Pe aceasta pagina veti gasi:
1. De fapt, tabelul de antiderivate - îl puteți descărca în format PDFși tipăriți;
2. Video despre cum se utilizează acest tabel;
3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.
În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care este necesar să se calculeze antiderivatele funcțiilor, care sunt adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt exponențiale. Toate funcțiile rezumate în tabelul de mai sus, trebuie să le cunoașteți pe de rost, cum ar fi derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru rezolvarea problemelor practice este imposibil.
Astăzi continuăm să ne ocupăm de antiderivate și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută am considerat antiderivate doar din funcții de putere și construcții ceva mai complexe, astăzi vom analiza trigonometria și multe altele.
După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivate, nu sunt niciodată rezolvate „în cap” folosind reguli standard. În plus, vesti proaste constă în faptul că, spre deosebire de derivat, antiderivatul poate să nu fie luat în considerare deloc. Daca scriem perfect functie aleatorieși vom încerca să-i găsim derivata, atunci este foarte probabil să reușim, dar antiderivatul nu este socotit aproape niciodată în acest caz. Dar există și Vești bune: există o clasă destul de extinsă de funcții numite elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de numărat. Și toate celelalte construcții mai complexe care se dau pe tot felul de control, independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Antiderivatele unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și rezumate în tabele speciale. Cu astfel de funcții și tabele vom lucra astăzi.
Dar vom începe, ca întotdeauna, cu repetarea: să ne amintim ce este un antiderivat, de ce sunt infinit de multe și cum să le definim. forma generala... Pentru aceasta am selectat două sarcini simple.
Rezolvarea de exemple ușoare
Exemplul nr. 1
Rețineți imediat că $ \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (6) $ și, în general, prezența $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ text () $ ne sugerează imediat că funcția dorită antiderivată este legată de trigonometrie. Într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, aflăm că $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ nu este altceva decât $ \ text (arctg) x $. Deci vom nota:
Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:
\ [\ frac (\ pi) (6) = \ text (arctg) \ sqrt (3) + C \]
\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]
Exemplul nr. 2
Si aici este vorba despre funcțiile trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, se va dovedi astfel:
Avem nevoie, printre toate setul de antiderivate, să-l găsim pe cel care trece prin punctul specificat:
\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]
\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]
Să o scriem definitiv:
Este atat de simplu. Singura problemă este numărarea antiderivatelor funcții simple, trebuie să înveți tabelul antiderivatelor. Cu toate acestea, după ce am examinat tabelul de derivate pentru dvs., cred că nu va fi o problemă.
Rezolvarea problemelor care conțin funcție exponențială
Mai întâi, să scriem următoarele formule:
\ [((e) ^ (x)) \ la ((e) ^ (x)) \]
\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]
Să vedem cum funcționează totul în practică.
Exemplul nr. 1
Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul de antiderivate nu există o astfel de expresie ca $ ((e) ^ (x)) $ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:
Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:
\ [((e) ^ (2x)) = ((\ stânga (((e) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ stânga (((e) ^) (2)) \ dreapta)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]
\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ stânga (((e) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ stânga (((e) ) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]
Și acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:
Exemplul nr. 2
De data aceasta, exponentul este deja mai mare, așa că formula pentru înmulțirea prescurtată va fi destul de complicată. Deci, să extindem parantezele:
Acum vom încerca să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:
După cum puteți vedea, funcția exponențială primitivă nu este nimic complicat și supranatural. Toate sunt numărate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $ ((e) ^ (2x)) $ este mult mai aproape de $ ((e) ^ (x)) $ decât de $ ((a) ^ (x )) $. Deci, poate există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivata $ ((e) ^ (x)) $, să găsească $ ((e) ^ (2x)) $? Da, există o astfel de regulă. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. O vom analiza acum folosind exemplul acelorași expresii cu care tocmai am lucrat.
Reguli de lucru cu tabelul de antiderivate
Să scriem din nou funcția noastră:
În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:
\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ operatorname (lna)) \]
Dar acum vom acționa puțin diferit: amintiți-vă pe ce bază $ ((e) ^ (x)) \ la ((e) ^ (x)) $. După cum sa spus deja, deoarece derivata $ ((e) ^ (x)) $ nu este altceva decât $ ((e) ^ (x)) $, deci antiderivata sa va fi egală cu același $ ((e) ^ ( x)) $. Dar problema este că avem $ ((e) ^ (2x)) $ și $ ((e) ^ (- 2x)) $. Acum să încercăm să găsim derivata $ ((e) ^ (2x)) $:
\ [((\ stânga (((e) ^ (2x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ stânga (2x \ dreapta)) ^ ( \ prim)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]
Să rescriem construcția noastră din nou:
\ [((\ stânga (((e) ^ (2x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]
\ [((e) ^ (2x)) = ((\ stânga (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]
Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $ ((e) ^ (2x)) $ obținem următoarele:
\ [((e) ^ (2x)) \ to \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]
După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $ ((a) ^ (x)) $. Acum poate părea o prostie: de ce să complicați calculele când există o formulă standard? Totuși, în puțin mai mult expresii complexe veți constata că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.
Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $ ((e) ^ (2x)) $ într-un mod similar:
\ [((\ stânga (((e) ^ (- 2x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ stânga (-2 \ dreapta) \]
\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ stânga (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]
La calcul, construcția noastră se va scrie după cum urmează:
\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]
\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]
Am obținut exact același rezultat, dar în același timp am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, se va dovedi mai târziu a fi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.
Notă! Aceasta este foarte punct important: atât antiderivatele cât și derivatele pot fi numărate ca un set căi diferite... Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru pe exemplul lui $ ((e) ^ (- 2x)) $ - pe de o parte, am numărat acest antiderivat „direct”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e) ^ (- 2x)) $ poate fi reprezentat ca $ ((\ stânga (((e) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (x)) $ și abia apoi a folosit antiderivată pentru funcția $ ( (a) ^ (x)) $. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul este același cu cel așteptat.
Și acum că am înțeles toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai substanțial. Acum vom analiza două structuri simple, totuși, tehnica care va fi folosită în rezolvarea lor este mai puternică și unealtă folositoare, mai degrabă decât o simplă „curgere” între antiderivate adiacente din tabel.
Rezolvarea problemelor: găsiți antiderivată a unei funcții
Exemplul nr. 1
Să împărțim suma numărătorilor în trei fracții separate:
Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:
Acum să ne amintim această formulă:
În cazul nostru, obținem următoarele:
Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:
Exemplul nr. 2
Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este produsul, ci suma. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și în numitor. V în acest caz este destul de simplu să faci asta:
Această notație, care în limbajul matematicii se numește „adunarea zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:
Acum să găsim ceea ce căutăm:
Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în sarcina anterioară, cantitatea de calcul s-a dovedit a fi și mai mică.
Nuanțe de soluție
Și aici constă principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care se numără ușor prin tabel, trebuie să știm ce anume căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.
Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a vrut să spună autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă a lua antiderivate sau integrare – este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, în opinia mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și practică din nou. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.
Ne antrenăm în integrare în practică
Problema numarul 1
Să notăm următoarele formule:
\ [((x) ^ (n)) \ la \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
\ [\ frac (1) (x) \ la \ ln x \]
\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ to \ text (arctg) x \]
Să scriem următoarele:
Problema numarul 2
Să rescriem după cum urmează:
Antiderivatul total va fi egal cu:
Problema numarul 3
Dificultatea acestei sarcini este că, în contrast cu funcțiile anterioare orice variabilă $ x $ este absentă de sus, adică. nu ne este clar ce sa adaugam, sa scadem pentru a obtine macar ceva asemanator cu ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât orice expresie din construcțiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescris astfel:
Poate că acum vă întrebați: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:
Vom rescrie și:
Să ne transformăm puțin expresia:
Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, și cu a doua, cu noroc sau practică, poți să-ți dai seama, dar ce fel de conștiință alternativă trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu vă alarmați. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în elemente elementare”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar un tutorial video separat îi va fi dedicat.
Intre timp imi propun sa revenim la ceea ce tocmai am studiat, si anume la functiile exponentiale si sa complicam oarecum sarcinile cu continutul lor.
Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate
Problema numarul 1
Rețineți următoarele:
\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ stânga (2 \ cdot 5 \ dreapta)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]
Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, trebuie doar să utilizați formula standard - $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.
În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:
Desigur, pe fundalul designului pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.
Problema numarul 2
Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:
Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni conform formulei de mai sus:
În ciuda complexității aparent mari funcții exponențialeîn comparație cu legea puterii, suma totală de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplă.
Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am analizat (mai ales pe fondul a ceea ce am analizat până acum) poate părea expresii elementare. Totuși, alegând aceste două probleme pentru tutorialul video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun un alt truc complex și sofisticat - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți trucuri standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .
Folosind o tehnică „secretă”.
În concluzie, aș vrea să mai deslușesc una truc interesant, care, pe de o parte, depășește ceea ce am analizat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, i.e. chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des pe toate tipurile de control și muncă independentă, adică cunoașterea lui va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului antiderivatelor.
Problema numarul 1
Evident, avem în față ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $ x-5 $ nu este atât de diferit de $ x $ - tocmai am adăugat $ -5 $. Hai sa o scriem asa:
\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]
\ [((\ stânga (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]
Să încercăm să găsim derivata lui $ ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (5)) $:
\ [((\ stânga (((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (5)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 5 \ cdot ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (4)) \ cdot ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 5 \ cdot ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (4)) \]
Asta implică:
\ [((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (4)) = ((\ stânga (\ frac (((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (5))) (5) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]
Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă folosind noi înșine formula standard antiderivată pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:
Problema numarul 2
Pentru mulți studenți care se uită la prima soluție, li se poate părea că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $ x $ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum ne vom convinge de acest lucru.
Prin analogie cu prima expresie, scrieți următoarele:
\ [((x) ^ (9)) \ to \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]
\ [((\ stânga (((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (10)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 10 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \]
\ [= 10 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) \ cdot \ stânga (-3 \ dreapta) = - 30 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) \]
Revenind la derivata noastră, putem scrie:
\ [((\ stânga (((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (10)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = - 30 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta) ) ^ (9)) \]
\ [((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) = ((\ stânga (\ frac ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (10))) (- 30) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]
De aici rezultă imediat:
Nuanțe de soluție
Vă rugăm să rețineți: dacă ultima dată nu s-a schimbat nimic în mod esențial, atunci în al doilea caz au apărut -30 USD în loc de -10 USD. Care este diferența dintre $ -10 $ și $ -30 $? Evident cu un factor de $ -3 $. Intrebare: de unde a venit? Privind îndeaproape, puteți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $ x $ apare în antiderivată din partea de jos. Aceasta este foarte regula importanta, pe care inițial nu aveam de gând să-l analizez deloc în tutorialul video de astăzi, dar fără el, prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.
Deci hai să mergem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:
\ [((x) ^ (n)) \ la \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
Acum, în loc de $ x $, să înlocuim expresia $ kx + b $. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:
\ [((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n)) \ la \ frac (((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n + 1))) (\ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot k) \]
Pe ce bază afirmăm acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției de mai sus:
\ [((\ stânga (\ frac (((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n + 1))) (\ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot k) \ dreapta)) ^ ( \ prim)) = \ frac (1) (\ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot k) \ cdot \ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot ((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n)) \]
Aceasta este aceeași expresie care a fost inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a suplimenta tabelul de antiderivate sau este mai bine să ne amintim doar întregul tabel.
Concluzii din „secretul: tehnica:
- Ambele funcții pe care tocmai le-am luat în considerare, de fapt, pot fi reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă totuși facem față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nu m-aș descurca deloc gradului al nouălea. grad îndrăznit să dezvăluie.
- Dacă am dezvălui gradele, atunci am obține un astfel de volum de calcule încât o sarcină simplă ne-ar duce inadecvat un numar mare de timp.
- De aceea, astfel de probleme, în cadrul cărora există expresii liniare, nu trebuie rezolvate „direct”. De îndată ce dați peste un antiderivat, care diferă de cel din tabel, numai prin prezența expresiei $ kx + b $ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul se va transforma ieși mult mai repede și mai ușor pentru tine.
Bineînțeles, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni în mod repetat la luarea în considerare în viitoarele tutoriale video, dar pentru astăzi am de toate. Sperăm că acest tutorial va ajuta cu adevărat acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.
În mai mult material timpuriu s-a luat în considerare problema găsirii derivatei și s-au arătat diferitele aplicații ale acesteia: calcularea pantei tangentei la grafic, rezolvarea problemelor de optimizare, studierea funcțiilor pentru monotonitate și extreme. $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arcctg)) \ nolimits) $
Poza 1.
S-a luat în considerare și problema găsirii vitezei instantanee $ v (t) $ folosind derivata de-a lungul traseului parcurs cunoscut anterior, exprimată prin funcția $ s (t) $.
Figura 2.
Problema inversă este foarte des întâlnită, când trebuie să găsiți calea $ s (t) $ parcursă de un punct în timp $ t $, cunoscând viteza punctului $ v (t) $. Dacă ne amintim, viteza instantanee $ v (t) $ se găsește ca derivată a funcției de cale $ s (t) $: $ v (t) = s ’(t) $. Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema inversă, adică pentru a calcula calea, trebuie să găsiți o funcție a cărei derivată va fi egală cu funcția viteză. Dar știm că derivata traseului este viteza, adică: $ s ’(t) = v (t) $. Viteza este egală cu produsul accelerație și timp: $ v = la $. Este ușor de determinat că funcția cale necesară va avea forma: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) $. Dar aceasta nu este o soluție completă. Soluție completă va avea forma: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, unde $ C $ este o constantă. De ce este așa, vom discuta mai târziu. Deocamdată, să verificăm corectitudinea soluției găsite: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = la = v ( t) $.
Este de remarcat faptul că găsirea unei căi prin viteză este sensul fizic al antiderivatului.
Funcția rezultată $ s (t) $ se numește antiderivată a funcției $ v (t) $. Destul de interesant și nume neobișnuit, nu-i asa. Are o semnificație grozavă care explică esența a acestui conceptși duce la înțelegerea lui. Puteți vedea că conține două cuvinte „primul” și „imagine”. Ei vorbesc de la sine. Adică aceasta este funcția care este inițiala pentru derivata pe care o avem. Și căutăm această derivată pentru funcția care a fost la început, a fost „prima”, „prima imagine”, adică antiderivată. Este uneori numită și funcție primitivă sau antiderivată.
După cum știm deja, procesul de găsire a unei derivate se numește diferențiere. Iar procesul de găsire a antiderivatei se numește integrare. Operația de integrare este inversul operației de diferențiere. Este adevărat și invers.
Definiție. O antiderivată pentru o funcție $ f (x) $ pe un anumit interval este o funcție $ F (x) $ a cărei derivată este egală cu această funcție $ f (x) $ pentru toate $ x $ din intervalul specificat: $ F '( x) = f (x) $.
Cineva poate avea o întrebare: de unde au venit $ F (x) $ și $ f (x) $ în definiție, dacă inițial a fost vorba de $ s (t) $ și $ v (t) $. Cert este că $ s (t) $ și $ v (t) $ sunt cazuri speciale de notare a funcțiilor care au o semnificație specifică în acest caz, adică sunt o funcție a timpului și, respectiv, o funcție a vitezei. Este la fel și cu variabila $ t $ - reprezintă timp. Și $ f $ și $ x $ sunt versiunile tradiționale ale notației generale pentru o funcție și, respectiv, pentru o variabilă. Merită răsturnat Atentie speciala la notaţia antiderivatei $ F (x) $. În primul rând, $ F $ este capitalizat. Antiderivatele sunt notate cu litere mari... În al doilea rând, literele se potrivesc: $ F $ și $ f $. Adica pentru functia $ g (x) $ antiderivata va fi notata cu $ G (x) $, pentru $ z (x) $ - $ Z (x) $. Indiferent de notație, regulile pentru găsirea funcției antiderivate sunt întotdeauna aceleași.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1. Demonstrați că funcția $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ este antiderivată a funcției $ f (x) = \ cos5x $.
Pentru demonstrație, folosim definiția, sau mai degrabă faptul că $ F '(x) = f (x) $, și găsim derivata funcției $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5 ) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $. Deci $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ este antiderivată a lui $ f (x) = \ cos5x $. Q.E.D.
Exemplul 2. Aflaţi ce funcţii corespund următoarelor antiderivate: a) $ F (z) = \ tg z $; b) $ G (l) = \ sin l $.
Pentru a găsi funcțiile necesare, să calculăm derivatele lor:
a) $ F ’(z) = (\ tg z)’ = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $;
b) $ G (l) = (\ sin l) ’= \ cos l $.
Exemplul 3. Care este antiderivată pentru $ f (x) = 0 $?
Să folosim definiția. Să ne gândim ce funcție poate avea o derivată egală cu $ 0 $. Reamintind tabelul derivatelor, aflăm că orice constantă va avea o astfel de derivată. Obtinem ca antiderivata pe care o cautam: $ F (x) = C $.
Soluția rezultată poate fi explicată geometric și fizic. Geometric, înseamnă că tangenta la graficul $ y = F (x) $ este orizontală în fiecare punct al acestui grafic și, prin urmare, coincide cu axa $ Ox $. Se explică fizic prin faptul că un punct cu o viteză egal cu zero, rămâne pe loc, adică drumul parcurs de acesta este neschimbat. Pe baza acestui fapt, putem formula următoarea teoremă.
Teorema. (Semnul constanței funcțiilor). Dacă pe un interval $ F '(x) = 0 $, atunci funcția $ F (x) $ este constantă pe acest interval.
Exemplul 4. Determinați care funcții sunt antiderivate a) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; c) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $, unde $ a $ este un număr.
Folosind definiția antiderivată, concluzionăm că, pentru a rezolva această problemă, trebuie să calculăm derivatele datelor pentru noi. diferite funcții... Când calculați, amintiți-vă că derivata unei constante, adică orice număr, este egală cu zero.
a) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
b) $ F_2 = \ stânga (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ dreapta) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
c) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) ’= x ^ 6 $;
d) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) ’= x ^ 6 $.
Ce vedem? Mai multe funcții diferite sunt antiderivate ale aceleiași funcții. Aceasta înseamnă că orice funcție are infinit de antiderivate și au forma $ F (x) + C $, unde $ C $ este o constantă arbitrară. Adică operația de integrare este multivalorică, în contrast cu operația de diferențiere. Pe baza acesteia, să formulăm o teoremă care descrie principala proprietate a antiderivatelor.
Teorema. (Principala proprietate a antiderivatelor). Fie funcțiile $ F_1 $ și $ F_2 $ antiderivate ale funcției $ f (x) $ pe un anumit interval. Apoi, pentru toate valorile din acest interval, următoarea egalitate este adevărată: $ F_2 = F_1 + C $, unde $ C $ este o constantă.
Faptul că există un număr infinit de antiderivate poate fi interpretat geometric. Folosind translația paralelă de-a lungul axei $ Oy $, puteți obține unul de la celălalt graficele oricăror două antiderivate pentru $ f (x) $. Acesta este sensul geometric al antiderivatei.
Este foarte important să se acorde atenție faptului că prin alegerea constantei $ C $ se poate realiza trecerea graficului antiderivat printr-un anumit punct.
Figura 3.
Exemplul 5. Aflați antiderivată pentru funcția $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $, al cărei grafic trece prin punctul $ (3; 1) $.
Mai întâi, găsiți toate antiderivatele pentru $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $.
În continuare, găsim un număr C pentru care graficul $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ va trece prin punctul $ (3; 1) $. Pentru a face acest lucru, înlocuim coordonatele punctului în ecuația graficului și o rezolvăm în raport cu $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ C = -5 $.
Am obținut graficul $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, care corespunde antiderivatei $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.
Tabelul cu antiderivate
Un tabel de formule pentru găsirea antiderivate poate fi compilat folosind formule derivate.
| Funcții | Antiderivate |
| $0$ | $ C $ |
| $1$ | $ x + C $ |
| $ a \ în R $ | $ ax + C $ |
| $ x ^ n, n \ ne1 $ | $ \ displaystyle \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $ |
| $ \ stil de afișare \ frac (1) (x) $ | $ \ ln | x | + C $ |
| $ \ sin x $ | $ - \ cos x + C $ |
| $ \ cos x $ | $ \ sin x + C $ |
| $ \ displaystyle \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $ | $ - \ ctg x + C $ |
| $ \ displaystyle \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $ | $ \ tg x + C $ |
| $ e ^ x $ | $ e ^ x + C $ |
| $ a ^ x, a> 0, a \ ne1 $ | $ \ displaystyle \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $ |
| $ \ stil de afișare \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ | $ \ arcsin x + C $ |
| $ \ stil de afișare - \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ | $ \ arccos x + C $ |
| $ \ stil de afișare \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ | $ \ arctg x + C $ |
| $ \ stil de afișare - \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ | $ \ arcctg x + C $ |
Puteți verifica corectitudinea tabelului astfel: pentru fiecare set de antiderivate situat în coloana din dreapta, găsiți derivata, în urma căreia se vor obține funcțiile corespunzătoare din coloana din stânga.
Câteva reguli pentru găsirea antiderivatelor
După cum știți, multe funcții au o formă mai complexă decât cele indicate în tabelul de antiderivate și pot fi orice combinație arbitrară de sume și produse ale funcțiilor din acest tabel. Și atunci apare întrebarea cum se calculează antiderivatele funcții similare... De exemplu, din tabel știm cum să calculăm antiderivatele $ x ^ 3 $, $ \ sin x $ și $ 10 $. Și cum, de exemplu, să calculăm antiderivată $ x ^ 3-10 \ sin x $? Privind în viitor, merită remarcat faptul că va fi egal cu $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $.
1. Dacă $ F (x) $ este o antiderivată pentru $ f (x) $, $ G (x) $ este pentru $ g (x) $, atunci pentru $ f (x) + g (x) $ antiderivată va fi egal cu $ F (x) + G (x) $.
2. Dacă $ F (x) $ este o antiderivată pentru $ f (x) $ și $ a $ este o constantă, atunci $ aF (x) $ va fi o antiderivată pentru $ af (x) $.
3. Dacă pentru $ f (x) $ antiderivată este $ F (x) $, $ a $ și $ b $ sunt constante, atunci $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ este antiderivată pentru $ f (ax + b) $.
Folosind regulile obținute, putem extinde tabelul de antiderivate.
| Funcții | Antiderivate |
| $ (ax + b) ^ n, n \ ne1, a \ ne0 $ | $ \ stil de afișare \ frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $ |
| $ \ displaystyle \ frac (1) (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ ln | ax + b | + C $ |
| $ e ^ (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ displaystyle \ frac (1) (a) e ^ (ax + b) + C $ |
| $ \ sin (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ displaystyle - \ frac (1) (a) \ cos (ax + b) + C $ |
| $ \ cos (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ sin (ax + b) + C $ |
Exemplul 5. Găsiți antiderivate pentru:
a) $ \ displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;
b) $ \ displaystyle \ frac (6) (x ^ 5) - \ frac (2) (x) $;
c) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x + 15) $;
d) $ \ displaystyle \ sqrt (x) -2 \ sqrt (x) $.
a) $ 4 \ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frac (5) ( 4) x ^ 8 + C $;
b) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $;
c) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $;
d) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $.
Cursul de algebră școlară include integrarea și diferențierea. Pentru a studia acest material, aveți nevoie tabele de derivate și integrale... Pentru a înțelege cum să le folosiți, trebuie să definiți termenii de bază.
Derivat f (x) este o caracteristică a intensității modificărilor funcției antiderivate F (x) în orice punct al graficului. Ea exprimă raportul limitator al incrementelor unei funcții și argumentul său care tinde spre zero. În cazul în care o funcție are o derivată finită la un moment dat, atunci este diferențiabilă. Calculul derivat este diferențierea.
Integral∫ este inversul derivatei, care exprimă dimensiunea ariei unei anumite porțiuni a graficului. Procesul de integrare se referă la găsirea funcției antiderivate.
Aceeași funcție poate avea mai multe antiderivate. De exemplu, x ^ 2. Principalele antiderivate ale acestuia sunt x ^ 3/3; x ^ 3/3 + 1. Ultima cifră este desemnată de litera C și formula este următoarea:
Dacă C reprezintă o valoare arbitrară, integrala este nedefinită, dacă specificul este definit.
Tabelele de funcții derivate și tabele integrale te va ajuta să faci față rapid și corect problemelor complexe de matematică. Acestea includ cele mai frecvent utilizate valori, astfel încât elevii să nu fie nevoiți să memoreze un număr mare de formule.
Tabel de funcții derivate
La materialele necesare au fost întotdeauna la îndemână, puteți descărca tabelul de formule de derivate . Conține formule pentru calcularea derivatelor funcțiilor elementare de bază:
- trigonometric;
- logaritmică;
- putere-lege;
- exponenţială.
În plus, există o specială tabel derivat al funcțiilor complexe... Conține și formule pentru produsul funcțiilor, suma și coeficientul acestora.
Tabelul cu integrale definite și nedefinite
Pentru a efectua rapid și corect sarcinile de integrare, puteți descărcați tabele de integrale, în care sunt colectate toate formulele cele mai frecvent utilizate. Ele constau din două coloane: prima conține formule matematice, al doilea - explicații scrise.
Tabelele includ integrale de bază urmatoarele functii:
- raţional;
- exponențial;
- logaritmică;
- iraţional;
- trigonometric;
- hiperbolic.
În plus, puteți descărca tabelul integrale nedefinite.
Cheatsheets cu tabele de integrale și derivate
Mulți profesori solicită elevilor să memoreze formule complexe. Cel mai simplu mod de a memora este practica constantă și, pentru ca materialele necesare să fie la îndemână, trebuie să faceți o imprimare.
Cheat Sheet cu tabele derivateși integralele te vor ajuta să memorezi rapid toate formulele necesare și să treci cu succes examenele. Pentru a-l face compact și ușor de utilizat, trebuie să alegeți formatul A5 - jumătate dintr-o foaie obișnuită.
