Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.
Adunarea și scăderea matricelor.
Suma $ A + B $ a matricelor $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $ se numește matrice $ C_ (m \ ori n) = (c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline ( 1, n) $.
O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:
Diferența $ AB $ de matrice $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $ este matricea $ C_ (m \ ori n) ) = ( c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline (1, n ) $.
Explicația intrării $ i = \ overline (1, m) $: show \ hide
Notația „$ i = \ overline (1, m) $” înseamnă că parametrul $ i $ variază de la 1 la m. De exemplu, înregistrarea $ i = \ overline (1,5) $ spune că parametrul $ i $ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.
Trebuie remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitiv clare, deoarece ele înseamnă, de fapt, doar adunarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.
Exemplul #1
Sunt date trei matrice:
$$ A = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) \; \; B = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right); \; \; F = \ stânga (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ end (array) \ right). $$
Puteți găsi matricea $ A + F $? Găsiți matrice $ C $ și $ D $ dacă $ C = A + B $ și $ D = A-B $.
Matricea $ A $ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $ A $ este de $ 2 \ ori 3 $), iar matricea $ F $ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $ A $ și $ F $ nu coincid, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $ A + F $ pentru matrice date este nedefinită.
Dimensiunile matricelor $ A $ și $ B $ sunt aceleași, adică. datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.
$$ C = A + B = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) + \ stânga (\ începe (matrice) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (matrice) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Găsiți matricea $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) - \ stânga (\ începe (matrice) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (matrice) \ dreapta) = \\ = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Răspuns: $ C = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matrice) \ dreapta) $, $ D = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul matricei $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ cu numărul $ \ alpha $ este matricea $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $, unde $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline (1, n) $.
Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.
Exemplul nr. 2
Matricea este dată: $ A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Găsiți matricele $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ și $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin ( matrice) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (matrice) \ dreapta). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (matrice) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (matrice) \ dreapta). $$
Notația $ -A $ este o prescurtare pentru $ -1 \ cdot A $. Adică, pentru a găsi $ -A $, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $ A $ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $ A $ se va schimba în opus:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Răspuns: $ 3 \ cdot A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right); \; -5 \ cdot A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right); \; -A = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Produsul a două matrice.
Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.
Matricea $ C_ (m \ ori k) = (c_ ( ij)) $, pentru care fiecare element al lui $ c_ (ij) $ este egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare ale rândului i al matricea $ A $ prin elementele coloanei j-a a matricei $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; \; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$
Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să acordați imediat atenție faptului că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $ A $ cu matricea $ B $, atunci mai întâi trebuie să ne asigurăm că numărul de coloane al matricei $ A $ este egal cu numărul de rânduri al matricei $ B $ (astfel de matrici sunt adesea numite de acord). De exemplu, matricea $ A_ (5 \ ori 4) $ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $ F_ (9 \ ori 8) $ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $ A $ nu este egal cu numărul de rânduri din matricea $ F $, adică. $ 4 \ neq 9 $. Dar puteți înmulți matricea $ A_ (5 \ ori 4) $ cu matricea $ B_ (4 \ ori 9) $, deoarece numărul de coloane din matricea $ A $ este egal cu numărul de rânduri din matricea $ B $. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $ A_ (5 \ ori 4) $ și $ B_ (4 \ ori 9) $ va fi matricea $ C_ (5 \ ori 9) $, care conține 5 rânduri și 9 coloane:
Exemplul nr. 3
Matricele sunt date: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (matrice) \ dreapta) $ și $ B = \ stânga (\ început (matrice) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \ end (matrice) \ dreapta) $. Găsiți matricea $ C = A \ cdot B $.
Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $ C $. Deoarece $ A $ este $ 3 \ ori 4 $ și $ B $ este $ 4 \ ori 2 $, mărimea lui $ C $ este de $ 3 \ ori 2 $:
Deci, ca rezultat al produsului dintre matricele $ A $ și $ B $, ar trebui să obținem matricea $ C $, formată din trei rânduri și două coloane: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (array) \ right) $. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $ C $.
Să începem cu $ c_ (11) $. Pentru a obține elementul $ c_ (11) $, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
Pentru a găsi elementul $ c_ (11) $ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei $ B $, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Să continuăm soluția și să găsim $ c_ (12) $. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele din primul rând al matricei $ A $ și din a doua coloană a matricei $ B $:
Similar cu cel precedent, avem:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Toate elementele primului rând de $ C $ sunt găsite. Treceți la a doua linie, care începe cu $ c_ (21) $. Pentru a-l găsi, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al doilea rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
Următorul element $ c_ (22) $ se găsește prin înmulțirea elementelor din al doilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare ale coloanei a doua a matricei $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Pentru a găsi $ c_ (31) $, înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele primei coloane a matricei $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
Și, în sfârșit, pentru a găsi elementul $ c_ (32) $, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Toate elementele matricei $ C $ sunt găsite, rămâne doar să scriem că $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) ) \ dreapta) $ ... Sau, pentru a scrie integral:
$$ C = A \ cdot B = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (matrice) \ dreapta) \ cdot \ stânga (\ begin (matrice) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right). $$
Răspuns: $ C = \ stânga (\ begin (matrice) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu constatarea fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face următoarele:
De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în general $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Numai pentru unele tipuri de matrice care sunt numite permutare(sau naveta), egalitatea $ A \ cdot B = B \ cdot A $ este adevărată. Tocmai pe baza necomutativității înmulțirii, se cere să indicăm exact cum înmulțim expresia cu cutare sau cu alta matrice: la dreapta sau la stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $ 3E-F = Y $ cu matricea $ A $ din dreapta” înseamnă că trebuie să obținem următoarea egalitate: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transpusă față de matricea $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ se numește matrice $ A_ (n \ ori m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , pentru elementele care $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
Mai simplu spus, pentru a obține matricea transpusă $ A ^ T $, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $ A $ cu rândurile corespunzătoare conform următorului principiu: dacă primul rând a fost, prima coloană va deveni ; a existat o a doua linie - a doua coloană va deveni; a fost o a treia linie - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $ A_ (3 \ ori 5) $:
În consecință, dacă matricea originală a fost $ 3 \ ori 5 $, atunci matricea transpusă este $ 5 \ ori 3 $.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Se presupune aici că $ \ alpha $, $ \ beta $ sunt niște numere și $ A $, $ B $, $ C $ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.
- $ A + B = B + A $ (comutativitate de adunare)
- $ A + (B + C) = (A + B) + C $ (asociativitate de adunare)
- $ (\ alpha + \ beta) \ cdot A = \ alpha A + \ beta A $ (distributivitatea înmulțirii matricei în raport cu adunarea numerelor)
- $ \ alpha \ cdot (A + B) = \ alpha A + \ alpha B $ (înmulțire cu un număr în raport cu adăugarea matricei)
- $ A (BC) = (AB) C $
- $ (\ alpha \ beta) A = \ alpha (\ beta A) $
- $ A \ cdot (B + C) = AB + AC $, $ (B + C) \ cdot A = BA + CA $.
- $ A \ cdot E = A $, $ E \ cdot A = A $, unde $ E $ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
- $ A \ cdot O = O $, $ O \ cdot A = O $, unde $ O $ este o matrice zero de mărimea corespunzătoare.
- $ \ stânga (A ^ T \ dreapta) ^ T = A $
- $ (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T $
- $ (AB) ^ T = B ^ T \ cdot A ^ T $
- $ \ stânga (\ alpha A \ dreapta) ^ T = \ alpha A ^ T $
În următoarea parte, vom lua în considerare operația de ridicare a unei matrici la o putere întreagă nenegativă, precum și exemple rezolvate în care este necesar să se efectueze mai multe operații pe matrice.
Adăugarea matricelor:
Scăderea și adunarea matricelor se reduce la operaţiile corespunzătoare asupra elementelor acestora. Operație de adăugare a matricei introdus numai pentru matrici aceeași dimensiune, adică pt matrici, în care numărul de rânduri și, respectiv, de coloane este egal. Suma matricelor A și B sunt numite matrice C, ale căror elemente sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare. С = А + В c ij = a ij + b ij diferenta de matrice.
Înmulțirea unei matrice cu un număr:
Operație de înmulțire (diviziune) matriceală de orice dimensiune cu un număr arbitrar se reduce la înmulțirea (împărțirea) fiecărui element matrici cu acel număr. Produsul matriceiȘi se numește numărul k matrice B, astfel încât
b ij = k × a ij. В = k × A b ij = k × a ij. Matrice- A = (-1) × A se numește opus matrice A.
Adunarea matricei și proprietățile înmulțirii matricei:
Operații de adunare a matriceiși înmulțirea matriceală asupra unui număr au următoarele proprietăți: 1. A + B = B + A; 2.A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5,1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , unde А, В și С sunt matrici, α și β sunt numere.
Înmulțire matrice (produs matrice):
Operația de înmulțire a două matrici se introduce numai pentru cazul în care numărul de coloane al primei matrici este egal cu numărul de linii ale celui de-al doilea matrici. Produsul matriceiȘi m × n pe matriceÎn n × p, se numește matrice Cu m × p astfel încât cu ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk, adică să se afle suma produselor elementelor rândului i - al-lea matriciȘi pe elementele corespunzătoare ale coloanei j-a matrici B. Dacă matrici A și B sunt pătrați de aceeași dimensiune, atunci produsele AB și BA există întotdeauna. Este ușor de arătat că A × E = E × A = A, unde A este pătrat matrice, E - unitate matrice aceeasi dimensiune.
Proprietăți de multiplicare a matricei:
Înmulțirea matricei nu comutativă, adică AB ≠ BA chiar dacă ambele lucrări sunt definite. Cu toate acestea, dacă pentru vreunul matrici raportul AB = BA este satisfăcut, atunci așa matrici se numesc permutare. Cel mai tipic exemplu este unul singur matrice care este permutabil cu oricare altul matrice aceeasi dimensiune. Permutarea poate fi doar pătrată matrici aceeasi ordine. A × E = E × A = A
Înmulțirea matricei posedă următoarele proprietăți: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Determinanți ai ordinului 2 și 3. Proprietăți determinante.
Determinantul matricei ordinul doi, sau determinant de ordinul doi, se numește un număr care se calculează prin formula:
Determinantul matricei ordinul al treilea, sau determinant de ordinul al treilea, se numește un număr, care se calculează prin formula:
Acest număr reprezintă suma algebrică a șase termeni. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană matrici... Fiecare termen constă dintr-un produs din trei factori.
Semne cu care membrii determinant al matricei sunt incluse în formulă aflarea determinantului matricei al treilea ordin poate fi determinat folosind schema de mai sus, care se numește regula triunghiurilor sau regula Sarrus. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și sunt determinați din cifra din stânga, iar următorii trei termeni sunt luați cu semnul minus și sunt determinați din cifra din dreapta.
Determinați numărul de termeni de găsit determinant al matricei, în suma algebrică, se poate calcula factorialul: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Proprietăți ale determinanților matrici
Proprietățile determinanților matricei:
Proprietatea #1:
Determinant al unei matrice nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, fiecare rând cu o coloană cu același număr și invers (Transpunere). | A | = | A | T
Corolar:
Coloane și rânduri determinant al matricei sunt egale, prin urmare, proprietățile inerente rândurilor sunt îndeplinite și pentru coloane.
Proprietatea #2:
Când schimbați 2 rânduri sau coloane determinant al unei matrice va inversa semnul păstrând în același timp valoarea absolută, adică:
Proprietatea # 3:
Determinant al unei matrice având două rânduri identice este egal cu zero.
Proprietatea #4:
Factorul comun al elementelor oricărui rând determinant al matricei poate fi scos din marcaj determinant.
Consecințele proprietăților # 3 și # 4:
Dacă toate elementele unui anumit rând (rând sau coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale unui rând paralel, atunci astfel de determinant al unei matrice este zero.
Proprietatea #5:
determinant al matricei egal cu zero, apoi însuși determinant al unei matrice este zero.
Proprietatea #6:
Dacă toate elementele oricărui rând sau coloană determinant sunt prezentate ca o sumă de 2 termeni, atunci determinant matrici poate fi reprezentat ca sumă de 2 determinanți dupa formula:
Proprietatea #7:
Dacă la orice rând (sau coloană) determinant adăugați elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană), înmulțite cu același număr, apoi determinant al unei matrice nu își va schimba dimensiunea.
Un exemplu de aplicare a proprietăților pentru calcul determinant al matricei:
Anul I, superioare matematică, studiem matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm operațiile de bază care pot fi efectuate cu matrice. De unde să începem cunoașterea matricelor? Desigur, de la cel mai simplu lucru - definiții, concepte de bază și cele mai simple operații. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!
Definiția unei matrice
Matrice Este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, dacă în termeni simpli - un tabel de numere.
De obicei, matricele sunt indicate prin litere mari latine. De exemplu, matricea A , matrice B etc. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate, există și matrici de rând și matrici de coloane, numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m - numărul de linii, și n - numărul de coloane.
Elemente pentru care i = j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.
Ce poți face cu matricele? Adăugați/scădeți, inmultiti cu un numar, se inmultesc intre ei, transpune... Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.
Operații de adunare și scădere pe matrice
Vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul este o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este simplă - doar adăugați elementele lor respective ... Să dăm un exemplu. Să adăugăm două matrice A și B în mărime două câte două.
Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.
Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare dintre elementele sale cu acest număr. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:
Operație de multiplicare a matricei
Nu toate matricele pot fi multiplicate între ele. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În acest caz fiecare element al matricei rezultate, aflat în rândul i și coloana j, va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din rândul i al primului factor și coloana j a al doilea... Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:
Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matrice:
Operația de transpunere a matricei
Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, să transpunem matricea A din primul exemplu:
Determinant al unei matrice
Determinant, dar determinant este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Pe vremuri oamenii au inventat ecuații liniare, iar în spatele lor au trebuit să inventeze un determinant. Drept urmare, trebuie să te descurci cu toate acestea, deci, ultimul jet!
Un determinant este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.
Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.
Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai complicat, dar poți face față.
Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu muchia paralelă cu diagonala principală, din care produsul elementelor diagonalei principale. diagonala secundară și produsul elementelor situate pe triunghiuri cu o margine a diagonalei secundare paralele se scad.
Din fericire, este rareori necesar să se calculeze determinanții matricilor mari în practică.
Aici am acoperit operațiunile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală, s-ar putea să nu dai niciodată peste un indiciu de sistem matriceal de ecuații sau invers - pentru a te confrunta cu cazuri mult mai dificile când chiar trebuie să-ți spargi capul. Pentru astfel de cazuri există un serviciu profesional pentru studenți. Cereți ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succesul academic și de timpul liber.
