2.1. Spektri periodični signali

Periodični signal (struja ili napon) je vrsta utjecaja kada se oblik signala ponavlja nakon određenog vremenskog intervala. T, koji se naziva razdoblje. Najjednostavniji oblik Periodični signal je harmonijski signal ili sinusoida, koji je karakteriziran amplitudom, periodom i početnom fazom. Svi ostali signali će biti neharmonijski ili nesinusni. Može se pokazati, a praksa dokazuje, da ako je ulazni signal napajanja periodičan, tada će i sve ostale struje i naponi u svakoj grani (izlazni signali) također biti periodični. U tom će se slučaju oblici signala u različitim granama razlikovati jedni od drugih.

Postoji opća tehnika za proučavanje periodičnih neharmoničnih signala (ulazni utjecaji i njihove reakcije) u električnom krugu, koja se temelji na širenju signala u Fourierov niz. Ova tehnika sastoji se u činjenici da je uvijek moguće odabrati niz harmoničnih (tj. sinusoidnih) signala s takvim amplitudama, frekvencijama i početnim fazama, čiji je algebarski zbroj ordinata u bilo kojem trenutku jednak ordinati nesinusoidni signal koji se proučava. Tako, na primjer, napon u na sl. 2.1. može se zamijeniti zbrojem naprezanja i , jer u svakom trenutku vremena postoji identična jednakost: . Svaki od članova je sinusoida, čija je frekvencija povezana s periodom T cjelobrojni omjeri.

Za primjer koji razmatramo, imamo period prvog harmonika koji se podudara s periodom neharmonijskog signalaT 1 = T, a period drugog harmonika dva puta manjiT 2 = T/2, tj. trenutne vrijednosti harmonike treba napisati u obliku:

Ovdje su amplitude harmonijskih oscilacija međusobno jednake ( ), a početne faze su nula.

Riža. 2.1. Primjer zbrajanja prvog i drugog harmonika

neharmonijski signal

U elektrotehnici se naziva harmonijska komponenta čiji je period jednak periodu neharmonijskog signala prvi ili Osnovni, temeljni harmoniku signala. Sve ostale komponente nazivamo višim harmoničkim komponentama. Harmonik čija je frekvencija k puta veća od prvog harmonika (i period, prema tome, k puta manji) naziva se

k - ti harmonik. Razlikuje se i prosječna vrijednost funkcije u razdoblju, koja se naziva ništavan harmonik. U opći slučaj Fourierov red se piše kao zbroj beskonačan broj harmonijske komponente različitih frekvencija:

(2.1)

gdje je k harmonijski broj; - kutna frekvencija k-tog harmonika;

ω 1 = ω =2 π / T- kutna frekvencija prvog harmonika; - nulti harmonik.

Za signale oblika koji se često pojavljuju, proširenje u Fourierov red može se pronaći u stručnoj literaturi. Tablica 2 prikazuje dekompozicije za osam periodičnih valnih oblika. Treba napomenuti da će se proširenja dana u tablici 2 dogoditi ako je ishodište koordinatnog sustava odabrano kao što je prikazano na slikama lijevo; prilikom promjene početka vremena t početne faze harmonika će se promijeniti, ali će amplitude harmonika ostati iste. Ovisno o vrsti signala koji se proučava, V treba shvatiti ili kao vrijednost izmjerenu u voltima, ako se radi o naponskom signalu, ili kao vrijednost izmjerenu u amperima, ako je to strujni signal.

Proširenje periodičnih funkcija u Fourierov red

tablica 2

Raspored f(t)	Fourierov red funkcijaf(t)	Bilješka
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Signali 7 i 8 generiraju se iz sinusoide krugovima koji koriste elemente ventila.

Skup harmonijskih komponenti koje tvore nesinusoidni signal naziva se spektrom tog neharmonijskog signala. Iz ovog skupa harmonika oni su izolirani i razlučeni amplituda I faza domet. Spektar amplitude je skup amplituda svih harmonika, koji se obično prikazuje dijagramom u obliku skupa okomitih linija, čije su duljine proporcionalne (u odabranom mjerilu) vrijednostima amplitude harmonika. komponente, a mjesto na vodoravnoj osi određeno je frekvencijom (harmonijskim brojem) te komponente. Slično, fazni spektri se smatraju skupom početne faze svi harmonici; također su prikazani u mjerilu kao skup okomitih linija.

Treba napomenuti da se početne faze u elektrotehnici obično mjere u rasponu od –180 0 do +180 0. Spektri koji se sastoje od pojedinačnih linija nazivaju se linearni ili diskretni. Spektralne linije su na udaljenosti f jedno od drugog, gdje f- frekvencijski interval, jednako frekvenciji prvi harmonik f.Tako, diskretni spektri periodični signali imaju spektralne komponente s više frekvencija - f, 2f, 3f, 4f, 5f itd.

Primjer 2.1. Nađite amplitudni i fazni spektar pravokutnog signala kada su trajanja pozitivnog i negativnog signala jednaka, a prosječna vrijednost funkcije tijekom razdoblja jednaka nuli

u(t) = PDV0<t<T/2

u(t) = -Pdv T/2<t<T

Za signale jednostavnih, često korištenih oblika, preporučljivo je pronaći rješenje pomoću tablica.

Riža. 2.2. Linijski amplitudski spektar pravokutnog signala

Iz proširenja pravokutnog signala u Fourierov red (vidi tablicu 2 - 1) proizlazi da harmonički niz sadrži samo neparne harmonike, dok se amplitude harmonika smanjuju proporcionalno harmonijskom broju. Amplitudni linijski spektar harmonika prikazan je na sl. 2.2. Pri konstrukciji se pretpostavlja da je amplituda prvog harmonika (ovdje napon) jednaka jednom voltu: B; tada će amplituda trećeg harmonika biti jednaka B, petog - B, itd. Početne faze svih harmonika signala jednake su nuli, stoga fazni spektar ima samo nulte ordinatne vrijednosti.

Problem je riješen.

Primjer 2.2.Nađite amplitudu i fazni spektar za napon koji varira prema zakonu: pri - T/4<t<T/4; u(t) = 0 at T/4<t<3/4T. Takav se signal generira iz sinusoide eliminacijom (strujnim krugovima koji koriste elemente ventila) negativnog dijela harmonijskog signala.

a)b)

Riža. 2.3. Linijski spektar signala poluvalnog ispravljanja: a) amplituda; b) faza

Za poluvalni signal ispravljanja sinusoidnog napona (vidi tablice 2 - 8), Fourierov niz sadrži konstantnu komponentu (nulti harmonik), prvi harmonik, a zatim skup samo parnih harmonika, čije amplitude brzo opadaju s rastući harmonijski broj. Ako, na primjer, stavimo vrijednost V = 100 V, tada množenjem svakog člana sa zajedničkim faktorom 2V/π, nalazimo(2.2)

Amplitudni i fazni spektar ovog signala prikazani su na sl. 2.3a, b.

Problem je riješen.

U skladu s teorijom Fourierovih redova, točna jednakost neharmonijskog signala sumi harmonika javlja se samo za beskonačno velik broj harmonika. Izračun harmonijskih komponenti na računalu omogućuje analizu bilo kojeg broja harmonika, što je određeno svrhom izračuna, točnošću i oblikom neharmonijskog učinka. Ako je trajanje signalat bez obzira na oblik, mnogo manje od razdoblja T, tada će se amplitude harmonika polako smanjivati, a za potpuniji opis signala potrebno je uzeti u obzir veliki broj članova niza. Ova se značajka može pratiti za signale predstavljene u tablici 2 - 5 i 6, ako je uvjet ispunjen τ <<T. Ako je neharmonijski signal po obliku blizak sinusoidi (na primjer, signali 2 i 3 u tablici 2), tada se harmonici brzo smanjuju, a za točan opis signala dovoljno je ograničiti se na tri do pet harmonici serije.

5. Linearni električni krugovi u režimu periodičkih neharmonijskih utjecaja. Teorija električnih kola

5. Linearni električni krugovi u režimu periodičkih neharmonijskih utjecaja

5.1. Neharmonijski periodički signali

Pri prijenosu informacija putem komunikacijskih kanala u procesu pretvorbe signala u različitim uređajima, u pravilu se koriste neharmonijske oscilacije, budući da čisto harmonijske oscilacije ne mogu biti nositelji informacija. Za prijenos poruka moduliraju harmonijsko titranje u amplitudno - amplitudnoj modulaciji (AM), frekvencijsko - frekvencijskoj modulaciji (FM) ili fazno - faznoj modulaciji (PM), ili koriste impulsne signale modulirane u amplitudno - pulsno amplitudnoj modulaciji (PAM), širini – pulsno-širinska modulacija (PWM), vremenska pozicija – vremensko-impulsna modulacija (TPM). Postoje i drugi, složeniji signali koji se generiraju prema posebnim zakonima. Posebnost ovih signala je njihov složeni neharmonijski karakter. Struje i naponi koji se stvaraju u raznim impulsnim i digitalnim uređajima imaju nesinusoidalni oblik (19. Diskretni signali i sklopovi), harmonijski signali prolazeći kroz razne nelinearne uređaje dobivaju nesinusoidalnu prirodu (11. Nelinearni električni krugovi pod harmoničkim utjecajima) itd. Sve to dovodi do potrebe za razvojem posebnih metoda za analizu i sintezu električnih krugova pod utjecajem periodičnih nesinusoidnih i neperiodičnih struja i napona. Ove metode temelje se na spektralnim prikazima nesinusoidnih utjecaja, temeljenih na širenju u niz ili Fourierov integral.

Iz matematičke analize poznato je da periodička neharmonijska funkcija f(t), koji zadovoljava Dirichletove uvjete, može se proširiti u Fourierov niz:
(5.1)
Gdje a k,b k - koeficijenti širenja određeni jednadžbama
(5.2)

Veličina predstavlja prosječnu vrijednost funkcije tijekom razdoblja f(t) a naziva se konstantna komponenta.

U teorijskim studijama umjesto formule (5.1) obično se koristi druga koja se temelji na zamjeni nezavisne varijable:
(5.3)
Gdje
(5.4)

Jednadžba (5.3) je trigonometrijski oblik Fourierovog reda. Pri analizi krugova često je prikladnije koristiti složeni oblik Fourierovog niza, koji se može dobiti iz (5.3) pomoću Eulerovih formula:
(5.5)

Zamjenom (5.5) u jednadžbu (5.3) nakon jednostavnih transformacija dobivamo složeni oblik Fourierovog reda:
(5.6)
Gdje A k- kompleksna amplituda k ti harmonici:
(5.7)
Gdje – amplituda; – početna faza k th harmonika.

Zamjena vrijednosti a k I b k iz (5.4) do (5.7) dobivamo:
(5.8)

Amplituda postavljena 0,5 A k = 0,5A –k u ekspanziji (5.6), ucrtano prema odgovarajućim pozitivnim i negativnim frekvencijama, oblikuje se simetrično u odnosu na koordinatnu os (zbog pariteta koeficijenata i k) linijski amplitudski spektar.

Skup ordinata k = – –k iz (5.7), uključen u ekspanziju (5.6) i nacrtan nasuprot odgovarajućih pozitivnih i negativnih frekvencija, čini simetrično u odnosu na ishodište koordinatne osi (zbog neparnosti koeficijenata b k)linijski fazni spektar.

Proširenje (5.3) može se prikazati u drugom obliku. S obzirom na to i k = A k cos k I b k= A k grijeh k, tada nakon zamjene u (5.3) dobivamo:
(5.9)

Ako konstantnu komponentu a 0 /2 smatramo nultim harmonikom s početnom fazom 0 = 0, tada će proširenje (5.9) poprimiti oblik
(5.10)

U posebnom slučaju kada funkcija f(a) simetričan u odnosu na ordinatnu os (Sl. 5.1, A), proširenje (5.3) će sadržavati samo parne (kosinusne) harmonike:

(5.11)

i sa simetrijom f(a) u odnosu na ishodište (sl. 5.1, b) neparni harmonici
(5.12)

Kod pomaka ishodišta funkcije f(a) njegov amplitudski spektar se ne mijenja, već se mijenja samo fazni spektar. Doista, promijenimo funkciju f(a) duž vremenske osi lijevo od t 0 i označavaju .

Tada će ekspanzija (5.9) poprimiti oblik
(5.13)

Primjer. Proširite pravokutne vibracije u Fourierov niz (Sl. 5.1, b). S obzirom na to f(a) je simetričan u odnosu na ishodište koordinata u ekspanziji (5.3) ostat će samo sinusoidni harmonici (5.12), gdje b k odredit će se prema (5.4):

Zamjena b k u (5.12) dobivamo proširenje u Fourierov red:
(5.14)

Dalje krećemo f(a) p/2 ulijevo (vidi sl. 5.1, A). Tada prema (5.13) dobivamo

(5.15)

To jest, dobili smo ekspanziju u kosinusne komponente kakva bi trebala biti za signal simetričan u odnosu na ordinatnu os.

U nizu slučajeva, kada je periodična funkcija f(a) zadan je grafički i ima složen oblik, njegovo proširenje u Fourierov niz može se provesti grafičko-analitičkom metodom. Njegova suština je da razdoblje signala T(Sl. 5.2) dijele se na m intervali jednaki , i točke prijeloma f(a) ne smije pasti u sredinu pregradnih područja; odrediti vrijednost signala f(a n) u sredini svakog dijela pregrade.

Pronađite koeficijente širenja i k I b k zamjenom integrala u (5.2) konačnim zbrojem
(5.16)

Jednadžbu (5.16) lako je programirati prilikom izračuna i k I b k, može se koristiti računalom.

5.2. RMS, srednja vrijednost i snaga periodičkog neharmonijskog signala

Za sigurnost, pretpostavimo da f(t) ima značenje struje ja(t). Tada se efektivna vrijednost periodične neharmonijske struje određuje prema (3.5), gdje je ja(t) određena je jednadžbom (5.10):
(5.17)

Zamjenom ove trenutne vrijednosti u (3.5), nakon integracije dobivamo
(5.18)

tj. efektivna vrijednost periodične neharmonijske struje ja u potpunosti je određen efektivnim vrijednostima njegovih harmonika ja k a ne ovisi o njihovim početnim fazama k.

Slično, nalazimo efektivnu vrijednost periodičkog nesinusoidnog napona:
(5.19)

Prosječna vrijednost struje određuje se prema općem izrazu (3.9). Štoviše, obično uzimaju prosječnu vrijednost ja(t) u apsolutnoj vrijednosti
(5.20)

Slično definirano U cf(2) .

Sa stajališta teorije sklopova, prosječna djelatna snaga neharmonijskog signala i njezina raspodjela između pojedinih harmonika su od velikog interesa.

Prosječna djelatna snaga periodičkog nesinusnog signala
(5.21)
Gdje
(5.22)

k- fazni pomak između struje i napona k th harmonika.

Zamjena vrijednosti ja(t) I u(t) iz (5.22) u jednadžbu (5.21), nakon integracije dobivamo:
(5.23)
tj. Prosječna djelatna snaga periodičkog neharmonijskog signala tijekom perioda jednaka je zbroju snaga pojedinih harmonika. Formula (5.23) jedan je od oblika široko poznate Parsevalova jednakost.

Slično, nalazimo jalovu snagu
(5.24)
i punom snagom
(5.25)

Treba naglasiti da, za razliku od harmonijskih signala, za neharmonijske signale
(5.26)

Veličina P tvrditi = Zove se snaga izobličenja i karakterizira stupanj razlike u trenutnim oblicima ja(t) i napon u(t).

Osim snage izobličenja, periodične neharmonijske signale karakterizira niz drugih karakteristika: koeficijenti:snaga, k m = P/S; oblici K f = U/U cf(2); amplitude K a = U m /U; izobličenje k i = U 1 /U; harmonici k g = i tako dalje.

Za sinusoidalni signal k f = /21,11; k a = 1,41; k u = 1; k g = 0.

5.3. Spektri periodičkih neharmoničnih signala

Razmotrite slijed pravokutnih impulsa prikazanih na sl. 5.3, A. Signali ovog oblika vrlo su široko korišteni u radiotehnici i telekomunikacijama: telegrafija, digitalni prijenosni sustavi, višekanalni komunikacijski sustavi s vremenskom podjelom, razni impulsni i digitalni uređaji itd. (vidi Poglavlje 19). Slijed impulsa karakteriziraju sljedeći glavni parametri: amplituda impulsa A i i može imati značenje i napona i struje.">, njegovo trajanje t i sljedeće razdoblje T. Omjer razdoblja T na trajanje t i zove se radni ciklus impulsa a označava se sa q = T/t i. Obično se vrijednosti radnog ciklusa impulsa kreću od nekoliko jedinica (u mjernoj tehnologiji, uređajima za diskretni prijenos i obradu informacija) do nekoliko stotina ili tisuća (u radaru).

Da bismo pronašli spektar niza pravokutnih impulsa, koristimo Fourierov red u kompleksnom obliku (5.6). Kompleksna amplituda k ti harmonik je jednak prema (5.8) nakon povratka na izvornu varijablu t.

(5.27)

Zamjena vrijednosti A k u jednadžbu (5.6), dobivamo proširenje u Fourierov red:
(5.28)

Na sl. 5.4 prikazuje spektar kompleksnih amplituda za q= 2 i q= 4. Kao što se može vidjeti sa slike, spektar niza pravokutnih impulsa je diskretni spektar s ovojnicom (isprekidana linija na sl. 5.4), koji je opisan funkcijom
(5.29)
nazvana funkcija uzorkovanja (vidi 19. poglavlje). Broj spektralnih linija između referentne točke duž frekvencijske osi i prve nule ovojnice jednak je q- 1. DC komponenta signala (prosječna vrijednost) , i efektivnu vrijednost A= , tj. što je veći radni ciklus, niža je razina istosmjerne komponente i efektivna vrijednost signala. S povećanjem radnog ciklusa q povećava se broj diskretnih komponenti - spektar postaje gušći (vidi sl. 5.4, b), a harmonijska amplituda sporije opada. Treba naglasiti da je, sukladno (5.27), spektar razmatranog niza pravokutnih impulsa realan.

Iz spektra kompleksnih amplituda (5.27) možemo razlikovati amplitudu A k = |A k| i fazni spektar k= arg A k, prikazano na sl. 5.5 za slučaj q= 4. Iz slika je jasno da je amplitudski spektar parna, a fazni spektar neparna funkcija frekvencije. Štoviše, faze pojedinačnih harmonika imaju ili nultu vrijednost između čvorova, gdje je sinus pozitivan, ili ±, gdje je sinus negativan (Sl. 5.5, b)

Na temelju formule (5.28) dobivamo trigonometrijski oblik proširenja u Fourierov red u parnim harmonicima (usporedi s (5.15)):
(5.30)

Kada se sekvenca impulsa pomakne duž vremenske osi (Sl. 5.2, b) u skladu s (5.13), njegov amplitudni spektar ostat će isti, ali će se fazni spektar promijeniti:
(5.31)

U slučaju kada periodički niz ima drugačiji oblik polariteta (vidi sliku 5.1), neće biti konstantne komponente u spektru (usporedi (5.30) i (5.31) s (5.14) i (5.15)).

Na sličan način možete proučavati spektralni sastav periodičnih neharmoničnih signala različitog oblika. Tablica 5.1 prikazuje proširenje u Fourierov niz nekih od najčešćih signala.

Tablica 5.1

	Vrste signala	Proširenje u Fourierov niz
1
2
3
4
5
6

5.4. Proračun sklopova pod periodičkim neharmonijskim utjecajima

Proračun linearnih električnih krugova pod utjecajem periodičnih neharmoničnih signala temelji se na principu superpozicije. Njegova je bit, primijenjeno na neharmonijske utjecaje, proširiti neharmonijski periodički signal u jedan od oblika Fourierovog niza (vidi 5.1. Neharmonijski periodični signali. Proširenje u Fourierov niz) i odrediti odziv kruga od svakog harmonika posebno. Rezultirajuća reakcija nalazi se superpozicijom (nametanjem) rezultirajućih parcijalnih reakcija. Dakle, proračun sklopova pod periodičkim neharmonijskim utjecajima uključuje zadatak analize spektralnog sastava signala (njegovo širenje u Fourierov niz), proračun sklopa iz svake harmonijske komponente i zadatak sinteze, kao rezultat čega rezultirajući izlazni signal se određuje kao funkcija vremena (frekvencija) ili njegova efektivna (vrijednost amplitude).

Pri rješavanju problema analize obično se koristi trigonometrijski (5.3) ili kompleksni (5.6) oblik Fourierovog reda s ograničenim brojem članova proširenja, što dovodi do određene pogreške u aproksimaciji pravog signala. Koeficijenti širenja a k I b k u (5.3) ili A k I k u (5.6) određuju se pomoću jednadžbi (5.4), (5.7) i (5.8). U ovom slučaju, ulazni signal f(a) moraju se specificirati analitički. Ako je signal grafički naveden, na primjer u obliku oscilograma, tada za pronalaženje koeficijenata ekspanzije a k I b k možete koristiti grafičko-analitičku metodu (vidi (5.16)).

Proračuni strujnog kruga iz pojedinačnih harmonika obično se provode pomoću simboličke metode. Valja ipak imati na umu da k harmonijska induktivna reaktancija X L(k) = kL, i kapacitet X C(k) = 1/(kS), tj. na k harmonijska induktivna reaktancija u k puta više, a kapacitivni in k puta manje nego na prvom harmoniku. To posebno objašnjava činjenicu da su visoki harmonici izraženiji u kapacitetu, a manje u induktivitetu nego u naponu koji se na njih dovodi. Aktivni otpor R na niskim i srednjim frekvencijama može se smatrati neovisnim o frekvenciji.

Nakon određivanja potrebnih struja i napona iz pojedinih harmonika, metodom superpozicije pronalazi se rezultirajući odziv kruga na neharmonijski periodički utjecaj. U ovom slučaju, trenutna vrijednost rezultirajućeg signala određena je na temelju izračuna amplituda i faza pojedinih harmonika ili njegove amplitude ili efektivne vrijednosti prema jednadžbama (5.18), (5.19). Pri određivanju rezultirajuće reakcije treba imati na umu da, u skladu s prikazom periodičnih neharmoničnih oscilacija na kompleksnoj ravnini, vektori različitih harmonika rotiraju s različitim kutnim frekvencijama.

Primjer. Na krug prikazan na sl. 5.6, primijenjen napon u(t) u obliku pravokutnih impulsa s periodom ponavljanja T= 2t i i amplituda A i = 1V (vidi sl. 5.3, b). Odredite trenutne i efektivne vrijednosti napona preko kapacitivnosti.

Proširenje tog napona u Fourierov red određeno je formulom (5.31). Ograničimo se na prva tri člana proširenja (5.31): k-ti harmonik je stanje električnog kruga koji se sastoji od različitih reaktivnih elemenata u kojem je fazni pomak između ulazne struje i primijenjenog napona k-x harmonika je nula. Fenomen rezonancije može se koristiti za izolaciju pojedinačnih harmonika od periodičkog nesinusoidnog signala. Treba naglasiti da strujni krug može istovremeno postići strujnu rezonanciju na jednoj frekvenciji i naponsku rezonanciju na drugoj.

Primjer. Za krug prikazan na Sl. 5.7, za dati 1, L 1 pronaći vrijednost C 1 i C 2, pri čemu se istovremeno javlja naponska rezonancija na 1. harmoniku i strujna rezonancija na 5. harmoniku.

Iz uvjeta rezonancije napona nalazimo da ulazna reaktancija kruga na prvom harmoniku mora biti nula:
(5.32)

a na petom - beskonačnost (ulazna reaktancija na petom harmoniku treba biti nula):
(5.33)

Iz uvjeta (5.32) i (5.33) nalazimo željenu vrijednost kapaciteta:

Opći opisi

Francuski matematičar Fourier (J.B.J. Fourier 1768.-1830.) predložio je hipotezu koja je za svoje vrijeme bila prilično hrabra. Prema ovoj hipotezi, ne postoji funkcija koja se ne može proširiti u trigonometrijski niz. No, nažalost, takva ideja u to vrijeme nije shvaćena ozbiljno. I to je prirodno. Sam Fourier nije mogao pružiti uvjerljive dokaze, a vrlo je teško intuitivno vjerovati u Fourierovu hipotezu. Posebno je teško zamisliti činjenicu da se pri zbrajanju jednostavnih funkcija poput trigonometrijskih reproduciraju funkcije koje su potpuno različite od njih. Ali ako pretpostavimo da je Fourierova hipoteza točna, tada se periodički signal bilo kojeg oblika može rastaviti na sinusoide različitih frekvencija, ili obrnuto, odgovarajućim zbrajanjem sinusoida različitih frekvencija moguće je sintetizirati signal bilo koji oblik. Stoga, ako je ova teorija točna, onda njegova uloga u obradi signala može biti vrlo velika. U ovom poglavlju prvo ćemo pokušati ilustrirati ispravnost Fourierove hipoteze.

Razmotrite funkciju

f(t)= 2sin t – grijeh 2t

Jednostavni trigonometrijski nizovi

Funkcija je zbroj trigonometrijskih funkcija, drugim riječima, predstavljena je kao trigonometrijski niz od dva člana. Dodajte jedan pojam i stvorite novi niz od tri pojma

Ponovnim dodavanjem nekoliko članova dobivamo novi trigonometrijski niz od deset članova:

Koeficijente ovog trigonometrijskog niza označavamo kao b k , gdje je k - cijeli brojevi. Ako pažljivo pogledate posljednji omjer, vidjet ćete da se koeficijenti mogu opisati sljedećim izrazom:

Tada se funkcija f(t) može prikazati na sljedeći način:

Izgledi b k - to su amplitude sinusoida s kutnom frekvencijom Do. Drugim riječima, oni postavljaju veličinu komponenti frekvencije.

Uzimajući u obzir slučaj kada se superskript Do jednako 10, tj. M= 10. Povećanjem vrijednosti M do 100, dobivamo funkciju f(t).

Ova je funkcija, budući da je trigonometrijski niz, po obliku bliska signalu zuba pile. I čini se da je Fourierova hipoteza apsolutno točna u odnosu na fizičke signale s kojima imamo posla. Osim toga, u ovom primjeru valni oblik nije gladak, ali uključuje točke prekida. A činjenica da se funkcija reproducira čak i na prekidnim točkama izgleda obećavajuće.

Doista postoje mnoge pojave u fizičkom svijetu koje se mogu prikazati kao zbrojevi oscilacija različitih frekvencija. Tipičan primjer ovih pojava je svjetlost. To je zbroj elektromagnetskih valova valne duljine od 8000 do 4000 angstrema (od crvene do ljubičaste). Vi, naravno, znate da ako bijelo svjetlo prođe kroz prizmu, pojavit će se spektar od sedam čistih boja. To se događa jer se indeks loma stakla od kojeg je izrađena prizma mijenja ovisno o duljini elektromagnetskog vala. To je upravo dokaz da je bijela svjetlost zbroj svjetlosnih valova različitih duljina. Dakle, propuštanjem svjetlosti kroz prizmu i dobivanjem njenog spektra možemo analizirati svojstva svjetlosti ispitivanjem kombinacija boja. Isto tako, razlaganjem primljenog signala na njegove različite frekvencijske komponente, možemo saznati kako je izvorni signal nastao, kojim je putem išao ili, konačno, kakvom je vanjskom utjecaju bio podvrgnut. Ukratko, možemo dobiti informacije kako bismo saznali porijeklo signala.

Ova metoda analize naziva se spektralna analiza ili Fourierova analiza.

Razmotrimo sljedeći sustav ortonormiranih funkcija:

Funkcija f(t) može se proširiti preko ovog sustava funkcija na interval [-π, π] na sljedeći način:

Koeficijenti α k,β k, kao što je ranije pokazano, može se izraziti kroz skalarne produkte:

Općenito, funkcija f(t) može se predstaviti na sljedeći način:

Koeficijenti α 0 , α k,β k se zove Fourierovi koeficijenti, a takav prikaz funkcije naziva se širenje u Fourierov red. Ponekad se ovaj prikaz zove važeći proširenje u Fourierov red, a koeficijenti su pravi Fourierovi koeficijenti. Pojam "stvarno" uveden je kako bi se prikazano širenje razlikovalo od proširenja u Fourierov red u složenom obliku.

Kao što je ranije spomenuto, proizvoljna funkcija može se proširiti u sustav ortogonalnih funkcija, čak i ako funkcije iz tog sustava nisu predstavljene kao trigonometrijski niz. Obično pod proširenjem u Fourierov red podrazumijevamo proširenje u trigonometrijski niz. Ako su Fourierovi koeficijenti izraženi preko α 0 , α k,β k dobivamo:

Budući da je kod k = 0 trošak= 1, zatim konstanta a 0/2 izražava opći oblik koeficijenta i k na k= 0.

U odnosu (5.1), oscilacija najdužeg perioda, predstavljena zbrojem cos t i grijeh t naziva se oscilacija osnovne frekvencije ili prvi harmonik. Titranje s periodom jednakom polovici glavnog perioda naziva se sekunda harmonik. Zove se titranje s periodom jednakom 1/3 glavne periode treći harmonik itd. Kao što se može vidjeti iz relacije (5.1) a 0 je konstantna vrijednost koja izražava prosječnu vrijednost funkcije f(t). Ako funkcija f(t) je električni signal, dakle a 0 predstavlja njegovu stalnu komponentu. Posljedično, svi ostali Fourierovi koeficijenti izražavaju njegove varijabilne komponente.

Na sl. Slika 5.2 prikazuje signal i njegovo širenje u Fourierov niz: na konstantnu komponentu i harmonike raznih frekvencija. U vremenskoj domeni, gdje je vrijeme varijabla, signal se izražava funkcijom f(t), a u frekvencijskoj domeni, gdje je varijabla frekvencija, signal je predstavljen Fourierovim koeficijentima (a k, b k).

Prvi harmonik je periodična funkcija s periodom 2 π. Ostali harmonici također imaju period koji je višekratnik 2 π . Na temelju toga ćemo pri generiranju signala iz komponenti Fourierovog niza prirodno dobiti periodičku funkciju s periodom 2 π. A ako je to tako, onda je proširenje u Fourierov red, strogo govoreći, način predstavljanja periodičnih funkcija.

Proširimo signal koji se često pojavljuje u Fourierov niz. Na primjer, razmotrite ranije spomenutu pilastu krivulju (slika 5.3). Signal ovog oblika na segmentu - π < t < π i izražava se funkcijom f( t)= t, pa se Fourierovi koeficijenti mogu izraziti na sljedeći način:

Primjer 1.

Proširenje pilastog signala u Fourierov red

f(t) = t,

A) Pravokutni impulsni niz .

Slika 2. Slijed pravokutnih impulsa.

Ovaj signal ima ravnomjernu funkciju i praktičan je za korištenje oblik sinus-kosinus Fourierov red:

. (17)

Trajanje impulsa i period njihovog ponavljanja uključeni su u dobivenu formulu u obliku omjera koji se naziva radni ciklus sekvence impulsa :.

. (18)

Vrijednost konstantnog člana serije, uzimajući u obzir odgovara:

.

Predstavljanje niza pravokutnih impulsa u obliku Fourierovog niza ima oblik:

. (19)

Graf funkcije ima lobe uzorak. Vodoravna os je stupnjevana u harmoničkim brojevima i frekvencijama.

Slika 3. Prikaz niza pravokutnih impulsa

u obliku Fourierovog niza.

Širina latice, mjeren u broju harmonika, jednak je radnom ciklusu (pri , imamo , ako ). To implicira važno svojstvo spektra niza pravokutnih impulsa – u njemu nema harmonika s brojevima koji su višekratnici radnog ciklusa . Frekvencijski razmak između susjednih harmonika jednak je frekvenciji ponavljanja impulsa. Širina režnjeva, mjerena u jedinicama frekvencije, jednaka je, i.e. je obrnuto proporcionalan trajanju signala. Možemo zaključiti: što je puls kraći, to je širi spektar .

b) Signal rampe .

Slika 4. Ramp val.

Signal zuba pile unutar razdoblja opisuje se linearnom funkcijom

, . (20)

Ovaj signal je neparna funkcija, stoga njegov Fourierov red u sinusno-kosinusnom obliku sadrži samo sinusne komponente:

Fourierov red pilastog signala ima oblik:

Za spektre pravokutnih i pilastih signala karakteristično je da se amplitude harmonika s povećanjem broja smanjivati ​​proporcionalno .

V) Trokutasti pulsni niz .

Fourierov red ima oblik:

Slika 5. Slijed trokutastih impulsa.

Kao što vidimo, za razliku od niza pravokutnih i pilastih impulsa, za trokutasti periodični signal amplitude harmonika opadaju proporcionalno drugoj potenciji harmonijskih brojeva. To je zbog činjenice da brzina opadanja spektra ovisi o stupanj glatkoće signala.

Predavanje br.3. Fourierova transformacija.

Svojstva Fourierove transformacije.

Oblici snimanja Fourierovog niza. Signal se zove periodično, ako se njegov oblik ciklički ponavlja u vremenu Periodični signal u(t) općenito se piše ovako:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Ovdje je T-perioda signala. Periodični signali mogu biti jednostavni ili složeni.

Za matematičko predstavljanje periodičnih signala s periodom Tčesto se koristi serija (2.2) u kojoj su harmonijske (sinusne i kosinusne) oscilacije više frekvencija odabrane kao bazne funkcije

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

gdje je w 1 =2p/T glavna kutna frekvencija niza

funkcije. Za harmonijske bazne funkcije iz niza (2.2) dobivamo Fourierov red (Jean Fourier - francuski matematičar i fizičar 19. stoljeća).

Harmonijske funkcije oblika (2.3) u Fourierovim redovima imaju sljedeće prednosti: 1) jednostavan matematički opis; 2) nepromjenjivost na linearne transformacije, tj. ako postoji harmonijska oscilacija na ulazu linearnog kruga, tada će na njegovom izlazu također biti harmonijska oscilacija, koja se od ulaza razlikuje samo u amplitudi i početnoj fazi; 3) kao i signal, harmonijske funkcije su periodične i imaju beskonačno trajanje; 4) tehnika generiranja harmonijskih funkcija vrlo je jednostavna.

Iz kolegija matematike poznato je da za proširenje periodičkog signala u niz harmonijskih funkcija (2.3) moraju biti zadovoljeni Dirichletovi uvjeti. Ali svi pravi periodični signali zadovoljavaju ove uvjete i mogu se prikazati u obliku Fourierovog niza, koji se može napisati u jednom od sljedećih oblika:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

gdje su koeficijenti

A 0 =

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

ili u složenom obliku

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

Iz (2.4) - (2.9) slijedi da u općem slučaju periodički signal u(t) sadrži konstantnu komponentu A 0 /2 i skup harmonijskih oscilacija osnovne frekvencije w 1 =2pf 1 i njegove harmonike s frekvencije w n =nw 1, n=2 ,3,4,… Svaki od harmonika

Fourierove oscilacije karakteriziraju amplituda i početna faza y n .nn

Spektralni dijagram i spektar periodičkog signala. Ako se bilo koji signal predstavi kao zbroj harmoničnih oscilacija s različitim frekvencijama, tada se kaže da spektralna dekompozicija signal.

Spektralni dijagram Signal se obično naziva grafički prikaz koeficijenata Fourierovog niza tog signala. Postoje amplitudni i fazni dijagrami. Na sl. 2.6, u određenom mjerilu, vrijednosti harmonijskih frekvencija iscrtane su duž vodoravne osi, a njihove amplitude A mn i faze y n su iscrtane duž okomite osi. Štoviše, harmonijske amplitude mogu poprimiti samo pozitivne vrijednosti, faze mogu poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti u intervalu -p£y n £p

Spektar signala- ovo je skup harmoničnih komponenti s određenim vrijednostima frekvencija, amplituda i početnih faza, koje zajedno tvore signal. U tehničkim primjenama, u praksi, spektralni dijagrami nazivaju se kraće - amplitudski spektar, fazni spektar. Ljudi su najčešće zainteresirani za spektralni dijagram amplitude. Može se koristiti za procjenu postotka harmonika u spektru.

Primjer 2.3. Proširite periodični niz pravokutnih video impulsa u Fourierov niz S poznatih parametara (U m , T, t z),čak i "U odnosu na točku t=0. Konstruirajte spektralni dijagram amplituda i faza na U m =2B, T=20ms, S=T/t i =2 i 8.

Zadani periodički signal na intervalu od jedne periode može se napisati kao

u(t) =

Za predstavljanje ovog signala koristit ćemo oblik Fourierovog reda V obrazac (2.4). Budući da je signal paran, u ekspanziji će ostati samo kosinusne komponente.

Riža. 2.6. Spektralni dijagrami periodičkog signala:

a - amplituda; b- faza

Integral neparne funkcije po periodi jednak je nuli. Pomoću formula (2.5) nalazimo koeficijente

što nam omogućuje da napišemo Fourierov red:

Za konstruiranje spektralnih dijagrama za određene numeričke podatke, postavljamo i=0, 1, 2, 3, ... i izračunavamo harmonijske koeficijente. Rezultati izračuna prvih osam komponenti spektra sažeti su u tablici. 2.1. U nizu (2.4) A" mn =0 a prema (2.7) A mn =|A' mn |, glavna frekvencija f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 rad/s . Amplitudni spektar na Sl.

2.7 je napravljen za njih n, na kojem I mn više od 5% maksimalne vrijednosti.

Iz navedenog primjera 2.3 proizlazi da se s povećanjem radnog ciklusa povećava broj spektralnih komponenti, a smanjuju njihove amplitude. Za takav signal se kaže da ima bogat spektar. Treba napomenuti da za mnoge signale koji se koriste u praksi nema potrebe izračunavati amplitude i faze harmonika pomoću prethodno danih formula.

Tablica 2.1. Amplitude komponenti Fourierovog reda periodičkog niza pravokutnih impulsa

Riža. 2.7. Spektralni dijagrami periodičkog slijeda impulsa: A- s radnim ciklusom S-2; - b-sa radnim ciklusom S=8

U matematičkim priručnicima postoje tablice proširenja signala u Fourierovom nizu. Jedna od ovih tablica dana je u Dodatku (Tablica A.2).

Često se postavlja pitanje: koliko spektralnih komponenti (harmonika) treba uzeti da se realni signal predstavi u Fourierovom nizu? Uostalom, niz je, strogo govoreći, beskonačan. Ovdje se ne može dati definitivan odgovor. Sve ovisi o obliku signala i točnosti njegovog prikaza Fourierovim redom. Glatkija promjena signala - potrebno je manje harmonika. Ako signal ima skokove (diskontinuitete), tada je za postizanje iste pogreške potrebno zbrojiti veći broj harmonika. Međutim, u mnogim slučajevima, primjerice u telegrafiji, smatra se da su tri harmonika dovoljna za prijenos pravokutnih impulsa sa strmim frontama.