
Llogarit integralin:
Shembulli 2: Llogarit integralin:
f.4 Llogaritja e integralit të caktuar me metodën e zëvendësimit
Llogaritja e integralit të caktuar me metodën e zëvendësimit është si më poshtë:
1) zëvendësoni një pjesë të integrandit me një ndryshore të re;
2) gjeni kufij të rinj të një integrali të caktuar;
3) gjeni diferencialin nga të dy pjesët e zëvendësimit;
4) shprehni të gjithë integrandin në terma të një ndryshoreje të re (pas së cilës duhet të merret një integral tabelor); 5) njehsoni integralin e caktuar që rezulton.
Shembulli 1: Llogarit integralin:
Zëvendësimi: 1 + cosx = t,-sinxdx = dt, 
SEKSIONI 1.6. Kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.
Zona e lakuar e trapezit:
Dihet që një integral i caktuar në një segment është zona e një trapezi lakor të kufizuar nga grafiku i funksionit f (x).
Sipërfaqja e një figure të kufizuar nga disa rreshta mund të gjendet duke përdorur integrale të përcaktuar nëse dihen ekuacionet e këtyre vijave.
Le të segmentin [a; b] është dhënë një funksion i vazhdueshëm y = ƒ (x) ≥ 0. Le të gjejmë sipërfaqen e këtij trapezi.
Zona e një figure të kufizuar nga boshti 0 x, dy vija të drejta vertikale x = a, x = b dhe grafiku i funksionit y = ƒ (x) (figura), përcaktohet me formulën:
Ky është kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.
Shembulli 1:
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = x 2. + 2, y = 0, x = -2, x = 1.
Zgjidhja: Vizatoni vizatimin (vini re se ekuacioni y = 0 përcakton boshtin Ox).
Përgjigje: S = 9 njësi 2
Shembulli 2:
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - ex x, x = 1 dhe boshtet e koordinatave.
Zgjidhja: Le të ekzekutojmë vizatimin.
Nëse trapezi i lakuar i vendosur plotësisht nën boshtin Ox, atëherë zona e saj mund të gjendet me formulën:
Në këtë rast: 
Kujdes! Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo shqyrtuar.
SEKSIONI 1.7. Zbatimi i një integrali të caktuar
f. 1 Llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues
Nëse trapezi lakor është ngjitur me boshtin Ox, dhe drejtëzat y = a, y = b dhe grafiku i funksionit y = F (x) (Fig. 1), atëherë vëllimi i trupit të rrotullimit përcaktohet nga formula që përmban integralin.
Vëllimi i trupit të revolucionit është:
Shembull:
Gjeni vëllimin e trupit të kufizuar nga sipërfaqja e rrotullimit të drejtëzës rreth boshtit Ox në 0 ≤ x ≤4.
Zgjidhja: V
njësia 3. Përgjigje: njësia 3.
SEKSIONI 3.1. Ekuacionet diferenciale të zakonshme
f.1 Koncepti i një ekuacioni diferencial
Përkufizimi. Ekuacioni diferencial quhet ekuacion që përmban një funksion të tërësisë së variablave dhe derivateve të tyre.
Pamje e përgjithshme e një ekuacioni të tillë 
= 0, ku F është një funksion i njohur i argumenteve të tij, i dhënë në një domen fiks; x është një variabël i pavarur (ndryshorja me të cilën diferencohet); y është një ndryshore e varur (ajo nga e cila janë marrë derivatet dhe ajo që duhet të përcaktohet); - derivat i ndryshores së varur y në lidhje me ndryshoren e pavarur x.
f.2 Konceptet bazë të një ekuacioni diferencial
Urdhër ekuacion diferencial quhet rendi i derivatit më të lartë të përfshirë në të.
Për shembull:
Ekuacioni i rendit të dytë, - ekuacioni i rendit të parë.
Çdo funksion që lidh variabla dhe kthen një ekuacion diferencial në një barazi të vërtetë quhet vendim ekuacioni diferencial.
Me vendim të përgjithshëm i një ekuacioni diferencial të rendit të parë quhet funksion i dhe një konstante arbitrare C, e cila e shndërron këtë ekuacion në një identitet në lidhje me.
Zgjidhja e përgjithshme, e shkruar në mënyrë implicite = 0, quhet integrali i përgjithshëm.
Me vendim privat ekuacioni = 0 quhet zgjidhja e përftuar nga zgjidhja e përgjithshme në një vlerë fikse - një numër fiks.
Problemi i gjetjes së një zgjidhjeje të veçantë të një ekuacioni diferencial të rendit të n-të (n = 1,2,3, ...) që plotëson kushtet fillestare të formës
thirrur problemi Cauchy.
f.3 Ekuacione diferenciale të rendit të parë me variabla të ndashëm
Një ekuacion diferencial i rendit të parë quhet një ekuacion me ndryshore të ndashme nëse mund të paraqitet si 
mund të rishkruhet si 
... Nëse 
... Ne integrojmë: 
.
Për të zgjidhur një ekuacion të këtij lloji, ju duhet:
1. Variabla të ndara;
2. Duke integruar ekuacionin me ndryshore të ndara, gjeni zgjidhjen e përgjithshme të këtij ekuacioni;
3. Gjeni një zgjidhje të veçantë që plotëson kushtet fillestare (nëse jepen).
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin. Gjeni një zgjidhje të veçantë që plotëson kushtin y = 4 në x = -2.
Zgjidhja: Ky është një ekuacion me variabla të ndara. Duke integruar, gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:. Për të marrë një zgjidhje të përgjithshme që është më e thjeshtë në formë, ne paraqesim termin konstant në anën e djathtë si C / 2. Ne kemi ose është një zgjidhje e përgjithshme. Duke zëvendësuar vlerat y = 4 dhe x = -2 në zgjidhjen e përgjithshme, marrim 16 = 4 + С, prej nga С = 12.
Pra, një zgjidhje e veçantë e ekuacionit që plotëson këtë kusht ka formën
Shembulli 2. Gjeni një zgjidhje të veçantë të ekuacionit nëse për .
Zgjidhja: 
, 
, 
, 
, 
, 
vendim të përbashkët.
Ne zëvendësojmë vlerat e x dhe y në një zgjidhje të veçantë:,, 
zgjidhje private.
Shembulli 3. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit ... Zgjidhja:,, 
, 
- vendim i përbashkët.
f.4 Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë se i pari
Një ekuacion i formës ose zgjidhet me integrim të dyfishtë:,, nga ku. Duke integruar këtë funksion, marrim një funksion të ri të f (x), të cilin e shënojmë me F (x). Në këtë mënyrë, ; 
... Ne integrojmë përsëri: ose y = Φ (x). Mori një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit që përmban dy konstante arbitrare dhe.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:, 
, ,
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin ... Zgjidhja: 
, , 
.
SEKSIONI 3.2. Seria e numrave, anëtarët e saj
Përkufizimi 1.Seria e numrave një shprehje si ++... ++... quhet, (1)
ku , , …, ,… - numrat që i përkasin një sistemi të caktuar numrash.
Pra, mund të flasim për seri të vërteta për të cilat R, rreth serive komplekse për të cilat C, i= 1, 2, …, n, ...
Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar ato programe.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - të zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe abuzimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne sjellim rregullat e konfidencialitetit dhe sigurisë për punonjësit tanë dhe monitorojmë me përpikëri zbatimin e masave të konfidencialitetit.
Ndryshimi i ndryshueshëm në integralin e pacaktuar. Formula për transformimin e diferencialeve. Shembuj integrimi. Shembuj të zëvendësimeve lineare.
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm
Duke ndryshuar variablin, mund të llogaritni integrale të thjeshta dhe, në disa raste, të thjeshtoni llogaritjen e atyre më komplekse.
Metoda e ndryshimit të një ndryshoreje konsiston në faktin që kalojmë nga ndryshorja fillestare e integrimit, le të jetë x, në një ndryshore tjetër, të cilën do ta shënojmë si t. Në këtë rast, supozojmë se variablat x dhe t janë të lidhur me një relacion x = x (t), ose t = t (x)... Për shembull, x = Në t, x = mëkat t, t = 2 x + 1, etj. Detyra jonë është të zgjedhim një marrëdhënie të tillë midis x dhe t në mënyrë që integrali origjinal ose të zvogëlohet në një tabelor, ose të bëhet më i thjeshtë.
Formula bazë e zëvendësimit të variablave
Merrni parasysh shprehjen nën shenjën integrale. Ai përbëhet nga prodhimi i integrandit, të cilin e shënojmë si f (x) dhe diferenciale dx:. Le të kalojmë në një ndryshore të re t, duke zgjedhur një lidhje x = x (t)... Atëherë duhet të shprehim funksionin f (x) dhe diferenciali dx përsa i përket ndryshores t.
Për të shprehur integrandin f (x) përmes ndryshores t, ju vetëm duhet të zëvendësoni raportin e zgjedhur x = x në vend të ndryshores x (t).
Konvertimi diferencial bëhet si më poshtë:
.
Kjo do të thotë, diferenciali dx është i barabartë me produktin e derivatit të x në lidhje me t dhe diferencialin dt.
Pastaj
.
Në praktikë, rasti më i zakonshëm është kur kryejmë një zëvendësim, duke zgjedhur një ndryshore të re në funksion të variablit të vjetër: t = t (x)... Nëse hamendësojmë se integrandi mund të paraqitet si
,
ku t' (x)është derivat i t në lidhje me x, atëherë
.
Pra, formula bazë për ndryshimin e një ndryshore mund të përfaqësohet në dy forma.
(1)
,
ku x është funksion i t.
(2)
,
ku t është një funksion i x.
Shënim i rëndësishëm
Në tabelat e integraleve, ndryshorja e integrimit më së shpeshti shënohet si x. Megjithatë, duhet theksuar se ndryshorja e integrimit mund të shënohet me çdo shkronjë. Për më tepër, një shprehje mund të përdoret si një ndryshore e integrimit.
Si shembull, merrni parasysh integralin tabelor
.
Këtu x mund të zëvendësohet me çdo variabël ose funksion tjetër të ndryshores. Këtu janë shembuj të opsioneve të mundshme:
;
;
.
Në shembullin e fundit, duhet pasur parasysh se kur kalon në ndryshoren e integrimit x, diferenciali transformohet si më poshtë:
.
Pastaj
.
Ky shembull është thelbi i integrimit me zëvendësim. Kjo është, ne duhet ta hamendësojmë këtë
.
Pastaj integrali reduktohet në një tabelë.
.
Ju mund ta llogaritni këtë integral duke ndryshuar variablin duke përdorur formulën (2)
... Vendos t = x 2 + x... Pastaj
;
;
.
Shembuj të Integrimit me Ndryshimin e Variablave
1)
Ne llogarisim integralin
.
Vini re se (sin x) ′ = cos x... Pastaj
.
Këtu kemi aplikuar zëvendësimin t = mëkat x.
2)
Ne llogarisim integralin
.
Vini re se. Pastaj
.
Këtu kemi kryer integrimin duke ndryshuar variablin t = arctg x.
3)
Ne do të integrohemi
.
Vini re se. Pastaj
... Këtu, gjatë integrimit, ndryshorja t = x 2 + 1
.
Zëvendësimet lineare
Zëvendësimet lineare janë ndoshta më të zakonshmet. Ky është një zëvendësim për një variabël të formës
t = sëpatë + b,
ku a dhe b janë konstante. Me këtë zëvendësim, diferencialet lidhen nga relacioni
.
Shembuj të integrimit me zëvendësime lineare
A) Njehsoni integralin
.
Zgjidhje.
.
B) Gjeni integralin
.
Zgjidhje.
Le të përdorim vetitë e funksionit eksponencial.
.
Në 2është konstante. Ne llogarisim integralin.
.
C) Njehsoni integralin
.
Zgjidhje.
Le ta zvogëlojmë polinomin katror në emëruesin e thyesës në shumën e katrorëve.
.
Ne llogarisim integralin.
.
D) Gjeni integralin
.
Zgjidhje.
Ne e transformojmë polinomin në rrënjë.
.
Ne integrohemi duke përdorur metodën e ndryshimit të variablave. 
.
Më parë morëm formulën
.
Nga këtu
.
Duke zëvendësuar këtë shprehje, marrim përgjigjen përfundimtare.
