Më parë ne funksioni i dhënë, i udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjeti derivatin e tij. Derivati ka përdorime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën v=gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet që s"(t) = v(t). Kjo do të thotë se për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni një funksion s = s(t), derivati i të cilit është i barabartë me gt. Nuk është e vështirë të merret me mend. se \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Në fakt
\(s"(t) = \majtas(\frac(gt^2)(2) \djathtas)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Përgjigje: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne morëm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si ligj i lëvizje, pasi \(\majtas (\frac(gt^2)(2) +C \djathtas)" = gt \)
Për ta bërë problemin më specifik, na u desh të rregullonim situatën fillestare: të tregonim koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull në t = 0. Nëse, të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia s(t) = (gt 2)/2 + C marrim: s(0) = 0 + C, d.m.th. C = s 0. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Në matematikë caktohen veprimet reciproke emra të ndryshëm, dilni me emërtime të veçanta, për shembull: kuadrimi (x 2) dhe nxjerrja rrenja katrore(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) dhe arcsine (arcsin x), etj. Procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni të caktuar quhet diferencimi, A operacion i kundërt, pra procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, - integrimin.
Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në jetën e përditshme": funksioni y = f(x) "prodhon" veçori e re y" = f"(x). Funksioni y = f(x) vepron si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë atë "prind" ose "prodhues"; ata thonë se është, në lidhje me funksionin y" = f"( x) , imazh primar ose primitiv.
Përkufizimi. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X nëse barazia F"(x) = f(x) vlen për \(x \në X\)
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).
Le të japim shembuj.
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për çdo x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë
2) Funksioni y = x 3 është antiderivativ për funksionin y = 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë
3) Funksioni y = sin(x) është antiderivativ për funksionin y = cos(x), pasi për çdo x barazia (sin(x))" = cos(x) është e vërtetë
Kur gjenden antiderivatet, si dhe derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.
Ne e dimë se derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivativi i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Nëse F(x) është një antiderivativ për f(x), atëherë kF(x) është një antiderivativ për kf(x).
Teorema 1. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati për funksionin y = f(kx + m) është funksioni \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X, atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C.
Metodat e integrimit
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)
Metoda e integrimit me zëvendësim përfshin futjen e një të reje variabli i integrimit(domethënë zëvendësime). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për zgjedhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet përmes praktikës.
Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali \(\textstyle \int F(x)dx \). Le të bëjmë zëvendësimin \(x= \varphi(t) \) ku \(\varphi(t) \) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrimi i shprehjeve të formës \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Nëse m është tek, m > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi sin x = t.
Nëse n është tek, n > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.
Integrimi sipas pjesëve
Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ose:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Funksioni F(x ) thirrur antiderivativ për funksion f(x) në një interval të caktuar, nëse për të gjithë x nga ky interval vlen barazia
F"(x ) = f(x ) .
Për shembull, funksioni F(x) = x 2 f(x ) = 2X , sepse
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Vetia kryesore e antiderivativit
Nëse F(x) - antiderivativ i një funksioni f(x) në një interval të caktuar, pastaj funksioni f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe të gjitha këto antiderivative mund të shkruhen në formë F(x) + C, Ku ME është një konstante arbitrare.
Për shembull. Funksioni F(x) = x 2 + 1 është një antiderivativ i funksionit f(x ) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funksionin F(x) = x 2 - 1 është një antiderivativ i funksionit f(x ) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funksionin F(x) = x 2 - 3 është një antiderivativ i funksionit f(x) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); ndonjë funksion F(x) = x 2 + ME , Ku ME - një konstante arbitrare, dhe vetëm një funksion i tillë është një antiderivativ i funksionit f(x) = 2X . ◄ |
Rregullat për llogaritjen e antiderivativëve
- Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , A G(x) - antiderivativ për g(x) , Kjo F(x) + G(x) - antiderivativ për f(x) + g(x) . Me fjale te tjera, antiderivati i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve .
- Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , Dhe k - konstante, atëherë k · F(x) - antiderivativ për k · f(x) . Me fjale te tjera, faktori konstant mund të nxirret nga shenja e derivatit .
- Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , Dhe k,b- konstante, dhe k ≠ 0 , Kjo 1 / k F( k x+ b ) - antiderivativ për f(k x+ b) .
Integrali i pacaktuar
Jo integral i caktuar nga funksioni f(x) quajtur shprehje F(x) + C, domethënë bashkësia e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x) . Integrali i pacaktuar shënohet si më poshtë:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- thërrasin ata funksioni i integruar ;
f(x) dx- thërrasin ata integrand ;
x - thërrasin ata variabli i integrimit ;
F(x) - nje nga funksionet antiderivativef(x) ;
ME është një konstante arbitrare.
Për shembull, ∫ 2 x dx =X 2 + ME , ∫ cosx dx = mëkat X + ME e kështu me radhë. ◄
Fjala "integrale" vjen nga fjalë latine numër i plotë , që do të thotë "restauruar". Duke marrë parasysh integralin e pacaktuar të 2 x, duket se e rivendosim funksionin X 2 , derivati i të cilit është i barabartë me 2 x. Rivendosja e një funksioni nga derivati i tij, ose, çfarë është e njëjtë, gjetja e një integrali të pacaktuar mbi një integrand të caktuar quhet integrimin këtë funksion. Integrimi është operacioni i kundërt i diferencimit.Për të kontrolluar nëse integrimi është kryer në mënyrë korrekte, mjafton të diferencohet rezultati dhe të merret integrand.
Vetitë themelore të integralit të pacaktuar
- Derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:
- Faktori konstant i integrandit mund të hiqet nga shenja integrale:
- Integrali i shumës (diferencës) së funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve të këtyre funksioneve:
- Nëse k,b- konstante, dhe k ≠ 0 , Kjo
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Tabela e antiderivativëve dhe integraleve të pacaktuara
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| I. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \fillimi(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\n \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \djathtas) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \djathtas ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Zakonisht quhen integralet antiderivativ dhe të pacaktuar të dhënë në këtë tabelë antiderivatet tabelare
Dhe integrale tavoline
. |
|||
Integral i caktuar
Lëreni në mes [a; b] dhënë funksion të vazhdueshëm y = f(x) , Pastaj integrali i caktuar nga a në b funksione f(x) quhet rritje e antiderivativit F(x) ky funksion, pra
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Numrat a Dhe b thirren në përputhje me rrethanat më të ulëta Dhe krye kufijtë e integrimit.
Rregullat themelore për llogaritjen e integralit të caktuar
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ku k - konstante;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), ku f(x) — edhe funksioni;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), ku f(x) është një funksion tek.
Koment . Në të gjitha rastet, supozohet se integrandët janë të integrueshëm në intervale numerike, kufijtë e të cilave janë kufijtë e integrimit.
Kuptimi gjeometrik dhe fizik i integralit të caktuar
| Kuptimi gjeometrik integral i caktuar | Kuptimi fizik
integral i caktuar |
 |  |
Sheshi S trapezoid lakor (një figurë e kufizuar nga grafiku i një pozitivi të vazhdueshëm në interval [a; b] funksione f(x) , boshti kau dhe drejt x=a , x=b ) llogaritet me formulë $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Rrugë s, të cilin pika materiale e ka kapërcyer, duke lëvizur drejtvizor me një shpejtësi që ndryshon sipas ligjit v(t)
, për një periudhë kohore a ;
b] , pastaj zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe vijat e drejta x = a
, x = b
, llogaritur me formulë $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Për shembull. Le të llogarisim sipërfaqen e figurës së kufizuar me vija y = x 2 Dhe y = 2-x . Le të paraqesim skematikisht grafikët e këtyre funksioneve dhe të theksojmë me një ngjyrë të ndryshme figurën, zona e së cilës duhet të gjendet. Për të gjetur kufijtë e integrimit, zgjidhim ekuacionin: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)(2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\majtas (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \djathtas )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Vëllimi i një trupi revolucioni
 | Nëse një trup fitohet si rezultat i rrotullimit rreth një boshti kau trapezi lakor i kufizuar nga një grafik i vazhdueshëm dhe jo negativ në interval [a; b] funksione y = f(x) dhe drejt x = a Dhe x = b , atëherë quhet trupi i rrotullimit . Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet me formulën $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Nëse një trup rrotullimi fitohet si rezultat i rrotullimit të një figure të kufizuar sipër dhe poshtë nga grafikët e funksioneve y = f(x) Dhe y = g(x) , në përputhje me rrethanat, atëherë $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Për shembull. Le të llogarisim vëllimin e një koni me rreze r
dhe lartësia h
. Le ta pozicionojmë konin në një sistem koordinativ drejtkëndor në mënyrë që boshti i tij të përputhet me boshtin kau
, dhe qendra e bazës ndodhej në origjinë. Rrotullimi i gjeneratorit AB përcakton një kon. Që nga ekuacioni AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| dhe për vëllimin e konit kemi $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\majtas (0-\frac(1)(3) \djathtas)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
