Anterior noi funcţie dată, ghidat de diverse formule și reguli, și-a găsit derivatul. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1. Un punct material se mișcă în linie dreaptă, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Pentru a face problema mai specifică, trebuia să remediem situația inițială: indicați coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
În matematică, se atribuie operații reciproce nume diferite, vino cu denumiri speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, A operare inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, - integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y = f(x) „produce” caracteristică nouă y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca și cum ar fi un „părinte”, dar matematicienii, firesc, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y” = f"(x) , imagine primară sau primitivă.
Definiţie. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)
În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).
Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată
Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).
Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.
Metode de integrare
Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)
Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unui nou variabila de integrare(adică substituții). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.
Integrare pe părți
Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă pentru integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Clasa de funcții iraționale este foarte largă, așa că pur și simplu nu poate exista o modalitate universală de a le integra. În acest articol vom încerca să identificăm cele mai caracteristice tipuri de funcții integrante iraționale și să le asociem metoda de integrare.
Există cazuri când este oportun să se folosească metoda de abonare la semnul diferențial. De exemplu, când se găsesc integrale nedefinite de formă, unde p– fracția rațională.
Exemplu.
Găsi integrală nedefinită 
.
Soluţie.
Nu este greu de observat asta. Prin urmare, îl punem sub semnul diferențial și folosim tabelul de antiderivate: 
Răspuns:
.
13. Substituție liniară fracțională
Integrale de tipul în care a, b, c, d sunt numere reale, a, b,..., d, g sunt numere naturale, sunt reduse la integrale ale unei funcții raționale prin substituție, unde K este cel mai mic multiplu comun al numitorii fracțiilor
Într-adevăr, din înlocuire rezultă că
adică x și dx sunt exprimate prin funcții raționale ale lui t. Mai mult, fiecare grad al fracției este exprimat printr-o funcție rațională a lui t.
Exemplul 33.4. Găsiți integrala 
Rezolvare: Cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor 2/3 și 1/2 este 6.
Prin urmare, punem x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Prin urmare,
Exemplul 33.5. Specificați înlocuirea pentru găsirea integralelor:
Rezolvare: Pentru substituția I 1 x=t 2, pentru substituția I 2
14. Substituția trigonometrică
Integralele de tip sunt reduse la integrale ale funcțiilor care depind rațional de funcțiile trigonometrice folosind următoarele substituții trigonometrice: x = a sint pentru prima integrală; x=a tgt pentru a doua integrală;
Exemplul 33.6. Găsiți integrala 
Rezolvare: Să punem x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Apoi
Aici integrandul este o funcție rațională în raport cu x și 
Selectând un pătrat complet sub radical și făcând o înlocuire, integralele de tipul indicat sunt reduse la integrale de tipul deja considerat, adică la integrale de tipul 
Aceste integrale pot fi calculate folosind substituții trigonometrice adecvate.
Exemplul 33.7. Găsiți integrala 
Rezolvare: Deoarece x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atunci x+1=t, x=t-1, dx=dt. De aceea 
Să punem 
Notă: tip integral 
Este oportun să se găsească folosind substituția x=1/t.
15. Integrală determinată
Să fie definită o funcție pe un segment și să aibă o antiderivată asupra acestuia. Diferența se numește integrală definită funcțiile de-a lungul segmentului și denotă. Aşa,
Diferența se scrie în formă, atunci 
. Se numesc numere limitele integrării
.
De exemplu, unul dintre antiderivate pentru o funcție. De aceea
16 . Dacă c este un număr constant și funcția ƒ(x) este integrabilă pe , atunci
adică factorul constant c poate fi scos din semnul integralei definite.
▼Să compunem suma integrală pentru funcția cu ƒ(x). Avem:
Apoi rezultă că funcția c ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și formula (38.1) este valabilă.▲
2. Dacă funcțiile ƒ 1 (x) și ƒ 2 (x) sunt integrabile pe [a;b], atunci integrabile pe [a; b] suma lor u
adică integrala sumei este egală cu suma integralelor.
▼ 
▲
Proprietatea 2 se aplică sumei oricărui număr finit de termeni.
3.
Această proprietate poate fi acceptată prin definiție. Această proprietate este confirmată și de formula Newton-Leibniz.
4. Dacă funcţia ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și a< с < b, то
adică integrala pe întregul segment este egală cu suma integralelor peste părțile acestui segment. Această proprietate se numește aditivitatea unei integrale definite (sau proprietatea aditivității).
La împărțirea segmentului [a;b] în părți, includem punctul c în numărul de puncte de împărțire (acest lucru se poate face datorită independenței limitei sumei integrale de metoda de împărțire a segmentului [a;b] în părți). Dacă c = x m, atunci suma integrală poate fi împărțită în două sume:
Fiecare dintre sumele scrise este integrală, respectiv, pentru segmentele [a; b], [a; s] și [s; b]. Trecând la limita în ultima egalitate ca n → ∞ (λ → 0), obținem egalitatea (38.3).
Proprietatea 4 este valabilă pentru orice locație a punctelor a, b, c (presupunem că funcția ƒ (x) este integrabilă pe cel mai mare dintre segmentele rezultate).
Deci, de exemplu, dacă a< b < с, то
(au fost utilizate proprietățile 4 și 3).
5. „Teorema valorilor medii.” Dacă funcția ƒ(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci există o tonka cu є [a; b] astfel încât
▼După formula Newton-Leibniz avem
unde F"(x) = ƒ(x). Aplicând teorema Lagrange (teorema incrementului finit al unei funcții) la diferența F(b)-F(a), obținem
F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲
Proprietatea 5 („teorema valorii medii”) pentru ƒ (x) ≥ 0 are o semnificație geometrică simplă: valoarea integralei definite este egală, pentru unele c є (a; b), cu aria unui dreptunghi cu înălțimea ƒ (c) și baza b-a ( vezi fig. 170). Număr 
se numește valoarea medie a funcției ƒ(x) pe intervalul [a; b].
6. Dacă funcţia ƒ (x) îşi menţine semnul pe segmentul [a; b], unde a< b, то интегралимеет
тот же знак, что и функция. Так, если
ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼ Prin „teorema valorii medii” (proprietatea 5)
unde c є [a; b]. Și deoarece ƒ(x) ≥ 0 pentru tot x О [a; b], atunci
ƒ(с)≥0, b-а>0.
Prin urmare ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. 
▲
7. Inegalitatea între funcțiile continue pe intervalul [a; b], (a
▼Deoarece ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, atunci când un< b, согласно свойству 6, имеем
Sau, conform proprietății 2,
Rețineți că este imposibil să diferențiezi inegalitățile.
8. Estimarea integralei. Dacă m și M sunt, respectiv, cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției y = ƒ (x) pe segmentul [a; b], (a< b), то
▼Deoarece pentru orice x є [a;b] avem m≤ƒ(x)≤M, atunci, conform proprietății 7, avem
Aplicând proprietatea 5 integralelor extreme, obținem
▲
Dacă ƒ(x)≥0, atunci proprietatea 8 este ilustrată geometric: aria unui trapez curbiliniu este închisă între zonele dreptunghiurilor a căror bază este , și ale căror înălțimi sunt m și M (vezi Fig. 171).
9. Modulul unei integrale definite nu depășește integrala modulului integrandului:
▼Aplicând proprietatea 7 inegalităților evidente -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, obținem
Rezultă că
▲
10. Derivata unei integrale definite fata de o limita superioara variabila este egala cu integrandul in care variabila de integrare este inlocuita cu aceasta limita, i.e.
Calcularea ariei unei figuri este una dintre cele mai dificile probleme din teoria ariei. La cursul de geometrie a școlii, am învățat să găsim zonele formelor geometrice de bază, de exemplu, un cerc, triunghi, romb etc. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Când rezolvați astfel de probleme, trebuie să recurgeți la calculul integral.
În acest articol vom lua în considerare problema calculării ariei unui trapez curbiliniu și o vom aborda într-un sens geometric. Acest lucru ne va permite să aflăm legătura directă dintre integrala definită și aria unui trapez curbiliniu.
Definiția 1
Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$, definite pe un anumit segment, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.
Comentariu
Definiția 2 poate fi scrisă după cum urmează:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Nu orice funcție irațională poate fi exprimată ca o integrală prin funcții elementare. Cu toate acestea, majoritatea acestor integrale pot fi reduse folosind substituții la integrale ale funcțiilor raționale, care pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.
eu
La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:
Cu această substituție, fiecare putere fracțională a variabilei $x$ este exprimată printr-o putere întreagă a variabilei $t$. Ca urmare, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.
Exemplul 1
Efectuați integrarea:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Soluţie:
$k=4$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrice)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
II
Când găsiți o integrală de forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:
unde $k$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
Ca urmare a acestei substituții, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.
Exemplul 2
Efectuați integrarea:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Soluţie:
Să facem următoarea înlocuire:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \dreapta|+C\]
După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \dreapta|+C.\]
III
La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realizează așa-numita substituție Euler (una dintre cele trei substituții posibile este folosit).
Prima înlocuire a lui Euler
Pentru cazul $a>
Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(a) $, obținem
Exemplul 3
Efectuați integrarea:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
Soluţie:
Să facem următoarea înlocuire (cazul $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
A doua înlocuire a lui Euler
Pentru cazul $c>0$ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:
Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(c) $, obținem
Exemplul 4
Efectuați integrarea:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Soluţie:
Să facem următoarea înlocuire:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ După ce am făcut invers înlocuire, obținem rezultatul final:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrice)\]
A treia înlocuire a lui Euler
Să considerăm integralele cu rădăcini fracționale funcţie liniară:
(1)
,
unde R este funcția rațională a argumentelor sale. Adică, o funcție compusă din argumentele sale și constantele arbitrare folosind un număr finit de operații de adunare (scădere), înmulțire și împărțire (creștere la o putere întreagă).
Exemple de integrale considerate cu iraționalitate liniară fracțională
Să dăm exemple de integrale cu rădăcini ale formei (1) .
Exemplul 1
Deși aici semnul integral include rădăcini de diferite grade, expresia integrand poate fi transformată astfel:
;
;
.
Astfel, integrantul este alcătuit din variabila de integrare x și rădăcina funcției liniare folosind un număr finit de operații de scădere, împărțire și înmulțire. Prin urmare, este o funcție rațională a lui x și și aparține tipului luat în considerare (1)
cu valori constante n = 6
,
α = β = δ = 1
,
γ = 0
:
.
Exemplul 2
Aici facem conversia:
.
Aceasta arată că integrandul este o funcție rațională a lui x și .
Prin urmare, aparține tipului în cauză.
Exemplu general de iraționalitate liniară fracțională În mai mult caz general
(2)
,
, integrandul poate include orice număr finit de rădăcini ale aceleiași funcții fracționale liniare:
unde R este funcția rațională a argumentelor sale,
- numere raționale, m 1, n 1, ..., m s, n s
- numere întregi.
,
Într-adevăr, să fie n numitorul comun al numerelor r 1, ..., r s. Apoi ele pot fi reprezentate ca: unde k (2)
1 , k 2 , ..., k s
,
,
. . . . .
.
- numere întregi. Apoi toată lumea inclusă în (2)
rădăcinile sunt puteri ale:
.
Adică întregul integrand
format din x și rădăcina folosind un număr finit de operații de adunare, înmulțire și împărțire. Prin urmare, este o funcție rațională a lui x și:
(1)
Metoda de integrare a rădăcinilor
(3)
.
Integrală cu iraționalitate liniară fracțională
se reduce la integrala unei funcţii raţionale prin substituţie (3)
:
.
Dovada (3)
:
;
;
.
Extragerea rădăcinii de gradul n din ambele părți
;
;
.
Să ne transformăm
.
Găsirea derivatei: (1)
:
.
Diferenţial:
Înlocuiește în
Aceasta arată că funcția integrand este compusă din constante și o variabilă de integrare t folosind un număr finit de operații de adunare (scădere), înmulțire (creștere la o putere întreagă) și împărțire. Prin urmare, integrandul este o funcție rațională a variabilei de integrare. Astfel, calculul integralei s-a redus la integrarea unei funcții raționale. Q.E.D.
Exemplu de integrare a iraționalității liniare
Găsiți integrala: 1 , iar integrandul se formează folosind operațiile de scădere și împărțire, atunci această integrală aparține tipului luat în considerare.
Să transformăm integrandul astfel încât să includă rădăcini de același grad:
;
;
.
Efectuarea unei înlocuiri
x+ 1 = t 6.
Să luăm diferența:
d (x + 1) = dx = (
t 6 )′
dt = 6 t 5 dt.
Să înlocuim:
x = t 6 - 1
;
;
;
.
Selectăm întreaga parte a fracției, observând că
t 6 - 1 =
(t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Apoi
.
Răspuns
,
Unde .
Exemplu de integrare a iraționalității fracționale-liniare
Găsiți integrala
Exemplu de integrare a iraționalității liniare
Să selectăm rădăcina funcției fracționale liniare:
.
Apoi
.
Efectuarea unei înlocuiri
.
Luați diferența
.
Găsirea derivatei
.
Apoi
.
În continuare observăm că
.
Înlocuiți în integrand
.
Răspuns
Literatura folosita:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.
