Aflați valoarea expresiei cunoscute. Găsirea sensului unei expresii, exemple, soluții

Deci, dacă o expresie numerică este compusă din numere și semne +, -, · și:, atunci în ordine de la stânga la dreapta, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, ceea ce vă va permite să găsiți valoarea dorită. valoarea expresiei.

Să dăm o soluție de exemple pentru clarificare.

Exemplu.

Evaluați valoarea expresiei 14−2 · 15: 6−3.

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea unei expresii, trebuie să efectuați toate acțiunile indicate în ea în conformitate cu ordinea acceptată de efectuare a acestor acțiuni. Mai întâi, în ordine de la stânga la dreapta, efectuăm înmulțirea și împărțirea, obținem 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Acum, de asemenea, în ordine de la stânga la dreapta, executăm acțiunile rămase: 14−5−3 = 9−3 = 6. Deci am găsit valoarea expresiei originale, este 6.

Răspuns:

14-215: 6-3 = 6.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei.

Soluţie.

V acest exemplu mai întâi trebuie să facem înmulțirea 2 · (−7) și împărțirea și înmulțirea în expresie. Amintindu-ne cum se face, găsim 2 (−7) = - 14. Și pentru a efectua acțiuni în expresie, mai întâi , atunci , și executați: .

Înlocuiți valorile obținute în expresia originală:.

Dar dacă există o expresie numerică sub semnul rădăcinii? Pentru a obține valoarea unei astfel de rădăcini, trebuie mai întâi să găsiți valoarea expresiei radicale, respectând ordinea acceptată de execuție a acțiunilor. De exemplu, .

În expresiile numerice, rădăcinile ar trebui să fie percepute ca niște numere și este recomandabil să înlocuiți imediat rădăcinile cu valorile lor, iar apoi să găsiți valoarea expresiei rezultate fără rădăcini, efectuând acțiuni în succesiunea acceptată.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei cu rădăcini.

Soluţie.

În primul rând, găsim valoarea rădăcinii ... Pentru a face acest lucru, mai întâi, calculăm valoarea expresiei radicale, avem −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... Și în al doilea rând, găsim valoarea rădăcinii.

Acum să calculăm valoarea celei de-a doua rădăcini din expresia originală:.

În cele din urmă, putem găsi valoarea expresiei originale prin înlocuirea rădăcinilor cu valorile lor:.

Răspuns:

Destul de des, pentru a face posibilă găsirea valorii unei expresii cu rădăcini, trebuie mai întâi să o transformi. Să arătăm soluția unui exemplu.

Exemplu.

Care este sensul expresiei .

Soluţie.

Nu putem înlocui rădăcina lui trei cu valoarea ei exactă, ceea ce nu ne permite să calculăm valoarea acestei expresii în modul descris mai sus. Cu toate acestea, putem calcula valoarea acestei expresii efectuând transformări simple. Aplicabil formula diferenței de pătrate:. Având în vedere, obținem ... Astfel, valoarea expresiei originale este 1.

Răspuns:

.

Cu grade

Dacă baza și exponentul sunt numere, atunci valoarea lor este calculată conform definiției exponentului, de exemplu, 3 2 = 3 · 3 = 9 sau 8 −1 = 1/8. Există și înregistrări când baza și/sau exponentul sunt niște expresii. În aceste cazuri, trebuie să găsiți valoarea expresiei în bază, valoarea expresiei în exponent și apoi să calculați valoarea gradului în sine.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii cu puteri ale formei 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4.

Soluţie.

În expresia originală, două grade sunt 2 3 4-10 și (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Valorile acestora trebuie calculate înainte de a efectua orice alți pași.

Să începem cu o putere de 2 3 4−10. În indicatorul său există o expresie numerică, calculăm valoarea acesteia: 3 4-10 = 12-10 = 2. Acum puteți găsi valoarea gradului în sine: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

La bază și exponent (1-1 / 2) 3,5-2 Avem (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.

Acum revenim la expresia originală, înlocuim puterile din ea cu valorile lor și găsim valoarea expresiei de care avem nevoie: 2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3.5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

Răspuns:

2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3.5−2 1/4 = 6.

Este demn de remarcat faptul că există cazuri mai frecvente când este recomandabil să se efectueze un preliminar simplificarea expresiei cu puteri pe baza .

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Judecând după exponenții din această expresie, valorile exacte ale exponenților nu pot fi obținute. Să încercăm să simplificăm expresia originală, poate că acest lucru va ajuta să-i găsim sensul. Avem

Răspuns:

.

Gradele în expresii merg adesea mână în mână cu logaritmi, dar vom vorbi despre găsirea valorilor expresiilor cu logaritmi într-una dintre.

Găsirea valorii unei expresii cu fracții

Expresiile numerice în notația lor pot conține fracții. Când trebuie să găsiți semnificația unei astfel de expresii, alte fracții decât fracțiile obișnuite trebuie înlocuite cu valorile lor înainte de a efectua restul pașilor.

Numătorul și numitorul fracțiilor (care sunt diferite de fracțiile obișnuite) pot conține atât unele numere, cât și expresii. Pentru a calcula valoarea unei astfel de fracții, trebuie să calculați valoarea expresiei din numărător, să calculați valoarea expresiei din numitor și apoi să calculați valoarea fracției în sine. Această ordine se explică prin faptul că fracția a / b, unde a și b sunt niște expresii, este în esență un coeficient de forma (a) :( b), deoarece.

Să luăm în considerare soluția unui exemplu.

Exemplu.

Găsiți semnificația unei expresii cu fracții .

Soluţie.

În expresia numerică originală, trei fracții și . Pentru a găsi valoarea expresiei originale, avem nevoie mai întâi de aceste fracții, înlocuiți-le cu valori. Hai să o facem.

Numătorul și numitorul fracției conțin numere. Pentru a găsi valoarea unei astfel de fracții, înlocuiți bara fracțională cu un semn de divizare și efectuați această acțiune: .

Numătorul fracției conține expresia 7−2 · 3, valoarea acesteia este ușor de găsit: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. Prin urmare, . Puteți continua la găsirea valorii celei de-a treia fracții.

A treia fracție din numărător și numitor conține expresii numerice, prin urmare, mai întâi trebuie să calculați valorile acestora, iar acest lucru vă va permite să găsiți valoarea fracției în sine. Avem .

Rămâne să înlocuiți valorile găsite în expresia originală și să efectuați acțiunile rămase:.

Răspuns:

.

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor cu fracții, trebuie să faceți simplificarea expresiilor fracţionale bazat pe efectuarea de acţiuni cu fracţii şi fracţii reducătoare.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Rădăcina lui cinci nu este extrasă în întregime, așa că pentru a găsi valoarea expresiei originale, să o simplificăm mai întâi. Pentru aceasta scapă de iraționalitatea în numitor prima fracție: ... După aceea, expresia originală va lua forma ... După scăderea fracțiilor, rădăcinile vor dispărea, ceea ce ne va permite să găsim inițial valoarea pentru a acestei expresii: .

Răspuns:

.

Cu logaritmi

Dacă expresia numerică conține și dacă este posibil să scapi de ele, atunci acest lucru se face înainte de a efectua restul acțiunilor. De exemplu, când găsiți valoarea expresiei log 2 4 + 2 + 6 = 8.

Când există expresii numerice sub semnul logaritmului și/sau la baza acestuia, se găsesc mai întâi valorile acestora, după care se calculează valoarea logaritmului. De exemplu, luați în considerare o expresie cu un logaritm al formei ... La baza logaritmului și sub semnul acestuia se află expresii numerice, găsim valorile acestora:. Acum găsim logaritmul, după care completăm calculele:.

Dacă logaritmii nu sunt calculati exact, atunci simplificarea expresiei inițiale folosind aceasta poate ajuta la găsirea valorii expresiei originale. În același timp, trebuie să aveți o bună stăpânire a materialului articolului. conversia expresiilor logaritmice.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii cu logaritmi .

Soluţie.

Să începem prin a calcula log 2 (log 2 256). Deoarece 256 = 2 8, atunci log 2 256 = 8, prin urmare log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logaritmii log 6 2 și log 6 3 pot fi grupați. Suma logaritmilor log 6 2 + log 6 3 este egală cu logaritmul produsului log 6 (2 3), deci log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Acum să ne ocupăm de fracție. Pentru început, rescriem baza logaritmului în numitor ca o fracție obișnuită ca 1/5, după care vom folosi proprietățile logaritmilor, care ne vor permite să obținem valoarea fracției:
.

Rămâne doar să înlocuiți rezultatele obținute în expresia originală și să terminați găsirea valorii acesteia:

Răspuns:

Cum aflu valoarea unei expresii trigonometrice?

Când o expresie numerică conține sau, etc., valorile acestora sunt calculate înainte de a efectua alte acțiuni. Dacă există expresii numerice sub semnul funcțiilor trigonometrice, atunci se calculează mai întâi valorile acestora, după care se găsesc valorile funcțiilor trigonometrice.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Referindu-ne la articol, obținem și cosπ = −1. Substituim aceste valori în expresia originală, aceasta ia forma ... Pentru a-i găsi valoarea, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și apoi să finalizați calculele:.

Răspuns:

.

Trebuie remarcat faptul că calculul valorilor expresiilor cu sinusuri, cosinus etc. adesea necesită prealabil conversia expresiei trigonometrice.

Exemplu.

Care este valoarea unei expresii trigonometrice .

Soluţie.

Transformăm expresia originală folosind, în în acest caz avem nevoie de o formulă de cosinus cu unghi dublu și de o formulă de suma cosinus:

Transformările efectuate ne-au ajutat să găsim sensul expresiei.

Răspuns:

.

Caz general

V caz general o expresie numerică poate conține rădăcini, puteri, fracții, funcții și paranteze. Găsirea valorilor unor astfel de expresii înseamnă următoarele:

• primele rădăcini, puteri, fracții etc. sunt înlocuite cu valorile lor,
• acțiuni suplimentare între paranteze,
• iar in ordine de la stanga la dreapta se efectueaza operatiile ramase - inmultirea si impartirea, urmate de adunare si scadere.

Acțiunile enumerate sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Forma acestei expresii este destul de complicată. În această expresie, vedem fracție, rădăcini, grade, sinus și logaritm. Cum ii gasesti sensul?

Deplasându-ne de-a lungul înregistrării de la stânga la dreapta, întâlnim o fracțiune din formular ... Știm că atunci când lucrăm cu fracții complexe, trebuie să calculăm separat valoarea numărătorului, separat - numitorul și, în sfârșit, să găsim valoarea fracției.

La numărător avem o rădăcină a formei ... Pentru a-i determina valoarea, mai întâi trebuie să calculați valoarea expresiei radicalului ... Există un sinus aici. Putem găsi valoarea acesteia numai după calcularea valorii expresiei ... Noi putem sa facem asta:. Apoi, de unde și .

Numitorul este simplu:.

Prin urmare, .

După înlocuirea acestui rezultat în expresia originală, acesta va lua forma. Expresia rezultată conține gradul. Pentru a-i găsi valoarea, mai întâi trebuie să găsiți valoarea indicatorului, avem .

Asa de, .

Răspuns:

.

Dacă nu este posibil să se calculeze valorile exacte ale rădăcinilor, gradelor etc., atunci puteți încerca să scăpați de ele folosind unele transformări și apoi să reveniți la calcularea valorii conform schemei indicate.

Modalități raționale de calculare a valorilor expresiilor

Calcularea valorilor expresiilor numerice necesită consecvență și grijă. Da, trebuie să respectați secvența de acțiuni înregistrate în paragrafele anterioare, dar nu trebuie să o faci orbește și mecanic. Prin aceasta înțelegem că deseori este posibil să se raționalizeze procesul de găsire a sensului unei expresii. De exemplu, unele proprietăți ale acțiunilor cu numere pot accelera și simplifica semnificativ găsirea valorii unei expresii.

De exemplu, cunoaștem această proprietate a înmulțirii: dacă unul dintre factorii din produs este zero, atunci valoarea produsului este egală cu zero. Folosind această proprietate, putem spune imediat că valoarea expresiei 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) este egal cu zero. Dacă am respecta ordinea standard de efectuare a acțiunilor, atunci mai întâi ar trebui să calculăm valorile expresiilor voluminoase în paranteze, iar acest lucru ar dura mult timp, iar rezultatul ar fi în continuare zero.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale: dacă scădeți un număr egal dintr-un număr, rezultatul va fi zero. Această proprietate poate fi considerată mai larg: diferența dintre două expresii numerice identice este zero. De exemplu, fără a evalua valorile expresiilor din paranteze, puteți găsi valoarea expresiei (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), este egal cu zero, deoarece expresia originală este diferența dintre aceleași expresii.

Transformările identice pot contribui la calculul rațional al valorilor expresiilor. De exemplu, gruparea termenilor și factorilor poate fi utilă, iar parantezele sunt, de asemenea, adesea folosite. Deci valoarea expresiei 53 5 + 53 7−53 11 + 5 este foarte ușor de găsit după ce puneți factorul 53 în afara parantezei: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Calcularea directă ar dura mult mai mult.

În încheierea acestui paragraf, să acordăm atenție unei abordări raționale a calculării valorilor expresiilor cu fracții - aceiași factori din numărătorul și numitorul unei fracții sunt anulați. De exemplu, anularea acelorași expresii în numărătorul și numitorul unei fracții vă permite să găsiți imediat valoarea acestuia, care este 1/2.

Găsirea valorii unei expresii literale și a unei expresii cu variabile

Semnificația unei expresii alfabetice și a unei expresii cu variabile se găsește pentru anumite valori specificate de litere și variabile. Acesta este, este vorba despre găsirea sensului expresie literală pentru valori date ale literelor sau despre găsirea valorii unei expresii cu variabile pentru valorile variabilelor selectate.

Regula găsirea valorii unei expresii alfabetice sau a unei expresii cu variabile pentru valori date de litere sau valori selectate ale variabilelor este după cum urmează: trebuie să înlocuiți aceste valori ale literelor sau variabilelor în expresia originală și să calculați valoarea rezultatului expresie numerică, este valoarea dorită.

Exemplu.

Evaluați expresia 0,5 x − y la x = 2,4 și y = 5.

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea necesară a expresiei, mai întâi trebuie să înlocuiți aceste valori ale variabilelor în expresia originală și apoi să efectuați următorii pași: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Răspuns:

−3,8 .

În concluzie, observăm că, uneori, efectuarea de transformări ale expresiilor literale și ale expresiilor cu variabile vă permite să obțineți valorile acestora, indiferent de valorile literelor și variabilelor. De exemplu, expresia x + 3 − x poate fi simplificată, după care devine 3. Prin urmare, putem concluziona că valoarea expresiei x + 3 − x este egală cu 3 pentru orice valoare a variabilei x din intervalul său de valori admisibile (ODV). Un alt exemplu: valoarea expresiei este egală cu 1 pentru toate valorile pozitive ale lui x, deci intervalul de valori valide ale variabilei x din expresia originală este mulțimea numere pozitive, iar egalitatea are loc în acest domeniu.

Bibliografie.

• Matematica: manual. pentru 5 cl. educatie generala. instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, Șters. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 p .: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematica. Clasa a 6-a: manual. pentru invatamantul general. instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: studiu. pentru 7 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M.: Educaţie, 2008 .-- 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: studiu. pentru 8 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educaţie, 2008 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebră iar începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. educatie generala. instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M .: Educaţie, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

O expresie numerică este notarea numerelor în conjuncție cu operații aritmetice și paranteze. Când variabilele sunt folosite într-o expresie împreună cu numere și întreaga expresie este compusă cu sens, atunci se numește expresie algebrică (literală). Dacă expresia conține funcții trigonometrice directe, derivate, inverse și alte funcții trigonometrice, atunci expresia se numește trigonometrică. Un numar mare de exemple și sarcini care folosesc diverse expresii sunt detaliate în curs şcolar matematică.

Principalele lucruri de reținut:

1. Valoarea unei expresii numerice va fi numărul obţinut la efectuarea operaţiilor aritmetice în această expresie. Principalul lucru este să efectuați în mod constant operații aritmetice. Pentru simplitatea întregii operațiuni, acțiunile pot fi numerotate. Dacă expresia conține paranteze, atunci în primul rând efectuăm acțiunea corespunzătoare semnului dintre paranteze. Exponentiarea va fi urmatorul pas. În plus, prin prioritate, efectuăm înmulțirea sau împărțirea, iar doar la sfârșit, adunarea și scăderea.

Și acum vom găsi valoarea expresiei numerice 5 + 20 * (60-45). În primul rând, scăpăm de paranteze. Efectuând acțiunea, obținem 60-45 = 15. Acum avem 5 + 20 * 15. Următoarea acțiune este înmulțirea 20 * 15 = 300. Și ultima acțiune va fi adunarea, o executăm și obținem rezultatul final 5 + 300 = 305.

2. Cu un unghi cunoscut? Când lucrați cu expresii trigonometrice, trebuie să cunoașteți formule trigonometrice de bază pentru a vă ajuta să simplificați expresia. Aflați valoarea expresiei cos 12? cos 18? - sin 12? păcatul 18?. Pentru a simplifica această expresie, utilizați formula cos (? +?) = Cos? ca? - păcat? păcat?, atunci obținem cos 12? cos 18? - sin 12? sin 18? = cos (12? +18?) = cos30? = v3? 2.

3. Expresii cu variabile. Trebuie amintit că valoarea unei expresii algebrice depinde direct de variabilă. Variabilele pot fi notate cu litere grecești sau alfabet latin... Când avem setați parametri expresie algebrică, mai întâi trebuie să o simplificați. După aceea, trebuie să înlocuiți variabilele specificate și să produceți operatii aritmetice... Ca urmare, având în vedere variabilele, obținem un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice. Luați în considerare un exemplu în care trebuie să găsiți valoarea expresiei 3 (a + y) +2 (3a + 2y) cu a = 4 și y = 5. Simplificați această expresie și obțineți 3a + 3y + 6a + 4y = 9a + 7y. Acum trebuie să înlocuiți valoarea variabilelor și să calculați, rezultatul va fi valoarea expresiei. Deci, avem 9a + 7y cu a = 4 și y = 5 obținem 36 + 35 = 71. Rețineți că expresiile algebrice nu au întotdeauna sens. De exemplu, această expresie 15: (b-4) are sens pentru orice b, cu excepția b = 4.

Expresie numerică Este orice înregistrare de numere, semne aritmetice și paranteze. O expresie numerică poate consta dintr-un singur număr. Să reamintim că principalele operații aritmetice sunt „adunare”, „scădere”, „înmulțire” și „împărțire”. Aceste acțiuni corespund semnelor „+”, „-”, „∙”, „:”.

Desigur, pentru a obține o expresie numerică, notarea numerelor și a semnelor aritmetice trebuie să aibă sens. Deci, de exemplu, o astfel de notație 5: + ∙ nu poate fi numită expresie numerică, deoarece acesta este un set aleatoriu de caractere care nu are sens. Dimpotrivă, 5 + 8 ∙ 9 este deja o expresie numerică reală.

Valoarea unei expresii numerice.

Să spunem imediat că dacă executăm acțiunile indicate într-o expresie numerică, atunci vom obține un număr ca rezultat. Acest număr este numit valoarea unei expresii numerice.

Să încercăm să calculăm ce obținem ca urmare a efectuării acțiunilor din exemplul nostru. După ordinea în care se efectuează operațiile aritmetice, se efectuează mai întâi operația de înmulțire. Înmulțiți 8 cu 9. Obțineți 72. Acum adăugați 72 și 5. Obțineți 77.
Deci 77 - sens expresie numerică 5 + 8 ∙ 9.

Egalitatea numerică.

Puteți scrie astfel: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aici am folosit mai întâi semnul „=" („Egal”). Se numește o astfel de notație, în care două expresii numerice sunt separate prin semnul „=" egalitate numerică... În plus, dacă valorile părților din stânga și din dreapta ale egalității coincid, atunci egalitatea se numește credincios... 5 + 8 ∙ 9 = 77 - egalitate adevărată.
Dacă scriem 5 + 8 ∙ 9 = 100, atunci va fi deja falsă egalitate, deoarece valorile părților stânga și dreaptă ale acestei egalități nu mai coincid.

De remarcat că într-o expresie numerică, putem folosi și paranteze. Parantezele afectează ordinea în care sunt efectuate acțiunile. Deci, de exemplu, să ne modificăm exemplul adăugând paranteze: (5 + 8) ∙ 9. Acum, mai întâi trebuie să adunăm 5 și 8. Obținem 13. Și apoi înmulțim 13 cu 9. Obținem 117. Astfel, ( 5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – sens expresie numerică (5 + 8) ∙ 9.

Pentru a citi corect o expresie, trebuie să determinați care acțiune este efectuată ultima pentru a calcula valoarea unei expresii numerice date. Astfel, dacă ultima actiune scădere, atunci expresia se numește „diferență”. În consecință, dacă ultima acțiune este sumă - „sumă”, împărțire - „cot”, înmulțire - „produs”, exponențiere - „grad”.

De exemplu, expresia numerică (1 + 5) (10-3) se citește astfel: „produsul sumei numerelor 1 și 5 prin diferența dintre numerele 10 și 3”.

Exemple de expresii numerice.

Iată un exemplu de expresie numerică mai complexă:

\ [\ stânga (\ frac (1) (4) +3,75 \ dreapta): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ punct central 0,5) \]

Această expresie numerică folosește numere prime, fracții și zecimale. Se folosesc și semnele de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Bara de fracțiuni înlocuiește și semnul de diviziune. În ciuda complexității aparente, este destul de ușor de găsit valoarea acestei expresii numerice. Principalul lucru este să poți efectua operații cu fracții, precum și să faci calcule cu atenție și precizie, respectând ordinea efectuării acțiunilor.

În paranteză, avem expresia $ \ frac (1) (4) + 3,75 $. Convertiți zecimala 3,75 într-o fracție.

$ 3,75 = 3 \ frac (75) (100) = 3 \ frac (3) (4) $

Asa de, $ \ frac (1) (4) + 3,75 = \ frac (1) (4) +3 \ frac (3) (4) = 4 $

În plus, în numărătorul fracției \ [\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ punct central 0,5) \] avem expresia 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Pentru a simplifica această expresie, aplicăm legea deplasării adunării, care spune: „Suma nu se modifică din schimbarea locurilor termenilor”. Adică 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 = 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 = 6 + 2 = 8.

În numitorul fracției, expresia $ 4 \ centerdot 0,5 = 4 \ centerdot \ frac (1) (2) = 4: 2 = 2 $

Primim $ \ stânga (\ frac (1) (4) +3,75 \ dreapta): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) = 4: \ frac (8) (2) = 4: 4 = 1 $

Când sunt expresiile numerice lipsite de sens?

Să luăm un alt exemplu. În numitorul fracției $ \ frac (5 + 5) (3 \ punct central 3-9) $ valoarea expresiei $ 3 \ centerdot 3-9 $ este 0. Și, după cum știm, împărțirea la zero este imposibilă. Prin urmare, fracția $ \ frac (5 + 5) (3 \ centerdot 3-9) $ nu are valoare. Se spune că expresiile numerice care nu au sens sunt „fără sens”.

Dacă în exprimarea numerică, pe lângă numere, folosim litere, atunci vom obține deja

Formulă

Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea sunt operații aritmetice (sau operatii aritmetice). Aceste operații aritmetice corespund semnelor operațiilor aritmetice:

+ (citit " un plus") - semnul operației de adăugare,

- (citit " minus") - semn operații de scădere,

∙ (citit " multiplica") - semn operatii de inmultire,

: (citit " divide„) este semnul operațiunii de împărțire.

Se numește o înregistrare formată din numere legate prin semne ale operațiilor aritmetice expresie numerică. O expresie numerică poate conține și paranteze. De exemplu, înregistrarea 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) este o expresie numerică.

Se numește rezultatul efectuării acțiunilor asupra numerelor într-o expresie numerică valoarea unei expresii numerice... Acest lucru se numește evaluarea valorii unei expresii numerice. Înainte de a scrie valoarea unei expresii numerice, pune semn egal„=". Tabelul 1 prezintă exemple de expresii numerice și semnificațiile acestora.

O înregistrare formată din numere și litere mici ale alfabetului latin, conectate prin semne ale operațiilor aritmetice, se numește expresie literală... Această intrare poate conține paranteze. De exemplu, intrarea un +b - 3 ∙c este o expresie literală. În loc de litere într-o expresie literală, puteți înlocui numere diferite... În acest caz, sensul literelor se poate schimba, prin urmare literele din expresia literală sunt numite și variabile.

Înlocuind numere în loc de litere în expresia literală și calculând valoarea expresiei numerice rezultate, ei găsesc valoarea expresiei literale date fiind valorile literelor(pentru valorile date ale variabilelor). Tabelul 2 prezintă exemple de expresii de litere.

O expresie literală poate să nu conteze dacă înlocuirea valorilor literelor are ca rezultat o expresie numerică a cărei valoare este pentru numere naturale nu a putut fi gasit. O astfel de expresie numerică se numește incorect pentru numere naturale. Se mai spune că sensul unei astfel de expresii „ nedefinit" pentru numerele naturale și expresia în sine "Nu are sens"... De exemplu, expresia literală a - b nu contează pentru a = 10 și b = 17. Într-adevăr, pentru numerele naturale, diminuarea nu poate fi mai mică decât cea scăzută. De exemplu, având doar 10 mere (a = 10), nu poți oferi 17 dintre ele (b = 17)!

Tabelul 2 (coloana 2) oferă un exemplu de expresie alfabetică. Completați complet tabelul prin analogie.

Pentru numerele naturale, expresia 10 -17 incorect (nu are sens), adică diferența 10 -17 nu poate fi exprimată ca număr natural. Un alt exemplu: nu poți împărți la zero, deci pentru orice număr natural b, câtul b: 0 nedefinit.

Legile matematice, proprietățile, unele reguli și relații sunt adesea scrise sub formă de litere (adică sub formă de expresie de litere). În aceste cazuri, se numește expresia literală formulă... De exemplu, dacă laturile heptagonului sunt egale A,b,c,d,e,f,g, apoi formula (expresie literală) pentru a-și calcula perimetrul p se pare ca:

p =un +b +c +d +e +f +g

Pentru a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, perimetrul heptagonului p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Pentru a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, perimetrul altui heptagon este p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloc 1. Dicţionar

Alcătuiește un glosar de termeni și definiții noi din paragraf. Pentru a face acest lucru, scrieți cuvinte din lista de termeni de mai jos în celulele goale. În tabel (la sfârșitul blocului) indicați numărul de termeni în conformitate cu numerele cadrelor. Se recomandă să revizuiți cu atenție paragraful înainte de a completa celulele dicționarului.

1. Operatii: adunare, scadere, inmultire, impartire.

2. Semne „+” (plus), „-” (minus), „∙” (înmulțire, „ : " (divide).

3. O înregistrare constând din numere care sunt legate prin semne ale operațiilor aritmetice și în care pot fi prezente și paranteze.

4. Rezultatul efectuării unor acțiuni asupra numerelor în termeni numerici.

5. Semnul dinaintea valorii unei expresii numerice.

6. O înregistrare formată din cifre și litere mici ale alfabetului latin, legate între ele prin semne ale operațiilor aritmetice (pot fi prezente și paranteze).

7. Numele general al literelor în expresie literală.

8. Valoarea unei expresii numerice, care se obține prin înlocuirea unor variabile.într-o expresie literală.

9.Expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi găsită.

10. Expresie numerică, a cărei valoare pentru numere naturale poate fi găsită.

11. Legi matematice, proprietăți, unele reguli și relații, scrise sub formă de litere.

12. Alfabetul, ale cărui litere mici sunt folosite pentru a scrie expresii alfabetice.

Blocul 2. Stabilirea corespondenței

Stabiliți o corespondență între elementul din coloana din stânga și soluția din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a, 2d, 3b...

Blocul 3. Testul fațetelor. Expresii numerice și literale

Testele fațete înlocuiesc colecțiile de probleme de matematică, dar se compară favorabil cu acestea, prin faptul că pot fi rezolvate pe computer, pot verifica soluții și au recunoscut imediat rezultatul muncii. Acest test conține 70 de probleme. Dar puteți rezolva probleme la alegere, pentru aceasta există un tabel de evaluare, unde sunt indicate sarcini simple și mai dificile. Mai jos este testul.

1. Dat un triunghi cu laturi c,d,m, exprimat în cm
2. Dat un patrulater cu laturi b,c,d,m exprimată în m
3. Viteza vehiculului în km/h este b, timpul de mișcare în ore este d
4. Distanța parcursă de turist în m ore este cu km
5. Distanța parcursă de un turist care se deplasează cu viteză m km/h este b km
6. Suma a două numere este cu 15 mai mult decât al doilea
7. Diferența este mai mică decât cea redusă cu 7
8. Linia de pasageri are două punți cu același număr de locuri pentru pasageri. În fiecare dintre rândurile de punte m scaune, rânduri pe punte n mai mult decât locuri la rând
9. Petya are m ani, Masha are n ani și Katya este cu k ani mai mică decât Petya și Masha împreună
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Sensul acestei expresii
2. Expresia literală pentru perimetru este
3. Perimetrul exprimat în centimetri
4. Formula căii parcurse de mașină
5. Formula pentru viteza v, mișcarea turistului
6. Formula timpului t, mișcarea turistică
7. Distanța parcursă de mașină în kilometri
8. Viteza turiștilor în kilometri pe oră
9. Durata călătoriei turistice în ore
10. Primul număr este...
11. Scăderea este...
12. Expresie pentru cel mai mare număr de pasageri pentru care poate transporta linia k zboruri
13. Cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta linia k zboruri
14. Expresie scrisă pentru vârsta lui Katya
15. Vârsta Katiei
16. Coordonata punctului B, dacă coordonata punctului C este t
17. Coordonata punctului D, dacă coordonata punctului C este egală cu t
18. Coordonata punctului A, dacă coordonata punctului C este t
19. Lungimea segmentului BD pe un fascicul numeric
20. Lungimea segmentului CA pe fasciculul numeric
21. Lungimea segmentului DA pe fasciculul numeric

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi să luăm în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La sfârșit, dăm o expresie care conține denumiri de litere, paranteze, rădăcini, speciale semne matematice, grad, funcție etc. Întreaga teorie, conform tradiției, va fi furnizată cu exemple abundente și detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum aflu valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea unei probleme în limbajul matematic. În general expresii matematice poate fi fie foarte simplu, format dintr-o pereche de numere si semne aritmetice, fie foarte complex, continand functii, grade, radacini, paranteze etc. În cadrul unei sarcini, este adesea necesar să găsim sensul unei expresii. Cum se face, și va fi un discurs de mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și operații aritmetice. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea efectuării operațiilor aritmetice fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu numere diferite.

Dacă expresia conține doar numere și semne aritmetice „+”, „·”, „-”, „÷”, atunci acțiunile se execută de la stânga la dreapta în următoarea ordine: mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Aici sunt cateva exemple.

Exemplul 1. Valoarea unei expresii numerice

Să fie necesar să găsim valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Acum scadem si obtinem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Mai întâi, efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Acum să facem adunarea și scăderea. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

S-a găsit valoarea pe care o căutați.

Expresii cu paranteze

Dacă expresia conține paranteze, atunci acestea determină ordinea acțiunilor din această expresie. În primul rând, sunt efectuate acțiunile dintre paranteze și apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi facem operația de scădere în paranteze și abia apoi facem înmulțirea.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.

Sensul expresiilor care conțin paranteze în paranteze urmează același principiu.

Exemplul 4. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Vom efectua acțiunile începând cu parantezele cele mai interioare, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

În găsirea valorilor expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii înrădăcinate

Expresiile matematice pentru care avem nevoie pentru a găsi valorile pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Ce ar trebui făcut în acest caz? Mai întâi, trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul rezultat. Dacă este posibil, este mai bine să scăpați de rădăcinile din expresiile numerice, înlocuind din cu valori numerice.

Exemplul 5. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum puteți evalua valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6,5

Adesea, găsirea sensului unei expresii înrădăcinate necesită adesea convertirea expresiei originale. Să explicăm acest lucru cu încă un exemplu.

Exemplul 6. Valoarea unei expresii numerice

Cât este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu există nicio modalitate de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de calcul. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Prin urmare:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii de putere

Dacă expresia conține grade, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul însuși sau baza gradului să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Rămâne doar să efectuați operația de adunare și să aflați valoarea expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați expresia folosind proprietățile gradului.

Exemplul 8. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Să simplificăm expresia originală pentru a-i găsi sensul.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii de fracțiuni

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă există expresii în numărătorul și numitorul unei fracții, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se scrie valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate într-o manieră standard. Să luăm în considerare soluția unui exemplu.

Exemplul 9. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei care conține fracțiile: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Să rescriem expresia noastră și să îi calculăm valoarea:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-i găsi valoarea, cel mai bine este să simplificați la maximum orice expresie, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală transformând-o.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți în expresie, valoarea lor, dacă este posibil, este calculată de la bun început. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 · 4, puteți scrie imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Se obține: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritmului și la baza acestuia. În acest caz, primul pas este să le găsiți valorile. Luați expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Dacă nu este posibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei vă ajută să găsiți valoarea acestuia.

Exemplul 11. Valoarea unei expresii numerice

Găsiți valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

Prin proprietatea logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.

Aplicând din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Acum puteți continua la calcularea valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca o expresie să conțină funcții trigonometrice de sinus, cosinus, tangentă și cotangente, precum și funcții care sunt inverse acestora. Valorile sunt calculate înainte ca toate celelalte operații aritmetice să fie efectuate. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 = - 1

Înlocuim valorile în expresie și calculăm valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Valoarea expresiei a fost găsită.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi transformată. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13. Valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsiți valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru transformare, vom folosi formulele trigonometrice pentru cosinusul unghiului dublu și cosinusul sumei.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Cazul general al unei expresii numerice

În general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele de mai sus: paranteze, grade, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm regula generala găsirea valorilor unor astfel de expresii.

Cum să găsești sensul unei expresii

1. Rădăcini, grade, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
2. Se execută acțiunile între paranteze.
3. Acțiunile rămase sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi, înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 14. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales doar un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum găsești sensul unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, mai întâi, valorile numărătorului și, respectiv, numitorului fracției se găsesc separat. Vom transforma și simplifica constant această expresie.

În primul rând, calculăm valoarea expresiei radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul fracției, totul este mai simplu:

Acum putem nota valoarea întregii fracții:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Având în vedere acest lucru, să scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz, am putut calcula valorile exacte ale rădăcinilor, logaritmilor, sinusurilor etc. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea valorilor expresiilor în moduri raționale

Calculați valorile numerice în mod constant și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat prin utilizarea proprietăți diverse acțiuni cu numere. De exemplu, se știe că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Ținând cont de această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 este egală cu zero. În acest caz, nu este deloc necesar să efectuați acțiunile în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua nicio acțiune, puteți comanda ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 să fie și ea egală cu zero.

O altă tehnică care vă permite să accelerați procesul este utilizarea unor transformări identice, cum ar fi gruparea de termeni și factori și factor comunîn afara parantezelor. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este reducerea acelorași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, luați expresia 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Fără a efectua acțiunile din paranteze, dar reducând fracția, putem spune că valoarea expresiei este 1 3.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Semnificația unei expresii alfabetice și a unei expresii cu variabile se găsește pentru anumite valori specificate de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți expresia originală valori țintă litere și variabile, apoi calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15. Valoarea unei expresii cu variabile

Evaluați valoarea expresiei 0,5 x - y dat x = 2, 4 și y = 5.

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.

Uneori puteți transforma o expresie în așa fel încât să obțineți valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are în mod evident valoarea 3 și nu trebuie să cunoașteți valoarea lui x pentru a calcula această valoare. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori valide.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter