Belyaev Yu.N. Introducere în analiza vectorială

Modul modern de viață necesită o dinamică constantă. Făcând calcule pe un calculator, ne economisim semnificativ timpul, nu riscăm să facem greșeli și obținem un rezultat precis. Datorită invenției a acestui dispozitiv, mulți oameni au uitat ce sunt lipsurile și erorile de calcul. Cu toate acestea, calculatorul este diferit de calculator și, dacă funcțiile de calcul primitive pot fi efectuate model matematic, atunci cele mai complexe calcule pot fi făcute doar cu ajutorul ingineriei. De acum înainte, cumpărați acest miracol tehnologie moderna nu este nevoie - doar apelați la calculatorul nostru de inginerie online pentru ajutor! Programul funcționează fără instalare suplimentară- Doar du-te la pagina electronicași începeți să luați măsuri.

Funcțiile unui calculator de inginerie online

Un calculator de tip matematic vă va ajuta să faceți doar calcule primitive. Cu ajutorul lui, puteți face ceea ce am fost învățați în școala elementară:

• plus;
• scădere;
• Divizia;
• multiplicare;
• deducerea dobânzii;
• ridicarea unui număr la o putere;
• găsirea rădăcinii pătrate.

Calculator de inginerie pe net include toate acestea și funcții suplimentare, care sunt necesare pentru realizarea calcule complexe. Acum nu mai trebuie să cheltuiți bani în plus pentru achiziționarea acestui dispozitiv, deoarece puteți face calculele pe site-ul nostru.

În plus față de cele de mai sus, calculatorul nostru universal vă va ajuta să efectuați următoarele calcule:

Locație:

• sinusul unghiului;
• tangentă;
• cosinus;
• cotangentă;
• arcsinus;
• arctangent;
• arc cosinus;
• arccotangent.

Interfață pentru calculator de inginerie online

Efectuarea tuturor calculelor de mai sus este destul de simplă. Calculatorul nostru de inginerie online are o interfață clară și, prin urmare, este foarte convenabil să lucrezi cu el. În aparență, imită complet un calculator real, așa că nu va trebui să studiați funcțiile mult timp. În ciuda acestui fapt, facem instrucțiuni detaliateși o descriere a fiecărei chei.

Folosirea programului nostru este, de asemenea, benefică deoarece calculele se fac instantaneu - nu este nevoie să reîmprospătați pagina site-ului, deoarece calculatorul funcționează în modul flash. Folosește programul nostru în fiecare zi o cantitate mare al oamenilor. Printre aceștia se numără studenți ai instituțiilor superioare, profesori, arhitecți, designeri, oameni de știință și alte persoane interesate de acuratețea calculelor. Calculatorul de inginerie online nu necesită descărcarea sau instalarea de pluginuri suplimentare, așa că puteți începe să îl utilizați chiar acum!

Exemplul 81. Calculați putregaiul (~c ~r); unde ~c este un vector constant.

putregai (~c ~r) = ~c div ~r ~r div ~c + @~r @~c @~r @~c = 3~c ~c = 2~c:

Exemplul 84. Calculați div (rn ~c); unde ~c este un vector constant.

Folosind formula (3.77), găsim

182 Capitolul 3. FUNCȚIILE UNUI PUNCT

Aici am folosit proprietatea unui produs mixt, care nu se schimbă atunci când vectorii înmulțiți sunt rearanjați ciclic, dar își schimbă semnul în timpul altor permutări.

Exemplul 87. Calculați div (~c ~r); unde ~c este un vector constant.

putregai ~r = 0; rot ~c = 0, prin urmare, conform formulei (3.78), avem

div (~c ~r) = 0:

Exemplul 88. Divergența câmpului de viteză al punctelor unui corp absolut rigid.

Viteza ~v din orice punct t.t. se exprimă prin viteza polului O şi viteza unghiulară!~ t.t. formulă

~v = ~vO + !~ ~r:

Viteza unghiulara!~ pentru toate punctele t.t. e aceeasi. În consecință, (vezi Exemplul 87) div (!~ ~r) = 0; Și

div ~v = div ~vO + div (!~ ~r) = 0:

Exemplul 89. Divergența câmpului de accelerație al punctelor unui corp absolut rigid

~a = ~aO + !~ ~r + !~ (!~ ~r):

Folosind rezultatele exemplelor 81 și 87 și formula (3.78), găsim

div ~a = div ~aO + div (!~ ~r) + div (!~ (!~ ~r)) =

_ _ _

Div ~a O +~r putrez !~ !~ putrez !~ + (!~ ~r) putrez !~ !~ putrezesc (!~ ~r) =

0 + 0 0 + 0 2! 2 = 2!2 :

grad (~a b) = r(~a b) = r(~a b) + r(~a b):

Exemplul 79, folosind formula (3.79) găsim

grad (~c ~r) = ~c:

5.5. Operații diferențiale de ordinul doi sunt obținute ca urmare a dublei aplicări a operațiunii

deoarece produsul mixt a trei vectori este egal cu zero dacă doi vectori din el sunt la fel. ÎN în acest caz, vectorul r apare în produsul mixt de două ori.

Acest rezultat corespunde proprietății produsului încrucișat: un vector înmulțit cu el însuși vector produce un vector nul.

Să oferim o selecție de formule pentru operațiile diferențiale de bază în unele dintre cele mai frecvent utilizate sisteme de coordonate ortogonale curbilinie. Vom presupune că

U și P sunt funcții scalare și, respectiv, vectoriale ale unui punct.

Funcțiile grad U , div P , rot P într-un sistem de coordonate ortogonal curbiliniu arbitrar sunt determinate, respectiv, prin formulele (3.18), (3.62), (3.40). Le vom enumera aici încă o dată:

Din (3.18), (3.62), (3.40) și (3.84) urmează, în special, formulele (3.19), (3.63), (3.41), (3.71) pentru gradient, divergență, vortex și operatorul Laplace din cartezian sistem de coordonate.

6.1. Sistem de coordonate cilindric. Coordonatele cilindrice, " și z sunt legate de coordonatele carteziene x, y, z prin relații (vezi Fig. 60)

x = cos "; y = sin "; z = z:

Suprafețele de coordonate ale acestui sistem sunt: ​​cilindri circulari cu o axă de rotație Oz, plane perpendiculare pe axa Oz și semiplane care trec prin Oz. Ecuațiile suprafețelor de coordonate din sistemele de coordonate carteziene și, respectiv, cilindrice sunt

Coeficienți Lamé: H = 1; H" = ; Hz = 1. Pătratul elementului de lungime este

ds2 = d2 +2 d"2 + dz2 :

Conform formulelor (3.18), (3.62), (3.40) și (3.84) obținem

6.2. Sistem de coordonate sferice. Coordonatele sferice r, " (Fig. 61) sunt asociate cu egalități carteziene

x = r sin cos "; y = r sin sin "; z = rcos:

Suprafețe de coordonate: sfere cu raza r centrate în punctul O

x2 + y2 + z2 r2 = 0; r = const;

conuri circulare cu vârful O, ale căror generatoare formează un unghi cu axa Oz,

x2 + y2 = z2 tan2 ; = const;

și semiplane care trec prin Oz la un unghi „față de planul xOz,

y=x = tg "; " = const:

Coeficienți Lamé: Hr = 1; H = r; H" = r sin. Patratul elementului de lungime

ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 sin2 d"2 ;

și operații diferențiale de bază

Res. 92

6.3. Sistem de coordonate cilindric parabolic. Coordonatele, z sunt legate de coordonatele carteziene

rapoarte dinate

În fig. 92 prezintă parabole a două familii de confocale reciproc ortogonale (accentul este

coordonatele y t. O) parabolă. Axa Oz este perpendiculară pe planul Oxy. Dacă mutam parabolele prezentate în figură astfel încât focarele lor să rămână pe axa Oz,

X atunci obținem două sisteme orientate reciproc

cilindri parabolici togonali (cu generatrice paralele cu axa z).

Al treilea sistem de suprafețe de coordonate, ortogonal cu paraboloizii indicați, este format din plane paralele cu Oxy. Ecuațiile suprafețelor de coordonate sunt:

dinaţii sunt asociate cu coordonate carteziene conform

Suprafețele de coordonate sunt două sisteme de paraboloizi reciproc ortogonali, care sunt obținute prin rotirea figurii din Fig. 92 în jurul axei Oy și semiplane care trec prin axa de rotație:

ds2 = c2 (2 +2 )(d2 + d2 ) + c2 2 2 d2 :

Să punem = 2 +2, atunci principalele operații diferențiale pot fi scrise sub forma

6.5. Sistem de coordonate cilindrice eliptice. În fig. 93 prezintă un reprezentant a două familii reciproc ortogonale de elipse confocale și hi-

perbolă cu axele Ox și Oy.

Atunci când sunt transferate paralel perpendicular pe planul de desen (de-a lungul axei Oz), elipsele și hiperbolele luate în considerare vor descrie cilindri eliptici și hiperbolici, formând două sisteme de co-coronații reciproc ortogonali.

X suprafețe ordonate. Al treilea sistem de suprafețe de coordonate

constă din planuri paralele cu planul Oxy.

Ecuațiile suprafețelor de coordonate din sistemele cilindrice carteziene și eliptice au forma

6.6. Sistem de coordonate elipsoidale prolate. La rotirea familiilor de elipse și hiperbole confocale (Fig. 93) în jurul axei Ox, se obțin familii reciproc ortogonale de elipsoizi de revoluție prolate și hiperboloizi de revoluție cu două foi. Al treilea sistem de suprafețe de coordonate este un semiplan care trece prin axa de rotație.

Ecuațiile suprafețelor de coordonate din sistemele de coordonate carteziene (x; y; z) și elipsoidale (, ",) au forma

Traducere: Vlad Merzhevich

Există multe pietre prețioase ascunse în modulele specificației CSS3. În acest articol vom arunca o privire la calc() - incredibil proprietate utilă, care vă poate schimba abordarea asupra aspectului site-ului web.

Funcția CSS3 calc() este utilizată în principal pentru a calcula lungimea, numerele, unghiurile, timpii de tranziție sau animație și frecvența audio. Cu toate acestea, vă permite să amestecați tipuri de valori, ceea ce este o idee puternică în CSS.

Să luăm în considerare un aspect al site-ului web care conține două elemente plutitoare. Doriți ca ambele elemente să aibă aceeași lățime și separate printr-o marjă orizontală de 60 px. Sună simplu? Nu este o problemă în design fix; dacă pagina are 960 px lățime, atunci ambele elemente vor avea 450 px lățime.

Ce zici de cauciuc sau aspect adaptiv? Nu există nicio modalitate de a defini lățimea paginii, așa că majoritatea dezvoltatorilor ar seta lățimea fiecărui element la, să zicem, 45%. O marjă de 10% va fi egală cu 60px cu o lățime a paginii de 600px; Mărirea sau îngustarea ferestrei browserului va crește sau micșora, în consecință, marja.

Din fericire, optiune noua calc() ne permite să calculăm lățimea. În cazul nostru, dorim ca lățimea fiecărui element să fie de 50% minus 30px.

#element1, #element2 ( float: stânga; lățime: calc(50% - 30px); ) #element2 ( margin-left: 60px; )

Poate doriți o marjă legată de dimensiunea fontului, cum ar fi 4em? Nici o problemă.

#element1, #element2 ( lățime: calc(50% - 2em); )

Sau doriți un chenar de 2 px în jurul fiecărui element.

#element1, #element2 ( lățime: calc(50% - 2em - 4px); chenar: 2px solid #000; )

#element1, #element2 ( lățime: calc((50% + 2em)/2 + 14px); )

Suport pentru browser

Funcția calc() este o recomandare W3C, acum ghiciți ce browser are suport nativ?

Ai ghicit greșit. La momentul scrierii acestui articol Internet Explorer 9. Firefox suportă și cu prefixul: -moz-calc() . Nu a fost implementat niciodată în webkit (Chrome și Safari) și Opera, dar datorită utilității sale, cred că nu va trebui să așteptăm mult ( deja implementat - aprox. BANDĂ).

Din fericire, poți folosi îmbunătățirea progresivă în stilurile tale.

#element1, #element2 ( lățime: 45%; /* toate browserele */ lățime: -moz-calc(50% - 30px); /* Firefox 4+ */ lățime: calc(50% - 30px); /* IE9+ și viitoarele browsere */)

min() și max()

Dacă ți-a plăcut calc() , o să-ți placă functii min() și max() . Ele iau două sau mai multe valori separate prin virgule și returnează minimul sau, respectiv, maximul, de exemplu.

#elementul meu ( lățime: max(300px, 30%, 30em); dimensiunea fontului: min(10px, 0.6em); )

Funcțiile vor fi deosebit de utile atunci când se utilizează dimensiuni relative ale fontului pentru text, pentru a preveni ca acesta să devină prea mare sau prea mic.

Din păcate, min() și max() nu sunt acceptate de niciunul dintre cele mai recente browsere. Să sperăm că o vor face curând.