Se numește o funcție F(x) diferențiabilă într-un interval dat X antiderivată a funcției f(x), sau integrala lui f(x), dacă pentru fiecare x ∈X este valabilă următoarea egalitate:
F " (x) = f(x). (8.1)
Găsirea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ea integrare. Funcție integrală nedefinită f(x) pe un interval dat X este mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate pentru funcția f(x); denumire -
Dacă F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
unde C este o constantă arbitrară.
Tabelul integralelor
Direct din definiție obținem principalele proprietăți ale integralei nedefinite și o listă de integrale tabelare:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Lista integralelor tabelare
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctan x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Înlocuire variabilă
Pentru a integra multe funcții, utilizați metoda de înlocuire a variabilei sau substituții, permițându-vă să reduceți integralele la formă tabelară.
Dacă funcția f(z) este continuă pe [α,β], funcția z =g(x) are o derivată continuă și α ≤ g(x) ≤ β, atunci
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Mai mult, după integrarea din partea dreaptă, trebuie făcută înlocuirea z=g(x).
Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrala originală sub forma:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
De exemplu:
Metoda de integrare pe părți
Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,
d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.
Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.
De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.
Integrala definita
Conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți prin puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Se numește o sumă de forma f(ξ i)Δ x i suma integrală, iar limita sa la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcţiile f(x) ale A inainte de b si este desemnata:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.
Următoarele proprietăți sunt adevărate pentru o integrală definită:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.
Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită
∫f(x)dx = F(x) + C
si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:
F(b) - F(a). (8,6)
Interpretare geometrică: integrala definită este aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Bou.
Integrale improprii
Se numesc integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite). nu a ta. Integrale improprii de primul fel - Acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:
(8.7)
Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), și se numește funcția f(x). integrabil pe un interval infinit[a,+ ∞). În caz contrar, se spune că integrala este nu există sau diverge.
Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:
Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile X segmentul , cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:
dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:
Exemple de calcule integrale
Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).
Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.
Soluţie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinxSoluţie.
Exemplu3.33. Găsi .
Soluţie. = .
Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.
Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.
Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.
Soluţie. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. De asemenea, integrăm integrala ∫e x cosxdx prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.
Soluţie. Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Exemplu 3.38 . Calculați J = .
Soluţie. Considerând că = d(lnx), înlocuim lnx = t. Atunci J = 
.
Exemplu 3.39
. Calculați integrala J = 
.
Soluţie. Avem: 
. Prin urmare =
=
=. introdus astfel: sqrt(tan(x/2)).
Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.
O funcție irațională a unei variabile este o funcție care este formată dintr-o variabilă și constante arbitrare folosind un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire (creștere la o putere întreagă), împărțire și rădăcini. O funcție irațională diferă de una rațională prin aceea că funcția irațională conține operații pentru extragerea rădăcinilor.
Există trei tipuri principale de funcții iraționale, ale căror integrale nedefinite sunt reduse la integrale ale funcțiilor raționale. Acestea sunt integrale care conțin rădăcini de puteri întregi arbitrare dintr-o funcție fracțională liniară (rădăcinile pot fi de puteri diferite, dar din aceeași funcție fracțională liniară); integrale ale unui binom diferențial și integrale cu rădăcina pătrată a unui trinom pătrat.
Notă importantă. Rădăcinile au mai multe semnificații!
Când se calculează integrale care conțin rădăcini, sunt adesea întâlnite expresii ale formei, unde este o funcție a variabilei de integrare. Trebuie avut în vedere faptul că. Adică la t > 0 , |t| = t. La or< 0 , |t| = - t . Prin urmare, atunci când se calculează astfel de integrale, este necesar să se ia în considerare separat cazurile t > 0 Si t< 0 . Acest lucru se poate face scriind semne sau oriunde este necesar. Presupunând că semnul de sus se referă la cazul t > 0 , iar cea inferioară - la cazul t< 0 . Odată cu transformarea ulterioară, aceste semne, de regulă, se anulează reciproc.
Este posibilă și o a doua abordare, în care integrandul și rezultatul integrării pot fi considerate funcții complexe ale variabilelor complexe. Atunci nu trebuie să acordați atenție semnelor din expresiile radicale. Această abordare este aplicabilă dacă integrandul este analitic, adică o funcție diferențiabilă a unei variabile complexe. În acest caz, atât integrandul, cât și integrala sa sunt funcții cu mai multe valori. Prin urmare, după integrare, la înlocuirea valorilor numerice, este necesar să se selecteze o ramură cu o singură valoare (suprafața Riemann) a integrandului, iar pentru aceasta să se selecteze ramura corespunzătoare a rezultatului integrării.
Iraționalitate liniară fracțională
Acestea sunt integrale cu rădăcini din aceeași funcție liniară fracțională:
,
unde R este o funcție rațională, sunt numere raționale, m 1, n 1, ..., m s, n s sunt numere întregi, α, β, γ, δ sunt numere reale.
Astfel de integrale sunt reduse la integrala unei funcții raționale prin substituție:
, unde n este numitorul comun al numerelor r 1, ..., r s.
Rădăcinile pot să nu provină neapărat dintr-o funcție fracțională liniară, ci și dintr-o funcție liniară (γ = 0, δ = 1), sau pe variabila de integrare x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Iată exemple de astfel de integrale:
,
.
Integrale din binoame diferențiale
Integralele din binoamele diferențiale au forma:
,
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b sunt numere reale.
Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.
1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N, unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n.
2) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a x n + b = t M, unde M este numitorul numărului p.
3) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M, unde M este numitorul numărului p.
În alte cazuri, astfel de integrale nu sunt exprimate prin funcții elementare.
Uneori, astfel de integrale pot fi simplificate folosind formule de reducere:
;
.
Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat
Astfel de integrale au forma:
,
unde R este o funcție rațională. Pentru fiecare astfel de integrală există mai multe metode de rezolvare.
1)
Utilizarea transformărilor duce la integrale mai simple.
2)
Aplicați substituții trigonometrice sau hiperbolice.
3)
Aplicați substituții Euler.
Să ne uităm la aceste metode mai detaliat.
1) Transformarea funcției integrand
Aplicând formula și efectuând transformări algebrice, reducem funcția integrand la forma:
,
unde φ(x), ω(x) sunt funcții raționale.
Tipul I
Integrala formei:
,
unde P n (x) este un polinom de grad n.
Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați folosind identitatea:
.
Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i.
Tipul II
Integrala formei:
,
unde P m (x) este un polinom de gradul m.
Înlocuirea t = (x - α) -1 această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția ar trebui să aibă o parte întreagă.
tipul III
Aici facem înlocuirea:
.
După care integrala va lua forma:
.
În continuare, constantele α, β trebuie alese astfel încât coeficienții lui t din numitor să devină zero:
B = 0, B 1 = 0.
Apoi integrala se descompune în suma de integrale de două tipuri:
,
,
care sunt integrate prin substituții:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .
2) Substituții trigonometrice și hiperbolice
Pentru integralele de forma , a > 0
,
avem trei substituții principale:
;
;
;
Pentru integrale, a > 0
,
avem următoarele înlocuiri:
;
;
;
Și în sfârșit, pentru integrale, a > 0
,
înlocuirile sunt după cum urmează:
;
;
;
3) Substituții Euler
De asemenea, integralele pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a > 0;
, pentru c > 0 ;
, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.
Integrale eliptice
În concluzie, luați în considerare integralele de forma:
,
unde R este o funcție rațională, . Astfel de integrale se numesc eliptice. În general, ele nu sunt exprimate prin funcții elementare. Cu toate acestea, există cazuri când există relații între coeficienții A, B, C, D, E, în care astfel de integrale sunt exprimate prin funcții elementare.
Mai jos este un exemplu legat de polinoamele reflexive. Calculul acestor integrale se realizează folosind substituții:
.
Exemplu
Calculați integrala:
.
Soluţie
Să facem o înlocuire.
.
Aici la x > 0
(u> 0
) ia semnul superior ′+ ′. La x< 0
(u< 0
) - inferior '- '.
.
Răspuns
Referinte:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.
Integrale complexe
Acest articol încheie subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le consider destul de complexe. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.
Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de integrare de bază. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții , unde poți stăpâni subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnici și metode de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.
Ce integrale vor fi luate în considerare?
Mai întâi vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv înlocuire variabilă Și integrare pe părți . Adică într-un exemplu două tehnici sunt combinate deodată. Și încă mai mult.
Apoi ne vom familiariza cu interesante și originale metoda de reducere a integralei la sine . Destul de multe integrale sunt rezolvate astfel.
Al treilea număr al programului va fi integrale ale fracțiilor complexe, care a zburat pe lângă casa de marcat în articolele anterioare.
În al patrulea rând, va fi demontat integrale suplimentare ale funcțiilor trigonometrice. În special, există metode care evită forța de muncă intensivă substituție trigonometrică universală.
(2) În funcția integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.
(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat puneți funcția sub semnul diferențial .
(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că într-un logaritm puteți folosi paranteze mai degrabă decât un modul, deoarece .
(5) Efectuăm o înlocuire inversă, exprimând „te” din înlocuirea directă:
Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)
După cum puteți vedea, în timpul soluției a trebuit să folosim chiar mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și destul de multă experiență.
În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună; iată trei exemple pentru a o rezolva singur:
Exemplul 2
Aflați integrala nedefinită
Exemplul 3
Aflați integrala nedefinită
Exemplul 4
Aflați integrala nedefinită
Aceste exemple sunt de același tip, astfel încât soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2; Exemplele 3-4 au aceleași răspunsuri. Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales exemple de același tip? Deseori găsite în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul 
.
Dar nu întotdeauna, când sub funcțiile arctangente, sinus, cosinus, exponențial și alte funcții există o rădăcină a unei funcții liniare, trebuie să utilizați mai multe metode simultan. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coboare ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care poate fi luată cu ușurință. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.
Prin reducerea integralei la sine
O metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:
Exemplul 5
Aflați integrala nedefinită
Sub rădăcină este un binom pătratic, iar încercarea de a integra acest exemplu poate da ceainicului o bătaie de cap ore în șir. O astfel de integrală este luată în părți și redusă la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.
Să notăm integrala luată în considerare printr-o literă latină și să începem soluția: 
Să integrăm pe părți: 
(1) Pregătiți funcția integrand pentru împărțirea termen cu termen.
(2) Împărțim termenul funcției integrand cu termen. Poate că nu este clar pentru toată lumea, dar o voi descrie mai detaliat:
(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.
(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).
Acum să ne uităm la începutul soluției: 
Si pana la final: 
Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala a fost redusă la sine!
Să echivalăm începutul și sfârșitul: 
Deplasați-vă în partea stângă cu o schimbare de semn: 
Și le mutăm pe cele două în partea dreaptă. Ca urmare: 
Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este rigoarea aici:
Notă:
Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:
Prin urmare:
Constanta poate fi redesemnată prin . De ce poate fi redenumit? Pentru că încă o acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:
Un truc similar cu renotare constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale . Și acolo voi fi strict. Și aici permit o astfel de libertate doar pentru a nu vă încurca cu lucruri inutile și pentru a concentra atenția tocmai asupra metodei de integrare în sine.
Exemplul 6
Aflați integrala nedefinită
O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Va fi o diferență cu răspunsul din exemplul anterior!
Dacă sub rădăcina pătrată există un trinom pătrat, atunci soluția se rezumă în orice caz la două exemple analizate.
De exemplu, luați în considerare integrala 
. Tot ce trebuie să faci este mai întâi selectați un pătrat complet
:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care face „fără consecințe”:
, rezultând integrala . Ceva familiar, nu?
Sau acest exemplu, cu un binom pătratic:
Selectați un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem integrala, care se rezolvă și folosind algoritmul deja discutat.
Să ne uităm la două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
– integrală a exponenţialului înmulţit cu sinus;
– integrală a exponenţialului înmulţit cu cosinus.
În integralele enumerate pe părți va trebui să integrați de două ori:
Exemplul 7
Aflați integrala nedefinită
Integrandul este exponențialul înmulțit cu sinusul.
Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine: 
Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala a fost redusă la sine. Echivalăm începutul și sfârșitul soluției:
O mutam în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala: 
Gata. În același timp, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul din paranteze și puneți sinusul și cosinusul între paranteze într-o ordine „frumoasă”.
Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai precis, la integrarea pe părți: 
Am desemnat exponentul ca. Se pune întrebarea: este exponentul care trebuie notat întotdeauna cu? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nu contează, ce înțelegem prin , am fi putut merge în altă direcție: 
De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponențialul se transformă în sine (atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).
Adică putem desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul luat în considerare, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu folosind a doua metodă; răspunsurile trebuie să se potrivească.
Exemplul 8
Aflați integrala nedefinită
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte de a vă decide, gândiți-vă ce este mai avantajos în acest caz să desemnați ca , o funcție exponențială sau o funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de verificat prin diferențiere!
Exemplele luate în considerare nu au fost cele mai complexe. În practică, integralele sunt mai frecvente acolo unde constanta este atât în exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni se vor încurca într-o astfel de integrală, iar eu deseori mă confund. Faptul este că există o probabilitate mare de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin nepăsare. În plus, există o mare probabilitate de eroare în semne; rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.
În etapa finală, rezultatul este adesea cam așa:
Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să înțelegi corect fracțiile: 
Integrarea fracțiilor complexe
Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar că dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.
Continuând tema rădăcinilor
Exemplul 9
Aflați integrala nedefinită
În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătratic plus un „apendice” sub forma unui „X” în afara rădăcinii. O integrală de acest tip poate fi rezolvată folosind o substituție standard.
Noi decidem: 
Înlocuirea aici este simplă: 
Să ne uităm la viața după înlocuire: 
(1) După înlocuire, reducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Numătorul și numitorul se reduc cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții
, se decide metoda de extracție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală are drept scop îndreptarea rezultatului: sub rădăcină aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.
Exemplul 10
Aflați integrala nedefinită 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici se adaugă o constantă la singurul „X”, iar înlocuirea este aproape aceeași: 
Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți în plus este să exprimați „x” de la înlocuirea care se efectuează: 
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătratic sub rădăcină, acest lucru nu schimbă metoda de soluție, va fi și mai simplu. Simte diferenta:
Exemplul 11
Aflați integrala nedefinită
Exemplul 12
Aflați integrala nedefinită
Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost discutată la clasă Integrale ale funcțiilor iraționale .
Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la putere
(polinom la numitor)
Un tip mai rar de integrală, dar întâlnită totuși în exemple practice.
Exemplul 13
Aflați integrala nedefinită
Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit corect). Această integrală este, de asemenea, una dintre cele care pot fi destul de frustrante dacă nu știi cum să rezolvi.
Soluția începe cu o transformare artificială: 
Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.
Integrala rezultată este luată în părți: 
Pentru o integrală de forma ( – număr natural) derivăm recurent formula de reducere:
, Unde 
– integrală de un grad mai mic.
Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula: 
După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.
Exemplul 14
Aflați integrala nedefinită
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.
Dacă sub gradul este indivizibil trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin izolarea pătratului perfect, de exemplu:
Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se utilizează metoda coeficienților nedeterminați, iar funcția integrand este extinsă într-o sumă de fracții. Dar în practica mea există un astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am ratat acest caz în articol Integrale ale funcțiilor fracționale-raționale , îl voi omite acum. Dacă încă întâlniți o astfel de integrală, uitați-vă la manual - totul este simplu acolo. Nu cred că este indicat să includem materiale (chiar simple), probabilitatea de întâlnire care tinde spre zero.
Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe
Adjectivul „complex” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în puteri mari. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare folosite, tangenta și cotangenta sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.
În lecția de mai sus ne-am uitat substituție trigonometrică universală pentru rezolvarea unui anumit tip de integrale ale funcţiilor trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că utilizarea sa duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!
Să luăm în considerare un alt exemplu canonic, integrala unuia împărțită la sinus:
Exemplul 17
Aflați integrala nedefinită
Aici puteți folosi substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi soluția completă cu comentarii pentru fiecare pas:
(1) Folosim formula trigonometrică pentru sinusul unui unghi dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: Împărțim la numitor și înmulțim cu .
(3) Folosind formula binecunoscută la numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(5) Luați integrala.
Câteva exemple simple pe care le puteți rezolva singur:
Exemplul 18
Aflați integrala nedefinită
Notă: primul pas ar trebui să fie utilizarea formulei de reducere 
și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.
Exemplul 19
Aflați integrala nedefinită
Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.
Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele: 
și așa mai departe.
Care este ideea metodei? Ideea este de a folosi transformări și formule trigonometrice pentru a organiza doar tangente și derivata tangentă în integrand. Adică vorbim despre înlocuirea: 
. În exemplele 17-19 am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât ne-am descurcat cu o acțiune echivalentă - subsumând funcţia sub semnul diferenţial.
Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.
Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:
Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, De exemplu:
pentru integrală – un număr întreg negativ PAR.
! Notă : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).
Să ne uităm la câteva sarcini mai semnificative bazate pe această regulă:
Exemplul 20
Aflați integrala nedefinită
Suma puterilor sinusului și cosinusului: 2 – 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei: 
(1) Să transformăm numitorul.
(2) Folosind formula binecunoscută, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula 
.
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este totuși mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.
Exemplul 21
Aflați integrala nedefinită
Acesta este un exemplu de rezolvat singur.
Stai acolo, rundele campionatului sunt pe cale să înceapă =)
Adesea, integrandul conține un „mezul”:
Exemplul 22
Aflați integrala nedefinită 
Această integrală conține inițial o tangentă, care duce imediat la un gând deja familiar:
Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost deja discutat mai sus.
Câteva exemple creative pentru propria dvs. soluție:
Exemplul 23
Aflați integrala nedefinită 
Exemplul 24
Aflați integrala nedefinită 
Da, în ele, desigur, puteți reduce puterile sinusului și cosinusului și puteți utiliza o substituție trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este efectuată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției
