Komentar
Izbor δ u definiciji jednolikog kontinuiteta ovisi o ε, ali ne o x 1 ,x 2 .
Svojstva
- Funkcija ravnomjerno kontinuirana na setu M, kontinuirano je na njemu. Općenito govoreći, obrnuto nije točno. Na primjer, funkcija
je kontinuirano kroz cijelo područje definicije, ali nije jednoliko kontinuirano, budući da za bilo koji src = "/ slike / wiki / datoteke / 98 /.png" border = "0"> možete odrediti segment proizvoljno male duljine kao što je da će se krajevi vrijednosti funkcije razlikovati više nego u drugom primjeru: funkcija
je kontinuiran na cijeloj brojevnoj osi, ali nije jednoliko kontinuiran, budući da
Za bilo koji src = "/ slike / wiki / datoteke / 98 /.png" border = "0"> možete odabrati segment proizvoljno male duljine tako da razlika u vrijednostima funkcije f(x) = x 2 na krajevima segmenta bit će veća. Konkretno, na segmentu razlika u vrijednostima funkcije teži
vidi također
Zaklada Wikimedia. 2010.
- Jednako temperirana ljestvica
- Ujednačeno temperirana ljestvica
Pogledajte što je "jednoliko kontinuirana funkcija" u drugim rječnicima:
Kontinuirana funkcija- Ovaj članak govori o kontinuiranoj numeričkoj funkciji. Za kontinuirana preslikavanja u raznim granama matematike, pogledajte kontinuirano preslikavanje. Kontinuirana funkcija je funkcija bez "skokova", odnosno ona s malim promjenama ... ... Wikipedia
KONTINUIRANA FUNKCIJA- jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Neka je realna funkcija f definirana na određenom podskupu Reala, t.j. Poziva se funkcija f kontinuirano u točki (ili, detaljnije, kontinuirano u točki duž skupa E), ako za ... ... Enciklopedija matematike
Apsolutno kontinuirana funkcija- Funkcija se naziva apsolutno kontinuiranom funkcijom na konačnom ili beskonačnom segmentu ako, takva da za bilo koji konačni skup disjunktnih intervala domene funkcije ... Wikipedia
PONOVNA FUNKCIJA- funkcija koja je dinamička ponavljajuća točka pomaka. sustava. Ekvivalentna definicija: funkcija, gdje je S metrički. prostor, tzv. ponavlja se ako ima predkompaktni skup vrijednosti, jednoliko je kontinuiran i za bilo koje ... ... Enciklopedija matematike
Gotovo periodična funkcija- funkcija čije se vrijednosti približno ponavljaju kada se argumentu dodaju pravilno odabrani konstantni brojevi (gotovo točke). Točnije: kontinuirana funkcija f (x) definirana za sve realne vrijednosti x, ... ... Velika sovjetska enciklopedija
SELEKTIVNA FUNKCIJA- funkcija argumenta t, koja jedinstveno odgovara svakom promatranju slučajnog procesa; ovdje ima mnogo elementarnih događaja. Često se D koriste jednako kao V. f. termini provedba, putanja. Slučajni proces karakterizira ... ... Enciklopedija matematike
FUNKCIJA DISTRIBUCIJE- kakva je slučajna vrijednost X funkcija realne varijable x, uzimajući za svaki x vrijednost jednaku vjerojatnosti nejednakosti X
OPĆENA ANALITIČKA FUNKCIJA- funkcija koja zadovoljava sustav s realnim koeficijentima koji su funkcije realnih varijabli x i y. U zapisu, izvorni sustav je zapisan kao Enciklopedija matematike
HARMONIČKA FUNKCIJA- realna funkcija definirana u području euklidskog prostora koja ima kontinuirane parcijalne derivacije 1. i 2. reda u D i koja je rješenje Laplaceove jednadžbe gdje su kartezijanske pravokutne koordinate točke x. Ponekad ova definicija ... ... Enciklopedija matematike
Plurisubharmonička funkcija- Plurisubharmonička funkcija je realnovrijedna funkcija kompleksnih varijabli u području kompleksnog prostora, koja zadovoljava sljedeće uvjete ... Wikipedia
Ako je funkcija kontinuirana na nekom intervalu (zabranjenom ili otvorenom), onda to, kao što već znamo, znači da za bilo koju točku tog intervala za unaprijed određen ε> 0 postoji takvo q> 0 da iz nejednakosti
x 0 - x< д
slijedi nejednakost
f (x 0) - f (x)<
tako da su samo x točaka također u zadanom intervalu.
Dakle, jasno je da q ovisi o e. Osim toga, za različite točke intervala za isti je broj q također može biti različit, t.j. q ne ovisi samo o e, već i o x 0. Zatim, od temeljne važnosti je činjenica da među vrijednostima q za različite točke intervala i za istu je najmanja vrijednost q, toga nema. U prvom slučaju, za dani e> 0, može se pronaći zajednička vrijednost za sve točke intervala, a zatim kažu da je funkcija na intervalu koji se razmatra jednoliko kontinuirana.
Definicija. Funkcija se naziva jednolično kontinuiranom na danom intervalu ako je, prvo, definirana u svim točkama tog intervala, i drugo, ako je istinit sljedeći uvjet: svaki proizvoljno mali ε> 0 može biti pridružen takvim q> 0, iz nejednakost x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Iz definicije jednolikog kontinuiteta funkcije slijedi da je funkcija jednoliko kontinuirana na nekom intervalu, kontinuirana u svakoj točki tog intervala. Obratna izjava, kao što pokazuje primjer funkcije na pivinintervalu (0, 1), nije uvijek istinita.
Cantorov teorem (o uniformnom kontinuitetu funkcije). Ako je funkcija neprekidna na segmentu [a, b], tada je jednoliko kontinuirana na ovom segmentu.
Dokaz. Neka imamo proizvoljno mali broj e> 0. Podijelimo segment [a, b] na konačan broj m dijelova tako da oscilacije danog kontinuiranog na (a, b] funkcioniraju na svakom od tako dobivenih dijelova segmentima
[a, c 1], [c 1, c 2], [c 2, c 3], …… .., [c i, c i + 1], ……., [a, b],
bio manji od. Budući da postoji konačan broj privatnih odsječaka, njihove su duljine također konačne, pa stoga među njima postoji najmanji, koji označavamo s d. Sada uzimamo bilo koje dvije točke x 1 i x 2 na segmentu [a, b ] tako da udaljenost između njih bude manja:
x 2 - x 1< д (95)
Takve dvije točke mogu se nalaziti ili na istom privatnom segmentu, ili na susjednim privatnim segmentima. U prvom slučaju
f (x 2) - f (x 1)< , (96)
U drugom slučaju, ako zajednički kraj susjednih privatnih segmenata označimo s c i, dobivamo:
f (x 2) - f (x 1) = | f (x 2) - f (c i) + f (c i) - f (x 1) | ?,
f (x 2) - f (x 1)< (97)
Dakle, u prvom slučaju nejednakost (95) implicira nejednakost (96), a u drugom nejednakost (95) implicira nejednakost (97). Teorem je dokazan.
(Ovo svojstvo vrijedi samo za segmente linija, ne za intervale i poluintervale.)
Funkcija je kontinuirana na intervalu (0, a), ali nije jednoliko kontinuirana na njemu, budući da postoji broj> 0 takav da postoje vrijednosti x 1 i x 2 takve da je f (x 1) - f (x 2)>, - bilo koji broj pod uvjetom da su x 1 i x 2 blizu nule.
Funkcija $% f (x) $% naziva se kontinuirana u točki $% x_0 $% ako $$ \ forall \ varepsilon> 0 \ \ \ postoji \ delta (x_0, \ varepsilon)> 0: \ \ forall x: | x -x_0 |<\delta =>| f (x) -f (x_0) |<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
A kako se razlikuje od redovitog kontinuiteta?>
Uobičajeni (točkasti) kontinuitet je lokalno svojstvo funkcije. To znači da se izvodi u određenoj točki. Imajte na umu da je definicija kontinuiteta funkcije dana točno u točki. Štoviše, znamo da postoje funkcije koje su kontinuirane ne samo u jednoj točki, već i na nekom skupu (na primjer, $% f (x) = \ sin x $% je kontinuirano na $% \ mathbb (R ) $% ). Ovo ne poništava lokalnu prirodu kontinuiteta, to jest, jednostavno znači da ako provjerimo $% \ sin x $% za kontinuitet u svakoj zasebnoj točki od $% \ mathbb (R) $%, tada će funkcija zadovoljiti u ovom konkretnom trenutku... Budući da je u svakoj točki $% x_0 $% skupa $% \ mathbb (R) $% uvjet kontinuiteta funkcije $% \ sin x $% u točki $% x_0 $% zadovoljen, funkcija se naziva kontinuirana na ovom setu. Štoviše, kada smo proučavali kontinuitet funkcije u svakoj zasebnoj točki, mi smo (za danu $% \ varepsilon $%) za ovu točku uzeli $% \ delta = \ delta (x_0, \ varepsilon) $%. To jest, za različite točke skupa, (općenito govoreći) dobit će se različite delte. Dakle, postoji neujednačeno svojstvo funkcije "da bude kontinuirana" duž delte: grubo govoreći, u točki $% x_1 $% funkcija je kontinuirana s jednom deltom, a u točki $% x_2 $% - s drugom delta.
Kako razumjeti δ> 0, ako je funkcija kontinuirana, tada za bilo koji epsilon mora postojati delta.>
Točno ste to primijetili ako funkcija je kontinuirana, tada za bilo koji epsilon delta postoji. Međutim, u praksi je situacija često ovakva - dobijete funkciju (na primjer, $% y = 3 + x $%) i točku (na primjer, $% x_0 = 2 $%). Pitanje je hoće li funkcija $% f $% biti kontinuirana u točki $% x_0 $%? Kako saznati? Najosnovniji način je provjeriti je li ispunjena definicija kontinuiteta funkcije u točki. Naime, dat ću vam drugačiji epsilon ($% \ varepsilon = 1, \ space \ varepsilon = 1/2, \ space \ varepsilon = 1/100 $%, i tako dalje), a vi ćete odabrati takvu deltu za mene , ovisno o tome iz ovog epsilona i točka x su nula, da je definicija zadovoljena. Ako vam se nakon što vam nabrojim sve pozitivne ipsilone (neće biti lako, ali ipak) ispostavi da ste pronašli takvu deltu za svaki epsilon, onda se slažemo da je funkcija u ovom trenutku kontinuirana. Ako vam u nekom trenutku kažem takav epsilon (na primjer, $% \ varepsilon = 1/1000 $%) za koji ne možete pronaći deltu takvu da je definicija zadovoljena, tada funkcija ne može biti kontinuirana u ovom trenutku (ona ne zadovoljava definiciju kontinuiteta).
Kada je uvjet | x - x0 |<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
U ovom tvom citatu ujednačeni kontinuitet zamijenio sam uobičajenim (izgleda da se prvo s tim trebaš pozabaviti). Imajte na umu da je za prepoznavanje funkcije kao diskontinuirane (ne kontinuirane) potrebno da definicija kontinuiteta(koji se nalazi na početku poruke) nije izvršen. I to ne samo dio ove definicije, već ona u cijelosti. Umjesto definicije u ovom slučaju, trebalo bi je izvršiti logička negacija... Mnemoničko pravilo za sastavljanje negacije je sljedeće: svi kvantifikatori "postoje" (ikona $% \ postoji $%) i "za bilo koji" (ikona $% \ forall $%) moraju se zamijeniti suprotnim (tj. , $% \ exists $% mora se zamijeniti s $ % \ forall $% i zamijeniti $% \ forall $% s $% \ exists $%). Također morate promijeniti predznak posljednje nejednakosti u suprotan (u ovom slučaju, $% | f (x) -f (x_0) |<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funkcija $% f (x) $% je diskontinuirana (tj. nije kontinuirana) u točki $% x_0 $% ako $$ \ postoji \ varepsilon> 0: \ forall \ delta> 0 \ prostor \ postoji x: | x- x_0 |<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Odavde vidimo da je vaš kriterij za diskontinuitet (uvjet $% | x-x_0 |<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Da bismo to bolje razumjeli, korisno je samostalno analizirati nekoliko osnovnih primjera na ovu temu (na primjer, istražiti neku vrlo jednostavnu funkciju za kontinuitet u točki $% x_0 $% i ako je u njoj kontinuirana, onda eksplicitno navesti $% \ delta (x_0, \ varepsilon) $%, a ako je diskontinuiran, navedite $% \ varepsilon $%, za koji se izvodi negacija itd.). Nakon što se upoznate s definicijom kontinuiteta i njegovom negacijom (općenito, a posebno u jeziku $% \ varepsilon $% - $% \ delta $%), prijelaz na jednoliki kontinuitet bit će mnogo lakši. I, naravno, morate pročitati o kontinuitetu i jednolikom kontinuitetu u udžbeniku analize. Prema linku koji ste dali, postoje neki materijali koji više liče na poticaj za ispit, gdje je ujednačen kontinuitet objašnjen u jednom retku. Kako je moguće svladati ovaj (i druge pojmove) u matematici u ovom formatu potpuno mi je nejasno.
p.s. Molimo ostale sudionike da provjere ovaj odgovor (jesam li sve točno naveo), jer je on metodološke prirode.
