Cum se determină valoarea unei expresii. Găsirea valorii unei expresii, exemple, soluții

Formulă

Adunare, scădere, înmulțire, împărțire - operații aritmetice (sau operatii aritmetice ). Aceste operații aritmetice corespund semnelor operațiilor aritmetice:

+ (citit " la care se adauga") - semnul operației de adăugare,

- (citit " minus") - semn operații de scădere,

∙ (citit " multiplica") - semn operatii de inmultire,

: (citit " divide„) este semnul operațiunii de împărțire.

Se numește o înregistrare formată din numere interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice expresie numerică. Parantezele pot fi prezente și într-o expresie numerică. De exemplu, intrarea 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) este o expresie numerică.

Se numește rezultatul efectuării operațiilor asupra numerelor într-o expresie numerică valoarea unei expresii numerice. Efectuarea acestor acțiuni se numește calcularea valorii unei expresii numerice. Înainte de a scrie valoarea unei expresii numerice, pune semn egal„=". Tabelul 1 prezintă exemple de expresii numerice și semnificațiile acestora.

O intrare formată din cifre și litere mici alfabet latin, interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice se numește expresie literală. Această intrare poate conține paranteze. De exemplu, intrarea un +b - 3 ∙c este o expresie literală. În loc de litere într-o expresie literală, puteți înlocui diverse numere. În acest caz, semnificația literelor se poate schimba, astfel încât literele din expresia literală sunt numite și variabile.

Înlocuind numere în loc de litere în expresia literală și calculând valoarea expresiei numerice rezultate, ei găsesc valoarea unei expresii literale date fiind valorile literelor(pentru valorile date ale variabilelor). Tabelul 2 prezintă exemple de expresii literale.

O expresie literală poate să nu aibă valoare dacă, la înlocuirea valorilor literelor, se obține o expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi gasit. O astfel de expresie numerică se numește incorect pentru numere naturale. De asemenea, ei spun că sensul unei astfel de expresii " nedefinit" pentru numerele naturale și expresia în sine "nu are sens". De exemplu, expresia literală a-b nu contează pentru a = 10 și b = 17. Într-adevăr, pentru numerele naturale, minuendul nu poate fi mai mic decât subtraend. De exemplu, având doar 10 mere (a = 10), nu poți oferi 17 dintre ele (b = 17)!

Tabelul 2 (coloana 2) prezintă un exemplu de expresie literală. Prin analogie, completați complet tabelul.

Pentru numerele naturale, expresia 10 -17 greșit (nu are sens), adică diferența 10 -17 nu poate fi exprimată ca număr natural. Un alt exemplu: nu poți împărți la zero, deci pentru orice număr natural b, câtul b:0 nedefinit.

Legile matematice, proprietățile, unele reguli și rapoarte sunt adesea scrise în formă literală (adică sub forma unei expresii literale). În aceste cazuri, se numește expresia literală formulă. De exemplu, dacă laturile unui heptagon sunt egale A,b,c,d,e,f,g, apoi formula (expresia literală) pentru calcularea perimetrului acestuia p se pare ca:

p=un +b +c +d+e +f+g

Pentru a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, perimetrul heptagonului este p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Pentru a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, perimetrul altui heptagon este p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloc 1. Dicţionar

Realizați un dicționar de termeni și definiții noi din paragraf. Pentru a face acest lucru, în celulele goale, introduceți cuvintele din lista de termeni de mai jos. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați numărul de termeni în conformitate cu numerele cadrelor. Se recomandă să revizuiți cu atenție paragraful înainte de a completa celulele dicționarului.

1. Operatii: adunare, scadere, inmultire, impartire.

2. Semne „+” (plus), „-” (minus), „∙” (înmulțire, „ : " (divide).

3. O înregistrare constând din numere care sunt interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice și în care pot fi prezente și paranteze.

4. Rezultatul efectuării operaţiilor asupra numerelor în termeni numerici.

5. Semnul dinaintea valorii unei expresii numerice.

6. O intrare formată din cifre și litere mici ale alfabetului latin, interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice (pot fi prezente și paranteze).

7. Numele comun al literelor în expresia literală.

8. Valoarea unei expresii numerice, care se obține prin înlocuirea variabilelor într-o expresie literală.

9. Expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi găsită.

10. Expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale poate fi găsită.

11. Legi matematice, proprietăți, unele reguli și rapoarte scrise în formă literală.

12. Un alfabet ale cărui litere mici sunt folosite pentru a scrie expresii literale.

Bloc 2. Potrivire

Potriviți sarcina din coloana din stânga cu soluția din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a, 2d, 3b...

Blocul 3. Testul fațetelor. Expresii numerice și alfabetice

Testele fațete înlocuiesc colecțiile de probleme de matematică, dar se compară favorabil cu acestea, deoarece pot fi rezolvate pe computer, pot verifica soluții și pot afla imediat rezultatul muncii. Acest test conține 70 de sarcini. Dar puteți rezolva probleme la alegere, pentru aceasta există un tabel de evaluare, care enumeră sarcini simple și altele mai dificile. Mai jos este un test.

1. Dat un triunghi cu laturi c,d,m, exprimată în cm
2. Dat un patrulater cu laturi b,c,d,m exprimată în m
3. Viteza mașinii în km/h este b, timpul de călătorie în ore este d
4. Distanța parcursă de un turist m ore, este cu km
5. Distanța parcursă de un turist care se deplasează cu o viteză m km/h este b km
6. Suma a două numere este mai mare decât al doilea număr cu 15
7. Diferența este mai mică decât cea redusă cu 7
8. O linie de pasageri are două punți cu același număr de locuri pentru pasageri. În fiecare dintre rândurile de punte m scaune, rânduri pe punte n mai mult decât locuri la rând
9. Petya are m ani, Masha are n ani, iar Katya este cu k ani mai mică decât Petya și Masha împreună
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. Sens expresie dată
2. Expresia literală pentru perimetru este
3. Perimetrul exprimat în centimetri
4. Formula pentru distanța parcursă de mașină
5. Formula v viteză, mișcări turistice
6. Formula temporală t, mișcările turistice
7. Distanța parcursă cu mașina în kilometri
8. Viteza turiștilor în kilometri pe oră
9. Timp de călătorie în ore
10. Primul număr este...
11. Scăderea este egală...
12. Expresie pentru cel mai pasagerii pentru care linia poate transporta k zboruri
13. Cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta un avion de linie k zboruri
14. Expresie scrisă pentru vârsta lui Katya
15. Vârsta Katiei
16. Coordonata punctului B, dacă coordonata punctului C este t
17. Coordonata punctului D, dacă coordonata punctului C este t
18. Coordonata punctului A, dacă coordonata punctului C este t
19. Lungimea segmentului BD pe linia numerică
20. Lungimea segmentului CA pe linia numerică
21. Lungimea segmentului DA pe linia numerică

Deci, dacă o expresie numerică este compusă din numere și semne +, −, · și:, atunci în ordine de la stânga la dreapta, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, ceea ce vă va permite să găsiți cel dorit. valoarea expresiei.

Să aruncăm o privire la câteva exemple pentru clarificare.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 14−2·15:6−3 .

Decizie.

Pentru a găsi valoarea unei expresii, trebuie să efectuați toate acțiunile specificate în ea în conformitate cu ordinea acceptată de efectuare a acestor acțiuni. Mai întâi, în ordine de la stânga la dreapta, efectuăm înmulțirea și împărțirea, obținem 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Acum, în ordine de la stânga la dreapta, executăm acțiunile rămase: 14−5−3=9−3=6 . Deci am găsit valoarea expresiei originale, aceasta este egală cu 6 .

Răspuns:

14−2 15:6−3=6 .

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei.

Decizie.

LA acest exemplu mai întâi trebuie să facem înmulțirea 2 (−7) și împărțirea cu înmulțire în expresie. Amintindu-ne cum , găsim 2 (−7)=−14 . Și pentru a efectua acțiuni în expresie, mai întâi , apoi , și executați: .

Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: .

Dar ce se întâmplă când există o expresie numerică sub semnul rădăcinii? Pentru a obține valoarea unei astfel de rădăcini, trebuie mai întâi să găsiți valoarea expresiei rădăcină, urmând ordinea acceptată a operațiilor. De exemplu, .

În expresiile numerice, rădăcinile ar trebui să fie percepute ca niște numere și este recomandabil să înlocuiți imediat rădăcinile cu valorile lor, iar apoi să găsiți valoarea expresiei rezultate fără rădăcini, efectuând acțiuni în succesiunea acceptată.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei cu rădăcini.

Decizie.

Mai întâi, găsiți valoarea rădăcinii . Pentru a face acest lucru, mai întâi, calculăm valoarea expresiei radicale, avem −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Și în al doilea rând, găsim valoarea rădăcinii.

Acum să calculăm valoarea celei de-a doua rădăcini din expresia originală: .

În final, putem găsi valoarea expresiei originale prin înlocuirea rădăcinilor cu valorile lor: .

Răspuns:

Destul de des, pentru a face posibilă găsirea valorii unei expresii cu rădăcini, trebuie mai întâi să o convertești. Să arătăm un exemplu de soluție.

Exemplu.

Care este sensul expresiei .

Decizie.

Nu putem înlocui rădăcina lui trei cu valoarea ei exactă, ceea ce nu ne permite să calculăm valoarea acestei expresii în modul descris mai sus. Cu toate acestea, putem calcula valoarea acestei expresii efectuând transformări simple. Aplicabil formula diferenței de pătrate: . Având în vedere, obținem . Deci valoarea expresiei originale este 1.

Răspuns:

.

Cu grade

Dacă baza și exponentul sunt numere, atunci valoarea lor este calculată prin definiția gradului, de exemplu, 3 2 =3 3=9 sau 8 −1 =1/8 . Există și intrări când baza și/sau exponentul sunt niște expresii. În aceste cazuri, trebuie să găsiți valoarea expresiei în bază, valoarea expresiei în exponent și apoi să calculați valoarea gradului în sine.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii cu puteri ale formei 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Decizie.

Expresia originală are două puteri 2 3 4−10 și (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Valorile acestora trebuie calculate înainte de a efectua restul pașilor.

Să începem cu puterea 2 3·4−10 . Indicatorul său conține o expresie numerică, să-i calculăm valoarea: 3·4−10=12−10=2 . Acum puteți găsi valoarea gradului în sine: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Există expresii în baza și exponent (1−1/2) 3.5−2 1/4, le calculăm valorile pentru a găsi ulterior valoarea gradului. Noi avem (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Acum revenim la expresia originală, înlocuim gradele din ea cu valorile lor și găsim valoarea expresiei de care avem nevoie: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Răspuns:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 =6.

Este demn de remarcat faptul că există cazuri mai frecvente când este recomandabil să se efectueze un preliminar simplificarea expresiei cu puteri pe baza .

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Decizie.

Judecând după exponenții din această expresie, valorile exacte ale gradelor nu pot fi obținute. Să încercăm să simplificăm expresia originală, poate că va ajuta să-i găsim valoarea. Noi avem

Răspuns:

.

Puterile în expresii merg adesea mână în mână cu logaritmi, dar vom vorbi despre găsirea valorilor expresiilor cu logaritmi într-una dintre.

Găsirea valorii unei expresii cu fracții

Expresiile numerice din înregistrarea lor pot conține fracții. Când doriți să găsiți valoarea unei astfel de expresii, alte fracții decât fracțiile obișnuite trebuie înlocuite cu valorile lor înainte de a efectua alți pași.

Numătorul și numitorul fracțiilor (care sunt diferite de fracțiile obișnuite) pot conține atât unele numere, cât și expresii. Pentru a calcula valoarea unei astfel de fracții, trebuie să calculați valoarea expresiei din numărător, să calculați valoarea expresiei din numitor și apoi să calculați valoarea fracției în sine. Această ordine se explică prin faptul că fracția a/b, unde a și b sunt niște expresii, este de fapt un coeficient de forma (a):(b) , deoarece .

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Aflați valoarea unei expresii cu fracții .

Decizie.

În expresia numerică originală, trei fracții și . Pentru a găsi valoarea expresiei originale, avem nevoie mai întâi de aceste fracții și le înlocuim cu valorile lor. S-o facem.

Numătorul și numitorul unei fracții sunt numere. Pentru a găsi valoarea unei astfel de fracții, înlocuim bara fracțională cu un semn de divizare și efectuăm această acțiune: .

Numătorul fracției conține expresia 7−2 3 , valoarea acesteia este ușor de găsit: 7−2 3=7−6=1 . Prin urmare, . Puteți continua la găsirea valorii celei de-a treia fracții.

A treia fracție din numărător și numitor conține expresii numerice, prin urmare, mai întâi trebuie să calculați valorile lor, iar acest lucru vă va permite să găsiți valoarea fracției în sine. Noi avem .

Rămâne să înlocuiți valorile găsite în expresia originală și să efectuați pașii rămași: .

Răspuns:

.

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor cu fracții, trebuie să efectuați simplificarea expresiilor fracţionale, pe baza efectuării acțiunilor cu fracții și pe reducerea fracțiilor.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Decizie.

Rădăcina lui cinci nu este complet extrasă, așa că pentru a găsi valoarea expresiei originale, să o simplificăm mai întâi. Pentru asta scapă de iraționalitatea din numitor prima fracție: . După aceea, expresia originală va lua forma . După scăderea fracțiilor, rădăcinile vor dispărea, ceea ce ne va permite să găsim valoarea expresiei date inițial:.

Răspuns:

.

Cu logaritmi

Dacă expresia numerică conține , și dacă este posibil să scapi de ele, atunci acest lucru se face înainte de a efectua alte acțiuni. De exemplu, la găsirea valorii expresiei log 2 4+2 3 , logaritmul log 2 4 este înlocuit cu valoarea sa 2 , după care restul operațiilor se efectuează în ordinea obișnuită, adică log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Când există expresii numerice sub semnul logaritmului și/sau la baza acestuia, atunci se găsesc mai întâi valorile lor, după care se calculează valoarea logaritmului. De exemplu, luați în considerare o expresie cu un logaritm al formei . La baza logaritmului și sub semnul acestuia se află expresii numerice, găsim valorile acestora: . Acum găsim logaritmul, după care completăm calculele: .

Dacă logaritmii nu sunt calculați exact, atunci simplificarea sa preliminară folosind . În acest caz, trebuie să aveți o bună stăpânire a materialului articolului. transformarea expresiilor logaritmice.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii cu logaritmi .

Decizie.

Să începem prin a calcula log 2 (log 2 256) . Deoarece 256=2 8 , atunci log 2 256=8 , prin urmare log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmii log 6 2 și log 6 3 pot fi grupați. Suma logaritmilor log 6 2+log 6 3 este egală cu logaritmul produsului log 6 (2 3) , deci log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Acum să ne ocupăm de fracții. Pentru început, vom rescrie baza logaritmului în numitor ca o fracție obișnuită ca 1/5, după care vom folosi proprietățile logaritmilor, care ne vor permite să obținem valoarea fracției:
.

Rămâne doar să înlocuim rezultatele obținute în expresia originală și să terminăm de găsit valoarea acesteia:

Răspuns:

Cum se află valoarea unei expresii trigonometrice?

Când o expresie numerică conține sau etc., atunci valorile lor sunt calculate înainte de a efectua alte acțiuni. Dacă există expresii numerice sub semnul funcțiilor trigonometrice, atunci se calculează mai întâi valorile acestora, după care se găsesc valorile funcțiilor trigonometrice.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Decizie.

Trecând la articol, obținem și cosπ=−1 . Substituim aceste valori în expresia originală, aceasta ia forma . Pentru a-i găsi valoarea, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea, apoi să finalizați calculele: .

Răspuns:

.

Trebuie remarcat faptul că calculul valorilor expresiilor cu sinusuri, cosinus etc. adesea necesită prealabil transformări de expresie trigonometrică.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei trigonometrice .

Decizie.

Să transformăm expresia originală folosind , în acest caz avem nevoie de formula pentru cosinusul unui unghi dublu și formula pentru cosinusul sumei:

Transformările efectuate ne-au ajutat să găsim valoarea expresiei.

Răspuns:

.

Caz general

LA caz general o expresie numerică poate conține rădăcini, grade, fracții și orice funcție și paranteze. Găsirea valorilor unor astfel de expresii constă în efectuarea următoarelor acțiuni:

• primele rădăcini, grade, fracții etc. sunt înlocuite cu valorile lor,
• acțiuni suplimentare între paranteze,
• iar in ordine de la stanga la dreapta se efectueaza operatiile ramase - inmultirea si impartirea, urmate de adunare si scadere.

Acțiunile de mai sus sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Decizie.

Forma acestei expresii este destul de complicată. În această expresie, vedem o fracție, rădăcini, grade, sinus și logaritm. Cum să-i găsim sensul?

Deplasându-ne de-a lungul înregistrării de la stânga la dreapta, întâlnim o fracțiune din formular . Știm că atunci când lucrăm cu fracții de tip complex, trebuie să calculăm separat valoarea numărătorului, separat numitorul și, în sfârșit, să găsim valoarea fracției.

La numărător avem o rădăcină a formei . Pentru a-i determina valoarea, trebuie mai întâi să calculați valoarea expresiei radicalului . Există un sinus aici. Putem găsi valoarea acesteia numai după calcularea valorii expresiei . Iată ce putem face: . Apoi de unde şi .

Cu numitorul, totul este simplu: .

Prin urmare, .

După înlocuirea acestui rezultat în expresia originală, acesta va lua forma . Expresia rezultată conține gradul. Pentru a-i găsi valoarea, mai întâi trebuie să găsiți valoarea indicatorului, avem .

Asa de, .

Răspuns:

.

Dacă nu este posibil să se calculeze valorile exacte ale rădăcinilor, gradelor etc., atunci puteți încerca să scăpați de ele folosind orice transformări și apoi să reveniți la calcularea valorii conform schemei specificate.

Modalități raționale de a calcula valorile expresiilor

Calcularea valorilor expresiilor numerice necesită consistență și acuratețe. Da, trebuie să urmați succesiunea acțiunilor înregistrate în paragrafele anterioare, dar nu trebuie să o faci orbește și mecanic. Prin aceasta înțelegem că deseori este posibil să se raționalizeze procesul de găsire a valorii unei expresii. De exemplu, unele proprietăți ale acțiunilor cu numere vă permit să accelerați și să simplificați semnificativ găsirea valorii unei expresii.

De exemplu, cunoaștem această proprietate a înmulțirii: dacă unul dintre factorii din produs zero, atunci valoarea produsului este zero. Folosind această proprietate, putem spune imediat că valoarea expresiei 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) este zero. Dacă am urma ordinea standard a operațiilor, atunci ar trebui mai întâi să calculăm valorile expresiilor greoaie între paranteze, iar acest lucru ar dura mult timp, iar rezultatul ar fi în continuare zero.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale: dacă scădeți un număr egal dintr-un număr, atunci rezultatul va fi zero. Această proprietate poate fi considerată mai larg: diferența dintre două expresii numerice identice este egală cu zero. De exemplu, fără a calcula valoarea expresiilor dintre paranteze, puteți găsi valoarea expresiei (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), este egal cu zero, deoarece expresia originală este diferența dintre expresii identice.

Transformările identice pot contribui la calculul rațional al valorilor expresiilor. De exemplu, o grupare de termeni și factori poate fi utilă, dar nu mai puțin frecvent este eliminarea factorului comun din paranteze. Deci valoarea expresiei 53 5+53 7−53 11+5 este foarte ușor de găsit după scoaterea factorului 53 din paranteze: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Calculul direct ar dura mult mai mult timp.

În încheierea acestui paragraf, să acordăm atenție abordării raționale a calculării valorilor expresiilor cu fracții - se reduc aceiași factori în numărătorul și numitorul fracției. De exemplu, reducerea acelorași expresii în numărătorul și numitorul unei fracții vă permite să găsiți imediat valoarea acestuia, care este 1/2 .

Găsirea valorii unei expresii literale și a unei expresii cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile. adica vorbim despre găsirea valorii unei expresii literale pentru valorile de litere date sau despre găsirea valorii unei expresii cu variabile pentru valorile variabilelor selectate.

regulă găsirea valorii unei expresii literale sau a unei expresii cu variabile pentru valorile date ale literelor sau valorile selectate ale variabilelor este după cum urmează: în expresia originală, trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor sau variabilelor și calculați valoarea expresiei numerice rezultate, este valoarea dorită.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 0,5 x−y pentru x=2,4 și y=5 .

Decizie.

Pentru a găsi valoarea necesară a expresiei, mai întâi trebuie să înlocuiți aceste valori variabile în expresia originală și apoi să efectuați următoarele acțiuni: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Răspuns:

−3,8 .

În concluzie, observăm că uneori transformarea expresiilor literale și a expresiilor cu variabile vă permite să obțineți valorile acestora, indiferent de valorile literelor și variabilelor. De exemplu, expresia x+3−x poate fi simplificată pentru a deveni 3 . Din aceasta putem concluziona că valoarea expresiei x + 3 - x este egală cu 3 pentru orice valoare a variabilei x din intervalul său de valori acceptabile (ODZ) . Un alt exemplu: valoarea expresiei este 1 pentru toate valorile pozitive ale lui x, deci aria valori admise variabila x din expresia originală este mulțimea numere pozitive, iar egalitatea este valabilă pe acest domeniu.

Bibliografie.

• Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Stabiliți cursul acțiunii. Efectuați prima acțiune în parantezele interioare 489–296=193. Apoi, înmulțiți 193∙8=1544 și 34∙10=340. Următoarea acțiune: 340+1544=1884. Apoi, împărțiți 1884:4=461 și apoi scădeți 461–410=60. Ați găsit valoarea acestei expresii.

Exemplu. Aflați valoarea expresiei 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Simplificați această expresie. Pentru a face acest lucru, utilizați formula tg α∙ctg α=1. Obține: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Se știe că sin 30º=1/2 și cos 30º=√3/2. Prin urmare, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Ați găsit valoarea acestei expresii.

Valoarea unei expresii algebrice din . Pentru a găsi valoarea unei expresii algebrice date variabile, simplificați expresia. Înlocuiți valorile specifice pentru variabile. Faceți pașii necesari. Ca rezultat, veți obține un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice pentru variabilele date.

Exemplu. Aflați valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10. Simplificați această expresie, obțineți: a–2y. Introduceți valorile corespunzătoare ale variabilelor și calculați: a–2y=21–2∙10=1. Aceasta este valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10.

Notă

Există expresii algebrice care nu au sens pentru anumite valori ale variabilelor. De exemplu, expresia x/(7–a) nu are sens dacă a=7, deoarece numitorul fracției dispare.

Surse:

• găsiți cea mai mică valoare a expresiei
• Găsiți valorile expresiilor la s 14

Învățarea simplificării expresiilor la matematică este pur și simplu necesară pentru a rezolva corect și rapid probleme, diverse ecuații. Simplificarea unei expresii înseamnă reducerea numărului de pași, ceea ce face calculele mai ușoare și economisește timp.

Instruire

Învață să calculezi puteri cu . Când înmulțiți puterile lui c, obțineți numere a căror bază este aceeași, iar exponenții se adună b^m+b^n=b^(m+n). La împărțirea puterilor cu aceleași baze, se obține puterea numărului, a cărui bază rămâne aceeași, iar exponenții se scad, iar indicele divizorului b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) este scăzut din indicele dividendelor. Când o putere este ridicată la o putere, se obține puterea numărului, a cărui bază rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți (b^m)^n=b^(mn)Când se ridică la o putere, fiecare factorul este ridicat la această putere.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Factorizați polinoamele, de ex. să le reprezinte ca un produs al mai multor factori – și monomii. Scoateți factorul comun din paranteze. Învață formulele de bază pentru înmulțirea prescurtată: diferența de pătrate, pătratul diferenței, suma, diferența de cuburi, cubul sumei și diferența. De exemplu, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Aceste formule sunt cele mai importante în simplificare. Utilizați metoda de evidențiere a pătratului complet într-un trinom de forma ax^2+bx+c.

Reduceți fracțiile cât mai des posibil. De exemplu, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Dar amintiți-vă că numai multiplicatorii pot fi redusi. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt înmulțite cu același număr diferit de zero, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Există două moduri de a transforma expresiile: prin lanț și prin acțiuni. A doua metodă este de preferat, deoarece. este mai ușor să verificăm rezultatele acțiunilor intermediare.

Adesea în expresii este necesară extragerea rădăcinilor. Chiar și rădăcinile sunt luate numai din expresii sau numere nenegative. Rădăcinile de grad impar sunt extrase din orice expresie.

Surse:

• simplificarea expresiilor cu puteri

Funcțiile trigonometrice au apărut mai întâi ca instrumente de abstract calcule matematice dependențele mărimilor unghiurilor ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic de lungimile laturilor sale. Acum sunt foarte utilizate pe scară largă atât în ​​domeniul științific, cât și în cel tehnic al activității umane. Pentru calcule practice ale funcțiilor trigonometrice din argumente date, puteți utiliza diferite instrumente- mai jos sunt unele dintre cele mai accesibile dintre ele.

Instruire

Utilizați, de exemplu, cel implicit cu sistem de operare program de calculator. Se deschide selectând elementul „Calculator” din folderul „Utilități” din subsecțiunea „Standard”, plasat în secțiunea „Toate programele”. Această secțiune poate fi deschisă făcând clic pe butonul „Start” din meniul principal al blocului de operație. Dacă utilizați Versiunea Windows 7, puteți introduce pur și simplu „Calculator” în câmpul „Căutare programe și fișiere” din meniul principal, apoi faceți clic pe linkul corespunzător din rezultatele căutării.

Numărați numărul actiune necesarași gândiți-vă la ordinea în care ar trebui făcute. Daca te deranjeaza această întrebare, rețineți că acțiunile cuprinse între paranteze se execută mai întâi, apoi împărțirea și înmulțirea; iar scăderea se face ultima. Pentru a ușura reținerea algoritmului acțiunilor efectuate, în expresia de deasupra fiecărui semn de operator de acțiune (+, -, *, :), cu un creion subțire, notați numerele corespunzătoare executării acțiunilor.

Treceți la primul pas, aderând la ordinea stabilită. Numărați mental dacă acțiunile sunt ușor de realizat verbal. Dacă sunt necesare calcule (într-o coloană), scrieți-le sub expresie, indicând număr de serie actiuni.

Urmăriți în mod clar secvența acțiunilor efectuate, evaluați ce trebuie scăzut din ce, ce să împărțiți în ce etc. Foarte des, răspunsul din expresie se dovedește a fi incorect din cauza erorilor făcute în această etapă.

Trăsătură distinctivă expresia este prezența operațiilor matematice. Este indicat prin anumite semne (înmulțire, împărțire, scădere sau adunare). Secvența de efectuare a operațiilor matematice, dacă este necesar, se corectează cu paranteze. A efectua operații matematice înseamnă a găsi.

Ceea ce nu este o expresie

Nu orice notație matematică poate fi clasificată ca expresie.

Egalii nu sunt expresii. Indiferent dacă operațiile matematice sunt prezente în ecuație sau nu, nu contează. De exemplu, a=5 este o egalitate, nu o expresie, dar 8+6*2=20, de asemenea, nu poate fi considerat o expresie, deși înmulțirea este prezentă în ea. Acest exemplu aparține și categoriei de egalități.

Conceptele de expresie și egalitate nu se exclud reciproc, prima face parte din cea de-a doua. Semnul egal leagă două expresii:
5+7=24:2

Această ecuație poate fi simplificată:
5+7=12

O expresie presupune întotdeauna că operațiile matematice pe care le reprezintă pot fi efectuate. 9+:-7 nu este o expresie, deși există semne de operații matematice, deoarece este imposibil să se efectueze aceste operații.

Există și cele matematice care sunt expresii formal, dar nu au sens. Un exemplu de astfel de expresie:
46:(5-2-3)

Numărul 46 trebuie împărțit la rezultatul acțiunilor dintre paranteze și este egal cu zero. Nu poți împărți la zero, acțiunea este considerată interzisă.

Expresii numerice și algebrice

Există două tipuri de expresii matematice.

Dacă o expresie conține doar numere și semne ale operațiilor matematice, o astfel de expresie se numește expresie numerică. Dacă, alături de numere, există variabile notate cu litere în expresie, sau nu există deloc numere, expresia este formată doar din variabile și semne ale operațiilor matematice, se numește algebrică.

Diferența fundamentală dintre o valoare numerică și una algebrică este că o expresie numerică are o singură valoare. De exemplu, valoarea expresiei numerice 56–2*3 va fi întotdeauna 50, nimic nu poate fi schimbat. O expresie algebrică poate avea mai multe valori, deoarece orice număr poate fi înlocuit. Deci, dacă în expresia b–7 în loc de b înlocuiește 9, valoarea expresiei va fi 2, iar dacă 200, va fi 193.

Surse:

• Expresii numerice și algebrice

De regulă, copiii încep să studieze algebra deja în clasele elementare. După ce stăpânesc principiile de bază ale lucrului cu numere, rezolvă probleme cu una sau mai multe variabile necunoscute. Găsirea semnificației unei expresii de acest fel poate fi destul de dificilă, dar dacă o simplificați folosind cunoștințele din școala elementară, totul se va rezolva ușor și rapid.

Care este valoarea expresiei

O expresie numerică este o notație algebrică constând din numere, paranteze și semne în cazul în care are sens.

Cu alte cuvinte, dacă este posibil să găsim sensul unei expresii, atunci înregistrarea nu este lipsită de sens și invers.

Exemple de următoarele intrări sunt constructe numerice valide:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Un singur număr va fi, de asemenea, o expresie numerică, cum ar fi numărul 18 din exemplul de mai sus.
Exemple de constructe numerice incorecte care nu au sens:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Gresit exemple numerice sunt doar un set de simboluri matematice și nu au sens.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

Deoarece există semne aritmetice în astfel de exemple, putem concluziona că acestea vă permit să faceți calcule aritmetice. Pentru a calcula semnele sau, cu alte cuvinte, pentru a afla valoarea expresiei, este necesar să se efectueze manipulările aritmetice adecvate.

Ca exemplu, luați în considerare următoarea construcție: (120-30)/3=30. Numărul 30 va fi valoarea expresiei numerice (120-30)/3.

Instruire:

Conceptul de egalitate numerică

Egalitatea numerică este situația în care cele două părți ale exemplului sunt separate prin semnul „=". Adică, o parte este complet egală (identică) cu cealaltă, chiar dacă este afișată sub forma altor combinații de simboluri și numere.
De exemplu, orice construcție de tipul 2+2=4 poate fi numită egalitate numerică, deoarece chiar dacă părțile sunt schimbate, semnificația nu se va schimba: 4=2+2. Același lucru este valabil și pentru structurile mai complexe, inclusiv paranteze, diviziune, înmulțire, fracții și așa mai departe.

Cum să găsiți corect valoarea unei expresii

Pentru a găsi corect valoarea unei expresii, este necesar să se efectueze calcule în funcție de o anumită ordine de acțiuni. Această ordine este predată în lecțiile de matematică, iar mai târziu în orele de algebră în școală primară. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de pași ai operațiilor aritmetice.

Etapele operațiilor aritmetice:

1. Primul pas este adunarea și scăderea numerelor.
2. A doua etapă este împărțirea și înmulțirea.
3. A treia etapă - numerele sunt pătrate sau cuburi.

observând urmând reguli, puteți determina întotdeauna corect valoarea expresiei:

1. Urmați pașii de la al treilea pas la primul dacă nu există paranteze în exemplu. Adică mai întâi pătrat sau cub, apoi împărțiți sau înmulțiți și abia apoi adăugați și scădeți.
2. Pentru constructele între paranteze, faceți mai întâi pașii din paranteze, apoi continuați în ordinea de mai sus. Dacă există mai multe paranteze, utilizați și procedura de la primul paragraf.
3. În exemplele de fracții, aflați mai întâi rezultatul la numărător, apoi la numitor, apoi împărțiți primul la al doilea.

Găsirea sensului unei expresii nu este dificilă dacă înveți cunoștințe de bază cursuri inițiale algebră și matematică. Ghidându-te de informațiile de mai sus, poți rezolva orice problemă, chiar și de complexitate crescută.

Aflați parola de la VK, cunoscând autentificarea

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi vom lua în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La sfârșit, dăm o expresie care conține denumiri de litere, paranteze, rădăcini, speciale semne matematice, grade, funcții etc. Întreaga teorie, conform tradiției, va fi furnizată cu exemple abundente și detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum se află valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea stării problemei în limbajul matematic. În general expresii matematice poate fi fie foarte simplu, format dintr-o pereche de numere si semne aritmetice, fie foarte complex, continand functii, grade, radacini, paranteze etc. Ca parte a sarcinii, este adesea necesar să găsiți valoarea unei expresii. Cum se face și va fi discutat de mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și aritmetică. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea în care operațiile aritmetice sunt efectuate fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu numere diferite.

Daca expresia contine doar numere si semne aritmetice " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atunci operatiile se efectueaza de la stanga la dreapta in urmatoarea ordine: mai intai inmultirea si impartirea, apoi adunarea si scaderea. Să dăm exemple.

Exemplul 1. Valoarea unei expresii numerice

Să fie necesar să găsim valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Acum scadem si obtinem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Mai întâi, efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Acum să facem adunarea și scăderea. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Se găsește valoarea dorită.

Expresii cu paranteze

Dacă o expresie conține paranteze, atunci ele determină ordinea acțiunilor din această expresie. În primul rând, sunt efectuate acțiunile dintre paranteze și apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi efectuăm operația de scădere între paranteze și abia apoi înmulțirea.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Valoarea expresiilor care conțin paranteze între paranteze se găsește după același principiu.

Exemplul 4. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Vom efectua acțiuni începând de la cele mai interioare paranteze, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

În găsirea valorilor expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Cum să fii în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul rezultat. Dacă este posibil, rădăcinile din expresiile numerice ar trebui eliminate mai bine, înlocuind cu valori numerice.

Exemplul 5. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum putem calcula valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu rădăcini, este adesea necesar să se transforme mai întâi expresia originală. Să explicăm acest lucru cu un alt exemplu.

Exemplul 6. Valoarea unei expresii numerice

Ce este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem capacitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de numărare. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Prin urmare:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu puteri

Dacă expresia conține puteri, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul însuși sau baza gradului să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Rămâne doar să efectuați operația de adunare și să aflați valoarea expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați expresia folosind proprietățile gradului.

Exemplul 8. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Simplificați expresia originală pentru a-i găsi valoarea.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii cu fracții

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie să fie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă există expresii în numărătorul și numitorul fracției, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se înregistrează valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplul 9. Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei care conține fracții: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Să rescriem expresia noastră și să îi calculăm valoarea:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-și găsi valoarea, orice expresie este cel mai bine simplificată la maximum, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți într-o expresie, valoarea lor, dacă este posibil, este calculată de la bun început. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 4, puteți scrie imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Se obține: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritmului și la baza acestuia. În acest caz, primul pas este să le găsiți valorile. Să luăm expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Noi avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acestuia.

Exemplul 11. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Conform proprietății logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Aplicând din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Acum puteți trece la calculul valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca în expresie să existe funcții trigonometrice de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, precum și funcții care sunt inverse acestora. Din valoarea sunt calculate înainte de a fi efectuate toate celelalte operații aritmetice. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Înlocuiți valorile în expresie și calculați valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Se găsește valoarea expresiei.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi convertită. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13. Valoarea unei expresii numerice

Este necesar să găsim valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru transformare, vom folosi formulele trigonometrice pentru cosinusul unghiului dublu și cosinusul sumei.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cazul general al expresiei numerice

În cazul general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, grade, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm regula generala găsirea valorilor unor astfel de expresii.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

1. Rădăcini, puteri, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
2. Acțiunile din paranteze sunt efectuate.
3. Pașii rămași sunt executați în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi - înmulțirea și împărțirea, apoi - adunarea și scăderea.

Să luăm un exemplu.

Exemplul 14. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm care este valoarea expresiei - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales doar un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum să aflu valoarea unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, mai întâi se găsesc separat valorile numărătorului și, respectiv, numitorului fracției. Vom transforma și simplifica succesiv această expresie.

În primul rând, calculăm valoarea expresiei radicalului 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul unei fracții, totul este mai ușor:

Acum putem nota valoarea întregii fracții:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Având în vedere acest lucru, scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz, am putut calcula valori exacte pentru rădăcini, logaritmi, sinusuri și așa mai departe. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea expresiilor în moduri raționale

Valorile numerice trebuie calculate în mod consecvent și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat folosind proprietăți diverse acțiuni cu numere. De exemplu, se știe că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Având în vedere această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 este egală cu zero. În acest caz, nu este deloc necesar să efectuați pașii în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua nicio acțiune, se poate ordona ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 să fie și ea egală cu zero.

O altă tehnică care vă permite să accelerați procesul este utilizarea unor transformări identice, cum ar fi gruparea termenilor și factorilor și luarea multiplicator comun pentru paranteze. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este reducerea acelorași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, să luăm expresia 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Fără a efectua acțiuni între paranteze, ci prin reducerea fracției, putem spune că valoarea expresiei este 1 3 .

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți expresia originală puncte de referință litere și variabile, apoi calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15. Valoarea unei expresii cu variabile

Calculați valoarea expresiei 0 , 5 x - y dat x = 2 , 4 și y = 5 .

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Uneori este posibil să se transforme o expresie în așa fel încât să se obțină valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, este necesar să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are în mod evident valoarea 3 și nu este necesar să se cunoască valoarea lui x pentru a calcula această valoare. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori valide.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter