Metoda de integrare introducerea unei noi exemple de variabile. Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită

13.07.2019 Internet, Wi-Fi, rețele locale

În această lecție, ne vom familiariza cu unul dintre cele mai importante și mai comune trucuri care este utilizat în cursul rezolvării integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilei. Pentru stăpânirea cu succes a materialului, sunt necesare cunoștințe inițiale și abilități de integrare. Dacă există senzația unui ceainic plin gol în calcul integral, atunci ar trebui să citiți mai întâi materialul, unde am explicat într-o formă accesibilă ce este o integrală și am analizat în detaliu exemplele de bază pentru începători.

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Aducerea funcţiei sub semnul diferenţialului;
– Modificarea efectivă a variabilei.

De fapt, este același lucru, dar designul soluției arată diferit.

Să începem cu un caz mai simplu.

Aducerea unei funcții sub semnul diferențial

La lecție Integrală nedefinită. Exemple de soluții am invatat cum sa deschidem diferentialul, imi amintesc exemplul pe care l-am dat:

Adică, a deschide diferența este în mod formal aproape la fel cu a găsi derivata.

Exemplul 1

Efectuați o verificare.

Ne uităm la tabelul integralelor și găsim o formulă similară: . Dar problema este că avem sub sinus nu doar litera „x”, ci o expresie complexă. Ce să fac?

Aducem funcția sub semnul diferenţialului:

Extinderea diferenţialului, este uşor de verificat că:

De fapt şi este o înregistrare a aceleiași.

Dar, cu toate acestea, rămâne întrebarea, cum am ajuns la ideea că la primul pas trebuie să ne scriem integrala exact așa: ? De ce asa, si nu altfel?

Formulă (și toate celelalte formule tabelare) sunt valide și aplicabile NU NUMAI pentru o variabilă, ci și pentru orice expresie complexă NUMAI ARGUMENTUL FUNCȚIEI(- în exemplul nostru) ȘI EXPRESIA DE SUB SEMNUL DIFERENȚIAL A FOST ACEEAȘI .

Prin urmare, raționamentul mental atunci când rezolvăm ar trebui să fie ceva de genul: „Trebuie să rezolv integrala. M-am uitat la tabel și am găsit o formulă similară . Dar am un argument complex și nu pot folosi imediat formula. Totuși, dacă reușesc să intru sub semnul diferenţialului, atunci totul va fi bine. Daca scriu, atunci. Dar nu există un factor triplu în integrala originală, prin urmare, pentru ca integrantul să nu se schimbe, trebuie să-l înmulțesc cu ". În cursul unui astfel de raționament mental, se naște o înregistrare:

Acum puteți folosi foaia de calcul :

Gata

Singura diferență este că nu avem litera „x”, ci o expresie complexă.

Hai să facem o verificare. Deschideți tabelul de derivate și diferențiați răspunsul:

Integrandul original a fost obținut, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Vă rugăm să rețineți că în timpul verificării am folosit regula de diferențiere a unei funcții complexe . De fapt, aducând funcţia sub semnul diferenţialului şi sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „x” în gradul I). Ne uităm în tabelul de integrale și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferenţialului:

Cei cărora le este greu să-și dea seama imediat cu ce fracție să se înmulțească pot dezvălui rapid diferența de pe un draft:. Da, se pare, ca să nu se schimbe nimic, trebuie să înmulțesc integrala cu .
Apoi, folosim formula foii de calcul :

Examinare:

Integrandul original a fost obținut, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.

Cu ceva experiență în rezolvarea integralelor, astfel de exemple vor părea ușoare și se vor crăpa ca nucile:

La sfârșitul acestui paragraf, aș dori să mă opresc și asupra cazului „liber” când o variabilă intră într-o funcție liniară cu un coeficient unitar, de exemplu:

Strict vorbind, soluția ar trebui să arate astfel:

După cum puteți vedea, aducerea funcției sub semnul diferenţialului a mers „fără durere”, fără înmulţiri. Prin urmare, în practică, o soluție atât de lungă este adesea neglijată și imediat scrisă ca . Dar fii pregătit, dacă este cazul, să-i explici profesorului cum te-ai hotărât! Deoarece nu există nicio integrală în tabel.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Ne întoarcem la considerarea cazului general - metoda modificării variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ca exemplu, am luat integrala, pe care am considerat-o chiar la începutul lecției. După cum am spus deja, pentru a rezolva integrala, ne-a plăcut formula tabelară , și aș vrea să reduc totul la ea.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
LA acest caz implora:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar tot rămânem de tradiții.

Asa de:
Dar la înlocuire, am rămas! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul trebuie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru diferenţial.
Urmează o concluzie logică că este necesar se transformă într-o expresie care depinde numai de.

Acțiunea este următoarea. După ce am ales un înlocuitor, în acest exemplu, , trebuie să găsim diferența . Cu diferențele, cred că deja s-a stabilit prietenia pentru toată lumea.

De atunci

După confruntarea cu diferența, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, o exprimăm pe cea de care avem nevoie:

În cele din urmă:
În acest fel:

Și aceasta este integrala cea mai tabelară (tabelul de integrale, desigur, este valabil și pentru variabilă).

În concluzie, rămâne de efectuat înlocuirea inversă. Ne amintim că.

Gata.

Designul final al acestui exemplu ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu poartă nicio semnificație matematică, înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când faceți un exemplu într-un caiet, este mai bine să suprascriptați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Și acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Se pune întrebarea. Dacă prima cale este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția sub semnul diferenţialului.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

După cum puteți vedea, ca urmare a înlocuirii, integrala originală a fost mult simplificată - redusă la o funcție de putere obișnuită. Acesta este scopul înlocuirii - de a simplifica integrala.

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală aducând funcția sub semnul diferențial:

Un alt lucru este că o astfel de soluție nu este evidentă pentru toți studenții. În plus, deja în acest exemplu, utilizarea metodei de aducere a unei funcții sub semnul diferențial crește semnificativ riscul de confuzie în decizie.

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Înlocuire:
Rămâne de văzut ce va deveni

Ei bine, ne-am exprimat, dar ce să facem cu „X” rămas în numărător?!
Din când în când, în cursul rezolvării integralelor, apare următorul truc: vom exprima din aceeași înlocuire !

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii au observat că tabelul meu de referință nu are o regulă de înlocuire a variabilelor. A fost făcut în mod deliberat. Regula ar încurca explicația și înțelegerea, deoarece nu apare explicit în exemplele de mai sus.

Este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conțină o funcție și derivata ei:(funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsim integrale, de multe ori trebuie să te uiți în tabelul derivatelor.

În acest exemplu, observăm că gradul numărătorului este cu unul mai mic decât gradul numitorului. În tabelul de derivate găsim formula, care doar scade gradul cu unu. Și, prin urmare, dacă desemnați pentru numitor, atunci sunt șanse mari ca numărătorul să se transforme în ceva bun.

Ne întoarcem la considerarea cazului general - metoda modificării variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să o expresie complexă (sau o anumită funcție) este înlocuită cu o singură literă.
În acest caz se întreabă:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar tot rămânem de tradiții.

Acțiunea este următoarea. După ce am ales un înlocuitor, în acest exemplu, , trebuie să găsim diferența . Cu diferențele, cred că deja s-a stabilit prietenia pentru toată lumea.

De atunci

După confruntarea cu diferența, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, o exprimăm pe cea de care avem nevoie:

În cele din urmă:
În acest fel:

Și aceasta este integrala cea mai tabelară (tabelul de integrale, desigur, este valabil și pentru variabilă).

În concluzie, rămâne de efectuat înlocuirea inversă. Ne amintim că.

Gata.

Designul final al acestui exemplu ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu poartă nicio semnificație matematică, înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când faceți un exemplu într-un caiet, este mai bine să suprascriptați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Și acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală aducând funcția sub semnul diferențial:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conţină o anumită funcţie și derivatul său : (funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsim integrale, de multe ori trebuie să te uiți în tabelul derivatelor.

Înlocuire:

Apropo, aici nu este atât de dificil să aduceți funcția sub semnul diferențial:

Trebuie menționat că pentru fracții precum , un astfel de truc nu va mai funcționa (mai precis, va fi necesar să se aplice nu numai tehnica de substituție). Puteți învăța cum să integrați unele fracții în lecție Integrarea unor fracții.

Iată câteva exemple tipice pentru o soluție independentă din aceeași operă:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită.

Soluții la sfârșitul lecției.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită.

Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim arccosinusul nostru: . Avem în integrand arccosinul și ceva asemănător derivatului său.

Regula generala:
Pe denotă funcția în sine(și nu derivatul său).

În acest caz: . Rămâne să aflăm în ce se va transforma restul integrandului.

În acest exemplu, voi descrie constatarea în detaliu, deoarece este o funcție complexă.

Sau mai scurt:
Conform regulii proporției, exprimăm restul de care avem nevoie:

În acest fel:

Aici nu este atât de ușor să aduci funcția sub semnul diferenţialului.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită.

Un exemplu pentru o soluție independentă. Răspunsul este foarte aproape.

Cititorii atenți vor observa că am luat în considerare câteva exemple cu funcții trigonometrice. Și acest lucru nu este întâmplător, deoarece o lecție separată este rezervată integralelor funcțiilor trigonometrice. Mai mult, la lecția specificată, sunt oferite câteva îndrumări utile pentru schimbarea unei variabile, ceea ce este deosebit de important pentru manechini, care nu înțeleg întotdeauna și imediat ce fel de înlocuire ar trebui efectuată într-una sau alta integrală. De asemenea, unele tipuri de substituții pot fi găsite în articolul Integrală definită. Exemple de soluții.

Elevii mai experimentați se pot familiariza cu schimbarea tipului integralelor cu funcții iraționale. Substituția de integrare rădăcină este specifică, iar tehnica de execuție a acesteia diferă de cea pe care am considerat-o în această lecție.

Îți doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

Exemplul 7: Soluție:

Exemplul 9: Soluție:

Înlocuire:

Exemplul 11: Soluție:

Să înlocuim:

(vezi articolul Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită ) sau integrala doar pe metoda de integrare pe părți.

Ca întotdeauna, la îndemână ar trebui să fie: Tabelul integralelorși Tabel de derivate. Dacă încă nu le aveți, vă rugăm să vizitați depozitul site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul într-un mod consistent, simplu și accesibil; nu există dificultăți deosebite în integrarea pe părți.

Ce problemă rezolvă integrarea pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă, vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă

3) , , sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , - funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri”, înmulțite cu un polinom.

De asemenea, unele fracții sunt luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.

Anterior, pentru o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivata are numeroase aplicatii: este viteza de miscare (sau, mai general, viteza oricarui proces); panta tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți investiga funcția pentru monotonitate și extreme; Ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei dintr-o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării dintr-o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1 Un punct material se deplasează de-a lungul unei linii drepte, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s "(t) = v(t). Deci, pentru a rezolva problema, trebuie să alegeți o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Este ușor de ghicit că $ s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $ Într-adevăr
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt$
Răspuns: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C $, unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele punctului în mișcare la un moment dat, de exemplu, la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0 , atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0 . Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, ele vin cu notații speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea unei rădăcini pătrate (\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x) și etc. Procesul de găsire a derivatei față de o funcție dată se numește diferenţiere, și operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții printr-o derivată dată, - integrare.

Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „într-un mod lumesc”: funcția y \u003d f (x) „produce în lume” o nouă funcție y” \u003d f „(x). Funcția y \u003d f (x) acționează ca un „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător”, ei spun că aceasta este, în raport cu funcția y " = f" (x) , imaginea primară sau antiderivată.

Definiție. O funcție y = F(x) se numește antiderivată pentru o funcție y = f(x) pe un interval X dacă $x \in X $ satisface egalitatea F"(x) = f(x)

În practică, intervalul X nu este de obicei specificat, ci subînțeles (ca domeniul natural al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y \u003d x 2 este o antiderivată pentru funcția y \u003d 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2) "\u003d 2x este adevărată
2) Funcția y \u003d x 3 este o antiderivată pentru funcția y \u003d 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" \u003d 3x 2 este adevărată
3) Funcția y \u003d sin (x) este o antiderivată pentru funcția y \u003d cos (x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin (x)) "= cos (x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calculul derivatelor.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1 Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2 Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru o funcție y = f(x) pe un interval X, atunci funcția y = f(x) are infinite de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda de integrare prin substituție constă în introducerea unei noi variabile de integrare (adică o substituție). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala $\textstyle \int F(x)dx $. Să facem o substituție $x= \varphi(t) $ unde $\varphi(t) $ este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare integrală nedefinită, obținem formula de integrare a substituției:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integrarea expresiilor precum $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să facem substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
sau:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Dacă funcția x=φ(t) are o derivată continuă, atunci în integrala nedefinită dată ∫f(x)dx se poate trece întotdeauna la o nouă variabilă t prin formula

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Apoi găsiți integrala din partea dreaptă și reveniți la variabila inițială. În acest caz, integrala din partea dreaptă a acestei egalități poate fi mai simplă decât integrala din partea stângă a acestei egalități, sau chiar tabulară. Această metodă de găsire a integralei se numește metoda schimbării variabilei.

Exemplul 7. ∫x√x-5dx

Pentru a scăpa de rădăcină, setăm √x-5=t. Prin urmare, x=t 2 +5 și deci dx=2tdt. Înlocuind, avem succesiv:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

III. Metoda de integrare pe părți

Metoda integrării pe părți se bazează pe următoarea formulă:

∫udv=uv-∫vdu

unde u(x),v(x) sunt funcții diferențiabile continuu. Formula se numește formula de integrare pe părți. Această formulă arată că integrala ∫udv conduce la integrala ∫vdu, care se poate dovedi a fi mai simplă decât cea originală, sau chiar tabulară.

Exemplul 12. Aflați integrala nedefinită ∫xe -2x dx

Folosim metoda integrării prin părți. Fie u=x, dv=e -2x dx. Atunci du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C Prin urmare, prin formula avem: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e - 2x -e -2x +C

23 . fracție rațională este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame.

Fracții raționale. Cele mai simple fracții raționale și integrarea lor

Orice funcție rațională poate fi reprezentată ca o fracție rațională, adică ca raport a două polinoame:

Dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, atunci se numește fracția corect, altfel se numește fracția gresit.

Dacă fracția este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor (conform regulii împărțirii polinoamelor), puteți reprezenta această fracție ca sumă a unui polinom și a unei fracții regulate: , Unde M(x)- polinom, ci o fracție proprie.

Exemplu: Să fie dată o fracție rațională improprie.

Apoi , deoarece, la împărțirea cu un colț, obținem restul (4x-6).

Întrucât integrarea polinoamelor nu prezintă dificultăți fundamentale, principala dificultate în integrarea fracțiilor raționale constă în integrarea fracțiilor raționale proprii.

Există mai multe tipuri de fracții raționale:

II. Vedere: (întreg k-pozitiv ³2).

I.Y. Vedere: (k-intger³2).

Luați în considerare integralele fracțiilor raționale simple.

eu. .

II. =A .

24 .Integrarea fracțiilor raționale

Fie integrandul o fracție rațională în care și sunt polinoame (polinoame) de grade k și n respectiv. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că k < n, deoarece altfel se poate reprezenta întotdeauna numărătorul sub forma P(x) = Q(x)R(x) + S(x) unde R(x) și S(x) sunt polinoame, numite de obicei, ca în cazul numere reale, cât și rest, iar gradul polinomului S(x) este mai mic decât n. Apoi

, (1.1)

și putem calcula integrala polinomului R(x). Să arătăm printr-un exemplu cum se poate obține expansiunea (1.1). Fie P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 - 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2. Împărțim polinomul P(x) la polinomul Q(x) în același mod în care împărțim numerele reale (soluția se obține prin calculatorul de împărțire). Astfel, am obținut partea întreagă a fracției (coeficientul din împărțirea polinomului P la polinomul Q) R (x) \u003d x 4 + 2x 2 - 4x + 7 și restul S (x) \u003d 9x 2 - 14x + 12 din această diviziune. Conform teoremei fundamentale a algebrei, orice polinom poate fi descompus în cei mai simpli factori, adică este reprezentat ca , unde rădăcinile polinomului Q(x) se repetă de câte ori multiplicitatea lor. Fie polinomul Q(x) să aibă n rădăcini distincte. Atunci o fracție rațională adecvată poate fi reprezentată ca , unde sunt numerele de determinat. Dacă este o rădăcină a multiplicității α, atunci corespunde termenilor α în expansiunea în fracții simple . Dacă x j este o rădăcină de multiplicitate complexă a unui polinom cu coeficienți reali, atunci conjugatul complex este și o rădăcină de multiplicitate α a acestui polinom. Pentru a nu avea de-a face cu numerele complexe la integrarea fracțiilor raționale, termenii din expansiunea unei fracții raționale regulate corespunzător perechilor de rădăcini complexe conjugate se combină și se scriu ca un singur termen de forma if - rădăcini ale multiplicității unu. Dacă sunt rădăcini ale multiplicității, atunci ele corespund termenilor, iar expansiunea corespunzătoare are forma

Astfel, integrarea fracțiilor raționale propriu-zise s-a redus la integrarea celor mai simple fracții, dintre care sunt tabelare, pot fi găsite prin formula recursivă, care se obține prin integrarea pe părți. Integralele, în cazul în care numitorul are rădăcini complexe (discriminante), se reduc, prin selectarea unui pătrat întreg, la integrale, prin înlocuire. O modalitate de a găsi coeficienții în expansiunea unei fracții raționale adecvate este următoarea. Partea dreaptă a expansiunii rezultate cu coeficienți nedeterminați este redusă la un numitor comun. Deoarece numitorii laturilor drepte și stângi sunt egali, numărătorii, care sunt polinoame, trebuie să fie și ei egali. Echivalând coeficienții la aceleași puteri (întrucât polinoamele sunt egale dacă coeficienții la aceleași puteri sunt egali), obținem un sistem de ecuații liniare pentru determinarea acestor coeficienți.

25. Integrarea funcțiilor iraționale - Principiul general al integrării expresiilor iraționale este schimbarea variabilei, ceea ce vă permite să scăpați de rădăcinile din integrand. Pentru unele clase de funcții, acest obiectiv este atins folosind substituții standard.

Integrale ale formei .

Integrale ale formei se calculează prin înlocuirea sau .

26 . Integrarea funcțiilor iraționale - Principiul general al integrării expresiilor iraționale este schimbarea variabilei, ceea ce vă permite să scăpați de rădăcinile din integrand. Pentru unele clase de funcții, acest obiectiv este atins folosind substituții standard.

Integrale ale formei , unde este o funcție rațională a argumentelor sale, se calculează prin înlocuire .

Integrale ale formei se calculează prin înlocuirea sau .

Integrale ale formei se calculează prin înlocuirea sau . Integrale ale formei se calculează prin înlocuirea sau .

DAR modalități de reducere a integralelor la tabulare ti-am oferit:

metoda de înlocuire variabilă;

metoda de integrare pe părți;

Metoda de integrare directă

moduri de reprezentare a integralelor nedefinite prin intermediul unor tabelare pentru integralele fracțiilor raționale;

metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale tabulare pentru integrale ale expresiilor iraționale;

modalităţi de exprimare a integralelor nedefinite prin intermediul unor tabulare pentru integralele funcţiilor trigonometrice.

Integrală nedefinită a unei funcții de putere

Integrală nedefinită a funcției exponențiale

Dar integrala nedefinită a logaritmului nu este o integrală tabelară; în schimb, formula este tabelară:

Integrale nedefinite ale funcțiilor trigonometrice: Integrale de sinus, cosinus și tangente

Integrale nedefinite cu funcții trigonometrice inverse

Intabulare sau metoda integrarii directe. Cu ajutorul transformărilor identice ale integrandului, integrala se reduce la o integrală căreia i se aplică regulile de integrare de bază și se poate folosi tabelul integralelor de bază.

Exemplu

Exercițiu. Găsiți integrala

Soluţie. Folosim proprietățile integralei și aducem această integrală într-o formă tabelară.

Răspuns.

Tehnic metoda de înlocuire a variabilei în integrala nedefinită este implementată în două moduri:

– Aducerea unei funcții sub semnul diferențial. – Modificarea efectivă a variabilei.

Aducerea unei funcții sub semnul diferențial

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „x” în gradul I). Ne uităm la tabelul integralelor și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferenţialului:

Examinare: Integrandul original a fost obținut, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să o expresie complexă (sau o anumită funcție) este înlocuită cu o singură literă.În acest caz, se sugerează: A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera . În principiu, puteți folosi și alte litere, dar tot rămânem de tradiții.

Asa de: Dar la înlocuire, am rămas! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul trebuie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru diferenţial. Urmează o concluzie logică că este necesar se transformă într-o expresie care depinde numai de.

Acțiunea este următoarea. După ce am ales un înlocuitor, în acest exemplu, , trebuie să găsim diferența . Cu diferențele, cred că deja s-a stabilit prietenia pentru toată lumea.

De atunci

După o confruntare cu diferența, recomand să rescriem rezultatul final cât mai pe scurt posibil: Acum, conform regulilor de proporție, îl exprimăm pe cel de care avem nevoie:

În cele din urmă: În acest fel: Și aceasta este integrala cea mai tabelară (tabelul de integrale, desigur, este valabil și pentru variabilă).

În concluzie, rămâne de efectuat înlocuirea inversă. Ne amintim că.

Gata.

Designul final al acestui exemplu ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu poartă nicio semnificație matematică, înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când faceți un exemplu într-un caiet, este mai bine să suprascriptați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Și acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Care este diferența? Nu există nicio diferență fundamentală. De fapt, este același lucru. Dar din punctul de vedere al proiectării sarcinii, metoda de aducere a funcției sub semnul diferenţialului este mult mai scurtă. Se pune întrebarea. Dacă prima cale este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția sub semnul diferenţialului.

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este de dorit să se folosească un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are beriberi în primăvară și va certa mult. Deoarece integrala luată în considerare nu este în niciun caz tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula pentru integrarea pe părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Ne uităm la partea stângă:. Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie notat cu , iar ceva cu .

În integrale de tipul considerat, ptîntotdeauna notat cu logaritm.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum urmează, scriem în coloană:

Adică, pentru că am notat logaritmul, iar pentru - partea rămasă integrand.

Următorul pas: găsiți diferența:

Diferența este aproape aceeași cu derivata, am discutat deja cum să o găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția . Pentru a găsi funcția este necesar să se integreze partea dreapta egalitate mai mica:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: . Apropo, iată o mostră de soluție finală cu note mici.

Metoda de integrare introducerea unei noi exemple de variabile. Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită

Aducerea unei funcții sub semnul diferențial

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Metode de integrare

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

III. Metoda de integrare pe părți

Fracții raționale. Cele mai simple fracții raționale și integrarea lor

Aducerea unei funcții sub semnul diferențial

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Integrale ale logaritmilor

Top articole similare