Kako bi se izvorni kontinuirani signal vratio iz uzorkovanog s malim distorzijama (pogreškama), potrebno je racionalno odabrati korak uzorkovanja. Stoga se pri pretvaranju analognog signala u diskretni nužno postavlja pitanje veličine koraka uzorkovanja. Sljedeću ideju intuitivno je lako shvatiti. Ako analogni signal ima niskofrekventni spektar ograničen na neku gornju frekvenciju F e, (tj. funkcija u (t) ima oblik krivulje koja se glatko mijenja, bez naglih promjena amplitude), onda se ova funkcija teško može značajno promijeniti u amplitudi u nekom malom vremenskom intervalu uzorkovanja. Sasvim je očito da točnost rekonstrukcije analognog signala iz slijeda njegovih uzoraka ovisi o veličini intervala uzorkovanja. Što je kraća, to će se funkcija u (t) manje razlikovati od glatke krivulje koja prolazi kroz točke uzorka. Međutim, sa smanjenjem intervala uzorkovanja, složenost i obujam opreme za obradu značajno se povećavaju. S dovoljno velikim intervalom uzorkovanja povećava se vjerojatnost izobličenja ili gubitka informacija pri obnavljanju analognog signala.

Optimalna vrijednost intervala uzorkovanja utvrđuje se Kotelnikovim teoremom (drugi nazivi su teorem uzorkovanja, teorem K. Shannon, teorem X. Nyquista: teorem je prvi otkrio u matematici O. Cauchy, a zatim ga je ponovno opisao D. Carson i R. Hartley), što je dokazao 1933. Teorem V. A. Kotelnikova od velike je teorijske i praktične važnosti: omogućuje ispravno uzorkovanje analognog signala i određivanje optimalnog načina za njegovo vraćanje na prijemnoj strani prema referentnim vrijednostima.

Slika 14.1. Prikaz spektralne gustoće

Prema jednoj od najpoznatijih i najjednostavnijih interpretacija Kotelnikovog teorema, proizvoljni signal u (t), čiji je spektar ograničen na određenu frekvenciju F e može - može se potpuno obnoviti prema slijedu njegovih vrijednosti uzorka, slijedeći s vremenskim intervalom

Interval uzorkovanja i učestalost F e(1) u radiotehnici se često naziva Nyquist interval i frekvencija, respektivno. Analitički, Kotelnikovov teorem predstavljen je nizom

(2)

gdje je k broj uzorka; - vrijednost signala u referentnim točkama; - gornja frekvencija spektra signala.

Da bismo dokazali Kotelnikov teorem, razmotrimo proizvoljni kontinuirani signal u (t), čija je spektralna gustoća koncentrirana u frekvencijskom pojasu (puna linija na slici 14.1).

Nadopunimo mentalno graf spektralne gustoće simetrično s vrijednostima koje se ponavljaju s točkom (isprekidane linije na slici 14.1). Tako dobivenu periodičnu funkciju proširujemo u Fourierov red, zamjenjujući u formuli

argument t na s, učestalost (formalno) P na k... Zatim

(3)

Pod pretpostavkom da u odnosu

period je, a interval uzorkovanja je

(4)

Upotrijebimo formulu inverzne Fourierove transformacije i predstavimo izvorni kontinuirani signal u sljedećem obliku:

(5)

Na isti način zapisujemo vrijednost uzorkovanog signala za neku k-tu vremensku referencu. Od vremena , onda

Uspoređujući ovaj izraz s formulom za C k, uočavamo da Uzimajući u obzir ovaj odnos, spektralna funkcija (3), nakon jednostavnih transformacija, imat će oblik:

Zatim ćemo učiniti sljedeće: zamijeniti izraz u omjer, promijeniti red integracije i zbrajanja, predstaviti omjer kao i izračunati integral.

Kao rezultat, dobivamo sljedeću formulu:

Iz ove relacije proizlazi da kontinuirana funkcija u (t) je doista određen ukupnošću njegovih diskretnih vrijednosti amplitude u referentnim točkama u vremenu, što dokazuje Kotelnikovov teorem.

Najjednostavniji signali oblika ortogonalne jedna na drugu u vremenskom intervalu - ,, nazivaju se funkcije uzorkovanja, bazne funkcije ili Kotelnikove funkcije. K-ti graf Kotelnikove funkcije prikazane su na Sl. 2. Svaka od osnovnih funkcija s k (t) pomaknut u odnosu na sličnu najbližu funkciju s k-1 (t) ili s k + 1 (t) po intervalu uzorkovanja. Elementarna analiza formule (10) i grafikona na sl. 14.3 pokazuje da je signal s k (t) odrazio

Riža. 14.2. Raspored osnovna funkcija Kotelnikova

Slika 14.3. Aproksimacija kontinuiranog signala nizom Kotelnikova sinx / x funkcijom, koja također karakterizira omotač spektralne gustoće pravokutni puls.

Reprezentacija (točnije, aproksimacija) datog kontinuirani signal u (t) nizom Kotelnikova (2) ilustrirano je dijagramima na Sl. 14.3. graf (ovdje su, radi jednostavnosti, osnovne funkcije prikazane bez argumenta t konstruirana su prva četiri člana serije, koja odgovaraju očitanjima signala u trenucima 0, 2 i 3, uzetim u skladu s Kotelnikovim teoremom. Kada se ovi članovi serije zbroje u bilo kojoj točki uzorkovanja u vremenu kDt, kontinuirani signal je apsolutno točno aproksimiran bez obzira na broj odabranih uzoraka. U intervalu između bilo kojeg očitanja signal u (t) se aproksimira točnije što se članovi Kotelnikovog niza više zbrajaju (2).

Procijenimo mogućnost primjene Kotelnikovog teorema na pulsni signal u (t) konačnog trajanja T x... Kao što je poznato, takvi signali teoretski posjeduju beskonačno širok raspon... Međutim, u praksi se možete ograničiti na neku gornju frekvenciju F v izvan kojega spektar sadrži zanemariv udio energije u usporedbi s energijom cjelokupnog izvornog signala. U radiotehnici takav je kriterij sadržaj od 90% prosječne snage signala unutar spektra. U ovom slučaju signal u (t) s trajanjem T x s gornjom graničnom frekvencijom spektra F v može biti predstavljen nizom Kotelnikova s ​​određenim, ograničen broj broji

(10)

Ovdje je broj uzoraka.

Slika 14.4. Predstavljanje pravokutnog pulsa brojenjem.

Kotelnikovov teorem (teorem uzorkovanja)

Problem uzorkovanja signala ograničeni spektar je široko obrađen u literaturi, a temelj mu je Teorem Kotelnikov (Nyquist - Shannon teorem, odnosno teorem uzorkovanja). Vjeruje se da su prva temeljna djela na ovom području djelo V.A. širina pojasa"Eter" i žica u telekomunikacijama "(1933) i članak K. Shannon" Komunikacija u prisutnosti buke "(1949). Shannonov je članak napisan na temelju rada ET Uttakera "Funkcije predstavljene širenjem teorije interpolacije" (1915.). Problem predstavljanja funkcije zasebnim vrijednostima i njezinog vraćanja interpolacijom počeo se rješavati u 18. stoljeću. u djelima O. Cauchyja, P.-S. Laplacea itd., a kasnije su ga ponovno opisali D. Carson i R. Hartley.

Kako bi se izvorni kontinuirani signal vratio iz uzorkovanog s malim pogreškama, potrebno je racionalno odabrati korak uzorkovanja. Stoga, kada se analogni signal pretvara u diskretni, nužno se postavlja pitanje veličine koraka uzorkovanja Na. Intuitivno je lako razumjeti sljedeću razumnu ideju. Ako analogni signal ima niskofrekventni spektar ograničen na neku gornju frekvenciju F B(tj. funkcija u (t) ima oblik krivulje koja se glatko mijenja bez oštrih promjena amplitude), onda je malo vjerojatno da će na nekom malom vremenskom intervalu uzorkovanja Na ova funkcija može značajno varirati u amplitudi.

Točnost oporavka analognog signala iz njegovih uzoraka ovisi o intervalu uzorkovanja Na.Što je kraći, to će se funkcija manje razlikovati. u (t) od krivulje koja prolazi kroz referentne točke. Međutim, sa smanjenjem intervala Na složenost i obujam opreme za obradu značajno se povećava. Na veliki interval uzorkovanje Na vjerojatnost izobličenja ili gubitka informacija povećava se kada se analogni signal vrati.

Postavlja se optimalna vrijednost intervala uzorkovanja Kotelnikovov teorem. Prema jednom od najpoznatijih i najjednostavnijih tumačenja ovog teorema proizvoljni signal u (t), čiji je spektar ograničen na određenu frekvenciju F B, može se u potpunosti rekonstruirati iz slijeda njegovih vrijednosti uzorka, slijede s vremenskim intervalom

Interval uzorkovanja Na i učestalost F d = F n u teoriji komunikacije ponekad se naziva u skladu s tim interval i Nyquistovu frekvenciju.

Analitički, Kotelnikovov teorem predstavljen je nizom

gdje k - brojati broj; u (kAt) - kontinuirane vrijednosti signala u (t) na referentnim točkama; sa u = 2nF n = k / At - gornja frekvencija spektra signala.

Da bismo dokazali teorem, razmotrimo analogni signal u (f), spektralna gustoća 5 (co) od kojih je koncentrirana u pojasu -oo in t on co, frekvencija co t = co in on Na i P na k. Zatim

Riža. 6.2. Prikaz spektralne gustoće periodičnom funkcijom

Uz pretpostavku u formuli (2.21) period je 2co in, a interval uzorkovanja Na= l / s n, dobivamo

Korištenje obrnuta transformacija Fourieru (2.30), signal zapisujemo kao

Na isti način zapisujemo vrijednost uzorkovanog signala za neke k-vo odbrojavanje. Ukoliko t = kAt = kn / iznutra, dakle

Uspoređujući ovu formulu s formulom (6.4), primjećujemo da C k = Atu (kAt). S Uzimajući u obzir ovaj odnos, spektralna funkcija (6.3) nakon transformacija poprima oblik

Zamijenite relaciju (6.6) u formulu (6.5), promijenite redoslijed integracije i zbrajanja i predstavite n / At =

Iz ove formule slijedi da je kontinuirana funkcija u (t) je doista određena ukupnošću njegovih diskretnih vrijednosti amplitude u referentnim točkama u vremenu t = kAt,što dokazuje Kotelnikovov teorem. Signali

ortogonalni na intervalu [- °°, + °°] nazivaju se funkcije brojanja ili funkcije Kotelnikova. Raspored k- Kotelnikove funkcije prikazane su na Sl. 6.3. Svaka od funkcija s k (t) pomaknut u odnosu na najbliži s k,(?) ili s k + l (t) po intervalu uzorkovanja Na. Analiza formule

(6.7) i graf na sl. 6.3 pokazuje da je signal s k (t) odražava se funkcijom sinx / x y koji karakterizira omotnicu spektralne gustoće pravokutnog impulsa.

Riža. 6.3.

Prezentacija signala u (t) Kotelnikovov niz (6.3) ilustriran je dijagramima na sl. 6.4. Grafikon prikazuje prva četiri člana niza, koji odgovaraju broju signala u vremenima 0, U, 2 At i ZD ?, uzeti u skladu s Kotelnikovim teoremom. Prilikom zbrajanja ovih članova niza u bilo kojim referentnim trenucima kAt kontinuirani valni oblik se rekonstruira apsolutno točno bez obzira na broj odabranih uzoraka. U intervalu između bilo kojih uzoraka, signal u (t) se obnavlja što je točnije, što se više članova niza (6.3) zbraja. Imajte na umu da ne bi bilo sasvim ispravno spojiti diskretne uzorke signala na graf ravnim linijama, jer se pri obnavljanju kontinuiranog signala iz diskretnog koriste složenije interpolacijske funkcije.

U praksi je ovaj teorem od velike važnosti. Na primjer, većina audio signala može se protumačiti kao signali ograničenog spektra s određenim stupnjem točnosti. Njihov spektar leži ispod 20 kHz. To znači da pri uzorkovanju s frekvencijom od najmanje 40 kHz tada možemo više ili manje točno vratiti izvorni analogni audio signal iz njegovih digitalnih uzoraka.

Riža. 6.4.

Primjer 6.1

Signal zvučni zapis v televizijski kanal ograničen gornjom frekvencijom / „= 12 kHz. Definirajmo interval Na između uzoraka, potrebnih za neiskrivljenu reprodukciju uzorkovanog signala. Riješenje

Odredite interval uzorkovanja: Na= 1 / (2 / in) = 1 / (2 12 -10 ') ~ 42 10 6 s.

Nakon toga, mnogi različiti putevi aproksimacije signala s ograničenim spektrom, generalizirajući teorem uzorkovanja:

• za funkcije čiji se uzorci uzimaju u proizvoljno vrijeme;
• za višedimenzionalne funkcije (na primjer, za televizijski signali);
• za funkcije iz kojih se preuzima i sama funkcija i njezin deriv.

Procijenimo mogućnost primjene Kotelnikovog teorema na impulsni signal u (t) konačnog trajanja T str. Takvi signali teoretski imaju beskonačno širok spektar. Međutim, uvijek je moguće ograničiti se na gornju frekvenciju F B, izvan koje spektar sadrži mali dio energije u usporedbi s energijom cijelog signala. U teoriji komunikacija takav je kriterij sadržaj od 90% prosječne snage signala unutar spektra. U ovom slučaju, signal u (t) trajanje T i s gornjom graničnom frekvencijom spektra F B može biti predstavljen nizom Kotelnikova s ​​ograničenim brojem zbrojeva

Ovdje L g = TJAt - broj uzoraka.

Primjer 6.2

Predstavimo nizom Kotelnikov pravokutni naponski impuls jedinične amplitude i trajanja m „za dva slučaja: spektar aproksimirajuće funkcije ograničen je vrijednostima gornje frekvencije F Bl = 1 / (2m u) i F d2 = 1 / m„.

Riješenje

Za prvi slučaj, interval uzorkovanja Na= 1 / (2F B) = m i stoga će puls biti predstavljen sa samo dvije vrijednosti uzorka - na početku i na kraju impulsa. Zamjenom vrijednosti amplitude i trajanja impulsa u formulu (6.8) zapisujemo matematički model aproksimirajuće funkcije:

U drugom slučaju, puls se uzorkuje s tri jednaka uzorka uzeta u trenutcima t = 0, m (1/2 i m u, tj. na početku, sredini i kraju pulsa. Zatim

Vremenski dijagrami aproksimirajućih funkcija u 2 (t) i u 3 (t) a članovi niza Kotelnikov koji ih tvore prikazani su na sl. 6.5.

Riža. 6.5. Reprezentacija pravokutnog pulsa po brojevima:

a- dva; 6 - tri

Primjer b.3

Odredimo minimalnu stopu uzorkovanja prema Kotelnikovu, pri kojoj je harmonijski signal u (t) = jer (2 nF 0 t +

Riješenje

Prilikom odabira intervala uzorkovanja Na = 1 / (2F B), gdje F B - gornja granica frekvencije spektra, kontinuirani signal u (t) može se obnoviti iz brojanja (slika 6.6, a). Ako je omjer frekvencija F 0 u = = cos (knF 0 / F B +%).

U ekstremnom slučaju, kada frekvencija signala F 0 teži stopi uzorkovanja F B s lijeve strane, tj. F 0 = lim ( F n - p), u svakom razdoblju izvornog signala treba

ali postoje dvije točke.

Oporavak funkcije ovisi o fazi uzoraka signala u odnosu na uzorke. Ako maksimum sinusoida pada u sredinu intervala između uzoraka, tada je pogreška najveća; ako po uzorku, onda je najmanja.

Riža. 6.6.

a - na F 0 za dva broja

Očito, uzorci mogu pasti nulte vrijednosti sinusoidi, ekstremi ili srednje vrijednosti. Budući da faza uzoraka u odnosu na uzorkovanu sinusoidu nije poznata a priori, nakon što filter obnovi signal, sinusoida se možda neće vidjeti. U ovom primjeru, najveća točnost rekonstrukcije sinusoida bit će kada se oba uzorka uzmu na maksimalnim vrijednostima. Oscilacija na ulazu niskopropusnog filtra ima pilasti oblik iste frekvencije kao i frekvencija sinusoida (isprekidane linije na sl.6.6, b).

Ako se očitanja izvode nedovoljno često i krše se uvjeti Kotelnikovog teorema, tada je nedvosmislen oporavak harmonijski signal nemoguće. U tim slučajevima, kroz referentne točke u vremenu, može se nacrtati beskonačan broj krivulja, čije su spektralne gustoće izvan pojasa različite od nule. -F n F Može se tvrditi da pogreška u rekonstrukciji sinusoida pri stopi uzorkovanja od 2F 0 može biti 100%. To je već dovoljno za potvrdu ispravnosti navedenih zaključaka.

Primjer 6.4

Neprekidni signal diskretiziran u skladu s Kotelnikovim teoremom u (t) ima dva očitanja na vremenskoj osi (slika 6.7). Izračunajmo trenutnu vrijednost izvornog signala u trenutku t = 1 μs.

Riža. 6.7.

Riješenje

sl. 6.7 utvrđujemo da je interval uzorkovanja = 210 (, si je gornja frekvencija spektra izvornog signala s at = Do/Na= 1,57-10 f> s -1. Prema formuli

(6.8) Kotelnikov red u ovom slučaju ima oblik

Iz tog omjera nalazimo trenutnu vrijednost analognog signala u trenutku vremena t= 1 μs: u (t= 1 μs) = 22,3 V.

U nastavku će biti formuliran i dokazan Kotelnikovov teorem (teorem uzorkovanja) – temeljni teorem za digitalne sustave za obradu signala, telekomunikacije i teoriju komunikacija. Teorem je formulirao i dokazao sovjetski akademik V.A.Kotelnikov 30-ih godina 20. stoljeća. Suština teorema je da umjesto prijenosa kontinuiranog analognog signala možete odašiljati odgovarajući diskretni signal.

Formulacija teorema: kontinuirani signal, čiji spektar ne sadrži frekvencije velikih fm, može se jedinstveno predstaviti svojim trenutnim vrijednostima (uzorcima), odvojenim jednakim vremenskim intervalima, čija duljina ne smije biti veća od 1/2fm.

Drugim riječima, razdoblje uzorkovanja treba biti najmanje dva puta manje od razdoblja najviše frekvencijske komponente kontinuiranog spektra signala, tj. za svako razdoblje najviše frekvencijske komponente treba pasti na barem dva broja (uzorka). Stoga bi brzina uzorkovanja trebala biti najmanje dvostruko veća od najveće frekvencije u spektru kontinuiranog signala. Primljeni diskretni signal može se prenijeti kroz bilo koju komunikacijsku liniju i iz njega se pomoću niskopropusnog filtra na strani prijemnika može nedvosmisleno vratiti izvorni analogni signal.

S druge strane, kontinuirani signal može imati beskonačan frekvencijski spektar, ali budući da se harmonici ovog signala mogu monotono smanjivati ​​u amplitudi s povećanjem harmonijskog broja, onda se s određenim stupnjem točnosti spektar takvog signala može smatrati ograničenim.

Točnost reprodukcije kontinuiranog signala uvelike je određena karakteristikama niskopropusnog filtra i ne utječe na ispravnost Kotelnikovog teorema u u ovom slučaju... Također, vjernost kontinuiranog signala određena je brojem razina kvantizacije u procesu uzorkovanja. Međutim, ako odaberete broj razina kvantizacije u skladu s dinamički raspon i osjetljivost određenog sustava, vjernost kontinuiranog signala neće biti degradirana postupkom uzorkovanja. Ova izjava, posebice, može biti istinita do određene mjere kada je razina šuma prisutna u izvornom signalu veća od koraka kvantizacije. U ovom slučaju nema smisla povećavati broj razina kvantizacije, jer to neće dovesti do povećanja točnosti dobivanja očitanja.

Kotelnikovov teorem također određuje da kontinuirani signal i odgovarajući diskretni signal dobiven prema gornjim pravilima sadrže iste informacije, stoga je reprezentacija jednog od ova dva signala drugim jedno-prema jedan.

Dokaz teorema započinjemo razmatranjem apstraktnog pomoćnog kontinuiranog signala predstavljenog beskonačnim nizom impulsa s određenim periodom ponavljanja (slika 1.). Proučeni kontinuirani signal i njegov spektar prikazani su na Sl. 2. Svrha uvođenja pomoćnog signala: pokazati da on sadrži iste informacije nakon nekih transformacija iu diskretnom signalu dobivenom u skladu s Kotelnikovim teoremom.

Nadalje, da bi se povratio izvorni kontinuirani signal iz signala dobivenog množenjem izvornog i pomoćnog signala, potrebno je primljeni signal proći kroz niskopropusni filtar koji potiskuje sve frekvencije iznad fm. Međutim, ovaj pristup zahtijeva objašnjenje za diskretni signal. Činjenica je da se na izlazu DAC-a ne formira slijed impulsa beskonačno male širine, već signal koraka. To je zbog samog principa DAC-a. Ako ispitamo spektar signala dobivenog na izlazu DAC-a, ispada da je prilično izobličen u usporedbi sa spektrom primljenog signala u dokazu teorema. To se može objasniti činjenicom da je signal na izlazu DAC konvolucija signala dobivenog u dokazu teorema i signala u obliku pravokutnog impulsa s trajanjem koje odgovara trajanju perioda uzorkovanja. Opet, prema teoriji operativnog računa, slika konvolucije izvornika dviju funkcija jednaka je umnošku njihovih slika.

Signal primljen na DAC izlazu i njegov spektar prikazani su na Sl. 5. Isprekidana linija označava spektar pravokutnog impulsa. Duplicirani dijelovi spektra prikazani su ne pomnoženi s funkcijom oblika sin (x) / x. Spektar bilo kojeg pravokutnog impulsa zadan je funkcijom sličnom sin (x) / x. Za obnavljanje kontinuiranog izvornog signala, u ovom slučaju, potrebno je izračunati impulsni odziv niskopropusnog filtra na način da nakon primjene ovog filtra u spektru primljenog signala, rad podjele na odgovarajuće odabrani vrši se i funkcija oblika sin (x) / x.

Budući da u praktičnim slučajevima nije moguće postići točan izračunati impulsni odziv filtera, može doći do nagiba spektra impulsnog odziva u području granične frekvencije filtra. Širina rampe ovisi o vrsti korištenog analognog filtra. Na primjer, kada se koristi filtar Bessel, širina nagiba je prilično značajna, a kada se koristi filtar Chebyshev, širina nagiba je znatno manja, ali Chebyshev filter ima niz drugih nedostataka o kojima se govori u poglavlju „Primjena digitalnog filteri". Zbog nagiba u području granične frekvencije, dio spektra u blizini granične frekvencije je neiskorišten i tada se koristi filtar čija je granična frekvencija veća od fm za širinu nagiba.

U zaključku, treba napomenuti da je pomoćni signal koji se razmatra u dokazu Kotelnikovog teorema čisto apstraktan i ne može postojati u prirodi, budući da je nemoguće dobiti beskonačno malu širinu impulsa. Međutim, može se napraviti određena pojednostavljenja na temelju sljedeće činjenice. Bilo koji linearni sustav ima konačnu brzinu, odnosno radi u konačnom vremenskom intervalu. Ako ovo strujni krug, tada je brzina, u pravilu, određena vrijednostima kapaciteta uključenih u krug. Ako se na ulaz takvog sustava primijeni impuls, koji ima jediničnu amplitudu i čija će duljina biti mnogo manja od donje granice vremenskog intervala rada kruga, tada će se ovaj impuls percipirati na isti način kao idealan (tj. koji ima beskonačno malu širinu i jediničnu površinu). Dakle, u praktičnim slučajevima postoji aproksimacija pomoćnog signala koji se koristi u dokazu teorema.

Digitalna obrada signala(DSP, DSP - engleski digitalni obrada signala) - pretvorba signala prikazanih u digitalni oblik.

Svaki kontinuirani (analogni) signal može se vremenski uzorkovati i razinom kvantizirati (digitalizirati), odnosno predstaviti u digitalnom obliku. Ako brzina uzorkovanja signala nije manja od dva puta najviša frekvencija u spektru signala (tj.), tada je dobiveni diskretni signal ekvivalentan signalu prema metodi najmanjih kvadrata (OLS) (vidi: Kotelnikovov teorem).

Uz pomoć matematički algoritmi se pretvara u neki drugi signal koji ima tražena svojstva. Proces pretvaranja signala naziva se filtriranje, a uređaj koji vrši filtriranje naziva se filter. Budući da uzorci signala dolaze iz konstantna brzina, filter mora imati vremena za obradu trenutnog uzorka prije nego što stigne sljedeći (češće - prije sljedećeg n broji, gdje n — odgoditi filter), odnosno za obradu signala u stvarnom vremenu. Za obradu (filtriranje) signala u stvarnom vremenu koriste se posebni računalni uređaji - digitalni procesori signala.

Sve je to u potpunosti primjenjivo ne samo na kontinuirane signale, već i na one povremene, kao i na signale snimljene na memorijskim uređajima. V potonji slučaj brzina obrade nije kritična, jer podaci neće biti izgubljeni tijekom spore obrade.

Razlikovati metode obrade signala u vremenske(engl. vremenska domena) i u frekvencija(engl. frekvencijska domena) područje. Ekvivalencija vremensko-frekvencijskih transformacija jedinstveno je određena Fourierovom transformacijom.

Obrada signala u vremenskoj domeni naširoko se koristi u modernoj elektroničkoj oscilografiji i digitalnim osciloskopima. Digitalni analizatori spektra koriste se za predstavljanje signala u frekvencijskoj domeni. Za proučavanje matematičkih aspekata obrade signala koriste se paketi proširenja (najčešće pod nazivom Obrada signala) računalnih sustava. matematika matlab, Mathcad, Mathematica, Maple itd.

V posljednjih godina pri obradi signala i slika naširoko se koristi nova matematička osnova za predstavljanje signala pomoću "kratkih valova" - vala. Može se koristiti za obradu nestacionarnih signala, signala s prekidima i drugim značajkama te signala u obliku rafala.

Digitalna obrada signala – neki osnovni koncepti.

Fizičke veličine, osim ako se ne spustimo na kvantnu razinu, kontinuirano se mijenjaju. ali digitalna obrada signali radi isključivo s diskretnim veličinama, a diskretnost se očituje na dva načina - pri kvantizaciji u vremenu i kada se kvantizira u amplitudi signala. Ova prividna komplikacija u potpunosti je opravdana činjenicom da za obradu možemo koristiti digitalno računalni strojevi potpuno eliminirajući problem nestabilnosti parametara, koji je tako bolan u analognoj obradi. Jednako važna prednost je to što je cijena digitalne obrade niska i nastavlja padati, čak i kod vrlo složenih tipova. To vam omogućuje stvaranje učinkoviti sustavi obrada signala uz razumnu cijenu. Koliko je takva zamjena dopuštena? Dovodi li do gubitka točnosti?

Diskretni signal dobiva se analognom operacijom uzorkovanjem - uzimanjem uzoraka (mjerenjem) u vremenskom intervalu T. U principu, digitalna obrada je moguća i uz neravnomjerno uzorkovanje u vremenu, ali je ova tema matematički mnogo slabije razrađena i očito je nije od tako velikog praktičnog interesa. Tijekom ove operacije, čini se mogućim da se izgube informacije sadržane u vrijednostima signala u intervalima između uzoraka. Uvjeti pod kojima je moguće obnoviti analogni signal iz digitalnog signala dobivenog iz njega, odnosno sačuvati sve informacije izvorno sadržane u signalu, izraženi su Nyquist-Whittaker-Kotelnikov-Shannonov teoremom (ovisno o autorove preferencije, susreću se sve zamislive kombinacije ovih naziva). To zahtijeva da širina pojasa ulaznog signala bude barem dvostruko uža od frekvencije uzorkovanja, odnosno f c = 1 / 2f d. (Često se navodi njegova posebna formulacija, što je ispravno za signale čiji frekvencijski pojas počinje od nulte frekvencije – „tako da nisu prisutne frekvencije veće od polovice frekvencije uzorkovanja”).

Ako postoje takve frekvencije, postoji efekt maskiranja (supstitucije) frekvencija. Iluzija koja se često manifestira u kinu može poslužiti kao jasna manifestacija toga - kotač se odjednom počinje okretati u suprotnom smjeru. Ovdje je brzina kadrova analogna brzini uzorkovanja, a kada kotač napravi više od pola okreta između uzastopnih kadrova, čini se da se vrti u suprotnom smjeru i različitom brzinom. Za frekvenciju f, frekvencije (2f c ± f), (4f c ± f), (6f c ± f) itd. su maskirane ispod nje. Također se koristi izraz "aliases", od aliases. Propust da se uzme u obzir ovaj učinak može dovesti do velikih pogrešaka: na primjer, u jednoj studiji provedenoj u ozbiljnom laboratoriju, prisutnost frekvencija od 22 i 28 herca u elektroencefalogramu pronađena je kod svih pacijenata, za razliku od zdravih ispitanika. Međutim, primijetivši da je stopa uzorkovanja u ovu studiju usvojeno je 128 Hz, vidimo da su te frekvencije "duhovi", koji stvaraju smetnje na frekvencijama od 100 i 150 Hz - drugi i treći harmonici frekvencije mreže (njihov izvor mogu biti npr. nelinearni uređaji u strujnim krugovima opreme, kao što su ispravljači i transformatori). Njihova registracija isključivo u bolesnika bila je uvjetovana činjenicom da je u bolnici, u usporedbi sa sveučilišnim laboratorijem, gdje se snimao EEG zdravih ispitanika, razina interferencije bila znatno viša.

Borba protiv efekta maskiranja frekvencije (antialiasing) dovodi do potrebe za predfiltriranjem signala, isključujući frekvencije iznad polovice frekvencije uzorkovanja, a zbog nesavršenosti stvarnih filtara, granična frekvencija se bira namjerno niža od teoretski potrebne. jedan, u pravilu, tri do četiri puta niži od frekvencije uzorkovanja. Ova nesavršenost nije uzrokovana nesposobnošću inženjera elektrotehnike, već je temeljna. Činjenica je da signal s ograničenim frekvencijskim pojasom u principu ne može biti konačne duljine, a ako je vremenski konačan, sadrži beskonačan frekvencijski pojas. (Ovo ograničenje je kvantitativno izraženo odnosom nesigurnosti između duljine impulsa i njegove širine frekvencijskog pojasa - beskonačno kratak impuls sadrži sve moguće frekvencije "u korijenu", a strogo monofrekventna sinusoida trebala bi se protezati od minus do plus beskonačno.) Stoga, pretjerano kvalitetan filter imat će previše veliko vrijeme uspostavljanje, a “idealno” je općenito beskonačno.

(IP) - SI, dizajniran za pretvaranje izmjerene vrijednosti u drugu vrijednost ili signal mjerne informacije, prikladan za obradu, pohranu, daljnje pretvorbe, indikaciju ili prijenos.

Po mjestu u mjernom krugu razlikuju se primarni i srednji. mjerni pretvarači.

Primarni , također se naziva senzor,— ovo je mjerni pretvarač na koji izmjerena vrijednost djeluje izravno.

Odmor mjerni pretvarači nazivaju srednjim. Nalaze se nakon primarnog mjerni pretvarač i može izvoditi razne operacije pretvorbe na mjernom signalu.

U pravilu to uključuje:

Promjena fizičke vrste količine;

Skala (linearna ili nelinearna) transformacija;

Pretvorba vremenske ljestvice;

Analogno-digitalna pretvorba;

Digitalno-analogna pretvorba;

Funkcionalna transformacija (bilo koja matematičke operacije preko vrijednosti količine).

Treba imati na umu da je ova klasifikacija prilično proizvoljna. Prvo, u jednom SI može postojati nekoliko primarnih (na primjer, termoelement u krugu termoelektričnog termometra). Drugo, specifičnost analitičkih mjerenja također dovodi do kršenja naznačenog načela klasifikacije.

Analitička mjerenja su transformacija izmjerene vrijednosti, koja je informativni parametar analiziranog medija. (informativni parametar— parametar koji nosi informaciju o izmjerenoj vrijednosti), i uspoređujući ga s mjerom.

Obično se izvode pomoću agregata mjerni pretvarači, uključujući sljedeće vrste mjerni pretvarači:

IP1: mjerni pretvarač tip sastava - sastav, koji omogućuje velike transformacije analiziranog uzorka. Uzorak je karakteriziran informativnim parametrom S(sadržaj mjerene komponente) i kombinacija neinformativnih parametara Cn, koji uključuju sadržaj neuočljivih (interferirajućih) komponenti i termodinamičkih parametara analizirano okruženje. Prilikom prolaska kroz IP1 odvijaju se procesi čišćenja, sušenja, mijenjanja temperature i tlaka smjese na tražene vrijednosti i, nakon ovih transformacija analiziranog medija, odabir njegove potrebne količine. PI1 se obično naziva jedinica za prikupljanje i pripremu uzoraka;

IP2: mjerni pretvarač sastav tipa - svojstvo koje pretvara izmjerenu vrijednost C u jedno ili drugo fizikalno-kemijsko svojstvo, pogodno za naknadno mjerenje i registraciju. U mnogim slučajevima ova se transformacija odvija u dvije faze: dobivanje međuproizvoda u tekućoj ili čvrstoj fazi koji sadrži komponentu Ynpom (C), a zatim ga pretvoriti u svojstvo F (Ynpom).

IP3: mjerni pretvarač svojstvo tipa - izlazni signal, koji osigurava transformaciju izmjerene vrijednosti u izlaz mjerni signal W. Obično se ova pretvorba također provodi u dvije faze: u međusignal Wnpom (F) a zatim u izlazni signal W (Wnpom). Štoviše, transformacija Wnpom v W Je li transformacija jedne električne veličine u drugu.

Nakon primanja izlaznih signala iz analiziranog objekta pomoću seta mjernih pretvarača, izmjerena vrijednost se uspoređuje s mjerom pomoću kalibracijske ovisnosti i generiraju se procijenjene vrijednosti C * mjerne vrijednosti C.

Ovaj skup mjernih pretvarača ne uklapa se u gornju klasifikaciju, budući da izmjerena vrijednost izravno utječe ne samo na prvi mjerni pretvarač mjernog kruga, već i na njihov skup, uključujući IP1, IP2 i prvi pretvarač IP3 grupe. U ovom slučaju samo je drugi pretvarač IP3 grupe srednji. Iz toga proizlazi da u analitičkim instrumentima ulogu primarnog mjernog pretvarača ima skup mjernih pretvarača, koji uzastopno, u nekoliko faza, pretvara izmjerenu vrijednost u mjerni signal.

Mjerni instrumenti uključuju mjere, mjerne pretvarače, mjerni instrumenti, mjerne instalacije i informacijsko-mjerni sustavi. Mjera naziva se mjerni instrument dizajniran za reprodukciju postavljena vrijednost fizička veličina.

Mjerni pretvarač je mjerni instrument dizajniran za generiranje signala mjerne informacije u obliku prikladnom za prijenos, daljnju transformaciju, obradu i pohranu, ali nije podložan izravnoj percepciji od strane promatrača. Poziva se mjerni pretvarač u koji se dovodi izmjerena vrijednost primarni mjerni pretvarač.

Ovisno o prirodi pretvorenih veličina, razlikuju se sljedeće vrste mjernih pretvarača:

Pretvarači električnih veličina u električne (razdjelnici napona, mjerni transformatori);

Magnetsko-električni pretvarači (mjerne zavojnice);

Pretvarači neelektričnih veličina u električne (termo- i deformacijski pretvarači, reostatski, kapacitivni).

Ovisno o vrsti ulaznih i izlaznih signala, razlikuju se mjerni pretvarači:

- analogni pretvarači koji imaju analogne signale na ulazu i izlazu;

- analogni-digitalni pretvarači imaju analogni signal na ulazu i digitalni (kodirani) signal na izlazu;

- digitalno-analogni pretvarači, koji imaju digitalni ulaz i analogni signal na izlazu.

Primarni mjerni pretvarači koji se nalaze neposredno na objektu proučavanja i udaljeni od mjesta obrade, prikaza i registracije mjernih informacija nazivaju se senzori.

Mjerni instrumenti- mjerni instrument dizajniran za generiranje signala mjerne informacije u obliku dostupnom za izravnu percepciju promatrača.

Po fizičke pojave mjerni instrumenti, koji su u osnovi rada, mogu se podijeliti na električna mjerna (elektromehanička, elektrotermalna, elektrokemijska itd.) i elektronički uređaji... Prema namjeni dijele se na uređaje za mjerenje električnih i neelektričnih (magnetskih, toplinskih, kemijskih i dr.) fizikalnih veličina, prema načinu prikaza rezultata - na pokazne i bilježne. Ovisno o registraciji mjerne vrijednosti - analogni i digitalni mjerni uređaji.

Mjerne instalacije- skup mjernih instrumenata, uključujući mjere, mjerne instrumente i pretvarače, pomoćni uređaji ujedinjen opća shema, s kojim možete mjeriti jednu ili više fizikalnih veličina.

Mjerni raspon- područje vrijednosti mjerene veličine, za koje se normaliziraju dopuštene pogreške mjernog instrumenta. Ograničena je na najviše i najniže vrijednosti.

Raspon vrijednosti ljestvice, ograničen početnim i konačne vrijednosti vage se nazivaju raspon indikacija.

U kanonskoj Kotelnikovoj dekompoziciji, interval uzorkovanja slučajni proces određena je njegovim korelacijskim intervalom, maksimalnom vrijednošću spektralne gustoće i vrijednošću spektralne gustoće na nultoj frekvenciji.

Interval uzorkovanja veći je ili jednak intervalu korelacije procesa.

Iz klasične teorije signala poznato je da su vrijednosti uzoraka uzetih kroz Kotelnikov interval međusobno nekorelirane ako je spektar signala u frekvencijskom pojasu koji zauzima jednoličan (bijeli šum). Međutim, u praksi se uglavnom koriste signali čiji je spektar neujednačen, pa korelacija između uzoraka nije nula. U ovom slučaju, stupanj korelacije raste s povećanjem učestalosti uzorkovanja. Tipičan primjer takvih signala je govor, gdje je korelacija između susjednih uzoraka dovoljno velika ako se Kotelnikov teorem promatra tijekom procesa uzorkovanja.

Uvjet " interval korelacije" ili " vrijeme korelacije", što znači vrijednost vremenskog pomaka, iznad koje se korelacija može zanemariti u uvjetima određenog eksperimenta. Obično se korelacijski interval definira kao .

Ako interval korelacije je nula, tada se slučajni proces naziva nekoreliranim ili bijelim šumom. Inače je slučajni proces koreliran. Kao primjer, sl. 4.1 prikazuje primjer koreliranog (gore) i nekoreliranog (dolje) slučajnog procesa. Svi stvarni procesi su povezani jer imaju ograničenu snagu i stoga ograničenu propusnost.

Međutim, u određenom vremenskom intervalu (učestalosti) mogu se približno smatrati nekoreliranim.

Vrijeme uzorkovanja Δτ = τ k + 1- τ k(ili odgovarajuću frekvenciju

Signali uzorkovanja Δφ = 1 / Δτ);

Vrijeme uzorkovanja signala primarni pretvarači ili se odgovarajuća frekvencija uzorkovanja signala odabire ovisno o zahtjevima za pogrešku mjerenja, uzimajući u obzir činjenicu da je frekvencija uzorkovanja signala određena potrebnim frekvencijskim rasponom mjerenog signala i ograničenjima amplitudno-frekvencijskih karakteristika primarnog signala. pretvarači.

Trebao bi biti najmanje dva do tri puta veći od maksimalne moguće frekvencije Raspon frekvencija izmjereni signal (za dinamička mjerenja). Kraj forme.

APCS je izgrađen prema hijerarhiji od tri razine:

• niža razina - razina instrumentacije i aktuatora;
• srednja razina - razina kontrolera i komunikacijske opreme
• gornja razina - razina poslužitelja i operaterskih stanica

Zbog visokih zahtjeva za pouzdanošću regulacijskog sustava u kemijskoj industriji, rezervirane su sve razine sustava upravljanja procesima. Kako bi se osigurao neprekinuti prijenos podataka između podsustava i hijerarhijskih razina, koriste se visokopouzdani kanali prijenosa podataka koji su otporni na buku. Danas se optička vlakna dobro pokazala za ove namjene. prstenasta mreža Industrijski Ethernet.

Obrada informacija provodi se u središnjem procesorskom modulu kontrolera, što osigurava visoku pouzdanost upravljačkog sustava i jamstvo izvođenja svih potrebnih algoritama, koji je izgrađen na modularnom principu koji omogućuje operativna zamjena neuspjeli moduli.

Prikaz informacija o načinima upravljanja instalacijom i njenom upravljanju aktuatori provodi se s automatizirane radne stanice operatera (AWP), implementirano na 2 identična industrijska računala u "vrućem" stanju čekanja s instalirani paket vizualizacija temeljena na operacijskoj sali Windows sustavi XP

Svi pravi kontinuirani signali su glatke funkcije vremena. Kod njih se praktički ne primjećuju skokovi vrijednosti. Stoga se takvi signali mogu predstaviti kao slijed njihovih vrijednosti uzetih s određenim vremenskim korakom. Zove se vrijednost signala u fiksnom trenutku odbrojavanje .

Ova slika pokazuje kontinuirani signal i njegovo brojanje s različitim vremenskim koracima. S malim korakom (slika B), slijed očitanja prilično točno opisuje signal, a s velikim korakom (slika C), oblik signala se ne može vratiti iz očitanja, jer su propuštene njegove karakteristične ekstremne točke.

Koliko često treba uzimati uzorke da bi se signal iz njih mogao u potpunosti rekonstruirati?

Odgovor na ovo pitanje daje teorem koji je 1933. dokazao sovjetski znanstvenik akademik V. A. Kotelnikov... i nazvana po njemu.

Prema ovom teoremu bilo koji kontinuirani signal s konačnim spektrom (koji ima maksimalna vrijednost) može se predstaviti u obliku diskretnih uzoraka, čiju frekvenciju uzorkovanja treba odabrati najmanje dvostruko veću od maksimalne vrijednosti spektra signala :, prenijeti ga komunikacijskom linijom, a zatim vratiti izvorni analogni signal.

Kotelnikovov teorem je osnova za uzorkovanje kontinuiranih signala u vremenu, budući da, prvo, dokazuje da se kontinuirani signal može zamijeniti svojim diskretnim vrijednostima, i drugo, daje pravilo za izračunavanje koraka uzorkovanja -. S takvim korakom uzorkovanja, serija Kotelnikov daje točan vremenski prikaz složenog signala.

Fizičko značenje Kotelnikovog teorema.

Kotelnikovov teorem kaže da ako trebate prenijeti kontinuirani signal s ograničenim spektrom preko komunikacijskog kanala, onda ne možete prenijeti sve njegove vrijednosti: samo ga trebate prenijeti trenutne vrijednosti(broji) svaki interval. Budući da je signal u potpunosti određen ovim vrijednostima, onda se iz njih može rekonstruirati na prijemnom kraju komunikacijskog sustava. Da biste to učinili, dovoljno je povezati očitanja glatke krivulje. To se može objasniti činjenicom da se signal između uzoraka može mijenjati samo glatko, budući da su frekvencije veće dajući brze promjene, su odsutni u signalu. Uostalom, očitanja se uzimaju prilično često, i što češće, to su veća maksimalna frekvencija.

Praktična primjena Kotelnikovog teorema.

Uzorkovanje signal se provodi vrlo jednostavno: periodično na kratko vrijeme u intervalima, ključ zatvara krug od izvora signala do opterećenja - dobivamo očitanja. Nadalje, ti uzorci, nakon što su prošli kroz komunikacijski kanal, ulaze na ulaz idealnog niskopropusnog filtra (LPF) s gornjom frekvencijom prolaza. Izlaz filtra je izvorni kontinuirani signal.

Strukturna shema komunikacijski sustavi koji koriste Kotelnikov teorem.

Na strani odašiljanja povremeno se uzimaju uzorci signala. Nadalje, uzorci se na bilo koji način prenose komunikacijskim kanalom. Idealan niskopropusni filtar na kraju prijema vraća izvorni signal.

Brzina ponavljanja pulsa, također tzv frekvencija uzorkovanje , određena je Kotelnikovim teoremom:

.

Na primjer, stopa uzorkovanja za govorni (telefonski) signal koji ima maksimalnu vrijednost spektra signala , bit će jednako. Prema preporukama CCITT-a i shodno tome,.

Kotelnikovov teorem u višekanalnim telekomunikacijama.

Mogućnost prijenosa umjesto kontinuiranih signala, slijed impulsa (uzoraka) omogućuje vremensku podjelu kanala. Činjenica je da je kod prijenosa impulsa razdoblje ponavljanja impulsa obično mnogo duže od njihovog trajanja, odnosno da impulsi imaju veliki radni ciklus - s velikim radnim ciklusom ostaje razmak između impulsa jednog signala, na kojem impulsi od drugih signala mogu se postaviti. Ova metoda se zove vremenska podjela ... Trenutno već implementirano višekanalni sustavi prijenos s vremenskom podjelom kanala na 12, 15, 30, 120, 480, 1920 govornih signala.

Godine 1933. V.A.Kotelnikov je dokazao teorem, koji je jedna od temeljnih odredbi teorijske radiotehnike. Ovaj teorem utvrđuje mogućnost proizvoljno točne rekonstrukcije trenutnih vrijednosti signala s ograničenim spektrom na temelju vrijednosti uzoraka (uzoraka) uzetih u pravilnim intervalima.

Konstrukcija ortonormalne baze.

Kao što je prikazano, bilo koja dva signala s ograničenim spektrom pripadaju obitelji

su ortogonalne. Odgovarajućim odabirom faktora amplitude A moguće je postići da norma svakog od ovih signala postane jedinica. Kao rezultat, bit će konstruirana ortonormalna baza koja omogućuje proširenje proizvoljnog signala s ograničenim spektrom u generalizirani Fourierov niz.

Dovoljno je razmotriti samo funkciju

budući da je norma svakog signala ista bez obzira na vremenski pomak. Ukoliko

funkcije i bit će ortonormalna ako

Beskrajna zbirka funkcija

čini Kotelnikovu osnovu u linearni prostor niskofrekventni signali sa spektrom omeđenim odozgo vrijednošću.Zasebna funkcija naziva se referentna funkcija.

Kotelnikovov red. Ako je - proizvoljan signal, čija je spektralna gustoća različita od nule samo u frekvencijskom pojasu -, onda se može proširiti u generalizirani Fourierov niz prema bazi Kotelnikova:

Koeficijenti rad su, kao što je poznato, skalarni produkti signala koji se dekomponira i referentne funkcije:

Prikladan način za izračunavanje ovih koeficijenata je korištenje generalizirane Rayleighove formule. Lako je provjeriti da referentna funkcija unutar segmenta ima spektralnu gustoću jednaku. To se može vidjeti iz usporedbe formula (5.3) i (5.13). Zatim, ako je spektar proučavanog signala, onda

Količina u kovrčave zagrade nije ništa više od toga, trenutna vrijednost signala do referentne točke

Na ovaj način,

odakle slijedi izraz za niz Kotelnikov:

Na temelju posljednje jednakosti uobičajeno je formulirati Kotelnikovov teorem na sljedeći način: proizvoljni signal, čiji spektar ne sadrži frekvencije veće od Hz, može se u potpunosti rekonstruirati ako su poznate vrijednosti uzorka ovog signala, uzete na redovitim intervalima

Primjer 5.1. Dat signal

Odabirom određenog fiksnog intervala između uzoraka, dobivamo priliku da iz uzoraka nedvosmisleno rekonstruiramo svaki signal čiji spektar ne sadrži komponente na frekvencijama iznad granična frekvencija

Ako je tada Kotelnikov teorem primjenjiv na razmatrani harmonijski signal; vrijednosti uzorka (uzoraka) zadanog signala

U graničnom slučaju, kada frekvencija teži ulijevo, t.j.

moraju postojati točno dva uzorka za svaki period harmonijskog signala.

Ako su uvjeti Kotel'nikovog teorema narušeni i očitanja vremena se ne uzimaju dovoljno često, tada je nedvosmislena rekonstrukcija izvornog signala u osnovi nemoguća. Beskonačan broj krivulja može se povući kroz referentne točke, čije su spektralne gustoće izvan trake različite od nule -

Riža. 5.2. Hardverska implementacija sinteze signala pomoću serije Kotelnikov

Hardverska implementacija sinteze signala koju predstavlja serija Kotelnikov.

Važna značajka Kotelnikovova teorema je njegova konstruktivna priroda; ne samo da ukazuje na mogućnost dekomponiranja signala u odgovarajući niz, već također određuje način vraćanja kontinuiranog signala zadanog njegovim referentnim vrijednostima (slika 5.2).

Neka postoji skup generatora koji stvara funkcije brojanja na izlaznim terminalima. Generatorima je moguće upravljati - amplituda njihovih signala proporcionalna je očitanim vrijednostima. Ako kombinirate oscilacije na izlazima dovodeći ih u zbrajač, tada se trenutne vrijednosti sintetiziranog signala s (t) mogu uzeti iz izlaz zbrojivača u skladu s formulom (5.18).

Primjer 5.2. Pravokutni video puls s jediničnom amplitudom i trajanjem ne pripada broju signala ograničenog spektra. Ipak, modul njegove spektralne gustoće opada prilično brzo (prema zakonu) s povećanjem frekvencije.

Opis takvog signala s dva broja na početku i na kraju impulsa značit će zamjenu izvorne oscilacije signalom sa spektrom omeđenim odozgo frekvencijom Matematički model ovaj signal je sljedeći:

Ako puls opišemo s tri jednako raspoređena uzorka, tada dolazimo do aproksimativnog signala koji sadrži frekvencije do

Naravno, s povećanjem broja termina koji se uzimaju u obzir, tj. sa smanjenjem vremenskog intervala između uzoraka, točnost aproksimacije će se povećati.

Procjena pogreške koja proizlazi iz aproksimacije proizvoljnog signala nizom Kotelnikov.

Ako je signal proizvoljan, onda se može predstaviti zbrojem k, koji uključuje signal sa spektrom ograničenim vrijednošću, kao i signal pogreške aproksimacije sa spektrom koji u općem slučaju zauzima beskonačni frekvencijski pojas.

Spektri ovih signala se ne preklapaju, stoga su signali ortogonalni, a njihove energije, tj. kvadrati normi, zbrajaju se:

Kao mjera pogreške aproksimacije može se uzeti udaljenost jednaka normi signala pogreške. Ako je energetski spektar signala, onda prema Rayleighovom teoremu

Primjer 5.3. Dat je eksponencijalni video puls, karakteriziran energetski spektar i norma

Učinkovito trajanje ovog impulsa (vidi poglavlje 2)

Spektar signala koji se razmatra je neograničen. Stoga biste najprije trebali podvrgnuti signal niskopropusnom filtriranju propuštajući ga kroz niskopropusni filtar (LPF). Vrijednost gornje frekvencije propusnog pojasa filtra treba odabrati ovisno o tome koliko često se uzorci signala uzimaju na izlazu niskopropusnog filtra. Pretpostavimo da se brojanja mjere tijekom vremena s intervalom. Prema Kotelnikovu teoremu to znači da.

Signal s izlaza niskopropusnog filtra se rekonstruira točno prema vrijednostima uzorka. Međutim, s obzirom na izvorni video puls, pogreška je neizbježna. U ovom slučaju, stopa signala pogreške