Acest ghid vă va ajuta să învățați cum operații cu matrice: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrici, înmulțirea matricelor, aflarea inversului unei matrici. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru autocontrol și autotest, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>.
Voi încerca să minimizez calculele teoretice, în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea termenilor neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este învață cum să lucrezi cu matrice.
Pentru pregătirea SUPER-RAPIDĂ pe tema (cine „arde”) există un curs intensiv pdf Matrice, determinant și offset!
O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente. La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT este un termen. Este de dorit să ne amintim termenul, va apărea adesea, nu întâmplător am folosit bold pentru a-l evidenția.
Desemnare: matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine
Exemplu: Luați în considerare o matrice de două câte trei:
Această matrice este formată din șase elemente:
Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există de la sine, adică nu se pune problema vreunei scăderi: 
Este doar un tabel (set) de numere!
Vom fi și noi de acord nu rearanja număr, cu excepția cazului în care se specifică altfel în explicație. Fiecare număr are propria sa locație și nu le poți amesteca!
Matricea în cauză are două rânduri: 
si trei coloane: 
STANDARD: când vorbim despre dimensiunile matricei, atunci primul indicați numărul de rânduri și numai atunci - numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei.
Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat, De exemplu: 
este o matrice de trei câte trei.
Dacă matricea are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrice vectori.
De fapt, cunoaștem conceptul de matrice încă din școală, luăm în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu pentru tine de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite ale planului.
Acum să trecem la studiu. operații cu matrice:
1) Acțiunea unu. Eliminarea unui minus dintr-o matrice (Introducerea unui minus într-o matrice).
Înapoi la matricea noastră 
. După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod în ceea ce privește efectuarea diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și doar arată urât în design.
Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:
La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, zero - este și zero în Africa.
Exemplu invers: 
. Arată urât.
Introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:
Ei bine, este mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe minusuri - cu atât mai multe confuzii și erori.
2) Acțiunea a doua. Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Exemplu:
Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecareînmulțiți elementul matricei cu numărul dat. În acest caz, trei.
Un alt exemplu util:
– înmulțirea unei matrice cu o fracție
Să ne uităm mai întâi la ce să facem NU ESTE NEVOIE:
NU ESTE NECESAR să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, face doar dificile acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția (mai ales dacă 
- răspunsul final al sarcinii).
Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:
Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim că fracțiile zecimale cu virgulă în matematică superioară încearcă în toate modurile posibil să le evite.
Singurul lucru de dorit a face în acest exemplu este să inserați un minus în matrice:
Dar dacă TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.
Exemplu:
În acest caz, puteți TREBUIE SAînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele din matrice sunt divizibile cu 2 fără urmă.
Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc de expresia „acest lucru este împărțit cu acesta”, puteți spune întotdeauna „acest lucru este înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.
3) Acțiunea trei. Transpunerea matricei.
Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.
Exemplu:
Transpose Matrix
Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:
este matricea transpusă.
Matricea transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un accident vascular cerebral în dreapta sus.
Exemplu pas cu pas:
Transpose Matrix 
Mai întâi, rescriem primul rând în prima coloană:
Apoi rescriem al doilea rând în a doua coloană: 
Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:
Gata. În linii mari, a transpune înseamnă a întoarce matricea pe o parte.
4) Acțiunea patru. Suma (diferența) matricelor.
Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRIXELE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.
De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată doar la o matrice două câte două și nu alta! 
Exemplu:
Adăugați matrici 
și 
Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:
Pentru diferența de matrice, regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.
Exemplu:
Găsiți diferența de matrici 
, 
Și cum să rezolvi mai ușor acest exemplu, pentru a nu te încurca? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile, pentru aceasta vom adăuga un minus matricei:
Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „scădere”. În loc de expresia „scădeți acest lucru din aceasta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică, scăderea este un caz special de adunare.
5) Acțiunea cinci. Înmulțirea matricei.
Ce matrice pot fi multiplicate?
Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, astfel încât numărul de coloane ale matricei să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei.
Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?
Deci, puteți înmulți datele matricei.
Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!
Prin urmare, înmulțirea este imposibilă:
Nu este neobișnuit pentru sarcinile cu truc, când unui elev i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.
Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile
Pentru a înmulți matricea A cu un număr arbitrar α, avem nevoie de elementele matricei Aînmulțiți cu numărul α, adică produsul dintre o matrice și un număr va fi după cum urmează:
Exemplul 1 Găsiți Matricea 3 A pentru matrice
Soluţie. În conformitate cu definiția, înmulțim elementele matricei A de 3 și obține
A fost un exemplu foarte simplu de înmulțire a unei matrice cu un număr cu numere întregi. Mai sunt și exemple simple în față, dar deja acelea în care printre factorii și elementele matricelor se numără fracții, variabile (denumiri de litere), deoarece legile înmulțirii se aplică nu numai numerelor întregi, deci nu este niciodată dăunător să le repeți.
Exemplul 2 A cu numărul α dacă 
,
.
A cu α, fără a uita că la înmulțirea fracțiilor, numărătorul primei fracții se înmulțește cu numărătorul primei fracții și produsul se scrie la numărător, iar numitorul primei fracții se înmulțește cu numitorul celei de-a doua fracții. iar produsul se scrie la numitor. La primirea celui de-al doilea element al primului rând al noii matrice, fracția rezultată a fost redusă cu 2, acest lucru trebuie făcut. Primim
Exemplul 3 Efectuați o operație de înmulțire a matricei A cu numărul α dacă
,
.
Soluţie. Înmulțiți elementele matricei A pe α, fără a se încurca în denumirile literelor, fără a uita să lăsați un minus în fața celui de-al doilea element al celui de-al doilea rând al noii matrice și să ne amintim că rezultatul înmulțirii unui număr cu reciproca sa este unul (primul element al treilea rând). Primim
.
Exemplul 4 Efectuați o operație de înmulțire a matricei A cu numărul α dacă 
,
.
Soluţie. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți un număr dintr-o putere cu un număr dintr-o putere, exponenții se adună. Primim
.
Acest exemplu, printre altele, demonstrează clar că operațiile de înmulțire a unei matrice cu un număr pot fi citite (și scrise) în ordine inversă și se numesc punerea unui factor constant în fața matricei.
Combinat cu adunarea și scăderea matricelor operația de înmulțire a unei matrice cu un număr poate forma diverse expresii matriceale, de exemplu, 5 A − 3B , 4A + 2B .
Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr
(aici A, B - matrice, - numere, 1 - numărul unu)
1. 
2. 
3. 
Proprietățile (1) și (2) raportează înmulțirea unei matrici cu un număr cu adunarea matricelor. Există, de asemenea, o legătură foarte importantă între înmulțirea unei matrici cu un număr și înmulțirea matricelor în sine:
adică dacă în produsul matricelor unul dintre factori este înmulțit cu un număr, atunci întregul produs va fi înmulțit cu un număr.
Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea matricei. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.
Adunarea și scăderea matricelor.
Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.
O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:
Diferența $AB$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.
Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide
Intrarea „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ se modifică de la 1 la m. De exemplu, intrarea $i=\overline(1,5)$ spune că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.
Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitiv clare, deoarece înseamnă, de fapt, doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.
Exemplul #1
Sunt date trei matrice:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$
Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.
Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\xtime 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $A$ și $F$ nu se potrivesc, așa că nu le putem adăuga, i.e. operația $A+F$ pentru aceste matrice nu este definită.
Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
Găsiți matricea $D=A-B$:
$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$
Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.
Mai simplu spus, a înmulți o matrice cu un anumit număr înseamnă a înmulți fiecare element al matricei date cu acel număr.
Exemplul #2
Dată o matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$
Notația $-A$ este prescurtarea pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). De fapt, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba la opus:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Produsul a două matrici.
Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, voi indica mai întâi o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.
Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru care fiecare element al lui $c_(ij)$ este egal cu suma produselor elementelor corespondente ale rândului i al matricei $A$ și a elementelor j-a coloană a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Pas cu pas, vom analiza multiplicarea matricelor folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să acordați atenție imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrice sunt adesea numite de acord). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane de matricea $A $ nu este egală cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar este posibil să se înmulțească matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane al matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $A$. matricea $B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ este matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:
Exemplul #3
Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.
Pentru început, determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$ și matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, dimensiunea matricei $C$ este $3\x 2$:
Deci, ca rezultat al produsului dintre matricele $A$ și $B$, ar trebui să obținem matricea $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$.
Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:
Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele din primul rând al matricei $A$ și din a doua coloană a matricei $B$:
Similar cu precedenta, avem:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Se găsesc toate elementele primului rând al matricei $C$. Trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Următorul element $c_(22)$ se găsește prin înmulțirea elementelor celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Pentru a găsi $c_(31)$ înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Și, în sfârșit, pentru a găsi elementul $c_(32)$, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Toate elementele matricei $C$ sunt găsite, rămâne doar să notăm că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) ) \dreapta)$ . Sau, pentru a o scrie integral:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matrice, a căror dimensiune este mică, puteți face următoarele:
$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 și 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) și 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 și 324 \\ -56 și -333 \end(array) \right) $$
De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutațional(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii se cere să indice exact modul în care înmulțim expresia cu una sau alta matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3EF=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele în care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Mai simplu spus, pentru a obține matricea transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare după acest principiu: a existat primul rând - prima coloană va deveni; a existat un al doilea rând - a doua coloană va deveni; a existat un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:
În consecință, dacă matricea inițială a avut dimensiunea $3\times 5$, atunci matricea transpusă are dimensiunea $5\times 3$.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Se presupune aici că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.
Înmulțirea unei matrice cu un număr este o operație pe o matrice, în urma căreia fiecare dintre elementele sale este înmulțit cu un număr real sau complex. În termeni matematici arată așa:
$$ B = \lambda \cdot A \Rightarrow b_(ij) = \lambda a_(ij) $$
Este de remarcat faptul că matricea rezultată $ B $ ca rezultat ar trebui să aibă aceeași dimensiune pe care a avut-o matricea inițială $ A $. De asemenea, puteți acorda atenție următorului fapt: $ \lambda \cdot A = A \cdot \lambda $, adică puteți schimba factori și acest produs nu se va schimba.
Va fi util să folosiți operația de înmulțire a unei matrice cu un număr atunci când scoateți factorul comun din matrice. În acest caz, fiecare element al matricei este împărțit la numărul $ \lambda $ și este plasat în fața matricei.
Proprietăți
- Legea distributivă pentru matrice: $$ \lambda \cdot (A+B) = \lambda A + \lambda B $$Înmulțirea sumei matricelor cu un număr poate fi înlocuită cu suma produselor fiecărei matrice individuale prin numărul dat
- Legea distributivă pentru numere reale (complexe): $$ (\lambda + \mu) \cdot A = \lambda A + \mu A $$ Înmulțirea unei matrice cu o sumă de numere poate fi înlocuită cu suma produselor fiecăruia. număr printr-o matrice
- Legea asociativă: $$ \lambda \cdot (\mu \cdot A) = (\lambda \cdot \mu) A $$ Este convenabil de utilizat dacă trebuie să scoateți factorul comun din matricea din fața acestuia, în timp ce se înmulţeşte coeficientul aflat deja în faţa lui
- Există un număr special $ \lambda = 1 $ care păstrează matricea neschimbată $$ 1 \cdot A = A \cdot 1 = A $$
- Înmulțirea unei matrice cu zero duce la faptul că fiecare element al matricei este resetat la zero și matricea devine zero de aceeași dimensiune ca și inițial: $$ 0 \cdot A = 0 $$
Exemple de soluții
| Exemplu |
| Dat $ A = \begin(pmatrix) 2&-1&4\\0&9&3\\-2&-3&5 \end(pmatrix) $ și un număr real $ \lambda = 2 $. Înmulțiți un număr cu o matrice. |
| Soluţie |
|
Notăm operația matematică de înmulțire și, în același timp, ne amintim de regula care spune: o matrice este înmulțită cu un număr element cu element. $$ \lambda \cdot A = 2 \cdot \begin(pmatrix) 2&-1&4\\0&9&3\\-2&-3&5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 2\cdot 2&2\cdot (-1)&2 \cdot 4\\2\cdot 0&2 \cdot 9&2\cdot 3\\2\cdot (-2)&2\cdot (-3)&2\cdot 5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 4&-2&8\\0&18&6\\-4&-6&10 \end(pmatrix) $$ Ca rezultat, vedem că fiecare număr din matrice s-a dublat în raport cu valoarea inițială. Dacă nu vă puteți rezolva problema, atunci trimite ea pentru noi. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util! |
| Răspuns |
| $$ \lambda \cdot A = \begin(pmatrix) 4&-2&8\\0&18&6\\-4&-6&10 \end(pmatrix) $$ |
