Paranteze de deschidere: reguli, exemple, soluții. Expresii numerice

Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. De exemplu, în expresia numerică \(5·3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5·3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\) se va calcula mai întâi adunarea dintre paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemplu. Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Soluţie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemplu. Deschideți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie : În paranteză avem \(3\) și \(-x\), iar înaintea parantezei este un cinci. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \(5\) - vă reamintesc că Semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză nu este scris în matematică pentru a reduce dimensiunea intrărilor.

Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) din paranteză sunt înmulțite cu \(-2\).

Exemplu. Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluţie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Rămâne de luat în considerare ultima situație.

Când înmulțiți o paranteză cu o paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie : Avem un produs de paranteze și poate fi extins imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați prima paranteză - înmulțiți fiecare dintre termenii săi cu a doua paranteză:

Pasul 2. Extindeți produsele parantezelor și factorul așa cum este descris mai sus:
- Să începem cu începutul...

Apoi al doilea.

Pasul 3. Acum înmulțim și prezentăm termeni similari:

Nu este necesar să descrii toate transformările atât de detaliat; le poți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți cum să deschizi parantezele, să scrii în detaliu, vor fi mai puține șanse să faci greșeli.

Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuiți unul în loc de c, obțineți regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

Paranteză într-o paranteză

Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: simplificați expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pentru a rezolva cu succes astfel de sarcini, aveți nevoie de:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să ne uităm la sarcina scrisă mai sus ca exemplu.

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluţie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Există trei cuiburi de paranteze aici. Să începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața suportului, așa că pur și simplu se desprinde.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, cel intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia termenilor asemănătoare fantome din această a doua paranteză.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Înainte de paranteză este un factor - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Și deschide ultimul parantez. Există un semn minus în fața parantezei, deci toate semnele sunt inversate.

Extinderea parantezelor este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste C în clasele a 8-a și a 9-a. Prin urmare, vă recomand să înțelegeți bine acest subiect.

Extinderea parantezelor este un tip de transformare a expresiei. În această secțiune vom descrie regulile de deschidere a parantezelor și vom analiza, de asemenea, cele mai comune exemple de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce înseamnă parantezele de deschidere?

Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii numerice, literale și variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la o expresie identică egală fără paranteze. De exemplu, înlocuiți expresia 2 · (3 + 4) cu o expresie de formă 2 3 + 2 4 fara paranteze. Această tehnică se numește deschidere paranteze.

Definiția 1

Parantezele extinse se referă la tehnici pentru a scăpa de paranteze și este de obicei luată în considerare în relație cu expresii care pot conține:

• semnele „+” sau „-” înaintea parantezelor care conțin sume sau diferențe;
• produsul unui număr, literă sau mai multor litere și o sumă sau diferență, care este plasată între paranteze.

Așa suntem obișnuiți să vedem procesul de deschidere a parantezelor din programa școlară. Cu toate acestea, nimeni nu ne împiedică să privim această acțiune mai larg. Putem numi paranteză deschiderea tranziției de la o expresie care conține numere negative în paranteze la o expresie care nu are paranteze. De exemplu, putem trece de la 5 + (− 3) − (− 7) la 5 − 3 + 7. De fapt, aceasta este și o deschidere de paranteze.

În același mod, putem înlocui produsul expresiilor din paranteze de forma (a + b) · (c + d) cu suma a · c + a · d + b · c + b · d. De asemenea, această tehnică nu contrazice sensul deschiderii parantezelor.

Iată un alt exemplu. Putem presupune că orice expresie poate fi folosită în loc de numere și variabile în expresii. De exemplu, expresia x 2 · 1 a - x + sin (b) va corespunde unei expresii fără paranteze de forma x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Încă un punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile înregistrării deciziilor la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca o egalitate. De exemplu, după extinderea parantezelor în loc de expresie 3 − (5 − 7) obținem expresia 3 − 5 + 7 . Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Efectuarea acțiunilor cu expresii greoaie poate necesita înregistrarea rezultatelor intermediare. Atunci soluția va avea forma unui lanț de egalități. De exemplu, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 sau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Reguli pentru deschiderea parantezelor, exemple

Să începem să ne uităm la regulile de deschidere a parantezelor.

Pentru numere simple între paranteze

Numerele negative din paranteze se găsesc adesea în expresii. De exemplu, (− 4) și 3 + (− 4) . Numerele pozitive dintre paranteze au și ele un loc.

Să formulăm o regulă pentru deschiderea parantezelor care conțin numere pozitive simple. Să presupunem că a este orice număr pozitiv. Apoi putem înlocui (a) cu a, + (a) cu + a, - (a) cu – a. Dacă în loc de a luăm un anumit număr, atunci conform regulii: numărul (5) se va scrie ca 5 , expresia 3 + (5) fără paranteze va lua forma 3 + 5 , deoarece + (5) este înlocuit cu + 5 , iar expresia 3 + (− 5) este echivalentă cu expresia 3 − 5 , deoarece + (− 5) este înlocuit cu − 5 .

Numerele pozitive sunt de obicei scrise fără a folosi paranteze, deoarece parantezele nu sunt necesare în acest caz.

Acum luați în considerare regula pentru deschiderea parantezelor care conțin un singur număr negativ. + (− a) inlocuim cu − a, − (− a) se înlocuiește cu + a. Dacă expresia începe cu un număr negativ (− a), care este scris între paranteze, apoi parantezele sunt omise și în schimb (− a) ramane − a.

Aici sunt cateva exemple: (− 5) poate fi scris ca − 5, (− 3) + 0, 5 devine − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) devine 4 − 3 , iar − (− 4) − (− 3) după deschiderea parantezelor ia forma 4 + 3, deoarece − (− 4) și − (− 3) se înlocuiește cu + 4 și + 3 .

Trebuie înțeles că expresia 3 · (− 5) nu poate fi scrisă ca 3 · − 5. Acest lucru va fi discutat în paragrafele următoare.

Să vedem pe ce se bazează regulile de deschidere a parantezelor.

Conform regulii, diferența a − b este egală cu a + (− b) . Pe baza proprietăților acțiunilor cu numere, putem crea un lanț de egalități (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a care va fi corect. Acest lanț de egalități, în virtutea sensului de scădere, demonstrează că expresia a + (− b) este diferența a - b.

Pe baza proprietăților numerelor opuse și a regulilor de scădere a numerelor negative, putem afirma că − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Există expresii care sunt formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Utilizarea regulilor de mai sus vă permite să scăpați secvențial de paranteze, deplasându-vă de la parantezele interioare la cele exterioare sau în direcția opusă. Un exemplu de astfel de expresie ar fi − (− ((− (5)))) . Să deschidem parantezele, deplasându-ne din interior în exterior: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Acest exemplu poate fi analizat și în sens invers: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Sub Ași b poate fi înțeles nu numai ca numere, ci și ca expresii numerice sau alfabetice arbitrare cu semnul „+” în față care nu sunt sume sau diferențe. În toate aceste cazuri, puteți aplica regulile în același mod ca și noi pentru numerele simple din paranteze.

De exemplu, după deschiderea parantezelor expresia − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) va lua forma 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Cum am făcut-o? Știm că − (− 2 x) este + 2 x și, deoarece această expresie vine mai întâi, atunci + 2 x poate fi scris ca 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x și − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

În produse a două numere

Să începem cu regula pentru deschiderea parantezelor în produsul a două numere.

Să ne prefacem că Ași b sunt două numere pozitive. În acest caz, produsul a două numere negative − ași − b de forma (− a) · (− b) putem înlocui cu (a · b) , iar produsele a două numere cu semne opuse de forma (− a) · b și a · (− b) poate fi înlocuit cu (− a b). Înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus dă un minus.

Corectitudinea primei părți a regulii scrise este confirmată de regula de înmulțire a numerelor negative. Pentru a confirma a doua parte a regulii, putem folosi regulile pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1

Să considerăm un algoritm de deschidere a parantezelor în produsul a două numere negative - 4 3 5 și - 2, de forma (- 2) · - 4 3 5. Pentru a face acest lucru, înlocuiți expresia originală cu 2 · 4 3 5 . Să deschidem parantezele și să obținem 2 · 4 3 5 .

Și dacă luăm câtul numerelor negative (− 4) : (− 2), atunci intrarea după deschiderea parantezelor va arăta ca 4: 2

În locul numerelor negative − ași − b pot fi orice expresii cu semnul minus în față care nu sunt sume sau diferențe. De exemplu, acestea pot fi produse, câte, fracții, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometrice etc.

Să deschidem parantezele din expresia - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Conform regulii, putem face următoarele transformări: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Expresie (− 3) 2 poate fi convertit în expresia (− 3 2) . După aceasta, puteți extinde parantezele: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Împărțirea numerelor cu semne diferite poate necesita, de asemenea, extinderea preliminară a parantezelor: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 și 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Regula poate fi folosită pentru a efectua înmulțirea și împărțirea expresiilor cu semne diferite. Să dăm două exemple.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2

În produse de trei sau mai multe numere

Să trecem la produse și coeficiente, care conțin un număr mai mare de numere. Pentru a deschide paranteze, aici se va aplica următoarea regulă. Dacă există un număr par de numere negative, puteți omite parantezele și puteți înlocui numerele cu opuse. După aceasta, trebuie să includeți expresia rezultată între paranteze noi. Dacă există un număr impar de numere negative, omiteți parantezele și înlocuiți numerele cu opuse. După aceasta, expresia rezultată trebuie plasată între paranteze noi și trebuie plasat un semn minus în fața acesteia.

Exemplul 2

De exemplu, luați expresia 5 · (− 3) · (− 2) , care este produsul a trei numere. Există două numere negative, prin urmare putem scrie expresia ca (5 · 3 · 2) și apoi deschideți în final parantezele, obținând expresia 5 · 3 · 2.

În produsul (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) cinci numere sunt negative. prin urmare (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . După ce am deschis în sfârșit parantezele, obținem −2,5 3:2 4:1.25:1.

Regula de mai sus poate fi justificată după cum urmează. În primul rând, putem rescrie astfel de expresii ca un produs, înlocuind împărțirea prin înmulțirea cu numărul reciproc. Reprezentăm fiecare număr negativ ca produs al unui număr înmulțitor și - 1 sau - 1 este înlocuit cu (− 1) a.

Folosind proprietatea comutativă a înmulțirii, schimbăm factorii și transferăm toți factorii egali cu − 1 , până la începutul expresiei. Produsul unui număr par minus unu este egal cu 1, iar produsul unui număr impar este egal cu − 1 , care ne permite să folosim semnul minus.

Dacă nu am folosi regula, atunci lanțul de acțiuni pentru a deschide parantezele din expresia - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ar arăta astfel:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Regula de mai sus poate fi folosită la deschiderea parantezelor în expresii care reprezintă produse și coeficienti cu semn minus care nu sunt sume sau diferențe. Să luăm de exemplu expresia

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Poate fi redusă la expresia fără paranteze x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Paranteze extinse precedate de semnul +

Luați în considerare o regulă care poate fi aplicată pentru a extinde parantezele care sunt precedate de un semn plus, iar „conținutul” acelor paranteze nu este înmulțit sau împărțit cu niciun număr sau expresie.

Conform regulii, parantezele, împreună cu semnul din fața lor, sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt păstrate. Dacă nu există niciun semn înainte de primul termen între paranteze, atunci trebuie să puneți un semn plus.

Exemplul 3

De exemplu, dăm expresia (12 − 3 , 5) − 7 . Omitând parantezele, păstrăm semnele termenilor între paranteze și punem semnul plus înaintea primului termen. Intrarea va arăta ca (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. În exemplul dat, nu este necesar să se plaseze un semn în fața primului termen, deoarece + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Exemplul 4

Să ne uităm la un alt exemplu. Să luăm expresia x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x și să efectuăm acțiunile cu ea x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Iată un alt exemplu de extindere a parantezei:

Exemplul 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Cum se extind parantezele precedate de un semn minus?

Să luăm în considerare cazurile în care există un semn minus în fața parantezelor și care nu sunt înmulțite (sau împărțite) cu niciun număr sau expresie. Conform regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul „-”, parantezele cu semnul „-” sunt omise, iar semnele tuturor termenilor din paranteze sunt inversate.

Exemplul 6

De exemplu:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Expresiile cu variabile pot fi convertite folosind aceeași regulă:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

obținem x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Deschiderea parantezelor la înmulțirea unui număr cu o paranteză, expresii cu o paranteză

Aici vom analiza cazurile în care trebuie să extindeți parantezele care sunt înmulțite sau împărțite cu un număr sau o expresie. Formule de forma (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) sau b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Unde a 1 , a 2 , … , a nși b sunt niște numere sau expresii.

Exemplul 7

De exemplu, să extindem parantezele din expresie (3 − 7) 2. Conform regulii, putem efectua următoarele transformări: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Se obține 3 · 2 − 7 · 2 .

Deschizând parantezele în expresia 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obținem 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Înmulțirea parantezei cu paranteze

Se consideră produsul a două paranteze de forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Acest lucru ne va ajuta să obținem o regulă pentru deschiderea parantezelor atunci când efectuăm înmulțirea paranteză cu paranteză.

Pentru a rezolva exemplul dat, notăm expresia (b 1 + b 2) ca b. Acest lucru ne va permite să folosim regula pentru înmulțirea unei paranteze cu o expresie. Se obține (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Prin efectuarea unei înlocuiri inverse b prin (b 1 + b 2), se aplică din nou regula înmulțirii unei expresii cu o paranteză: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Datorită unui număr de tehnici simple, putem ajunge la suma produselor fiecăruia dintre termenii din prima paranteză cu fiecare dintre termenii din a doua paranteză. Regula poate fi extinsă la orice număr de termeni din paranteze.

Să formulăm regulile de înmulțire a parantezelor cu paranteze: pentru a înmulți două sume împreună, trebuie să înmulțiți fiecare dintre termenii primei sume cu fiecare dintre termenii celei de-a doua sume și să adăugați rezultatele.

Formula va arăta astfel:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Să extindem parantezele din expresia (1 + x) · (x 2 + x + 6) Este produsul a două sume. Să scriem soluția: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Merită menționate separat acele cazuri în care există semnul minus între paranteze împreună cu semnele plus. De exemplu, luăm expresia (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Mai întâi, să prezentăm expresiile dintre paranteze ca sume: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Acum putem aplica regula: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3))) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Să deschidem parantezele: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Extinderea parantezelor în produse ale mai multor paranteze și expresii

Dacă există trei sau mai multe expresii între paranteze într-o expresie, parantezele trebuie deschise secvenţial. Trebuie să începeți transformarea punând primii doi factori între paranteze. În cadrul acestor paranteze putem efectua transformări conform regulilor discutate mai sus. De exemplu, parantezele din expresia (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

Expresia conține trei factori simultan (2 + 4) , 3 și (5 + 7 8) . Vom deschide parantezele secvenţial. Să includem primii doi factori într-un alt parantez, pe care îl vom face roșu pentru claritate: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

În conformitate cu regula de înmulțire a parantezei cu un număr, putem efectua următoarele acțiuni: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Înmulțiți paranteză cu paranteză: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Paranteză în natură

Gradele, ale căror baze sunt câteva expresii scrise între paranteze, cu exponenți naturali pot fi considerate ca produsul mai multor paranteze. Mai mult, conform regulilor din cele două paragrafe precedente, acestea pot fi scrise fără aceste paranteze.

Luați în considerare procesul de transformare a expresiei (a + b + c) 2 . Poate fi scris ca produsul a două paranteze (a + b + c) · (a + b + c). Să înmulțim paranteză cu paranteză și să obținem a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Să ne uităm la un alt exemplu:

Exemplul 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Împărțirea parantezei cu număr și a parantezelor cu paranteze

Împărțirea unei paranteze cu un număr necesită ca toți termenii încadrați între paranteze să fie împărțiți la număr. De exemplu, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Împărțirea poate fi mai întâi înlocuită cu înmulțire, după care puteți folosi regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor într-un produs. Aceeași regulă se aplică la împărțirea unei paranteze la o paranteză.

De exemplu, trebuie să deschidem parantezele în expresia (x + 2) : 2 3 . Pentru a face acest lucru, înlocuiți mai întâi împărțirea prin înmulțirea cu numărul reciproc (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Înmulțiți paranteza cu numărul (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Iată un alt exemplu de împărțire prin paranteză:

Exemplul 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Să înlocuim împărțirea cu înmulțirea: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Să facem înmulțirea: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Ordinea parantezelor de deschidere

Acum să luăm în considerare ordinea de aplicare a regulilor discutate mai sus în expresii generale, i.e. în expresii care conţin sume cu diferenţe, produse cu câte, paranteze la gradul natural.

Procedură:

• primul pas este ridicarea parantezelor la o putere naturală;
• la a doua etapă se realizează deschiderea parantezelor în lucrări și coeficiente;
• Pasul final este deschiderea parantezelor în sume și diferențe.

Să considerăm ordinea acțiunilor folosind exemplul expresiei (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Să transformăm din expresiile 3 · (− 2) : (− 4) și 6 · (− 7) , care ar trebui să ia forma (3 2:4)și (− 6 · 7) . Când înlocuim rezultatele obținute în expresia originală, obținem: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Deschideți parantezele: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Când aveți de-a face cu expresii care conțin paranteze în paranteze, este convenabil să efectuați transformări lucrând din interior spre exterior.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi să luăm în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La final vă prezentăm o expresie care conține simboluri cu litere, paranteze, rădăcini, simboluri matematice speciale, grade, funcții etc. Conform tradiției, vom oferi întregii teorii exemple abundente și detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum să găsiți valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea stării unei probleme în limbajul matematic. În general, expresiile matematice pot fi fie foarte simple, formate dintr-o pereche de numere și simboluri aritmetice, fie foarte complexe, conținând funcții, puteri, rădăcini, paranteze etc. Ca parte a unei sarcini, este adesea necesar să găsiți sensul unei anumite expresii. Cum se face acest lucru va fi discutat mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și operații aritmetice. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea efectuării operațiilor aritmetice fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu diverse numere.

Dacă expresia conține doar numere și semne aritmetice " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atunci acțiunile se execută de la stânga la dreapta în următoarea ordine: mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să dăm exemple.

Exemplul 1: valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsiți valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Acum efectuăm scăderea și obținem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Mai întâi efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Acum să facem niște adunări și scăderi. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Valoarea necesară a fost găsită.

Expresii cu paranteze

Dacă o expresie conține paranteze, acestea definesc ordinea operațiilor în expresia respectivă. Acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi, apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3: Valoarea unei expresii numerice

Să găsim valoarea expresiei 0,5 · (0,76 - 0,06).

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi efectuăm operația de scădere în paranteze și abia apoi înmulțirea.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Sensul expresiilor care conțin paranteze în paranteze se găsește după același principiu.

Exemplul 4: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Vom efectua acțiuni începând de la cele mai interioare paranteze, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Când găsiți semnificațiile expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Ce să faci în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul obținut ca rezultat. Dacă este posibil, este mai bine să scăpați de rădăcinile din expresiile numerice, înlocuindu-le cu valori numerice.

Exemplul 5: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum puteți calcula valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Adesea, găsirea sensului unei expresii cu rădăcini necesită adesea mai întâi transformarea expresiei originale. Să explicăm acest lucru cu încă un exemplu.

Exemplul 6: Valoarea unei expresii numerice

Ce este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem posibilitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de numărare. Cu toate acestea, în în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Prin urmare:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu puteri

Dacă o expresie conține puteri, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul sau baza gradului în sine să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7: Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Să începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Tot ce rămâne este să efectuați operația de adăugare și să aflați semnificația expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați o expresie folosind proprietățile unui grad.

Exemplul 8: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Să simplificăm expresia originală pentru a-i găsi valoarea.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii cu fracții

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții conțin expresii, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se notează valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplul 9: Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei care conține fracții: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Să rescriem expresia noastră și să calculăm valoarea acesteia:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Adesea, atunci când găsiți sensul expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-i găsi valoarea, cel mai bine este să simplificați la maximum orice expresie, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți într-o expresie, valoarea lor este calculată de la început, dacă este posibil. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 · 4, puteți nota imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Obținem: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritm în sine și la baza acestuia. În acest caz, primul lucru de făcut este să le găsiți semnificațiile. Să luăm expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acestuia.

Exemplul 11: Valoarea unei expresii numerice

Să găsim valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Prin proprietatea logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Folosind din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Acum puteți continua la calcularea valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca expresia să conțină funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și cotangente, precum și funcțiile inverse ale acestora. Valoarea este calculată înainte ca toate celelalte operații aritmetice să fie efectuate. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12: Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 = - 1

Înlocuim valorile în expresie și calculăm valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Valoarea expresiei a fost găsită.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi convertită. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13: Valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsim valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru conversie vom folosi formulele trigonometrice pentru cosinusul unui unghi dublu și cosinusul unei sume.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cazul general al unei expresii numerice

În general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm o regulă generală pentru găsirea semnificațiilor unor astfel de expresii.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

1. Rădăcini, puteri, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
2. Acțiunile din paranteze sunt efectuate.
3. Acțiunile rămase sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi - înmulțirea și împărțirea, apoi - adunarea și scăderea.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 14: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum să găsim sensul unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, valorile numărătorului și numitorului fracției se găsesc mai întâi separat, respectiv. Vom transforma și simplifica secvențial această expresie.

Mai întâi de toate, să calculăm valoarea expresiei radicalului 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul fracției totul este mai simplu:

Acum putem scrie valoarea întregii fracții:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Ținând cont de acest lucru, scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz, am putut calcula valorile exacte ale rădăcinilor, logaritmilor, sinusurilor etc. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea valorilor expresiei folosind metode raționale

Valorile numerice trebuie calculate în mod consecvent și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat folosind diverse proprietăți ale operațiilor cu numere. De exemplu, se știe că un produs este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Ținând cont de această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 este egală cu zero. În același timp, nu este deloc necesar să efectuați acțiunile în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua nicio acțiune, puteți comanda ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 să fie și ea zero.

O altă tehnică de accelerare a procesului este utilizarea transformărilor de identitate, cum ar fi gruparea termenilor și factorilor și plasarea factorului comun dintre paranteze. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este de a reduce aceleași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, luați expresia 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Fără a efectua operațiile din paranteze, ci prin reducerea fracției, putem spune că valoarea expresiei este 1 3 .

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor și variabilelor în expresia originală, apoi să calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15: Valoarea unei expresii cu variabile

Calculați valoarea expresiei 0, 5 x - y dat x = 2, 4 și y = 5.

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Uneori puteți transforma o expresie astfel încât să obțineți valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are evident valoarea 3, iar pentru a calcula această valoare nu este necesar să se cunoască valoarea variabilei x. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori permise.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Deci, dacă o expresie numerică este formată din numere și semnele +, −, · și:, atunci în ordine de la stânga la dreapta trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, ceea ce vă va permite să găsiți valoarea dorită a expresiei.

Să dăm câteva exemple pentru clarificare.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 14−2·15:6−3.

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea unei expresii, trebuie să efectuați toate acțiunile specificate în ea în conformitate cu ordinea acceptată de efectuare a acestor acțiuni. Mai întâi, în ordine de la stânga la dreapta, efectuăm înmulțirea și împărțirea, obținem 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Acum efectuăm și acțiunile rămase în ordine de la stânga la dreapta: 14−5−3=9−3=6. Așa am găsit valoarea expresiei originale, este egală cu 6.

Răspuns:

14−2·15:6−3=6.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei.

Soluţie.

În acest exemplu, mai întâi trebuie să facem înmulțirea 2·(−7) și împărțirea cu înmulțirea în expresia . Amintindu-ne cum , găsim 2·(−7)=−14. Și pentru a efectua mai întâi acțiunile din expresie , apoi , și executați: .

Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: .

Dar dacă există o expresie numerică sub semnul rădăcinii? Pentru a obține valoarea unei astfel de rădăcini, trebuie mai întâi să găsiți valoarea expresiei radicale, respectând ordinea acceptată de a efectua acțiuni. De exemplu, .

În expresiile numerice, rădăcinile ar trebui să fie percepute ca niște numere și este recomandabil să înlocuiți imediat rădăcinile cu valorile lor, apoi să găsiți valoarea expresiei rezultate fără rădăcini, efectuând acțiuni în succesiunea acceptată.

Exemplu.

Găsiți semnificația expresiei cu rădăcini.

Soluţie.

Mai întâi să găsim valoarea rădăcinii . Pentru a face acest lucru, în primul rând, calculăm valoarea expresiei radicale, avem −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Și în al doilea rând, găsim valoarea rădăcinii.

Acum să calculăm valoarea celei de-a doua rădăcini din expresia originală: .

În fine, putem găsi sensul expresiei originale prin înlocuirea rădăcinilor cu valorile lor: .

Răspuns:

Destul de des, pentru a găsi sensul unei expresii cu rădăcini, este mai întâi necesar să o transformăm. Să arătăm soluția exemplului.

Exemplu.

Care este sensul expresiei .

Soluţie.

Nu putem înlocui rădăcina lui trei cu valoarea ei exactă, ceea ce nu ne permite să calculăm valoarea acestei expresii în modul descris mai sus. Cu toate acestea, putem calcula valoarea acestei expresii efectuând transformări simple. Aplicabil formula diferenței pătrate: . Ținând cont, obținem . Astfel, valoarea expresiei originale este 1.

Răspuns:

.

Cu grade

Dacă baza și exponentul sunt numere, atunci valoarea lor este calculată prin determinarea gradului, de exemplu, 3 2 =3·3=9 sau 8 −1 =1/8. Există, de asemenea, intrări în care baza și/sau exponentul sunt niște expresii. În aceste cazuri, trebuie să găsiți valoarea expresiei în bază, valoarea expresiei în exponent și apoi să calculați valoarea gradului în sine.

Exemplu.

Aflați valoarea unei expresii cu puteri ale formei 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

Soluţie.

În expresia originală există două puteri 2 3·4−10 și (1−1/2) 3.5−2·1/4. Valorile acestora trebuie calculate înainte de a efectua alte acțiuni.

Să începem cu puterea 2 3·4−10. Indicatorul său conține o expresie numerică, să-i calculăm valoarea: 3·4−10=12−10=2. Acum puteți găsi valoarea gradului în sine: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Baza și exponentul (1−1/2) 3.5−2 1/4 conțin expresii; le calculăm valorile pentru a găsi apoi valoarea exponentului. Avem (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Acum revenim la expresia originală, înlocuim gradele din ea cu valorile lor și găsim valoarea expresiei de care avem nevoie: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Răspuns:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Este demn de remarcat faptul că există cazuri mai frecvente când este recomandabil să se efectueze un preliminar simplificarea expresiei cu puteri pe baza .

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Judecând după exponenții din această expresie, nu se vor putea obține valori exacte ale exponenților. Să încercăm să simplificăm expresia originală, poate că acest lucru va ajuta să-i găsim sensul. Avem

Răspuns:

.

Puterile în expresii merg adesea mână în mână cu logaritmi, dar vom vorbi despre găsirea semnificației expresiilor cu logaritmi într-unul dintre.

Găsirea valorii unei expresii cu fracții

Expresiile numerice pot conține fracții în notația lor. Când trebuie să găsiți semnificația unei expresii ca aceasta, alte fracții decât fracțiile trebuie înlocuite cu valorile lor înainte de a continua cu restul pașilor.

Numătorul și numitorul fracțiilor (care sunt diferite de fracțiile obișnuite) pot conține atât numere, cât și expresii. Pentru a calcula valoarea unei astfel de fracții, trebuie să calculați valoarea expresiei din numărător, să calculați valoarea expresiei din numitor și apoi să calculați valoarea fracției în sine. Această ordine se explică prin faptul că fracția a/b, unde a și b sunt niște expresii, reprezintă în esență un coeficient de forma (a):(b), întrucât .

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți semnificația unei expresii cu fracții .

Soluţie.

Există trei fracții în expresia numerică originală Și . Pentru a găsi valoarea expresiei originale, trebuie mai întâi să înlocuim aceste fracții cu valorile lor. Hai să o facem.

Numătorul și numitorul unei fracții conțin numere. Pentru a găsi valoarea unei astfel de fracții, înlocuiți bara de fracțiuni cu un semn de divizare și efectuați această acțiune: .

În numărătorul fracției există o expresie 7−2·3, valoarea ei este ușor de găsit: 7−2·3=7−6=1. Prin urmare, . Puteți continua la găsirea valorii celei de-a treia fracții.

A treia fracție din numărător și numitor conține expresii numerice, prin urmare, mai întâi trebuie să calculați valorile acestora, iar acest lucru vă va permite să găsiți valoarea fracției în sine. Avem .

Rămâne să înlocuiți valorile găsite în expresia originală și să efectuați acțiunile rămase: .

Răspuns:

.

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor cu fracții, trebuie să efectuați simplificarea expresiilor fracţionale, bazat pe efectuarea de operații cu fracții și fracții reducătoare.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Rădăcina lui cinci nu poate fi extrasă complet, așa că pentru a găsi valoarea expresiei originale, să o simplificăm mai întâi. Pentru aceasta să scăpăm de iraționalitatea din numitor prima fracție: . După aceasta, expresia originală va lua forma . După scăderea fracțiilor, rădăcinile vor dispărea, ceea ce ne va permite să aflăm valoarea expresiei date inițial: .

Răspuns:

.

Cu logaritmi

Dacă o expresie numerică conține , și dacă este posibil să scapi de ele, atunci acest lucru se face înainte de a efectua alte acțiuni. De exemplu, la găsirea valorii expresiei log 2 4+2·3, logaritmul log 2 4 este înlocuit cu valoarea sa 2, după care acțiunile rămase sunt efectuate în ordinea obișnuită, adică log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Când există expresii numerice sub semnul logaritmului și/sau la baza acestuia, se găsesc mai întâi valorile acestora, după care se calculează valoarea logaritmului. De exemplu, luați în considerare o expresie cu un logaritm al formei . La baza logaritmului și sub semnul acestuia se află expresii numerice; găsim valorile acestora: . Acum găsim logaritmul, după care completăm calculele: .

Dacă logaritmii nu sunt calculați cu acuratețe, atunci simplificarea preliminară a acestuia folosind . În acest caz, trebuie să aveți o bună stăpânire a materialului articolului conversia expresiilor logaritmice.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii cu logaritmi .

Soluţie.

Să începem prin a calcula log 2 (log 2 256) . Deoarece 256=2 8, atunci log 2 256=8, prin urmare, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmii log 6 2 și log 6 3 pot fi grupați. Suma logaritmilor log 6 2+log 6 3 este egală cu logaritmul produsului log 6 (2 3), astfel, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Acum să ne uităm la fracție. Pentru început, vom rescrie baza logaritmului la numitor sub forma unei fracții obișnuite ca 1/5, după care vom folosi proprietățile logaritmilor, care ne vor permite să obținem valoarea fracției:
.

Tot ce rămâne este să înlocuiți rezultatele obținute în expresia originală și să terminați de a găsi valoarea acesteia:

Răspuns:

Cum se află valoarea unei expresii trigonometrice?

Când o expresie numerică conține sau, etc., valorile acestora sunt calculate înainte de a efectua alte acțiuni. Dacă există expresii numerice sub semnul funcțiilor trigonometrice, atunci se calculează mai întâi valorile acestora, după care se găsesc valorile funcțiilor trigonometrice.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Trecând la articol, obținem și cosπ=−1 . Substituim aceste valori în expresia originală, aceasta ia forma . Pentru a-i găsi valoarea, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea, apoi să finalizați calculele: .

Răspuns:

.

Este de remarcat faptul că calcularea valorilor expresiilor cu sinusuri, cosinus etc. adesea necesită prealabil conversia unei expresii trigonometrice.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei trigonometrice .

Soluţie.

Să transformăm expresia originală folosind , în acest caz vom avea nevoie de formula cosinusului unghi dublu și formula cosinusului sumă:

Transformările pe care le-am făcut ne-au ajutat să găsim sensul expresiei.

Răspuns:

.

Caz general

În general, o expresie numerică poate conține rădăcini, puteri, fracții, unele funcții și paranteze. Găsirea valorilor unor astfel de expresii constă în efectuarea următoarelor acțiuni:

• primele rădăcini, puteri, fracții etc. sunt înlocuite cu valorile lor,
• acțiuni suplimentare între paranteze,
• iar în ordine de la stânga la dreapta se efectuează operațiile rămase - înmulțirea și împărțirea, urmate de adunare și scădere.

Acțiunile enumerate sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Exemplu.

Găsiți sensul expresiei .

Soluţie.

Forma acestei expresii este destul de complexă. În această expresie vedem fracții, rădăcini, puteri, sinus și logaritmi. Cum să-i găsim valoarea?

Deplasându-ne prin înregistrare de la stânga la dreapta, întâlnim o fracțiune din formular . Știm că atunci când lucrăm cu fracții complexe, trebuie să calculăm separat valoarea numărătorului, separat numitorul și, în final, să găsim valoarea fracției.

La numărător avem rădăcina formei . Pentru a-i determina valoarea, mai întâi trebuie să calculați valoarea expresiei radicalului . Există un sinus aici. Putem găsi valoarea acesteia numai după calcularea valorii expresiei . Asta putem face: . Apoi de unde și de unde .

Numitorul este simplu: .

Prin urmare, .

După înlocuirea acestui rezultat în expresia originală, acesta va lua forma . Expresia rezultată conține gradul . Pentru a-i găsi valoarea, mai întâi trebuie să găsim valoarea indicatorului, avem .

Asa de, .

Răspuns:

.

Dacă nu este posibil să se calculeze valorile exacte ale rădăcinilor, puterilor etc., atunci puteți încerca să scăpați de ele folosind unele transformări și apoi să reveniți la calcularea valorii conform schemei specificate.

Modalități raționale de a calcula valorile expresiilor

Calcularea valorilor expresiilor numerice necesită consistență și acuratețe. Da, este necesar să respectați succesiunea de acțiuni înregistrate în paragrafele anterioare, dar nu este nevoie să faceți acest lucru orbește și mecanic. Ceea ce înțelegem prin aceasta este că este adesea posibil să se raționalizeze procesul de găsire a sensului unei expresii. De exemplu, anumite proprietăți ale operațiilor cu numere pot accelera și simplifica semnificativ găsirea valorii unei expresii.

De exemplu, cunoaștem această proprietate a înmulțirii: dacă unul dintre factorii produsului este egal cu zero, atunci valoarea produsului este egală cu zero. Folosind această proprietate, putem spune imediat că valoarea expresiei 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) este egal cu zero. Dacă am urma ordinea standard a operațiilor, ar trebui mai întâi să calculăm valorile expresiilor greoaie din paranteze, ceea ce ar dura mult timp, iar rezultatul ar fi totuși zero.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale: dacă scădeți un număr egal dintr-un număr, rezultatul este zero. Această proprietate poate fi considerată mai larg: diferența dintre două expresii numerice identice este zero. De exemplu, fără a calcula valoarea expresiilor din paranteză, puteți găsi valoarea expresiei (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), este egal cu zero, deoarece expresia originală este diferența dintre expresii identice.

Transformările de identitate pot facilita calculul rațional al valorilor expresiei. De exemplu, gruparea termenilor și factorilor poate fi utilă; scoaterea factorului comun dintre paranteze nu este mai puțin folosită. Deci valoarea expresiei 53·5+53·7−53·11+5 este foarte ușor de găsit după ce a luat factorul 53 din paranteze: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Calculul direct ar dura mult mai mult.

Pentru a încheia acest punct, să acordăm atenție unei abordări raționale a calculării valorilor expresiilor cu fracții - factorii identici în numărătorul și numitorul fracției sunt anulați. De exemplu, reducerea acelorași expresii în numărătorul și numitorul unei fracții vă permite să găsiți imediat valoarea acesteia, care este egală cu 1/2.

Găsirea valorii unei expresii literale și a unei expresii cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile. Adică vorbim despre găsirea valorii unei expresii literale pentru valorile de litere date sau despre găsirea valorii unei expresii cu variabile pentru valorile variabilelor selectate.

Regulă găsirea valorii unei expresii literale sau a unei expresii cu variabile pentru valorile date ale literelor sau valorile selectate ale variabilelor este după cum urmează: trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor sau variabilelor în expresia originală și să calculați valoarea expresiei numerice rezultate; este valoarea dorită.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 0,5·x−y la x=2,4 și y=5.

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea necesară a expresiei, mai întâi trebuie să înlocuiți valorile date ale variabilelor în expresia originală și apoi să efectuați următorii pași: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Răspuns:

−3,8 .

Ca o notă finală, uneori efectuarea de conversii pe expresii literale și variabile va da valorile acestora, indiferent de valorile literelor și variabilelor. De exemplu, expresia x+3−x poate fi simplificată, după care va lua forma 3. Din aceasta putem concluziona că valoarea expresiei x+3−x este egală cu 3 pentru orice valoare a variabilei x din intervalul său de valori admisibile (APV). Un alt exemplu: valoarea expresiei este egală cu 1 pentru toate valorile pozitive ale lui x, deci intervalul de valori permise ale variabilei x în expresia originală este setul de numere pozitive, iar în acest interval egalitatea tine.

Bibliografie.

• Matematică: manual pentru clasa a 5-a. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VII-a educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M.: Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.

Expresie numerică– aceasta este orice înregistrare de numere, simboluri aritmetice și paranteze. O expresie numerică poate consta pur și simplu dintr-un număr. Amintiți-vă că operațiile aritmetice de bază sunt „adunare”, „scădere”, „înmulțire” și „împărțire”. Aceste acțiuni corespund semnelor „+”, „-”, „∙”, „:”.

Desigur, pentru a obține o expresie numerică, înregistrarea numerelor și a simbolurilor aritmetice trebuie să aibă sens. Deci, de exemplu, o astfel de intrare 5: + ∙ nu poate fi numită expresie numerică, deoarece este un set aleatoriu de simboluri care nu are sens. Dimpotrivă, 5 + 8 ∙ 9 este deja o expresie numerică reală.

Valoarea unei expresii numerice.

Să spunem imediat că dacă efectuăm acțiunile indicate în expresia numerică, atunci ca rezultat vom obține un număr. Acest număr este numit valoarea unei expresii numerice.

Să încercăm să calculăm ce vom obține ca urmare a efectuării acțiunilor din exemplul nostru. După ordinea în care se efectuează operațiile aritmetice, mai întâi efectuăm operația de înmulțire. Înmulțim 8 cu 9. Obținem 72. Acum adunăm 72 și 5. Obținem 77.
Deci, 77 - sens expresie numerică 5 + 8 ∙ 9.

Egalitatea numerică.

Puteți scrie astfel: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aici am folosit semnul „=" („Egal”) pentru prima dată. Se numește o astfel de notație în care două expresii numerice sunt separate prin semnul „=”. egalitate numerică. În plus, dacă valorile părților stânga și dreaptă ale egalității coincid, atunci egalitatea se numește credincios. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – egalitate corectă.
Dacă scriem 5 + 8 ∙ 9 = 100, atunci aceasta va fi deja falsă egalitate, deoarece valorile părților stânga și dreaptă ale acestei egalități nu mai coincid.

De remarcat că în exprimarea numerică putem folosi și paranteze. Parantezele afectează ordinea în care sunt efectuate acțiunile. Deci, de exemplu, să ne modificăm exemplul adăugând paranteze: (5 + 8) ∙ 9. Acum trebuie mai întâi să adunăm 5 și 8. Obținem 13. Și apoi înmulțim 13 cu 9. Obținem 117. Astfel, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – sens expresie numerică (5 + 8) ∙ 9.

Pentru a citi corect o expresie, trebuie să determinați care acțiune este efectuată ultima pentru a calcula valoarea unei anumite expresii numerice. Deci, dacă ultima acțiune este scăderea, atunci expresia se numește „diferență”. În consecință, dacă ultima acțiune este sumă - „sumă”, împărțire – „cot”, înmulțire – „produs”, exponențiere – „putere”.

De exemplu, expresia numerică (1+5)(10-3) arată astfel: „produsul sumei numerelor 1 și 5 și diferența numerelor 10 și 3”.

Exemple de expresii numerice.

Iată un exemplu de expresie numerică mai complexă:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Această expresie numerică folosește numere prime, fracții comune și zecimale. Se mai folosesc semnele de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Linia de fracție înlocuiește și semnul de împărțire. În ciuda complexității aparente, găsirea valorii acestei expresii numerice este destul de simplă. Principalul lucru este să poți efectua operații cu fracții, precum și să faci calcule cu atenție și precizie, respectând ordinea în care sunt efectuate acțiunile.

În paranteze avem expresia $\frac(1)(4)+3.75$ . Transformați fracția zecimală 3,75 într-o fracție comună.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Asa de, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

În continuare, la numărătorul fracției \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] avem expresia 1,25+3,47+4,75-1,47. Pentru a simplifica această expresie, aplicăm legea comutativă a adunării, care spune: „Suma nu se modifică prin schimbarea locurilor termenilor”. Adică 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

În numitorul fracției expresia $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Primim $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1 $

Când expresiile numerice nu au sens?

Să ne uităm la un alt exemplu. În numitorul fracției $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ valoarea expresiei $3\centerdot 3-9$ este 0. Și, după cum știm, împărțirea la zero este imposibilă. Prin urmare, fracția $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nu are sens. Se spune că expresiile numerice care nu au nici un sens nu au „sens”.

Dacă folosim litere în plus față de numere în expresie numerică, atunci vom avea