Găsiți rangul unei matrice: metode și exemple. Rangul matricei

Elementar următoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană) înmulțit cu un număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent dacă una dintre ele este obţinută din cealaltă folosind o mulţime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie astfel: A ~ B.

Cea canonică o matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi egal cu zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Prin transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la cea canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

A =

şi să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Scădeți primul din a doua linie și rearanjați aceste linii:

.

Acum, scădeți primul din a doua și a treia linie, înmulțit cu 2 și, respectiv, 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem matricea

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din aceasta folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este egal cu 2 și, prin urmare, r (A) = 2. Matricea B poate fi ușor redusă la cea canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, convertim la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, să punem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și să obținem matricea canonică:

.

Teorema Kroonecker - Capelli- criteriul de compatibilitate pentru un sistem de ecuații algebrice liniare:

Pentru ca un sistem liniar să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Dovada (condiții de compatibilitate pentru sistem)

Nevoie

Lasa sistem comun. Apoi sunt numere astfel încât. Prin urmare, o coloană este o combinație liniară de coloane matrice. Deoarece rangul unei matrice nu se va schimba dacă din sistemul rândurilor (coloanelor) acesteia ștergem sau atribuim un rând (coloană) care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane) rezultă că.

Adecvarea

Lasa . Să luăm unele minore de bază în matrice. Deoarece, va fi și baza minoră a matricei. Apoi, conform teoremei de bază minor, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei. Prin urmare, coloana de membri liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei.

Consecințe

Numărul de variabile principale sisteme este egal cu rangul sistemului.

Comun sistem va fi determinată (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.

Sistem omogen de ecuații

Oferi15 . 2 Sistem omogen de ecuații

este întotdeauna comună.

Dovada... Pentru acest sistem, mulțimea numerelor,,, este o soluție.

În această secțiune, vom folosi notația matriceală de sistem:.

Oferi15 . 3 Suma soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. O soluție înmulțită cu un număr este și ea o soluție.

Dovada... Lasă-le să servească drept soluții pentru sistem. Apoi și. Lasa . Atunci

Din moment ce, atunci - soluția.

Fie un număr arbitrar,. Atunci

Din moment ce, atunci - soluția.

Consecinţă15 . 1 Dacă un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție diferită de zero, atunci are infinite de soluții diferite.

Într-adevăr, înmulțind o soluție diferită de zero cu numere diferite, vom obține soluții diferite.

Definiție15 . 5 Vom spune că soluții forme de sisteme sistem fundamental de decizie dacă coloane formează un sistem liniar independent și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor coloane.

Numărul r se numește rangul matricei A dacă:
1) matricea A conține un minor de ordinul r, diferit de zero;
2) toți minorii de ordin (r + 1) și mai mari, dacă există, sunt egali cu zero.
În caz contrar, rangul matricei este cel mai mare ordin minor diferit de zero.
Denumiri: rangA, r A sau r.
Din definiție rezultă că r este un număr întreg pozitiv. Pentru o matrice nulă, rangul este considerat zero.

Scopul serviciului... Calculatorul online este conceput pentru a găsi rangul matricei... În acest caz, soluția este salvată în format Word și Excel. vezi exemplu de solutie.

Instruire. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Definiție . Fie dată o matrice de rang r. Orice minor al unei matrice, alta decât zero și având ordinul r se numește de bază, iar rândurile și coloanele componentelor sale sunt numite rânduri și coloane de bază.
Conform acestei definiții, matricea A poate avea mai multe minore de bază.

Rangul matricei de identitate E este n (numarul de randuri).

Exemplul 1. Sunt date două matrice, și minorii lor , ... Care dintre ele poate fi luată ca bază?
Soluţie... Minor M 1 = 0, deci nu poate fi de bază pentru niciuna dintre matrice. Minor M 2 = -9 ≠ 0 și are ordinul 2, deci poate fi luat ca matrice de bază A sau / și B, cu condiția ca acestea să aibă ranguri egale cu 2. Deoarece detB = 0 (ca determinant cu două coloane proporționale), atunci rangB = 2 și M 2 pot fi luate ca bază minoră a matricei B. Rangul matricei A este 3, deoarece detA = -27 ≠ 0 și , prin urmare, ordinea minorului de bază al acestei matrice trebuie să fie egală cu 3, adică M 2 nu este de bază pentru matricea A. Rețineți că matricea A are un singur minor de bază, care este egal cu determinantul matricei A.

Teoremă (pe minoră de bază). Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.
Corolare din teoremă.

1. Orice (r + 1) coloane (rânduri) ale unei matrice de rang r sunt dependente liniar.
2. Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul rândurilor (coloanelor) sale, atunci rândurile (coloanelor) sale sunt dependente liniar. Dacă rangA este egal cu numărul de rânduri (coloane) sale, atunci rândurile (coloanele) sunt liniar independente.
3. Determinantul matricei A este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) ale acesteia sunt dependente liniar.
4. Dacă unui rând (coloană) a matricei adăugăm un alt rând (coloană) înmulțit cu orice număr altul decât zero, atunci rangul matricei nu se va modifica.
5. Dacă un rând (coloană) din matrice este tăiat, care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), atunci rangul matricei nu se va schimba.
6. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale acesteia.
7. Numărul maxim de rânduri liniar independente este același cu numărul maxim de coloane liniar independente.

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice .
Soluţie. Pe baza definiției rangului unei matrice, vom căuta un minor de ordinul cel mai înalt, altul decât zero. Mai întâi, transformăm matricea într-o formă mai simplă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primul rând al matricei cu (-2) și adăugați la al doilea, apoi înmulțiți-l cu (-1) și adăugați la al treilea.

Să fie dată o matrice:

.

Selectăm în această matrice linii arbitrare şi coloane arbitrare
... Apoi determinantul ordinul, compus din elemente de matrice
situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate se numește minor -matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. După rangul matricei
se numește cel mai mare ordin al minorului acestei matrice, altul decât zero.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să luăm în considerare toți minorii ei de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, să trecem la considerarea minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare pentru determinarea rangului unei matrice se numește metoda limită (sau metoda minorilor limită).

Sarcina 1.4. Folosind metoda minorilor învecinați, determinați rangul matricei
.

.

Luați în considerare, de exemplu, o margine de primă ordine
... Apoi trecem la considerarea unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm marginea de ordinul trei.

.

Astfel, ordinul cel mai înalt al unui minor diferit de zero este 2, prin urmare
.

Când se rezolvă problema 1.4, se poate observa că un număr de minori de ordinul doi sunt diferit de zero. În acest sens, are loc următorul concept.

Definiția 1.14. Un minor de bază al unei matrice este orice minor diferit de zero a cărui ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema minoră de bază). Rândurile de referință (coloanele de referință) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri liniar independente ale matricei este egal cu numărul de coloane liniar independente ale matricei și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(O condiție necesară și suficientă pentru dispariția determinantului). Pentru ca determinantul -a comanda a fost egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza utilizării definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordine superioare. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricelor și transformărilor elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
și sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică
.

Dacă matrice
și sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul matricei nu se schimbă de la transformările elementare.

Vom numi transformări elementare ale matricei
oricare dintre următoarele acțiuni asupra matricei:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Permutarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii, ale cărei toate elementele sunt egale cu zero;

Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

Adăugând la elementele unui rând elementele corespunzătoare ale altui rând înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricele
și sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală folosind un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi o formă trapezoidală de reprezentare a unei matrice atunci când în minorul limită de ordinul cel mai înalt nenule toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

.

Aici
, elemente de matrice
dispărea. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt convertite într-o formă trapezoidală utilizând algoritmul gaussian. Ideea algoritmului Gauss este că prin înmulțirea elementelor primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
ar dispărea. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu factorii corespunzători, obținem ca toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
ar dispărea. Apoi procedați în același mod.

Sarcina 1.5. Determinați rangul matricei prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

.

Pentru confortul utilizării algoritmului gaussian, puteți schimba prima și a treia linie.








.

Evident aici
... Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, puteți continua transformările pe coloane.










.

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol, vom prezenta conceptul de rang al unei matrice și vom lua în considerare metodele de găsire a acesteia. Pentru o mai bună asimilare a materialului, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și a conceptelor suplimentare necesare.

Înainte de a anunța definirea rangului unei matrice, ar trebui să înțelegem bine conceptul de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Așa că recomandăm, dacă este necesar, să reamintim teoria articolului, metodele de găsire a determinantului matricei, proprietățile determinantului.

Luați o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Minor de ordinul k al matricei A se numește determinantul matricei pătrate a ordinului, compusă din elementele matricei A, care se află în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează. .

Cu alte cuvinte, dacă ștergem (p – k) rânduri și (n – k) coloane din matricea A, și formăm o matrice din elementele rămase, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate. este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să scriem mai multe minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde minorului de ordinul întâi. ... Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am alcătuit determinantul din elementul rămas. Dacă selectăm primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul I
și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale matricei sunt elementele matricei în sine.

Arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, să luăm primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere, avem un minor de ordinul doi ... Acest minor ar putea fi format și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este.

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
și .

Minorii de ordinul al treilea al matricei A pot fi întâlniți în mod similar. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă alegem primele trei coloane pentru aceste rânduri, atunci obținem un minor de ordinul trei

Poate fi construit și prin ștergerea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată un desen care arată construcția acestor minori de ordinul trei.
și .

Pentru o anumită matrice A, minore de ordin mai mari decât a treia nu există, deoarece.

Câte minore de ordinul k a matricei A de ordin există?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca, unde și - numărul de combinații de la p la k și, respectiv, de la n la k.

Cum se construiesc toate minorele de ordin k ale matricei A de ordinul p prin n?

Avem nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de linii, adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente cu k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, atunci totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 cu 2 numere de rânduri ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de numere de coloană 3 cu 2 sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Luați primul și al doilea rând al matricei A. Alegând la aceste rânduri prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, se găsesc toți cei nouă minori de ordinul doi ai matricei A.

Acum puteți trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei Este ordinul cel mai înalt al unui minor diferit de zero într-o matrice.

Rangul matricei A este denumit Rangul (A). De asemenea, puteți găsi denumirile Rg (A) sau Rang (A).

Din definițiile rangului unei matrice și a unui minor al unei matrice, putem concluziona că rangul unei matrice zero este zero, iar rangul unei matrice nenule este cel puțin unul.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda forței brute... Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, repetăm ​​minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi diferit de zero, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei, iar rangul matricei este de cel puțin doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem peste minorii de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său este de cel puțin unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea. Toti lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang (A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda minorilor limită.

Există și alte metode pentru a găsi rangul unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda minoră limită.

Să ne ocupăm de minor învecinat.

Se spune că minorul M ok de ordinul (k + 1) al matricei A mărginește M minorul de ordinul k al matricei A, dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minor M.

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginit M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul doi. Să notăm toți minorii la graniță:

Metoda limitării minorilor este fundamentată de următoarea teoremă (prezentăm formularea acesteia fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al matricei A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k + 1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a afla rangul unei matrice, nu este necesar să se itera pe toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei de ordine A se găsește prin formula ... Rețineți că minorii care mărginesc minorul de ordin k al matricei A nu sunt mai mult decât minorii de ordinul -al (k + 1) ale matricei A. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, utilizarea metodei minorilor învecinați este mai profitabilă decât o simplă enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei prin metoda minorilor învecinați. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A, altul decât zero. Luați în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor la graniță diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci rangul (A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii învecinați. etc. Ca rezultat, Rangul (A) = k, dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rangul (A) = min (p, n), dacă există o valoare diferită de zero. minor care mărginește minorul de ordin (min ( p, n) - 1).

Să analizăm metoda minorilor învecinați pentru găsirea rangului unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor care nu se limitează la zero:

A găsit un minor învecinat de ordinul doi, altul decât zero. Să-i rezolvăm pe minorii învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care mărginesc minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang (A) = 2.

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor de ordinul întâi diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul de flancare de ordinul doi nu este zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei.
... Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang (A) = 3.

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Luați în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• permutarea rândurilor (sau coloanelor) ale matricei;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k altul decât zero;
• adunând la elementele oricărui rând (coloană) elementele corespunzătoare din alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A dacă B se obţine din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbolul „~”, adică se scrie A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rangul (A) = Rangul (B).

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rândurile (sau coloanele) unei matrice sunt rearanjate, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci la permutarea rândurilor (coloanelor) rămâne egal cu zero.
• Când toate elementele oricărui rând (coloană) a matricei sunt înmulțite cu un număr arbitrar k altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui rând (coloană) al matricei a elementelor corespunzătoare unui alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr k, nu schimbă determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei, al cărei rang trebuie să-l găsim, la un trapez (într-un caz particular, la triunghiul superior) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest fel este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și întrucât rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Iată câteva ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Forma lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu. În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notăm cu A (1):

La elementele celui de-al doilea rând al matricei rezultate A (1), se adaugă elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu. La elementele din al treilea rând, adăugați elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu. Și așa mai departe până la linia p-a. Obținem o matrice echivalentă, o notăm cu A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate, situate în rânduri de la a doua la p-a, sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal cu unu.

Dacă există cel puțin un element diferit de zero în rândurile de la al doilea până la pth, atunci continuăm să efectuăm transformările. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea din matricea A marcată în figura (2)

Dacă, atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.

Asa de, . Înmulțim fiecare element din al doilea rând al matricei A (2) cu. Obținem matricea echivalentă A (3):

La elementele celui de-al treilea rând al matricei rezultate A (3) adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu. La elementele din al patrulea rând, adăugați elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu. Și așa mai departe până la linia p-a. Obținem o matrice echivalentă, o notăm cu A (4):

Dacă toate elementele matricei rezultate, situate în rânduri de la a treia la pth, sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este doi și, prin urmare, rangul (A) = 2.

Dacă există cel puțin un element diferit de zero în rândurile de la al treilea la al treilea, atunci continuăm să efectuăm transformările. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea de matrice marcată în figură

Elementul este diferit de zero, deci putem înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei A (2) cu:

La elementele celui de-al treilea rând al matricei rezultate, se adaugă elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu; la elementele liniei a patra - elementele liniei a doua, înmulțite cu; la elementele liniei a cincea - elementele liniei a doua, înmulțite cu:

Toate elementele rândurilor al treilea, al patrulea și al cincilea ale matricei rezultate sunt egale cu zero. Deci, folosind transformări elementare, am redus matricea A la o formă trapezoidală, din care se poate observa că Rangul (A (4)) = 2. Prin urmare, rangul matricei originale este, de asemenea, doi.

Aceasta transformă prima coloană în vizualizarea dorită.

Elementul din matricea rezultată este diferit de zero. Să înmulțim elementele din a doua linie cu:

A doua coloană a matricei rezultate are forma dorită, deoarece elementul este deja egal cu zero.

Deoarece, a, vom schimba pozițiile coloanei a treia și a patra:

Să înmulțim al treilea rând al matricei rezultate cu:

Aceasta încheie transformarea. Obținem rang (A (5)) = 3, prin urmare, rang (A) = 3.

Răspuns:

Rangul matricei originale este de trei.

Rezuma.

Am examinat conceptul de rang de matrice și am luat în considerare trei moduri de a-l găsi:

• determinat prin metoda de enumerare a tuturor minorilor;
• prin metoda limitării minorilor;
• prin metoda transformărilor elementare.

Este întotdeauna recomandabil să folosiți metoda transformărilor elementare atunci când găsiți rangul unei matrice, deoarece duce la un rezultat cu mai puține calcule decât metoda minorilor învecinați și cu atât mai mult în comparație cu metoda de enumerare a tuturor minorilor unei matrice. matrice.