Anterior noi funcţie dată, ghidat de diverse formule și reguli, și-a găsit derivatul. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).De fapt
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
În matematică, se atribuie operații reciproce nume diferite, Vino cu denumiri speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei anumite funcții se numește diferenţiere, A operare inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, - integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y = f(x) „produce” optiune noua y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător”; ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"( x), imagine primară sau primitivă.
Definiție. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)
În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).
Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată
Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).
Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.
Metode de integrare
Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)
Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unui nou variabila de integrare(adică substituții). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.
Integrare pe părți
Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă pentru integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Funcţie F(X ) numit antiderivat pentru functie f(X) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea este valabilă
F"(X ) = f(X ) .
De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(X ) = 2X , deoarece
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Proprietatea principală a antiderivatei
Dacă F(x) - antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate, iar toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.
De exemplu. Funcţie F(x) = x 2 + 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funcţie F(x) = x 2 - 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funcţie F(x) = x 2 - 3 este o antiderivată a funcției f(X) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); orice functie F(x) = x 2 + CU , Unde CU - o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată a funcției f(X) = 2X . ◄ |
Reguli pentru calcularea antiderivatelor
- Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , A G(x) - antiderivat pentru g(x) , Acea F(x) + G(x) - antiderivat pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
- Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k - constantă, atunci k · F(x) - antiderivat pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
- Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat pentru f(k x+ b) .
Integrală nedefinită
Nu integrala definita din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- Ei suna funcția integrand ;
f(x) dx- Ei suna integrand ;
X - Ei suna variabila de integrare ;
F(x) - unul dintre funcții antiderivatef(x) ;
CU este o constantă arbitrară.
De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + CU , ∫ cosx dx = păcat X + CU și așa mai departe. ◄
Cuvântul „integral” provine de la cuvânt latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 X, se pare că restabilim funcția X 2 , a cărui derivată este egală cu 2 X. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere.Pentru a verifica dacă integrarea a fost efectuată corect este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.
Proprietățile de bază ale integralei nedefinite
- Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
- Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:
- Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:
- Dacă k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| eu. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Integralele antiderivate și nedefinite date în acest tabel sunt de obicei numite antiderivate tabulare
Și integrale de tabel
. |
|||
Integrala definita
Lasă între ele [A; b] dat functie continua y = f(x) , Apoi integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește increment al antiderivatei F(x) această funcție, adică
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Numerele AȘi b sunt numite în consecință inferior Și top limitele integrării.
Reguli de bază pentru calcularea integralei definite
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constant;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) — funcția uniformă;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.
cometariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.
Sensul geometric și fizic al integralei definite
| Sensul geometric integrala definita | Sensul fizic
integrala definita |
 |  |
Pătrat S trapez curbiliniu (o cifră limitată de graficul unui pozitiv continuu pe interval [A; b] funcții f(x) , axa Bou si drept x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | cale s, pe care punctul material a depășit-o, deplasându-se rectiliniu cu o viteză care variază conform legii v(t)
, pentru o perioadă de timp a ;
b] , apoi aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a
, x = b
, calculat prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | De exemplu. Să calculăm aria figurii delimitată de linii y = x 2 Și y = 2-X . Să reprezentăm schematic graficele acestor funcții și să evidențiem într-o culoare diferită figura a cărei zonă trebuie găsită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Volumul unui corp de revoluție
 | Dacă se obţine un corp ca urmare a rotaţiei în jurul unei axe Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic continuu și nenegativ pe interval [A; b] funcții y = f(x) si drept x = aȘi x = b , atunci se numește corpul de rotație . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă se obține un corp de revoluție ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) Și y = g(x) , în consecință, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | De exemplu. Să calculăm volumul unui con cu rază r
si inaltime h
. Să poziționăm conul într-un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa lui să coincidă cu axa Bou
, iar centrul bazei era situat la origine. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
