Matricea А -1 se numește matrice inversă față de matricea А dacă А * А -1 = Е, unde Е este matricea unitară de ordinul n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.
Scopul serviciului... Cu ajutorul acestui serviciu online, puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice adjunctă și matrice inversă. Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport Word și în format Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.
Instruire. Pentru a obține o soluție, este necesar să se stabilească dimensiunea matricei. Apoi, într-o nouă casetă de dialog, completați matricea A.
Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordan-Gauss
Algoritm pentru găsirea matricei inverse
- Găsirea matricei transpuse A T.
- Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
- Alcătuirea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
- Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
- Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția; în caz contrar, matricea inversă nu există.
- Definiția complementelor algebrice.
- Umplerea matricei de unire (reciprocă, alăturată) C.
- Alcătuirea unei matrici inverse din complemente algebrice: fiecare element al matricei adiacente C se împarte la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
- Se face o verificare: se înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie matricea de identitate.
Exemplul #1. Să scriem matricea după cum urmează:
Complementele algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3 + 2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3 + 3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Atunci matrice inversă poate fi scris ca:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse
Să dăm o altă schemă pentru găsirea matricei inverse.- Aflați determinantul matricei pătrate date A.
- Găsiți complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei A.
- Scriem complementele algebrice ale elementelor de rând în coloane (transpunere).
- Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.
Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.
Pe astfel de matrici se efectuează diverse acțiuni: se înmulțesc unele cu altele, găsesc determinanți etc. Matrice- un caz special al unui tablou: dacă o matrice poate avea orice număr de dimensiuni, atunci doar o matrice bidimensională se numește matrice.
În programare, o matrice este numită și o matrice bidimensională. Oricare dintre tablourile din program are un nume ca și cum ar fi o variabilă. Pentru a clarifica care dintre celulele matricei se înțelege, atunci când este menționat în program, împreună cu variabila, se folosește numărul de celule din acesta. Atât o matrice bidimensională, cât și o matrice n-dimensională dintr-un program pot conține nu numai informații numerice, ci și simbolice, șir, booleane și alte informații, dar întotdeauna aceleași în întreaga matrice.
Matricele sunt desemnate cu litere mari A: MxN, unde A este numele matricei, M este numărul de rânduri din matrice și N este numărul de coloane. Elemente - litere mici corespunzătoare cu indici care indică numărul lor în rând și în coloana a (m, n).
Cele mai comune matrici sunt dreptunghiulare, deși în trecutul îndepărtat matematicienii considerau și triunghiulari. Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, se numește pătrat. Mai mult, M = N are deja numele ordinului matricei. O matrice cu un singur rând se numește rând. O matrice cu o singură coloană se numește coloană. O matrice diagonală este o matrice pătrată în care numai elementele situate pe diagonală sunt diferite de zero. Dacă toate elementele sunt egale cu unu, matricea se numește identitate, dacă zero - zero.
Dacă rândurile și coloanele sunt schimbate în matrice, aceasta devine transpusă. Dacă toate elementele sunt înlocuite cu complex-conjugat, acesta devine complex-conjugat. În plus, există și alte tipuri de matrice, determinate de condițiile care sunt impuse elementelor matricei. Dar majoritatea acestor condiții se aplică doar celor pătrate.
Videoclipuri similare
Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.
Adunarea și scăderea matricelor.
Suma $ A + B $ a matricelor $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $ se numește matrice $ C_ (m \ ori n) = (c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline ( 1, n) $.
O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:
Diferența $ AB $ de matrice $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $ este matricea $ C_ (m \ ori n) ) = ( c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline (1, n ) $.
Explicația intrării $ i = \ overline (1, m) $: show \ hide
Notația „$ i = \ overline (1, m) $” înseamnă că parametrul $ i $ variază de la 1 la m. De exemplu, înregistrarea $ i = \ overline (1,5) $ spune că parametrul $ i $ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.
Trebuie remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitiv clare, deoarece ele înseamnă, de fapt, doar adunarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.
Exemplul #1
Sunt date trei matrice:
$$ A = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) \; \; B = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right); \; \; F = \ stânga (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ end (array) \ right). $$
Puteți găsi matricea $ A + F $? Găsiți matrice $ C $ și $ D $ dacă $ C = A + B $ și $ D = A-B $.
Matricea $ A $ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $ A $ este de $ 2 \ ori 3 $), iar matricea $ F $ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $ A $ și $ F $ nu coincid, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $ A + F $ pentru matrice date este nedefinită.
Dimensiunile matricelor $ A $ și $ B $ sunt aceleași, adică. datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.
$$ C = A + B = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) + \ stânga (\ începe (matrice) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (matrice) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Găsiți matricea $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) - \ stânga (\ începe (matrice) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (matrice) \ dreapta) = \\ = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Răspuns: $ C = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matrice) \ dreapta) $, $ D = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul matricei $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ cu numărul $ \ alpha $ este matricea $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $, unde $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline (1, n) $.
Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.
Exemplul nr. 2
Matricea este dată: $ A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Găsiți matricele $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ și $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin ( matrice) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (matrice) \ dreapta). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (matrice) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (matrice) \ dreapta). $$
Notația $ -A $ este o prescurtare pentru $ -1 \ cdot A $. Adică, pentru a găsi $ -A $, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $ A $ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $ A $ se va schimba în opus:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Răspuns: $ 3 \ cdot A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right); \; -5 \ cdot A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right); \; -A = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Produsul a două matrice.
Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.
Matricea $ C_ (m \ ori k) = (c_ ( ij)) $, pentru care fiecare element al lui $ c_ (ij) $ este egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare ale rândului i al matricea $ A $ prin elementele coloanei j-a a matricei $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; \; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$
Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să acordați imediat atenție faptului că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $ A $ cu matricea $ B $, atunci mai întâi trebuie să ne asigurăm că numărul de coloane al matricei $ A $ este egal cu numărul de rânduri al matricei $ B $ (astfel de matrici sunt adesea numite de acord). De exemplu, matricea $ A_ (5 \ ori 4) $ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $ F_ (9 \ ori 8) $ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $ A $ nu este egal cu numărul de rânduri din matricea $ F $, adică. $ 4 \ neq 9 $. Dar puteți înmulți matricea $ A_ (5 \ ori 4) $ cu matricea $ B_ (4 \ ori 9) $, deoarece numărul de coloane din matricea $ A $ este egal cu numărul de rânduri din matricea $ B $. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $ A_ (5 \ ori 4) $ și $ B_ (4 \ ori 9) $ va fi matricea $ C_ (5 \ ori 9) $, care conține 5 rânduri și 9 coloane:
Exemplul nr. 3
Matricele sunt date: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (matrice) \ dreapta) $ și $ B = \ stânga (\ început (matrice) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \ end (matrice) \ dreapta) $. Găsiți matricea $ C = A \ cdot B $.
Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $ C $. Deoarece $ A $ este $ 3 \ ori 4 $ și $ B $ este $ 4 \ ori 2 $, mărimea lui $ C $ este de $ 3 \ ori 2 $:
Deci, ca rezultat al produsului dintre matricele $ A $ și $ B $, ar trebui să obținem matricea $ C $, formată din trei rânduri și două coloane: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (array) \ right) $. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $ C $.
Să începem cu $ c_ (11) $. Pentru a obține elementul $ c_ (11) $, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
Pentru a găsi elementul $ c_ (11) $ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei $ B $, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Să continuăm soluția și să găsim $ c_ (12) $. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele din primul rând al matricei $ A $ și din a doua coloană a matricei $ B $:
Similar cu cel precedent, avem:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Toate elementele primului rând de $ C $ sunt găsite. Treceți la a doua linie, care începe cu $ c_ (21) $. Pentru a-l găsi, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al doilea rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
Următorul element $ c_ (22) $ se găsește prin înmulțirea elementelor din al doilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare ale coloanei a doua a matricei $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Pentru a găsi $ c_ (31) $, înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele primei coloane a matricei $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
Și, în sfârșit, pentru a găsi elementul $ c_ (32) $, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Toate elementele matricei $ C $ sunt găsite, rămâne doar să scriem că $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) ) \ dreapta) $ ... Sau, pentru a scrie integral:
$$ C = A \ cdot B = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (matrice) \ dreapta) \ cdot \ stânga (\ begin (matrice) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right). $$
Răspuns: $ C = \ stânga (\ begin (matrice) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu constatarea fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face următoarele:
De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în general $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Numai pentru unele tipuri de matrice care sunt numite permutare(sau naveta), egalitatea $ A \ cdot B = B \ cdot A $ este adevărată. Tocmai pe baza necomutativității înmulțirii, se cere să indicăm exact cum înmulțim expresia cu cutare sau cu alta matrice: la dreapta sau la stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $ 3E-F = Y $ cu matricea $ A $ din dreapta” înseamnă că trebuie să obținem următoarea egalitate: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transpusă față de matricea $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ se numește matrice $ A_ (n \ ori m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , pentru elementele care $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
Mai simplu spus, pentru a obține matricea transpusă $ A ^ T $, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $ A $ cu rândurile corespunzătoare conform următorului principiu: dacă primul rând a fost, prima coloană va deveni ; a existat o a doua linie - a doua coloană va deveni; a fost o a treia linie - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $ A_ (3 \ ori 5) $:
În consecință, dacă matricea originală a fost $ 3 \ ori 5 $, atunci matricea transpusă este $ 5 \ ori 3 $.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Se presupune aici că $ \ alpha $, $ \ beta $ sunt niște numere și $ A $, $ B $, $ C $ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.
- $ A + B = B + A $ (comutativitate de adunare)
- $ A + (B + C) = (A + B) + C $ (asociativitate de adunare)
- $ (\ alpha + \ beta) \ cdot A = \ alpha A + \ beta A $ (distributivitatea înmulțirii matricei în raport cu adunarea numerelor)
- $ \ alpha \ cdot (A + B) = \ alpha A + \ alpha B $ (înmulțire cu un număr în raport cu adăugarea matricei)
- $ A (BC) = (AB) C $
- $ (\ alpha \ beta) A = \ alpha (\ beta A) $
- $ A \ cdot (B + C) = AB + AC $, $ (B + C) \ cdot A = BA + CA $.
- $ A \ cdot E = A $, $ E \ cdot A = A $, unde $ E $ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
- $ A \ cdot O = O $, $ O \ cdot A = O $, unde $ O $ este o matrice zero de mărimea corespunzătoare.
- $ \ stânga (A ^ T \ dreapta) ^ T = A $
- $ (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T $
- $ (AB) ^ T = B ^ T \ cdot A ^ T $
- $ \ stânga (\ alpha A \ dreapta) ^ T = \ alpha A ^ T $
În următoarea parte, vom lua în considerare operația de ridicare a unei matrici la o putere întreagă nenegativă, precum și exemple rezolvate în care este necesar să se efectueze mai multe operații pe matrice.
Soluție matriceală- conceptul de generalizare a operaţiilor pe matrice. O matrice matematică este un tabel de elemente. Se spune că un tabel similar cu m rânduri și n coloane este o matrice m-cu-n.
Vedere generală a matricei
Elementele principale ale matricei:
Diagonala principală... Este compus din elementele a 11, și 22 ... ..a mn
Diagonala laterală. Este compus din elementele a 1n, și 2n-1… ..a m1.
Înainte de a trece la rezolvarea matricilor, luați în considerare principalele tipuri de matrici:
Pătrat- în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane (m = n)
Zero - toate elementele acestei matrice sunt egale cu 0.
Transpose Matrix- matricea B obtinuta din matricea originala A prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Singur- toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1, toate celelalte sunt 0.
matrice inversă- matricea, înmulțită cu care din matricea originală rezultă matricea de identitate.
Matricea poate fi simetrică față de diagonala principală și laterală. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 = a 31,… .a 23 = a 32…. a m-1n = a mn-1. atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate sunt simetrice.
Acum să trecem direct la întrebarea cum să rezolvăm matrice.
Adăugarea de matrici.
Matricele pot fi adăugate algebric dacă au aceeași dimensiune. Pentru a adăuga matricea A cu matricea B, este necesar să adăugați elementul din primul rând al primei coloane a matricei A la primul element al primului rând al matricei B, să adăugați elementul din a doua coloană a primului rând de matricea A la elementul coloanei a doua a primului rând al matricei B etc.
Proprietăți de pliere
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
Înmulțirea matricei.
Matricele pot fi multiplicate dacă sunt consistente. Matricele A și B sunt considerate consistente dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B.
Dacă A este m cu n, B este n cu k, atunci matricea C = A * B va fi m cu k și va fi compusă din elemente 
Unde C 11 este suma produselor papar ale elementelor rândului matricei A și coloanei matricei B, adică elementul este suma produsului elementului din prima coloană a primului rând de matrice A cu elementul primei coloane a primului rând al matricei B, elementul celei de-a doua coloane a primului rând al matricei A cu elementul primei coloane a matricelor de al doilea rând B etc.
La înmulțire, ordinea înmulțirii este importantă. A * B nu este egal cu B * A.
Găsirea determinantului.
Orice matrice pătrată poate genera un determinant sau un determinant. Scrie det. Sau | elemente de matrice |
Pentru matrici de dimensiunea 2 cu 2. Determinați că există o diferență între produsul elementelor principale și elementele diagonalei laterale. 
Pentru matrice cu dimensiuni de 3 cu 3 sau mai mult. Operația de găsire a determinantului este mai complicată.
Să introducem conceptele:
Element minor- este determinantul matricei obtinute din matricea originala prin stergerea randului si coloanei matricei originale in care a fost situat acest element.
Complement algebric elementul unei matrice se numește produsul minorului acestui element cu -1 în puterea sumei rândului și coloanei matricei originale, în care se afla acest element.
Determinantul oricărei matrice pătrate este egal cu suma produsului elementelor oricărui rând al matricei prin complementele algebrice corespunzătoare.
Inversarea matricei
Inversarea matricei este procesul de găsire a matricei inverse pe care am definit-o la început. Matricea inversă este, de asemenea, notată ca fiind cea originală cu un postscript de gradul -1.
Găsiți matricea inversă după formula.
A -1 = A * T x (1 / | A |)
Unde A * T este matricea transpusă a complementelor algebrice.
Am realizat exemple de rezolvare a matricelor sub forma unui tutorial video
:
Daca vrei sa intelegi, uita-te sigur.
Acestea sunt operațiile de bază pentru rezolvarea matricelor. Dacă aveți întrebări suplimentare despre cum se rezolvă matrice, nu ezitați să scrieți în comentarii.
Dacă, totuși, nu vă puteți da seama, încercați să contactați un specialist.
Matrix, familiarizați-vă cu conceptele sale de bază. Elementele definitorii ale matricei sunt diagonalele acesteia - și cea laterală. Principalul începe de la elementul din primul rând, prima coloană și continuă până la elementul din ultima coloană, ultimul rând (adică merge de la stânga la dreapta). Diagonala laterală începe invers în primul rând, dar în ultima coloană, și continuă până la elementul care are coordonatele primei coloane și ultimul rând (merge de la dreapta la stânga).
Pentru a trece la următoarele definiții și operații algebrice pe matrice, studiați tipurile de matrice. Cele mai simple dintre ele sunt pătratul, unitatea, zero și inversul. Numărul de coloane și rânduri este același. Matricea transpusă, să o numim B, se obține din matricea A prin înlocuirea coloanelor cu rânduri. În unul, toate elementele diagonalei principale sunt unu, iar celelalte sunt zerouri. Și în zero, chiar și elementele diagonalelor sunt zero. Matricea inversă este cea pe care matricea originală ajunge la forma unitară.
De asemenea, matricea poate fi simetrică față de axele principale sau laterale. Adică, elementul cu coordonatele a (1; 2), unde 1 este numărul rândului și 2 este coloana, este egal cu a (2; 1). A (3; 1) = A (1; 3) și așa mai departe. Matricele consistente sunt acelea în care numărul de coloane ale uneia este egal cu numărul de rânduri ale celeilalte (astfel de matrici pot fi înmulțite).
Principalele acțiuni care pot fi efectuate cu matrice sunt adunarea, înmulțirea și găsirea determinantului. Dacă matricele sunt de aceeași dimensiune, adică au același număr de rânduri și coloane, atunci pot fi adăugate. Este necesar să adăugați elemente care se află în aceleași locuri în matrice, adică să adăugați a (m; n) cu în (m; n), unde m și n sunt coordonatele corespunzătoare ale coloanei și rândului. La adăugarea matricelor, se aplică regula principală a adunării aritmetice obișnuite - când se schimbă locurile termenilor, suma nu se schimbă. Astfel, dacă în locul unui element simplu a există o expresie a + b, atunci aceasta poate fi adăugată unui element dintr-o altă matrice proporțională conform regulilor a + (b + c) = (a + b) + c.
Puteți înmulți matricele potrivite prezentate mai sus. În acest caz, se obține o matrice, în care fiecare element este suma elementelor înmulțite în perechi ale rândului matricei A și coloanei matricei B. La înmulțire, ordinea acțiunilor este foarte importantă. m * n nu este egal cu n * m.
De asemenea, una dintre acțiunile principale este găsirea. Se mai numește și determinant și se notează ca det. Această valoare este determinată de modul, adică nu este niciodată negativă. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este pentru o matrice pătrată 2x2. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele diagonalei principale și scădeți din ele elementele înmulțite ale diagonalei secundare.
