Am văzut că derivata are numeroase întrebuințări: derivata este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); derivata este panta tangentei la graficul functiei; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; derivata ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar în viata reala Trebuie rezolvate și problemele inverse: de exemplu, împreună cu problema găsirii vitezei dintr-o lege cunoscută a mișcării, întâlnim și problema restabilirii legii mișcării dintr-o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula u = tg. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = u"(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să alegeți funcţie s = s(t), a cărui derivată este egală cu tg. Nu este greu de ghicit asta
Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Am constatat că, de fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție a formei 
o constantă arbitrară poate servi drept lege a mișcării, deoarece
Pentru a face sarcina mai specifică, trebuia să remediem situația inițială: indicați coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu, la t=0. Dacă, să spunem, s(0) = s 0, atunci din egalitate obținem s(0) = 0 + C, adică S 0 = C. Acum legea mișcării este definită în mod unic:
În matematică, se atribuie operații reciproce nume diferite, vino cu denumiri speciale: de ex. pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată sine(sinх) și arcsinus(arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei cu privire la funcţie dată se numește diferențiere și operare inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată – integrare.
Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y - f(x) „produce în existență” caracteristică nouă y"= f"(x) Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, firesc, nu o numesc „părinte” sau „producător”, ei spun că este, în raport cu funcția y"=f"(x), imaginea primară sau, pe scurt, antiderivată.
Definiția 1. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe un interval dat X dacă pentru tot x din X este valabilă egalitatea F"(x)=f(x).
În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).
Iată câteva exemple:
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru tot x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată.
2) funcția y - x 3 este antiderivată pentru funcția y-3x 2, deoarece pentru tot x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată.
3) Funcția y-sinх este o antiderivată pentru funcția y = cosx, deoarece pentru tot x egalitatea (sinx)" = cosx este adevărată.
4) Funcția este antiderivată pentru o funcție pe interval deoarece pentru toate x > 0 egalitatea este adevărată
În general, cunoscând formulele pentru găsirea derivatelor, nu este dificil să alcătuiești un tabel cu formule pentru găsirea antiderivatelor.
Sperăm că înțelegeți cum este compilat acest tabel: derivata funcției care este scrisă în a doua coloană este egală cu funcția care este scrisă în rândul corespunzător din prima coloană (verificați-l, nu fi leneș, este foarte util). De exemplu, pentru funcția y = x 5 antiderivată, după cum veți stabili, este funcția (vezi al patrulea rând al tabelului).
Note: 1. Mai jos vom demonstra teorema că, dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x ) + C. Prin urmare, ar fi mai corect să adăugați termenul C peste tot în a doua coloană a tabelului, unde C este un număr real arbitrar.
2. Din motive de concizie, uneori, în loc de expresia „funcția y = F(x) este o antiderivată a funcției y = f(x),” ei spun că F(x) este o antiderivată a lui f(x) .”
2. Reguli pentru găsirea antiderivatelor
La găsirea antiderivatelor, precum și la găsirea derivatelor, se folosesc nu numai formule (sunt enumerate în tabelul de la p. 196), ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Vă atragem atenția asupra oarecum „ușurință” a acestei formulări. De fapt, ar trebui formulată teorema: dacă funcțiile y = f(x) și y = g(x) au antiderivate pe intervalul X, respectiv y-F(x) și y-G(x), atunci suma funcțiilor y = f(x)+g(x) are o antiderivată pe intervalul X, iar această antiderivată este funcția y = F(x)+G(x). Dar de obicei, atunci când formulează reguli (și nu teoreme), ele pleacă numai cuvinte cheie- acest lucru face mai convenabil aplicarea regulii în practică
Exemplul 2. Aflați antiderivată pentru funcția y = 2x + cos x.
Soluţie. Antiderivata pentru 2x este x"; antiderivata pentru cox este sin x. Aceasta înseamnă că antiderivata pentru funcția y = 2x + cos x va fi funcția y = x 2 + sin x (și în general orice funcție de forma Y = x 1 + sinx + C) .
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul antiderivatei.
Exemplul 3.
Soluţie. a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = 5 sin x funcția antiderivată va fi funcția y = -5 cos x.
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția
c) Antiderivata pentru x 3 este antiderivata pentru x, antiderivata pentru functia y = 1 este functia y = x. Folosind prima și a doua reguli pentru găsirea antiderivatelor, aflăm că antiderivată pentru funcția y = 12x 3 + 8x-1 este funcția
Comentariu. După cum se știe, derivata unui produs nu este egală cu produsul derivatelor (regula de diferențiere a unui produs este mai complexă), iar derivata unui cot nu este egală cu câtul derivatelor. Prin urmare, nu există reguli pentru găsirea antiderivatei produsului sau a antiderivatei coeficientului a două funcții. Atenție!
Să obținem o altă regulă pentru găsirea antiderivatelor. Știm că derivata funcției y = f(kx+m) se calculează prin formula
Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 3. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y=f(kx+m) este funcția
De fapt,
Aceasta înseamnă că este o antiderivată pentru funcția y = f(kx+m).
Sensul celei de-a treia reguli este următorul. Dacă știți că antiderivata funcției y = f(x) este funcția y = F(x) și trebuie să găsiți antiderivata funcției y = f(kx+m), atunci procedați astfel: luați aceeași funcție F, dar în locul argumentului x, înlocuiți expresia kx+m; în plus, nu uitați să scrieți „factor de corecție” înainte de semnul funcției
Exemplul 4. Găsiți antiderivate pentru funcții date:
Soluţie, a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = sin2x antiderivată va fi funcția
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția
c) Antiderivată pentru x 7 înseamnă că pentru funcția y = (4-5x) 7 antiderivată va fi funcția
3. Integrală nedefinită
Am observat deja mai sus că problema găsirii unei antiderivate pentru o funcție dată y = f(x) are mai multe soluții. Să discutăm această problemă mai detaliat.
Dovada. 1. Fie y = F(x) antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din X este valabilă egalitatea x"(x) = f(x). găsiți derivata oricărei funcții de forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Deci, (F(x)+C) = f(x). Aceasta înseamnă că y = F(x) + C este o antiderivată pentru funcția y = f(x).
Astfel, am demonstrat că dacă funcția y = f(x) are o antiderivată y=F(x), atunci funcția (f = f(x) are infinite de antiderivate, de exemplu, orice funcție de forma y = F(x) +C este o antiderivată.
2. Să demonstrăm acum că tipul indicat de funcții epuizează întregul set de antiderivate.
Fie y=F 1 (x) și y=F(x) două antiderivate pentru funcția Y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din intervalul X sunt valabile următoarele relații: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Să considerăm funcția y = F 1 (x) -.F(x) și să găsim derivata ei: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Se știe că dacă derivata unei funcții pe un interval X este identic egală cu zero, atunci funcția este constantă pe intervalul X (vezi Teorema 3 din § 35). Aceasta înseamnă că F 1 (x) - F (x) = C, adică. Fx) = F(x)+C.
Teorema a fost demonstrată.
Exemplul 5. Legea schimbării vitezei cu timpul este dată: v = -5sin2t. Aflați legea mișcării s = s(t), dacă se știe că la momentul t=0 coordonata punctului era egală cu numărul 1,5 (adică s(t) = 1,5).
Soluţie. Deoarece viteza este o derivată a coordonatei în funcție de timp, trebuie mai întâi să găsim antiderivata vitezei, adică. antiderivată pentru funcția v = -5sin2t. Unul dintre astfel de antiderivate este funcția , iar mulțimea tuturor antiderivatelor are forma:
Pentru a găsi valoarea specifică a constantei C, folosim conditiile initiale, conform căruia, s(0) = 1,5. Înlocuind valorile t=0, S = 1,5 în formula (1), obținem:
Înlocuind valoarea găsită a lui C în formula (1), obținem legea mișcării care ne interesează:
Definiția 2. Dacă o funcție y = f(x) are o antiderivată y = F(x) pe un interval X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor, i.e. multimea functiilor de forma y = F(x) + C se numeste integrala nedefinita a functiei y = f(x) si se noteaza cu:
(citește: " integrală nedefinită ef din x de x").
În paragraful următor vom afla care este sensul ascuns al acestei denumiri.
Pe baza tabelului de antiderivate disponibil în această secțiune, vom compila un tabel cu principalele integrale nedefinite:
Pe baza celor trei reguli de mai sus pentru găsirea antiderivatelor, putem formula regulile de integrare corespunzătoare.
Regula 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor acestor funcții:
Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
Regula 3. Dacă
Exemplul 6. Nu pot găsi integrale definite:
Soluţie, a) Folosind prima și a doua reguli de integrare, obținem:
Acum să folosim formula de integrare a 3-a și a 4-a:
Ca rezultat obținem:
b) Folosind a treia regulă de integrare și formula 8, obținem:
c) Pentru a găsi direct o integrală dată, nu avem nici formula corespunzătoare, nici regula corespunzătoare. În astfel de cazuri, transformările identice efectuate anterior ale expresiei conținute sub semnul integral ajută uneori.
Să folosim formula trigonometrică pentru reducerea gradului:
Apoi găsim secvenţial:
A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a
Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, Matematică la școală
Funcţie F(x ) numit antiderivat pentru functie f(x) pe un interval dat, dacă este pentru toate x din acest interval egalitatea este valabilă
F"(x ) = f(x ) .
De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(x ) = 2X , pentru că
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Proprietatea principală a antiderivatei
Dacă F(x) - antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate, iar toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.
De exemplu. Funcţie F(x) = x 2 + 1 este o antiderivată a funcției f(x ) = 2X , pentru că F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funcţie F(x) = x 2 - 1 este o antiderivată a funcției f(x ) = 2X , pentru că F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funcţie F(x) = x 2 - 3 este o antiderivată a funcției f(x) = 2X , pentru că F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); orice functie F(x) = x 2 + CU , Unde CU - o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată a funcției f(x) = 2X . ◄ |
Reguli pentru calcularea antiderivatelor
- Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , A G(x) - antiderivat pentru g(x) , Asta F(x) + G(x) - antiderivat pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
- Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k - constantă, atunci k · F(x) - antiderivat pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
- Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k,b- constantă și k ≠ 0 , Asta 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat pentru f(k x+ b) .
Integrală nedefinită
Integrală nedefinită din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- ei sună funcția integrand ;
f(x)dx- ei sună integrand ;
x - ei sună variabila de integrare ;
F(x) - una dintre funcţiile primitive f(x) ;
CU este o constantă arbitrară.
De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + CU , ∫ cosx dx = păcat X + CU și așa mai departe. ◄
Cuvântul „integral” provine de la cuvânt latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 x, se pare că restabilim funcția X 2 , a cărui derivată este egală cu 2 x. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere Pentru a verifica dacă integrarea a fost efectuată corect, este suficient să diferențiem rezultatul și să obțineți integrandul.
Proprietățile de bază ale integralei nedefinite
- Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
- Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:
- Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:
- Dacă k,b- constantă și k ≠ 0 , Asta
(∫ f(x)dx )" = f(x) .
∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| eu. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Integralele antiderivate și nedefinite date în acest tabel sunt de obicei numite antiderivate tabulare
Şi integrale de tabel
. |
|||
Integrală definită
Lasă între ele [o; b] dat funcție continuă y = f(x) , Atunci integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește increment al antiderivatei F(x) această funcție, adică
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Numerele oŞi b sunt numite în consecință mai jos Şi top limitele integrării.
Reguli de bază pentru calcularea integralei definite
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constantă;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) — funcția uniformă;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.
Comentariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.
Sensul geometric și fizic al integralei definite
| Sensul geometric integrală definită | Sensul fizic
integrală definită |
 |  |
Pătrat S trapez curbiliniu (o cifră limitată de graficul unui pozitiv continuu pe interval [o; b] funcții f(x) , axa Bou si drept x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Cale s, pe care punctul material a depășit-o, deplasându-se rectiliniu cu o viteză care variază conform legii v(t)
, pentru o perioadă de timp a ;
b] , apoi aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a
, x = b
, calculat prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | De exemplu. Să calculăm aria figurii delimitată de linii y = x 2 Şi y= 2-x . Să reprezentăm schematic graficele acestor funcții și să evidențiem într-o culoare diferită figura a cărei zonă trebuie găsită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Volumul unui corp de revoluție
 | Dacă se obţine un corp ca urmare a rotaţiei în jurul unei axe Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic continuu și nenegativ pe interval [o; b] funcții y = f(x) si drept x = aŞi x = b , atunci se numește corpul de rotație . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă se obține un corp de revoluție ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) Şi y = g(x) , în consecință, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | De exemplu. Să calculăm volumul unui con cu rază r
si inaltime h
. Să poziționăm conul într-un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa lui să coincidă cu axa Bou
, iar centrul bazei era situat la origine. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, se inventează notații speciale, de exemplu: pătrat (x 2) și rădăcină pătrată (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x) și etc Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.
Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y = f(x) „da naștere” unei noi funcții y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"(; x), imagine primară sau primitivă.
Definiţie. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)
În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).
Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată
Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).
Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.
Metode de integrare
Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)
Metoda integrării prin substituție presupune introducerea unei noi variabile de integrare (adică substituția). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.
Integrare pe părți
Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
